gui an 1 mat 200

Programa de Matemática Algebra

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GUÍA DE EJERCICIOS Nº 1 MATRICES

1. Dadas las matrices:

=

620511

A ; [ ]87521=B ;

−=

3,0012

C

−=

52001

752

21D ;

−=01

2E ; [ ]2=F

a) Indique el orden de cada matriz

b) De las matrices presentadas ¿Cuáles son cuadradas?

2. La compañía Widget entrega sus reportes de ventas mensuales por medio de matrices. Las filas, en orden, representan el número de modelos: regular, de lujo y de extra lujo vendidos. Las columnas, en orden, dan el número de unidades rojas, blancas, azules y púrpuras vendidas. Las matrices para enero (E) y febrero (F) son:

R B A P R B A P

=

067253102162

E

=

620423324420

F

a) En enero ¿Cuántas unidades de los modelos de extra lujo blancas se vendieron?

b) En febrero ¿Cuántos modelos de lujo azules se vendieron?

c) ¿En qué mes se vendieron más modelos regulares púrpuras?

d) ¿De qué modelo y color se vendió el mismo número de unidades en ambos meses?

e) ¿En qué mes se vendieron más modelos de lujo?


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f) ¿En qué mes se vendieron más artículos rojos?

g) ¿Cuántos artículos se vendieron en enero?

3. Una empresa de automóviles dispone de dos plantas de fabricación, una en España y la otra en Inglaterra, en las que fabrica dos modelos de autos 1M y 2M de tres colores x , y , z . Su capacidad de

producción diaria, en cada planta, está dada por las siguientes matrices. ( I para Inglaterra y E para España).

1M 2M 1M 2M

=

10020010025095300

Ezyx

=

8015010020090190

Izyx

a) En España ¿Cuántos autos del modelo 1M y de color z se producen?

b) En Inglaterra ¿Cuántos autos del modelo 2M y de color x se

produce?

c) ¿En qué país producen más autos del modelo 1M y del color y ?

d) ¿De qué modelo y color de auto la producción diaria es la misma en España e Inglaterra?

e) ¿En qué país se producen más autos de color z ?

f) ¿Cuántos autos del modelo 2M se producen diariamente en

Inglaterra?

4. Una compañía tiene plantas en tres localidades, X , Y y Z , y cuatro bodegas en cada uno de estos lugares, A, B , C y D . El costo, en dólares, de transportar cada unidad de su producto de una planta a una bodega está dado por la matriz M .


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A B C D

=

10612159151012

1681310M

ZYX

a) ¿Cuál es el costo de transportar una unidad de la planta X a la

bodega C ?

b) ¿Cuál es el costo de transportar una unidad de la planta Z a la bodega B?

c) Si los costos de transporte se incrementan uniformemente en un

dólar por unidad ¿Cuál es la nueva matriz?

d) Si los costos de transporte se elevan en un 20%, respecto de los costos originales, escriba los nuevos costos en forma matricial.

5. En cada caso, escriba la matriz ( )33xjiaA = que satisfaga:

a) jia ji += b) jia ji ⋅=

6. La siguiente matriz contiene la distancia en millas entre Atlanta (A), Baltimore (B), Cleveland (C) y Denver (D).

A B C D

=

0134016851406134003717741685371068914067746890

M

DCBA

a) ¿Por qué, en la matriz M , ijji mm = ?

b) ¿Por qué, en la matriz M , 0=iim ?


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7. En cada caso, determine el valor de las incógnitas.

a)

=

−−

−42

224

01w

vuzy

x

b)

=

−+

2015

2312

yxyx

8. En cada caso, calcule A + B; A – B y 3 · A.

a)

−=

7312

A ;

−

=3256

B

b)

−

−=

304523

A ;

−−

=334162

B

c)

−=

121680615

A ;

−=

711210124

B

9. La matriz K muestra los pesos de cuatro hombres y cuatro mujeres al comienzo de una dieta ideada para perder peso. La matriz M muestra los pesos después de la dieta.

1 2 3 4

=

157119143132193172158160

K Hombres Mujeres

1 2 3 4

=

136112154132178163148154

M Hombres Mujeres

Muestre una operación entre matrices cuyo resultado proporcione el peso que perdió cada una de las ocho personas con la dieta.


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10. Las matrices 1S y 2S representan las ventas anuales de tres productos de una empresa, por región, expresadas en millones de dólares. 1S representa las ventas durante el primer año de operaciones y 2S las del segundo año.

Región Región 1 2 3 4 1 2 3 4

=

5,28,36,34,28,25,24,42,39,08,18,46,2

1S

=

0,46,40,39,28,35,30,55,45,20,35,26,3

2S

a) Calcule 12 SS − e interprete el significado de la matriz resultante.

b) Calcule 21 SS + e interprete el significado de la matriz resultante.

11. La empresa BETA tiene dos fábricas; cada una de ellas fabrica tres productos. El número de unidades del producto i producidas en la fábrica j en una semana, está representado en la matriz A mediante

jia .

=

1608011015070120

A

a) Si los niveles de producción se aumentan en 10%, escriba los nuevos niveles de producción como una matriz B .

b) ¿Cómo está relacionada B con A?

12. Una fábrica de zapatos tiene dos plantas, una en Valparaíso y otra en Temuco. Ésta produce zapatos en color negro, blanco y café, para niños (N), damas (D) y caballeros (C). La capacidad de producción (en miles de pares) en la planta de Valparaíso está dada por la matriz V .

La capacidad de producción (en miles de pares) en la planta de Temuco está dada por la matriz T


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C D N C D N

=

252614162045203430

VBlancoCaféNegro

=

322423182552263035

TBlancoCaféNegro

a) Determine la representación matricial de la producción total de cada

tipo de zapato en ambas plantas.

b) Si la producción en Valparaíso se incrementa en un 50% y la de Temuco en un 25%, encuentre la matriz que representa la nueva producción total de cada tipo de calzado.

13. En cada caso, calcule A · B y B · A.

a)

−=

7312

A ;

−

=3256

B

b)

−

−=

312443

211A ;

−−

−=

421321320

B

14. Considere las siguientes matrices

=

412321

A

=

231201

B

−=

312514313

C

−=

5223

D

−=

123410542

E

=

1011

F


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Calcule, si es posible:

a) EC + b) FD − c) BA+

d) A⋅2 e) FD ⋅+⋅ 25 f) AB ⋅

g) EC ⋅ h) DA ⋅ i) FDBA ⋅−⋅

j) BF ⋅ k) ( ) AFD ⋅⋅ l) FD +

15. Tres inversionistas, 1I , 2I e 3I , poseen individualmente cierto número

de acciones 1S , 2S , 3S y 4S , según la matriz A. La matriz B contiene el

valor actual V de cada acción. Determine BA ⋅ e interprete el significado de sus coeficientes.

1S 2S 3S 4S V

=

10040501003010150100253010050

A

3

2

1

III

=

75,4280,9021,1637,20

B

4

3

2

1

SSSS

16. Considere las matrices A y B , dadas por:

V G L

=

323030602030503020

A321

BidónBidónBidón

=

10455

B LimonadaGinebra

Vino

Las columnas de A representan los litros de vino, ginebra y limonada que se han echado en 3 bidones para hacer diferentes cocteles. Por su parte la matriz B representa los precios por litro de cada uno de los tres líquidos.

a) Calcule BA ⋅

b) ¿Cuál es el significado real de la matriz BA ⋅ ?l


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17. Para el día de las Madres un florista hace tres arreglos florarles ( X ,Y y Z ), donde cada uno incluye rosas (R), claveles (C) y lilas (L). La matriz A muestra el número de cada tipo de flor utilizado en cada arreglo.

El florista puede comprar estas flores a dos diferentes mayoristas ( 1My 2M ), pero quiere adquirir todo de uno solo de ellos. El costo, en

dólares, de los tres tipos de flores con los dos mayoristas se muestra en la matriz B .

R C L 1M 2M

=

377368465

AZYX

=

35,130,100,195,035,150,1

BLCR

a) Calcule BA ⋅ b) ¿Qué significa el número que está en la fila 2 y columna 1 de BA ⋅ ?

c) ¿Qué significa el número que está en la fila 3 y columna 2 de BA ⋅ ?

d) ¿Qué significa el número que está en la fila 1 y columna 2 de BA ⋅ ?

18. Una pequeña cadena tiene restaurantes de comida rápida en Santiago (S), Coquimbo (C) y Arica (A), y solo vende hot dogs, hamburguesas y malteadas. Cierto día, las ventas se distribuyeron de acuerdo a la matriz A.

S C A

=

000.9500700200300400500.3000.1000.4

AMalteadas

dogsHotasHamburgues

El precio de cada producto se expresa en la matriz B .

Hamb dogHot Malte [ ]10,180,090,0=B


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a) Calcule AB ⋅

b) Interprete los coeficientes de la matriz AB ⋅

19. Un fabricante de automóviles exclusivos tiene plantas en Osorno,

Iquique y Santiago. Éste produce tres modelos, con una producción diaria como se describe en la matriz A.

A causa de un aumento de salarios, la utilidad de Febrero fue menor que la de Enero. La ganancia, en dólares, por vehículo y por modelo se ve en la matriz B .

Modelo K Modelo R Modelo W Enero Febrero

=

1298204401012

ASantiagoIquiqueOsorno

=

000.1500.1200.1000.2

500000.1B

WModRModKMod

a) Calcule BA ⋅

b) Suponiendo que se vendieron todos los automóviles producidos

¿Cuál fue la ganancia diaria de Enero, en la planta de Iquique?

c) Suponiendo que se vendieron todos los automóviles producidos ¿Cuál fue la ganancia diaria total (de las tres plantas) de Febrero?


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Bibliografía: Más ejercicios de Matrices los encuentras en los textos Título : Precálculo. (Tercera Edición) Autor : J. Stewart, L. Redlin, S. Watson Editorial: Thomson Título : Álgebra

Autor : Ignacio Bello Editorial: Thomson Título : Álgebra. (Segunda Edición) Autor : E. de Oteiza, E. Lam, C. Hernández, A. Carrillo Editorial: Pearson Título : Matemática: Razonamiento y aplicaciones Autor : Ch. Miller, V. Heeren, E. Hornsby

Editorial: Pearson


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SOLUCIONES GUÍA DE EJERCICIOS Nº 1

MATRICES

1. a) A es de orden 2 x 3 ; B es de orden 1 x 5 C es de orden 2 x 2 ; D es de orden 3 x 3 E es de orden 3 x 1 ; F es de orden 1 x 1

b) C, D y F

2. a) 7 b) 3 c) En Febrero. d) Modelo de lujo azul.

e) En Febrero. f) En febrero g) 35

3. a) 200 b) 90 c) En España

d) Modelo 2M , color y e) En España f) 270

4. a) 8 dólares b) 12 dólares

c)

1171316101611131791411

d)

122,74,14188,1018124,142,196,96,1512

5. a)

=

654543432

A b)

=

963642321

A


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6. a) La distancia de la ciudad i a la ciudad j , es la misma que la distancia de la ciudad j a la ciudad i

b) La distancia de una ciudad a sí misma es cero

7. a) 1−=u ; 2=x ; 0=v ; 2−=y ; 4=w ; 6=z

b) 1=x ; 3=y

8. a)

=+

10148

BA ;

−−=−

4564

BA ;

−=⋅

21936

3 A

b)

−

=+638

445BA ;

−−

=−030681

BA ;

−

−=⋅

90121569

3 A

c)

−=+

832890739

BA ;

−−

−=−

610470511

BA ;

−=⋅

3631824018315

3 A

9.

−

=−217110159106

MK

10. a)

−

−=−

5,18,06,05,0116,03,16,12,13,21

12 SS

Representa el aumento (+) o disminución (-) de las ventas, en millones de dólares.


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b)

=+

5,64,86,63,56,60,64,97,74,38,43,72,6

21 SS

Representa el total de las ventas en los dos primeros años de operaciones, en millones de dólares.

11. a)

=

1768812116577132

B

b) AB ⋅= 1,1

12. a)

=+

575037344597466465

TV

b)

=

5,37392124305,67305145

V

=

403075,285,2225,31655,325,3775,43

T

=+

5,776975,495,4625,615,1325,625,8875,88

TV

13. a)

=⋅

364714

BA ;

=⋅

2352927

AB

b)

−−

−−=⋅

90213228243

BA ;

−

−=⋅

1831310131750

AB


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14. a)

−

435924855

b)

−4232

c) No existe

d)

824642

e)

−2710

817 f)

17871054321

g)

−−−

171132952314715

h) No existe i)

214711

j) No existe k)

3411161375

l)

−6214

15.

=⋅

00,754.1000,659.625,432.6

BA

El número 6.432,25 representa el valor total que el inversionista 1I posee en los cuatro tipos de acciones.



16. a)

=⋅

820.1650.1950.1

BA

b) El precio de cada uno de los bidones


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17. a) 1M 2M

=⋅

50,2005,2185,2060,2115,1840,18

BAZYX

b) El costo del arreglo Y, con el mayorista 1M

c) El costo del arreglo Z, con el mayorista 2M

d) El costo del arreglo X, con el mayorista 2M

18. a) [ ]210.13690.1690.4=⋅ AB

b) Indica el dinero recaudado en cada restaurant

19. a)

=⋅

800.26000.44800.26000.42000.18000.32

BA

b) 42.000 dólares

c) 189.600 dólares

gui an 1 mat 200

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