6.4 En el vacío s cuerpos caen con

—eleración.

Gravedad y cuerpos en caída libre Gran parte de nuestros conocimientos sobre la física de los cuerpos en caída libre se deben al científico italiano Galileo Galilei (1564-1642). Él fue el primero en deducir que en ausencia de fricción, todos los cuerpos, grandes o pequeños, pesados o ligeros, caen a la Tierra con la misma aceleración. Esa es una idea revolucionaria porque contradice lo que una persona pudiera suponer. Antes de la época de Galileo, la gente seguía las enseñanzas de Aristóteles, según las cuales los objetos pesados caían proporcionalmente más rápido que los ligeros. La explicación clásica de la paradoja radica en el hecho de que los cuerpos pesados son propor­cionadamente más difíciles de ser acelerados. Esta resistencia al cambio de movimiento es una propiedad de los cuerpos llamada inercia. Por tanto, en el vacío, una pluma y una bola de acero caerán al mismo tiempo porque el efecto inercial mayor de la bola de acero se compen­sa exactamente con su mayor peso (véase la figura 6.4.)

En la expUcación de los cuerpos en caída libre de este capítulo se despreciarán totalmente los efectos de la fricción debida al aire. En estas circunstancias, la aceleración gravitacional corresponde a un movimiento uniformemente acelerado. Dicha aceleración se ha medido en el nivel del mar y a una latitud de 45°, y su valor es de 32.17 ft/s^ o 9.806 m/s^ y se repre­senta con g. Para nuestros propósitos, los valores siguientes son suficientemente precisos:

g = ±9.80 m/s^ g = ±32.0 ft/s^ (6.10)

Puesto que la aceleración gravitacional es una aceleración constante, se aplican las mis­mas ecuaciones generales del movimiento. Sin embargo, uno de los parámetros se conoce de antemano y no necesita darse como dato en el problema. Si la constante g se incluye en las ecuaciones generales (tabla 6.1), resultan las formas siguientes:

( l a ) y = Vf+ VQ

-t y = vt (2a) Vf=Vo + gt

(3a) y = Vot + ~gt^

(43) y = vy/- ^^/^ (5a) 2gy = v} - vi

Antes de utilizar estas ecuaciones conVient hacer algunos coméntanos generales. En pro­blemas referidos a cuerpos en caída hbre es de suma importancia elegir una dirección como la positiva y seguir ese criterio en forma sistemática al sustituir los valores conocidos. El signo de la respuesta es necesario para determinar la ubicación de un punto o la dirección de la velocidad en instantes específicos. Por ejemplo, la distancia y en las ecuaciones anteriores re­presenta el desplazamiento arriba o abajo del origen. Si la dirección ascendente se elige como positiva, un valor positivo de y indica un desplazamiento por arriba del punto de partida; si y es negativa, representa un desplazamiento por debajo de ese punto. De igual forma, los signos de VQ, y g indican sus direcciones.

122 Capítulo 6 Aceleración uniforme

pjna pelota de hule se deja caer del reposo, como se muestra en la figura 6.5. Encuentre su velocidad y su posición después de 1, 2, 3 y 4 s. Plan: Como todos los parámetros se medirán hacia ahajo, es más práctico elegir la direc­ción descendente como positiva, de forma que aquellos resulten positivos.

Solución: Organizando los datos tenemos: Dados: i',, = O Encontrar: v, = ?

g = +9.80 m /s2 y = l í = 1,2, 3 , 4 s

La velocidad hacia abajo en función del tiempo aparece en la ecuación (2a), donde = 0. V, = v^ + gt = 0 + gt

= (9.80 m/s2)í

Después de 1 s tenemos = (9.80 m/s^)(l s) = 9.80 m/s (hacia abajo)

Con las sustituciones para í = 2, 3 y 4 s se obtienen velocidades finales de 19.6. 29.4 > 39.2 m/s. respccli\. Todas estas velocidades son positivas porque se eligió la direc­ción descendente como positiva.

La V positiva en función del tiempo se calcula a partir de la ecuación (3a). Como la velocidad inicial es cero, escribimos

1 1 y = vat + -gt = -gt

Después del tiempo de 1 s, el desplazamiento descendente será

y = ^(9.80m/s^)(l s)^ = 4.90 m

V = o m/s

V = 9.80 m/s

y = 0

y = 4.90 m

v= 19.6 m/s iM y= 19.6m

v = 29.4 m/s íM y = 44.1m

g = +9,80 m/s^ 1

V = 39.2 m/s 78.4 m

i F i g u r a 6.5 Un cuerpo en caída libre tiene una aceleración constante hacia abajo de 9.80 m/s^.

124 Capítulo 6 Aceleración uniforme

^ Si su velocidad inicial es 96 ft/s, su velocidad después de 1 s se reducirá a 64 ft/s. Después de 2 s su velocidad será de 32 ft/s, y después de 3 s su velocidad queda reducida a cero. Cuando

i la velocidad llega a cero, la pelota ha alcanzado su máxima altura y empieza a caer libremente partiendo del reposo. Sin embargo, ahora la velocidad de la pelota va a incrementarse en 32 ft/s cada segundo, ya que tanto la dirección del movimiento como la aceleración de la gra-

í ' vedad están en la dirección negativa. Su velocidad después de 4, 5 y 6 s será de —32, - 6 4 y I - 96 ft/s^, respectivamente. Excepto por el signo, que indica la dirección del movimiento, las

velocidades son las mismas a iguales alturas en relación con el piso.

^ ^ ^ ^ Q ^ ^ ^ ^ ^ ^ f f i f ^ l na pelota de béisbol arrojada verticalmente hacia arriba desde la azotea de un edificio alto tiene una velocidad inicial de 20 m/s. (a) Calcule el tiempo necesario para que alcance la altura máxima, (b) Determine la altura máxima, (c) Determine su posición y su veloci­dad después de 1.5 s. (d) ¿Cuáles son su posición y su velocidad después de 5 s? (Véase la figura 6.7.) Plan: Elegimos la dirección ascendente como positiva, puesto que la velocidad inicial se dirige hacia arriba. Ello significa que la aceleración será - 9 . 8 m/s^ para todos los incisos. En cada parte del problema adoptaremos la misma estrategia aplicada a los problemas de aceleración en general.

v = 0 t«|f=2.04s

t= 1.5 s, v = 5.3 m/s I v = - 5 . 3 m / :

I 6 I

Vo = 2 0 m / s i 0 f I ,v = O

f = 5 s I V = - 2 9 m/s

Figura 6.7 U n a p e l o t a a r r o j a d a v e r t i c a l m e n t e h a c i a a r r i b a a s c i e n d e h a s t a q u e s u v e l o c i d a d e s c e r o ;

e n t o n c e s c a e c o n c r e c i e n t e v e l o c i d a d h a c i a a b a j o .

6.7 G r a v e d a d y c u e r p o s e n caída l i b r e 125

Solución (a): El tiempo para alcanzar la altura máxima se halla tras reconocer que la velocidad de la pelota será igual a cero en ese punto. Los datos se ordenan como sigue:

Dados: = 20 m/s Encontrar: t = ? v ^ = 0 3 ; = ?

g = -9 .8 m /s2

El tiempo requerido para llegar a la altura máxima se determina a partir de la ecuación (2a):

^ V / - VQ ^ _ Vo

S 8

- 2 0 m/s -7 = 2.04 s -9 .8 m/s^

Solución (b): La altura máxima se halla igualando v = O en la ecuación (la).

y fVf+ Vo^^ _ V o ^ V 2 / 2 20 m/s

-(2 . 0 4 s) = 2 0 4 m z "

Solución (c): Para determinar la posición y la velocidad después de 1.5 s debemos esta­blecer condiciones nuevas

Dados: = 20 m/s Encontrar: j = ? g = - 9 . 8 m/s^ - = • í=1.5s

Ahora podemos calcular la posición como sigue: 1 "

y = vot + -gf

= (20 m/s)(1.5 s) + | ( - 9 . 8 m/s2)(1.5 s)^ = 30m - U m = 19m

La velocidad después de 1.5 s se obtiene con

= 20m/s + ( -9 .8m/s2 ) (1 .5s ) = 20 m/s - 14.7 m/s = 5.3 m/s

Solución (d): Las mismas ecuaciones se aplican para determinar la posición y la veloci­dad después de 5 s. Por tanto,

y = vot + -gt"

= (20 m/s)(5 s) + ^ ( - 9 . 8 m/s2)(5 s)^ = 100 m - 123 m = - 2 3 m

El signo negativo indica que la pelota se halla a 23 m por debajo del punto de lanzamiento.