grupo cuerpo y anillo

7/21/2019 grupo cuerpo y anillo

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DEHUAMANGA

FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS, GEOLOGIA Y CIVIL

ESCUELA DE FORMACION PROFESIONAL DE INGENIERA CIVIL

CURSO: ANLISIS MATEMTICO III

Grupo, An!!o, Cu"rpo

DOCENTE : Lic. GUILLEN MALDONADO, Mximo ngel

ALUMNO : BELLIDO AANCA, Erwin

AYACUCHO # PER$

%&'(


2/8

') INTRODUCCI*NEl presene r!"!#o "$sc! conocer los p$nos "sicos %e &!nillo, gr$po 'c$erpo( ' !s) !simil!r con m!'or *!cili%!% el concepo %e esr$c$r!!lge"r!ic!. L! esr$c$r! %e gr$po es $n sisem! !xiomico "sico '*$n%!men!l %e l! m!emic! !l ig$!l +$e l! esr$c$r! %e !nillo ' elc!so p!ric$l!r %e c$erpo.

%) GRUPOEn lge"r! !"sr!c!, $n gr$po es $n! esr$c$r! !lge"r!ic!+$e cons!%e $n con#$nocon $n! oper!cin+$e com"in! c$!l+$ier p!re#! %e s$selemenos p!r! *orm!r $n ercer elemeno. -!r! +$e se p$e%! c!li*ic!r

como $n gr$po, el con#$no ' l! oper!cin %e"en s!is*!cer !lg$n!scon%iciones ll!m!%!s !xiom!s%e gr$po, es!s con%iciones son enerl!propie%!% !soci!i/!, ener elemeno i%eni%!%' elemeno in/erso

%)') CONCEPTO DE GRUPO0e!n $n con#$no no /!c)o G, ' $n! *$ncin. El p!r 1G,2 es $n gr$po

si ' solo si es $n! le' inern! %e G, !soci!i/!, con ne$ro, ' !l +$e

o%o elemeno %e G !%mie in/erso respeco %e.

En *orm! sim"lic!, se iene

Definicin:

1G,2 es $n gr$po si ' solo si se /eri*ic!n los !xiom!sG

1 ) G2

G

G2 . A+o-./0-0

a b c :a , b , c G (ab )c=a(bc)

G3 . E1+."n- 0" "!"2"n.o n"u.ro o 0"n.0-0

e G a :a G ae=ea=a

G4 . E1+."n- 0" n/"r+o+
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a G , a,G aa,=a ,a=e

0i !%ems se /eri*ic!

G5 Con2u.-./0-0

a b :a , b G ( ab)=(ba)

Enonces el gr$po se ll!m! conm$!i/o o !"eli!no.

E3"2p!o

E! on3un.o 4 0" !o+ n52"ro "n."ro+ +" 0"6n" 2"0-n.")

(ab )=a+b+3 3 142

El p!r 15,2 es $n gr$po !"eli!no. En e*eco se /eri*ic!n

G1 .es le' inern! %e 5, por 142

G2 . Es !soci!i/! p$es

(ab )c=(a+b+3 )c=a+b+3+c+3=a+b++c+6 7 8%9

a(bc )=a(b+c+3)=a+b+c+3+3=a+b+c+6 3 162

De 172 ' 162 res$l!(ab )c=a(bc )

G3 . Exisenci! %e elemeno ne$ro o i%eni%!% en 4 respeco !

0i e es ne$ro, enonces ae=a

-or 142 a+e+3=a ' res$l! e=3

Anlog!mene se pr$e"! +$e 86 es ne$ro ! l! i9+$ier%!

G4 . :o%o elemeno %e G es in/ersi"le respeco !


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0i a,

es in/erso %e a , enonces %e"e /eri*ic!rse

a,a=e

:enien%o en c$en! 142 ' +$e e=3

a,+a+3=3

L$egoa

,=6a

De mo%o !nlogo se pr$e"! +$e es in/erso ! i9+$ier%!.

G5 .es conm$!i/!, '! +$e Conm$!i/i%!%

ab=a+b+3=b+a+3=ba

De !c$er%o con 142 ' con l! conm$!i/i%!% %e l! s$m! or%in!ri! en 4

%)%) PROPIEDADES DE LOS GRUPOS Unici%!% %el ne$ro '% el in/erso ;eg$l!ri%!% Ec$!ciones en gr$po

In/erso %e l! composicin

%))SUBGRUPOSEl con#$no no /!c)o se ll!m! diferencia' se in%ic! por a - b.En gener!l l! oper!cin a.bno iene in/ers!.

0i el pro%$co es conm$!i/ose r!! %e $n !nillo conm$!i/o' si el!nillo posee $n elemeno ne$ro p!r! el pro%$co, lo ll!m!remos !nillo
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con $ni%!%o anillo unitario, el elemeno ne$ro m$liplic!i/o, siexise, se se!l! como 1.

)') ESTRUCTURA DE ANILLO0e!n $n con#$no no /!cio A, ' %os *$nciones '

Definicin:

L! ern! 1A,,2 es $n !nillo si ' solo si

El con#$no con l! primer! le' es $n gr$po !"eli!no. El con#$no con l! seg$n%! le' es $n semigr$po. L! seg$n%! le' es %o"lemene %isri"$i%! respeo ! l!

primer!.

;e*orm$l!mos l! %e*inicin enien%o en c$en! +$e l!s %os le'es%e composicion se ll!m!n !%ii/! ' m$liplic!i/!, ' +$e se l!ss$ele %eno!r con > ' . , respeci/!mene.

Definicin:

L! ern! 1A,, .2 es $n !nillo si ' slo si

1A,>2 es $n gr$po !"eli!no. 1A,.2 es $n semigr$po.

El pro%$co es %isri"$i/o ! i9+$ier%! ' %erec! respeco%e l! s$m!.

Es!s con%iciones se r!%$cen en los sig$ienes !xiom!s

A1 : L! !%icin es le' %e composicin inern! en A

a b :a A b A a+b A

A2 : L! !%icin es !soci!i/! en A

a b c A : (a+b )+c=a+(b+c)

A3 : Exise ne$ro en A, +$e %eno!mos con @, respeco ! l!

!%icin0A a :a+0=0+a=a

A4 : :o%o elemeno %e A !%mie in/erso !%ii/o $ op$eso

a A ,a A a+(a )=(a )+a=0
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A5 : L! !%icin es conm$!i/!

a b A :a+b=b+a

A6 : El pro%$co es le' %e composicin inern! en A

a b :a A b A a . b A

A7 : El pro%$co es !soci!i/o en A

a b c A : (a .b ) . c=a .(b . c)

A8 : El pro%$co es %o"lemene %isri"$i%o respeco ! l! s$m!

a b c A : {a . ( b+c )=a. b+a . c ( b+c ) . a=b . a+c . a

0i, !%ems, oc$rre +$e l! seg$n%! le' %e composicin esconm$!i/! %iremos +$e el !nillo 1A,>,.2 es conm$!i/o. 0iexise elemeno ne$ro o i%eni%!% respeco %el pro%$co, +$e%eno!mos con 4, enonces se ll!m!r !nillo con i%eni%!% o con$ni%!%. Un !nillo con i%eni%!% c$'os elemenos no n$los son

in/ersi"les se ll!m! !nillo %e %i/isin

E3"2p!oC!-+6-2o+ !-+ +;u"n."+ ."rn-+

1N,>,.2 no es !nillo, p$es no exise ne$ro p!r! l! !%icin.

1 N0 ,>,.2 no es !nillo, por+$e los elemenos no n$los %e

N0 c!recen %e in/erso !%ii/o.

15,>,.2 es !nillo conm$!i/o ' con $ni%!%.

1 RI

,>,.2 es el !nillo conm$!i/o ' con $ni%!% %e l!s

*$nciones re!les %e*ini%!s en I[@,4]con l! s$m! ' el

pro%$co %e *$nciones , ll!m!%!s le'es %e composicin p$no! p$no

)%) PROPIEDADES DE LOS ANILLOS

E! pro0u.o 0" u-!


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En .o0o -n!!o "! pro0u.o 0" !o+ opu"+.o+ 0" 0o+

"!"2"n.o+ "+ ;u-! -! pro0u.o 0" !o+ 2+2o+ En .o0o -n!!o /-!" !- 0+.r>u./0-0 0"! pro0u.o

r"+p".o - !- 06"r"n-

)) ANILLOS SIN DIVISORES DE CERODefinicin

El !nillo 1!,>,.2 no iene %i/isores %e cero si ' solo si elemenosno n$los %!n pro%$co no n$lo

?) CUERPO

En lge"r! !"sr!c!, $n u"rpoo -2poes $n! esr$c$r!

!lge"r!ic!en l! c$!l l!s oper!ciones ll!m!%!s !%icin ' m$liplic!cinse p$e%en re!li9!r ' c$mplen l!s propie%!%es !soci!i/!, conm$!i/!'%isri"$i/!%e l! m$liplic!cin respeco %e l! !%icin, !%ems %e l!exisenci! %e in/erso !%ii/o, %e in/erso m$liplic!i/o ' %e $nelemeno ne$ro p!r! l! !%icin ' oro p!r! l! m$liplic!cin, los c$!les

permien e*ec$!r l!s oper!ciones %e s$sr!ccin' %i/isin1excepo l!%i/isin por cero2 es!s propie%!%es '! son *!mili!res %e l! !rimic!%e nFmeros or%in!rios.

?)') CONCEPTO DE CUERPOUn !nillo con $ni%!% c$'os elemenos no n$los son in/ersi"les,se ll!m! !nillo %e %i/isin. :o%o !nillo %e %i/isin es $n c$erpo.

Definicin

L! ern! 1,>,.2 es $n c$erpo si ' solo si es $n !nillo conm$!i/o,con $ni%!%, c$'os elemenos no n$los !%mien in/ersom$liplic!i/o.

Los !xiom!s +$e c!r!ceri9!n l! esr$c$r! %e c$erpo son

1,>2 es gr$po !"eli!no. 18{@},.2 es gr$po !"eli!no El pro%$co es %isri"$i/o respeco %e l! s$m!

E#emplo

L! ern! 15,>,.2 no es c$erpo, p$es los Fnicos elemenos no n$los

+$e !%mien in/erso m$liplic!i/o son 84 H 4.
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En c!m"io 1,>,.2, 1;,>,.2, 1C,>,.2, 1 Zn ,+, . con &n( primo, son

c$erpos.

?)%) PROPIEDADES DE LOS CUERPOSS"- 8@,,)9 un u"rpo)

Lo+ u"rpo+ no -02."n 0/+or"+ 0" "ro En .o0o u"rpo /-!" !- !"= -n"!-./- 0"! pro0u.o p-r-

.o0o "!"2"n.o no nu!o 0"! 2+2o S >&, "n.on"+ !- "u-n >1- -02." +o!un 5n-

"n @)

E! r"proo 0"! opu"+.o 0" .o0o "!"2"n.o no nu!o "+ ;u-!-! opu"+.o 0" +u r"prooEn .o0o u"rpo +" /"r6-

x

y=

x,

y,x y

,=yx ,

grupo cuerpo y anillo

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