gravedad (literalis) caída libre y conservación de la energía: evidencia empírica dos conceptos...

Gravedad (literalis) caída libre y conservación de la energía: Evidencia Empírica

Dos conceptos importantes.

¿Puede la física aportar al grado de verdad de esta afirmación?

Funciones del movimiento, velocidad,

tiempo y espacio. )( vm

dt

dF

mg Una fuerza un tanto exótica, proporcional a al masa y

aproximadamente constante cerca de la superficie de la tierra.

Podemos resolver las ecuaciones del movimiento:

dt

dvmmg

0

La masa no aparece en la ecuacion de movimiento. Una rareza de la gravedad (y potencialmente de cualquier

fuerza proporcional a la masa).


tiempo y espacio. )( vm

dt

dF

mg Una fuerza un tanto exótica, proporcional a al masa y

aproximadamente constante cerca de la superficie de la tierra.

Podemos resolver las ecuaciones del movimiento:

gtvgtvdt

dvmmg 0

2

2

gtxgtv

dt

dx

0

Con esto hemos determinado x(t) y v(t) pero pude interesarnos otras relaciones como por ejemplo v(x)

Primera Integral

Segunda Integral


tiempo y espacio.

mg

Posibilidad 1: Resolver el sistema de ecuaciones ya integrado.

gtv

g

v

g

gtgtx

22

)(

2

222

0

2

2vgx

h=(H-x)

2

2

gtx

gxvg

vx 22

2

xvt


tiempo y espacio.

mg

Posibilidad 2: Resolver directamente las ecuaciones para v(x) o x(v). ¿Como?

0

Podemos resolver directamente las ecuaciones de movimiento sobre una variable que no sea el tiempo.

h=(H-x)

)( vmdt

dF

dt

dvg

dt

dvmmg

dt

dx

dx

dv

dt

dvg


tiempo y espacio.

mg


0


h=(H-x)

)( vmdt

dF

dt

dvg

dt

dvmmg

dt

dx

dx

dv

dt

dvg

g

v

dv

dxv

dx

dvg

22

22 vgx

g

vx

g

v

dv

dx


tiempo y espacio.

mg


0


h=(H-x)

)( vmdt

dF

dt

dvg

dt

dvmmg

dt

dx

dx

dv

dt

dvg

g

v

dv

dxv

dx

dvg

g

vgx

g

vx

g

v

dv

dx

22

22

gxvg

vx 22

2


tiempo y espacio.

mg

0

Moraleja: Además de haber resuelto las cuentas, y calcular v(x) deducimos que hay una cantidad que se

conserva.

022

22

xgvv

xg

Conservación. Integrando funciones desconocidas: Saber

algo cuando no se puede saber todo.

)(),,,,( vmdt

dtqvxF

Conservación. Integrando funciones desconocidas: Saber

algo cuando no se puede saber todo.

)()( vmdt

dxF

Consideremos el caso, mas simple, en que la fuerza es solo una función de la posición, como es el caso para dos fuerzas que nos interesan: la gravedad y la elástica (y, veremos, modulo una constante también la eléctrica)

)()( vmdt

dxF

dt

dvmxF )(

Asumamos por Simpleza que:

Trabajo y Cinética: Una diapositiva repleta de ecuaciones

)()( vmdt

dxF

dt

dvmxF )(


Entonces:

dt

dx

dx

dvmxF )(


Un truco conocido

)()( vmdt

dxF

dt

dvmxF )(


Entonces:

dt

dx

dx

dvmxF )( v

dx

dvmxF )(o


)()( vmdt

dxF

dt

dvmxF )(


dvvmdxxF )(

Entonces:

dt

dx

dx

dvmxF )( v

dx

dvmxF )(o

O aun reordenando términos:


Diferencial de Trabajo(por definición) y aquí se

adivina la relevancia de esta cantidad.

Diferencial de Energía Cinetica

)()( vmdt

dxF

dt

dvmxF )(


dvvmdxxF )(

Entonces:

dt

dx

dx

dvmxF )( v

dx

dvmxF )(o






dvmvvm

d )2( 2

)()( vmdt

dxF

dt

dvmxF )(


dvvmdxxF )(

Entonces:

dt

dx

dx

dvmxF )( v

dx

dvmxF )(o






dvmvvm

d )2( 2

mvdv

vm

d)

2( 2

LOCAL Y GLOBA: DE VUELTA A LA DISTANCIA ENTRE

FUNCIONES

dvvmdxxF )( Versión diferencial

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

-1

-0.5

0

0.5

1

La distancia entre las dos funciones (global) es 0 si y solo si la distancia es 0 para cada punto.


FUNCIONES

1

0

1

0

)(v

v

x

x

dvvmdxxF dxxFxUdonde )()(:



FUNCIONES

1

0

1

0

)(v

v

x

x

dvvmdxxF

21

2221 2

1

2

1)()( mvmvxUxU

dxxFxUdonde )()(:


Versión integral


FUNCIONES

1

0

1

0

)(v

v

x

x

dvvmdxxF

21

2221 2

1

2

1)()( mvmvxUxU

dxxFxUdonde )()(:


Versión integral

Si algo es cierto para todos los pasos (infinitesimales) entonces también es cierto (concatenado pasos, es decir integrando) para todos los caminos. Por otra parte si algo es cierto para todos los caminos entonces también lo es para cada salto diferencial.


FUNCIONES

222

211 2

1)(

2

1)( mvxUmvxU

21

2221 2

1

2

1)()( mvmvxUxU

•Hay una función ADITIVA de la velocidad y de la posición (Energía) que permanece constante

•La velocidad es una función exclusiva del espacio. Basta saber donde esta una partícula ( y su energía inicial, para conocer su velocidad.

•Si recorremos un camino cerrado, cuando volvemos al punto original, nada ha cambiado (es decir la velocidad es la misma, la posición la misma, la física (las fuerzas) la misma y por lo tanto todo se repite, resultando en oscilaciones. En particular, no es demasiado difícil oscilar en un mundo no disipativo. Basta volver a pasar en algún momento por el punto de origen.

(x1,v1)

(x2,v2)

Fuerzas agnósticas y sin embargo

clasificables.

Gravedad

ElásticaEléctrica

RozamientoF=FELECTRICA + FROZAMIENTO + FGRAVEDAD + FELASTICA

La fuerza resultante es la suma de fuerzas de distintos tipos. Uno de los enunciados implícitos en la ecuación de Newton es que estas fuerzas pueden tratarse, a los efectos del movimiento, como un solo objeto.

Fuerza Resultante

Fuerzas agnósticas y sin embargo clasificables.

En “todos los mundos” estas fuerzas estan presentes, mas alla de la discusion de si son reducibles o no a un conjunto mas pequeño de fuerzas fundamentales. En “ciertos mundos” algunas fuerzas adquieren mas relevancia. Por ejemplo, la gravedad escalea con la masa y por lo tanto es dominante a la escala cosmica, pero se vuelve insignificante en la escala molecular. En esta escala, fuerzas electricas, viscosas y elasticas pasan al centro de la escena.

Dos potenciales importantes:

G(Superf) = -mg U(x)=???

Resorte = -kx ???)( xU

???E

???E

Dos potenciales importantes: Introduciendo el mundo elástico como el

“equilibrio puntual generico” o la resistencia a alejarse.

G(Superf) = -mg U(x)=mgx

Resorte = -kx 2

)(2kx

xU

2

2mvmgxE

22

22 mvkxE

U(x)

U(x)

¿Cuales son los aspectos comunes y las diferencias fundamentales entre estos dos potenciales?

El problema clásico de conservación.

LA CADENA INMOVIL: UN ARGUMENTO DE CONSERVACION, DE EQUILIBRIO Y DE SIMETRIA: LA RELACION DE MASAS ES TAL QUE LA TENSION DE CADA LADO DE LA CUERDA SEA LA MISMA (NOTESE QUE SI EL PLANO INCLINDAO ES HORIZONTAL, LA MASA TIENE QUE SER INFINITA)

Un problema clásico de conservación: Reversibilidad de las

maquinas y el equilibrio permanente.

LA CADENA INMOVIL: UN ARGUMENTO DE CONSERVACION, DE EQUILIBRIO Y DE SIMETRIA: Un argumento de conservación, la energía del sistema tiene que ser constante. Al mover la cuerda, la energía de “La Pradon” cambia en la misma cantidad que se ha desplazado la cuerda (mgh), y la de la masa en una cantidad menor (mgh/sen(a))

El problema clásico de conservacion.

3

5

¿Cuál es la relación entre m1 y m2 si se esta en equilibrio?

3* =5*

El argumento de Stevins: “Conservacion

de energia y equlibrio”

LA CADENA INMOVIL: UN ARGUMENTO DE CONSERVACION, DE EQUILIBRIO Y DE SIMETRIA.

Otro experimento mental'eeuwig roersel'

Simetría y conservación, dos

manifestaciones de un mismo principio.

Emmy Noether (1882-1935)

v

x

t

)()( tt

v

x

t

Conservación de la energía: Una simetría útil y de una geometría

tangible.

G(Superf) = -mg U(x)=mgx

Resorte = -kx 2

)(2kx

xU

2

2mvmgxE

22

22 mvkxE

U(x)

U(x)

¿Cuales son los aspectos comunes y las diferencias fundamentales entre estos dos potenciales?

222

211 2

1)(

2

1)( mvxUmvxU

gravedad (literalis) caída libre y conservación de la energía: evidencia empírica dos conceptos...

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