grupo 1 informe de ecuaciones diferenciales 3

8/16/2019 Grupo 1 Informe de Ecuaciones Diferenciales 3

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA

CURSO: Ecuaciones Diferenciales

PROFESOR: Castro Vidal Raul Pedro

ESTUDIANTES:

Rios Molina Michael Edwin

Basilio Villar Daniel Shamir

Principe Torres Andres

Valladares Pachas Luigi rlando

Tru!illo Le"ameta #uiller Al$erto

C%digo&'(')**+)),

C%digo&'(')**+((-

C%digo&'(')*'+*+.

C%digo&'(')*'+'-)

C%digo&'(')**+''(

FECHA:

')/+./*+'-

HORA:

'+&)+ a0m0 1 '&++ p0m0

2016


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Ejercici! " #$%ic#ci&e!

Ejercici 1'( )1*:

A2

y ( x )=e− x+ x−1 y ' ( x )=e− x+1

y ( x )+ y ' ( x )=e− x+ x−1−e− x+1= x

y (0 )=e−0+0−1=1−1=0

B2

y ( x )= A e5 x

+B e−2 x

−0.5e x

y' ( x )=5 A e5 x−2 B e−2 x−0.5 e x

y left (x right ) =25 A {e} ^ {5 x} +4 B {e} ^ {- 2 x} - 0.5 {e} ^ {x}

→ y ( x ) - 3 y ' ( x ) - 10 y ( x )

25 A e5 x+4 B e−2 x−0.5 e x−15 A e5 x+6 e−2 x+1,5 e x−10 A e5 x−10B e−2 x+5 e x

e x+5 e x=6 e x

C2 y ( x)=!"# (3 x )+6#i$(3 x)

y' ( x )−24 #i$ (3 x )+1!"#(3 x )

y ( x )= - %2 !"# {left (3 x right ) - 54} #i$ {(3 x )}

→ y ( x )+& y ( x )= - %2 !"# {left (3 x right ) - 54 #i$ {left (3 x right ) +%2 !"# {left (3 x right ) +5

y (0 )=!"# (3.0 )+6#i$ (3.0 )=

D2


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y ( x )=c1e−2 x+c2 e

x+c3 e3 x

y ' ( x )=−2c1 e−2 x+c2 e

x+3 c3e3 x

y left (x right ) =4 {!} r#' {1} {e} ^ {- 2 x} + {!} r#' {2} {e} ^ {x} + {& !} r#' {3} {e} ^ {3

y ' left (x right ) = {- !} r# {1} {e} ^ {- 2 x} + {!} r# {2} {e} ^ {x} +2% {!} r# {3} {e}

y ' ( x ) -2y ( x ) - 5 y ' ( x )+6 y =0

→− c1 e−2 x+c2 e

x+2% c3 e3 x− c1e

−2 x−c2 e x−1 c3 e

3 x+10 c1e−2 x−5 c2 e

x−15 c3 e3 x+6 c1 e

−2 x+6

¿0

E2

v ( x , y)=e2 x− y !"#( y−2 x)

dv ( x , y )dx

=2e2 x− y !"# ( y−2 x )+2 e2 x− y #i$( y−2 x )

( y−2 x )−¿e2 x− y #i$ ( y−2 x)dv ( x , y )

dy =−e2 x− y !"#¿

dv ( x , y )dxdy

=−4 e2 x− y #i$ ( y−2 x)

d2

v( x , y )

d x2 =e

2 x− y

!"# ( y−2 x )+4 e2 x− y

#i$( y−2 x )+4 e2 x− y

#i$( y−2 x)−4 e2 x− y

!"# ( y−2 x )

¿ e2 x− y #i$ ( y−2 x)


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( y−2 x )+¿e2 x− y #i$( y−2 x )+e2 x− y #i$( y−2 x )−e2 x− y !"# ( y−2 x )d

2v( x , y)

d y2 =e2 x− y !"#¿

¿2 e2 x− y #i$( y−2 x )

d2

v( x , y)

d x2 +4

d2

v ( x , y)dxdy +4

d2

v ( x , y )

d y2 = e

2 x− y

#i$ ( y−2 x)−16e2 x− y

#i$ ( y−2 x )

+ e2 x− y #i$ ( y−2 x )=0

Ejercici 2'+:

Datos&

PV3&

3 y ( x −1)dx+( x *+ y−3 x)dy=0

y (0 )=1

Resoluci%n&

4os dice 5ue es una ecuaci%n e6acta entonces se cumple&

d Ø

dx = M … …(1);

d Ø

dy = N … …(2)

De donde sa$emos por ecuaci%n e6acta&

M ( x , y )dx+ N ( x , y)dy=0

Le damos forma 7 nos sale&

3 y ( x −1)+( x *+ y−3 x ) dydx=0

M ( x , y )=3 y ( x −1)

N ( x , y )= x *+ y−3 x

Reempla"ando en 8'2&


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d Ø

dx =3 x2 y−3 y

d Ø =(3 x2 y−3 y ) dx

∫d Ø =∫ (3 x2 y−3 y ) dx

Ø = yx3−3 yx+h( y)

Reempla"ando en 8'2 en 8*2&

d Ø

dy = x3+ y−3 x

d Ø =( x3+ y−3 x ) dy

∫d Ø =∫ ( x3+ y−3 x ) dy

Ø = yx3+4 y −3 xy

3gualando nos 5ueda el 9alor de h872&

yx3−3 xy+h ( y )= yx3+4 y −3 xy

h( y )=4 y

Entonces la ecuaci%n nos 5uedar:a&

Ø = yx3−3 yx+4 y

Ahora reempla"amos el 9alor inicial y (0)=1

Entonces&

Ø =(0 )−(0 )+4

Ø =4

Reempla"ando la ecuaci%n seria&

yx3−3 yx+4 y2−4=0


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Ejercici 2'+6:

(2+ y2+2 x ) dx+2 ydy=0

'ro0 Compro$amos si es una ED E;ACTA&

dM

dy =2 y 7

dM

dx =0

4o es e6acta0

*do0 Buscamos el factor integrante 72> tal 5ue

df ( x , y )dx

= M ( x , y) 7df ( x , y )

dy = N ( x , y )

.to0 Buscamos f 86>72

(¿2 e x+ y2e x+2 x e x )dxdf ( x , y )=∫ ¿

f ( x , y )= y2e x+2 x e x+g( y)

Deri9amos f86>72 en funci%n de


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df ( x , y )dy

=2 y e x+g ´ ( y ) > perodf ( x , y )

dy = N ( x , y )

2 y e x+g ´ ( y )=2 y e x

g ´ ( y )=0

g ( y )=c

Por lo tanto&

f ( x , y )= y2e x+2 x e x+c

Ejercici 2',-:

6 y2

dx− x (2 x3+ y ) dy=0

6 y2

dx= x (2 x3+ y ) dy

6 y2 dx

dy=2 x4+ xy ?

dx

dy= x @

x ´ − x .1

6 y = x4

.

1

3 y 2

x ´ .1

x4−

1

x3 .

1

6 y=

1

3 y2 …………….(1)

acemos cam$io de 9aria$le&

z=1

x3

z ´ =−3 x ´

x4

00en 8'2

− z ´ .1

3− z .

1

6 y=

1

3 y2


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z ´ + z .1

2 y=−1

y2

… … … …(2)

P ( y )=1

2 y 7Q ( y )=

−1

y2

Aplicamos la soluci%n general de EDL de 'er rden

y=e−∫ P ( X ) dx . [∫e∫ P ( x ) dx Q ( x ) dx+c ]

Reempla"amos nuestros datos de 8*2&

z=e−∫ 1

2 ydy

.[∫e∫1

2 ydy

.−1

y2

dy+c ]

M ( x , y )=2 x53 y

−43 + x−4 /3 y2/3; N ( x , y )=− x

3 y

−%3 −2 x−1/3 y−1 /3

f ( x , y )=∫ M ( x , y ) dx+g( y )

f ( x , y )=3

4 x

/3 y−4 /3+

−31

x−1/3

y2 /3

N ( x , y )=d ( f ( x , y ) )

dy =− x

3 y

−%3 −2 x

−13 y

−13 +g ' ( y)

− x

3 y−%3 −2 x−1 /3 y−1/ 3=− x

3 y−%3 −2 x

−13 y

−13 +g ' ( y)

'

g ' ( y)=0 g( y )=c

f ( x , y )=34

x

3 y−43 −3 x

−13 y

2

3+c

Ejercici 2'1+1:

Y ’ ’ ’=2( y ’ ’−1)ctgx


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acemos un cam$io de 9aria$le&

Y ’ ’= z … .(1)

Y ’ ’ ’= z ’ …(2)

Reempla"ando 8'2 7 8*2 en la ecuacion

Z ’=2( z−1)ctgx

dz

dx=2( z−1)ctgx

1

( z−1)

∫¿dz=∫ ctgxdx12¿

z−1=c1 sex

Reempla"ando 8'2 en la ecuaci%n&

y ’ ’−1=c 1 sex

acemos un nue9o cam$io de 9aria$le&

Y ’=!

Y ’ ’=! ’

" ’−1=c 1 sex

d!

dx =(c1 se x2+1)

d!=(c1 se x2+1)dx

∫d!=∫(c1 se x2+1)dx

" =c 1∫ (se x2 ) dx+∫ dx


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" =c 1( x

2−

se2 x

4 )+ x+c 2

Y ’=c 1 x

2 −

c 1 se 2 x

4 + x+c 2

dydx=

c 1 x2 −

c 1 se 2 x4 +

x+c 2

dy=(c 1 x

2 −

c 1 se2 x

4 + x+c 2)dx

∫dy=∫( c1 x2 −

c1 se2 x

4 + x+c 2)dx

y=(c 12 )(

x2

2 )−c 14 (−!"#2 x

2 )+ x

2 +c 2 x+c 3

y=c 1 x

4 +

!"#2 xc1

+

x

2 +c 2 x+c 3

Ejercici 2'1,6:

Determine # (t ) para t >0

igura '0 Circuito del e!ercico *0'-0

Reduciendo el circuito aplicando e5ui9alente The9enin&

$th= $ 1. $ 2

$ 1+ $ 2


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Luego en t+># c=0 #

$ 1. #%

$ 1+ $ 2=

$ 1. $ 2

$ 1+ $ 2. & .

d#c

dt +#c

$ 1. #%

$ 1+ $ 2−#c=

$ 1. $ 2

$ 1+ $ 2. & .

d#c

dt

d#c

$ 1.#%

$ 1+ $ 2−#c

= dt

$ 1. $ 2

$ 1+ $ 2. &

∫ d#c $ 1. #%

$ 1+ $ 2−#c

=∫ dt $ 1. $ 2

$ 1+ $ 2. &

l$|#c− $ 1. #% $ 1+ $ 2|= −t $ 1. $ 2 $ 1+ $ 2

. &

+(

l$|#c− $ 1.#%

$ 1+ $ 2(

|= −t $ 1. $ 2

$ 1+ $ 2. &

el$|#c−

$1. #%

$ 1+ $ 2( |

=e

−t $1. $2

$ 1+ $2.&

#c− $ 1.#%

$ 1+ $ 2(

=e

−t $1. $ 2

$1+ $ 2.&

#c=( e−t . ( $ 1+ $2 )

$ 1. $2.& + $ 1. #%

$1+ $ 2

Valor inicial# c=0

Valor final $ 1. #%

$ 1+ $ 2 entonces( =

− $ 1.#% $ 1+ $ 2


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Por lo tanto #c= $ 1. #%

$ 1+ $ 2(1−e

−t . ( $ 1+ $2) $ 1. $ 2.& )

Ejercici 2'1,,:

Determinar ) ( t ) para t >0

Figura 2. Circuito del ejercicio 2.!!

Reduciendo el circuito aplicando e"ui#alente $%e#enin

40=40∗*1+#c

40=40∗*1+20 *

#c=20*

Carga &nal en t'()40+10 *

3 V

Luego en t'(


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*or +irc%%o,)

#c=−20 *

Luego por $%e#enin)

*or +irc%%o,)

10 *=20∗& .d#c

dt

+#c

(10 *−#c) .dt =20∗&.d#c

−dt 20 &

= d#c

#c−10 *

∫ −dt 20&

=∫ d#c#c−10 *

Reempla-ando #c=−20 * )

∫−3 dt 40 &

=∫ d#c#c

−3 t 40&

=l$|#c( |


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(e−3t 40 & =#c

Entonce #c=20# cuando t'(/ 0'2(

20e−3 t 40& =#c ,& =1 +

) (t )=−e−3 t 40

Ejercici 2'1,.:

*ara el circuito/ determine * ( t ) para t >0 .

Figura 1. Circuito del ejercicio 2.!

E"ui#alente de Norton ante de t'()

%∗=.* (t )+1∗d*

dt


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56−.* (t )=d*

dt

−dt = d*

(* (t )−% )

∫−dt =∫ d*

(* ( t )−% )

−t =l$|* ( t )−%|−(

( e− t +%=* ( t )

- =−% / cuando t tiende al meno in&nito

* ( t )=% (1−e− t )

E"ui#alente de Norton depu3 de t'()

%∗6=%. * (t )+1∗d*

dt

42−%.* (t )=d*

dt

−dt = d*

% (* (t )−6 )


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∫−dt =∫ d*% (* ( t )−6 )

−% t = l$|* ( t )−6|−(

( e

−% t

+6=* ( t )

Cuando t =0 / * ( t )=% / entonce - =1

* ( t )=e−% t +6

Ejercici 2'1,-:

*ara el circuito/ determine * ( t ) para t >0 .

Figura 4. Circuito del ejercicio 2.!5

Cuando t =0, * (t )=0

E"ui#alente de $%e#enin)


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