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7/25/2019 Guia de ejercicios UAI

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MAT 129 - Algebra II

Pauta Control N2

1. Determine el valor del parametro a R para que el sistema dado tenga solucion unica oinfinitas soluciones.

x+ay = 0

ax ay+ 2z = 02x+az = 0.

Encontrar la solucion explcitamente en cada caso.

Solucion: La matriz asociada al SEL homogeneo es

A=

1 a 0a

a 2

2 0 a

.

Aplicando operaciones elementales fila, se tiene que

A 1 a 00 2a a

0 0 4aa2

2

.

Se observa que si a= 0 o a=1 17

2 , entoncesrango(A) = 2 y el sistema tiene infinitas

soluciones.

Si a= 0, el conjunto de soluciones es Cs= {t(0, 1, 0) R3 :t R}.Si a=

1 172

, el conjunto de soluciones esCs= {t(a, 1, 2) R3 :t R}.

Luego, para cualquier otro a R

0,1 17

2

se tiene que rango(A) = 3 y el sistema

tiene solucion unica. Tal solucion es la trivial; es decir, el conjunto solucion esCs= {(0, 0, 0)}.

Criterios de Correccion:

Por escribir la matriz A asociada: 1 punto.

Por llegar a una forma reducida de A: 1 punto.

Por encontrar el conjunto de infinitas soluciones para a = 0 y a = 117

2 : 1 punto cada

una.

Por encontrar la solucion trivial en todos los otros casos: 1 punto.


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2. Demuestre que la matriz A=

1 2 00 1 1

1 4 1

es invertible y escrbala como producto de ma-

trices elementales.

Solucion: Escribimos la matriz ampliada [A|I3] y hacemos operaciones elementales fila: 1 2 0 1 0 00 1 1 0 1 0

1 4 1 0 0 1

1: F3 F1

1 2 0 1 0 00 1 1 0 1 0

0 2 1 1 0 1

2: F3 2F2

1 2 0 1 0 00 1 1 0 1 0

0 0 3 1 2 1

3: 13F3

1 2 0 1 0 00 1 1 0 1 0

0 0 1 13 2

3

1

3

4: F2+F3

1 2 0 1 0 0

0 1 0 1

3

1

3

1

3

0 0 1 13 2

3

1

3

5: F1 2F2

1 0 0 5

3 2

3 2

3

0 1 0 1

3

1

3

1

3

0 0 1 13 2

3

1

3

Como la forma escalonada reducida de Aes I3, entonces Aes invertible.

Por otro lado, si Ei es la matriz elemental asociada a la operacion elemental i, entonces

E5 E2 E1A= I3, es decir A =

E5 E2 E11

=E11 E1

2 E1

5 . Sabemos que E1

i es

la matriz elemental asociada a la operacion elemental inversa de i. Por lo tanto

A=

1 0 00 1 01 0 1

1 0 00 1 00 2 1

1 0 00 1 00 0 3

1 0 00 1 10 0 1

1 2 00 1 00 0 1


Por llegar a [I3|A1] luego de las operaciones elementales: 2 puntos.Por justificar que Aes invertible: 1 punto.

Por escribir A como producto de matrices elementales: 3 puntos.

NOTA: En la correccion se debe considerar el hecho de que se pueden realizar otras opera-ciones elementales para reducir A, con lo que la escritura de A como producto de matriceselementales puede variar con respecto a la pauta.


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3. Considere un modelo de economa simple que posee 2 sectores productivos: agropecuario yservicios. Para producir una unidad monetaria (um), el sector agropecuario requiere de 1

4 um

de s mismo y de 13

um de servicios, y el sector de servicios requiere de 12

um de s mismo yde 1

9 umdel sector agropecuario.

a) Escriba la matriz de coeficientes tecnicos y la matriz de Leontief.

Solucion: Considerando al sector agropecuario como el primer sector productivo y alsector servicios como el segundo sector, la matriz Ade coeficientes tecnicos es

A=

1

4

1

91

3

1

2

y la matriz L de Leontief es

L= I2 A=

1 00 1

1

4

1

91

3

1

2

=

3

4 1

9

1

3

1

2


Por obtener A: 2 puntos.

Por obtener L: 1 punto.

NOTA: Es posible considerar al sector servicios como primer sector productivo y alagropecuario como segundo. En este caso se intercambian las columnas de A.

b) Si durante un ano la demanda externa al sector agropecuario es de 1.2 miles de bienesy al sector servicios es de 0.8 miles de bienes, cuanto debe producir cada sector para

satisfacer la demanda total?

Solucion: Sean x1 la cantidad de bienes (en miles) que debe producir el sector 1(agropecuario), x2 la cantidad de bienes (en miles) que debe producir el sector 2 (servi-

cios),

X = (x1 x2)T y

D = (1,2 0,8)T el vector de demanda externa.

La demanda total se satisface si AX+

D =

X o (I2 A)X = D . Resolvemos el SEL

LX =

D X =L1D .

Se tiene que

L1

=

173

216

12 1913

34

=

1

73 108 24

72 162

.

Por lo tanto,X =

1

73

108 24

72 162

1, 20, 8

=

2,0382,959

.

Luego, el sector agropecuario debe producir 2038 bienes y el sector servicios 2959 parasatisfacer la demanda total.


Por obtener L1: 1 punto.

Por calcular L1D : 1 punto.Por concluir: 1 punto

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