gu%c3%8da de examen unam

Youblogero

Esta web, ha sido creada para ayudarte a ingresar a la Facultad de Medicina de la UNAM, (UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA DE MXICO). Aqu proporcionamos una serie de recursos acadmicos que te auxiliaran a prepararte lo mejor posible. Nos enfocaremos, bsicamente, en la

informacin matemtica.

DISCLAIMER: Este documento es una propuesta, nicamente con fines didcticos. y lo que se

propone aqu es complementar tu preparacin y no de sustituirla. NO GARANTIZA NINGN

RESULTADO.

Tal vez te sorprenda, pero en algunas versiones del examen de admisin para medicina de la

UNAM, aproximadamente la mitad de los reactivos de matemticas, se enfocan, con mayor

medida, al lmite, otras versiones a la geometra analtica, y otras consideran ambos.

En este documento se contemplan diferentes temas, como lgebra, radicales, racionalizacin,

lmite en discontinuidades removibles, lmites infinitos, geometra analtica, trigonometra,

nmeros imaginarios, funcin exponencial y logartmica, derivada e integral.

Sabemos que en la educacin media superior, los temarios de matemticas cubren, hasta cierto

punto, el tema de Lmite, pero creemos que la informacin que se adquiere en ese nivel es

insuficiente para resolver cierto tipo de Lmites. Esos tpicos se desarrollarn en este documento.

Le dedicaremos un anlisis profundo sobre todo a problemas de lmites en

discontinuidades removibles que son como los del examen que presentars para

ingresar a la Facultad de Medicina.

Los dems temas del examen (Biologa, Fsica, Historia, etc.), no los vamos a desarrollar aqu,

para ello, te recomendamos que, no pases por alto los links que se hallan en la bibliografa. A

medida que se van desarrollando los temas, se hacen las observaciones de la importancia que

tienen algunos de stos en el examen. Con ello, creemos complementar tu preparacin en

matemticas con mtodos de los ejercicios ms representativos que probablemente te

enfrentars en el examen de admisin a la Facultad de Medicina.

Es muy importante que tu rendimiento en el examen de matemticas sea lo ms alto posible, i. e.

sin errores, para aumentar tu probabilidad de ser aceptado a la FACMED.

Si tienes alguna pregunta o inquietud comuncate a [email protected]

Me dara mucho gusto que viajases en mi blog http://youblogero.blogspot.mx/

y me recomiendes, en el hallars recursos en lnea de tpicos relacionados con la Medicina.

Esperamos haber contribuido en tu preparacin para que en un futuro cercano te desarrolles

como mdico. Podemos comenzar.

1.- SIGNOS DE AGRUPACIN

Una pregunta en el examen de admisin UNAM.

Los signos de agrupacin son, bsicamente, parntesis ( ), corchete y las llaves { }. Los signos

de agrupacin se emplean para indicar que las cantidades encerradas en ellos deben ser

consideradas como un todo, o sea, como una sola cantidad.

REGLA PARA SUPRIMIR SIGNOS DE AGRUPACIN

a.- Para suprimir signos de agrupacin precedidos de signos

dejando el mismo signo que tengan a cada una de las cantidades que se hallan dentro de l.

b) Para suprimir signos de agrupacin precedidos de signo se cambia el signo de cada una de las

cantidades que se hallan dentro de l.

Simplificar la expresin 3a

Cuando unos signos de agrupacin estn incluidos dentro de otros, como en este ejemplo, se

suprime uno en cada paso empezando por el ms interior.

3a

3a

3a

3a

3a

5a

www.youtube.com/watch?v=CYl_T86-RrA

2.- FACTORIZACIN DE TRINOMIOS DE LA FORMA

Una pregunta en el examen de admisin UNAM.

Que cumplen con las siguientes condiciones:

1.-El coeficiente del trmino es 1

2.- El primer trmino es una letra levada al cuadrado.

3. El segundo trmino tiene la misma letra que el primero con exponente 1, y su coeficiente es

una cantidad cualquiera positiva o negativa.

4.- El tercer trmino es independiente de la letra que aparece el primer y segundo trmino y es

una cantidad cualquiera, positivo o negativa.

RGLA PARA FACTORAR UN TRINOMIO DE LA FORMA

Ejemplo

1.- El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer trmino es x. o sea la raz

cuadrada de , es decir

En el primer binomio se pone , porque

El segundo binomio se pone porque multiplicando el signo de por el signo de

Ahora descomponemos el trmino independiente 12 en sus factores primos: 12

6 2

3 3

1

Los factores primos son 2, 2, 3, Ahora como en los binomios tenemos signos iguales buscamos

dos nmeros cuya suma sea 7 y cuyo producto sea 12.

Estos nmeros son 3 y 4, luego

Factorizar

En el primer binomio se pone porque

En el segundo binomio se pone porque multiplicanco el signo de por el signo de se

tiene que por da

Ahora como en los binomios tenemos signos distintos, se buscan do nmeros cuya diferencia sea 5

y cuyo producto sea 14

Estos nmeros son 7 y 2. El mayor 7, se escribe en el primer binomio y se tendr:

http://youblogero.blogspot.mx/

TRINOMIO DE LA FORMA a

Son 2 ejemplos en el examen UNAM, Este es un tema obligado.

Que se diferencian de los trinomios estudiados en el caso anterior en que el primer trmino,

tiene un coeficiente distinto de 1.

Factorizar 6

METODO 1

Multipliquemos el trinomio por el coeficiente de que es 6 y dejando indicado el producto de 6

por 7x (despus, se tiene que dividir por 6 para que no se altere el trinomio). tenemos:

6(6

Como 36 y 6

Descomponiendo este trinomio segn se vio el caso anterior, el primer trmino de cada factor

ser la raz cuadrada de , es decir

As

Luego

6

METODO 2 (mismo ejercicio), mtodo muy recomendado

6

Aqu vamos a multiplicar el coeficiente de por el trmino independiente, 6x3 , y el 18 lo

descomponemos en sus factores primos: 2, 3, 3. Ahora, de estos factores primos formamos dos

nmeros tal que su suma algebraica sea :

y

6

Agrupamos los trminos de acuerdo a que puedan presentar algn factor comn, por ejemplo el 9

con el 3 y 6 con el 2:

Saco factores comunes de los parntesis:

3

Esto puedo verlo como 3

EJEMPLO

Aqu vamos a multiplicar el coeficiente de por el trmino independiente, 6x2 , y el 12 lo

descomponemos en sus factores primos: 2, 2, 3. Ahora, de estos factores primos formamos dos

nmeros tal que su suma algebraica sea , (porque es el coeficiente del segundo trmino del

trinomio es .

y

Agrupamos los trminos de acuerdo a que puedan presentar algn factor comn:

EJEMPLO

Aqu vamos a multiplicar el coeficiente de por el trmino independiente, 10 , y el

20 lo descomponemos en sus factores primos: 2, 2, 5. Ahora, de estos factores primos formamos

dos nmeros tal que su suma algebraica sea , (porque es el coeficiente del segundo trmino

del trinomio es . Estos y , i. e. son 5 y

Agrupamos los trminos de acuerdo a que puedan presentar algn factor comn.

EJEMPLO

Aqu vamos a multiplicar el coeficiente de por el trmino independiente, 3 , y el

42 lo descomponemos en sus factores primos: 2, 3, 7. Ahora, de estos factores primos formamos

dos nmeros tal que su suma algebraica sea , (porque es el coeficiente del segundo trmino

del trinomio es . Estos 7 y , i. e. son y y 6

Agrupamos los trminos de acuerdo a que puedan presentar algn factor comn.

MTODO DE TANTEO

http://vega125.over-blog.es/article-guia-de-matematicas-para-el-examen-de-ingreso-a-la-

unam-parte-i-74679920.html

Otro problema relacionado con el ejemplo anterior es calcular las races a la siguiente

expresin:

Recordemos que las races de un polinomio son los valores de x para los cuales la funcin

y se hace igual a cero.

Entonces cada uno de esos factores tendr que Igualarse a cero y despejar las x:

3x , 3x , entonces x

2x 3 , 2x , entonces x

http://www.youtube.com/watch?v=aaHJAWA64A4


FRACCIONES COMPLEJAS

Las fracciones complejas es una fraccin en la que tanto el numerador como el denominador, o

ambas, son fracciones algebraicas o expresiones mixtas.

Primero debemos recordar dos reglas

a) La regla de la tortilla:

Se multiplican extremos con extremos y medios con medios.

b)

Ejemplo

A) Se efectan las operaciones indicadas en el numerador y denominador de la fraccin compleja.

B) Se divide el resultado que se obtenga en el numerador entre el resultado que se obtenga del

denominador.

Numerador:

Denominador 1

Tendremos

EJEMPLO

Las fracciones de esta forma se llaman continuas y se simplifican efectuando las operaciones

indicadas empezando de abajo hacia arriba. Tendremos:


SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

Tenemos las siguientes igualdades

Regla 1

La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores

a) La suma de sus races cbicas

b) El cuadrado de la primera raz menos el producto de las dos races, ms el cuadrado de la

segunda raz.

Regla 2

La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores

a) La resta de sus races cbicas.

b) El cuadrado de la primera raz ms el producto de las dos races, ms el cuadrado de la

segunda raz.

Ejemplos

La raz cbica de

La raz cbica de 8

Ejemplo

8

La raz cbica de 8

La raz cbica de 125

8

FACTORAR UNA SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS IMPARES IGUALES

es siempre divisible por a , siendo n cualquier nmero entero, ya sea par o impar

es divisible por a siendo n un nmero entero par

es divisible por a siendo n un nmero entero impar

nunca es divisible por a ni por a siendo n u nmero entero par.

LEYES QUE SIGUEN ESTOS COCIENTES

1) El cociente tiene tantos trminos como unidades tiene el exponente de la letras en el

dividendo.

2) El primer trmino del cociente se obtiene dividiendo el primer trmino de dividendo entre el

primer trmino del divisor y el exponente de a disminuye 1 en cada trmino.

3) El exponente de b en el segundo trmino del cociente es 1 y, este exponente aumenta 1 en

cada trmino posterior.

Cuando el divisor es a todos los signos del cociente son y cuando el divisor es a los signos

del cociente se alternan y

Factorizar

Dividiendo entre m los signos del cociente son alternativamente y

Despejando

Ejemplo

Halar el cociente de

Cuando los exponentes de divisor sean 2, 3, 4, 5 etc. suceder que el exponente de a disminuir

en cada trmino 2, 3, 4, 5 etc. La b aparece en el segundo trmino del cociente elevada a un

exponente igual al que tiene en el divisor, y este exponente en cada trmino posterior, aumentar

2, 3, 4, 5, etc . As en el este caso, tendremos:

Donde vemos que el exponente de a disminuye 2 en cada trmino y el exponente de b aumentar

2 en cada trmino. El cociente tendr trminos y el exponente del primer trmino es

10

Por ejemplo

El cociente tendr ; y exponente del primer trmino es 15


BINOMIO DE NEWTON

El r-simo trmino d la expansin es

Encontrar el quinto trmino del desarrollo

Solucin

a , b

Aplicando la expresin


Determinar el trmino de grado 9 de

Ahora, tenemos que 15 3k , entonces k

El nmero combinatorio


RADICALES

La radicacin es la operacin inversa a la potenciacin, Si una potencia es:

La radicacin es la operacin que tiene que obtener a conociendo b y n. Se expresa:

:

Se llama raz n-sima de u nmero real b a otro nmero real cuya potencia n-sima es igual a b.

Un radical puede llevar coeficiente que frmen parte de l como por ejemplo 3

. Donde 3 es

el coeficiente.

TRANSFORMACIN DE RADICALES

Teorema fundamental de la radicacin

Si se multiplica o divide el ndice de la raz y el exponente del radicando por un mismo nmero

entero, el valor aritmtico del radical no vara.

Es decir:

Este teorema permite la simplificacin de radicales, definir la potenciacin de exponentes

fraccionarios y la reduccin a ndice comn.

Simplificacin de radicales

Para simplificar un radical de divide el ndice del radical y el exponente del radicando por sus

factores comunes (por el m. c. d.).

REDUCCIN DE RADICALES A NDICE COMN

a) El ndice comn es el m. c. m. de los ndices

b) Se divide el ndice comn por cada ndice y el cociente se multiplica por el exponente del

radicando.

Reducir a ndice comn

El m. c. m. (2, 3, 4)

,

,

Una pregunta del examen sera que dados los siguientes radicales,

ordenar su

valor en forma ascendente.

Una potencia de exponente fraccionario es equivalente a un radical cuyo ndice es el

denominador del exponente y cuyo radicando es la base elevada al numerador del

exponente.

PRODUCTO DE RADICALES

a)De radicales homogneos (de igual ndice)

Sean dos radicales de igual ndice

, Se tiene que

Extrayendo la raz n.sima

Sustituyendo r y s por su valor:

El producto de radicales de igual ndice u radicales homogneos, es otro radical que tiene el

mismo ndice y por radicando el producto de los radicandos de los factores:

c) DE RADICALES NO HOMOGNEOS

Si los radicales no tienen igual ndice se reducen previamente a ndice comn.

Reducimos a ndice comn m. c. m.

Extraccin de factores fuera del signo radical

Se divide el exponente del radicando por el ndice de la raz

El cociente se escribe como exponente del factor fuera del signo radical.

El resto de la divisin se escribe como exponente del factor dentro del radical.

queda ntegro dentro del radical por tener exponente menor que el ndice.


Para introducir dentro del signo del radical un factor que multiplica a una raz, se multiplica el

exponente del factor por el ndice de la raz y se escribe el producto como exponente del factor

dentro de la raz.

7

COCIENTE DE RADICALES

Potencia de un radical

RAZ DE UN RADICAL

TRANSFORMACIN DE EXPRESIONES DE LA FORMA en suma de radicales simples.

Hagamos: m

Ejemplo

a

Ejemplo

Primero introducimos el 2 bajo el signo radical, para lo cual lo elevamos al cuadrado, tenemos_

a , b , m 3

.


RACIONALIZACIN DE DENOMINADORES

La racionalizacin de denominadores es la operacin que elimina las expresiones radicales que

puedan aparecer en los denominadores.

DENOMINADORES CON MONOMIOS

a) Con una nica raz cuadrada

Para eliminar el radical se multiplica el numerador y denominador por la raz que aparece

en el denominador.

b)

CON UNA NICA RAZ E-NSIMA

Si el exponente del radicando es m se multiplica numerador y denominador por la raz

e.sima del radicando elevado a n

Es decir

Ejemplos


b) RACIONALIZACIN DE BINOMIOS Estaremos en este caso cuando el denominador sea un binomio con radicales de ndice n. Se

pueden eliminar los radicales del denominador multiplicando numerador y denominador por

el conjugado del denominador.

PARES CONJUGADOS

Son conjugados y el producto de conjugados dar como resultado

Un nmero entero y desaparecen los radicales.

Racionalizar el denominador

ADICIN Y SUSTRACCIN DE RADICALES

Para sumar o restar radicales stos han de ser semejante. Son radicales semejantes los que

tienen el mismo ndice el mismo radicando.

Son semejantes

.

La adicin y sustraccin de radicales semejante da como resultado otro radical semejante,

cuy coeficiente se obtiene sumando o restando los coeficientes de los radicales.

EJEMPLOS DE RACIONALIZACIN

1.

.

2.-

3.-

Racionalizacin (diferencia y suma de races cbicas) http://www.youtube.com/watch?v=v8OuncL0S80

SOLUCIONARIO DEL LGEBRA DE BALDOR

http://aula.tareasplus.com/Equipo-Tareasplus/Solucionario-del-Algebra-de-Baldor

Este es el concepto de la mayor trascendencia en el

examen de la UNAM, principalmente para la carrera de Medicina. Es un concepto que

tard, por lo menos, dos mil aos en formalizarse desde Zenn hasta Cauchy, en la que

nuestra Universidad le hace un homenaje y qu mejor que sea en su examen de admisin.

Por lo menos de 8 a 10 problemas (de 22 reactivos) son de lmites en discontinuidades

removibles y uno en lmites infinitos. Es por ello que te invitamos a dedicarle todo tu

empeo en estos conceptos. Tan solo daremos la definicin de lmite brevemente.

La definicin de lmite que propone Cauchy (1821) es la siguiente:

, cuando los sucesivos valores que toma una variable se aproximan indefinidamente a un valor fijo, de manera que terminan por diferir de l en tan poco como queramos, este ltimo valor se llama el lmite de todos los dems. Para ver el tema de lmite, desde el punto de vista terico y prctico recomendamos

QU ES LA MATEMTICA? Courant, R. Robbins, H. Capitulo 6, pgina 284

http://es.slideshare.net/zergiorubio/courant-robbins-qu-es-la-matemtica

http://ocw.mit.edu/resources/res-18-005-highlights-of-calculus-spring-2010/derivatives/limits-

and-continuous-functions/


Primero, antes que todo, debemos tener presentes las siguientes igualdades:

ELIMINACION ALGEBRAICA DE DENOMINADORES IGUALES A CERO

Si el denominador presenta factores iguales a cero, eliminar los factores comunes en el numerador

y denominador, puede reducir la fraccin de manera que esta ya no sea igual a cero el , Si esto

ocurre, es posible encontrar el limite por sustitucin en la funcin simplificada. (THOMAS, p.86)

No podemos sustituir x , ya que obtendramos un denominador igual a cero. Por otro lado,

valuamos el numerador en x para ver si tambin es igual a cero. Lo es, as que tiene a

como factor comn con el denominador. Al eliminar obtenemos una fraccin ms simple

con los mismos valores que la original para x

Usando la fraccin ms simple, encontramos por sustitucin el lmite de estos valores cuando x 1

2.- Determinar

Al sustituir el valor de x =4, resulta

Nos encontramos con una indeterminacin porque no podemos dividir por 0 (

no es un nmero),

entonces podemos factorizar la ecuacin:

La divisin por ( x-4), antes del paso al lmite, es vlida, porque como se ha dicho, cuando x4

x 4, por tanto, x-4 nunca es igual a cero.(SCHAUM,p.13) http://youblogero.blogspot.mx/

3.- Determine

El denominador es 0 cuando x en l dnominador tambin obtenemos 0,

por lo que el cociente toma una forma carente de significado en x . Cuando esto sucede

debemos buscar alguna simplificacin algebraica, como la factorizacin. (PURCELL, p. 70).

La ltima igualdad se justifica para toda x, excepto para x


4.- RESOLVER

Evaluando para u

la cual es una indeterminacin, no es un nmero.

Entonces factorizamos


5. CALCULAR

Evaluando


6.- RESOLVER (STEWART)

EVALUANDO PARA x


7.- RESOLVER

Evaluando


8.- CALCULAR

Evaluando


9.- RESOLVER

Evaluando


10.- Encuentre el lmite (LARSON p. 62)

1

Para todos los valores de x distintos de x


11.- Encontrar el lmite

Evaluando

MUY IMPORTANTE:

LOS EJERCICIOS QUE INCLUYEN RADICALES LOS PODEMOS RESOLVER, BSICAMENTE, POR DOS

MTODOS: UNO ES POR RACIONALIZACIN Y EL OTRO ES POR CAMBIO DE VARIABLE. PERO

COMO EN EL EXAMEN SOLO DISPONES DE UNO O DOS MINUTOS POR REACTIVO, TE

RECOMIENDO EL MTODO DE CAMBIO DE VARIABLE, PORQUE ES RPIDO, SEGURO Y MUY

DIVERTIDO.

a) POR RACIONALIZACIN

b) POR CAMBIO DE VARIABLE

A la x del numerador la podemos ver como

, y a la la podemos ver como

.

Entonces el Mnimo comn Mltiplo entre 2 y 1 (los denominadores de los exponentes) es

2, porque el 2 contiene tanto al 1 como al 2, sin dejar residuo.

Hacemos el cambio de variable:

Sea

x

:

x

Sustituimos el x del lmite en esta ultima ecuacin y obtenemos: 4 ,y despejando

la z obtenemos:

Y sustituimos a z en la ecuacin:


12.- CALCULAR (STEWART, P21)

a) POR RACIONALIZACIN

b) POR CAMBIO DE VARIABLE

Como

,

En m. c. m es 2, entonces x , Sustituimos x ,

Por tanto el .

Sustituimos:


13.- Poursell

EVALUANDO

es una indeterminacin.


DEMIDOWICH

Hacemos cambio de variable:

Sea x , adems cuando x1, sustituir

Luego tenemos


15.- Ejemplo

(ndices de las races), el m. c. m. (2,3 , x tenemos 64

, y


16.- Ejemplo

Los ndices de las races 3 y 4; m. c. m. (3,4) , Entonces x ,

, y


17.- Ejemplo

Sea x entonces

cuando x 8, y luego

tenemos:


18.- Ejemplo

Los ndices de las races son 2,3, por tanto m. c. m. (2,3)=6, entonces x ,

tenemos

As

, y


TEMA: Si tiende a un valor constante como lmite cuando , entonces escribimos:

Estos lmites particulares son tiles para hallar el lmite del cociente de dos polinomios cuando la

variable se hace infinita: (por lo menos vendr un problema de este tipo en el examen)

Ejemplo

Sea el

Divdase cada uno de los trminos del numerador y el denominador por

que es la mayor potencia de x que entra en la fraccin, y aplicar el limite

cuando a cada trmino, tenemos:

Recomendamos ver video:

http://www.youtube.com/watch?v=DTKfLb4BUlg

http://www.tareasplus.com/


FUNCIN

Definicin.- lo importante de una funcin f es que el nmero f est determinado para todo

nmero x de su dominio, y que para todo corte vertical sobre la funcin, solo se corte

exclusivamente en un solo punto. Pregunta del examen de admisin a UNAM:

Cul de las siguientes no es una funcin? y= sen x, y=log , y= y= , y= arc tan x.

La respuesta es y= .

NUMEROS IMAGINARIOS

Sea

Debemos de entender (o memorizar) la siguiente tabla:

Observemos que

Entonces

Pregunta (tipo) examen UNAM:

Primero, debemos dividir el exponente por 4 y obtener el residuo de la divisin:

Residuo 1; por la propiedades

, tenemos:

EJEMPLO 2



, tenemos:

EJEMPLO 3



, tenemos:

http://www.youtube.com/watch?v=1yZQYg_na9U


EXPONENCIAL Y LOGARITMO

Decimos que 1000 , el nmero 10 es la base, el 3 es el exponente o logaritmo.

Entonces podemos escribir: v

Ejemplos

3

4

Problemas

Encontrar , entonces v

.

Encontrar , entonces u

PROPIEDADES DEL LOGARITMO:

Si e 2,718281828459, base natural

CONVERSIN DE FUNCIN EXPONENCIAL DE CUALQUIER BASE A FUNCIN EXPONENCIAL DE BASE

NATURAL:

Ejemplo

Sea convertir a base natural

A

CONVERSIN DE FUNCIN LOGARITMO DE CUALQUIER BASE A FUNCIN LOGARITMO DE BASE

NATURAL:

Ejemplo

Convertir a natural

A , b , c


1.- Resolver la ecuacin

Tomando logaritmos a ambos lados de la ecuacin:

PROPIEDAD

Despejando:


2.- Encuntrese x, si

Tomando a ambos lados logaritmo base 10

Por la propiedad

Despejando

PROPIEDAD

http://ocw.mit.edu/resources/res-18-005-highlights-of-calculus-spring-

2010/highlights_of_calculus/the-exponential-function/


GEOMETRA ANALTICA

Sea A

RESUMEN:

A

A

A

A

A


1.- Hallar la naturaleza de las cnicas siguientes (teniendo en cuenta el valor del discriminante

La siguiente tabla es importante memorizarla/entenderla, porque son varias las preguntas de su

contenido en el examen de la UNAM.

PARBOLA ELIPSE HIPRBOLA

Excentricidad e e


Ejercicios

a) 3

A , B , C

, Hiprbola

b)

A , B , C

c)

A , B , C

d) 2 Circunferencia

Los coeficientes de .


CIRCUNFERENCIA

La ecuacin general del la circunferencia es

Con centro , y radio r.

Sea A

Centro

Radio, r

Ejemplo

Hallar las coordenadas del centro y radio de la circunferencia de

(Nota: observe que los coeficientes de )

b) Aplicando la frmula

a) Reagrupar los trminos y sumar y restar

en cada parntesis,

Para b 3,

Para , b 5,

Estos son trinomios cuadrados perfectos

, Centro

, con radio

.

Como

Es la ecuacin original, D F

B) Centro

Radio, r

.


LA PARBOLA

Sea la funcin cuadrtica

, a

Con vrtice

Ejemplo

Sea la funcin y hallar el vrtice.

a

Aplicando

2.- Dada la parbola que tiene ecuacin

y

Determine el vrtice, una ecuacin del eje, el foco y los extremos del lado recto.

4y

4y

Si se completa el cuadrado sumando a cada lado

a cada miembro

resulta.

Esta ecuacin es de la forma

Como h su grfica es una parbola con vrtice .

Como y

Con la frmula:

La grfica es de eje vertical, como p

Adems el foco es el punto del eje a 1 unidad debajo del vrtice, est en . LR 4p |


ELIPSE

a

Los vrtices estn en V

Para los focos

Focos

Lado recto

Excentricidad e

3.- Demuestre que la grfica de la ecuacin es una elipse

25

25

25

Ahora completando al cuadrado cada parntesis sumando y restando

25

25


con a ,

Donde el centro es . La distancia entre los vrtices es 2

Eje principal tiene la ecuacin x , los vrtices estn en V y

V .

Para determinar los focos

Los focos estn F F

Hiprbola


con a

Donde el centro es .

Los vrtices estn en V

Para los focos

Focos

Lado recto

Asntotas y

Excentricidad e

EJEMPLO

Anlisis de la ecuacin 9

Ordenar trminos y agrupar: 9

(9 )

9( 6x )

Si se completa el cuadrado sumando a cada lado

9( 6x )

9

Por tanto, la hiprbola tiene centro en C(3, ), con vrtices y focos en el eje horizontal

y

Tambin sabemos que

Por tanto a

Los vrtices son (3 ), es decir, (5 ), (1 ).

Los puntos extremos del eje conjugado son (3 ), es decir (3 ), (3 ),

Los focos son (3 )

Las ecuaciones de las asntotas son: y

GEOMETRA ANALTICA

http://aula.tareasplus.com/Juan-Jose-Ortiz/Geometria-Analitica


TRIGONOMETRA

Se define un radin como la medida del ngulo central subtendido por un arco cuya

longitud es igual a la del radio de la circunferencia.

La longitud de la circunferencia subtiende un ngulo 360 , Entonces,

2

1 radin

1

Donde

1.- Ejemplo. Pregunta (tipo) examen UNAM:

2.-

3.- 42

.

4.-

5.-

.

EJEMPLO

EJEMPLO

LEY DE LOS SENOS

EJEMPLO

LEY DE LOS COSENOS

TRIGONOMETRA PLANA http://aula.tareasplus.com/Roberto-Cuartas/TRIGONOMETRIA-PLANA


)()( xgxfy )().()().( xgxfxgxfy

LA DERIVADA DE UN PRODUCTO DE FUNCIONES es igual a la derivada de la

primera funcin por la segunda funcin mas la primera funcin por la derivada de la

segunda funcin

Ejercicio n 30) Solucin:



Ejercicio n 33)


Habr en el examen una derivada de un producto de dos polinomios, y de opciones, lo ms

probable es que, pregunten un paso intermedio de la derivacin.

CLCULO DIFERENCIAL

http://aula.tareasplus.com/Roberto-Cuartas/Calculo-Diferencial

http://ocw.mit.edu/resources/res-18-005-highlights-of-calculus-spring-2010/derivatives/


INTEGRALES

REGLA DE BARROW

SI es continua en el intervalo cerrado y es la primitiva o integral indefinida de

se verifica

Ejemplo

Hacemos un cambio de variable: sea , evaluamos los lmites de integracin y tenemos que

, , estos sern los nuevos lmites de integracin. Ahora, como

derivamos ambos lados . Aqu despejamos dx

, sustituimos en la

integral. e integramos

NOTA: Tcnicamente no es vlido despejar dx, pero aqu lo hacemos con fines didcticos.

Ejemplo

Hacemos un cambio de variable: sea , evaluamos los lmites de integracin y tenemos

que , estos sern los nuevos lmites de integracin. Ahora,

como

Derivar ambos lados . Aqu despejamos dx

, sustituimos en la integral

e integramos

Ejemplo

Hacemos un cambio de variable: sea aluamos los lmites de integracin y tenemos

que , estos sern los nuevos lmites de integracin. Ahora,

como

derivamos ambos lados . Aqu despejamos dx

, sustituimos en la

integral

En el examen vendr por lo menos una integral definida, te recomendamos los videos.

http://www.youtube.com/watch?v=NXtNSiUXSfI

CLCULO INTEGRAL

http://aula.tareasplus.com/Roberto-Cuartas/CALCULO-INTEGRAL


A continuacin proporcionamos los links de las guas comerciales ms populares, la

mayora estn en MEDIAFIRE, y MEGA, (este ltimo pide salir de CHROME): VER

TUTORIALES DE DESCARGA

GUA CONAMAT

http://www.mediafire.com/download/1wi8fcxmy6whtx3/GUIAUNAMCONAMAT.rar

https://mega.co.nz/#!dg1jFbAQ!RTBK5LaEMoaO6MNxU2hgvBAeyYBWAsCYuFA5yNzrdLQ

Guia-Pearson-Conamat-UNAM

https://mega.co.nz/#!0INySTpR!eCPkoPAcFowo8aKISUSgLKgBd8VHv3V7XwL_ncqUFrw

Guia.practica.para.el.examen.de.ingreso.a.la.universidad

http://www16.zippyshare.com/v/98730838/file.html

CIPRO 2013

https://www.mediafire.com/folder/2ss4q2s44896y/CIPRO_2013

https://mega.co.nz/#F!EEFkTBIT!8eqV27RJetR4YwtUi05H0w

CIPRO 2012

https://www.mediafire.com/folder/j9i38th5akgax/CIPRO_2012

https://mega.co.nz/#F!AI0ynCJC!6vkej3aj_sSplffPPeB-RA

CIPRO Alejandro Guillot

https://www.mediafire.com/folder/u2l0ku6mkkdug/CIPRO_Alejandro_Guillot

https://mega.co.nz/#F!sQ11FZ5C!OPOqHdp3vi8RGwGm5noNkg

Guia de preparacion IPN 2011-2012

https://www.mediafire.com/folder/w6r7njpm75q64/Guia_de_preparacion_IPN_2011-2012

https://mega.co.nz/#F!0c0gQD5Q!so9uPVWMGvhvYhAoPlkCoA

La mejor guia gratuita

https://www.mediafire.com/folder/oau74jvzhqwv7/La_mejor_guia_gratuita

https://mega.co.nz/#F!8JFAWZgT!BDkPUrWvXEa3-4ebWW4wQg

AREA-1--FISICO-MATEMATICAS-PROPUESTA-XXI

http://www.mediafire.com/view/3z0tep15fyr4436/AREA-1--FISICO-MATEMATICAS-

PROPUESTA-XXI.pdf

https://mega.co.nz/#!cVMzzQyS!jiUW68kgKQTcWfLlRB9ZFjNOu0EcHpRTUS5qtyzEMyI

AREA-2--CIENCIAS-MEDICO-BIOLOGICAS-PROPUESTA-XXI.

http://www.mediafire.com/view/q4bedjf3xxn3g79/AREA-2--CIENCIAS-MEDICO-BIOLOGICAS-

PROPUESTA-XXI.pdf

https://mega.co.nz/#!ZVlDkDAQ!8fB2KxxCLrJy-0PiDMYHdeaq0f3TD9bjDBosZtrSPK4

AREA-3--CIENCIAS-SOCIALES-PROPUESTA-XXI

http://www.mediafire.com/view/55reld3vla71m7n/AREA-3--CIENCIAS-SOCIALES-

PROPUESTA-XXI.pdf

https://mega.co.nz/#!RFlT2J6T!5bSPA_gWcAQFGWpw3OUyHohmSAvLVH0kx46hiIHUG-A

AREA-4-PROPUESTA-XXI

http://www.mediafire.com/view/o8697e5e5tj8mt3/AREA-4-PROPUESTA-XXI.pdf

https://mega.co.nz/#!UZs3FIiI!4XQki6hOIKxxsAzjeIUSWEuZ0X3MJ-ZkRKxz4h_Hdwc

BIOLOGA

https://mega.co.nz/#!1YsiwD4L!dOilFr0-pU3MAJXcubmbbIrmTmvinHhd3cYJUdSc3N4

Biologa2013

https://mega.co.nz/#!FRMynaZL!zdSfuMVzkB9v8r0ZNAVCLdmrQu2BRXVEBOy-WhDJd_s

ESPAOL

https://mega.co.nz/#!RJV0UCSJ!vGJzn3gfpOAR59Lx7EWzFZB3HGb8RAaRWu7Gae2NppY

Examen muestra IPN-Hojas para responder

https://mega.co.nz/#!YUM3CACT!-VSffDJqHoKUO7aewZY1lDtIlCi4SkNaVURiGqKL4Mk

Examen muestra IPN-Respuestas para autoevaluacin

http://www.mediafire.com/view/khga0dba2oludsc/Examen_muestra_IPN-

Respuestas_para_autoevaluacin.pdf

https://mega.co.nz/#!ZMtUyILT!b9_mV14qWKajcu5h-jTnHm7Xc0jK0SKFWaxFJoLXQLA

FILOSOFA

https://mega.co.nz/#!YV0jDBia!rhH64_8e0bqXY1-_8ID0eMPNOi0vpo_hUqTqXmVrp6k

FSICA

https://mega.co.nz/#!xdEQjLLB!nLDn4VQBDsMuIiJO3moXukgpCBEeSr7z_uKxiw1D3FE

Fsica2013

https://mega.co.nz/#!gEkVnaDD!dOWEAFrNDhJaQIgk-yVH6M9fjHrcqfDLLwEsZZScqOI

GEOGRAFA

https://mega.co.nz/#!gQNCDK5Q!HGdk359GtXwfzC35Bb2prsGMWS7TM1wJePOYLf9qmd4

HISTORIA DE MXICO

https://mega.co.nz/#!VE0QlTrB!CfIWFS3TfFZSLfnSkt6btJdPT5lyBSAUvVhg2jFjSlA

HISTORIA UNIVERSAL

https://mega.co.nz/#!sNcwFIQa!ixyscQLFCEjumiUigewP_IbPs1IGJ7b7uGEL8UN1Ig0

Historia Universal2013

https://mega.co.nz/#!NM1DCYiC!RRfSuepnvGVLi9CnnQiBR2_ZF5-2h0Y32hcRrBd5vKk

LITERATURA

https://mega.co.nz/#!NA8liKYa!8zVUIqkh30ss2QmLF1p5Mr3DONEtnMMfH6IGbiQbCIQ

PREGUNTAS EXAMEN MUESTRA IPN

https://mega.co.nz/#!5AFyQYhZ!Yz0ZZKy4f9OQLe28k8ahAPa-0EB-dhRfhVhjXxhoyYg

Examen muestra

http://cursomate.blogspot.mx/2011/01/examen-muestra-unam.html

Examen muestra 2013 rea de las Ciencias Biolgicas, Qumicas y de la Salud

http://www.mediafire.com/view/r0jssw50n3py95h/Examen_muestra_2013_%C3%81rea_de_las_

Ciencias_Biol%C3%B3gicas%2C_Qu%C3%ADmicas_y_de_la_Salud.pdf

Examen muestra 2012 rea de las Ciencias Fsico Matemticas y de las Ingenieras

http://www.mediafire.com/view/n0ytcwmrquipu4b/Exa_mue_2012_Cien_F%C3%ADs_Mate_e_In

ge(1).pdf


http://www.mediafire.com/view/bjt2cx3vblprgnr/Exa_mue_2011_Cien_F%C3%ADs_Mate_e_Inge

.pdf

Examen muestra 2011 rea de las Humanidades y de las Artes

http://www.mediafire.com/view/4trs1wnmy8jhaa8/Exa_mue_2011_%C3%81rea_Hum_y_Artes.p

df


http://www.mediafire.com/view/w64shnanaj90py4/Exa_mue_2010_Cien_F%C3%ADs_Mate_e_In

ge.pdf

Examen muestra 2010 rea de las Ciencias Biolgicas y de la Salud

http://www.mediafire.com/view/ab4jw2cln5c98vc/Exa_mue_2010_%C3%81rea_Ciencias_Biol%C

3%B3_y_Sa.pdf

Examen muestra 2010 rea de las Ciencias Sociales

http://www.mediafire.com/view/6fdaql2so5lxawa/Exa_mue_2010_%C3%81rea_Cie_Soci.pdf

Examen muestra 2010 rea de las Humanidades y de las Artes

http://www.mediafire.com/view/bjrtyf24516uyez/Exa_mue_2010_%C3%81rea_Hum_y_Art.pdf

Examen muestra 2008 rea de las Ciencias Sociales

http://www.mediafire.com/view/f4b6irk7hj9cey5/Exa_mue_2008_%C3%81rea_de_las_Ciencias_S

ociales.pdf

Examen muestra 2006 rea de las Ciencias Biolgicas y de la Salud

http://www.mediafire.com/view/2x6z4hob8laducq/Exa_mue_2006_%C3%81rea_Cie_Biol%C3%B3

_y_Salud.pdf

temario

https://servicios.dgae.unam.mx/guias_2012/matematicas/temas_fundamentales.pdf

examen

https://servicios.dgae.unam.mx/guias_2012/matematicas/examen_muestra.pdf

Regla de Cramer, aplicando el mtodo de Sarrus para sistemas de ecuaciones lineales. El

siguiente link te ayudar con el tema:

http://www.youtube.com/watch?v=wQNaEAM5D8A

LINKS

LGEBRA ELEMENTAL

http://aula.tareasplus.com/Roberto-Cuartas/Algebra-Elemental

SOLUCIONARIO DEL LGEBRA DE BALDOR

http://aula.tareasplus.com/Equipo-Tareasplus/Solucionario-del-Algebra-de-Baldor

Para ver el tema de lmite, desde el punto de vista terico y prctico recomendamos

QU ES LA MATEMTICA? Courant, R. Robbins, H. Capitulo 6, pgina 284

http://es.slideshare.net/zergiorubio/courant-robbins-qu-es-la-matemtica

GEOMETRA ANALTICA

http://aula.tareasplus.com/Juan-Jose-Ortiz/Geometria-Analitica

TRIGONOMETRA PLANA

http://aula.tareasplus.com/Roberto-Cuartas/TRIGONOMETRIA-PLANA

CLCULO DIFERENCIAL

http://aula.tareasplus.com/Roberto-Cuartas/Calculo-Diferencial

MASSACHUSETTS INSTITUTE OF TECHNOLOGY, DERIVATIVES (12 VIDEOS)

http://ocw.mit.edu/resources/res-18-005-highlights-of-calculus-spring-2010/derivatives/

CLCULO INTEGRAL

http://aula.tareasplus.com/Roberto-Cuartas/CALCULO-INTEGRAL

BIBLIOGRAFA

Clculo Diferencial e Integral [Granville]

http://mediafire.com/?6iad1jzja97wq4j

EN INGLES

http://www.freebookcentre.net/

Lecture Notes in Calculus

http://www.ma.huji.ac.il/~razk/iWeb/My_Site/Teaching_files/Calcu

lus.pdf

solucionario calculo integral granville.

http://4shared.com/file/6aoLO_6R/

solucionario analisis matematico aposto

http://4shared.com/file/XME9hFOS/

Analisis.Matematico.2da.Ed.-.Tom.Apostol

http://depositfiles.com/files/edr2dsw81

solutions to t m apostol, calculus, vol 1

http://4shared.com/file/O8T7DxZ1/

Calculo Tom Apostol Vol 1

http://mediafire.com/?aiz2h71ccwd7sy7

Calculo Vol 2, de Tom Apostol

http://mediafire.com/?7195z6d8905ku00

Calculo, Una Variable George B Thomas Jr

http://adf.ly/2119038/http://depositfiles.com/files/91x7v3s2r

Integral and Differential Calculus: An Intuitive Approach Hans Sagan

http://es.bookos.org/book/1051571/76e30d

Advanced Calculus: A Differential Forms Approach Harold M. Edwards

http://es.bookos.org/book/659870/29e59d

Elementary Analysis: The Theory of Calculu Kenneth A. Ross

http://es.bookos.org/book/829421/4156a5

Preclculo (Matemticas para el Clculo)-Stewart-5a ed

http://mediafire.com/?2tojy3wh3ym

Precalculo - Demana 7ma Edicin

http://depositfiles.com/files/41oiiyeim

LIB Precalculo - Zill, Dewar - 4ed

http://mega.co.nz/#!4AVzAIjK!cowR6ltAs4nwpzpwKm-

HAiLQhywLlQ-Xh5Q4UwOJuRg

Swokowski Earl - Algebra Y Trigonometria ConGeometria

Analitica (11ed)

http://mediafire.com/?m6z2g007q134ue6

Algebra de Baldor y solucionario

http://mediafire.com/?18rv1igv3trrky1

Algebra y Trigonometria - Zill

http://mediafire.com/?9o50ry6xnzw0yql

Geometria y Trigonometria - Baldor

http://mega.co.nz/#!eF1WRTYB!dqDeQhtHeEk7ovw8cJon5EuH2

59IfGQmXqsFUVk3-Fw

1001_algebra_y_trigonometria

http://depositfiles.com/files/4miv0eeca

Geometria y Trigonometria CONAMAT

http://mega.co.nz/#!gB8jXBJR!ecqrSrsBCohLAQK1mz76VASW-

xXsXQnLXB8Ze5n4ubI

Schaum Geometra Analtica

http://mediafire.com/?u3cxvllhnh3aqy9

Geometria Analitica - Charles H. Lehmann

http://mediafire.com/?ul2374afc5a2bbs

Geometria_Analitica-Kindle

http://mediafire.com/?9jmp9rgp29quqww

Zegarra Clculo, Algebra y Trigonometra

http://mediafire.com/?ij2m5s1nlxw

precalculo haeussler

http://mega.co.nz/#!PFlDACpA!T4OwbjpLIcPRKchQNX8nV3lgjg

0Pdii5rUHm-xazB9o

Calculo con Geometria Analitica_Dennis Zill

http://depositfiles.com/files/1cv48q41p

Calculo Purcell 9na Edicion

http://mediafire.com/?d1s5t52ls6ah27p

Clculo-Purcell-9-Solucionario

http://mediafire.com/?gz3u67z1prk0q1y

http://librosdeingenieriagratis.com

Geometra Analtica por Fuller y Tarwater

http://freakshare.com/files/q74dntdl/Geometria-Analitica---

www.librosdeingenieriagratis.com.rar.html

SOLUCION Calculo I Larson Octava ED

http://mediafire.com/?w1ocg1a9er43jak

Calculo I Larson Octava Ed

http://mediafire.com/?jvz40ypekin7kun

SOLUCIONARIO ALGEBRA MANCIL TOMO 1 Y 2

http://mediafire.com/?cjubl5fmnc2l4kw

ALGEBRA DE MANCIL I

http://mediafire.com/?rq4j5zwddzm

ALGEBRA DE Mancil II

http://mediafire.com/?w8p7n22b1207oon

calculo vol 1, 11va ed - Thomas

http://mega.co.nz/#!FVQWFKrY!UvMojBAmxOUL88rxTySndx_kTYAJljetZuetz2PdNi4

calculo vol 2, 11va ed - Thomas

http://mega.co.nz/#!xV4ymCLJ!GCyTPmaef7zDO3-ZLjNYmR-VuL5NJ7xIjjQjylt8E4I

Introduccin al clculo y al anlisis matemticoVol. II Courant

http://4shared.com/file/evYBQ8T_/

Introduccin al clculo y al anlisis matemticoVol. I Courant

http://4shared.com/file/m7VX9AtK/

Clculo Integral-Puig Adam

http://4shared.com/file/Pk5rF8Qf/

Calculo diferencial e integral - Schaum

http://mega.co.nz/#!TEc1VIKR!Id8SrBCGITkNbXLjhevARCDyh9tlVXyzP3XwZtD4_b8

Piskunov - Clculo diferencial e integral Tomo 1

http://mediafire.com/?79i5wp2pki5qm5a

Piskunov - Clculo diferencial e integral Tomo 2

http://mediafire.com/?tmfyzn64786u3yz

Solucionario Demidovich Tomo I: Anlisis Matemtico I

http://www.freelibros.com/solucionario/solucionario-demidovich-tomo-i-analisis-matematico-

i.html

http://depositfiles.org/files/bq1b273dv

Demidovich

http://mediafire.com/?47fhhesnmkqse7u

Solucionario Demidovich Tomo II: Anlisis Matemtico II

http://www.freelibros.com/solucionario/solucionario-demidovich-tomo-ii-analisis-matematico-

ii.html

http://freakshare.com/files/c3udhciq/Solu.Demidovich.Tomo.II-ByPriale.rar.html

Calculo infinitesimal Michael Spivak

http://mediafire.com/?357luyymmyxcqu0

Clculo - James Stewart

http://hotfile.com/dl/146949546/8b6e41c/C%C3%A1lculo%2

0-%20James%20Stewart.pdf

solucionario del clculo de stewart 5 edicin

http://4shared.com/file/Xvaj1pQ1/

Clculo de Varias Variables - James Stewart

http://mega.co.nz/#!1xkUjbIA!aFSKzVDhbaEj_UtlfwssNwZ9pW

ZQiEbeJ3Bhz2ly5Do

Desigualdades-Stewart

http://mediafire.com/?y4iavu9g6ovjvch

CLCULO INTEGRAL EJERCICIOS RESUELTOS PASO A PASO

http://4shared.com/file/PRD6WGBd/

Calculo Una Variable - Thomas & Finney

http://mediafire.com/?ajvt8qmli9m8q6a

CLCULO INTEGRAL EJERCICIOS RESUELTOS PASO A PASO

http://4shared.com/file/PRD6WGBd/

Calculo vectorial.Adisson-wesley

http://mediafire.com/?952io09kav6dy9y

Calculo diferencial e integral - frank ayres

http://mediafire.com/?en00jyzddiq

Calculo vol 2 - Larson, Hostetler, Edwards

http://mediafire.com/?2cfcustdx1lb3z4

Calculo Vol.1 - Larson - Hostetler

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Calculo vectorial.Adisson-wesley

http://mediafire.com/?952io09kav6dy9y

Problemario de clculo vectorial

http://mega.co.nz/#!mAhW3YTK!SYp8ww3FVvQCT9SFJQL591zZBh9kMxpMG7oDD10O3Y4

Calculo Vectorial 5ed [Marsden y Tromba]

http://mega.co.nz/#!H9ZjlYoZ!L6TkinGj4B6hIels-GEJtn5LbMkSOpMFqYKoVcpb3CM

calculo_vectorial_fourier_residuos

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Calculo Vectorial. Claudio Pita Ruiz

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analisis matematico hasser

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Solucionario de Analisis Matematico II - Eduardo Espinoza Ramos

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Kudriavtsev - Curso de anlisis matemtico

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Introduccion al Analisis Matematico - A. Venero B.

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Analisis Matematico (Calculo1) - Rabuffetti

http://mediafire.com/?s88g3ajkb31fp00

Variable Compleja y Aplicaciones-Churchill-5 ed

http://mediafire.com/?6hob75svhhw5gm5

Variable Compleja y sus Aplicaciones - 7ma Edicion - Churchill -

SOLUCIONARIO

http://mediafire.com/?m29g220w8sjx83n

Variable_Compleja-Murray_Spiegel

http://mediafire.com/?qp90ssv0c8ce69j

Series de fourier y problemas de contorno - Churchill

http://mediafire.com/?tn184auplj2957c

variable compleja serie schaum

http://mediafire.com/?1q6kvl6zni3301d

Funciones de Variable Compleja con Aplicacin a la teora de

Nmeros, de Carlos Ivorra Castillo.

BUSCADORES GENERALES

http://www.filecrop.com/

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http://www.daleya.com/

http://www.taringa.net/

http://bookza.org/

Hasta aqu, hemos propuesto un conjunto de recursos acadmicos que

complementan tu preparacin para presentar el examen de admisin de

la UNAM. Para la carrera de Medicina, al da de hoy, se necesitan 109 aciertos de 120 reactivos. Tu rendimiento deber ser excelente, 22

aciertos de 22 reactivos para el examen de matemticas. Hemos

proporcionado infraestructura acadmica, bibliografa mnima en

matemticas, guas comerciales y exmenes muestra.

El lmite es uno de los conceptos no slo de la mayor importancia para las matemticas,

sino de la vida. Es por ello que te invitamos a dedicarle todo tu empeo en esta

propiedad. Los ejercicios que proponemos de lmites son ejemplos prototipos muy

semejantes a los problemas que te enfrentars en el examen de admisin, debes de

estudiarlos, copiarlos y recopiarlos hasta la saciedad. Recuerda que este concepto no es

uno ms en el examen, es el principal de todo el examen de la UNAM.

Espero que ingreses a nuestra Universidad Nacional Autnoma de Mxico a cualquiera de

sus carreras Medico-Biolgicas, Fsico-Matemticas, Ciencias Sociales, Humanidades y

Artes. La UNAM acepta a un aspirante de cada cien, nunca habr espacio para todos.

Estoy de acuerdo en que el pase reglamentado (pase automtico) debe de eliminarse,

cada lugar debe competirse y ganarse, como todo en la vida. Nuestra Universidad debe

reflexionar y decidir lo mejor para su futuro. No me queda ms que despedirme. Un fuerte

abrazo. Te recuerdo que te comuniques a [email protected] para cualquiera impresin o

comentario.

JUAN JOS SNCHEZ PRECIADO

gu%c3%8da de examen unam

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