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Curso de Macroeconomía II

Problems set No. 1 Modelos de crecimiento endógeno con capital humano

Jorge Salgado.

Ejercicio 1: Basándote en el modelo Uzawa-Lucas1 de dos sectores (caso en que ), escribe las ecuaciones que caracterizan la tasa de crecimiento de las variables siguientes:

y

, en función de estas variables.

Se caracteriza a las ecuaciones anteriores en el marco del modelo

Uzawa(1965)-Lucas(1988), presentado en Barro y Sala-i- Martin(2004), inicialmente se opta por cambiar la notación y por no plantear el problema en términos per cápita, como se presentó en clase, ya que al suponer un crecimiento de la población constante e igual a 0, no existen cambios en los resultados del modelo con variables agregadas.

El supuesto cardinal del modelo, se sitúa en que el sector educativo es intensivo

en capital humano y no requiere de capital físico . Este planteamiento, produce que la resolución del problema sea similar al del modelo con un sector.

Se inicia con el habitual hamiltoniano, que resuelve el problema del

consumidor en una economía descentralizada:

,o alternativamente, podemos plantear al hamiltoniano de valor presente:

( )

1 Los planteamiento del modelo de Uzawa (1965) y Lucas (1988) ha sido seguido por: Caballé y Santos,

(1993), Chamley(1993), Mulligan y Salai-Martín (1993), Bond (1996), Ladrón-de-Guevara(1999) y Ortigueira (2000). Sus implicaciones se centran en las características del equilibrio competitivo, y las posibilidades del gobierno para corregir externalidades derivadas de fallos de mercado.

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, con , y

Las condiciones de primer orden para el problema de control óptimo, se expresan como (en consideración que las variables de control son mientras las variables de estado están representadas por ):

i.

[ ]

ii.

[ ] [ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

iii.

iv.

[ ] [ ]

(

)

Con

[ ] [

]

[ ]

[ ]

[ ]

*

+

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[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

Con

[ ]

Utilizando la función de

; tenemos que

[ ] (

)

[ ]

[ ]

Ahora con las definiciones:

y

i. Primero con

=

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Como

y

ii. Ahora con que se obtiene de la función de producción de bienes-

capital y la de capital humano:

=

* ( ) +

(

) ( ) * ( ) + ( )

iii. Finalmente se obtiene:

[ ]

Ahora, el problema está caracterizado por tres ecuaciones de crecimiento:

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(

) (

) [ ]

Para buscar el valor de las variables en estado estacionario, igualamos a cero y buscamos las soluciones.

Con las ecuaciones y :

Con las ecuaciones y :

(

) (

) [ ]

(

)

(

) [ ]

(

) [ ] (

)

[*

+

]

, con

*

+

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Con las ecuaciones y :

[

]

[

]

[

]

(

)

Con las ecuaciones y :

[ (

)]

[ (

)]

(

)

(

)

[ (

)]

Finalmente encontramos en consumo de estado estacionario con la

ecuación y la definición del rendimiento del capital físico:

[ ]

( (

))

[ ]

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Ejercicio 2: En clase hemos visto como sería la transición del modelo de un sector con capital físico y capital humano cuando hay restricciones en la inversión y

. En este ejercicio queremos estudiar qué pasa en este modelo cuando

. Considera únicamente el caso . Para ello, sigue los siguientes pasos:

a) ¿Cuál es el problema del planificador en este caso? Escribe el hamiltoniano y las condiciones de primer orden (piensa qué restricción está activa).

En este caso el planificador central desea reducir el capital físico, e

incrementar su capital humano. El contexto puede ser interpretado como una epidemia, que ha afectado sensiblemente a la población, por lo que existe un desequilibrio entre ambos capitales.

Considerando que el problema inicial, sin restricciones de no negatividad

( ), conducía a que, en el estado estacionario el ratio

igualase a

. Posteriormente, se planteaba al problema de excesivo capital humano en

términos del capital físico (escenario de una guerra, que destruye la infraestructura física) haciendo operativas a las restricciones .

Ahora planteamos a las restricciones , con

.

De esta forma el problema se reduce a:

,o alternativamente, la forma reducida:

, que tiene lugar cuando . Asimismo, podemos plantear al hamiltoniano de valor presente:

, con , y

Las condiciones de primer orden para el problema de control óptimo, son:

i.

ii.

iii.

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iv.

Se resuelve el ejercicio, con y :

Con la función de utilidad

, finalmente llegamos a:

[ ]

Donde es el producto marginal neto de .

b) Escribe las ecuaciones que describen la tasa de crecimiento de y en

este caso.

De forma similar, definimos a

y

.

i. Inicialmente calculamos

:

=

(

)

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ii. Ahora

:

(

)

(

)

(

) (

)

c) Dibuja el diagrama de fase en el espacio e identifica y describe la trayectoria de silla que seguirá esta economía.

Con

y

(

) (

)

, elaboramos el

diagrama de fases. Si , entonces , valores por encima de este implican que y valores por debajo implican .

Con la condición , *

+ . Un valor superior a

corresponde a y un inferior a .

Gráfico No. 1

En ausencia de condiciones de no negatividad tiene lugar que:

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0

(

) * (

)

+

d) Escribe también la ecuación que describe la tasa de crecimiento en la transición (ecuación de Euler) ¿Se produce el llamado efecto desajuste (efecto de desequilibrio)?

En un momento dado , alcanza el valor sin restricciones ,

en el que deja de funcionar. Así crecen a la tasa de estado estacionario:

[ ]

,y se llega al valor de equilibrio (

) [ (

)

]

.

Por otra parte las ecuaciones de transición están dadas por:

(

) *

+

(

) (

)

Como hemos supuesto que , la economía se mueve a lo largo de una

trayectoria en la que , disminuye monótonamente y aumenta monótonamente. La economía alcanza , en un plazo finito cuando llega a:

(

) * (

)

+

Por lo que el consumo no da un salto cuando la restricción de no negatividad se vuelve no operativa. Al igual que en el caso primera existe un efecto de desequilibrio.

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1

Gráfico No. 2

Nuevamente los resultados implican que las tasas de crecimiento de la producción se reducen monótonamente, cuando se direccionan hacia el estado estacionario. La disminución de provoca la reducción del producto marginal neto de H y en consecuencia de la tasa de rendimiento y la tasa de crecimiento del consumo. No obstante, ampliaciones del modelo proponen la existencia de efectos asimétricos entre las dos situaciones que se han analizado (exceso de capital humano o excesos en el capital físico, en términos del nivel de estado estacionario). Si existieran costos por la acumulación, los resultados no se aplicarían, sería lógico que el proceso educativo requiera de inversión en capital físico que demorarían la llegada hacia el estado estacionario. En ese caso la tasa de crecimiento es más

sensible a

.

Gráfico No. 3

Bibliografía: Robert J. Barro, Xavier Sala-i-Martin, (2004), Economic growth, McGraw-Hill Advanced Series in Economics, MIT Press.