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Guía de Estudios Matemáticas


Ing. Edison Patricio Nagua Nagua

GUÍA DE ESTUDIOS

DATOS INFORMATIVOS CARRERA: Tecnología Superior en Agroecología

NIVEL: Tecnológico

TIPO DE CARRERA: Tradicional

NOMBRE DE LA SIGNATURA: Matemática

CÓD. ASIGNATURA: BAS1MA1

PRE – REQUISITO: Aritmética Básica

CO – REQUISITO: Física

TOTAL HORAS: 89

# DE HORAS POR CADA COMPONENTE

Componente Docencia: 53 horas

Componente de Practicas de Aprendizaje: 36 h

Componentes de Aprendizaje Autónomo: 42 h

SEMESTRE: Primero “A y B”

PERIODO ACADÉMICO: Junio 2020 – Noviembre 2020 (IPA 2020)

DOCENTE RESPONSABLE: Ing. Civil Edison P. Nagua Nagua.

[email protected] tecleadoCopyrigth©2020 Instituto Superior Tecnológico Manuel Encalada Zúñiga. All rigths reserved



ÍNDICE

Pág. Presentación………………………….………………...…...……………………………………. 1 Syllabus de asignatura…….……….………………...…...……………………………………. 2 Orientaciones generales….……….………………...…...……………………………..……..10 Desarrollo de actividades: Unidad 1: Aritmética general.

Números naturales………………….………………...…...…………………………………….13 Números enteros……...…………….………………...…...…………………………………….15 Números racionales……………..….………………...…...…………………………………….17 Números irracionales……………..….……..………...…...…………………………………...18 Números reales……………..….……..………...…...…………………………………………..20 Regla de tres……………..….……..………...…...……………………………………………..21 Regla de tres simple inversa……………..….……..………...…...……………..…………..23 Regla de tres compuesta……………..….……..………...…...……………..……………….25 Porcentaje……………..….……..………...…...………………………………..……………….28 Resumen de unidad...….……..………...…...………………………………..……………….30 Autoevaluación...….……..………...…...……………….……………………..……………….32 Evaluación...….……..……………….…...…...………………………………..……………….33

Unidad 2: Algebra Superior.

Conceptos básicos de algebra ….………………...…...………………………………….....35 Teorema de los exponentes………………………….………………...…...…………………39 Productos notables……….……….………………...…...……………………………………...45 Descomposición factorial………………………….………………...…...…………………….50

Máximo común divisor y Mínimo común múltiplo…...……………………………………. 54 Radicación………………………….………………...…...……………..……………………….56 Racionalización………………………….………………...…...……………..…………………61 Resumen de unidad...….……..………...…...………………………………..……………….66 Autoevaluación...….……..………...…...……………….……………………..……………….67 Evaluación...….……..……………….…...…...………………………………..……………….68

Unidad 3: Trigonometría Plana.

Los ángulos y su medida………….………………...…...…………………………………….71 Razones trigonométricas…………….………………...…...………………………………….76 Relaciones trigonométricas…….……….………………...…...………………..…………….79 Resolver triángulos rectángulos……….………………...…...………………..……………..81 Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera…………….………………...…...….84 Aplicaciones de la trigonometría….………………...…...……………………………………86 Resumen de unidad...….……..………...…...………………………………..……………….87 Autoevaluación...….……..………...…...……………….……………………..……………….88 Evaluación...….……..……………….…...…...………………………………..……………….92


1 Ing. Edison Patricio Nagua Nagua

PRESENTACIÓN

La presente guía tiene como finalidad revisar y aplicar conceptos básicos que cotidianamente necesitamos el de desarrollo de la sociedad. Se ha recopilado una variedad de información iniciando con un objetivo, se relata una breve introducción a cada actividad, se plantean ejercicios resueltos y propuestos, entre ello existe una autoevaluación y evaluación en cada unidad.

En la primera unidad trataremos del estudio de la aritmética conocido como una de las ramas de las matemáticas, cuya finalidad es el estudio de números y las operaciones elementales como son: Suma, Resta, Multiplicación y División.

En la segunda unidad estudiaremos el álgebra superior que es la continuación de la aritmética, donde se desconoce el valor de una de las cantidades sustituyéndolas por variables. La representación de sus variables pueden ser las siguientes a,b,x,y,z etc.

En ultima unidad veremos la trigonometría que se encargada de la relación de sus lados y ángulos de todo tipo triangulo. La trigonometría es una materia auxiliar para las otras ciencias aunque inicialmente se la uso en la navegación y la topografía destinada al estudio de lugares inaccesibles.

Para que tengas un éxito total en las evaluaciones tendrás que revisar y estudiar cada uno de los ejemplos planteados en la guía y verificando los resultados. Si por algún caso tienes alguna dificultad puedes acudir al docente que estará dispuesto a despejar tus dudas en cualquier instante. Éxitos y bienvenido al mundo de los números.

El autor.



SYLLABUS DE LA ASIGNATURA

I. DATOS INFORMATIVOS CARRERA: Tecnología Superior en Agroecología NIVEL: Tecnológico TIPO DE CARRERA: Tradicional NOMBRE DE LA SIGNATURA: Matemática CÓD. ASIGNATURA: BAS1MA1 PRE – REQUISITO: Aritmética Básica CO – REQUISITO: Física # CRÉDITOS: No aplica TOTAL HORAS: 89 POR MODALIDAD, # DE HORAS Componente Docencia: 53 horas DESTINADAS A COMPONENTE. Componente de Practicas de Aprendizaje: 36 h Componentes de Aprendizaje Autónomo: 42 h SEMESTRE: Primero “A y B” PERIODO ACADÉMICO: Junio 2020 – Noviembre 2020 (IPA 2020) DOCENTE RESPONSABLE: Ing. Civil Edison P. Nagua Nagua. II. FUNDAMENTACIÓN La carrera de Tecnología Superior en Agroecología se inscribe como un área prioritaria, pues sus egresados deberán tener impacto en los siguientes ámbitos; satisfacción de las necesidades alimentarias de la población, manteniendo la soberanía en el proceso productivo, sustentabilidad de los agro ecosistemas, disminución del impacto ambiental generado por el uso irracional de agroquímicos (pesticidas y fertilizantes inorgánicos).En este contexto , los profesionales Tecnólogos Superiores en Agroecología contribuirán a garantizar la disponibilidad actual y futura de alimentos mediante el diseño de proyectos productivos sustentables adecuados al entorno de las regiones tropicales. La asignatura se orienta a desarrollar conocimientos y experiencias de carácter general en el campo de la matemática, pertinentes para iniciar al alumno en el nivel superior que le permita adquirir herramientas matemáticas básicas para el desarrollo del pensamiento lógico y crítico. La necesidad de la comprensión del concepto de número, el conocimiento del conteo y del valor del número según su ubicación. El objeto de estudio de la matemática es una ciencia formal que partiendo de axiomas y siguiendo el razonamiento lógico estudia la aritmética general, algebra y trigonometría. El objetivo general de la asignatura es de resolver situaciones problemáticas de su entorno, mediante la aplicación de aritmética, algebra y trigonometría, para medir sus conocimientos matemáticos y capacidad de razonamiento en un ambiente próximo a la vida cotidiana. III. OBJETIVOS ESPECÍFICOS.

Unidad I.- Demostrar el uso correcto de conceptos entre varios autores en lo referente a los números y las operaciones fundamentales, atreves de ejemplos propuestos para la resolución de problemas complejos en el área.



Unidad II.- Calcular el producto notable, la descomposición factorial, la radicación, la racionalización, etc, mediante revisión bibliográfica del álgebra general para compararlos en situaciones problemáticas diarias.

Unidad III.- Interpretar los conceptos de relaciones en los triángulos, mediante leyes del comportamiento de las funciones para la respectiva solución de problemas del entorno cotidiano.

IV. CONTENIDOS.

Sistema general de conocimiento. Unidad I: Aritmética general. Unidad II: Algebra superior Unidad III: Trigonometría plana Sistema general de habilidades. Unidad I: Demostrar el uso correcto de conceptos entre varios autores en lo referente a los números y las operaciones fundamentales matemáticas. Unidad Il: Calcular el producto notable, le descomposición factorial, la radicación, la racionalización, etc. Unidad Ill: Interpretar los conceptos de relaciones en los triángulos, mediante las leyes del comportamiento de las funciones y su integración a la teoría lógica. Sistema general de valores.

Respeto y consideración a los compañeros.

Responsabilidad en los trabajos expuestos. V. PLAN TEMÁTICO.

DESARROLLO DEL PROCESO CON TIEMPO EN HORAS

TEMAS DE LA ASIGNATURA C CP S CE T L E THP TI THA

Aritmética general. 5 14 6 25 14 39

Algebra Superior 8 18 7 2 35 16 51

Trigonometría Plana 4 17 4 2 27 12 39

EXAMEN FINAL 2 2 2

Total de horas 17 49 17 - 6 89 42 131

Leyenda C - Conferencias. S - Seminarios. CP - Clases prácticas. CE - Clase encuentro. T - Taller.

L - Laboratorio.

E - Evaluación. THP -Total de horas presenciales. TI - Trabajo Independiente. THA -Total de horas de la asignatura.



VI. SISTEMA DE CONTENIDOS POR UNIDADES DIDACTICAS.

Unidad I: Aritmética General Objetivo: Demostrar el uso correcto de conceptos entre varios autores en lo referente a los números y las operaciones fundamentales, atreves de ejemplos propuestos para la resolución de problemas complejos en el área. Sistema de contenidos de la unidad didáctica I

Sistema de Conocimientos Sistema de Habilidades Sistema de Valores

Números naturales Números reales Regla de tres simple directa e inversa Regla de tres compuesta directa e inversa Tanto por ciento

Revisar con eficacia la información. Interpretar el idóneo entre varios caminos de resolución. Identificar procesos cognitivos usados en la resolución de problema en razones y proporciones. Determinar el valor de una proposición lógica y las operaciones que las relacionan. Analizar los procedimientos para hallar el porcentaje en operaciones más usadas en el medio. Resolver problemas aplicando las técnicas aprendidas.

Respeto y consideración a los

compañeros. Responsabilidad en los trabajos expuestos.

Porcentaje



Unidad Il: Algebra Superior Objetivo: Calcular el producto notable, la descomposición factorial, la radicación, la racionalización, etc, mediante revisión bibliográfica del álgebra general para compararlos en situaciones problemáticas diarias.


Conceptos básicos de algebra Teorema de exponentes Operaciones con exponentes Productos notables

Resolver analíticamente la distancia entre dos puntos.


compañeros

Calcular la división de rectas. Determinar la ecuación de una recta dada, a partir de dos puntos. Identificar los diferentes elementos de los radicales. Calcular monomios, binomios, trinomios y polinomios aplicando la descomposición factorial.

Responsabilidad en los trabajos

encomendados y expuestos.

Descomposición factorial Máximo común divisor y múltiplo Radicación Racionalización



Unidad Ill: Trigonometría Plana Objetivos: Interpretar los conceptos de relaciones en los triángulos, mediante las leyes del comportamiento de las funciones y su integración a la teoría lógica para la solución de problemas del entorno cotidiano.


La trigonometría Sistema de medición Angular Razones trigonométricas

Comparar e interpreta las diferentes fuentes teóricas.

Reconocer las propiedades de cada función trigonométrica

Diferenciar y aplica las particularidades de las relaciones fundamentales.


compañeros.

Responsabilidad en los trabajos

encomendados y expuestos

VII. ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Y DE ORGANIZACIÓN DE LA

ASIGNATURA La asignatura se imparte en cinco horas semanales. En cada clase se presentará el tema y el objetivo con la habilidad que se espera alcanzar. Cada estudiante se anticipará revisando los temas propuestos en cada unidad, de manera que se pueda establecer un intercambio de opiniones sobre los temas tratados. La puntualidad a las sesiones de trabajo es de vital importancia, por ello se pasará lista al iniciar la clase. Toda la asignatura se puede revisar en el texto base y en la bibliografía complementaria. Sin embargo, para guardar un histórico de las sesiones de trabajo, el estudiante deberá documentar todas las actividades de aprendizaje mediante un portafolio. La asignatura contará con: clases tipo conferencia para explicar los fundamentos teóricos, talleres individuales y grupales como refuerzo de actividades, clases prácticas para desarrollar en el aula ejercicios referentes a la asignatura. Los métodos apropiados en la asignatura serán, activos, cooperativos y participativos. Entre las técnicas que más se usarán están: Solución de problemas, generación de ideas, participación activa. Al finalizar cada unidad se medirá los conocimientos del estudiante mediante una evaluación escrita y/o práctica.

VIII. RECURSOS DIDÁCTICOS

Básicos: Marcadores, borrador, pizarra de tiza líquida.

Técnicos: documentos técnicos de apoyo.



IX. SISTEMA DE EVALUACIÓN DE LA ASIGNATURA La evaluación se hará de acuerdo al Reglamento de Evaluación del Instituto y el cronograma establecido para el semestre. Adicionalmente, la evaluación será diagnóstica, formativa y sumativa, con antelación terminada en las clases, presentación de informes escritos como producto de investigaciones bibliográficas considerándolas necesarias y complementarias para una valoración global y objetiva de lo que ocurre en la situación de enseñanza y aprendizaje. Los estudiantes serán evaluados con los siguientes parámetros, considerando que la calificación final de la asignatura está dada por un examen final que corresponde al 30% de la valoración total, el restante 70% se lo debe distribuir de acuerdo a los demás parámetros, considerando que por cada parcial se debe rendir un examen equivalente al 20% en cada una. Todas las pruebas, evaluaciones, trabajos orales o escritos serán sobre diez (10,00) puntos; pudiendo el estudiante, por cada uno de los parciales y por asignatura, obtener una calificación de diez (10,00) puntos como máximo. La nota mínima a registrar es 0.01, con la utilización de dos decimales. No se aplicará ninguna forma de redondeo. Se utilizará el método promedio para el cálculo de las calificaciones parciales y final.

Evaluaciones Parciales:

Pruebas parciales dentro del proceso, determinadas con antelación en las clases.

Presentación de informes escritos como producto de investigaciones bibliográficas.

Participación en clases a partir del trabajo autónomo del estudiante.

Trabajo Individual de cada estudiante.

Trabajo grupal entre estudiantes. Exámenes:

Examen, del parcial I

Examen, del parcial II

Examen Final, proyecto integrador de saberes.

Parámetros de Evaluación:

PARÁMETROS DE EVALUACIÓN PUNTAJES

1er. PARCIAL 2do. PARCIAL

Participación en clases 1,00 1,00

Deberes y trabajos. 1,00 1,00

Lección Escrita 1,00 1,00

Portafolio 1,00 1,00

Trabajos Grupales/ individuales 1,00 1,00

Examen parcial 2,00 2,00

SUMAN 7,00 7,00

PROMEDIO 7,00

Examen Final 3,00

SUMAN 10,00

Para la aprobación de las asignaturas, los estudiantes deberán alcanzar un puntaje mínimo de siete sobre diez puntos (7,00/10,00). Siendo de carácter obligatorio la defensa del proyecto/actividad de vinculación.



La evaluación de recuperación se podrá rendir por una sola vez durante cada periodo académico, cuando el estudiante no haya alcanzado la nota mínima aprobatoria de la asignatura, curso o equivalente. La calificación de esta evaluación tendrá un valor del 60% y será acumulado al 40% de la nota anterior. No tendrán derecho a este tipo de pruebas, aquellos estudiantes que hayan perdido la asignatura por inasistencias, retiro, los que cursen tercera matrícula; y, los que no hayan alcanzado una nota mínima de 2,50/10,00 en la nota final. Acreditación

a) Presentación de un proyecto por escrito

b) Disertación del proyecto Como examen final de la asignatura se realizará un proyecto de vinculación conformado en equipos de trabajo, que se constituirán en equipos de discusión, planificación, ejecución, evaluación y difusión de resultados, y su evaluación será de manera individual con su debida sustentación y defensa del proyecto. De tal manera que, como examen final de la asignatura se realizará un proyecto integrador junto con las asignaturas del semestre, dirigidas a actividad denominada CAPACITACIÓN SOBRE LOS EFECTOS DE LAS CONDICIONES CLIMÁTICAS EN LA PRODUCCIÓN DE CULTIVO DE ARROZ. Para el proyecto integrador se evaluara los siguientes parámetros:

Aporte de la asignatura 1.50

Calculo del área de terreno en los diferentes cultivos de arroz. Aplicación de fórmulas para determinar la diferencia de temperatura en el ambiente.

0.75

0.75

Exposición 0.75

Dominio del tema 0.25

Material de apoyo 0.25

Presentación personal 0.25

Informe 0.75

Estructura 0.25

Coherencia del documento 0.25

Dominio del uso de los métodos y técnicas de la profesión

0.25

TOTAL 3.00



Además, es importante que recuerde que puede reprobar la asignatura por exceso de inasistencias injustificadas. En Matemáticas se reprueba con el 20% de faltas. Las evaluaciones y actividades extra clase atrasadas pueden ser presentadas únicamente con la respectiva justificación ante Vicerrectorado. Dentro de la equivalencia de notas se clasifica de la siguiente manera:

10,00 a 9,50 Excelente

9,49 a 8,50 Muy bueno

8,49 a 8,00 Bueno

7,99 a 7,00 Aprobado

6,99 a menos Reprobado

X. BIBLIOGRAFÍA

MARGALLO TORAL, José. Matemáticas, 3 ESO (1 edición). Editorial Editex, S.A.. ISBN 978-84-9771-427-3., España. 2010 ARYA. Lardner . Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía. Cuarta edición. Prenti ce Hall. México 2002 HOFFMANN, BRADLEY, Rosen , Cálculo aplicado para administración, economía y ciencias sociales. Octava edición. McGraw Hill. México. 2006. HAUSSLER Y PAUL . Matemáticas para Administración y Economía. Décima edición. Pearson, Prentice Hall, México D. F. 2003 AURELIO BALDOR. Aritmética y Algebra. Décima edición. Español, 2013. Editorial Patria. WEB

Elaborado por: Revisado por: Aprobado por:

Ing.Civil Edison P. Nagua Nagua

Docente

Ing. Agro. Yamile Orellana

Coordinador Académico

Dra. María Isabel Jaramillo

Vicerrectora



ORIENTACIONES PARA EL USO DE LA GUÍA DE ESTUDIOS

Antes de empezar con nuestro estudio, debes tomar en cuenta lo siguiente: 1. Todos los contenidos que se desarrollen en la asignatura contribuyen a tu

desarrollo profesional, ética investigativa y aplicación en la sociedad. 2. El trabajo final de la asignatura será con la aplicación de la metodología de

investigación científica. 4. En todo el proceso educativo debes cultivar el valor de la constancia porque no

sirve de nada tener una excelente planificación y un horario, si no eres persistente. 5. Para aprender esta asignatura no memorices los conceptos, relaciónalos con la

realidad y tu contexto, así aplicarás los temas significativos en tu vida personal y profesional.

6. Debes leer el texto básico y la bibliografía que está en el syllabus sugerida por el docente, para aprender los temas objeto de estudio.

7. En cada tema debes realizar ejercicios, para ello debes leer el texto indicado para después desarrollar individual o grupalmente las actividades.

8. A continuación te detallo las imágenes que relacionadas a cada una de las actividades:

IMAGEN SIGNIFICADO

Sugerencia

Talleres

Reflexión

Subir Tareas al Aula Virtual Amauta

Apuntes clave

Foros



Resumen

Evaluación

9. Animo, te damos la bienvenida a este nuevo periodo académico.



UNIDAD DIDACTICA 1

ARITMÉTICA GENERAL

Introducción. Como todo conocemos la Aritmética es una rama de las matemáticas cuyo objeto es el estudio de los números y las operaciones elementales como son:

-Suma -Resta -Multiplicación -División.

De igual manera como en otras áreas de la matemática, como son el álgebra o la geometría, el sentido de la aritmética ha ido desarrollándose paulatinamente. La aritmética ha crecido de manera formal en la Antigua Grecia. En la actualidad, puede referirse a la aritmética elemental, enfocada a la enseñanza de la matemática básica; también al conjunto que reúne el cálculo aritmético y las operaciones matemáticas, específicamente, las cuatro operaciones básicas aplicadas ya sea a números (naturales, fracciones, etc.) como a entidades matemáticas más abstractas (matrices, operadores, etc.); Las cuatro operaciones básicas (o elementales) de la aritmética son las antes mencionadas, algunos registros antiguos de la aritmética datan de la Edad de Piedra: huesos, palos, piedras talladas y escarbadas con muescas, presumiblemente con fines de conteo, de representación numérica y calendarios.

Objetivo de la unidad. Demostrar el uso correcto de conceptos entre varios autores en lo referente a los números y las operaciones fundamentales, atreves de ejemplos propuestos para la resolución de problemas complejos en el área.

Organizador Gráfico de la Unidad

ARITMETICA GENERAL

Números naturales

Números reales

Regla de tres

simple directa

Regla de tres

compuesta Tanto por ciento

Auto evaluación

Porcentaje

Evaluación de la

unidad

Guia de Estudios Matemáticas

1.- NÚMEROS NATURALES N-No.

1.1 Sistema de numeración decimal

1.2 Orden en los números

1.3 Redondeo de un número

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE DE LA UNIDAD DIDÁCTICA 1Actividad de aprendizaje 1 de la unidad didáctica 1:

DESARROLLO DE CONTENIDOS:

Los números TRIANGULARES

El primer número triangular es 1.

El segundo número triangular es 1+2=3.

El tercer número triangular es 1+2+3=6

Es la sustitución, a partir de cierto lugar, de todas las cifras por ceros. Pero si la primera

cifra que se sustituye es 5 o mayor que 5 se aumenta en uno la cifra anterior a la

sustituida. El número 7 261 459 803

Redondeado a unidades de millón : La cifra de los millones es 1, la cifra siguiente es un

4, que 5, luego el nº redondeado es:

7 261 000 000

Redondeado a unidades de millar: La cifra de los millares es 9, la cifra siguiente es un 8,

mayor

que 5, luego el nº redondeado es:

7 261 460 000

Se puede escribir:

513

Dados dos números naturales cualesquiera se cumplirá una de las siguientes opciones:

• El primero es menor que el segundo

• El primero es igual que el segundo

• El primero es mayor que el segundo

El sistema de numeración decimal permite escribir

cualquier número con diez símbolos:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9

Estos diez símbolos se llaman cifras o dígitos.

En un número, el valor de cada cifra depende de la

posición que ocupa: unidades, decenas, centenas,

unidades de mil o de millar, decenas de millar...

¿Sabrías cuál es el centésimo número triangular? Es decir, cuánto

vale

Ten en cuenta que cuando escribes los numeros, hasta el numero treinta es

con una sola palabra.



1.4 Suma

1.5 Resta

1.6 Multiplicación Tarea

1.7 División

1.- Sombrea la cifra que te indican en los siguientes números:

a. Centenas en 126346

b. Decenas de millar en 33848590040

c. Unidades de millar de millón en 734623783774

2.- Utiliza los símbolos < o > para las siguientes parejas de números:

a. 344 ____ 433

b. 553675 ____553756

c. 900900 _____9008990

3.- Aproxima mediante redondeo:

a. 55344 a las centenas

b. 29999999 a las decenas de millar

c. 734545454847 a las unidades de millar de millón

4.- Calcula:

a) (6+3)·5= b) (7+6)·3=

c) 3+3·3= d) 6+4·8=

e) 2·8+3·5= f) 6·7+8·5=

Realiza una

investigación sobre

Jerarquía de las

operaciones.

Profundiza con

ejercicios prácticos.

NOTA: Para completar la trabajo independiente desarrollar la pág.. 5 y 7 del libro

digital 1.

La división es la operación contraria a la multiplicación y se expresa a:b o a/b.

a:b=c significa que a=b·c;

a es el dividendo, b el divisor y c el cociente.

Muchas veces la división no es exacta. Por ejemplo, 45:8 no es una división exacta

porque 8·5=40 y 8·6=48; entonces 45 entre 8 tiene de cociente 5 y de resto 45−40=5.

La multiplicación de un número a, mayor que 1, por otro b es la

suma de a sumandos iguales al número b. Se expresa a x b o a·b;

a y b se llaman factores. Propiedades

• Conmutativa: a·b=b·a

• Asociativa: (a·b)·c=a·(b·c)=a·b·c

División

Los números que intervienen en una resta se llaman minuendo, sustraendo y diferencia:

Minuendo−Sustraendo=Diferencia

380 -100 = 280

Los números que se suman se llaman sumandos. Un paréntesis indica la suma que se

realiza primero. La suma de números naturales tiene las siguientes propiedades:

• Conmutativa: La alteración del orden de los sumandos no altera la suma.

a+b=b+a 777+560=560+777

• Asociativa: Se pueden asociar de cualquier modo los sumandos sin alterar la suma.

a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c). (777+560)+123=777+(560+123)



2.- NÚMEROS ENTEROS Z.

2.1 El conjunto de los números enteros

2.2 Opuesto de un número entero

2.3 Números enteros en la recta numérica

Fig. 2

El valor absoluto de un número entero es la distancia que separa al número

del cero en la recta numérica. Esta medida siempre es una cantidad positiva.

El valor absoluto de un número entero a se simboliza como |a|.

Ejem. El valor absoluto de +14 es 14 porque, en la recta numérica, la

distancia de +14 a 0 es de 14 unidades. Se escribe I +14 I=14.

Estudiamos los números naturales y vimos que sirven

para contar. Sin embargo, hay situaciones que para ser

descriptas correctamente requieren de otro tipo de

números. Los números enteros negativos se usan en

diversos contextos. Esta decisión dio origen al conjunto

de los números enteros (Z), el cual incluye los enteros

negativos (Z+), los enteros positivos (Z-) y el 0.

Actividad de aprendizaje 2 de la unidad didáctica 1:

Casos cotidianos

Representa matemáticamente estas variaciones.

Temperaturas bajo cero: el día más frío del año 2008 en Ushuaia fue el 16 de agosto,

con una temperatura mínima de -5°C y una temperatura máxima de 7°C. En

contabilidad, los números negativos significan deudas y los positivos haberes o

activos poseídos.

Cada elemento del conjunto de los enteros positivos tiene un opuesto en el conjunto de

los enteros negativos, y viceversa. El opuesto de un número entero a se simboliza como

2a.Ejemplo:

Los números enteros se pueden representar en la recta numérica como sigue.

1. Sobre una recta horizontal se marca un punto que represente el 0.

2. Se fija la distancia del 0 al 1. Esta medida se toma como unidad y se traslada a la

derecha y a la izquierda del 0 tantas veces como sea necesario (Figura 1).

3. Se sitúan a la derecha del 0 los números enteros positivos y a la izquierda los números

enteros negativos (Figura 2).

Fig. 1



2.4 Adición de números enteros del mismo signo

2.5 Adición de números enteros de diferente signo

Ejem. -9 + 12 = +3

2.6 Adición de varios números enteros

1.- Resuelve los siguientes problemas:

2.- Determina y escribe el número entero que debe ir en cada casilla.

3.-

a. -4 + (-3 ) b. 6 + 5

En la adición de números enteros del mismo signo, se suman los valores absolutos de

los sumandos y a esta suma se le antepone el signo que tienen en común.

Ejem. -45 + (-27) = -72

Se deduce entonces que el buzo descendió 72 m en total.

NOTA: Para completar la trabajo independiente desarrollar la pág.. 5 y 7 del

libro digital 1.

Ejem.

a) A las 3 a.m. la temperatura es de –5oC. )Cuál es la temperatura a las 12 m. Si

ha tenido una subida de 18o ?

Relaciona cada adición con la representación en la recta numérica que le

corresponde.

Realiza una

investigación sobre

Propiedades de la

adición de números

enteros.

En la adición de números enteros de diferente signo, se restan los valores

absolutos de los sumandos y a la suma se le antepone el signo del

sumando que tenga el mayor valor absoluto.

Las propiedades de la adición de números enteros permiten

efectuar la adición de tres o más números enteros de dos

maneras equivalentes.



3.- NÚMEROS RACIONALES Q.

Temario de exposición

» Definición 3.1 Estructura de guía

» Propiedades /operaciones

»

» Fracciones generatriz

1.-

2.- Demostrar la segunda Propiedad de Fracciones Irreducibles.

3.-

Bibliografía: Libro digital Los números de los naturales a los complejos, Mineduc

Matemáticas 8,9,10.

1.- Tema.

2.- Objetivo.

3.- Temática.

4.- Actividad

5.- Bibliografía.

Clasificación de las

expresiones decimales.

Halla la fracción generatriz de cada número decimal.

Expresar a manera de conjunto la relación que existe entre números naturales,

números enteros y números racionales.


Para esta clase vamos a utilizar la forma de enseñanza tipo Seminario por lo que se

pide a cada uno de los estudiantes seguir las instrucciones. 1.- organizarse por

grupos 5 estudiantes 2.- Revisar los temas. 3.- elaborar la guía de exposición. Se

recomienda que todos los estudiantes se empapen del tema para su posterior

evaluación. Bibliografía: Libro digital Los números de los naturales a los

complejos.

NOTA: Para completar la trabajo independiente revisar libro digital Los números de

los naturales a los complejos. Pág. 112, Mineduc Matemáticas 9 pág. 16.



4.- NÚMEROS IRRACIONAL I.

4.1 Definición

Casos cotidianos

De acurdo al origen, los números irracionales se clasifican en dos gropos :algebraicos o

trascendentes.


Pitágoras utilizo su teorema para determinar la diagonal de

un cuadrado de lado 1. ¿Cuál es el valor de la diagonal d?

¿A qué conjunto numérico pertenece este valor ?¿Por

qué?

Para mayor exactitud en los

procesos aritméticos y

algebraicos, los números

irracionales se indican y no

se escriben en su expresión

decimal.

Los números pertenecen al conjunto

de los números irracionales porque su expresión

decimal es infinita no periódica.

Los números irracionales son aquellos que no se

pueden expresar como razones entre números enteros

y tienen como característica que su expresión decimal

es infinita no periódica. Este conjunto se representa

con el símbolo I.

El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el

conjunto de los números reales, se designa por R.



4.2

http://blog.educastur.es/matematicas3eso/files/2008/11/los-numeros-irracionales.pdf

4.3 Números irracionales en la recta numérica.

1.- Resuelve los siguientes problemas:

2.- Resolución de problemas

Bibliografía.


Mineduc 9 matemáticas Libro digital.

Mineduc 10 matemáticas Libro digital.

El largo y ancho de una piscina olímpica es 50 m y 25 m, respectivamente. Si un

nadador quiere recorrerla en diagonal, ¿qué distancia recorre? ¿A qué conjunto

numérico pertenece este valor?

NOTA: Para completar la trabajo independiente desarrollar la pág.. 22 (Mineduc

9) y 14 (Mineduc 10)del libro digital .

Investiga los pasos

para graficar los

números irracionales

en la recta numérica.

los siguientes pasos.A cada número irracional le corresponde un punto en la recta.

Por ejemplo, se pueden graficar los números que son raíces

utilizando el teorema de Pitágoras.

Ejem.

Para el siguiente triángulo rectángulo, con vértices A, B, C y lados a, b, c , halla el

valor del lado que hace falta en cada caso usando el teorema de Pitágoras.

Representación de la relación conjunto números naturales, números enteros,

números racionales y números irracionales.


http://blog.educastur.es/matematicas3eso/files/2008/11/los-numeros-irracionales.pdfhttp://blog.educastur.es/matematicas3eso/files/2008/11/los-numeros-irracionales.pdf


5.- NÚMEROS REALES R.

Temario de exposición

» Definición 5.1 Estructura de guía

» El orden

»

» un ejemplo geométrico

1.-



3.- Resolución de problemas.


Bibliografía: Libro digital Los números de los naturales a los complejos, Mineduc

Matemáticas ,9,10.

Expresar a manera de conjunto la relación que existe entre números naturales,

números enteros, números racionales, números irracionales y números reales.

En el pueblo Cube, en la pasada sequía, un río se encontraba a 90 cm por debajo del

nivel de inundación (A). Para este invierno, un servidor público tomó la medida actual

del río (B) y determinó cuánto aumentó.

El cálculo que hizo fue: d(A, B) 5 U2902140Z. Según esto, ¿cuál es la altura del río

actualmente, respecto al nivel de inundación

Se necesita distribuir 27 libros entre 4 personas de manera equitativa. ¿Cuál sería la

mejor manera de repartirlos y por qué?

Para esta clase vamos a utilizar la forma de enseñanza tipo Seminario por lo que se

pide a cada uno de los estudiantes seguir las instrucciones. 1.- organizarse por

grupos 5 estudiantes 2.- Revisar los temas. 3.- elaborar la guía de exposición. Se

recomienda que todos los estudiantes se empapen del tema para su posterior

evaluación. Bibliografía: Libro digital Los números de los naturales a los

complejos.

1.- Tema.

2.- Objetivo.

3.- Temática.

4.- Actividad

5.- Bibliografía.

Las operaciones

NOTA: Para completar la trabajo independiente revisar libro digital Los números de

los naturales a los complejos. Pág. 112, Mineduc Matemáticas 10 pág. 16.




6.- REGLA DE TRES.

6.1 Definición

6.2 Métodos de resolución

6.3 Método de reducción a la unidad.

4 libros -------------- $8

15 libros ------------ $x

6.4 Método de las proporciones.

Para construir una pared de 2 metros de largo sabemos

que necesitamos 60 ladrillos. En la actualidad necesitamos

construir un paredón de 12 metros de largo. ¿Cuántos

ladrillos necesitaremos?.

Fuente: http://ejemplosde.co/regla-tres-simple/

Dos magnitudes son

proporcionales cuando

multiplicando o dividiendo una

de ellas por un número, la otra

queda multiplicada o dividida. (o

viceversa) por ti mismo número.

Las magnitudes proporcionales

pueden ser directamente

proporcionales e inversamente

proporcionales.

La Regla de Tres es una operación que tiene por

finalidad hallar el cuarto termino de una proporción,

cuando se conoce tres. La Regla de Tres puede ser

simple y compuesta.

Si 4 libros cuestan $8, 1 libro cuesta 4 veces menos: $8 / 4 = $2 y 15 libros costarán 15

veces más. $2 x 15= $30.

Si 4 libros cuestan $8, ¿cuánto costarán 15 libros?

1) Método de reducción a la unidad.

2) Método de las proporciones.

3) Método práctico.


Es importante destacar que las cantidades correspondientes a una

misma magnitud, deben expresarse en la misma unidad de medida.

La Regla de Tres se puede resolver por tres métodos:

Si 4 libros cuentan $8, ¿cuánto costarán 15 libros?

Como que a mas libros, mas dólares, estas cantidades son directamente proporcionales

y sabemos que la proporción se forma igualando las razones directas.

Casos cotidianos



6.5 Método practico.

Ejemplo.

+ +

4 hombres --------- 12 días

7 hombres --------- X días

-

Es una magnitud inversamente proporcional.

Resuelve los siguientes problemas:

1.- Si 5 fotocopias cuestan 40 centavos, ¿cuántas fotocopias haré con 8 $?

2.- Si 3 libros de lectura cuestan 36 $, ¿Cuánto costarán 2 docenas de libros?

3.-

4.-

5.-

6.-

Bibliografía.

* problemas-de-proporcionalidad.pdf

* problemas-de-regla-de-tres-simple-y-compuesta.pdf

* Aritmética de Baldor.pdf

Con 200 g. de harina se elaboran 6 barras de pan. ¿Cuántas barras se elaboran

con 5 kg?

Una máquina fabrica 400 tornillos en 5 horas. ¿Cuánto tardará en fabricar 1.000

tornillos?

En un plano de una ciudad, una calle de 350 metros de longitud mide 2,8 cm.

¿Cuánto medirá sobre ese mismo plano otra calle de 200 metros?

En una panadería, con 80 kilos de harina hacen 120 kilos de pan. ¿Cuántos kilos

de

harina serían necesarios para hacer 99 kilos de pan?

La Regla de Tres puede

ser simple y compuesta.

Es simple cuando

solamente intervienen en

ella dos magnitudes y

compuesta cuando

intervienen tres o mas

magnitudes.

Ponemos - debajo de hombres y + arriba ; ponemos + también

a 12 días.

Ahora, el valor de X será igual al producto de 12 por 4, que son los

que tienen signo + dividido entre 7 que tiene - .

Las magnitudes que sean directamente proporcionales con la incógnita se les pone

debajo un signo + y en la parte de arriba un signo - , y a las magnitudes que sean

inversamente proporcionales con la incógnita se la pone debajo un signo - y en la parte

de arriba un signo +. El valor de la incógnita X, será igual al valor conocido de su misma

especie (siempre llevara +), multiplicado por todas las cantidades que llevan el signo +,

partiendo este producto por el producto de las cantidades que llevan el signo - .

4 hombres hacen una obra en 12 días. ¿En cuántos días podrían hacer la obra 7



7.- REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA.

7.1 Definición


4 hombres ---------

7 hombres -----------x días


Como que a mas hombres, menos días, estas cantidades son inversamente

proporcionales y sabemos que la proporción se forma igualando la razón directa de las

dos primeras con la razón inversa de las dos ultimas o viceversa.

En la regla de tres simple inversa, en cambio, la proporcionalidad

constante sólo se conserva cuando, a un incremento de A, le

corresponda una disminución de B.

La regla de tres es una forma de

resolver problemas de

proporcionalidad. Si la

proporcionalidad es directa

utilizaremos la regla de tres

directa. Si la proporcionalidad es

inversa utilizaremos la regla de

tres inversa.

Una regla de tres simple e inversa consiste en que

dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes

inversamente proporcionales, calcular la cantidad de

una de estas magnitudes correspondiente a una

cantidad dada de la otra magnitud.

Si 4 hombres hacen la obra en 12 días, 1 hombre tardaría para hacerla 4 veces mas : 4 x

12 = 48 días y 7 hombres tardarían 7 veces menos.

La regla de tres inversa la aplicaremos cuando entre

las magnitudes se establecen las relaciones: +- o -+.

12 días

4 hombres hacen una obra en 12 días. ¿En cuantos días podrían hacer la misma obra 7

hombres.

4 hombres hacen una obra en 12 días. ¿En cuantos días podrían hacer la misma obra 7

hombres.


Casos cotidianos

Un grifo que mana 18 l de agua por minuto tarda 14 horas

en llenar un depósito. ¿Cuánto tardaría si su caudal fuera

de 7 l por minuto?

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/aritmetica/proporcion


https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/aritmetica/proporcionalidad/regla-de-tres-simple-inversa.html


7.4 Método practico.

+ +

20 días --------- 6 horas diarias

X días --------- 8 horas diarias

-

Es una magnitud inversamente proporcional.


1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

Bibliografía.

* problemas-de-proporcionalidad.pdf

* problemas-de-regla-de-tres-simple-y-compuesta.pdf


Un camión que carga 3.000 kg. da 15 viajes para transportar una carga.

¿Cuántos viajes dará otro camión que carga 4,5 toneladas en transportar la

misma carga?

Con un depósito de agua pueden beber 30 caballos durante 8 días. Si se

venden 6 caballos, ¿cuántos días durará el agua?

5 Obreros hacen una pared en 15 días. ¿Cuánto tardarán 3 obreros en hacer la

misma pared?

A más días menos horas diarias; colocamos signo - debajo de

horas diarias y + en la parte de arriba; ponemos + a 20 días y

el valor de X será:

Un granjero tiene pienso para alimentar a sus 12 vacas durante 45 días. Si

compra 3 vacas más,

¿Cuánto le durará el pienso?

4 albañiles tardan en arreglarme el tejado 18 días. Si quiero acabar el tejado en

12 días, ¿Cuántos albañiles tengo que contratar?

Este método es similar al de regla de tres simple directa.

Las magnitudes que sean directamente proporcionales con la incógnita se les pone

debajo un signo + y en la parte de arriba un signo - , y a las magnitudes que sean

inversamente proporcionales con la incógnita se la pone debajo un signo - y en la parte

de arriba un signo +. El valor de la incógnita X, será igual al valor conocido de su misma

especie (siempre llevara +), multiplicado por todas las cantidades que llevan el signo +,

partiendo este producto por el producto de las cantidades que llevan el signo - .

Investigar gráficos de

proporcionalidad

directa e inversa.

Ejemplo.- Una cuadrilla de obreros ha hecho una obra en 20 días trabajando 8 horas

diarias. ¿En cuantos días habrían hecho la obra si hubieran trabajado 8 horas diarias?.



8.- REGLA DE TRES COMPUESTA.

8.1 Definición


3 hombres --------- 8 h ----

----

80 mt. ---- 10 días

5 hombres -----------6 h ---- 60 mt. ---- x días

Si en lugar de trabajar 8 horas diarias, trabajaran 1 hora diaria, tardarían 8 veces más y

trabajando 6 horas diarias, tardarían 6 veces menos.

Si 3 hombres trabajando 8 horas diarias han hecho 80 metros de la obra en 10 días, 1

hombre tardará más y 5 hombres, 5 veces menos:

La diferencia de la regla de 3 simple con la regla de 3 compuesta es que

en la primera se relacionan dos magnitudes y en la segunda se

relacionan tres o más magnitudes.

Si en lugar de hacer 80 mt. hicieran 1 mt., tardarían 80 veces menos y para hacer 60 mt.

Tardarían 60 veces mas.

Las magnitudes se pueden

establecer relaciones de

proporcionalidad directa o

inversa, de las cuales se puede

distinguir tres casos de regla de

tres compuesta:

1) Regla de tres compuesta

directa


inversa


mixta

La regla de tres compuesta se emplea cuando se

relacionan tres o más magnitudes, de modo que a

partir de las relaciones establecidas entre las

magnitudes conocidas obtenemos la desconocida.

Una regla de tres compuesta se compone de varias

reglas de tres simples aplicadas

sucesivamente.

3 hombres trabajando 8 horas diarias han hecho 80 metros de una obra en 10 días.

¿Cuántos días necesitarán 5 hombres, trabajando 6 horas diarias, para hacer 60 metros

de la misma obra.


Casos cotidianos

Cinco canillas abiertos durante 8 horas diarias han

consumido una cantidad de agua por valor de $20

Averiguar el precio del vertido de 15 canillas abiertos 12

horas durante los mismos días.

https://sites.google.com/site/260magnitudesproporcionales/regla-de-tres-

8.1


https://sites.google.com/site/260magnitudesproporcionales/regla-de-tres-compuesta



En este caso tenemos 3 proporciones:

3 hombres --------- 8 h ----

----

80 mt. ---- 10 días

5 hombres -----------6 h ---- 60 mt. ---- X días

Primera proporción:

3 hombres --------- 10 días

5 hombres -----------Y días

Es una proporción inversa por lo tanto:

5 igual 10

3 Y

Segunda proporción:

Y días -------------- 8 horas diarias

Y' días 6 horas diarias

Es una proporción inversa por lo tanto:

Y igual 6

Y' 8

Tercera proporción:

Y' días -------------- 80 mt.

X días -------------- 60 mt.

Es una proporción directa por lo tanto:

Y' igual 80 mt

x 60mt

Multiplicando y simplificando todas las proporciones nos quedaría lo siguiente :

8.4 Método de las práctico.

3 hombres --------- 8 h ----

----

80 mt. ---- 10 días

5 hombres -----------6 h ---- 60 mt. ---- X días

La regla de tres

compuesta es una

forma de resolución de

problemas cuyos

enunciados están

formados por varias

reglas de tres simples

aplicadas varias veces.

https://matematica.laguia2

000.com/general/regla-de-

Este método es muy sencillo se trata de descomponer la regla de tres compuesta en

simples como se muestra a continuación :



de la misma obra?



de la misma obra?


https://matematica.laguia2000.com/general/regla-de-tres-compuestahttps://matematica.laguia2000.com/general/regla-de-tres-compuesta


Multiplicando y simplificando todas las proporciones nos quedaría lo siguiente :

9 Resuelve los siguientes problemas:

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

Bibliografía.

https://www.matesfacil.com/ESO/proporcionalidad/compuesta/problemas-

resueltos-proporcionalidad-compuesta-directa-inversa-regla-tres-ejemplos.html

Una cuadrilla de obreros emplea 14 días, trabajando 8 horas diarias, en realizar

una obra . Si hubieran trabajado una hora menos al día, ¿en cuantos cuantos

días habrían terminado la obra? R. 16 d.

Una guarnición de 400 soldados situados en un fuerte tiene víveres para 180 días

si consumen 900 gramos por hombre y por día. Si recibe un refuerzo de 100

soldados pero no recibirá víveres antes de 240 días. ¿Cuál deberá ser la ración

de un hombre por día para que los víveres puedan alcanzarles?

Un grupo de 30 obreros debe terminar una obra en 20 días. Luego de 5 días, 5

obreros se retiran. ¿Cuánto demorarán los obreros restantes en terminar la obra?

El estadio Azteca de la Ciudad de México tiene una superficie de 7.140 metros

cuadrados. Para cortar su césped se emplean 3 máquinas cortacésped

funcionando durante 5 horas. ¿Cuánto tiempo se requiere para cortar el césped

de un estadio cuya superficie sea la mitad si se emplean 7 máquinas?

El año pasado, una empresa cubana de producción de azúcar contrató 20

operarios que recolectaron al día una media de 100kg de caña por persona en

dos semanas de recolecta. Calcular cuántos operarios deben contratar este año

para que en una semana recolecten 2.000 kilos en total.

En un sembradío de sandías que es regado 2 veces a la semana se podrían

cosechar 12 toneladas de esta fruta en 4 meses. Sin embargo, se riega 4 veces

semanales para duplicar la producción. ¿Cuántas toneladas se producen en tres

meses?

Hacemos la respectiva comparación : a mas hombres, menos días: colocamos el signo -

en la parte de abajo de hombres y + en la parte superior; a más horas diarias de trabajo,

menos días en hacer la obra: colocamos el signo - en la parte de abajo de hombres y +

en la parte superior; a más metros, mas días, colocamos el signo + en la parte de abajo

de hombres y - en la parte superior; finalmente colocamos signo + en 10 días.

http://examen-senescyt.blogspot.com/2013/03/pregunta-38-regla-de-tres-

compuesta.html


https://www.matesfacil.com/ESO/proporcionalidad/compuesta/problemas-resueltos-proporcionalidad-compuesta-directa-inversa-regla-tres-ejemplos.htmlhttps://www.matesfacil.com/ESO/proporcionalidad/compuesta/problemas-resueltos-proporcionalidad-compuesta-directa-inversa-regla-tres-ejemplos.htmlhttp://examen-senescyt.blogspot.com/2013/03/pregunta-38-regla-de-tres-compuesta.htmlhttp://examen-senescyt.blogspot.com/2013/03/pregunta-38-regla-de-tres-compuesta.html


9.- PORCENTAJE .

9.1 Definición

9.2 Tanto por ciento.

Por ejemplo, si se divide 120 en 100 partes iguales, cada parte vale 1,2.

Así, si queremos el 20% de 120, tomamos 20 veces el valor 1,2, que da 24.

Luego, el 20% de 120 es 24.

Queremos encontrar el 25 % de 150.

Tenemos que 150 representa al 100 %. Luego, al reemplazar en la proporción, tenemos que:

lo que implica que el 25 % de 150 es igual a 37,5.

El tanto por ciento es una forma común de referirse al porcentaje. Se refiere a la relación

de proporcionalidad establecida entre un primer número y un segundo.


En términos prácticos, se llama tanto por ciento de un número a una o más partes de las

cien partes iguales en que se puede dividir dicho número

Casos cotidianos

Para resolver ejercicios relacionados a porcentajes, se utiliza la siguiente proporción:

Si el número x representan el y% de un número z, entonces se tiene que:

Los problemas de tanto por

ciento se reducen a encontrar el

cuarto componente de una

proporción, cuando tres de ellos

se conocen.

El porcentaje es un término matemático que se utiliza

para establecer la relación de proporción existente

entre 2 números. Para hacerlo más intuitivo, se ha

usado siempre la relación en términos de cien

unidades, y de ahí la proveniencia del nombre.

En matemáticas, un porcentaje es una forma de

expresar un número como una fracción de 100 ("por

ciento" significa de cada 100).

Se representa el porcentaje de un número con el

símbolo %.



9.3 Tanto por ciento como fracción

El tanto por ciento se divide entre 100 y se simplifica la fracción. Ejemplo:

Para saber como se representa el 10 % en fracción se divide y luego se simplifica:

9.4 Tanto por ciento como multiplicación


1.- Calcula el 12% de 300

2.- Calcula el 5 % de 25



5.-

6.-

7.- Halla qué por ciento es

a) 10 de 200

b) 24 de 48

8.-

Bibliografía.

* https://www.ecured.cu/Tanto_por_ciento#Ejercicios_resueltos_3


El calculo de tanto

por ciento se utiliza

constantemente en

diversas operaciones

aritméticas y

contables.

Una obrera de un taller de confecciones tenía planificado producir en el mes 156

camisas, pero sólo confeccionó el 75% de ellas. ¿Cuántas camisas confeccionó?

Un obrero textil ha producido 1959 m de tela que es el 75% del plan a cumplir en

una etapa. ¿Cuántos metros de tela habrá producido al cumplir el plan de la

etapa?

La fracción común se multiplica por el número que sea necesario

para que el denominador sea 100 y se toma el numerador, que

será el porcentaje.

En una escuela hay 620 estudiantes, de ellos el 55% son varones ¿Cuántos

varones hay?

Ejemplo: Para representar 1/10 como un porcentaje se hace la

siguiente operación:


https://www.ecured.cu/Tanto_por_ciento#Ejercicios_resueltos_3


Gráfico

http://educale.com/mate/1/images/CLASIFICACION%20DE%20LOS%20NUMEROS.pdf

Hasta aquí hemos tratado sobre la clasificación y resolución de los números en general,

pero nuestro estudio de repaso inicia con los Números Naturales representado con la

letra (N) así mismo argumentando que son todos los números mayores a cero o

podemos decir que son los números cardinales N=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,…). Después de ello

nos adentramos a los números Enteros más conocido con la letra (Z) la cual nos hace

referencia a la expresión de las deudas monetarias, temperaturas y niveles bajo cero (0),

Z= (-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4). Siguiendo la clasificación ordenada llegamos a los Números

Racionales denotado con la letra (Q) y decimos que es todo número que se puede

representar con una fracción u cociente tomando teniendo en cuenta que su

denominador tiene que ser diferente de cero, Q=( a/b,a€Z;b€Z;b≠0); incluir en este tema

los números irracionales considerando que esta no puede ser fracción y que tiene

decimales no periódicas. Concluyendo así con los números reales cuya letra

representativa el (R) y es la que encierra todos los números estudiados anteriormente lo

podemos representar en forma de conjunto, tal como lo demuestra la gráfica.


http://educale.com/mate/1/images/CLASIFICACION DE LOS NUMEROS.pdf


Grafico de regla de tres simple directa Grafico de regla de tres simple inversa

https://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_tres

La regla de tres es una forma de resolver problemas de proporcionalidad entre tres

valores conocidos y una incógnita. En ella se establece una relación de linealidad,

proporcionalidad, entre los valores .

Regla de tres es la operación de hallar el cuarto término de una proporción conociendo

los otros tres.

La regla de tres más conocida es la regla de tres simple directa, aunque también existe la

regla de tres simple inversa y la regla de tres compuesta. La regla de tres es muy útil en

casos matemáticos debido a su facilidad de operación y comprensión Muchas personas,

a las que claramente no les gustan las matemáticas suelen quejarse de la complejidad

de algunas operaciones que propone ésta y por ello es que las consideran ajenas a sus

vidas y más propias de campos científicos complejos. Sin embargo, nada de esto es así

en la realidad y las matemáticas están muy presentes en nuestras vidas cotidianas,

incluso en las de aquellos que más las repelen, porque en muchísimas oportunidades es

necesario recurrir a ellas, a los números, para resolver, como ya dijimos, cuestiones que

hacen a nuestra cotidianidad


https://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_tres


Resolver los siguientes ejercicios.

1.- Sombrea la cifra que te indican en los siguientes números:

a. Centenas en 126346

b. Decenas de millar en 33848590040

c. Unidades de millar de millón en 734623783774

2.- Determina y escribe el número entero que debe ir en cada casilla.


a. 344 ____ 433

b. 553675 ____553756

c. 900900 _____9008990

4.-





6.- Calcula:

a) (6+3)·5= b) (7+6)·3=

c) 3+3·3= d) 6+4·8=

e) 2·8+3·5= f) 6·7+8·5=

7.-

8.-

Para el siguiente triángulo rectángulo, con vértices A, B, C y lados a, b, c , halla el

valor del lado que hace falta en cada caso usando el teorema de Pitágoras.

Una guarnición de 400 soldados situados en un fuerte tiene víveres para 180 días

si consumen 900 gramos por hombre y por día. Si recibe un refuerzo de 100

soldados pero no recibirá víveres antes de 240 días. ¿Cuál deberá ser la ración

de un hombre por día para que los víveres puedan alcanzarles?

4 albañiles tardan en arreglarme el tejado 18 días. Si quiero acabar el tejado en

12 días, ¿Cuántos albañiles tengo que contratar?




UNIDAD DIDACTICA 2

ALGEBRA SUPERIOR

Introducción. Prácticamente el álgebra es la continuación de la aritmética, donde se desconoce el valor de una de las cantidades sustituyéndolas por variables. Coincide con algunas de las características de la aritmética complementando con fórmulas y ecuaciones. La representación de sus variables las podemos realizar con la siguiente simbología a,b,x,y, etc. Con lo especificado anteriormente se puede decir que en álgebra se usan letras para representar números o usamos letras para la demostración de reglas y fórmulas expresando de forma general, así que cuando usamos letras en combinación con números podemos argumentar que se trata de un lenguaje algebraico.

Símbolos algebraicos básicos: Suma + Resta - Multiplicación x, ( )( ), • , División ÷, / Radicación √ Agrupación ( ), { }, [ ], ¯ Es igual a = Es mayor que > Es menor que < Es mayor o igual que ≥ Es menor o igual que ≤

Objetivo de la unidad. Calcular el producto notable, la descomposición factorial, la radicación, la racionalización, etc, mediante revisión bibliográfica del álgebra general para compararlos en situaciones problemáticas diarias.

Organizador Gráfico de la Unidad

ARITMETICA GENERAL

Conceptos Básicos De Algebra

Teorema de exponentes

Operaciones con exponentes

Productos notables

Descomposición factorial

Radicación

Máximo común divisor y múltiplo

Racionalización

Auto evaluación Evaluación de la

unidad


Resolver los siguientes ejercicios.


a. 344 ____ 433

b. 553675 ____553756

c. 900900 _____9008990


3.- Resolución de problemas





5.-

6.-

4.-

7.-

8.-

9.-

10.-

11.-

Un grupo de 30 obreros debe terminar una obra en 20 días. Luego de 5 días, 5

obreros se retiran. ¿Cuánto demorarán los obreros restantes en terminar la obra?

El estadio Azteca de la Ciudad de México tiene una superficie de 7.140 metros

cuadrados. Para cortar su césped se emplean 3 máquinas cortacésped

funcionando durante 5 horas. ¿Cuánto tiempo se requiere para cortar el césped

de un estadio cuya superficie sea la mitad si se emplean 7 máquinas?

El año pasado, una empresa cubana de producción de azúcar contrató 20

operarios que recolectaron al día una media de 100kg de caña por persona en

dos semanas de recolecta. Calcular cuántos operarios deben contratar este año

para que en una semana recolecten 2.000 kilos en total.

En un sembradío de sandías que es regado 2 veces a la semana se podrían

cosechar 12 toneladas de esta fruta en 4 meses. Sin embargo, se riega 4 veces

semanales para duplicar la producción. ¿Cuántas toneladas se producen en tres

meses?

El largo y ancho de una piscina olímpica es 50 m y 25 m, respectivamente. Si un

nadador quiere recorrerla en diagonal, ¿qué distancia recorre? ¿A qué conjunto

numérico pertenece este valor?

Con 200 g. de harina se elaboran 6 barras de pan. ¿Cuántas barras se elaboran

con 5 kg?

Una máquina fabrica 400 tornillos en 5 horas. ¿Cuánto tardará en fabricar 1.000

tornillos?

Un camión que carga 3.000 kg. da 15 viajes para transportar una carga.

¿Cuántos viajes dará otro camión que carga 4,5 toneladas en transportar la

misma carga?

Con un depósito de agua pueden beber 30 caballos durante 8 días. Si se

venden 6 caballos, ¿cuántos días durará el agua?



10. CONCEPTOS BASICOS DE ALGEBRA

10.1Definición

10.2Símbolos algebraicos básicos

Casos cotidianos

En el siglo XVI a.C. los egipcios desarrollaron un algebra muy

elemental que usaron para resolver problemas del día a día

que tenían que ver con la repartición de víveres, de cosechas y

materiales.

Es realmente interesante hallar y compartir ejemplos

cotidianos de problemas y aplicaciones del álgebra.

¿Qué clase de cosas resolvemos con álgebra? .

Lo cierto es que cuando llegas a internalizar el álgebra

en tu vida (como herramienta cotidiana) los métodos

que aprendes con ella solucionarán muchas cuestiones

cotidianas y pequeños y grandes retos que se te

presenten.

El álgebra es una extensión de la aritmética en la cual se desconoce el valor de una de las

cantidades con las que se opera. Generalmente se usan letras para representar números

o usamos letras para la demostración de reglas y formulas para mostrarlo de una manera

general que es apta para cualquier numero lo que hace de estas reglas generales para

cualquier numero existente.

En el álgebra s Al usar letras para estas formulas estamos hablando en lenguaje

algebraico o notación algebraica.

Ejemplo:

El álgebra estudia la estructura de las matemáticas aplicadas en la forma más abstracta

posible, explicándola mediante fórmulas y operaciones.

Para su análisis usamos símbolos de relación y agrupación, entre los mas conocidos

tenemos los siguientes:

Ya que su nombre significa “la reducción” (álgebra viene del árabe al yabr).El

álgebra es de gran utilidad en nuestra vida, ya que nos simplifica muchos

trabajos y cuentas que usamos en todas las cosas. Ejemplo; si compramos 5

lápices y 6 borradores, en nuestra mente se representa con 5a + 6b, y si nos

da los valores/precios de a y b, nos facilitara sacar el total de los precios.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE DE LA UNIDAD DIDÁCTICA 2Actividad de aprendizaje 1 de la unidad didáctica 2:



-9 + 12 = +3

-59ax - 59 ax

8v³ + 8 v³

xyz + 1 xyz

-89 - 89

10.3

Ejemplo

Investiga más símbolos

usados en algebra y su

respectiva función.

En el caso de la multiplicación cuando dos letras se asume que

se esta multiplicando así si tenemos “ab” estamos diciendo que

“a” esta multiplicando a “b”, o en paréntesis (a)(b) también es

“a” por “b”. Y la división se puede expresar como una fracción

a/b.

En general una combinación de símbolos y signos del álgebra representa a un

numero y se llama una expresión algebraica

5abx + 258bx – 36ay

La parte de la expresión algebraica que no se encuentra separada por un signo

de suma o resta se llama término

Del ejemplo anterior son términos: 5abx; 258bx; -36ay

Todos los términos poseen un signo, un coeficiente y una parte literal, así:

Término Signo coeficiente literal

Expresiones Algebraicas

Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de

operaciones. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se

denominan variables o incógnitas. Las expresiones algebraicas nos permiten

traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual.10.3.1 Clasificación de las expresiones algebraicas

Monomio: Polinomio que consta de un término.

Ej: x, 2aba 2 , 8



10.4

Binomio: Polinomio que consta de dos términos.

Grado de c = 7

Ej: 5x 2-3y 2 u +at 4a2b +x 2y 6

Polinomios: Son aquellos que constan de más de un término.

Ej: 2a +b , 3x 2-5y +z, 2x 3-7x 2-3x +8

10.3.2 Grado de un término algebraico

Grado absoluto: se obtiene sumando todos los exponentes de las variables.

Grado = 5 + 4 + 7

Grado = 16

Grado relativo: es el valor del exponente de cada variable.

Grado de a = 5

Grado de b = 4

Racionales: cuando no tienen ninguna letra bajo signo radical.

Clases de términos.

Término nulo: Si el coeficiente de un término es cero, se tiene un término cuyo valor

absoluto es cero o nulo. (0)x2y = 0 (0)a

2 = 0

Enteros: cuando no tienen letras en el denominador.

Ejemplos:

• 3ax³/4

• 3x²

Fraccionarios: cuando tienen letras en el denominador.

Ejemplos:

• 3am/4d

• 2ax²y/n

• 98oj³/ a²b³

• 4m² n³; 85 m² n³;3/5 m² n³

Ejemplos:

• 25ab√29

• 8mn√5

Irracionales: cuando tienen letras bajo un signo radical.

Ejemplos:

• 5√x

• 25mn√32m

Semejantes: son los que tienen la misma parte literal, o sea las mismas letras y cada letra

con el mismo exponente.

Ejemplos:

• 3x²; -5x²; 91x²; 35x²

• 5√y³; 85√y³; 0.36√y³

Polinomio homogéneo

El polinomio homogéneo tiene todos sus términos o monomios con el mismo grado.

P(x) = 2x² + 3xy

Polinomio heterogéneo

Los términos de un polinomio heterogéneo son de distinto grado.

P(x) = 2x³ + 3x² - 3

Polinomio completo

U n polinomio completo tiene todos los términos desde el término independiente hasta el

término de mayor grado.



ІІ-) Escriba (V) si la afirmación es verdadera y (F) si es falsa.

ІII-) Completa la siguiente tabla.

ІV-) Clasifique los términos siguientes en: monomios, binomios o polinomios.

Bibliografía

https://matte23.blogspot.com/2016/09/algebra-y.html

P(x) = 2x³ + 5x – 3

U n polinomio completo tiene todos los términos desde el término independiente hasta el

término de mayor grado.

P(x) = 2x³ + 3x² + 5 x – 3

Polinomio ordenado

Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor

1-) ¿Qué es el algebra?

2-) ¿Cuál ha sido la importancia del algebra en el desarrollo de la ciencia?

3-) ¿Cuál es la diferencia entre álgebra y aritmética?

4-) ¿Crees que la cebra Surge en los tiempos presentes?

5-) ¿Qué es un monomio?

Dos polinomios son iguales si verifican:

1-) Los dos polinomios tienen

2-) Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.

P(x) = 2x³ + 5x - 3

І-) Responde las siguientes preguntas.

50 cosas que hay que saber sobre las matemáticas, Grupo Planeta

(GBS), 2009 - 216 páginas

7-) ¿A qué llamamos expresiones algebraicas?

8-) ¿Qué es álgebra?

1.___ Un polinomio es una expresión algebraica.

2.___ Un polinomio de tres términos y exponente 3 en alguna de las variables recibe el

3.___ La expresión 25x³y + 2xy³ es un monomio.

4.___ Una expresión algebraica de un solo término es un binomio.

7a³b² __________________________

6sxyz _________________________

2m²+ b² + a²b² __________________

6sxyz -10 _____________________

2a³b² + 50x³y ___________________

6-) ¿Cuál es la diferencia entre un binomio y un polinomio?

Polinomios iguales


https://matte23.blogspot.com/2016/09/algebra-y.html


11. TEOREMAS DE LOS EXPONENTES

11.1

11

.2

radicales. Aquí las leyes a continuación su explicación:

Casos cotidianos

Fernando y Luisa participan en un concurso de matemáticas. En una de las pruebas

deben justificar si la expresión 252 5 25 es verdadera. Fernando dice que la igualdad

es correcta, mientras que Luisa dice que es falsa. ¿Quién tiene razón y cuál es la

justificación

a esta respuesta?

¿Qué es un exponente?

El exponente de un número me indica el número de veces

que este se va a multiplicar. Se denota por un número

pequeño arriba y a la derecha del número base.

¿Qué es la teoría de exponentes?

Son aquellas definiciones y teoremas que estudian a los

exponentes a través de las operaciones de potenciación y

radicación.

También se le conoce como Leyes de los exponentes y

La operación que da origen al exponente es la potenciación.


Se llama potencia a una expresión de la forma a^n, donde a es la base y n es

el exponente. Su definición varía según el conjunto numérico al que

pertenezca el exponente.



11.3 Potenciación

O también descrito de la siguiente manera:

11.4

11.4.1 Producto de bases iguales: Suma de exponentes

Es la operación que consiste en repetir un número denominado base, tantas veces como

factor, como lo indica otro número que es el exponente, el resultado de esto se le

denomina potencia.

REPRESENTACIÓN:

An = (AxAxAxAx...xA) "n" veces

Propiedades o Reglas de los Exponentes

Investiga las potencias

de bases negativas.

Producto de bases iguales los exponentes se suman.

Ejemplos de multiplicación con exponentes

11.4.2 Cociente de bases iguales

los exponentes se restan

ejemplo:

11.4.3 Exponente cero: es igual a unoTodo número elevado a la potencia 0 siempre nos da como resultado la unidad.



11.4.4 Exponente Negativo: la base se invierteTodo número elevado a un exponente negativo, puede quedar expresado con el signo

positivo, solo debes invertir la base.

11.4.5 Potencia de Potencia: los exponentes se multiplican

Cuando tenemos un exponente elevado a otro, separados por algún signo de agrupación

(Normalmente se usan los paréntesis), estos se deben de multiplicar.

Es decir, se coloca la misma base y los exponentes se multiplican.

11.4.6 Producto de variables elevadas a una potencia: eleva cada factor a la potenciaCada vez que tengas un producto de variables y todos están elevados a un

exponente cualquiera, cada factor del producto queda elevado a ese mismo

exponente,

ejemplo:



11.4.7 Potencia de un cociente:

11.4.8 Exponentes sucesivos

Ejemplo:

ejemplo:

La forma practica de reducirlos, es agrupándolos de dos en dos de arriba hacia abajo.

Si un cociente, está elevado a un exponente cualquiera, tanto el numerador como el

denominador, quedarán afectados a ese mismo exponente.

Ejemplos:

Eleva tanto el numerador como el denominador a la potencia.

ejemplos:

11.4.9 Términos SemejantesSon aquellos que tienen las mismas variables (x, y, z, etc.) afectadas del mismo

exponente, no importa el coeficiente.

Operaciones con Términos Semejantes

Se pueden sumar y restar los términos semejantes de la siguiente manera:

Suma de Términos Semejantes

ejemplos:

Resta de Términos Semejantes



ejemplo:

11.4.10 Exponente fraccionarioOrigen:

El exponente fraccionario proviene de extraer una raíz a una potencia cuando el

exponente de la cantidad sub-radical no es divisible por el índice de la raíz.

RADICAL DE RADICAL

PRODUCTO DE RADICALES

COCIENTE DE RADICALES HOMOGÉNEOS

POTENCIA DE UN RADICAL

EXPONENTE NEGATIVO DE UN COCIENTE

Un cociente con exponente negativo es el recíproco del cociente positivo.

Sabemos que para extraer una raíz a una potencia se divide el exponente de la potencia

por el índice de la raíz. Si el exponente no es divisible por el índice, hay que dejar

indicada la división y se origina el exponente fraccionario.

Así:

11.4.11 Interpretación del exponente fraccionario

Toda cantidad elevada a un exponente fraccionario equivale a una raíz cuyo índice es el

denominador del exponente y la cantidad sub-radical la misma cantidad elevada a la

potencia que indica el numerador del exponente.

Decimos que:



Aplica las propiedades vistas, según sea su caso.

1.-

2.-

3.-

4.-

5.- Si :

6.-

15. Calcula

7.-

8.- Calcula:

Bibliografía

http://teoremasdeexponentes.blogspot.com/

http://profe-alexz.blogspot.com/2012/10/teoria-de-exponentes-



12 PRODUCTOS NOTABLES

12.1

Los productos notables son productos que cumplen

reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por

simple inspección, es decir, sin verificar la

multiplicación. Estas operaciones son fáciles de

recordar sin necesidad de efectuar la multiplicación

Cuadrado de la suma de dos cantidades

Cuando tenemos dos cantidades a y b, cuya suma está elevada al cuadrado, lo

que realmente se pide es que se multiplique la suma por si misma:

Para obtener la superficie de un terreno que sabes es cuadrado, pero la

longitud de su lado está parciamente definida pudiendo ser A =(a+6).

A = a2+12a+ 36

y no es necesario realizar la operación de multiplicar los dos binomios

(a+3)(a+3)

Esta multiplicación se efectúa de la siguiente forma:

Regla del cuadrado de la suma de dos cantidadesEl cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera

cantidad, más dos veces la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de

la segunda cantidad.

Ejemplo con solución paso a paso

1) Desarrolle (x+10)2.

Cuadrado del primer término: x2.

Dos veces el primero por el segundo:

Cuadrado del segundo término: 102=100.

Respuesta:


Los factores son la base

de una potencia y tienen

un exponente. Cuando se

multiplican los factores,

los exponentes deben ser

sumados.

Se recomienda volver al tema factorización para reforzar su

comprensión.



12.2 Cuadrado de la diferencia de dos cantidades

Esta multiplicación se efectúa de la siguiente forma:

Cuando tenemos dos cantidades a y b, cuya resta está elevada al cuadrado, lo

que realmente se pide es que se multiplique la resta por si misma:

En este caso, la multiplicación se realiza de la siguiente forma;

http://laredroja.blogspot.co

m/2012/07/productos-

Recordemos que dos números negativos cuando se

multiplican, el signo resultante es positivo:

Regla del cuadrado de la resta de dos cantidadesEl cuadrado de la resta de dos cantidades es igual al

cuadrado de la primera cantidad, menos dos veces el

primer término por el segundo término, más el cuadrado

Ejemplos con solución

1) Desarrolle (x-10)2.

Cuadrado del primer término:

Menos dos veces el primero por el segundo:- 2(x.10)=-

Cuadrado del segundo término:

Respuesta:

12.3 Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (binomios

conjugados)

Regla del producto de la suma por la resta de dos cantidadesLa suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del

minuendo (en la diferencia) menos el cuadrado del sustraendo.

Ejemplos con solución paso a

1) Desarrolle (x+1)(x-1).

Cuadrado del minuendo: x2.

Menos el cuadrado del sustraendo: -(12)=-1

Respuesta:

RECUERDA: Los

productos notables

se aplican en

problemas como por

ejemplo en las

superficies de

terrenos. Con los

productos notables

podemos obtener

superficies con tan

solo aplicar las

formulas.


http://laredroja.blogspot.com/2012/07/productos-notables.htmlhttp://laredroja.blogspot.com/2012/07/productos-notables.html


12.4 Caso especial multiplicación de trinomios (a+b+c)(a+b-c)

12 Caso especial multiplicación de trinomios (a+b+c)(a-b-c)

Este producto lo podemos transformar en la suma de dos cantidades multiplicada

por su diferencia:

Ejemplos de multiplicación de trinomios

1) Desarrolle (x+y-2)(x+y+2).

El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad,

más 3 seguido del cuadrado del primero por el segundo, más 3 seguido del

primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

En este caso se realiza lo siguiente:

.-los términos negativos del trinomio se agrupan en paréntesis con el signo

negativo por lo que estos términos negativos pasan a ser positivos.

.-Luego en el trinomio de las sumas se agrupan los mismos

Esto queda de la siguiente forma:

Ahora se puede desarrollar como un producto de la suma por la resta de dos

Ejemplos de multiplicación de trinomios con números

1) Desarrolle (x+y+z)(x-y-z).

12.6 Cubo de la suma de dos cantidades

En el cubo de un binomio tenemos lo siguiente:

Podemos desarrollar el cuadrado de la suma y luego multiplicarlo por

Regla del cubo de la suma de un binomio



Respuesta:

12.7 Cubo de la resta de dos cantidades

En el cubo de un binomio con una resta tenemos lo siguiente:

Podemos desarrollar

guía de estudios matemáticasinstipp.edu.ec/.../pdf/guias/manuel/s1_matematicas.pdf · 2020. 6....

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