guía 93: las funciones en el parque de
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Guías de Aprendizaje de Cualificar Matemáticas
Fe y Alegría Colombia
Fe y Alegría Colombia
Víctor Murillo
Director Nacional
Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos
Jaime Benjumea - Marcela Vega
Autores de la guía 93
Yury Cristina Ardila Gordillo , Colegio Torquigua, Autor.
Miryam Mercedes Silva Cruz, Colegio San Vicente, Autor.
Coordinación pedagógica
Francy Paola González Castelblanco
Andrés Forero Cuervo
GRUPO LEMA www.grupolema.org
Revisores
Jaime Benjumea
Francy Paola González Castelblanco
Andrés Forero Cuervo
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GUÍA 93
GRADO 10
ACTIVIDAD
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Guía
93 GRADO 10
LAS FUNCIONES EN EL PARQUE DE
DIVERSIONES
GRADO 10 - META 31- PENSAMIENTO NUMÉRICO
Guía 91 (Duración 13 h)
ACTIVIDAD 1
• Números racionales con expansión
decimal infinita periódica y finita.
• Números irracionales, expansión
decimal infinita no periódica.
• Procesos de medición de magnitudes
inconmensurables.
• Ubica irracionales en la recta, procesos
infinitos en la expansión decimal de
números irracionales.
ACTIVIDAD 2
• Números reales.
• Idea intuitiva de la continuidad en R.
• Expresa reales de formas
equivalentes.
Guía 92 (Duración 13 h)
ACTIVIDAD 1
• Razones de cambio.
• Razón de cambio promedio.
ACTIVIDAD 2
• Inecuaciones.
• Inecuaciones con dos o
más variables
Guía 93 (Duración 13 h) ACTIVIDAD 1
● Identidades Trigonométricas
● Funciones trigonométricas
● Características de las funciones
trigonométricas (Amplitud,
periodo, frecuencia)
● Circunferencia Unitaria
ACTIVIDAD 2
● Representación de los números
complejos
● Operaciones entre números
complejos
● Representación de números
complejos en coordenadas
polares
● trigonométrica de números
complejos
● Aplicación de los números
complejos
META DE APRENDIZAJE N. 31. Analizo situaciones y resuelvo problemas sobre fenómenos de ondas que ocurren
en mi entorno como frecuencias de vibración, reflexión y propagación de las ondas del sonido y de la luz utilizando
funciones trigonométricas y nociones relacionadas como amplitud, periodo, frecuencia y longitud de onda. Valoro en
estos contextos la importancia de que las funciones sean continuas en los números reales y lo expreso de forma gráfica
y numérica, identificando el dominio y el rango y analizando cómo se comportan las funciones alrededor de las asíntotas.
También analizo situaciones relacionadas con medidas en decibeles y el balance del PH de sustancias, entre otras,
mediante funciones (logarítmicas y racionales) con ayuda de software o applets de Geogebra.
PREGUNTAS ESENCIALES:
Actividad 1:
● ¿Qué es una identidad trigonométrica y cómo se soluciona?
● ¿Cómo se grafica el movimiento de una onda de sonido o de la rueda de la fortuna, en un plano Cartesiano?
● ¿Qué características encuentras en cada gráfica?, ¿se repite algo?
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ACTIVIDAD
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● ¿ Es posible ubicar ángulos en la circunferencia unitaria medidos en grados y radianes?
Actividad 2
● ¿A qué conjunto numérico pertenece el resultado de la raíz cuadrada de un número negativo?
● ¿Es posible la solución de raíces negativas aplicando el concepto de número complejo?
● ¿Cómo se pueden representar las ondas electromagnéticas a través del estudio de los números complejos?
EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE
Actividad 1
● Identifico algunas identidades trigonométricas y deduce otras identidades entre funciones a partir de esta.
● Observo modelaciones en applets de fenómenos ondulatorios y aprecia aspectos como el periodo de oscilación,
la forma de la curva que la representa, los valores que toma en cada periodo, valor máximo y mínimo, entre
otras, esto como resultado de la descripción de gráficas y del uso de applets.
● Utilizo la circunferencia unitaria para asociar ángulos a coordenadas que satisfacen la ecuación de la
circunferencia de radio 1 y gráfica allí ángulos medidos en grados y radianes.
● Con ayuda del círculo unitario grafica las funciones sen y csc, cos y sec, tan y ctg, identifica asíntotas de las
funciones según sea el caso, identifica periodo de las funciones, dominio, el rango de cada función.
● Interpreto mediante tablas con datos numéricos el comportamiento de las funciones alrededor de las asíntotas.
● Interpreto geométricamente en las gráficas de funciones trigonométricas cómo cambios en los parámetros
algebraicos implican transformaciones en la gráfica como traslaciones verticales, horizontales, ampliaciones o
reducciones, alargamientos, etc.
Actividad 2
● Interpreto la relación existente entre los números Reales e Imaginarios
● Asimilo los números complejos como una extensión de los números reales.
● Identifico la necesidad de la creación de nuevos conjuntos numéricos en la aplicación de la trigonometría.
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ACTIVIDAD 1: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Aprendamos a analizar y a describir las funciones trigonométricas, y a resolver problemas usando
nuestras tablas y generalidades de las funciones.
A) Activando saberes previos
RECUERDA QUE...
El triángulo es un polígono que tiene tres lados y tres ángulos. Es, por tanto, el polígono más simple y el
conocimiento de sus características y propiedades nos ayudará a analizar los polígonos de más lados.
Recordemos algunas propiedades elementales de los triángulos.
A) Los tres ángulos de un triángulo suman 180º como puede comprobarse con
la figura siguiente.
B) Un lado es menor que la suma de los otros
dos.
a < b + c, b < a + c, c < a + b
C) Dado un triángulo siempre existe una circunferencia circunscrita a él. Su
centro es el punto donde se cortan las mediatrices de los lados.
Clasificacion de triangulos:
Según sus lados: Equilátero: Tres lados iguales.
Isósceles: Dos lados iguales y el tercero con otra medida.
Escaleno: Tres lados con distinta medida.
Según sus ángulos: Rectángulo: Un ángulo recto.
Acutángulo: Tres ángulos agudos
Obtusángulo: Un ángulo obtuso
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PRACTICA
1. Encuentra el valor de cada ángulo
2.
Verifica las respuestas de la sección A
con tu profesor.
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B) Conceptos
Situación 1: Sara y Juan son estudiantes de grado décimo y se encuentran en una salida al parque de
diversiones, ellos deciden empezar su visita al parque por la zona de juegos de
destreza, Juan decide participar en el juego “futbolito”, en el cual debe meter un
gol a la cancha desde cierta distancia. Solamente tiene 3 tiros para para poder
meter un gol.
Sara realizó el primer tiro y envió el balón por las nubes.
El trabajador del juego le dice a Sara, que si al patear el balón le hubiera dado
con un ángulo menor, habría sido gol.
Sara le pregunta ¿Cuál es el mayor ángulo posible que se podría patear el balón
para que pueda ser gol?
Juan le explica a Sara que es cuestión de realizar un triángulo rectángulo, entre
la ubicación del balón, la distancia a la cancha y la altura de esta. Para ello el trabajador del juego les brinda
las medidas, tenemos que averiguar el valor de ese ángulo.
El trabajador del juego les dice que el truco está en usar las razones trigonométricas, en este caso
Tangente, ya que se tiene el valor del Cateto opuesto y el Cateto adyacente:
Juan realiza el segundo intento y falla, Sara le dice que si calcula el ángulo de 12º,
pegará en el arco, que al patear el balón debe darle con un ángulo menor a 12º.
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Paso 1: Exploración: ¿Quién tiene la razón?
Situación 2: Sara y Juan se suben a la rueda de la fortuna en
Salitre mágico en la ciudad de Bogotá, interesados en el
tiempo que estarán en la rueda, investigan que esta tiene 16
metros de diámetro, cada minuto da tres vueltas completas y
su punto más bajo está a un metro del suelo.
Juan le dice a Sara que “Cuándo estén en la parte más alta
de la rueda, habrá pasado 10 segundos”. Sara le contesta a
Juan que “Cuándo estén en la parte más alta de la rueda
habrán recorrido 540º desde su punto inicial”.
Ninguno de los dos está convencido de estas conclusiones, así que proceden a investigar más detenidamente
y a mostrar sus anotaciones.
¡Antes de continuar, responde la siguiente pregunta! ¿Quién crees que tiene la razón y por qué?
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¿TIENE RAZÓN? ¿Por qué?
Sara
Juan
Veamos las anotaciones de cada uno:
JUAN SARA
Diámetro: 16
3 Revoluciones por minuto.
1 minuto: 60 segundos
𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 = 60𝑠𝑔
3𝑟𝑣= 20 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 . 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎
Entonces, si una vuelta dura 20 segundos 1
2 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 𝑒𝑠
20
2= 10 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠
Conclusión 1: La atura máxima de la rueda
ocurre cuando estemos a los 10 segundos
Diámetro 16
3 Revoluciones por minuto.
1 vuelta: 360º
𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 = 360º 𝑝𝑜𝑟 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎
𝐴𝑙𝑡 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑎 = 𝑢𝑛𝑎 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎 + 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑉𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎 =360
2= 180º
Entonces, 360º + 180º = 540º
Conclusión 2: Vamos a estar a una altura máxima a los
540º
Cuando Juan y Sara analizaron sus conclusiones, pensaron que antes de decidir si están en lo correcto o no
deben resolver las preguntas que le surgieron:
1. ¿Puedo saber a qué altura estamos en diferente tiempo?
2. ¿Esto es una función?, ¿qué tipo de función es?
3. ¿Puedo realizar un gráfico en el plano cartesiano que modele el comportamiento de la Rueda de la
fortuna y me facilite el análisis de las variables?
Para dar respuesta a las preguntas, Juan y Sara deciden trabajar juntos para solucionar este problema, lo
primero que realizan es retomar los datos que se tienen:
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La Rueda de la fortuna tiene:
· Un Diámetro de 16
· 3 revoluciones por minuto
· El punto más bajo de la rueda está a 1 metro del suelo.
Entonces se deduce:
⮚ Tiene un radio de 8 metros ( ya que el diámetro es 16)
⮚ 𝑡 = 0 es el punto mínimo
⮚ 3 𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
1 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜=
3 𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠𝑠
60 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠=
1 𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛
20 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 ( una vuelta en 20
seg)
⮚ 1 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎 = 360º,
⮚ 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟,360º
20 𝑠𝑒𝑔=
18º
1 𝑠𝑒𝑔 ( Cada segundo la rueda gira 18º)
Para dar respuesta a la primera pregunta, los estudiantes suponen, la siguiente situación:
Por lo que pueden deducir que la distancia del centro al suelo es de 9 metros, por lo que ahora se puede
construir un triángulo rectángulo y obtener una generalidad. La cual es 18º. 𝑡 , es decir, teniendo el
tiempo que pase se multiplicara por 18º para así determinar cuántos grados ha transcurrido. Pero como
queremos saber es ¿a qué altura están del suelo?, entonces:
⮚ Sabemos que la Hipotenusa del triángulo es de 8 metros por ser radio de la
circunferencia, que desde el punto centro al suelo hay 9 metros y se debe calcular quien
es ℎ, que es el cateto que no sabemos cuánto vale. Pero lo podemos denotar como 9 − ℎ.
⮚ Sara se fija que tenemos un triángulo rectángulo, un ángulo y tenemos un cateto y la
hipotenusa; Y que el ángulo que tenemos (18º𝑡)es adyacente al cateto que necesitamos
encontrar, por lo que la función trigonométrica que relaciona el cateto adyacente con la
hipotenusa es el Coseno, entonces:
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𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 18𝑡 =𝐶𝐴
𝐻𝐼𝑃=
9 − ℎ
8
8 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 18𝑡 = 9 − ℎ
−9 + 8 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 18𝑡 = −ℎ (−1)
ℎ = 9 − 8 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 18𝑡
Ya encontrada la función, Juan decide graficarla para mirar su comportamiento en un intervalo de tiempo
de 0 ≤ 𝑡 ≤ 30 , pero para realizar esta gráfica más fácil, decide hacer los siguientes cálculos:
ℎ(𝑡) = 9 − 8 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 18𝑡
ℎ ( 𝛽) = 9 − 8 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 𝛽 𝛽 = 18𝑡
Tiemp
o (seg)
Grado
s 𝛽
Altur
a (h)
𝛽 = 18 (5) = 90
𝛽 = 18 (10) = 180
ℎ ( 𝛽) = 9 − 8 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 𝛽
ℎ ( 0) = 9 − 8 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 0 = 1
ℎ ( 90) = 9 − 8 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 90 = 9
ℎ ( 180) = 9 − 8 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 180 = 17
0 0 1
5 90 9
10 180 17
15 270 9
20 360 1
25 450 9
30 540 17
Juan realiza la gráfica y junto a Sara, la analizan:
● El eje X, es el tiempo y el eje Y es la altura.
● No solamente hay un tiempo en donde se llega a la altura
máxima, hay varios tiempos
● No solamente hay un grado en donde se llega a la altura
máxima, hay varios grados.
● El punto máximo es 17 metros de altura y el mínimo es 1 metro.
● La rueda inicia una vuelta cada 20 segundos
Completa el ejemplo, respondiendo:
Con esto Juan y Sara ya pueden responder las preguntas y saber si estaban en lo correcto.
Si /No ¿Por qué?
1. ¿puedo saber a qué altura estamos en diferente tiempo?
2. ¿esto es una función?, ¿qué tipo de función es?
3. ¿Puedo realizar un gráfico en el plano cartesiano que
modele el comportamiento de la Rueda de la fortuna y me
facilite el análisis de las variables?
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Paso 2: La Noria.
En una feria se ha instalado una noria cuyo radio mide 5 metros. Tarda 32 segundos en dar una
vuelta completa. En la siguiente tabla completa la altura de una cesta que estaba a nivel del suelo cuando
se inició el movimiento de la noria.
Tiempo en segundos 0” 8” 16” 24” 32” 36” 40” 48” 56” 60” 64”
Altura de la cesta en m. 0 m 5 m 0 m 10 0
Aquí tienes una representación de la altura que tendrá la cesta en cada
instante.
Responde a las siguientes preguntas:
¿Cada cuánto tiempo la cesta está a 10 metros de altura?
¿Y a 5m?
¿Cada cuánto tiempo se repite una misma posición?
Situación 3: Mientras los estudiantes daban respuesta al problema, un
señor les solicito ayuda. Ya que él es trabajador del parque, el cual le
cuenta a Juan y Sara que su jefe le pide que alumbre la rueda de la
fortuna con luces de colores led, pero con una condición, que solo se puede
utilizar un color del tamaño del radio de la rueda. El trabajador realiza las
siguientes preguntas:
1. ¿Cuántos metros de luz led se necesita para decorar la rueda?
Respuesta 1: Sara dice que para resolver esto, es necesario calcular el perímetro de la rueda, y se sabe el
valore del diámetro. Por lo que solo sería realizar la operación:
La longitud de la circunferencia es igual a 2𝜋 por el radio o por el diámetro 𝐿 = 𝜋. 𝑑
𝐿 = 𝜋. 16 = 50.26548
Se necesita 50.26548 metros de luz led para alumbrar la rueda de la fortuna.
2. ¿Cuantos radios caben en la longitud de la circunferencia?
Respuesta 2: Juan menciona que esta operación es muy sencilla, que solo sería dividir los metros
de luz en el radio y que con ello, saben cuántos cortes de luz necesitan: 50.26548
8= 6.2831
Se necesitan 6.2831 mangueras de luz led de 8 metros.
APLIQUEMOS LO APRENDIDO
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3. El trabajador pone 6 mangueras de 8 metros en la rueda pero queda un espacio sin alumbrar, este
no comprende el porqué, a lo que juan y Sara le explican:
Respuesta 3:
Para ello es necesario saber qué es un radián: un radián es un arco que abarca la longitud del radio, y el
radio es cualquier segmento que une el punto centro con un punto de la circunferencia, y este arco que se
forma se le llama radián.
Cuando ponemos tres veces el arco del radian
en la circunferencia, se puede notar que cabe
tres veces y sobra un pedacito, como se
muestra en la figura:
Ese pedacito que falta es 0.1416 aproximadamente, es decir, que en el semicírculo cabe 3.1416 radianes y
sabemos que este número es 𝜋, y se nombra 𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛, por lo tanto el semicírculo tiene un ángulo de 180º,
es decir, que:
𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 180º
𝑟𝑎𝑑 =180
𝜋
𝑟𝑎𝑑 = 57.295º
El trabajador concluye que la parte que falta es de 0.2831 y que debe haber una manguera aproximadamente
del tamaño de 6.2831
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Paso 3:
Situación 4: Sara y Juan,
ya en clase de matemáticas,
escuchan a sus compañeros
hablar sobre los cálculos
matemáticos que realizaron
para calcular la altura en la
que estaban en el martillo
cada segundo.
Lo cuales tenían los mismos
datos y la gráfica, pero con
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una diferencia, la forma de escribir la fórmula: ℎ(𝑡) =𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 18𝑡 . (−8) + 9
Cuando Sara y juan vieron esta fórmula, le pregunto a su docente que si existían funciones que se
escribieran de manera diferente pero que significaran lo mismo, a lo que la docente explicó con el
siguiente ejemplo: 2𝑥 = 𝑥 + 𝑥
Ya que si reemplazamos: 2(2) = 2 + 2. 4 = 4
Paso 4: Encuentra un valor 𝛼 que hace la ecuación sea una identidad.
1. cos tg = sen 2. sen sec = tg 3. sen cotg = cos 4. sen tg + cos = sec
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Practica en la siguiente applet: https://www.edu.xunta.gal/espazoAbalar/sites/espazoAbalar/files/datos/1491480889/contido/ud11_trigonometria_II/21_la_circunferencia_g
oniomtrica.html#:~:text=La%20circunferencia%20goniom%C3%A9trica%2C%20circunferencia%20trigonom%C3%A9trica,se%20utiliza%20para
%20medir%20%C3%A1ngulos.
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C) Resuelve y practica
En hojas milimetradas realiza las Gráficas de los siguientes puntos.
1.- Representación gráfica de y = senx, y=cosx & y=tgx
a) Completar las siguientes tablas b) Representar gráficamente
a b c
2.- Observa que la gráfica anterior solo se ha construido para ángulos entre 0º y 360º es decir de la 1ª vuelta ¿qué
gráfico se obtiene si lo extendemos a todos los ángulos? Realiza la nueva gráfica para y = senx, y=cosx & y=tgx
3.- Isabella hace una bandera enorme de su país, la República de las Seychelles, sobre un lienzo de 20 por 10 metros.
Para ello, tiene que dibujar una línea diagonal desde la esquina inferior izquierda hasta el
borde derecho, a 7 metros de altura.
Como la línea diagonal es demasiado grande para utilizar una regla, Isabella quiere
encontrar el ángulo de la diagonal y dibujarlo usando un transportador.
¿Cuál es el ángulo de elevación de la diagonal?
4. Arquímedes se fue a dormir junto a una gran roca.
Quería levantarse a las 8 a.m., pero ¡los
despertadores aún no se habían inventado! Por ello
decidió dormir en un sitio en el cual la sombra de la
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roca terminara cuando fueran las 8 a.m. y así
despertar con la luz directa del sol.
Arquímedes sabía que a las 8 a.m. la luz del sol toca el
suelo a un ángulo de 43º. La roca junto a la cual
durmió mide 7metros de altura.
¿Qué tan lejos de la roca durmió Arquímedes?
2. El conejo Bugs estaba a 42 metros bajo tierra, y
excavaba hacia Albuquerque, cuando quiso salir a
la superficie. Cambió su dirección y excavó 100
metros en diagonal a través del suelo hasta salir a
la superficie. ¿Cuál es el ángulo de elevación, en
grados, del ascenso de Bugs?
3. Calcula todas las medidas de este triángulo
4. Encuentra las razones trigonométricas del
siguiente triangulo.
5.
6. En la circunferencia
Unitaria gráfica los ángulos notables en grados y en
radianes.
PROBLEMAS DE KHAN ACADEMY
https://es.khanacademy.org/math/trigonometry/trigonometry-right-triangles
https://es.khanacademy.org/math/geometry/hs-geo-trig/hs-geo-modeling-with-right-triangles/e/applying-right-triangles
Tema: Ley de senos y cosenos (Mira los videos y toma notas) https://www.youtube.com/watch?v=e2_WDo5yK_Q&list=PLeySRPnY35dHyDHBmOcBaYOKhr6nn2tX-
https://www.youtube.com/watch?v=SbFetGnLdr8&list=PLeySRPnY35dHyDHBmOcBaYOKhr6nn2tX-&index=12
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D) Resumen
¿Qué es la trigonometría?
La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia la
relación entre los lados y ángulos de los triángulos. Se ocupa, por tanto,
de las funciones asociadas a los ángulos, denominadas funciones
trigonométricas (también pueden denominarse funciones
circulares): seno, coseno, tangente, secante,…
La trigonometría tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de
la ciencia: de una u otra manera en todos los campos de las matemáticas;
en la física, por ejemplo en fenómenos ondulatorios; en la astronomía, por ejemplo para medir distancias
entre planetas; en la geodesia, etc. Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo
rectángulo. Es decir, la comparación por su cociente de sus tres lados a, b y c.
Sea α uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo.
▪ El seno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto
opuesto (a) y la hipotenusa (c).
▪ El coseno se define como la razón entre el cateto contiguo o cateto
adyacente (b) y la hipotenusa (c).
▪ La tangente es la razón entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b).
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E) Valoración
i) Califica tu comprensión por tema en tu cuaderno
Evidencias ⚫⚪⚪ Todavía no
entiendo los
conceptos
⚫⚫⚪ Voy bien pero
quiero más
práctica
⚫⚫⚫ Comprendí
muy bien el
tema
Comprendo
la relación
de las
razones
trigonomét
ricas en un
triángulo
rectángulo
Reconozco
la
aplicabilida
d de las
funciones
Trigonomét
ricas en
contextos
cotidianos.
Identifico
las
propiedade
s de las
funciones
Trigonomét
ricas
ii) Preguntas de comprensión. (practica
icfes) Las preguntas de 1 a 3, se contestarán
de acuerdo con la siguiente información:
Don Julián es un humilde trabajador del
corregimiento de San Cristóbal, hereda una
parcela, después de un litigio con sus
hermanos, un topógrafo le entrega el siguiente
plano de la parcela con los siguientes datos:
b=4 Km, a=3 Km, =41°, Por c pasa una
quebrada.
Don Julián consulta al profesor Omar López
sobre los detalles entregado por el topógrafo,
el profesor hábilmente les formula a los
estudiantes del grado décimo las siguientes
preguntas:
1. El triángulo ABC es:
a. Acutángulo
b. Equilátero
c. Isósceles
d. Rectángulo
2. En el triángulo ABC c representa:
a. Cateto adyacente
b. Hipotenusa
c. Cateto opuesto
d. Seno
3. La medida del lado de la quebrada c es:
a. 5 Km
b. 5 m
c. 25 Km
d. 25 m
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ACTIVIDAD
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ACTIVIDAD 2: NÚMEROS COMPLEJOS
En esta sección estudiaremos el sistema de los Números Complejos, desde el punto de vista del álgebra,
socializando las propiedades más importantes de las operaciones de suma y producto. Veremos la
representación geométrica de los números complejos, así como también la forma polar o trigonométrica
de los mismos ampliando nuestro conocimiento y aprendizaje de las matemáticas.
A) Activando saberes previos
RECUERDA QUE...
Coordenadas Cartesianas
Las coordenadas cartesianas se definen así como la distancia al origen de las proyecciones de un punto dado
sobre cada uno de los ejes. La denominación de 'cartesiano' se introdujo en honor de René Descartes, quien
lo utilizó de manera formal por primera vez.
Si el sistema en sí es un sistema bidimensional, se denomina plano cartesiano. El punto de corte de las
rectas se hace coincidir con el punto cero de las rectas y se conoce como origen del sistema. Al eje
horizontal o de las abscisas se le asigna los números enteros de las equis ("x"); y al eje vertical o de las
ordenadas se le asignan los números enteros de las yes ("y"). Al cortarse las dos rectas, dividen al plano en
cuatro regiones o zonas, que se conocen con el nombre de cuadrantes:
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GRADO 10
ACTIVIDAD
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El
plano
cartesiano se utiliza para asignarle una ubicación
a cualquier punto en el plano. En la gráfica se
indica el punto 2 en las abscisas y 3 en las
ordenadas. El conjunto (2, 3) se denomina "par
ordenado" y del mismo modo se pueden ubicar
otros puntos.
PRACTICA
Verifica las respuestas de la sección A con tu profesor.
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B) Conceptos
NÚMEROS COMPLEJOS El desarrollo de los números complejos es uno de los hechos más interesantes de las matemáticas, no solo
como muestra típica de evolución en la historia del pensamiento científico, sino por su trascendencia en el
estudio de muchos temas matemáticos.
A mediados del siglo xvi, los algebristas italiano Tartaglia, Cardano y Bombelli buscaban la manera de
resolver la ecuación de tercer grado o cúbica, la fórmula que obtuvieron que aún se utiliza hoy día, contiene
una raíz cuadrada, la cual a veces no se podía resolver por ser negativo el radicando. Sin embargo lo
sorprendente de la ecuación cúbica es que aun así posee soluciones reales, ante esta situación Bombelli se
arriesga y plantea las raíces de la ecuación cúbica, pero estas perecieron demasiado atrevidas. Solo un siglo
después Leibnitz acoge las ideas de Bombelli y las difunde es sus obras matemáticas, trabajando en lo que
se llamó número imaginario cuya introducción se justifica así: √−3 = √−1√3 donde a la expresión de√−1 se
le llama UNIDAD IMAGINARIA y Euler la presentó con la letra i.
Los números complejos tienen diferentes usos: en ecuaciones algebraicas utilizadas en el colegio y en la
mayoría de las carreras como: administración de empresas, contabilidad, ingeniería eléctrica, acústica,
hidrología, mecánica cuántica, Teoría de la Relatividad, creación de imágenes virtuales, etc.
EXPLORACIÓN
Sara y Juan están en el parque de diversiones y necesitan desplazarse para montar en algunas atracciones;
según el mapa de indicaciones que les da el parque describe las siguientes coordenadas:
Escribe el par de coordenadas que señala cada atracción.
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¿Cuál es la distancia que deben recorrer Sara y Juan para ir a la montaña rusa si se encuentra en la rueda
panorámica?
Mini-explicación: NÚMEROS COMPLEJOS
NÚME-
ROS
COM-
PLEJOS
Los números imaginarios tienen variadas aplicaciones en diferentes campos, en electrónica
para procesar, restaurar y optimizar señales; en la teoría de control que es un área que
relaciona la ingeniería y la matemática, y en la física, donde los números imaginarios están
relacionados con el electromagnetismo, la dinámica de fluidos, la mecánica cuántica y el
análisis de vibraciones.
Pero no existe ningún número real (x) que esté elevado al cuadrado y de (-36), pues el
cuadrado de un número real es un número POSITIVO. Por lo tanto para encontrar la raíz
cuadrado de un número negativo, debemos conseguir números distintos a los reales; es decir,
debemos definir un conjunto que contenga a los reales y a las raíces cuadradas de números
negativos. Este conjunto se le denomina conjunto de NÚMEROS COMPLEJOS.
Los siguientes son números complejos:
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Cuando no hay parte imaginaria: Ejemplo z = 8 se dice que el complejo es real. Entonces los números reales
forman parte del conjunto de los números Complejos.
El siguiente es un número complejo z = 12i cuando un número complejo no tiene parte real, como en el
presente caso, se dice que es un imaginario puro.
Ejercitación:
1. Identifica cuál de las siguientes expresiones corresponde a números imaginarios puros, luego
expresarlos como números imaginarios:
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2. Halla la solución de cada ecuación:
¿COMO SE GRAFICA UN NÚMERO COMPLEJO?
Para representar gráficamente un número complejo, debemos dibujarlos en el plano complejo. Éste está
formado por un eje real y un eje imaginario. Sobre el eje real representaremos la parte real del número
complejo, mientras que en el eje imaginario representaremos la parte imaginaria.
Ejercitando:
Escribe en forma binomial el número complejo representado en cada plano complejo
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Mini-explicación: NÚMEROS COMPLEJOS
OPERACIONES
CON NÚMEROS
COMPLEJOS
OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS
● ¿Cuándo dos números complejos son iguales?
Dos números complejos z1 = a + bi y z2 = c + di son iguales si y sólo si a = c y b = d.
En otras palabras, dos números complejos son iguales cuando sus componentes
respectivas, reales e imaginarias, son iguales.
● POTENCIAS DE i
Para calcular potencias de i, debemos partir de
De aquí en adelante se repite los valores de 4 en 4; por eso las potencias básicas de i son cuatro. Cualquier
potencia (i) puede calcularse mediante una reducción a las potencias básicas, para ello basta con dividir el
exponente de i por 4 y tomar el residuo como la nueva potencia.
Ejemplo: simplificar
Solución: Aunque 138 no es un múltiplo de 4, encontramos un número cercano que sea múltiplo de 4 en este
caso 36 por lo tanto:
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Ejercitando: Calcular
Mini-explicación: NÚMEROS COMPLEJOS
OPERACIONES
CON
NÚMEROS
COMPLEJOS
SUMA DE NÚMEROS COMPLEJOS
La operación suma de números complejos está basada en la suma de números reales.
Cada complejo tiene una parte real y una parte imaginaria. Para sumar complejos hay
que sumar las partes reales por un lado y las partes imaginarias por otro lado, como
números reales. Al hacer esto nos encontramos de nuevo con otro número complejo.
Para sumar números complejos simplemente se suman sus componentes correspondientes:
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La suma de números complejos ES CONMUTATIVA: z + w = w + z.
También es asociativa. z + (w + p) = (z + w) + p.
RESTA DE NÚMEROS COMPLEJOS:
Para restar dos números complejos se restan sus componentes correspondientes.
Ejercitando: Efectuar las siguientes restas de
números complejos:
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OPERACIONES
CON NÚMEROS
COMPLEJOS
● MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
El producto de los números complejos está definido de la siguiente manera
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Aunque parezca complicada, esta expresión para el producto es consecuencia de las reglas de multiplicación
para los números reales. En efecto, haciendo la multiplicación de Z por W como si se tratara de expresiones
algebraicas se obtiene:
Algunas propiedades de la multiplicación de números complejos:
La multiplicación también es asociativa.
Ejercitando: Completa la siguiente tabla teniendo en cuenta que:
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3. Encontrar el error que se cometió en el siguiente
razonamiento. Explica tu respuesta
EL CONJUGADO DE UN NÚMERO COMPLEJO
Mini-explicación: NÚMEROS COMPLEJOS
OPERACIONES
CON
NÚMEROS
COMPLEJOS
DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
Lo que se busca al dividir números complejos es que el divisor (denominador) se
transforme en un número real. Esto se logra multiplicando el dividendo y el divisor
por el conjugado del divisor.
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Ejercitando: Divide cada par de números complejos
Mini-explicación: NÚMEROS COMPLEJOS
OPERACIO-
NES CON
NÚMEROS
COMPLEJOS
FORMA POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO
La forma polar de un número complejo
es otra forma de representar un
número complejo. La forma z = a + bi
es llamada la forma coordenada
rectangular de un número complejo.
El eje horizontal es el eje real y el eje
vertical es el eje imaginario.
Encontramos los componentes reales y
complejos en términos de r y θ donde
r es la longitud del vector y θ es el
ángulo hecho con el eje real. Del teorema de Pitágoras:
Por el uso de las relaciones trigonométricas básicas:
Despejando a y b:
La forma rectangular de un número complejo está dada por z = a + bi .
Sustituya los valores de a y b .
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En el caso de un número complejo, r representa el valor absoluto o el módulo y el ángulo
θ es llamado el argumento del número complejo.
C) Resuelve y práctica
1. Escribe las siguientes raíces como números imaginarios puros:
2. Identifica en los siguientes números complejos la parte real y la parte imaginaria:
3. Representa en el plano complejo los siguientes números complejos
4. Representa en tu cuaderno, cada número complejo y su respectivo conjugado, sobre el plano complejo
5. Simplifica cada expresión:
6. Halla la norma (longitud) de los siguientes números complejos, dibujándolos en el plano y usando el
teorema de Pitágoras:
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7. Escribe los números que faltan de tal manera que cada número de la pieza superior corresponda a la
suma de los números de las piezas inferiores.
8. Expresa de forma trigonométrica los siguientes números complejos
● 𝑍 = 2,6 + 1.5 𝑖
● 𝑍 = −√2 + √2𝑖
9. Resolver el siguiente problema: La impedancia en un fenómeno físico que se describe por medio de
oscilaciones y es de gran importancia en la ingeniería electrónica. La impedancia afecta la corriente
en un circuito y se determina mediante la fórmula.
PROBLEMAS DE KHAN ACADEMY
Tema: NÚMEROS COMPLEJOS (https://es.khanacademy.org/math/algebra-home/alg-complex-numbers)
(https://es.khanacademy.org/math/algebra-home/alg-complex-numbers/alg-complex-number-challenge/v/iit-jee-complex-
numbers-part-1)
REVISAR LOS SIGUIENTE LINKS Y TOMAR NOTA PARA REFORZAR EL TEMA VISTO https://www.youtube.com/watch?v=Qv_bvmJJfV0&list=PLeySRPnY35dHfzYRb8StWkxnVTkrocv6X
https://www.youtube.com/watch?v=nudZJB-wQGk&list=PLeySRPnY35dHfzYRb8StWkxnVTkrocv6X&index=2
https://www.youtube.com/watch?v=38DPFbTKUpQ&list=PLeySRPnY35dHfzYRb8StWkxnVTkrocv6X&index=5
https://www.youtube.com/watch?v=XV5buDdtUEU&list=PLeySRPnY35dHfzYRb8StWkxnVTkrocv6X&index=6
https://www.youtube.com/watch?v=z9IQ-Hf-lUA&t=7s
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D) Resumen
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E) Valoración
i) Califica tu comprensión por tema en tu cuaderno
Evidencias ⚫⚪⚪ Todavía no
entiendo los
conceptos
⚫⚫⚪ Voy bien pero
quiero más
práctica
⚫⚫⚫ Comprendí
muy bien
el tema
Interpreta la
relación existente
entre los números
Reales e Imaginarios
Asimila los
números complejos
como una extensión
de los números
reales.
Realiza operaciones y
soluciona problemas
cotidianos con
números complejos
Identifica la
necesidad de la
creación de nuevos
conjuntos numéricos
en la aplicación de la
trigonometría.
ii) Preguntas de comprensión En el punto 1 y 2 determina si la
afirmación es verdadera o falsa.
1)Toda expresión de la forma
√−𝑎 representa un número imaginario
________________
2) √−814
= 9𝑖
______________________
3) Representa el siguiente número
complejo (2-i) en el plano complejo
4) Expresa √2−2𝑖
−3+3𝑖 en forma
trigonométrica
(Verifica las respuestas con tu profesor)
iii) Resuelvo un problema Un profesor califica utilizando números complejos. A continuación se muestran las calificaciones de tres
estudiantes.
Para determinar el desempeño final de cada estudiante, el profesor suma las tres notas y divide el
resultado entre tres. Luego halla la norma del resultado y asigna una letra de acuerdo con la siguiente
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escala.
Escala Desempeño
100-90 Bastante Asumido
89- 85 Asumido
84-75 Poco Asumido
74- 0 Nada Asumido
¿Cuál es el puntaje de Juan?
¿Cómo se evalúa su desempeño?