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Guía MatemáticaVECTORES

tutora: Jacky Moreno

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1. Cantidades vectoriales y escalares

En general, dentro de las matematicas, estamos acostumbrados a trabajar con magnitudes que quedanconocidas tan solo especificando su valor numerico y/o su unidad de medicion. Por ejemplo, al decir queel volumen de un cubo es 100 [m3] o que el area de un triangulo es de 12 [cm2] nos basta para poderdescribir y entender el problema con el cual estamos trabajando. Pues bien, este tipo de cantidades quequedan definidas unicamente por su magnitud se conocen como magnitudes escalares.

Una cantidad escalar es aquella que queda determi-nada solo cuando se conoce su magnitud.

Sin embargo, existen algunas magnitudes que no quedan completamente determinadas si unicamentese proporciona su magnitud. Por ejemplo, al decir que un auto se desplaza a 80 [km/h] no me bastapara describir el movimiento que esta realizando, ya que desconozco la direccion de su movimiento yel sentido en que se esta desplazando. Este tipo de cantidades que requieren de una mayor informacionpara ser descritas se conocen como magnitudes vectoriales, puesto que se pueden representar a travesde vectores.

Una cantidad vectorial es aquella que queda deter-minada por su magnitud, su direccion y su sentido.

2. Vectores

Como ya mencionamos anteriormente un vector queda definido cuando se especifica su magnitud,direccion y sentido. Graficamente estas tres caracterısticas se pueden representar por medio de una flecha.

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En la figura, la flecha rosada representa al vector AB, en donde A es el punto inicial u origen y Bes el punto final o extremo. Tambien podemos designar a un vector usando una letra minuscula, porejemplo, v representa el vector ~v.

En base a la representacion grafica de los vectores podemos identificar sus elementos de la siguientemanera:

Magnitud: Corresponde a la longitud del segmento AB y se representa por |~v|.

Direccion: Corresponde a la recta que pasa por el origen y el extremo del vector.

Sentido: Esta indicado por la punta de la flecha, partiendo desde el origen A trasladandose haciael extremo B.

Desafıo 1

¿Por cuantas flechas puede ser representado el vector ~v = (3, 2)?

Respuesta

Como vimos, cualquier vector se puede representar geometricamente por medio de una flecha, sin em-bargo, tambien podemos describir un vector de forma analıtica por medio de sus coordenadas cartesianas.Ası entonces, el vector ~v de la figura se puede representar en el plano en forma de un par ordenado,indicando en la primera coordenada las unidades horizontales que nos debemos desplazar para ir desde elorigen al extremo del vector y en la segunda coordenada las unidades verticales que nos debemos desplazarpara realizar el mismo movimiento.

~v = (x, y)

En general, la forma analıtica de un vector cuyo origen es el punto A(x1, y1) y cuyo extremo es elpunto B(x2, y2) es:

~v = (x2 − x1 , y2 − y1)

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Basandonos en la representacion analıtica de los vectores podemos decir que la magnitud de un vectorcualquiera ~v = (x, y) se puede determinar, usando el teorema de Pitagoras, de la siguiente forma:

|~v| =√x2 + y2

- Ejercicios 1

1. Representa graficamente y calcula la magnitud de los siguientes vectores en el plano cartesiano cuyospuntos de origen y extremo se senalan a continuacion:

a) A(0, 0) y B(5,−3)

b) C(2,−2) y D(2, 2)

c) X(7,−3) y Y (−5, 2)

d) A′(5, 2) y B′(4, 1)

e) M(0,−1) y N(8, 9)

f ) P (4, 0) y Q(5,−12)

3. Operaciones basicas con vectores

3.1. Adicion

Graficamente, para sumar dos vectores arbitrarios ~v y ~u, debemos primeramente dibujar el vector ~v yluego el vector ~u con su origen empezando desde el extremo de ~v tal como lo muestra la figura. El vectorresultante ~p es el dibujado desde el origen de ~v hasta el extremo de ~u. ¿Es conmutativa la suma entrevectores?

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Regla del paralelogramo

Esta regla es un metodo grafico alternativo para sumar dos vectores. Si queremos sumar el vector ~u alvector ~v debemos dibujar los dos vectores de manera tal que sus orıgenes coincidan en un mismo punto,el vector resultante ~p es la diagonal del paralelogramo formado por los vectores ~u y ~v con la proyeccionde sus lados, tal como lo muestra la siguiente figura.

Ahora bien, si queremos sumar dos vectores cualesquiera ~v = (x1, y1) y ~u = (x2, y2) de forma analıtica,debemos sumar sus respectivos componentes:

~v + ~u = (x1 + x2 , y1 + y2)

Desafıo 2

¿Como realizarıas de forma grafica la suma de 4 vectores cualesquiera?

Respuesta

3.2. Vector negativo

El negativo de un vector ~v corresponde a otro vector que al sumarse con ~v da como resultado ceropara la suma vectorial, es decir:

~v + ( ~−v) = 0

Por lo tanto, el negativo de un vector, corresponde al mismo vector pero con el sentido contrario, esdecir, poseen la misma direccion y magnitud pero la punta de la flecha va hacia el otro lado.

3.3. Sustraccion

Para restar dos vectores cualesquiera ~u y ~v debemos entender la sustraccion de vectores como laadicion del ~v con el negativo del ~u, es decir:

~v − ~u = ~v + (−~u)

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Luego, para realizar esta operacion de forma grafica basta realizar la construccion geometrica de laadicion antes vista, tal como se muestra en la siguiente figura.

Ahora bien, si queremos restar dos vectores cualesquiera ~v = (x1, y1) y ~u = (x2, y2) de forma analıtica,debemos restar sus respectivos componentes:

~v − ~u = (x1 − x2 , y1 − y2)

3.4. Multiplicacion de un vector por un escalar

Si multiplicamos un vector ~v por un escalar positivo k, el producto k~v es un vector con la mismadireccion y sentido que ~v, pero con magnitud kv.

Si ahora multiplicamos el ~v por una magnitud negativa t, el producto t~v es un vector con la mismadireccion que ~v pero que apunta en el sentido contrario y tiene una magnitud igual a tv.

Ahora bien, si queremos multiplicar un vector arbitrario ~v = (x1, y1) en su forma analıtica por unnumero real k, debemos multiplicar cada componente del vector por el numero k:

k~v = (kx1 , ky1) con k ∈ R

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Desafıo 3

Comprueba la siguiente afirmacion:

k · (~p + ~q) = k · ~p + k · ~q con k ∈ R

Respuesta

Desafıo 4

¿Que ocurre si multiplicamos un vector ~v con un escalar k ∈ (−1, 1)?

Respuesta

. Ejemplo

Determinar el valor de x en la siguiente operacion:

6(x, 6) + (4x, 7) = 8(1,−1)− (−9, 4)

Solucion: Resolvamos la operacion anterior de forma analıtica utilizando las propiedades antes vistas:

6(x,−1) + (4x,−6) = 8(1,−1)− (−9, 4)

(6x,−6) + (4x,−6) = (8,−8)− (−9, 4)

(6x + 4x,−6 +−6) = (8−−9,−8− 4)

(10x,−12) = (17,−12)

Por lo tanto tenemos que la primera coordenada de los pares ordenados deben ser iguales, es decir:

10x = 17

x =17

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- Ejercicios 2

1. Comprueba grafica y analıticamente las siguientes propiedades para la adicion de vectores:

a) ~p + ~q = ~q + ~p

b) ~p + (~q + ~m) = (~p + ~q) + ~m

c) ~p + ~q = ~q + ~p

2. Efectua las siguientes operaciones de manera grafica y analıtica:

a) (12,−5) + (1, 0)

b) (−3,−3)− (−4,−2)

c) −2(−5, 6) + 5(7,−2)

d) 9(2,−2)− 6(7, 3) + 3(−3, 5)

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3. Determina el valor de x e y en las siguientes operaciones:

a) 5(2x, 3) + (6, 11y) = (1, 1)

b) (x, 25) + (12, y)− (3, 7) = (4, 9)

c) 3(3x, 5)− 4(x, 6)− 2(0, y) = 3(x, 3) + (2, 5y)

4. Resuelve las siguientes operaciones de manera analıtica y grafica de acuerdo a los datos entregadospor el paralelepıpedo de la figura:

a)−−→AB +

−→AE

b)−−→HA +

−−→HG

c)1

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−−→FE +

−−→FG

d)−−→FC +

−−→GC −

−−→AB

5. Un triangulo de vertices A(2, 5), B(6, 5) y C(3, 3) se traslada de acuerdo al vector ~t = (4,−2).

a) Dibuje y calcule la magnitud del vector traslacion cuyo origen es el punto O(0, 0).

b) Dibuje la imagen que se obtiene al realizar la traslacion.

c) ¿Cuales son los nuevos vertices del triangulo trasladado?

6. Una circunferencia de radio 5 y centro O(−4, 4) se traslada respecto al vector ~t = (−3, 2).

a) Dibuje y calcule la magnitud del vector traslacion cuyo origen es el punto O(0, 0).

b) Dibuje la imagen que se obtiene al realizar la traslacion.

c) ¿Cual es el nuevo centro de la circunferencia trasladada?

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Desafıos resueltos

3 Desafıo 1: Si bien los vectores se identifican por medio de una flecha determinada, representan unadireccion, un sentido y una magnitud, por lo tanto pueden ser representados por infinitas flechascon distinto origen.A continuacion se muestran algunas flechas que representan el mismo vector ~v = (3, 2).

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3 Desafıo 2: Para encontrar el vector resultante de mas de dos vectores, en este caso 4, se trazan losvectores de modo que la extremidad del primero coincida con el origen del siguiente. Ası entonces,para sumar ~q con ~p con ~v con ~u se debe proceder como muestra la siguiente imagen.

~a = ~q + ~p + ~v + ~u

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3 Desafıo 3: Sea ~p = (x1, y1) y ~q = (x2, y2) tenemos lo siguiente:

k(~p + ~q) = k(x1 + x2 , y1 + y2)

= (kx1 + kx2 , ky1 + ky2)

= (kx1, ky1) + (kx2, ky2)

= k(x1, y1) + k(x2, y2)

= k~p + k~q

Por lo tanto k(~p + ~q) = k~p + k~q. Volver

3 Desafıo 4: Cuando multiplicamos un vector arbitrario ~v con un escalar mayor que cero, este conservasu direccion y sentido pero sufre un “estiramiento”, mientras que si el escalar es menor que cero ladireccion se conserva, pero el sentido cambia y tambien podemos observar que el vector se estira oprolonga. Pero si ahora el escalar se encuentra en el intervalo (−1, 1) no ocurre lo mismo, puesto queahora lo estamos multiplicando por numeros menores que la unidad, es decir, el vector se “contrae”,si el escalar es negativo el vector cambiara de sentido pero sera mas pequeno, tal como se apreciaen la figura.

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Bibliografıa

[1 ] Manual de preparacion PSU Matematica, Quinta Edicion,Oscar Tapıa Rojas, Miguel Ormazabal Dıaz-Munoz, David Lopez, Jorge Olivares Sepulveda.

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