guía-03 em-33 a falta de escuadras, buenas son las cuerdas (egresados)

8/17/2019 Guía-03 EM-33 a Falta de Escuadras, Buenas Son Las Cuerdas (Egresados)

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Cpech

G U I C E G 0 0 3 E M 3 3 - A 1 4 V 1

Guía: A falta de escuadras, buenas son las cuerdas

PROGRAMA

EGRESADO

SECCIÓN 1: Experimentandoδ

ε

1

π

5

≅

∞ 3

2

2

Actividad 1

Don Manuel es un constructor de casas, por lo tanto utiliza regularmente la escuadra para cerciorarseque las paredes de las viviendas sean perpendiculares, es decir, que el ángulo entre estas sea recto.

Una tarde, olvidó la mayoría de sus herramientas y solo contaba con una huincha de medir, una pita,un martillo y 2 clavos. Como necesitaba saber si sus murallas eran perpendiculares, utilizó una antiguatécnica: desde el vértice (unión entre las dos murallas) midió 30 cm en línea recta hacia abajo y paralelaal piso, puso un clavo. Luego, desde el mismo vértice, midió 40 cm en línea recta hacia la derecha yparalela al piso puso el segundo clavo. Finalmente, ató la pita desde un clavo al otro y midió el largo dela pita, había exactamente 50 cm, entonces ¡las paredes eran perpendiculares!

A continuación un diagrama de lo que hizo don Manuel.

30 cm40 cm 50 cm

Paso 1 Paso 2 Paso 3

(Vista de las murallas desde arriba)


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Matemática

2 Cpech

1. Analice la situación y responda las siguientes preguntas.

• En el diagrama, ¿cuáles son las medidas de los catetos y de la hipotenusa?

El teorema de Pitágoras establece queen todo triángulo rectángulo el cuadradode la hipotenusa es igual a la suma de loscuadrados de los catetos.

• ¿Por qué funciona la técnica de Don Manuel? ¿Qué ocurre si la pita mide 51 cm o 45 cm?

• Al parecer, la técnica de don Manuel solo funciona para esos números, ¿qué crees tú? ¿Podríamosdecir que las paredes son perpendiculares utilizando otras medidas distintas a 30 cm y 40 cm?

• Si no contáramos con una huincha de medir y solo tuviéramos una regla de 20 cm, ¿podríamosutilizar la técnica de Don Manuel con otros números? ¿Por qué?


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Guí

Cpech

¿Cuánto debe medir la pita al poner un clavoa 5 cm y otro a 12 cm, para que las paredessean perpendiculares? Utiliza el teorema dePitágoras.

¿Cuánto debe medir la pita al poner un clavoa 8 cm y otro a 15 cm, para que las paredessean perpendiculares? Utiliza el teorema dePitágoras.

Utilizando las medidas anteriores, ¿qué ocurre si se amplican todos los valores por 2? ¿Se siguecumpliendo el teorema de Pitágoras? ¿Por qué?

2. Utilizando lo aprendido, responde las siguientes preguntas según la gura correspondiente.

i. a

A

D C

B

a a

a

a

a

C

B A

¿Cuál es el la expresión que representa al lado BC ?


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Guí

Cpech

Actividad 2

El primer triángulo de la gura, corresponde a un triángulo rectángulo ABC , y los triángulos 2 y 3corresponden a la división del triángulo ABC . Considere b > a.

A H B

C

b

q p

α β

ah

c

Triángulo 1

α b

A H

C

bh

b

Triángulo 2

α

q H B

C

a

α

b

h

Triángulo 3

p

1. Estos tres triángulos, ¿son semejantes? ¿Por qué?

2. Relaciona los triángulos 2 y 3 para conocer la medida deh

, ¿qué fórmula conocida obtienes?(Utiliza las razones de semejanza)

3. Relaciona los triángulos 1 y 2 para conocer la medida de b, ¿qué fórmula conocida obtienes?(Utiliza las razones de semejanza)


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Matemática

6 Cpech

4. Relaciona los triángulos 1 y 3 para conocer la medida de a, ¿qué fórmula conocida obtienes?(Utiliza las razones de semejanza)

¡Y ahora… tu turno!

En el triángulo rectángulo en A de la gura, se traza la altura h desde el vértice A. Analice si lassiguientes armaciones son verdaderas o falsas, justicando en ambos casos su respuesta.

A

h

BD

C

1. BC y DC son las proyecciones de sus respectivos catetos, las cuales están en la siguiente

relación: AC 2 = DC · BC .

2. Sabiendo que BD = 4 y DC = 9 se puede establecer que AD= 36.


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Guí

Cpech

3. Sean BC = 5 y AC = 4, por tríos pitagóricos se tendrá que BA = 3 y por tanto, la altura

AD =12

5.

4. Se pueden establecer las siguientes semejanzas: ∆ BDA ∼ ∆ BAC , ∆ BAD ∼ BAC y porúltimo ∆ BDA ∼ ∆ DAC

SECCIÓN 2: Practicando

Responde las siguientes preguntas, ocupando el razonamiento que se detalla en cada una de ellas.

1. En el triángulo FHI de la gura, siempre se cumple que (FI )2 es igual a

I

F G

H

¿Q u é tipo de tri áng u lo es

F HI?, ¿q u é tipo de e lemen to e

s

I G? ¿Q u é teoremas se p uede

n

ap licar? A l ap licar dic ho

s

teoremas, ¿c u á les son la

s

resp ues tas posi b les?

P re l i m i n a re s A) FG · GH

B) IH · FH

C) IG · IH

D) FH · FG

E) GH · IG

¿A cuá d lo trma auntab l rgunt? ¿Cuá rincia rrr d cncimint qu s cmt st cas?

Rflein


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Matemática

8 Cpech

2. ¿Cuál de los siguientes tríos de valores no podría corresponder a los catetos y la hipotenusa, enese orden, de un triángulo rectángulo?

¿Q u é condición de ben c ump lir

tres segmen tos para q u

e

p uedan ser los lados de u

n

tri áng u lo rec t áng u lo?, ¿cóm

o

se p lan tea dic ha condición?

P re l i m i n a re s

A) 1, �2 y �3

B) �2 , �2 y 2

C) �3 , �6 y 3 D) �3 , �5 y 2�2

E) 1, �3 y 2�3

3. En la gura, si

PR ⊥

SQ y

PS ⊥ SR , ¿cuál es el valor de SR ?

S

6

4P Q R

¿Q u é consec uencias tiene

n

las perpendic u laridade

s

mencionadas en e l en unciado

?,

¿q u é teoremas se p uede

n

u ti li zar? ¿Q u é segmen tos ha

y

q ue ca lc u lar pre viamen te an te

s

de l legar a l segmen to pedido?

P re l i m i n a re s A) 2�5

B) 5

C) 3�5

D) 9

E) 6�5

¿Fu ncsari sl u trm ar rslvr l rgunt? ¿E cuánto aso s rslvi rblm?, ¿s drí rslvr mno?

Rflein


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Guí

Cpech

4. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide el triple de uno de los catetos. Si el otro catetomide 2 cm, entonces la hipotenusa mide

¿Q u é teorema se ap lica en

es te caso?

¿Cómo se p uede expresar

cada lado en t érminos de las

re laciones indicadas en e l

en unciado?, ¿a q u é lado es

con venien te asignar e l va lor

de la incógni ta?

P re l i m i n a re s A)�10

5 cm

B)3�2

2 cm

C)3

2 cm

D) 3�2 cm

E) 2�10 cm


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Matemática

10 Cpech

SECCIÓN 3: Sintetizando

Teorema de Pitágoras

¿Cómo lo utilizas?

1. Necesitas un triángulo rectángulo comoel de la gura.

∆ ABC es retángulo en C.

2. Identica a los catetos y a la hipotenusa.

En este caso a y b son catetos y c es lahipotenusa.

3. Aplica la fórmula.

a2 + b2 = c2

C A

B

a

c

b

Tríos pitagóricos:

3, 4 y 5

5, 12 y 13

8, 15 y 17

Si un cateto es el doble del otro, la

hipotenusa es el cateto menor por �5.2a a � 5

a

Si un cateto es el triple del otro, la

hipotenusa es el cateto menor por �10.

3a a � 10

a

Datos adicionales


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Guí

Cpech

Relaciones métricas en el triángulo rectángulo

¿Cómo las utilizas?

1. Cuando tengas un triánguloequilátero y traces su altura.

2. Recuerda que el segmentodonde cae la altura de estetriángulo, queda dividido endos partes iguales.

3. Aplica las fórmulas.

Área =

a2

4�3

h =

a2�3

aa

h

30°

60°

30°

60°

a

2

a

2

h

60°

a

2

30°

a

Teorema de Euclides

1. Necesitas un triángulo rectángulodonde esté trazada su altura.

2. Aplica las fórmulas:

a2 = p · c h2 = p · q

b2 = q · c h =a · b

c

¿Cómo lo utilizas?

ab

q p

c

AD

B

C

h


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