grupos finitos p-locales e invariantes.agt.cie.uma.es/~adiaz/talks/rsme-smm2012.pdf · los grupos...
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Grupos finitos p-locales e invariantes.
Antonio Dıaz Ramos
Universidad de Malaga
II Encuentro Conjunto RSME-SMMMalaga, 17-20 de enero de 2012
Sesion Especial: Topologıa Algebraica
Introduccion.
Los grupos finito p-locales son espacios topologicos que tienenpropiedades homotopicas similares a la p-completacion del espacioclasificador de un grupo finito:
Grupo finito G
Espacio clasificador BG
p-completacion BG∧p
Introduccion.
Los grupos finito p-locales son espacios topologicos que tienenpropiedades homotopicas similares a la p-completacion del espacioclasificador de un grupo finito:
Grupo finito G
Espacio clasificador BG
p-completacion BG∧p
Introduccion.
Los grupos finito p-locales son espacios topologicos que tienenpropiedades homotopicas similares a la p-completacion del espacioclasificador de un grupo finito:
Grupo finito G
��
Espacio clasificador BG
p-completacion BG∧p
Introduccion.
Los grupos finito p-locales son espacios topologicos que tienenpropiedades homotopicas similares a la p-completacion del espacioclasificador de un grupo finito:
Grupo finito G
��Espacio clasificador BG
p-completacion BG∧p
Introduccion.
Los grupos finito p-locales son espacios topologicos que tienenpropiedades homotopicas similares a la p-completacion del espacioclasificador de un grupo finito:
Grupo finito G
��Espacio clasificador BG
p-completacion BG∧p
Espacio clasificador
Todo fibrado principal sobre G es pullbackdel fibrado universal sobre G :
G
G
��Y
��
EG
��Z BG
Introduccion.
Los grupos finito p-locales son espacios topologicos que tienenpropiedades homotopicas similares a la p-completacion del espacioclasificador de un grupo finito:
Grupo finito G
��Espacio clasificador BG
p-completacion BG∧p
Espacio clasificador
Todo fibrado principal sobre G es pullbackdel fibrado universal sobre G :
G
G
��Y
��
EG
��Z // BG
Introduccion.
Los grupos finito p-locales son espacios topologicos que tienenpropiedades homotopicas similares a la p-completacion del espacioclasificador de un grupo finito:
Grupo finito G
��Espacio clasificador BG
p-completacion BG∧p
Espacio clasificador
Todo fibrado principal sobre G es pullbackdel fibrado universal sobre G :
G= //
��
G
��Y
��
// EG
��Z // BG
Introduccion.
Los grupos finito p-locales son espacios topologicos que tienenpropiedades homotopicas similares a la p-completacion del espacioclasificador de un grupo finito:
Grupo finito G
��Espacio clasificador BG
��
p-completacion BG∧p
Introduccion.
Los grupos finito p-locales son espacios topologicos que tienenpropiedades homotopicas similares a la p-completacion del espacioclasificador de un grupo finito:
Grupo finito G
��Espacio clasificador BG
��p-completacion BG∧p
Introduccion.
Los grupos finito p-locales son espacios topologicos que tienenpropiedades homotopicas similares a la p-completacion del espacioclasificador de un grupo finito:
Grupo finito G
��Espacio clasificador BG
��p-completacion BG∧p
Functor p-completacion
Es un functor Top·∧p→ Top.
Dadaf : X → Y tenemos que
f ∧p : X∧p → Y ∧p
es equivalencia homotopica si y solo si
f ∗ : H∗(Y ;Fp)→ H∗(X ;Fp)
es isomorfismo.
Introduccion.
Los grupos finito p-locales son espacios topologicos que tienenpropiedades homotopicas similares a la p-completacion del espacioclasificador de un grupo finito:
Grupo finito G
��Espacio clasificador BG
��p-completacion BG∧p
Functor p-completacion
Es un functor Top·∧p→ Top. Dada
f : X → Y tenemos que
f ∧p : X∧p → Y ∧p
es equivalencia homotopica si y solo si
f ∗ : H∗(Y ;Fp)→ H∗(X ;Fp)
es isomorfismo.
Introduccion.
Los grupos finito p-locales son espacios topologicos que tienenpropiedades homotopicas similares a la p-completacion del espacioclasificador de un grupo finito:
Grupo finito G
��Espacio clasificador BG
��p-completacion BG∧p
Functor p-completacion
Es un functor Top·∧p→ Top. Dada
f : X → Y tenemos que
f ∧p : X∧p → Y ∧p
es equivalencia homotopica si y solo si
f ∗ : H∗(Y ;Fp)→ H∗(X ;Fp)
es isomorfismo.
Introduccion.
Los grupos finito p-locales son espacios topologicos que tienenpropiedades homotopicas similares a la p-completacion del espacioclasificador de un grupo finito:
Grupo finito G
��Espacio clasificador BG
��p-completacion BG∧p
¿Como reconocer un grupo finito p-local?
Sea X un espacio topologico p-completo (X∧p ' X ).
1. Subgrupo de Sylow
f : BS → X .
2. Fusion
F con HomF (P,Q) ⊆ Hom(P,Q).
3. Espacio clasificador
BF∧p ' X .
¿Como reconocer un grupo finito p-local?
Sea X un espacio topologico p-completo (X∧p ' X ).
1. Subgrupo de Sylow
f : BS → X .
2. Fusion
F con HomF (P,Q) ⊆ Hom(P,Q).
3. Espacio clasificador
BF∧p ' X .
La siguiente construccion es de Broto, Levi y Oliver, 2001.
¿Como reconocer un grupo finito p-local?
Sea X un espacio topologico p-completo (X∧p ' X ).
1. Subgrupo de Sylow
f : BS → X .
2. Fusion
F con HomF (P,Q) ⊆ Hom(P,Q).
3. Espacio clasificador
BF∧p ' X .
¿Como reconocer un grupo finito p-local?
Sea X un espacio topologico p-completo (X∧p ' X ).
1. Subgrupo de Sylow
f : BS → X .
2. Fusion
F con HomF (P,Q) ⊆ Hom(P,Q).
3. Espacio clasificador
BF∧p ' X .
El p-grupo P es ”p-subgrupo”de X si existe una aplicacionBP → X tal que su fibra homotopica F satisfaceMap∗(B(Z/p),F ) ' ∗.
¿Como reconocer un grupo finito p-local?
Sea X un espacio topologico p-completo (X∧p ' X ).
1. Subgrupo de Sylow
f : BS → X .
2. Fusion
F con HomF (P,Q) ⊆ Hom(P,Q).
3. Espacio clasificador
BF∧p ' X .
El p-grupo P es ”p-subgrupo”de X si existe una aplicacionBP → X tal que su fibra homotopica F satisfaceMap∗(B(Z/p),F ) ' ∗. El ”p-subgrupo”S de X con f : BS → X esSylow de X si cualquier aplicacion BP → X con P un p-grupofactoriza a traves de f salvo homotopıa:
BP
""
// X
BS
f==
¿Como reconocer un grupo finito p-local?
Sea X un espacio topologico p-completo (X∧p ' X ).
1. Subgrupo de Sylow f : BS → X .
2. Fusion
F con HomF (P,Q) ⊆ Hom(P,Q).
3. Espacio clasificador
BF∧p ' X .
¿Como reconocer un grupo finito p-local?
Sea X un espacio topologico p-completo (X∧p ' X ).
1. Subgrupo de Sylow f : BS → X .
2. Fusion
F con HomF (P,Q) ⊆ Hom(P,Q).
3. Espacio clasificador
BF∧p ' X .
¿Como reconocer un grupo finito p-local?
Sea X un espacio topologico p-completo (X∧p ' X ).
1. Subgrupo de Sylow f : BS → X .
2. Fusion
F con HomF (P,Q) ⊆ Hom(P,Q).
3. Espacio clasificador
BF∧p ' X .
La fusion o conjugacion se codifica en la categorıa F con objetoslos subgrupos de S y morfismos HomF (P,Q) los homomorfismosϕ : P → Q tales que
BP
ϕ
��
// BSf // X
BQ // BS
f
>>
commuta salvo homotopıa.
¿Como reconocer un grupo finito p-local?
Sea X un espacio topologico p-completo (X∧p ' X ).
1. Subgrupo de Sylow f : BS → X .
2. Fusion F con HomF (P,Q) ⊆ Hom(P,Q).
3. Espacio clasificador
BF∧p ' X .
¿Como reconocer un grupo finito p-local?
Sea X un espacio topologico p-completo (X∧p ' X ).
1. Subgrupo de Sylow f : BS → X .
2. Fusion F con HomF (P,Q) ⊆ Hom(P,Q).
3. Espacio clasificador
BF∧p ' X .
F debe satisfacer varios axiomas tecnicos de Puig.
¿Como reconocer un grupo finito p-local?
Sea X un espacio topologico p-completo (X∧p ' X ).
1. Subgrupo de Sylow f : BS → X .
2. Fusion F con HomF (P,Q) ⊆ Hom(P,Q).
3. Espacio clasificador
BF∧p ' X .
¿Como reconocer un grupo finito p-local?
Sea X un espacio topologico p-completo (X∧p ' X ).
1. Subgrupo de Sylow f : BS → X .
2. Fusion F con HomF (P,Q) ⊆ Hom(P,Q).
3. Espacio clasificador BF∧p
BF∧p ' X .
¿Como reconocer un grupo finito p-local?
Sea X un espacio topologico p-completo (X∧p ' X ).
1. Subgrupo de Sylow f : BS → X .
2. Fusion F con HomF (P,Q) ⊆ Hom(P,Q).
3. Espacio clasificador BF∧p
BF∧p ' X .
La existencia y unicidad de espacio clasificador fue probadapor Chermak en 2011.
¿Como reconocer un grupo finito p-local?
Sea X un espacio topologico p-completo (X∧p ' X ).
1. Subgrupo de Sylow f : BS → X .
2. Fusion F con HomF (P,Q) ⊆ Hom(P,Q).
3. Espacio clasificador BF∧p ' X .
¿Como reconocer un grupo finito p-local?
Sea X un espacio topologico p-completo (X∧p ' X ).
1. Subgrupo de Sylow f : BS → X .
2. Fusion F con HomF (P,Q) ⊆ Hom(P,Q).
3. Espacio clasificador BF∧p ' X .
Para un p-grupo finito S hay una biyeccion
{Fusiones F sobre S} ↔ {Grupo finitos p-locales X con Sylow S}
¿Como reconocer un grupo finito p-local?
Sea X un espacio topologico p-completo (X∧p ' X ).
1. Subgrupo de Sylow f : BS → X .
2. Fusion F con HomF (P,Q) ⊆ Hom(P,Q).
3. Espacio clasificador BF∧p ' X .
G // BG∧p = X1,2,3 // F = FS(G )
El p-subgrupo S es Sylow de G y ademas
HomFS (G)(P,Q) = {ϕ : P → Q|ϕ = cx para algun x ∈ G}.
Hay grupos finitos p-locales X que no tienen el tipo dehomotopıa de BG∧p para ningun grupo finito G .
¿Como reconocer un grupo finito p-local?
Sea X un espacio topologico p-completo (X∧p ' X ).
1. Subgrupo de Sylow f : BS → X .
2. Fusion F con HomF (P,Q) ⊆ Hom(P,Q).
3. Espacio clasificador BF∧p ' X .
G // BG∧p = X1,2,3 // F = FS(G )
El p-subgrupo S es Sylow de G y ademas
HomFS (G)(P,Q) = {ϕ : P → Q|ϕ = cx para algun x ∈ G}.
Hay grupos finitos p-locales X que no tienen el tipo dehomotopıa de BG∧p para ningun grupo finito G .
¿Como reconocer un grupo finito p-local?
Sea X un espacio topologico p-completo (X∧p ' X ).
1. Subgrupo de Sylow f : BS → X .
2. Fusion F con HomF (P,Q) ⊆ Hom(P,Q).
3. Espacio clasificador BF∧p ' X .
G // BG∧p = X1,2,3 // F = FS(G )
El p-subgrupo S es Sylow de G y ademas
HomFS (G)(P,Q) = {ϕ : P → Q|ϕ = cx para algun x ∈ G}.
Hay grupos finitos p-locales X que no tienen el tipo dehomotopıa de BG∧p para ningun grupo finito G .
Propiedades homotopicas.
1. Descomposicion homologica:
X ' hocolimO(Fc )B
con B(P) ' BP.
Sea S Sylow de X y F su fusion, P ≤ S escentrico si CS(P ′) ≤ P ′ para todo P ′ F-isomorfo a P. Lacategorıa de orbitas O(Fc) tiene objetos los subgruposcentricos y MorO(Fc )(P,Q) = HomF (P,Q)/Inn(Q).
2. Cohomologıa como invariantes de H∗ : F → Z(p) −mod :
H∗(X ;Fp) = {z ∈ H∗(BS ;FP)|ϕ∗(z) = res(z) ∀ ϕ ∈ HomF (P, S)}
= H∗(S;Fp)F
S::
α
��P
ϕvv oo
R
WW
β
OO
Q
ψ
gg__ H∗(S ;Fp)++
α∗
�� ϕ∗-- //
ψ∗
!!&&β∗
��
H∗(P;Fp)
H∗(R;Fp) H∗(Q;Fp)
Propiedades homotopicas.
1. Descomposicion homologica:
X ' hocolimO(Fc )B
con B(P) ' BP.
Sea S Sylow de X y F su fusion, P ≤ S escentrico si CS(P ′) ≤ P ′ para todo P ′ F-isomorfo a P. Lacategorıa de orbitas O(Fc) tiene objetos los subgruposcentricos y MorO(Fc )(P,Q) = HomF (P,Q)/Inn(Q).
2. Cohomologıa como invariantes de H∗ : F → Z(p) −mod :
H∗(X ;Fp) = {z ∈ H∗(BS ;FP)|ϕ∗(z) = res(z) ∀ ϕ ∈ HomF (P, S)}
= H∗(S;Fp)F
S::
α
��P
ϕvv oo
R
WW
β
OO
Q
ψ
gg__ H∗(S ;Fp)++
α∗
�� ϕ∗-- //
ψ∗
!!&&β∗
��
H∗(P;Fp)
H∗(R;Fp) H∗(Q;Fp)
Propiedades homotopicas.
1. Descomposicion homologica:
X ' hocolimO(Fc )B
con B(P) ' BP. Sea S Sylow de X y F su fusion, P ≤ S escentrico si CS(P ′) ≤ P ′ para todo P ′ F-isomorfo a P.
Lacategorıa de orbitas O(Fc) tiene objetos los subgruposcentricos y MorO(Fc )(P,Q) = HomF (P,Q)/Inn(Q).
2. Cohomologıa como invariantes de H∗ : F → Z(p) −mod :
H∗(X ;Fp) = {z ∈ H∗(BS ;FP)|ϕ∗(z) = res(z) ∀ ϕ ∈ HomF (P, S)}
= H∗(S;Fp)F
S::
α
��P
ϕvv oo
R
WW
β
OO
Q
ψ
gg__ H∗(S ;Fp)++
α∗
�� ϕ∗-- //
ψ∗
!!&&β∗
��
H∗(P;Fp)
H∗(R;Fp) H∗(Q;Fp)
Propiedades homotopicas.
1. Descomposicion homologica:
X ' hocolimO(Fc )B
con B(P) ' BP. Sea S Sylow de X y F su fusion, P ≤ S escentrico si CS(P ′) ≤ P ′ para todo P ′ F-isomorfo a P. Lacategorıa de orbitas O(Fc) tiene objetos los subgruposcentricos y MorO(Fc )(P,Q) = HomF (P,Q)/Inn(Q).
2. Cohomologıa como invariantes de H∗ : F → Z(p) −mod :
H∗(X ;Fp) = {z ∈ H∗(BS ;FP)|ϕ∗(z) = res(z) ∀ ϕ ∈ HomF (P, S)}
= H∗(S;Fp)F
S::
α
��P
ϕvv oo
R
WW
β
OO
Q
ψ
gg__ H∗(S ;Fp)++
α∗
�� ϕ∗-- //
ψ∗
!!&&β∗
��
H∗(P;Fp)
H∗(R;Fp) H∗(Q;Fp)
Propiedades homotopicas.
1. Descomposicion homologica:
X ' hocolimO(Fc )B
con B(P) ' BP. Sea S Sylow de X y F su fusion, P ≤ S escentrico si CS(P ′) ≤ P ′ para todo P ′ F-isomorfo a P. Lacategorıa de orbitas O(Fc) tiene objetos los subgruposcentricos y MorO(Fc )(P,Q) = HomF (P,Q)/Inn(Q).
2. Cohomologıa como invariantes de H∗ : F → Z(p) −mod :
H∗(X ;Fp) = {z ∈ H∗(BS ;FP)|ϕ∗(z) = res(z) ∀ ϕ ∈ HomF (P, S)}
= H∗(S;Fp)F
S::
α
��P
ϕvv oo
R
WW
β
OO
Q
ψ
gg__ H∗(S ;Fp)++
α∗
�� ϕ∗-- //
ψ∗
!!&&β∗
��
H∗(P;Fp)
H∗(R;Fp) H∗(Q;Fp)
Propiedades homotopicas.
1. Descomposicion homologica:
X ' hocolimO(Fc )B
con B(P) ' BP. Sea S Sylow de X y F su fusion, P ≤ S escentrico si CS(P ′) ≤ P ′ para todo P ′ F-isomorfo a P. Lacategorıa de orbitas O(Fc) tiene objetos los subgruposcentricos y MorO(Fc )(P,Q) = HomF (P,Q)/Inn(Q).
2. Cohomologıa como invariantes de H∗ : F → Z(p) −mod :
H∗(X ;Fp) = {z ∈ H∗(BS ;FP)|ϕ∗(z) = res(z) ∀ ϕ ∈ HomF (P, S)}
= H∗(S;Fp)F
S::
α
��P
ϕvv oo
R
WW
β
OO
Q
ψ
gg__
H∗(S ;Fp)++
α∗
�� ϕ∗-- //
ψ∗
!!&&β∗
��
H∗(P;Fp)
H∗(R;Fp) H∗(Q;Fp)
Propiedades homotopicas.
1. Descomposicion homologica:
X ' hocolimO(Fc )B
con B(P) ' BP. Sea S Sylow de X y F su fusion, P ≤ S escentrico si CS(P ′) ≤ P ′ para todo P ′ F-isomorfo a P. Lacategorıa de orbitas O(Fc) tiene objetos los subgruposcentricos y MorO(Fc )(P,Q) = HomF (P,Q)/Inn(Q).
2. Cohomologıa como invariantes de H∗ : F → Z(p) −mod :
H∗(X ;Fp) = {z ∈ H∗(BS ;FP)|ϕ∗(z) = res(z) ∀ ϕ ∈ HomF (P, S)}
= H∗(S;Fp)F
S::
α
��P
ϕvv oo
R
WW
β
OO
Q
ψ
gg__ H∗(S ;Fp)++
α∗
�� ϕ∗-- //
ψ∗
!!&&β∗
��
H∗(P;Fp)
H∗(R;Fp) H∗(Q;Fp)
Propiedades homotopicas.
1. Descomposicion homologica:
X ' hocolimO(Fc )B
con B(P) ' BP. Sea S Sylow de X y F su fusion, P ≤ S escentrico si CS(P ′) ≤ P ′ para todo P ′ F-isomorfo a P. Lacategorıa de orbitas O(Fc) tiene objetos los subgruposcentricos y MorO(Fc )(P,Q) = HomF (P,Q)/Inn(Q).
2. Cohomologıa como invariantes de H∗ : F → Z(p) −mod :
H∗(X ;Fp) = {z ∈ H∗(BS ;FP)|ϕ∗(z) = res(z) ∀ ϕ ∈ HomF (P, S)} = H∗(S;Fp)F
S::
α
��P
ϕvv oo
R
WW
β
OO
Q
ψ
gg__ H∗(S ;Fp)++
α∗
�� ϕ∗-- //
ψ∗
!!&&β∗
��
H∗(P;Fp)
H∗(R;Fp) H∗(Q;Fp)
Anillo de Burnside.
Para un grupo finito G su anillo de Burnside A(G ) es el grupo deGrothendieck de las clases de isomorfismo de G -conjuntos.
La sumaen A(G ) esta inducida por la union disjunta de X ,Y 7→ X t Y y elproducto por el producto con accion diagonal X ,Y 7→ X × Y .Si S y F son el Sylow y la fusion de un grupo finito p-local hay unfunctor A : F → Anillos:
S::
α
��P
ϕvv oo
R
WW
β
OO
Q
ψ
gg__ A(S)++
A(α)
�� A(ϕ)++//
A(ψ)
��##A(β)
��
A(P)
A(R) A(Q)
Definimos el anillo de Burnside de X como
A(X ) = {z ∈ A(S)|A(ϕ)(z) = A(ιSP) ∀ ϕ ∈ HomF (P,S)} = A(S)F .
Anillo de Burnside.
Para un grupo finito G su anillo de Burnside A(G ) es el grupo deGrothendieck de las clases de isomorfismo de G -conjuntos.La sumaen A(G ) esta inducida por la union disjunta de X ,Y 7→ X t Y y elproducto por el producto con accion diagonal X ,Y 7→ X × Y .
Si S y F son el Sylow y la fusion de un grupo finito p-local hay unfunctor A : F → Anillos:
S::
α
��P
ϕvv oo
R
WW
β
OO
Q
ψ
gg__ A(S)++
A(α)
�� A(ϕ)++//
A(ψ)
��##A(β)
��
A(P)
A(R) A(Q)
Definimos el anillo de Burnside de X como
A(X ) = {z ∈ A(S)|A(ϕ)(z) = A(ιSP) ∀ ϕ ∈ HomF (P,S)} = A(S)F .
Anillo de Burnside.
Para un grupo finito G su anillo de Burnside A(G ) es el grupo deGrothendieck de las clases de isomorfismo de G -conjuntos.La sumaen A(G ) esta inducida por la union disjunta de X ,Y 7→ X t Y y elproducto por el producto con accion diagonal X ,Y 7→ X × Y .Si S y F son el Sylow y la fusion de un grupo finito p-local hay unfunctor A : F → Anillos:
S::
α
��P
ϕvv oo
R
WW
β
OO
Q
ψ
gg__ A(S)++
A(α)
�� A(ϕ)++//
A(ψ)
��##A(β)
��
A(P)
A(R) A(Q)
Definimos el anillo de Burnside de X como
A(X ) = {z ∈ A(S)|A(ϕ)(z) = A(ιSP) ∀ ϕ ∈ HomF (P,S)} = A(S)F .
Anillo de Burnside.
Para un grupo finito G su anillo de Burnside A(G ) es el grupo deGrothendieck de las clases de isomorfismo de G -conjuntos.La sumaen A(G ) esta inducida por la union disjunta de X ,Y 7→ X t Y y elproducto por el producto con accion diagonal X ,Y 7→ X × Y .Si S y F son el Sylow y la fusion de un grupo finito p-local hay unfunctor A : F → Anillos:
S::
α
��P
ϕvv oo
R
WW
β
OO
Q
ψ
gg__
A(S)++
A(α)
�� A(ϕ)++//
A(ψ)
��##A(β)
��
A(P)
A(R) A(Q)
Definimos el anillo de Burnside de X como
A(X ) = {z ∈ A(S)|A(ϕ)(z) = A(ιSP) ∀ ϕ ∈ HomF (P,S)} = A(S)F .
Anillo de Burnside.
Para un grupo finito G su anillo de Burnside A(G ) es el grupo deGrothendieck de las clases de isomorfismo de G -conjuntos.La sumaen A(G ) esta inducida por la union disjunta de X ,Y 7→ X t Y y elproducto por el producto con accion diagonal X ,Y 7→ X × Y .Si S y F son el Sylow y la fusion de un grupo finito p-local hay unfunctor A : F → Anillos:
S::
α
��P
ϕvv oo
R
WW
β
OO
Q
ψ
gg__ A(S)++
A(α)
�� A(ϕ)++//
A(ψ)
��##A(β)
��
A(P)
A(R) A(Q)
Definimos el anillo de Burnside de X como
A(X ) = {z ∈ A(S)|A(ϕ)(z) = A(ιSP) ∀ ϕ ∈ HomF (P,S)} = A(S)F .
Anillo de Burnside.
Para un grupo finito G su anillo de Burnside A(G ) es el grupo deGrothendieck de las clases de isomorfismo de G -conjuntos.La sumaen A(G ) esta inducida por la union disjunta de X ,Y 7→ X t Y y elproducto por el producto con accion diagonal X ,Y 7→ X × Y .Si S y F son el Sylow y la fusion de un grupo finito p-local hay unfunctor A : F → Anillos:
S::
α
��P
ϕvv oo
R
WW
β
OO
Q
ψ
gg__ A(S)++
A(α)
�� A(ϕ)++//
A(ψ)
��##A(β)
��
A(P)
A(R) A(Q)
Definimos el anillo de Burnside de X como
A(X ) = {z ∈ A(S)|A(ϕ)(z) = A(ιSP) ∀ ϕ ∈ HomF (P,S)} = A(S)F .
Conjetura de Segal.
Probada por Carlsson en 2006 establece un isomorfismo
A(G )∧I∼=→ π0(BG+) = {Σ∞BG+,S} = {Σ∞BG ∨ S,S}
donde I es el ideal de aumentacion, es decir, I es el nucleo delhomomorfismo de anillos
A(G )ε // Z
que lleva un G -conjunto X a su cardinal |X |. La completacionA(G )∧I es el lımite inverso de
. . . // A(G )/I 3 // A(G )/I 2 // A(G )/I .
Conjetura de Segal.
Probada por Carlsson en 2006 establece un isomorfismo
A(G )∧I∼=→ π0(BG+) = {Σ∞BG+,S} = {Σ∞BG ∨ S,S}
donde I es el ideal de aumentacion, es decir, I es el nucleo delhomomorfismo de anillos
A(G )ε // Z
que lleva un G -conjunto X a su cardinal |X |. La completacionA(G )∧I es el lımite inverso de
. . . // A(G )/I 3 // A(G )/I 2 // A(G )/I .
Conjetura de Segal.
Probada por Carlsson en 2006 establece un isomorfismo
A(G )∧I∼=→ π0(BG+) = {Σ∞BG+,S} = {Σ∞BG ∨ S,S}
donde I es el ideal de aumentacion, es decir, I es el nucleo delhomomorfismo de anillos
A(G )ε // Z
que lleva un G -conjunto X a su cardinal |X |.
La completacionA(G )∧I es el lımite inverso de
. . . // A(G )/I 3 // A(G )/I 2 // A(G )/I .
Conjetura de Segal.
Probada por Carlsson en 2006 establece un isomorfismo
A(G )∧I∼=→ π0(BG+) = {Σ∞BG+,S} = {Σ∞BG ∨ S,S}
donde I es el ideal de aumentacion, es decir, I es el nucleo delhomomorfismo de anillos
A(G )ε // Z
que lleva un G -conjunto X a su cardinal |X |. La completacionA(G )∧I es el lımite inverso de
. . . // A(G )/I 3 // A(G )/I 2 // A(G )/I .
Conjetura de Segal para grupos finitos p-locales.
En trabajo conjunto con A. Libman probamos que para un grupofinito p-local X con Sylow S y fusion F se tiene
A(X )∧I∼=→ π0(X+) = {Σ∞X+,S} = {Σ∞X ∨ S, S}
donde I es el ideal de aumentacion, es decir, I es el nucleo delhomomorfismo de anillos
A(X )ε // Z
que lleva un S-conjunto X a su cardinal |X |.
Esquema de demostracion:
{Σ∞X+,S} = {Σ∞BS+,S}F = A(S)∧IF
= A(S)F∧I = A(X )∧I .
Conjetura de Segal para grupos finitos p-locales.
En trabajo conjunto con A. Libman probamos que para un grupofinito p-local X con Sylow S y fusion F se tiene
A(X )∧I∼=→ π0(X+) = {Σ∞X+, S} = {Σ∞X ∨ S, S}
donde I es el ideal de aumentacion, es decir, I es el nucleo delhomomorfismo de anillos
A(X )ε // Z
que lleva un S-conjunto X a su cardinal |X |.
Esquema de demostracion:
{Σ∞X+,S} = {Σ∞BS+,S}F = A(S)∧IF
= A(S)F∧I = A(X )∧I .
Conjetura de Segal para grupos finitos p-locales.
En trabajo conjunto con A. Libman probamos que para un grupofinito p-local X con Sylow S y fusion F se tiene
A(X )∧I∼=→ π0(X+) = {Σ∞X+, S} = {Σ∞X ∨ S, S}
donde I es el ideal de aumentacion, es decir, I es el nucleo delhomomorfismo de anillos
A(X )ε // Z
que lleva un S-conjunto X a su cardinal |X |.
Esquema de demostracion:
{Σ∞X+,S} = {Σ∞BS+,S}F = A(S)∧IF
= A(S)F∧I = A(X )∧I .
Conjetura de Segal para grupos finitos p-locales.
En trabajo conjunto con A. Libman probamos que para un grupofinito p-local X con Sylow S y fusion F se tiene
A(X )∧I∼=→ π0(X+) = {Σ∞X+, S} = {Σ∞X ∨ S, S}
donde I es el ideal de aumentacion, es decir, I es el nucleo delhomomorfismo de anillos
A(X )ε // Z
que lleva un S-conjunto X a su cardinal |X |.
Esquema de demostracion:
{Σ∞X+,S} = {Σ∞BS+,S}F = A(S)∧IF
= A(S)F∧I = A(X )∧I .
Conjetura de Segal para grupos finitos p-locales.
En trabajo conjunto con A. Libman probamos que para un grupofinito p-local X con Sylow S y fusion F se tiene
A(X )∧I∼=→ π0(X+) = {Σ∞X+, S} = {Σ∞X ∨ S, S}
donde I es el ideal de aumentacion, es decir, I es el nucleo delhomomorfismo de anillos
A(X )ε // Z
que lleva un S-conjunto X a su cardinal |X |.
Esquema de demostracion:
{Σ∞X+, S} = {Σ∞BS+,S}F = A(S)∧IF
= A(S)F∧I = A(X )∧I .
Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.
Sea G un grupo finito , K E G y la extension
K → G → G/K .
La sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre asociada a estasucesion exacta corta para el ZG -modulo M tiene segunda paginaEp,q
2 = Hp(G/K ; Hq(K ; M)) con G/K actuando en Hq(K ; M) yconverge a Hp+q(G ; M).Si M es un Z(p)-modulo entonces un resultado clasico de Cartan yEilenberg afirma que
H∗(G ; M) = H∗(S ; M)FS (G).
Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.
Sea G un grupo finito , K E G y la extension
K → G → G/K .
La sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre asociada a estasucesion exacta corta para el ZG -modulo M tiene segunda paginaEp,q
2 = Hp(G/K ; Hq(K ; M)) con G/K actuando en Hq(K ; M) yconverge a Hp+q(G ; M).
Si M es un Z(p)-modulo entonces un resultado clasico de Cartan yEilenberg afirma que
H∗(G ; M) = H∗(S ; M)FS (G).
Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.
Sea G un grupo finito , K E G y la extension
K → G → G/K .
La sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre asociada a estasucesion exacta corta para el ZG -modulo M tiene segunda paginaEp,q
2 = Hp(G/K ; Hq(K ; M)) con G/K actuando en Hq(K ; M) yconverge a Hp+q(G ; M).Si M es un Z(p)-modulo entonces un resultado clasico de Cartan yEilenberg afirma que
H∗(G ; M) = H∗(S ; M)FS (G).
Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.
Sea F un sistema de fusion con Sylow S .
Dado un subgrupofuertemente cerrado T de S tenemos un epimorfismo de sistemasde fusion F → F/T pero en general no hay un subsistema normalK de F que encaje en
→ F → F/T .
y enEp,q
2 = Hp(F/; Hq(; M))⇒ H∗(S ; M)F .
Si embargo podemos tomar invariantes
Ep,q2 = Hp(S/T ; Hq(T ; M))F ⇒ H∗(S ; M)F .
Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.
Sea F un sistema de fusion con Sylow S . Dado un subgrupofuertemente cerrado T de S tenemos un epimorfismo de sistemasde fusion F → F/T pero en general no hay un subsistema normalK de F que encaje en
K → F → F/T .
y enEp,q
2 = Hp(F/K; Hq(K; M))⇒ H∗(S ; M)F .
Si embargo podemos tomar invariantes
Ep,q2 = Hp(S/T ; Hq(T ; M))F ⇒ H∗(S ; M)F .
Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.
Sea F un sistema de fusion con Sylow S . Dado un subgrupofuertemente cerrado T de S tenemos un epimorfismo de sistemasde fusion F → F/T pero en general no hay un subsistema normalK de F que encaje en
?→ F → F/T .
y enEp,q
2 = Hp(F/?; Hq(?; M))⇒ H∗(S ; M)F .
Si embargo podemos tomar invariantes
Ep,q2 = Hp(S/T ; Hq(T ; M))F ⇒ H∗(S ; M)F .
Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.
Sea F un sistema de fusion con Sylow S . Dado un subgrupofuertemente cerrado T de S tenemos un epimorfismo de sistemasde fusion F → F/T pero en general no hay un subsistema normalK de F que encaje en
?→ F → F/T .
y enEp,q
2 = Hp(F/?; Hq(?; M))⇒ H∗(S ; M)F .
Si embargo podemos tomar invariantes
Ep,q2 = Hp(S/T ; Hq(T ; M))F ⇒ H∗(S ; M)F .
Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.
S::
α
��P
ϕvv oo
R
WW
β
OO
Q
ψ
gg__
T → S → S/T
α
��P ∩ T → P → P/P ∩ T
ϕqq oo
R ∩ T → R → R/R ∩ T
UUβ
OO
Q ∩ T → Q → Q/Q ∩ T
ψ
lljj
Hp(S/T ;Hq(T ;M))⇒ H∗(S;M)
α∗
�� ϕ∗////
ψ∗
**++β∗
��
Hp(P/P ∩ T ;Hq(P ∩ T ;M))⇒ H∗(P;M)
Hp(R/R ∩ T ;Hq(R ∩ T ;M))⇒ H∗(R;M) Hp(Q/Q ∩ T ;Hq(Q ∩ T ;M))⇒ H∗(Q;M)
Ep,q2 = Hp(S/T ; Hq(T ; M))F ⇒ Hp+q(S ; M)F = Hp+q(X ; M).
Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.
S::
α
��P
ϕvv oo
R
WW
β
OO
Q
ψ
gg__ T → S → S/T
α
��P ∩ T → P → P/P ∩ T
ϕqq oo
R ∩ T → R → R/R ∩ T
UUβ
OO
Q ∩ T → Q → Q/Q ∩ T
ψ
lljj
Hp(S/T ;Hq(T ;M))⇒ H∗(S;M)
α∗
�� ϕ∗////
ψ∗
**++β∗
��
Hp(P/P ∩ T ;Hq(P ∩ T ;M))⇒ H∗(P;M)
Hp(R/R ∩ T ;Hq(R ∩ T ;M))⇒ H∗(R;M) Hp(Q/Q ∩ T ;Hq(Q ∩ T ;M))⇒ H∗(Q;M)
Ep,q2 = Hp(S/T ; Hq(T ; M))F ⇒ Hp+q(S ; M)F = Hp+q(X ; M).
Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.
S::
α
��P
ϕvv oo
R
WW
β
OO
Q
ψ
gg__ T → S → S/T
α
��P ∩ T → P → P/P ∩ T
ϕqq oo
R ∩ T → R → R/R ∩ T
UUβ
OO
Q ∩ T → Q → Q/Q ∩ T
ψ
lljj
Hp(S/T ;Hq(T ;M))⇒ H∗(S;M)
α∗
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ψ∗
**++β∗
��
Hp(P/P ∩ T ;Hq(P ∩ T ;M))⇒ H∗(P;M)
Hp(R/R ∩ T ;Hq(R ∩ T ;M))⇒ H∗(R;M) Hp(Q/Q ∩ T ;Hq(Q ∩ T ;M))⇒ H∗(Q;M)
Ep,q2 = Hp(S/T ; Hq(T ; M))F ⇒ Hp+q(S ; M)F = Hp+q(X ; M).
Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.
S::
α
��P
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ψ
gg__ T → S → S/T
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Q ∩ T → Q → Q/Q ∩ T
ψ
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Hp(S/T ;Hq(T ;M))⇒ H∗(S;M)
α∗
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ψ∗
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Hp(P/P ∩ T ;Hq(P ∩ T ;M))⇒ H∗(P;M)
Hp(R/R ∩ T ;Hq(R ∩ T ;M))⇒ H∗(R;M) Hp(Q/Q ∩ T ;Hq(Q ∩ T ;M))⇒ H∗(Q;M)
Ep,q2 = Hp(S/T ; Hq(T ; M))F ⇒ Hp+q(S ; M)F = Hp+q(X ; M).
Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.
Sea G grupo finito con Sylow S , K E G y F = FS(G ).
EntoncesT = K ∩ S es fuertemente cerrado en F . Para un Z(p)-modulo Mtenemos dos sucesiones espectrales:
Ep,q2 = Hp(G/K ; Hq(K ; M))⇒ Hp+q(G ; M)
y
Ep,q2 = Hp(S/T ; Hq(T ; M))F ⇒ Hp+q(S ; M)F .
y por Cartan-Eilenberg las dos convergen a lo mismo
Hp+q(G ; M) = Hp+q(S ; M)F .
Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.
Sea G grupo finito con Sylow S , K E G y F = FS(G ). EntoncesT = K ∩ S es fuertemente cerrado en F .
Para un Z(p)-modulo Mtenemos dos sucesiones espectrales:
Ep,q2 = Hp(G/K ; Hq(K ; M))⇒ Hp+q(G ; M)
y
Ep,q2 = Hp(S/T ; Hq(T ; M))F ⇒ Hp+q(S ; M)F .
y por Cartan-Eilenberg las dos convergen a lo mismo
Hp+q(G ; M) = Hp+q(S ; M)F .
Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.
Sea G grupo finito con Sylow S , K E G y F = FS(G ). EntoncesT = K ∩ S es fuertemente cerrado en F . Para un Z(p)-modulo Mtenemos dos sucesiones espectrales:
Ep,q2 = Hp(G/K ; Hq(K ; M))⇒ Hp+q(G ; M)
y
Ep,q2 = Hp(S/T ; Hq(T ; M))F ⇒ Hp+q(S ; M)F .
y por Cartan-Eilenberg las dos convergen a lo mismo
Hp+q(G ; M) = Hp+q(S ; M)F .
Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.
Ejemplo
Sea G = S o (Z2 × Z2) con S = Zp × Zp y p impar.
El primer Z2
actua intercambiando los Zp’s y el segundo Z2 cambiando el signoen ambos Zp. Sea K = T o Z2 × 0 con T = 4 ≤ Zp × Zp.Tenemos K E G , T = S ∩K , G/K = Zp oZ2 y la sucesion exactacorta
T4→ S = Zp × Zp → S/T ∼= Zp.
Vamos a calcular
Hp(Zp; Hq(T ;Fp)FT (K))FZp (G/K)
yHp(Zp; Hq(T ;Fp))FS (G).
Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.
Ejemplo
Sea G = S o (Z2 × Z2) con S = Zp × Zp y p impar. El primer Z2
actua intercambiando los Zp’s y el segundo Z2 cambiando el signoen ambos Zp.
Sea K = T o Z2 × 0 con T = 4 ≤ Zp × Zp.Tenemos K E G , T = S ∩K , G/K = Zp oZ2 y la sucesion exactacorta
T4→ S = Zp × Zp → S/T ∼= Zp.
Vamos a calcular
Hp(Zp; Hq(T ;Fp)FT (K))FZp (G/K)
yHp(Zp; Hq(T ;Fp))FS (G).
Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.
Ejemplo
Sea G = S o (Z2 × Z2) con S = Zp × Zp y p impar. El primer Z2
actua intercambiando los Zp’s y el segundo Z2 cambiando el signoen ambos Zp. Sea K = T o Z2 × 0 con T = 4 ≤ Zp × Zp.
Tenemos K E G , T = S ∩K , G/K = Zp oZ2 y la sucesion exactacorta
T4→ S = Zp × Zp → S/T ∼= Zp.
Vamos a calcular
Hp(Zp; Hq(T ;Fp)FT (K))FZp (G/K)
yHp(Zp; Hq(T ;Fp))FS (G).
Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.
Ejemplo
Sea G = S o (Z2 × Z2) con S = Zp × Zp y p impar. El primer Z2
actua intercambiando los Zp’s y el segundo Z2 cambiando el signoen ambos Zp. Sea K = T o Z2 × 0 con T = 4 ≤ Zp × Zp.Tenemos K E G , T = S ∩K , G/K = Zp oZ2 y la sucesion exactacorta
T4→ S = Zp × Zp → S/T ∼= Zp.
Vamos a calcular
Hp(Zp; Hq(T ;Fp)FT (K))FZp (G/K)
yHp(Zp; Hq(T ;Fp))FS (G).
Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.
Ejemplo
Sea G = S o (Z2 × Z2) con S = Zp × Zp y p impar. El primer Z2
actua intercambiando los Zp’s y el segundo Z2 cambiando el signoen ambos Zp. Sea K = T o Z2 × 0 con T = 4 ≤ Zp × Zp.Tenemos K E G , T = S ∩K , G/K = Zp oZ2 y la sucesion exactacorta
T4→ S = Zp × Zp → S/T ∼= Zp.
Vamos a calcular
Hp(Zp; Hq(T ;Fp)FT (K))FZp (G/K)
yHp(Zp; Hq(T ;Fp))FS (G).
Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.
Ejemplo: Hp(Zp; Hq(T ;Fp)FT (K))FZp (G/K).
H∗(T ;Fp) = Λ(x)⊗Fp[y ] con x en grado 1 e y = β(x) en grado 2.
Como K actua trivialmente en T , Hq(T ;FP)FT (K) = Fp < eq > y
H∗(Zp; Hq(T ;Fp)FT (K)) = Λ((eq)∗)⊗ Fp[β((eq)∗)].
La accion de G/K en el cociente S/T ' Zp y en T es inversion.
Hp(Zp ;Hq(T ;Fp)FT (K))FZp (G/K)
=
Fp , para p y q igual a 3, 4 mod 4,
Fp , para p y q igual a 1, 2 mod 4,
0, en otro caso.
Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.
Ejemplo: Hp(Zp; Hq(T ;Fp)FT (K))FZp (G/K).
H∗(T ;Fp) = Λ(x)⊗Fp[y ] con x en grado 1 e y = β(x) en grado 2.Como K actua trivialmente en T , Hq(T ;FP)FT (K) = Fp < eq > y
H∗(Zp; Hq(T ;Fp)FT (K)) = Λ((eq)∗)⊗ Fp[β((eq)∗)].
La accion de G/K en el cociente S/T ' Zp y en T es inversion.
Hp(Zp ;Hq(T ;Fp)FT (K))FZp (G/K)
=
Fp , para p y q igual a 3, 4 mod 4,
Fp , para p y q igual a 1, 2 mod 4,
0, en otro caso.
Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.
Ejemplo: Hp(Zp; Hq(T ;Fp)FT (K))FZp (G/K).
H∗(T ;Fp) = Λ(x)⊗Fp[y ] con x en grado 1 e y = β(x) en grado 2.Como K actua trivialmente en T , Hq(T ;FP)FT (K) = Fp < eq > y
H∗(Zp; Hq(T ;Fp)FT (K)) = Λ((eq)∗)⊗ Fp[β((eq)∗)].
La accion de G/K en el cociente S/T ' Zp y en T es inversion.
Hp(Zp ;Hq(T ;Fp)FT (K))FZp (G/K)
=
Fp , para p y q igual a 3, 4 mod 4,
Fp , para p y q igual a 1, 2 mod 4,
0, en otro caso.
Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.
Ejemplo: Hp(Zp; Hq(T ;Fp)FT (K))FZp (G/K).
H∗(T ;Fp) = Λ(x)⊗Fp[y ] con x en grado 1 e y = β(x) en grado 2.Como K actua trivialmente en T , Hq(T ;FP)FT (K) = Fp < eq > y
H∗(Zp; Hq(T ;Fp)FT (K)) = Λ((eq)∗)⊗ Fp[β((eq)∗)].
La accion de G/K en el cociente S/T ' Zp y en T es inversion.
Hp(Zp ;Hq(T ;Fp)FT (K))FZp (G/K)
=
Fp , para p y q igual a 3, 4 mod 4,
Fp , para p y q igual a 1, 2 mod 4,
0, en otro caso.
Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.
Ejemplo: Hp(Zp; Hq(T ;Fp))FS (G).
Sea Hq(T ;Fp) = Fp < eq >.
La accion de S/T ∼= Zp en T estrivial y
H∗(Zp; Hq(T ;Fp)) = Λ((eq)∗)⊗ Fp[β((eq)∗)].
La copia 0× Z2 de G invierte los generadores de T y S/T ∼= Zp.La copia Z2 × 0 de G actua trivialmente en T e invierte elgenerador de S/T ∼= Zp.
Hp(Zp; Hq(T ;Fp))FS (G) =
{ Fp, para p y q igual a 3, 4 mod 4,
0, en otro caso.
Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.
Ejemplo: Hp(Zp; Hq(T ;Fp))FS (G).
Sea Hq(T ;Fp) = Fp < eq >. La accion de S/T ∼= Zp en T estrivial y
H∗(Zp; Hq(T ;Fp)) = Λ((eq)∗)⊗ Fp[β((eq)∗)].
La copia 0× Z2 de G invierte los generadores de T y S/T ∼= Zp.La copia Z2 × 0 de G actua trivialmente en T e invierte elgenerador de S/T ∼= Zp.
Hp(Zp; Hq(T ;Fp))FS (G) =
{ Fp, para p y q igual a 3, 4 mod 4,
0, en otro caso.
Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.
Ejemplo: Hp(Zp; Hq(T ;Fp))FS (G).
Sea Hq(T ;Fp) = Fp < eq >. La accion de S/T ∼= Zp en T estrivial y
H∗(Zp; Hq(T ;Fp)) = Λ((eq)∗)⊗ Fp[β((eq)∗)].
La copia 0× Z2 de G invierte los generadores de T y S/T ∼= Zp.
La copia Z2 × 0 de G actua trivialmente en T e invierte elgenerador de S/T ∼= Zp.
Hp(Zp; Hq(T ;Fp))FS (G) =
{ Fp, para p y q igual a 3, 4 mod 4,
0, en otro caso.
Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.
Ejemplo: Hp(Zp; Hq(T ;Fp))FS (G).
Sea Hq(T ;Fp) = Fp < eq >. La accion de S/T ∼= Zp en T estrivial y
H∗(Zp; Hq(T ;Fp)) = Λ((eq)∗)⊗ Fp[β((eq)∗)].
La copia 0× Z2 de G invierte los generadores de T y S/T ∼= Zp.La copia Z2 × 0 de G actua trivialmente en T e invierte elgenerador de S/T ∼= Zp.
Hp(Zp; Hq(T ;Fp))FS (G) =
{ Fp, para p y q igual a 3, 4 mod 4,
0, en otro caso.
Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.
Ejemplo: Hp(Zp; Hq(T ;Fp))FS (G).
Sea Hq(T ;Fp) = Fp < eq >. La accion de S/T ∼= Zp en T estrivial y
H∗(Zp; Hq(T ;Fp)) = Λ((eq)∗)⊗ Fp[β((eq)∗)].
La copia 0× Z2 de G invierte los generadores de T y S/T ∼= Zp.La copia Z2 × 0 de G actua trivialmente en T e invierte elgenerador de S/T ∼= Zp.
Hp(Zp; Hq(T ;Fp))FS (G) =
{ Fp, para p y q igual a 3, 4 mod 4,
0, en otro caso.
Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.
Las paginas E2 de la sucesion de Lyndon-Hochschild-Serre y de lasucesion espectral de los invariantes quedan:
• 0 0 • • 0 0 •
0 • • 0 0 • • 0
0 • • 0 0 • • 0
• 0 0 • • 0 0 •
• 0 0 • • 0 0 •
0 • • 0 0 • • 0
0 • • 0 0 • • 0
• 0 0 • • 0 0 •,
• 0 0 • • 0 0 •
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
• 0 0 • • 0 0 •
• 0 0 • • 0 0 •
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
• 0 0 • • 0 0 •,
donde • = Fp.
Sucesion espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.
Las paginas E2 de la sucesion de Lyndon-Hochschild-Serre y de lasucesion espectral de los invariantes quedan:
• 0 0 • • 0 0 •
0 • • 0 0 • • 0
0 • • 0 0 • • 0
• 0 0 • • 0 0 •
• 0 0 • • 0 0 •
0 • • 0 0 • • 0
0 • • 0 0 • • 0
• 0 0 • • 0 0 •,
• 0 0 • • 0 0 •
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
• 0 0 • • 0 0 •
• 0 0 • • 0 0 •
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
• 0 0 • • 0 0 •,
donde • = Fp.