guia 1 conversión

8/19/2019 Guia 1 conversión http://slidepdf.com/reader/full/guia-1-conversion 1/1 Gu´ ıa 1 T´ opicos de Matem´ atica Contempor´anea Semestre 201610 Profesor: Carlos Gallegos Lastra. Nombre alumn@: 1) Demuestre que si para cada conjunto A, hay un conjunto B tal que A ⊂ B . As´ ı, no existe un conjunto m´ aximo respecto de la inclusi´ on. 2) Demuestre que no existe un conjunto del cual sean miembros precisamente todos los conjuntos. Por consiguiente no existe un conjunto maximal respecto de la pertenencia. 3) Sea X un conjunto no vac´ ıo. Demuestre que existe un ´ unico conjunto cuyos miembros son precisamente aquellos elementos que pertenecen a todos y cada uno de los miembros de X denotado por X = X ∈X X . 4) Sean X e Y dos conjuntos. Demuestre que existe un ´ unico conjunto cuyos miembros son precisamente aquellos conjuntos que pertenecen a X e Y . Obs: A dicho conjunto se le denomina intersecci´ on (binaria) de X e Y denotado por X ∩ Y . 5) Sean X , Y y Z tres conjuntos. Demuestre que existe un ´ unico conjunto del cual son miembros exactamente aquellos elementos que pertenecen a todos y cada uno de los conjuntos dados. A tal conjunto se le denota por X ∩ Y ∩ Z . 6) Sean X e Y dos conjuntos. Demuestre que existe un ´ unico conjunto cuyos miembros son precisamente aquellos elementos que pertenecen a X y no pertenecen a Y . Obs: A dicho conjunto se le denomina la diferencia o la diferencia relativa de Y en X y se denota por X − Y o por X \ Y . Se denomina clase a una colecci´on de objetos que satisfacen cierta propiedad. En general, dada una propiedad ϕ(x), { x : ϕ(x)} es una clase. De no existir un conjunto que contenga todos los objetos que satisfacen ϕ(x), se dice que la clase es propia. Por ejemplo, la clase R = {x : x / ∈ x} (de la paradoja de Russell)y la clase universal V = {x : x = x} son clases propias, mientras que la clase vac´ ıa { x : x = x}, en virtud del axioma del conjunto vac´ ıo, es en realidad un conjunto. 7) Si en los ejercicios anteriores en vez de considerar conjuntos se consideran clases, ¿se cumplen los resultados descritos?. 8) Probar que para cada conjunto A, existe alg´ un x tal que x / ∈ A. 9) Demuestre que ∅ = ∅, V = V, ∅ = V, V = ∅. 10) Sean A y B conjuntos. Probar que: a) B ∈ A ⇒ A ⊆ B ⊆ A. b) A ⊆ B ⇒ A ⊆ B. c) (∀x(x ∈ A ⇒ x ⊆ B ) ⇒ A ⊆ B Universidad San Sebasti´ an 1 PEMM 1031

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8/19/2019 Guia 1 conversión

http://slidepdf.com/reader/full/guia-1-conversion 1/1

Guıa 1

Topicos de Matematica Contemporanea

Semestre 201610

Profesor: Carlos Gallegos Lastra.

Nombre alumn@:

1) Demuestre que si para cada conjunto A, hay un conjunto B tal que A ⊂ B . Ası, no existe

un conjunto maximo respecto de la inclusion.

2) Demuestre que no existe un conjunto del cual sean miembros precisamente todos los conjun-

tos. Por consiguiente no existe un conjunto maximal respecto de la pertenencia.

3) Sea X un conjunto no vacıo. Demuestre que existe un unico conjunto cuyos miembros son

precisamente aquellos elementos que pertenecen a todos y cada uno de los miembros de X

denotado por X = X ∈X X .

4) Sean X e Y dos conjuntos. Demuestre que existe un unico conjunto cuyos miembros son

precisamente aquellos conjuntos que pertenecen a X e Y . Obs: A dicho conjunto se le

denomina interseccion (binaria) de X e Y denotado por X ∩ Y .

5) Sean X , Y y Z tres conjuntos. Demuestre que existe un unico conjunto del cual son miembros

exactamente aquellos elementos que pertenecen a todos y cada uno de los conjuntos dados.

A tal conjunto se le denota por X ∩ Y ∩ Z .

6) Sean X e Y dos conjuntos. Demuestre que existe un unico conjunto cuyos miembros son

precisamente aquellos elementos que pertenecen a X y no pertenecen a Y . Obs: A dichoconjunto se le denomina la diferencia o la diferencia relativa de Y en X y se denota por

X − Y o por X \ Y .

Se denomina clase a una coleccion de objetos que satisfacen cierta propiedad. En general, dada

una propiedad ϕ(x), {x : ϕ(x)} es una clase. De no existir un conjunto que contenga todos los

objetos que satisfacen ϕ(x), se dice que la clase es propia. Por ejemplo, la clase R = {x : x /∈ x}

(de la paradoja de Russell)y la clase universal V = {x : x = x} son clases propias, mientras que

la clase vacıa {x : x = x}, en virtud del axioma del conjunto vacıo, es en realidad un conjunto.

7) Si en los ejercicios anteriores en vez de considerar conjuntos se consideran clases, ¿se cumplen

los resultados descritos?.

8) Probar que para cada conjunto A, existe algun x tal que x /∈ A.

9) Demuestre que ∅ = ∅,

V = V,

∅ = V,