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Guías de problemas de Astrofísica

6 de diciembre de 2018

Los resueltos de

ALFNo h

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a Willy!

Sobre estos apuntes Estos apuntes/resueltos que usted está viendo fueron creados por un alumno mientras cursaba lamateria. Es por ello que podrían haber errores de tipeo, errores conceptuales, de interpretación en los resultados, etc. Useestos apuntes con precaución. Estos apuntes no son oficiales de ninguna cátedra. Lea atentamente el prospecto. En caso denotar algún efecto adverso suspenda inmediatamente su uso y consulte con su profesor de cabecera.

El alumno autor de estos apuntes cursó la materia durante el segundo cuatrimestre de 2018, este link conduce a lapágina oficial del curso.

Encontrá más resueltos de Alf en este link.

Box 1 - ¿Cómo se hacen estos apuntes?

Estos apuntes están hechos usando un programa llamado Lyxa. Para hacer los dibujos se usó Inkscape y después seinsertó las imágenes en formato svgb directamente en Lyx.En este repositorio de GitHub se encuentra la plantilla (template) que Alf usa actualmente, con todo lo necesariopara compilarla y empezar a divertirse.

aLyx es una interfaz gráfica para Latex que hace que la escritura se vuelva extremadamente fluida y veloz (al punto de podersetomar apuntes en vivo durante una clase).

bsvg es el formato nativo de Inkscape.

1

https://losresueltosdealf.wordpress.com/

http://materias.df.uba.ar/astrofa2018c2/


https://www.lyx.org/

https://inkscape.org/es/

https://github.com/SengerM/lyx

ÍNDICE ÍNDICE

ÍndiceGuía 1 - El Universo 4

Problema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Problema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Problema 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Problema 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Problema 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Problema 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Problema 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Problema 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Problema 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Problema 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Problema 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Problema 19 FALTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Problema 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Guía 2 - Fluidos clásicos 9Problema 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Ítem b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Ítem c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Problema 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Ítem a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Problema 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Problema 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Problema 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Ítem a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Ítem b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Problema 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Ítem a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Ítem b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Guía 3 - Relatividad 15Problema 2 (No entiendo enunciado) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Ítem a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Problema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Ítem a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Ítem b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Problema 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Ítem a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Problema 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Ítem a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Problema 6 (averiguar si esto está bien) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Problema 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Guía 4 - Atmósferas estelares 19Problema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Ítem a (falta una cosa!) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Ítem c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Problema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Ítem a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Problema 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Ítem a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Problema 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Ítem a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Problema 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Ítem a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Ítem b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Ítem c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Problema 9 FALTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

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←click me!2 Si ves un error, avisale a Alf , 201812062058 CC0


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ÍNDICE ÍNDICE

Guía 5 - Medio interestelar 24Problema 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Problema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Ítem a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Ítem b PREGUNTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Guía 6 - Estructura y evolución estelar 27Problema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Ítem b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Problema 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Problema 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Ítem a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Ítem b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Ítem c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Guía 7 - Campos magnéticos 30Problema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Ítem a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Problema 3 - MHD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Ítem b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Problema 4 - Reconexión de Sweet-Parker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Ítem a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Ítem b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Problema 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Ítem a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Ítem b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Guía 8 - Galaxias 36Problema 1 (LSR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Problema 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Problema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Ítem a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Ítem b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Guía 9 - Cosmología 40Problema 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Ítem a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Ítem b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Ítem c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Ítem d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Ítem e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Ítem f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Ítem g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Formulas 44

PREGUNTAS1. PREGUNTA 1 - Escala hidrodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272. PREGUNTA 2 - Energía potencial gravitatoria? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293. PREGUNTA 3 - Qué es el teorema del virial? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

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GUÍA 1 - EL UNIVERSO

Guía 1 - El UniversoProblema 1

Los portadores de información que se me ocurren son los siguientes:

Radiación electromagnética. Esto abarca todas las partes del espectro: radio, micro ondas, infrarojo, visible, ultravioleta,rayos X y rayos γ.

Rayos cósmicos. Distintos tipos de partículas que provienen del espacio, por ejemplo protones, neutrinos, etc.

Radiación gravitatoria. Esto es lo más reciente, la primera onda gravitatoria se midió en 2015 en LIGO.

Problema 3La radiación de cuerpo negro tiene una densidad espectral dada por la ley de Planck que es

I =

2hν3

c21

exp(hνkT

)− 1

→ En términos de ν

2hc2

λ51

exp(hcλkT − 1

) → En términos de λ

Para saber en qué zona del espectro se encuentra la mayor radiación simplemente hay que calcular el máximo de esto. Esdecir, derivar e igualar a cero. El problema es que queda una ecuación trascendente

λ0 = ch

5kT1

1− exp(− chλ0kT

)No se me ocurre forma no-numérica de resolver este problema.

Problema 4La frecuencia máxima es

νmax = 1,6× 10−19 C× 1× 10−8 T4π × 9,3× 10−31 kg × 3× 108 m s−1

(1,6× 10−10 J

9,3× 10−31 kg × (3× 108 m s−1)2

)= 1,6 Hz

Este valor de frecuencia está en el espectro ELF (extremely low frequency). Para detectar frecuencias tan bajas se utilizaninstalaciones especiales, por ejemplo la siguiente ground dipole antenna

La Nebulosa del Cangrejo de ve así:

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https://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Planck

https://en.wikipedia.org/wiki/Extremely_low_frequency




Problema 5 GUÍA 1 - EL UNIVERSO

La imagen la tomé de este link.

Problema 5Fácil:

ν = E

h

= 1,45× 109 Hz

y en longitud de onda

λ = c

ν= 20,6 cm

Esta línea de emisión, conocida como “la línea de 21 cm”, se usa en radiostronomía para estudiar las nubes de polvo, segúnWikipedia.

Problema 6Ver apuntes de la práctica.

Problema 8La luminosidad del sol será

L = 1,38 kWm2 × Superficie de esfera con radio 1 AU

= 36× 1022 kW

Para calcular la temperatura del sol utilizamos la ley de Stephan-Boltzmann E = σT 4 con lo cual

T efectiva =(

L4πR2

σ

) 14

≈ 5700 K

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http://hubblesite.org/image/4028/news

https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea_de_hidr%C3%B3geno

https://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Stefan-Boltzmann





Problema 9De acuerdo con la tercera ley de Kepler se tiene que

T 2 = 4π2

G (m1 +m2)a3→ Kepler

por lo tanto se puede despejar M = m1 +m2 que es la masa del sistema.

Problema 13El paralaje anual se explica mediante el siguiente dibujito:

θ

Usando trigonometría se tiene que tanα = 1 AUd de donde se puede despejar

d = 1 AUtanα

α ≈ 0→ ≈ 1 AUα

Para α = 0,75′′ = 0,0002181662 rad se obtiene

d ≈ 2,77× 105 AU ≈ 4,38 ly

De acuerdo con Wikipedia esto es correcto.

Problema 15Es una combinación de problemas previos. El dibujito es así

Tierra →← Sistema binario

1.2''12 pc

a

Entonces el semieje mayor de la elipse que describe la órbita es a = 12 pc × tan(

1,2′′2

). Conociendo este semieje y el

período orbital (consigna) se puede calcular la masa del sistema utilizando la tercera ley de Kepler T 2 = 4π2

G(m1+m2)a3.

Problema 17Se puede obtener la velocidad del astro con respecto al laboratorio utilizando el corrimiento Doppler. Si ν es la frecuencia

de la fuente en su propio frame y ν′ es la frecuencia observada en un frame que se mueve con velocidad β en un ángulo θsegún el siguiente dibujito

θ

entoncesν′ = ν (1− β cos θ) γ→ Doppler

Debido a que λobservada > λemitida entonces νobservada < νemitida lo cual implica que el astro se está alejando.Los resueltos de

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https://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Kepler

https://es.wikipedia.org/wiki/Paralaje_anual

https://es.wikipedia.org/wiki/Alfa_Centauri





Problema 18El dibujito del problema es así:

Vega

Cúmulo NGC104

dTierra-NGC104

dTierra-Vega=dSol-Vega

La luminosidad de la estrella Vega es

LVega =˛FVega · ds

=˛

r=dTierra-Vega

dFVegacTierra

= 4πd2Tierra-Vega dFVegacTierra

Por otro lado la luminosidad de la estrella RR-Lyrae es

LRR-Lyrae = 1,05 LVega

4πd2Tierra-NGC104 dFRR-LyraecTierra =

2,29× 10−6 × 4πd2Tierra-NGC104 dFVegacTierra = ← dFRR-LyraecTierra = 2,29× 10−6 dFVegacTierra

Juntando las dos ecuaciones tenemos que

2,29× 10−6

1,05 × d2Tierra-NGC104 = d2

Tierra-Vega

por lo tanto

dTierra-NGC104 =√

1,052,29× 10−6 dTierra-Vega

= 5250 pc

Problema 19 FALTAQué es el “flujo”?

Problema 21De acuerdo a la tercera ley de Kepler T 2 = 4π2a3

G(mVía lactea+m) donde T es el período orbital y a el semieje mayor de laelipse. Considerando mVía Lactea m se obtiene que

mVía Lactea = 4π2a3

GT 2

Por otro lado, para una órbita circular como propone la consigna, se tiene que a = R0 por lo que

mVía Lactea = 4π2R30

GT 2Los resueltos de

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Finalmente, el período orbital T se puede conocer según

T = 2πω

ω = r × v → = 2πR0v

siendo v la velocidad orbital. EntoncesmVía Lactea = 4π2R3

0

G(

2πR0v

)2

Ahora sólo hay que reemplazar los números y hacer la cuenta.

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GUÍA 2 - FLUIDOS CLÁSICOS

Guía 2 - Fluidos clásicosProblema 2Ítem b

Para u = 0 la distribución de Maxwell-Boltzmann es

f (r,p) = n (r)(2πmkT (r))3/2

exp(− p2

2mkT (r)

)Como se puede ver tiene simetría esférica en p, es decir que f (r,p) = f (r, |p |) = f (r, p). Entonces el número de partículascon momento entre p y p+ dp se puede expresar según

n (r, p) =2πˆ

θ=0

π

φ=0

f (r,p) d3r d3p

d3p = p2 sinφdθ dφ dp =2πˆ

θ=0

π

φ=0

f (r,p) p2 sinφdθ dφ d3r dp

f = f (r, p)→ = p2f (r, p) d3r

2πˆ

θ=0

dθ

π

φ=0

sinφdφ dp

= 4πf (r, p) p2 d3r dp

= 4πn (r)(2πmkT (r))3/2

p2 exp(− p2

2mkT (r)

)d3r dp

= f (r, p) dr dp

Por otro lado se sabe que el número de partículas con momento entre p1 y p2 viene dado por

n (r, p ∈ (p1, p2)) =p2ˆ

p1

fp(r, p′

)dp′ d3r

siendo fp (r, p) = f (r, p) la distribución hallada previamente. Usando la relación p = mv lo anterior puede expresarse como

n (r, v ∈ (v1, v2)) =mv2ˆ

mv1

fp(r, p′

)dp′ d3r

=v2ˆ

v1

fp(r,mv′

) dp′dv′︸︷︷︸

fv(r,v′)

dv′ d3r

por lo tanto

fv (r, v) = fp (r,mv) dpdv

fp (r, p) = 4πn (r)(2πmkT (r))3/2

p2e−p2

2mkT (r)

p = mv

→ = 4π(

m

2πkT (r)

)3/2

v2 exp(− mv2

2kT (r)

)

Ítem c

Cada una de estas cantidades es 〈v〉 (r) def=

∞

0

vf (r, v) dv =√

8kT (r)πm

n (r)

⟨v2⟩ (r) def=

∞

0

v2f (r, v) dv = 3kT (r)n (r)m

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Problema 4 GUÍA 2 - FLUIDOS CLÁSICOS

Problema 4Ítem a

La fotósfera del sol está compuesta en un 75 % de hidrógeno. Una línea espectral de frecuencia νemitida emitida por unátomo que se mueve con velocidad β = v

c

νobservada = νemitida (1− β · r) γ→ Doppler shift= νemitida (1− β cos θ) γ

siendo r el versor que apunta en la dirección de observación y θ el ángulo entre r y β. Debido a que la distribución develocidades es isótropa entonces θ tiene una distribución uniforme entre 0 y 2π. En cambio β sigue la distribución deMaxwell-Boltzmann.

Por algún motivo que no termino de entender hay que considerar que θ = 0 o θ = π. Esto me parece medio trucho peroes la forma en que usualmente se trata el problema (ver por ejemplo este link). Eligiendo θ = π queda

νobservada = νemitida (1 + β) γ

Si la velocidad de las partículas es v c entonces el factor γ ≈ 1 y se puede simplificar

νobservada = νemitida

(1 + v

c

)De aquí se puede despejar

v = c

(νobservadaνemitida

− 1)→ Cambio de variable

Considérese ahora la distribución de Maxwell-Boltzmann

fv (v) =( m

2πkT

)3/2

exp(−mv

2

2kT

)que en una única dimensión (digamos vx) es

fv (v) =√

m

2πkT exp(−mv

2

2kT

)→ En una dimensión

Se puede hacer ahora un cambio de variable para ponerla como función de la frecuencia

fν (ν) = fv (v (ν)) dvdν

ν = νobservada → = 4π√

m

2πkTc3

ν0

(ν

ν0− 1)2

exp(−mc

2

2kT

(ν

ν0− 1)2)

Ahora se puede calcular el ensanchamiento Doppler según

Ensanchamiento→σν =√〈ν2〉 − 〈ν〉2

...

=√

kT

mc2ν0

Las cuentas las hice con el programa wxMaxima, a continuación dejo el código y los resultados:

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https://en.wikipedia.org/wiki/Photosphere#Composition_of_the_Sun

https://es.wikipedia.org/wiki/Ensanchamiento_Doppler

https://es.wikipedia.org/wiki/Ensanchamiento_Doppler#Derivaci%C3%B3n

https://wxmaxima-developers.github.io/wxmaxima/





(%i5) assume(m>0)$ assume(ν_0>0)$ assume(T>0)$ assume(c>0)$ assume(k>0)$

(%i6) f_v(v) := sqrt(m/(2*%pi*k*T))*exp(-m*v^2/(2*k*T)); /* Maxwell-Boltzmann */

(%o6) fv( )v :=m

2 π k Texp

( )−m v2

2 k T

(%i7) v(ν) := c*(ν/ν_0 - 1); /* Doppler */

(%o7) v( )ν :=cν

ν0−1

(%i8) f_ν(ν) := f_v(v(ν))*diff(v(ν), ν, 1); /* Cambio de variable */

(%o8) fν( )ν :=fv( )v( )νd

d νv( )ν

(%i9) σ_ν: sqrt( integrate(f_ν(ν)*ν^2, ν, -inf, inf) - integrate(f_ν(ν)*ν, ν, -inf, inf)^2 );

(σ_ν)

c m23 2/ π T k ν0

3

c m+

23 2/ π T3 2/ k3 2/ ν03

c3 m3 2/

23 2/ π T k ν0

−ν02

(%i10) factor(σ_ν);

(%o10)T k ν0

c m

Problema 5De acuerdo a lo que se vio en la clase teórica el tensor de presiones es

Pij (r) = 1m

ˆpipjf (r,p) d3p→ Tensor de presiones

Si hay equilibrio termodinámico local entonces f es la distribución de Maxwell-Boltzmann fp (r,p) = n(r)(2πkT (r))3/2 exp

(− p2

2mkT (r)

).

Haciendo las cuentas (me las hizo la compu) se puede verificar que

Pij (r) =n (r) kT (r)m3/2 para i = j

0 para i 6= j

Entonces

p = 13 tr (Pij)

= mnkT

Me está sobrando la masa m, no sé... Como se puede ver se satisface que para un fluido ideal en equilibrio termodinámico

Pij = pδij→ Para fluido ideal en eq.

Problema 7El fenómeno será mas intenso en el ecuador. Si la estrella tiene un radio R entonces una partícula de masa m en el ecuador

sentirá las fuerzas F gravitatoria = −mMG

R2 r

F centrífuga = mω2Rr

En el caso límite ambas fuerzas son iguales con lo cual se obtiene

ω0 =√MG

R3

Utilizando datos de Wikipedia obtengoωpara el sol

0 ∼ 6,6× 10−4

lo que corresponde a un período deT para el sol

0 ∼ 0,11 dıasEl período de rotación real del sol es

Tsol ∼ 24,5 dıaslo cual está bastante lejos del valor límite.

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Problema 8Ítem a

Las únicas fuerzas a las que estarán sometidos los elementos de fluido, vistos desde un sistema de referencia inercial (osea que no rota con el planeta) serán la fuerza gravitatoria y la fuerza centrífuga.

La densidad de fuerza centrífuga viene dada por

f centrífuga = −ρω × (ω × r) → Densidad de fuerza centrífuga

Para ω = ωz la fuerza centrífuga será (coordenadas cilíndricas)

f centrífuga = −ρω2z × (z × r)

z × r =

∣∣∣∣∣∣r θ z0 0 1r 0 z

∣∣∣∣∣∣→ = −ρω2rz × θ

z × θ = −r → = ρω2rrde cilíndricas

Como se puede ver

f centrífuga = ∂

∂r

(ρr2ω2

2

)r

= −∇(−ρω

2

2 r2)→ Coordenadas cilíndricas

por lo tanto

φcentrífugo = −ρω2

2 r2→ Coordenadas cilíndricas

Por otro lado la fuerza gravitatoria se obtiene a partir del potencial gravitatorio. Si uno quisiera hacer bien este problemadebería escribir

φgravitatorio = −ρG˚

Vdel planeta

d3r′∣∣ r − r′ ∣∣y, como Vdel planeta es función de la fuerza centrífuga y la fuerza centrífuga es función de la deformación del planeta, seobtendría un sistema acoplado e imposible de resolver manualmente. CREO que hay que asumir que el planeta no se deformademasiado, entonces aún se lo puede considerar como una esfera en lo que respecta al φgravitatorio. Para una distribuciónesférica el potencial gravitatorio en el interior es (lo saqué de este link)

φgravitatorio ≈ dφgravitatoriocel interior de una esfera

= −2π3 ρ2Gr2→ Coordenadas esféricas

Entonces

φ = φcentrífugo + φgravitatorio

= −ρω2

2 r2de cilíndricas −

2π3 ρ2Gr2

rde cilíncricas = r sinφ→ = −ρω2

2 r2 sin2 φ− 2π3 ρ2Gr2

donde r ≡ rde esféricas.

Ítem b

Si la superficie del planeta es una isobara entonces

d∇pcSuprficie del planeta = 0

Debido a que el planeta está compuesto por un fluido ideal entonces la dinámica de este queda descripta por la ecuación deNavier-Stokes

∂tu+ (u ·∇)u = −∇p

ρ+ f→ Navier-Stokes

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https://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza_centr%C3%ADfuga

https://en.wikipedia.org/wiki/Gravitational_potential#Spherical_symmetry





En el caso estacionario se tiene que ∂tu = 0. Por otro lado el término (u ·∇)u se anula debido a la simetría del problema:es de esperar que

u = u (r, φ) θ→ Por la simetría

Entonces(u ·∇)u = u (r, θ) 1

r sinφ∂

∂θ︸︷︷︸θ·∇

u (r, φ) θ = 0

En consecuencia la ecuación de Navier-Stokes queda

∇p = ρf

f = −∇φ→ = −ρ∇φ

Si d∇pcSuprficie del planeta = 0 entonces

dφcSuperficie del planeta = φ0→ Constante

−ρω2

2 R2 sin2 φ− 2π3 ρ2GR2 =

de donde se puede despejar

R =√− φ0ρω2

2 sin2 φ+ 2π3 ρ

2G

Para dar un valor de φ0 se puede considerar un punto de referencia como por ejemplo un polo. En este caso

dφcEn un polo = φ (R0, φ = 0)

= −2π3 ρ2GR2

0

Entonces

R (φ) = R0

√1

3ω2

4πρG sin2 φ+ 1

Como se puede ver R (θ) ≥ R0 = dRcEn el polo lo cual tiene sentido X.

Problema 9Ítem a

La ecuación de Navier-Stokes para un fluido ideal es(∂

∂t+ u ·∇

)u = −∇p

ρ+ f→ Navier-Stokes

Creo que hay que asumir que el fluido está en reposo, esto es

u ≡ 0→ Fluido en reposo

(que es distinto del caso estacionario ∂u∂t = 0). La densidad de fuerza por unidad de masa f será producto del potencial

gravitatorio, es decir quef = −∇φ

con φ = MGr siendo M la masa del planeta. La ecuación de Navier-Stokes queda entonces

∇p

ρ+ ∇φ = 0

Considerando a la atmósfera como formada por un gas ideal entonces vale la ecuación de estado del gas ideal

p = nkT

= ρ

mkT

Introduciendo esto en la ecuación de Navier-Stokes, y usando la hipótesis de atmósfera isotérmica,

kT

m

∇ρ

ρ+ ∇φ = 0

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Reemplazando ∇ en coordenadas esféricas se obtienen las siguientes tres ecuaciones

r) kT

m

1ρ

∂ρ

∂r− MG

r2 = 0

θ) ∂ρ

∂θ= 0

φ) ∂ρ

∂φ= 0

Evidentemente ρ sólo depende de r, como era de esperarse dada la simetría del problema. Para la ecuación de la componenteradial se tiene la ecuación diferencial

∂ρ

∂r− mMG

kTr2 ρ = 0

cuya solución es

ρ (r) = C exp(−mMG

kTr

)Asumiendo que ρ (R) = ρR (la densidad a nivel del suelo) entonces

ρ (r) = ρR exp(−mMG

kT

[1R− 1r

])En cuanto a la presión, ésta se obtiene simplemente reemplazando ρ en la ecuación de estado p = ρ

mkT .Para r ≈ R podemos considerar una aproximación de Taylor para el exponente, es decir

1r− 1R≈ −r −R

R2 + . . .

y si además definimos z def= r −R entonces

ρ (z) ≈ ρR exp(−zmMG

kTR2

)MG

R2def= g → = ρR exp

(−zmg

kT

)H

def= kT

mg→ = ρR exp

(− z

H

)Obsérvese que también podríamos haber aproximado a ρ del siguiente modo

ρ (r ∼ R) ≈ ρR

(1− mGM

R2kT(r −R) + . . .

)g

def= GM

R2

zdef= r −R

→ = ρR

(1− mg

kTz + . . .

)= ρR

(1− z

H+ . . .

)Ítem b

Es hacer la integralita´∞

0 ρRe− zH dz = ρRH.

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GUÍA 3 - RELATIVIDAD

Guía 3 - RelatividadProblema 2 (No entiendo enunciado)Ítem a

No termino de entender qué está pasando...

θ

β βap

Si fuese como en el dibujito que hice entonces βap = β sin θ y listo...

Problema 3Ítem a

La diferencia más notable que encuentro es que para θ = π2 en el caso clásico no hay efecto Doppler mientras que en el

caso relativista sí hay.

Ítem b

A partir deν′ = ν (1− β · r) γλν = c

se obtiene

λ′ = λ

(1− β · r) γy entonces

z =λ

(1−β·r)γ − λλ

= 1− (1− β · r) γ(1− β · r) γ

Reemplazando β · r = vc cos θ y γ = 1√

1− v2c2

se puede despejar

v

c=

(z + 1)2 cos θ ±√

(z + 1)2 cos2 θ − z2 − 2z

(z + 1)2 cos2 θ + 1Para θ = 0 lo anterior se reduce a

v

c= z (z + 2)

(z + 1)2 + 1

Dada la definición de z def= λ′−λ0λ0

se tiene que z ∈ (−1,∞). En consecuencia −1 < vc < 1 lo cual demuestra que | v | < c.

Si existieran velocidades superlumínicas lo que ocurriría es que z se volvería imaginario, como así también la frecuenciaobservada y muchas otras cantidades. No sé cómo se interpreta esto.

Problema 4Ítem a

La ley que se aplica para sacar todo es la conservación del cuadrimomento

dpµcπ+ = dpµcµ+ + νµ

= dpµcµ+ + dpµcνµPara cada partícula se tiene

dpµcπ+ =[Eπ+/c

0

]→ Pión en reposo

dpµcµ+ =[Eµ/cpµ+

]dpµcνµ =

[Eν/cpνµ

]Los resueltos de

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Problema 5 GUÍA 3 - RELATIVIDAD

por lo tanto Eπ+ = Eµ+ + Eνµ

pµ+ = −pνµ ≡ pUtilizando la relación

E2 = c2p2 +m20c

4

que se obtiene de considerar el invariante relativista pµpµ del siguiente modo

dpµpµcFrame cualquiera = dpµpµcFrame en el que p=0 y γ=1

pµ =[Ecp

]→ E2

c2− p2 = m2c2← pµ = mγ

[cp

]se encuentra que

Eπ+ = mπ+c2

Eµ+ =√m2µ+c4 + c2p2

Eνµ = cp

Reemplazando en Eπ+ = Eµ+ + Eνµ se obtiene

mπ+c2 =√m2µ+c4 + c2p2 + cp


p = cm2π+ −m2

µ+

2mπ+

Entonces

Eπ+ = Eµ+ + Eνµ

mπ+c2 =√m2µ+c4 + c2p2 + Eνµ

y reemplazando p = cm2π+−m2

µ+

2mπ+se obtiene finalmente

Eνµ = c2m2µ+ + 3m2

π+

2mπ+

Problema 5Ítem a

En dibujitos lo que está pasando es lo siguiente

Electrón θ

ϕ

Situación inicial Situación final

Fotón

Los momentos iniciales y finales son(pinicialγ

)µ =

[hνic

hνic x

](piniciale

)µ =

[mc2

0

](pfinalγ

)µ =

[hνfc

hνfc (x cos θ + y sin θ)

](pfinale

)µ =

[ √p2 +mc2

p (x cosφ− y sinφ)

]donde se ha usado la relación E2 = c2p2 +m2c4 para las componentes temporales de los cuadrimomentos. Por conservaciónde cuadrimomento vale que

Conservación→

hνic

+mc2 = hνfc

+√p2 +m2c4 → Componente temporal

hνic

= hνfc

cos θ + p cosφ → Componente en x

0 = hνfc

sin θ − p sinφ → Componente en yLos resueltos de

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Problema 6 (averiguar si esto está bien) GUÍA 3 - RELATIVIDAD

De las segundas dos ecuaciones se puede despejar

p cosφ = h

c(νi − νf cos θ)

p sinφ = h

cνf sin θ

. Elevando cada una al cuadrado y sumándolas

se obtienep2 = h2

c2(ν2i + ν2

f − 2νiνf cos θ)

De la primera ecuación (conservación de componente temporal) se puede despejar

p2 =[h

c(νi − νf ) +mc2

]2−m2c4

= h2

c2(νi − νf )2 + 2h

c(νi − νf )mc2 +m2c4 −m2c4

= h2

c2(ν2i + ν2

f − 2νiνf)

+ 2hc

(νi − νf )mc2

Igualando estas dos últimas expresiones supongo que se despeja el resultado...

h2

c2

(

ν2i + ν2

f − 2νiνf cos θ)

= h2

c2

(

ν2i + ν2

f − 2νiνf)

+ 2h

c(νi − νf )mc2

−2hcνiνf cos θ = −2h

cνiνf + 2 (νi − νf )mc2

h

mc3(1− cos θ) = νi − νf

νiνf

Listo, a menos de un c y un signo menos este es el resultado X.

Problema 6 (averiguar si esto está bien)La ecuación de estado de un gas ideal es

PV = nRT → Gases ideales

siendo R = kNA la constante universal de los gases ideales (k es la constante de Boltzmann y NA el número de Avogadro).Ahora es simplemente hacer la cuenta. En particular, haciendo las cuentas con los datos de la consigna, se tiene que

P =c1n

5/3 Caso no relativistac2n

4/3 Caso relativista

con c1 = 32/3h2

20π2/3my c2 = 31/3ch

8π1/3 . Entonces las ecuaciones de estado son

Eqs. de estado→c1n

4/3V = RT Caso no relativistac2nV = RT Caso relativista

Para el que esté interesado en las cuentas (hechas con el programa wxMaxima):(%i2) ε_clasico: p^2/2/m;

ε_relativista: p·c;

(ε_clasico)p2

2 m(ε_relativista) c p(%i4) P_clasica: 8·%pi/3/h^3·integrate(p^3·diff(ε_clasico,p,1), p, 0, p_F);

P_relativista: 8·%pi/3/h^3·integrate(p^3·diff(ε_relativista,p,1), p, 0, p_F);

(P_clasica)

8 π pF5

15 h3 m

(P_relativista)

2 π c pF4

3 h3

(%i6) P_clasica: subst((3·h^3/8/%pi·n)^(1/3), p_F, P_clasica);P_relativista: subst((3·h^3/8/%pi·n)^(1/3), p_F, P_relativista);

(P_clasica)32 3/ h2 n5 3/

20 π2 3/ m

(P_relativista)31 3/ c h n4 3/

8 π1 3/

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http://andrejv.github.io/wxmaxima/




Problema 7 GUÍA 3 - RELATIVIDAD

Problema 7Si un fotón fue emitido con una frecuencia νemitido y fue detectado con una frecuencia νobservado entonces el redshift se

calcula según

zgravitatoriodef= νemitido − νobservado

νobservado→ Redshift

ν ∝ E → = ∆EE

Redshift gravitatorio→ = −∆φc2

Ahora se considerará que dφcTierra = 0

dφcDonde se emite el fotón = −MG

R

La justificación para considerar que dφcTierra = 0 radica en el hecho de que MTierraRTierra

MR , es decir que considero que el fotón

se emitió en un objeto muy masivo y compacto. Entonces

zgravitatorio = MG

Rc2

Por otro lado el redshift Doppler es tal que νobservado = νemitido (1− β · r) γ. Asumiendo que β = βr entonces

zDoppler = 1− γ + βγ

Igualando ambos redshifts y despejando para β (recordar que γ = 1√1−β2

) se obtiene

β =

GM

(2Rc2 −GM

)Rc2 (2Rc2 − 2GM) +G2M2

1

Como β = 1 implica que el objeto se mueve a la velocidad de la luz, descartamos esta solución y nos quedamos con la otra.

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https://en.wikipedia.org/wiki/Redshift#Measurement,_characterization,_and_interpretation




GUÍA 4 - ATMÓSFERAS ESTELARES

Guía 4 - Atmósferas estelaresProblema 1Ítem a (falta una cosa!)

El número de partículas es por definiciónnν =

ˆdr

ˆdpfν (r,p)

En cuanto a la energía, si hν es la energía de un fotón con frecuencia ν entonces

εν = hνnν

es la energía de n fotones de frecuencia ν.En astronomía se suele definir la intensidad de radiación Iν de modo tal que

dEnergía = Iν dΩ dν dS dt

Es decir queIν ∼

EnergíaÁngulo sólido× Frecuencia× Superficie× Tiempo

De acuerdo a lo que vimos en la práctica

Iν (r) = h4ν3

c2

ˆfν (r,p) d3p

Está bien lo anterior?La intensidad media Jν es es el momento de orden cero

Jν (r, t) def= 14π

‹Iν (r, t) dΩ

mientras que el flujo es el momento de primer orden

qνdef= 1

c

‹uIν dΩ

Ítem c

La componente ij del tensor de presión es

(pν)ij = 1c3

‹Jνuiuj dΩ→ Tensor de presión

Problema 3Ítem a

Por definiciónqν

def= 1c

‹uIν dΩ

Usando que todo es ideal y que la radiación se “propaga hacia afuera”, esto es u = cr

u

entoncesqν = 0

para cualquier superficie esférica que rodee a la estrella... Algo no anda bien. Pregunté en clase y la respuesta fue difusa.La definición de luminosidad de una estrella es

Lνdef=‹

qν · dsLos resueltos de

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Problema 6 GUÍA 4 - ATMÓSFERAS ESTELARES

Asumiendo queqν = qν (r) r→ Asumo esto

entonces Lν se puede calcular en forma trivial sobre cualquier superficie esférica de radio r centrada en la estrella y da

Lν = 4πr2qν (r)

Debido a que r puede ser cualquiera, en particular se puede elegir r = R (o sea la superficie de la estrella) con lo cual

Lν =

4πr2qν (r)4πR2qν (R) ← Evaluado en la superficie

y entonces

qν (r) = qν (R) R2

r2

Problema 6Ítem a

Dado un fluido (gas de fotones) la fuerza que éste ejerce sobre una superficie ds = n ds es

dFi = σij dsj→ Lo vi en E1

siendo σij el tensor de esfuerzos. En el caso de un fluido ideal

σij = −p1→ Fluido ideal

con lo cual

dFi = −pδij dsj= −p dsi

y ésta será la fuerza que se ejerce sobre un elemento de fluido de hidrógeno ionizado.Para un gas de fotones se tiene que

pνdef= 1

3 tr(

(pν)ij)

(pν)ij = 1c3

‹Jνuiuj dΩ→ = 1

3 tr(

1c3

‹Jνuiuj dΩ

)Isotropía por consigna⇒ Jν = Iν → = Iν

3c3

‹tr (uiuj) dΩ

= Iν3c3

‹|u |2 dΩ

u = cr → = 4πIν3c

Ahora usamos las siguientes formulitasqν (R) = 4πIν → Flujo en superficie estrellaLν = 4πR2qν (R) → Luminosidad

con lo cualpν = Lν

12πR2c

Integrando en todo el espectro

p =ˆpν dν

= L

12πR2c

EntoncesdF = − L

12πR2cds

Para concluir se debe integrar esta expresión en todo el contorno de un elemento de H II, el cual consideraré como unobjeto sólido con uno contorno del siguiente modo

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R

R+drp(R)

p(R+dR)Elemento de H II

ds S1 S2S3

S4

Rdθ

Entonces

F =˛

S

dF

Se cancelan por simetría→ =

ˆ

S1

dF +ˆ

S2

dF +

ˆ

S3

dF +ˆ

S4

dF

= L

12πc

ˆS2

ds

R2 +ˆ

S4

ds

R2

≈ L

12πc

(S2

R2 + S4

(R+ dr)2

)S2 = −S2r

S4 = S4r

→ = Lr

12πc

(S4

(R+ dr)2 −S2

R2

)

Taylor a orden cero en dr → ≈ Lr

12πc

(S4

R2 −S2

R2

)= (S4 − S2)L

12πcR2 r

Con un poco de fe decimos ahora que S4 − S2 = σ que es la sección eficaz y entonces

F = σL

12πcR2 r

Obsérvese que como S4 > S2 entonces σ > 0 y la fuerza es, efectivamente, “hacia afuera” de la estrella.

Problema 7Ítem a

La ecuación de transporte de radiación es

∂tIν + u ·∇Iν = (Sν − Iν) ρκν

Sν = eν + σνJνκν

→ Función fuente

κν = kν + σν → Opacidadkν → Coeficiente de absorciónσν → Coeficiente de scatteringρ → Densidad de absorbenteseν → Emisividad

Cuando se está en equilibrio termodinámico entonces

En equilibrio→

Iν = Bν → Distribución de Maxwell-Boltzmann∂tIν = 0 → Estacionario∇Iν = 0 → HomogeneidadJν = Iν → Isotropía

con lo cual la ecuación de transporte se convierte en

0 =(eν + σνBν

κν−Bν

)ρκν

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por lo tanto eν+σνBνκν

−Bν = 0 de donde se obtiene

eν = (κν − σν)Bνκ

def= k + σ → = kνBν X

Problema 8Ítem a

Para una atmósfera estacionaria, plana y estratificada en la que z es la dirección vertical vale que∂

∂t≡ 0 → Estacionaria

∂

∂x= ∂

∂y≡ 0 → Plana

? → Estratificada

con lo cual la ecuación de transporte ∂tIν + u ·∇Iν = (Sν − Iν) ρκν resultac cos θρκν

∂Iν∂z

= Sν − Iν

donde se usó que u = cu con u apuntando en la dirección del observador. Definiendo

µ

def= cos θ

τνdef=∞

z

ρκνcdz

finalmente se obtiene

µ∂Iν∂τν

= Iν − Sν

Ítem b

De la ecuación de transporte se puede despejar

Sν = µ∂Iν∂τν− Iν

Ahora se multiplica a ambos lados por e−τνµ con lo cual

e−τνµ Sν =

(µ∂Iν∂τν− Iν

)e−

τνµ

= µ∂

∂τν

(Iνe− τνµ

)Multiplicando por ∂τν a ambos lados e integrando se obtiene

El infinito (?)ˆ

El observador

e−τνµ Sν dτν = µ

El infinito (?)ˆ

El observador

d(Iνe− τνµ

)= µ

⌈Iνe− τνµ

⌋El infinito (?)

En el observadorEl observador ≡ τν = 0→ = µIν (τν = 0)

por lo tanto

Iν (τν = 0) = 1µ

∞

0

e−τνµ Sν dτν

No sé por qué el límite de integración superior es ∞, así lo hicimos en clase.

Ítem c

Asumiendo que Sν ≈ aτν + b entonces (sólo es hacer la cuentita)

Iν (τν = 0) = µa+ b

= a cos θ + b

Como a, b > 0 entonces esta es una función que decrece a medida que θ → π2 que es justamente lo que ocurre en el limbo

solar.Los resueltos de

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Problema 9 FALTA GUÍA 4 - ATMÓSFERAS ESTELARES

Problema 9 FALTAHay que modelarlo como un problema de atmósfera plano-paralela pero “al revés” que en el caso del sol. Es decir, tenemos

lo siguiente:

θ

Atmósfera

← Mr. Eyes

← Estrella en el infinito

Intensidad de radiaciónjusto afuera de la atmósfera, m0

z

u

La propagación en la atmósfera está modelada por la ecuación de transporte

∂tIν + u ·∇Iν = (Sν − Iν) ρκν→ Transport equation

Al igual que en el problema 8, consideramos las hipótesis de atmósfera estacionaria, plana y estratificada con lo cual∂

∂t= 0

∂

∂x= ∂

∂y= 0

Considerando además queu = cu = c (x sin θ − z cos θ)

la ecuación de transporte quedac cos θ∂Iν

∂z= (Sν − Iν) ρκν

o, en términos de la profundidad óptica τνdef=´∞z

ρκνc dz,

∂Iν∂τν

cos θ = Iν − Sν

.............. DANDOAS NDKAOS PDNKASOP DNASKOP DNAPOD

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GUÍA 5 - MEDIO INTERESTELAR

Guía 5 - Medio interestelarProblema 2

La energía de una partícula de polvo puede expresarse según

E = Ede traslación + Ede rotación

= m

2 v2 + I

2ω2

donde I es el momento de inercia y ω la velocidad angular. En consecuencia el valor medio de la energía será

〈E〉 = m

2⟨v2⟩+ I

2⟨ω2⟩

= m

2(⟨v2x

⟩+⟨v2y

⟩+⟨v2z

⟩)+ I

2(⟨ω2x

⟩+⟨ω2y

⟩+⟨ω2z

⟩)= 〈Tx〉+ 〈Ty〉+ 〈Tz〉+ 〈Rx〉+ 〈Ry〉+ 〈Rz〉

donde Ti y Ri son las energías de traslación y de rotación en cada eje, respectivamente.Por otro lado, el teorema de equipartición de la energía dice que si cada partícula de un gas ideal contiene i ∈ 1, . . . , N

grados de libertad, entonces a cada grado de libertad le corresponde una energía media dada por

〈εi〉 = kT

2 → Equipartición

En el caso de los granos de polvo esto quiere decir que〈Ti〉 = kT

2

〈Ri〉 = kT

2

De aquí se puede despejar ⟨v2i

⟩= kT

m⟨ω2i

⟩= kT

I

y entonces ⟨v2⟩ = 3kT

m⟨ω2⟩ = 3kT

I

Problema 3Ítem a

Si se consideran dos diferenciales de masa dentro de esta esfera de fluido, la energía potencial entre ellos será

dE = − dm1 dm2G

| r1 − r2 |

dm = ρ d3r → = −ρ (r1) ρ (r2)G| r1 − r2 |

d3r1 d3r2

La energía potencial total para toda la distribución será

E = −Gˆ

d3r1

ˆd3r2

ρ (r1) ρ (r2)| r1 − r2 |

Multiplicando y dividiendo por los parámetros apropiados se obtiene

E = ΘGM2

R

conΘ = − R

M2

ˆd3r1

ˆd3r2

ρ (r1) ρ (r2)| r1 − r2 |

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Problema 3 GUÍA 5 - MEDIO INTERESTELAR

Si la distribución es homogénea entonces ρ (r) = ρ = constante con lo cual

Θ = −Rρ2

M2

ˆ ˆd3r1 d

3r2

| r1 − r2 |→ Para distribución homogénea

rdef= r1 − r2

d3r = d3r1

→ = −Rρ

2

M2

ˆd3r2

ˆd3r

r

d3r en esféricas→ = −Rρ2

M2

ˆd3r2 4π

R

0

r dr

= −2πR3ρ2

M2

ˆd3r2︸︷︷︸

4π3 R

3

= −8π2

3R6ρ2

M2

M = 4π3 ρR3 → = −3

2

En este caso la energía es simplemente

E = −32GM2

R

(En clase quedó 52 ...)

Ítem b PREGUNTAR

La ecuación de Navier-Stokes, luego de aplicar todas las simplificaciones de siempre, es

∇p+ ρ∇φ = 0→ Navier-Stokes

Ahora hay que usar un truco que es multiplicar por ·r e integrar. Con eso sale. El primer término es

ˆ∇p · r d3r =

Identidad vectorial︷︸︸︷ˆ∇ · (pr) d3r −

ˆp∇ · r d3r

Teorema de la div.∇ · r = 3

→ =

˛pr · ds− 3

ˆp d3r

dpc¸ ≡ p0 → = p0

˛r · ds− 3

ˆp d3r

= 4πR3p0 − 4ˆp d3r

Ahora asumimos equilibrio termodinámico y entonces p = nkT . Además, se asume todo homogéneo menos n (r). Entoncesˆ

∇p · r d3r = 4πR3p0 − 4kTˆn (r) d3r︸︷︷︸N

= 4πR3p0 − 4kTN

cV (r) = 32k

mpara gas ideal monoat.→ = 4πR3p0 −

83cV Tsocmsocmsocm

donde NA es el número de Avogadro. EN CLASE QUEDÓ DISTINTO! Pero no sé qué se usó...El otro término de Navier-Stokes es

ˆ∇φ · r d3r = −ΘGM2

ˆd3r

r2 ← φ = ΘGM2

R⇒∇φ = −ΘGM2

R2

Θ = −32ˆ

d3r

r2 = 4πR

→ = 6πGM2R

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Problema 3 GUÍA 5 - MEDIO INTERESTELAR

Juntando los dos términos4πR3p0 −

83cV T

N

NA+ 6πρGM2R = 0

reemplazando ρ = 4π3MR3 , y despejando p0 se obtiene algo que no es lo de la consigna... Debe haber alguna cuenta mal en

algún lugar, ya fue.

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GUÍA 6 - ESTRUCTURA Y EVOLUCIÓN ESTELAR

Guía 6 - Estructura y evolución estelarProblema 1Ítem b

PREGUNTA 1 - Escala hidrodinámica

No la estoy encontrando en la bibliografía.

Escala de Kelvin-Helmholtz [Carroll and Ostlie, 2017, p. 386] La escala de Kelvin-Helmholtz representa el tiempo de vidade una estrella asumiendo que su única fuente de energía es la gravedad. Es decir, pensemos en una estrella que mediantealgún proceso mágico convierte energía gravitatoria en radiación, y que su única fuente de energía es la gravitatoria. En estecaso el tiempo de vida de la estrella sería, asumiendo además que su luminosidad es constante,

τKelvin-Helmholtz = Egravitatoria

L= GM2

LR.

Escala nuclear [Carroll and Ostlie, 2017, p. 388] La escala nuclear representa el tiempo de vida de una estrella asumiendoque su única fuente de energía es la conversión de materia de los núcleos mediante E = mc2. Entonces, asumiendo luminosidadconstante a lo largo de su vida,

τnuclear ∼Mc2

L.

Lo anterior sería válido si toda la masa de la estrella se pudiera convertir en radiación. Sin embargo las reacciones nuclearespermiten que esto ocurra sólo para una fracción de la masa. Es por ello que se añade un factor Q que tiene en cuenta el“rendimiento” de este proceso (es decir Q ∝ mproductos

mreactivos) y además tiene en cuenta que no toda la estrella tiene temperatura

suficiente para realizar reacciones nucleares (por ejemplo sólo el 10 % de la masa en el núcleo está sometida a condicionestales para que se den las reacciones [Carroll and Ostlie, 2017, example 3.2, p. 389]). Entonces

τnuclear = QMc2

L.

Problema 2La expresión

B = c2 (Zmp + (A− Z)mn −m) → Energía de ligadura del núcleo

es la energía de ligadura del núcleo. La energía de ligadura por nucleón es, entonces,

f = B

A.→ Energía de ligadura por nucleón

El gráfico de f como función de A es una cosa así [Choudhuri, 2010, fig. 4.1], [Carroll and Ostlie, 2017, p. 404]

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Problema 5 GUÍA 6 - ESTRUCTURA Y EVOLUCIÓN ESTELAR

y como se puede ver el elemento que está en la cima es el 56Fe. Esto quiere decir que si se tienen, por ejemplo, dos átomosde hidrógeno y se los combina en un helio, éste último será más estable que los dos hidrógenos. Si se continúa fusionandonúcleos éstos son cada vez más estables hasta llegar al hierro a partir del cual comienzan a hacerse más inestables. Entonces,en forma natural, lo que ocurrirá es lo siguiente:

Fusión es másestable

Fisión es másestable

Problema 5Ítem a

Para encontrar la ecuación de equilibrio hidrostático de una estrella, se considera la ecuación de Navier-Stokes para unfluido con viscosidad nula:

∂tu+ (u ·∇)u = −∇p

ρ+ f .→ Navier-Stokes

En la ecuación de equilibrio hidrostático se asumen condiciones estáticas (obvio, ja) por lo tanto

u = 0.→ Estático

Dada la simetría esférica del problema es de esperar que p = p (r) por lo que ∇p = ∂p∂r r. En cuanto a la fuerza, ésta es

fgravitatoria = −MrGr2 r donde Mr es la masa encerrada por la esfera de radio r. Entonces [Carroll and Ostlie, 2017, p. 377]

∂p

∂r= ρMrG

r2 .

Ítem b

Si ui es la energía interna por unidad de masa entonces

Ei =ˆui dM

es la energía interna total. Por otro lado se tiene la relación

M (r) = 4πrˆ

0

ρ(r′)r′2 dr′

por lo tantodM = 4πρ (r) r2 dr

y entonces, realizando el cambio de variable en la integral de Ei,

Ei = 4πR

0

uρr2 dr

Según consigna u = 3pρn→ = 12π

n

R

0

pr2 dr.

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Problema 5 GUÍA 6 - ESTRUCTURA Y EVOLUCIÓN ESTELAR

PREGUNTA 2 - Energía potencial gravitatoria?

Cómo hago la cuenta de Eg?

Ítem c

En equilibrio hidrodinámico vale el teorema del virial (?) por lo tanto

Etotal = Einterna + Egravitatoria

Teorema del virial→ = Einterna − nEinterna

Gas ideal⇒ Einterna = 32kT → = 3

2kT (1− n) .

Ahora el calor específico es

cg = dE

dT

= 32k (1− n) .

En ningún lugar se dice nada sobre n más que “es una constante”. Supongo que n > 1, de lo contrario el resultado no es elesperado.

PREGUNTA 3 - Qué es el teorema del virial?

Por qué vale en equilibrio hidrodinámico?

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GUÍA 7 - CAMPOS MAGNÉTICOS

Guía 7 - Campos magnéticosProblema 1Ítem a

La radiación de un dipolo alineado con el eje z es (Física 3 o Teórica 1)

B (r, θ) = µ0

4π

[− 1r3 z + 3 cos θ

r3 r

]|m |

donde m es el momento dipolar magnético. De acuerdo con la consigna éste se relaciona con otras cantidades del problemasegún

|m | =

√E

12πc2ω4

√ε0

µ0→ Consigna

por lo tanto el campo magnético será

B (r, θ) = µ0

4π

[− 1r3 z + 3 cos θ

r3 r

]√E

12πc2ω4

√ε0

µ0.

Ahora hay que encontrar E en función de ω y listo. Para un cuerpo rígido la energía de rotación es E = I2ω

2 por lo que

E = Iωω.

Reemplazando este resultado en la expresión del campo magnético se encuentra que

B (r, θ) = µ0

4π

[− 1r3 z + 3 cos θ

r3 r

]√12πIc2 ω

ω3

√ε0

µ0.

Finalmente, usando queω = 2π

P→ Consigna

y que ω = − 2πP 2 P entonces ω

ω3 = − PP4π4 y el campo magnético es

B (r, θ) = µ0

4π

[− 1r3 z + 3 cos θ

r3 r

]√− 6

2π Ic2PP

√ε0

µ0.

Me da imaginario, con lo cual tiene que estar mal. Cuando lo hicieron en clase dijeron “no ponemos los signos negativos” yeso fue todo... No sé si pifié en las cuentas o si hubo magia negra en clase.

Problema 3 - MHDLas ecuaciones MHD son, de acuerdo a lo que vimos en la teórica y en la práctica,

Eqs. MHD→

∂tρ+ ∇ · (ρu) = 0 → Continuidad

ρ (∂t + u ·∇)u = −∇p+ 1cJ ×B + ρcargaE → Navier-Stokes

E + 1cu×B = 1

σJ → Ley de Ohm

∂tB = ∇× (u×B) + η∇2B → Eq. de inducciónc∇×B = 4πJ + ∂tE → La agregaron en la práctica

Por algún motivo que ahora desconozco hay que asumir que

Hay que asumir esto→

| ∂tE ||J |

1

Rmdef= |∇× (u×B) |

| η∇2B | 1

.

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Problema 3 - MHD GUÍA 7 - CAMPOS MAGNÉTICOS

No sé de dónde sale eso, pero en clase lo asumieron. Entonces esto implica que en las ecuaciones MHD se cancela lo que estáindicado en rojo:


ρ (∂t + u ·∇)u = −∇p+ 1cJ ×B +ρcargaE → Navier-Stokes

E + 1cu×B = 1

σJ → Ley de Ohm

∂tB = ∇× (u×B) +η∇2B → Eq. de inducciónc∇×B = 4πJ +∂tE → La agregaron en la práctica

y lo que se canceló en azul es un completo misterio para mí. Es lo que hicieron en clase. Aparentemente el término conρcargaE se cancela pues | ρcargaE |

|J×B | 1, pero ni idea por qué.Por otro lado la consigna dice que u0 = 0, el fluido es incompresible y homogéneo, el campo magnético es uniforme, y

hay algo que es ideal (no sé qué). Entonces

Hipótesis de la consigna→

u = δu

ρ = ρ0

B0 = B0z

p = p0 + δp

J = J0 + δJE = E0 + δEp

ργ= p0

ργ0→ Es por eso de ideal

con ∇ρ0 = 0, ∇×B0 = 0. Al meter esto en las ecuaciones MHD se obtiene

Eqs. MHD→

∇ · δu = 0

ρ0∂tδu = 1c

(J0 × δB + δJ ×B0z)

δE + 1cδu ×B0z = 1

σδJ

∂tδB = (B0 ·∇) δu −B0 (∇ · δu)0 = δJ

.

Sabiendo que ∇ · δu = 0 y que δJ = 0 se puede simplificar lo anterior tal que

∇ · δu = 0

ρ0∂tδu = 1cJ0 × δB

δE + 1cδu ×B0z = 0

∂tδB = (B0 ·∇) δu

.

Proponiendo δ ∼ ei(k·r−ωt) lo anterior es

k · δu = 0

− iωρ0δu −1cJ0 × δB = 0

δE + 1cδu ×B0z = 0

ωδB + (B0z · k) δu = 0

Ya fue, esto jamás va a dar lo que pide la consigna. Ni siquiera tengo bien en claro cuáles son las ecuaciones MHD, en lateórica son distintas que en la práctica. En clase fue pura magia negra la resolución de este problema.

Ítem b

Debido a que ω ∝ kz entonces las ondas de Alfvén son no dispersivas. Además comok · δu = 0k · δB = 0

entonces son ondas

transversales.

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Problema 4 - Reconexión de Sweet-Parker GUÍA 7 - CAMPOS MAGNÉTICOS

Problema 4 - Reconexión de Sweet-ParkerÍtem a

En el modelo de Sweet-Parker se asume1. Una condición estacionaria, es decir que ∂t ≡ 0.

2. Fluido homogéneo ⇒∇ρ = 0.

3. Se asume una geometría idealizada como sigue

uin

uin

uoutuout L

Lminúscula

4. Se asume que L `.

5. Se considera que uin vAlfvén ⇒ ρinu2in

B2in

4π .

6. ρoutu2out

B2out

4π?⇒ uout vAlfvén.

En [Choudhuri, 2010, fig. 8.9] se ilustra este fenómeno:

Ítem b

Entiendo que el problema se resuelve con las ecuaciones MHD. Voy a seguir lo que hicimos en la teórica.Si la situación es estacionaria entonces la ecuación de continuidad es ∇·(ρu) = 0. Si además se asume fluido incompresible

entonces ∇ · u = 0 e integrando sobre el contorno rectangular idealizado que se dibujó previamente se encuentra fácilmenteque

uinuout

= `

L.

Consideremos ahora la ecuación de Navier-Stokes

ρ (∂t + u ·∇)u = −∇p+ 1cJ ×B + ρcargaE.→ Navier-Stokes

En el caso estacionario se anula el término ∂tu y además vale que J = c4π∇ × B pues una de las ecuaciones MHD es

c∇ ×B = 4πJ + *Estacionario

∂tE . Además el término ρcargaE lo despreciamos, no sé por qué. Entonces la ecuación de Navier-Stokesqueda

ρ (u ·∇)u = −∇p+ 14π (∇×B)×B

= −∇p− 14πB × (∇×B)

A× (B ×C) ≡ B (A ·C)− (A ·B)C → = −∇p− 14π (∇ (B ·B)− (B ·∇)B)

= −∇p+ 14π (B ·∇)B −∇

(B2

4π

).

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Problema 4 - Reconexión de Sweet-Parker GUÍA 7 - CAMPOS MAGNÉTICOS

Del lado izquierdo se puede aplicar la misma identidad pero en “sentido inverso” de modo tal que (u ·∇)u = ∇u2 − u ×(∇× u) y entonces

ρ (∇× u)× u+ ρ∇u2 = −∇p+ 14π (B ·∇)B −∇

(B2

4π

).

A continuación se sacará provecho de la simetría de reflexión que tiene el problema en torno a los siguientes ejes

uin

uin

uoutuout

sobre los cuales vale, por simetría, lo siguiente

Sobre el eje rojo→

u ∝ yB ∝ x∇× u = 0∂xB = 0

Sobre el eje azul→

u ∝ xB ∝ y∇× u = 0∂yB = 0

por lo tanto la componente y en el eje rojo y la componente x en el eje azul sondComponente y de la ecuaciónceje rojo →

∂

∂y

(p+ ρu2 + B2

4π

)= 0

dComponente x de la ecuaciónceje azul →∂

∂x

(p+ ρu2 + B2

4π

)= 0

lo cual implica que ⌈p+ ρu2 + B2

4π

⌋eje rojo

= constante⌈p+ ρu2 + B2

4π

⌋eje azul

= otra constante.

Evalúese ahora cada una de estas expresiones en los puntos indicados a continuación:

uin

uin

uoutuout

A

B

C

Obtiénese ⌈p+ ρu2 + B2

4π

⌋Punto A

=⌈p+ ρu2 + B2

4π

⌋Punto B

=⌈p+ ρu2 + B2

4π

⌋Punto C

y, nuevamente por simetría, ducPunto A = 0dBcPunto A = 0

por lo tanto

dpcA = dpcB + ρu2in +

⌈B2⌋

B4π = dpcC + ρu2

out +⌈B2⌋

C4π .

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Problema 5 GUÍA 7 - CAMPOS MAGNÉTICOS

(Recordar que ∇ρ = 0.) Ahora vamos a considerar que

Asumimos esto→uin vAlfvén =dBcB√

4πρ

por lo tanto ρu2in

dB2cB4π . En cuanto al punto C vamos a asumir “lo opuesto”, vamos a pensar que

Asumimos esto→ ρu2out

⌈B2⌋

C4π .

Entonces la ecuación anterior esdpcA = pin + B2

in4π = pout + ρu2

out.

Por algún motivo que ahora no estoy viendo lo anterior implica que

uout = Bin√4πρ

.

O sea, no sé qué pasa con las presiones pero parece que son iguales. Aquí hemos encontrado que

uout = dvAcin

y del principio de todo ya sabíamos que uinuout

= `L lo cual implica que

uindvAcin

= `

L

tal como pedía la consigna.

Problema 5Ítem a

Recordemos que la densidad de energía electromagnética es [Jackson, 1999, eq. (6.106)]

u = 12 (E ·D +B ·H) .

En el vacíoD = E

H = By considerando además que E ≈ 0 entonces

u = B2

2 .

La energía total será

Etotal = 2Ede cada tubo

= 2ˆ

tubo

B2

2 dV

Se asume todo uniforme→ = πR2LB20 .

Ítem b

La “energía procesada por unidad de tiempo” es la potencia del proceso

P = Etotal

τ.

La estimación de τ es bien cabeza: consiste en asumir dos cilindros que se superponen

τ ∼ 2RUin

.

EntoncesP ∼ πR2LB2

0Uin

2R .Los resueltos de

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Problema 5 GUÍA 7 - CAMPOS MAGNÉTICOS

El número de Lundquist es

S−12 = Uin

vA→ Lundquist

vA = B0√4πρ0

→ = Uin√

4πρ0

B0

donde vA es la velocidad de Alfvén.

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GUÍA 8 - GALAXIAS

Guía 8 - GalaxiasProblema 1 (LSR)

El estándar de reposo local (LSR) se define como aquel sistema de referencia (no inercial) en el que el “elemento de fluidoen el que está el sol” está en reposo. Nótese que esto no significa que el sol está en reposo en el LSR. Las coordenadas delLSR se definen en forma estandarizada según el siguiente esquema:

Posición

Velocidad

La velocidad de una estrella i con respecto al sol (o sea, lo que nosotros medimos) es

v iSol

= v iLSR− v LSR

Sol

donde v iSol

es la velocidad de la estrella medida con respecto al sol, v iLSR

es la velocidad medida con respecto al LSR y v LSRSol

es la velocidad del LSR con respecto al sol. (Voy a usar esta notación v objetorespecto a

, que podría parecer exagerada, por el únicomotivo de que toda la dificultad de este tema es ser prolijo con estos subíndices. En el fondo no es más que un problema decinemática, lo que aprendimos en las primeras dos semanas de F1.) Véase que la relación previa es equivalente a

v SolLSR

= v iSol− v i

LSR.

Ahora se considera un promedio sobre muchas estrellas cercanas al sol tal que

v SolLSR

= 1| Estrellas vecinas al sol |

∑i∈Estrellas vecinas al sol

(v i

Sol− v i

LSR

)=

⟨v i

Sol

⟩−⟨v i

LSR

⟩.

Por definición de LSR se tiene que

1N

N∑i=1

v iCualquier punto

= v LSRcualquier punto

→ Definición de LSR

lo cual implica que

⟨v i

LSR

⟩= 1

N

N∑i=1

v iLSR

Definición de LSR→ = v LSRLSR

≡ 0

y entoncesv Sol

LSR=⟨v i

Sol

⟩.→ Velocidad peculiar del Sol

Es decir, la velocidad del sol con respecto al LSR (a veces llamada velocidad peculiar del sol) es el promedio de la velocidadde las estrellas vecinas con respecto al sol.

Para medir v iSol

se puede utilizar un sistema de coordenadas esféricas centrado en el sol. La componente radial se midepor efecto Doppler en tanto que las componentes angulares se miden por simple observación de la posición de la estrella yconocimiento de su distancia respecto al sol.

Problema 2Consideremos el siguiente dibujito (sacado de este link)

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https://en.wikipedia.org/wiki/Local_standard_of_rest

https://en.wikipedia.org/wiki/Peculiar_velocity

https://en.wikipedia.org/wiki/Oort_constants




Problema 2 GUÍA 8 - GALAXIAS

Π0^

Θ0^

r

Θ

Π

Θ

r

Lo que se pide analizar son las componentes en φ y r de las estrellas cercanas medidas con respecto al LSR, es decirmostrar que ⟨

v iLSR

⟩= r rA sin (2l)∓ φ r (B +A cos (2l)) .

donde el promedio debe entenderse como que se se realiza en una región acotada, por ejemplo como sigue:

r

← Acá se realiza el promedio

Recordando que v LSRcualquier punto

def= 1N

∑Ni=1 v i

Cualquier puntovéase que lo que se pide no es otra cosa que la velocidad del LSR

en un punto cercano al Sol medida con respecto al LSR solar, es decir⟨v i

LSR

⟩≡ v LSR(R,Θ)

LSR solar.

Teniendo en mente lo anterior, procedamos ahora sí a resolver el problema. Si la galaxia es un disco con rotación diferencialentonces

v LSR(R,Θ)CG

= Ω (R)×R

Ω = Ω(−Z

)R = RΠ

→ = Ω (R)R(−Z

)× Π

= Ω (R)RΘ.

Ahora considérese la relaciónv LSR(R,Θ)

CG= v LSR(R,Θ)

LSR solar+ v LSR solar

CG

por lo que

v LSR(R,Θ)LSR solar

= v LSR(R,Θ)CG

− v LSR solarCG

v LSR(R,Θ)CG

= Ω (R)RΘ

v LSR solarCG

= Ω (R0)R0Θ0

→ = Ω (R)RΘ− Ω (R0)R0Θ0

Proyecto en r y φ→ = Ω (R)R(r cosα+ φ sinα

)− Ω (R0)R0

(r cos (π/2− `) + φ sin (π/2− `)

)= (Ω (R)R cosα− Ω (R0)R0 sin `) r + (Ω (R)R sinα− Ω (R0)R0 cos `) φ.

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Ahora hay que hacer un poco de geometría para encontrar relaciones entre las cantidades de la ecuación anterior. En particularvéase que

Geometría pura→R cosα = R0 sin `R sinα = R0 cos `− r

por lo tanto


= (Ω (R)− Ω (R0))R0 sin ` r + (Ω (R)− Ω (R0))R0 cos ` φ− Ω (R) r φ

= (Ω (R)− Ω (R0))R0

(sin ` r + cos ` φ

)− Ω (R) r φ.

Ahora hay que hacer unas aproximaciones asumiendo

R0, R r→ Asumimos esto

lo cual implica que

Ω (R)− Ω (R0) ≈⌈dΩdR

⌋R0

(R−R0)︸︷︷︸δR

Ω = V

R→ =

⌈− V

R2 + 1R

dV

dR

⌋R=R0

(R−R0)

=(− V0

R20

+ 1R0

⌈dV

dR

⌋R=R0

)(R−R0)

R−R0 ≡ −r cos `→ =(V0

R20− 1R0

⌈dV

dR

⌋R=R0

)r cos `

donde V y V0 son las velocidades que figuran en el primer diagramita de la resolución. Reemplazando esto en v LSR(R,Θ)LSR solar

seobtiene que


=(V0

R 20

− 1R0

⌈dV

dR

⌋R=R0

)R0

(r cos ` sin ` r + r cos ` cos ` φ

)− Ω (R) r φ

Id. trig.→ =(V0

R0−⌈dV

dR

⌋R=R0

)︸︷︷︸

2A

(r

sin (2`)2 r + r

cos (2`) + 12 φ

)− Ω (R) r φ

= Ar sin (2`) r +Ar cos (2`) φ+ 12

(V0

R0−⌈dV

dR

⌋R=R0

)r φ− Ω (R) r φ.

Para la componente radial ya se tiene lo que se estaba buscando X. Para la componente tangencial (o sea φ) se puedeaproximar, usando que R,R0 r,

Ω (R) ≈ Ω (R0) = V0

R0

y entonces


≈ Ar sin (2`) r +Ar cos (2`) φ+ 12

(V0

R0−⌈dV

dR

⌋R=R0

)r φ− V0

R0r φ

= Ar sin (2`) r +Ar cos (2`) φ− 12

(V0

R0+⌈dV

dR

⌋R=R0

)︸︷︷︸

B

r φ

= Ar sin (2`) r + [A cos (2`)−B] r φ X.

Problema 3Ítem a

El lagrangiano de una partícula en un potencial central es

L = m

2 r2 + mMG

r2Los resueltos de

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donde r es el vector que une a la partícula y a la masa que produce el campo gravitatorio. En coordenadas polares

r = rr ⇒ r = rr + rθθ ⇒ r2 = r2 + r2θ2

esto esL = m

2(r2 + r2θ2)+ mMG

r.

Las ecuaciones de Euler-Lagrange ddt

(dLdq

)= dL

dq para cada coordenada son

Euler-Lagrange→

mr = d

dr

(m

2 r2θ2 + mMG

r

)d

dt

(r2θ)

= 0.

De la segunda ecuación tenemos queL = r2θ→ Se conserva

es una cantidad conservada. Reemplazando en la primera

r = d

dr

(L2

2r2 + MG

r

)donde L2

2r2 + MGr = φe es el potencial efectivo.

Ítem b

Se busca una solución de la formar (t) = r0 + r1 (t)

donde r0 es una solución estacionaria, i.e. corresponde a un punto de equilibrio del potencial efectivo.El potencial efectivo se puede aproximar según

dφedr

=⌈dφedr

⌋r0

+⌈d2φedr2

⌋r0

(r − r0) + . . .

y debido a que r0 es un punto de equilibrio entonces ⌈dφedr

⌋r0

= 0.

Por otro lado, por definición, r − r0 = r1. Entonces la ecuación de movimiento para r1 es

r1 +⌈d2φedr2

⌋r0

r1 = 0

(en algún lugar le chingué a un signo pues lo tuve que forzar el +) y entonces la frecuencia de oscilación es

ω2 =⌈d2φedr2

⌋r0

.

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GUÍA 9 - COSMOLOGÍA

Guía 9 - CosmologíaProblema 2Ítem a

Aclaración La ley de Hubble no se deduce de la ecuación de continuidad, es un hecho observacional. A lo sumo se deducede la relatividad general y algún modelo cosmológico, pero eso excede ampliamente este curso. Lo que la consigna quiso decires “meta la ley de Hubble en la ecuación de continuidad y vea qué pasa”.

Box 2 - Ley de Hubble-Lemaître

La ley de Hubble-Lemaître (es un hecho observacional que) establece que

1. A escalas extragalácticas (10 Mpc o más) los objetos presentan un redshift que se interpreta como unavelocidad de recesión (o sea, que se alejan) respecto a La Tierra.

2. La velocidad de recesión obtenida mediante el redshift observado satisface

v ≈ H0r

donde v es la velocidad del objeto en cuestión con respecto a La Tierra y r es el vector que apunta desde LaTierra hasta el objeto en cuestión.

Box 3 - El principio cosmológico

El principio cosmológico establece que a gran escala la densidad del universo es uniforme, es decir

∇ρ = 0 a gran escala.

La ecuación de continuidad es la de siempre

∂ρ

∂t+ ∇ · (ρv) = 0.→ Continuidad para un fluido

Desarrollando ∇ · (ρv) = ∇ρ · v + ρ∇ · v y asumiendo la validez del principio cosmológico

∇ρ = 0→ Principio cosmológico

entonces la ecuación de continuidad es∂ρ

∂t+ ρ∇ · v = 0.

Si ahora usamos la ley de Hubble-Lemaître

v = H (t) r→ Ley de Hubble-Lemaître

y usamos que ∇ · r ≡ 3 obtenemos finalmente

H = − 13ρ∂ρ

∂t.→ Esto es lo que pedía la consigna

Ítem b

Reemplazando H = RR en la ecuación hallada en el ítem previo se obtiene

1R

∂R

∂t= − 1

3ρ∂ρ

∂t⇒ ∂

∂t

(ρR3) = 0 ⇒ ρR3 = constante.

Escribiendo a la constante como ρ0R30 se obtiene que

ρR3 = ρ0R30

y la interpretación de esto es que si R (t) representa un volumen entonces

M = ρ (t)R3 (t) → Masa no depende de t

es la masa contenida en dicho volumen, y como ρ y R evolucionan de modo tal que M es independiente de t, se dice que Res el radio de una esfera que “se mueve con la materia”, o algo así. Como que R fuese el radio del universo es la idea.

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https://en.wikipedia.org/wiki/Hubble%27s_law

https://en.wikipedia.org/wiki/Hubble%27s_law

https://en.wikipedia.org/wiki/Cosmological_principle




Problema 2 GUÍA 9 - COSMOLOGÍA

Ítem c

La ecuación de Euler es∂v

∂t+ (v ·∇)v = −

7

Ppio. cosmológico

∇p

ρ−∇φ→ Euler

donde φ es el potencial gravitatorio que satisface, al igual que el potencial electrostático, la ecuación de Poisson

∇2φ = 4πGρ.→ Poisson

Reemplazando la ley de Hubble v = H (t) r en la ecuación de Euler se obtiene

r∂H

∂t+H2 (r ·∇) r = −∇φ.

r(H +H2) = ← (r ·∇) r = r

Multiplicando por ∇· a ambos lados de la ecuación esto es

∇ · r(H +H2) = −∇2φ

y ahora usando ∇ · r ≡ 3 y ∇2φ = 4πGρ (Poisson) encontramos que

H +H2 = −4π3 Gρ.

Reemplazando H ≡ RR el término de la izquierda es

H +H2 = R

R−R2

R2︸︷︷︸H

+R2

R2

por lo tantoR = −4πG

3 ρR.

Finalmente, usando ρ = ρ0R3

0R3 ,

R = −4πGρ0R30

3R2 . X

Ítem d

Para integrar se usa el siguiente truco

Rdef= dR

dt

Chain rule→ = dR

dR

dR

dt

= dR

dRR

= d

dR

R2

2 .

Reemplazando esto en la ecuación del ítem previo se obtiene

dR2

dR= −8πGρ0R

30

3R2 ⇒ dR2 = −8πGρ0R30

3R2 dR ⇒ R2 = 8πGρ0R30

3R + c

o bien, definiendo la constante de integración negativa,

R2 = 8πGρ0R30

3R − k.

El motivo por el cual sólo nos interesa k ∈ 0, 1,−1 es porque R se define a través de H = RR y como es evidente está

definido a menos de una constante multiplicativa. Esto hace que siempre se pueda redefinir R de modo tal que k ∈ 0, 1,−1.

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Ítem e

Del ítem previo se puede despejar ∣∣ R ∣∣ =√

8πGρ0R30

3R − k.

Aquí se pueden distinguir dos regímenes:

1. Para k = − | k | (o sea k ∈ (−∞, 0]) se tiene que

∣∣ R ∣∣ =√

8πGρ0R30

3R + | k |.

Acá se puede ver que la expansión (o contracción) del universo es eterna ya que si R > 0 en algún momento, siemprelo será sin importar el valor de R.

2. Para k| k | = 1 (o sea k > 0) la ecuación anterior es

∣∣ R ∣∣ =√

8πGρ0R30

3R − | k |.

En este caso existe un valor de R = Rmax tal que R = 0, y es

Rmax = 8πGρ0R30

3 | k | .

Para saber qué ocurre después, i.e. si se empieza a contraer, si se queda estanco o si se vuelve a expandir, hay que calcularderivadas temporales de orden superior. Reemplazando el valor de R0 en la expresión encontrada con anterioridad paraR se obtiene ⌈

R⌋Rmax

= − 3 | k |2

16πGρ0R30

y como⌈R⌋Rmax

< 0 entonces efectivamente sigue una contracción.

Ítem f

Se defineΩ def= ρ

3H2

8πG.→ Parámetro de densidad

Usando ρ = ρ0R3

0R3

Ω = 8πGρ0R30

3R1

R2H2

R2 = 8πGρ0R30

3R − k → = R2 + k

R2H2


k = R2H2Ω− R2

H ≡ R

R→ = R2 (Ω− 1) .

Como R2 > 0 entonces el signo de k depende de Ω ≷ 1.

Ítem g

De acuerdo a lo que vimos en clase la ecuación del calor es

32k

mρ

(∂T

∂t+ v ·∇T

)+ p∇ · v = 0→ Eq. del calor

donde k no estoy seguro si es la constante de Boltzmann u otra cosa, y m no sé qué es. El principio cosmológico (ver box 3)establece que el universo es homogéneo, en consecuencia

∇T = 0.→ Cosmological principleLos resueltos de

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Además la ley de Hubble (ver box 2) dice que v = Hr. Entonces

12k

mρ∂T

∂t+ pH = 0

donde se usó ∇ · r = 3. Ahora usamos la presión de radiación y la del gas idealpr = 4σ3c T

4 → Radiation

pm = nkT → Matter

y además H ≡ RR y ρ = ρ0

(R0R

)3 por lo tanto la ecuación previa es

kρ0

2mR3

0R3

∂T

∂t+ ξT ζ

1R

∂R

∂t= 0 ⇒ kρ0R

30

2mξ T−ζ dT = −R2 dR

donde ξ y ζ son las constantes correspondientes a radiación o a materia. Integrando lo anterior se obtienekρ0R

30

2mξT 1−ζ

1− ζ = −R3

3 if ζ 6= 1

kρ0R30

2mξ lnT = −R3

3 if ζ = 1

de donde se despeja

T ∼

R

31−ζ if ζ 6= 1

eR3

if ζ = 1.

En el caso de la presión de radiación ζ = 4 por lo tanto

T ∼ R−1→ Para radiación X

y para la presión del gas ideal ζ = 1 por lo tanto T ∼ eR3 jaja.

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https://en.wikipedia.org/wiki/Radiation_pressure#Compression_in_a_uniform_radiation_field




FORMULAS

FormulasBox 4 - Fórmulas matemáticas

∞

0

e−x dx = 1∞

0

√xe−x dx =

√π

2fx (x) distribución

x = g (y) cambio de variable

⇒ fy (y) = fx (g (y)) dg

dy

Box 5 - Fórmulas de la guía 1

Black body radiation→ I =

2hν3

c21

exp(hνkT

)− 1

→ En términos de ν

2hc2

λ51

exp(hcλkT − 1

) → En términos de λ

E =ˆI dν = σT 4→ Stephan-Boltzmann

L =˛F · ds→ Luminosidad en función del flujo

Leyes de Kepler Las leyes de Kepler son:

1. Las órbitas son elípticas, estando el sol en uno de los ejes.

2. El radio vector que une al planeta con el sol recorre áreas iguales en tiempos iguales.

3. Se satisface T 2 = 4π2

G(m1+m2)a3 donde T es el período orbital y a el semieje mayor de la elipse.

Método de paralaje Determina distancia de “objetos cercanos” midiendo el ángulo del siguiente dibujito:θd

. Entonces tan θ = 1 AUd .

Box 6 - Fórmulas de fluidos clásicos

Maxwell-Boltzmann→

fp (r,p) = n (r)(2πkT (r))3/2

exp(− (p−mu (r))2

2mkT (r)

)

fv (v) =( m

2πkT

)3/2

exp(−mv

2

2kT

)fv (r, |v |) = 4π

(m

2πkT (r)

)3/2

v2 exp(− mv2

2kT (r)

)f centrífuga = −ρω × (ω ×R)fCoriolis = −2ρω × u

∂tu+ (u ·∇)u = −∇p

ρ+ f→ Navier-Stokes p = nkT → Gas ideal

Pij (r) = 1m

ˆpipjf (r,p) d3p→ Tensor de presiones

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FORMULAS

Box 7 - Fórmulas relatividad especial

pµ = mγ

[cv

]=[E/cp

]E2

c2= p2 +m2c2

β = v

c

γ =(1− β2)−1/2

Redshift→ z =

λobservado − λemitido

λemitidoνemitido − νobservado

νobservado

νobservada = νemitida (1− β · r) γ→ Doppler

Box 8 - Fórmulas de transporte de radiación

dEnergía = Iν dΩ dν dS dt Iν (r) = h4ν3

c2

ˆfν (r,p) d3p Jν (r, t) def= 1

4π

‹Iν dΩ qν

def=?

1c

‹uIν dΩ

qν = qλ

∣∣∣∣ dλdν∣∣∣∣ Lν

def=‹

qν · ds (pν)ij = 1c3

‹Jνuiuj dΩ pν = 1

3 tr(

(pν)ij)

m =

m0 − 2,5 log

(q

q0

)m0 − 5 log

(r0

r

) → Magnitud aparente M =

m− 2,5 log

(dqc10 pc

q

)m− 5 log

(r

10 pc

) → Magnitud absoluta

∂tIν + u ·∇Iν = (Sν − Iν) ρκν

Sν = eν + σνJνκν

→ Función fuente

κν = kν + σν → Opacidadkν → Coeficiente de absorciónσν → Coeficiente de scatteringρ → Densidad de absorbenteseν → Emisividad

∂tIν + (u ·∇) Iν = ρc [eν + σνJν − kνIν − σνIν ]

Black body→Bν =

2hν3

c21

exp(hνkT

)− 1

2hc2

λ51

exp(hcλkT − 1

) eν = kνBν→ En eq. termodinámico

µdef= cos θ

τνdef=∞

z

ρκνcdz

dτν = −ρκνcdz

Box 9 - Fórmulas medio interestelar

〈ε〉 = kT

2 → Equipartición cV = 32k

mψ = ρ2

ρ1,M = u

vs, v2s = γp

ρ

Rankine-Hugoniot→(referencial del choque)

ρ1u1 = ρ2u2

p1 + ρ1u21 = p2 + ρ2u

22

u21

2 + γ

γ − 1p1

ρ1= u2

22 + γ

γ − 1p2

ρ2

γ = n+ 2n

n = 3⇒

ρ1u1 = ρ2u2

p1 + ρ1u21 = p2 + ρ2u

22

u21

2 + 52p1

ρ1= u2

22 + 5

2p2

ρ2

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FORMULAS

Box 10 - Fórmulas estructura y evolución estelar

τH =

√R3

GM?

τKH = Egravitatoria

L= GM2

?

LR

τN = Enuclear

L= QM?c

2

L

dp

dr= −GMrρ

r2

dMr

dr= 4πr2ρ

dL

dr= 4πr2ρε

dT

dr= − 3κRρ

16πacr2T 3LT

P (ρ, T,Xi) = ρkT

µmH+ a

3T4

ε (ρ, T,Xi) → P-P, CN0κR (ρ, T,Xi) → Opacidad de Rosland

E = Einterna + Egravitatoria→ Virial fgravitatoria = −MrG

r2 r Gas ideal⇒ Einterna = 32kT

1x2

d

dx

(x2 dψ

dx

)+ ψn = 0→ Lane-Emden p = Kργ→ Politrópica

r = αx → Coordenada radialρ = ρ0ψ

n → Densidad

γ = 1 + 1n

4πGα2 = K (n+ 1) ργ−20 Mpolítropa = −1√

4π

(n+ 1G

K

)3/2 ⌈x2 dψ

dx

⌋x1

ρ3−n2n

Estrellas adiabáticas: Gas monoatómico⇒ γ = cpcV

= 53

Estrellas con pradiación:

ρkT

m= βp

aT 4

3 = (1− β) p

β ∈ (0, 1)

⇒ p =(

3k4

am41− ββ4

)1/3

ρ4/3 ⇒ n = 3

Estrellas de neutriones:

Caso no relativista→ p = h2

5me

(3

8π

) 23

n5/3e ⇒ n = 1,5

Caso relativista→ p = 18

(3π

) 13

chn4/3e ⇒ n = 3

Box 11 - Fórmulas de campos magnéticos

Eqs. MHD→


ρ (∂t + u ·∇)u = −∇p+ 1cJ ×B + ρcargaE → Navier-Stokes

E + 1cu×B = 1

σJ → Ley de Ohm

∂tB = ∇× (u×B) + η∇2B → Eq. de inducciónc∇×B = 4πJ + ∂tE → La agregaron en la práctica

Rmdef= |∇× (u×B) |

| η∇2B |ω2 = k2

zv2A = (k ·B0)2

√4πρ0

vA = B0√4πρ0

→ Alfvén p

ργ= p0

ργ0→ Ideal

Reconexión Sweet-Parker→

uindvAcin

= `

L≡ S−1/2

Lundquist

∇ρ = 0u = E ·D +B ·H

2

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REFERENCIAS REFERENCIAS

Box 12 - Fórmulas galaxias

v ab

= −v ba

v LSRcualquier punto

def= 1N

N∑i=1

v iCualquier punto

Oort→

A = 1

2

(V0

R0−⌈dV

dR

⌋R=R0

)

B = 12

(V0

R0+⌈dV

dR

⌋R=R0

)

r = rr

r = rr + rθθ

r =(r − rθ2) r +

(2rθ + rθ

)θ


= Ar sin (2`) r + (A cos (2`)−B) r φ Notación→v de quiénrespecto a quién

Box 13 - Fórmulas cosmología

v = H (t) r→ Hubble law H (t) ≡ R

R→ Scale factor z = R0

R− 1→ Redshift Ω def= ρ

ρ0ρ0 = 3H2

08πG

R2 = 8πGρ0R30

3R − k 32k

mρ

(∂T

∂t+ v ·∇T

)+ p∇ · v = 0→ Eq. del calor

Referencias[Carroll and Ostlie, 2017] Carroll, B. W. and Ostlie, D. A. (2017). An introduction to modern astrophysics. Cambridge

University Press.

[Choudhuri, 2010] Choudhuri, A. R. (2010). Astrophysics for physicists. Cambridge university press.

[Jackson, 1999] Jackson, J. D. (1999). Classical electrodynamics. John Willey and Sons.

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