Olimpiadas de Matematica:

Teorıa de Grafos

J. C. Bonilla

27 de noviembre de 2011

Resumen

Este documento recopila el taller impartido del 22 al 25 de noviembre del 2011, en el XV Congreso Nacional de Ma-

tematica Educativa, organizado por la Licenciatura en Matematica Aplicada de la Universidad de San Carlos de Guatemala.

El tema del taller es la Teorıa de Grafos, una rama relativamente reciente de la Matematica, que tuvo su origen en ciertos

problemas resueltos por Leonhard Euler en el siglo XVIII. Con el documento se busca cubrir el material mınimo para probar

mas adelante el teorema de Euler sobre poliedros, y a la vez familiarizar al lector con las tecnicas y teoremas de uso comun

en la solucion de problemas de Olimpiadas Internacionales de Matematica. A lo largo del documento, la palabra ejercicio se

asocia con una dificultad inferior al nivel olımpico, reservando la palabra problema para este nivel. El sımbolo P© indica que

se puede encontrar una pista para el ejercicio o problema, en la seccion de respuestas, en tanto que S© indica la presencia

de una solucion completa. En la presente version se aumento el contenido, y se anexaron ejercicios complementarios.

1. Conceptos Basicos

1.1. Definiciones Iniciales

Hablando de manera informal, un grafo es una representacion abstracta de un conjunto de objetos,en el cual algunos pares de objetos estan enlazados mediante cierta relacion. A los objetos representadosles llamamos vertices, en tanto que los enlaces son llamados aristas. Estos conceptos son tıpicamenterepresentados mediante puntos y segmentos de recta o curvas que los unen. Por ejemplo, si 10 equipos:A,B,C,D,E, F,G,H, I, J compiten en un torneo de algun deporte, podemos representar cada partidoentre dos equipos mediante una arista, como puede apreciarse en la figura 1.

A la arista que une el vertice B con el vertice G la llamamos BG para abreviar. Algunas aristas seintersectan en puntos que no estan nombrados en el listado de vertices, como las aristas FD y GE; estetipo de intersecciones no son vertices, sino simplemente accidentes de dibujo. En el ejemplo podemosobservar que A y B estan enlazados por tres aristas, representando tres partidos realizados entre esosequipos. A los grafos en los cuales existe al menos un par de vertices unidos por mas de una arista seles llama multigrafos. Los equipos H, I, J han jugado entre ellos pero no han jugado con otros equipos.Ademas, el equipo C no ha jugado ningun partido (tal vez porque el grafo representa los partidos jugadoshasta una fecha determinada). Notese que si el grafo representa un torneo no tiene mucho sentido queuna arista comience y termine en el mismo vertice. A este tipo de aristas se les denomina bucles.

Tal vez quisieramos agregar a nuestro grafo alguna marca que nos indique cuales equipos resultaronvencedores en sus respectivos partidos (asumiendo que no es posible empatar en el deporte considerado).Si sustituimos las aristas en la figura 1 por flechas que senalen a los perdedores (o tal vez a los ganadores,si se desea) obtenemos lo que se conoce como digrafo, o bien, grafo dirigido. Si un grafo cualquierano es digrafo, no es multigrafo y no posee bucles se le llama grafo simple. A un grafo que posee una

1

A

BC

D

E

F

G

H

I

J

Figura 1: Ejemplo de grafo

cantidad finita de vertices y una cantidad finita de aristas se le conoce como grafo finito. A lo largo deeste documento trabajaremos casi exclusivamente con grafos simples finitos.

Olvidemos ahora que nuestro grafo representaba un torneo y supongamos ahora que nos muestra diezciudades y las varias carreteras que unen a ciertos pares de ellas. Un camino es una sucesion de aristastales que el extremo final de una de ellas es el extremo inicial de la siguiente, y en la cual no se repiteninguna arista. Por propositos teoricos es permitido un camino vacıo, es decir, uno que comienza y terminaen el mismo punto sin utilizar aristas. A manera de ejemplo, podemos llegar de la ciudad B a la ciudad F ,tomando un camino que pasa por la ciudad G. De hecho, existen otros caminos que van de B a F , peroninguno nos llevara de B a H. A un grafo en el cual se puede llegar desde cualquier vertice a cualquierotro mediante algun camino se le llama grafo conexo. Por esta razon decimos que nuestro ejemplo es ungrafo disconexo.

Un subgrafo es un subconjunto de los vertices de un grafo dado, junto con algunas de las aristas queunıan a los vertices elegidos. Por ejemplo, en la figura 2 podemos ver dos subgrafos del ejemplo original.

A

BD

EG

(a) Subgrafo 1

A

BD

E

F

G

(b) Subgrafo 2

Figura 2: Subgrafos

2

Un subgrafo debe ser considerado como un grafo por sı mismo. Ambos subgrafos mostrados en lafigura 2 son conexos. Notamos, sin embargo, que el segundo subgrafo es “mas completo” que el primero,en el sentido de que el subgrafo 1 es subgrafo del subgrafo 2. Ademas, todas las aristas que unıan a losvertices A,B,D,E, F,G en el grafo original estan dibujadas en el subgrafo 2. Finalmente, no podemosagregar ningun otro vertice del grafo original, con sus respectivas aristas que lo conecten a los vertices yadibujados, sin que se pierda la propiedad de conexidad. A un subgrafo que cumpla estas propiedades lellamamos componente conexa del grafo original. Nuestro ejemplo de la figura 1 tiene 3 componentesconexas, a saber: el subgrafo 2, el subgrafo conformado por los vertices H, I, J junto con sus 3 aristas, y elsubgrafo constituido exclusivamente por el vertice C (Un grafo que consta de un unico vertice es conexoen virtud de la existencia de los caminos vacıos). Los vertices que no poseen ninguna arista en un grafoson llamados vertices aislados. En la figura 3 hemos delimitado con lıneas punteadas las componentesconexas del grafo original.

A

BC D

E

F

G

HI

J

Figura 3: Componentes conexas

Un circuito o ciclo es un camino que comienza y termina en el mismo vertice. Por ejemplo, en lafigura 1 podemos ir del vertice G al F , del F al D, del D al E (eligiendo una de las dos posibles aristas), yde E regresar a G, con lo que cerramos el circuito. A un grafo conexo que no posea circuitos le llamamosarbol; el subgrafo 1 es un arbol, pero el subgrafo 2 no lo es. La distancia entre dos vertices se definecomo la longitud (numero de aristas) del camino mas corto entre dichos vertices.

Dos grafos G1,G2 son llamados isomorfos si ambos poseen el mismo numero de vertices, y si a cadavertice de G1 le podemos asociar un vertice de G2, de manera que esta asociacion respete las aristas. Estoquiere decir que si los vertices A,B del grafo G1 estan asociados con los vertices A, B de G2, entoncesA,B estan conectados por una arista de G1 si y solo si A, B estan conectados mediante una arista de G2.Esencialmente podemos pensar en dos grafos isomorfos como distintas representaciones del mismo grafo.La asociacion de vertices de la que hablamos es una funcion matematica conocida como isomorfismo.Los isomorfismos conservan la conexidad, lo que quiere decir que un grafo conexo no puede ser isomorfoa uno disconexo.

1.2. Grafos Completos y Bipartitos

Sea n un numero natural. A un grafo simple con n vertices tal que entre cada par de vertices existeexactamente una arista se le denomina grafo completo de n vertices, y usualmente lo representamos

3

mediante el sımbolo Kn. Esta notacion se adopta debido a que cualesquiera dos grafos completos de nvertices son isomorfos entre sı; es mas, para todo proposito practico podemos imaginarnos que, habiendofijado el valor de n, existe un unico grafo completo de n vertices. En la figura 4 podemos apreciar algunosgrafos completos.

K5 K4 K6

Figura 4: Grafos completos

Un grafo no dirigido G es llamado bipartito, si los vertices de G pueden ser divididos en dos conjuntosU, V disjuntos, de tal forma que cada arista de G conecta un vertice del conjunto U con uno del conjuntoV . A los conjuntos U, V se les llama partes del grafo bipartito. En la figura 5 tenemos un grafo bipartitoen el cual las partes U, V han sido resaltadas mediante lıneas punteadas.

Se puede probar facilmente que un grafo es bipartito si y solo si cada una de sus componentes conexases bipartita. Si las partes poseen el mismo numero de elementos, decimos que G es un grafo bipartitobalanceado. Los vertices aislados pueden ser colocados en cualquiera de las dos partes, lo que indica queen general las partes U, V no estan determinadas de manera unica.

U V

A

B

C

D

E

F

G

H

I

Figura 5: Grafo bipartito

Si un grafo bipartito G es tal que para cada par de vertices que no esten en la misma parte existeexactamente una arista que los une, decimos que G es un grafo bipartito completo. Si sus partes U, Vposeen respectivamente n y m elementos (n,m son numeros naturales), a G usualmente lo representamosmediante el sımbolo Kn,m. Naturalmente, Kn,m es isomorfo a Km,n.

Cualquier grafo bipartito puede ser “completado” agregandole las aristas faltantes para que la defi-nicion de grafo bipartito completo se cumpla. Por ejemplo, aplicandole este procedimiento al grafo de lafigura 5, obtenemos K4,5.

Ejercicios

1. S© Determinar, en terminos de n, el numero de aristas de Kn.

4

2. P© S© Sea G un grafo simple, conexo y con un numero finito de vertices. Demuestre que existe unsubgrafo T, tal que T es un arbol que incluye a todos los vertices de G y algunas de sus aristas.

3. S© Si T es un arbol cualquiera con v vertices y a aristas (donde v es un entero positivo, a es unentero no negativo), muestre que v − a = 1.

Problema

4. P© S© (SELIMO Italia, 2007) Sea n un entero positivo impar. Existen n computadoras y exactamenteun cable uniendo a cada par de computadoras. Usted debe colorear las computadoras y los cablesde forma que se cumplan las siguientes reglas:

No hay dos computadoras coloreadas del mismo color.El color de cada cable es distinto de los colores de las dos computadoras que une.Si dos cables se conectan a la misma computadora, sus colores son distintos.

¿Cual es el mınimo numero de colores necesario para lograr la hazana?

2. Teoremas Fundamentales de Grafos

2.1. Grados y Ordenes

Si G es un grafo, al conjunto de vertices de G se le simboliza con V(G). Al numero de vertices se leconoce como orden de G y, al tratarse de la cardinalidad del conjunto anterior, frecuentemente se le denotapor |V(G)|. Al conjunto de aristas de G se le representa con el sımbolo A(G). Al numero de aristas se lellama tamano o grado de G, y se le simboliza mediante |A(G)|, o bien g(G). Si V es un vertice en G, alnumero de aristas de G que tienen a V como uno de sus extremos se le llama grado1 o valencia del verticeV , y se le denota por g(V ). Cuando nos referimos a los grados de multiples vertices en ocasiones tambienles decimos grados locales, en contraposicion al grado de G, que en tales circunstancias llamamos gradoglobal.

Por ejemplo, en el grafo de la figura 1 tenemos los siguientes valores globales y locales:

|V(G)| = 10 g(G) = 13

g(A) = 4, g(B) = 4, g(C) = 0, g(D) = 3, g(E) = 4, g(F ) = 2, g(G) = 3, g(H) = 2, g(I) = 2, g(J) = 2

El teorema de los saludos, tambien llamado primer teorema de grafos, nos ofrece una relacion explıcitaentre los grados locales y el global.

Teorema 1 (Teorema de los Saludos o Primer Teorema de Grafos). Si n es un numero natural y G esun grafo con n vertices llamados V1, V2, . . . , Vn, entonces g(V1) + g(V2) + . . .+ g(Vn) = 2 · g(G). Dichoen lenguaje coloquial, la suma de los grados locales en un grafo es igual al doble del grado global.

Demostracion. En realidad, la prueba es trivial, basta considerar que una arista AB es contada dos vecesen la suma de los grados locales, una vez en g(A), y otra en g(B).

Teorema 2 (Segundo Teorema de Grafos). El numero de vertices con grado impar en un grafo G, espar.

1Algunos autores le llaman orden del vertice, pero preferimos no emplear esta terminologıa para evitar posibles confusiones.Lo mismo sucede con el grado de G, que en algunos libros lo definen como el doble del valor que tomamos nosotros, esto porrazones que se haran evidentes con el primer teorema de grafos.

5

Demostracion. Supongamos que el grafo G tiene n vertices de grado impar: V1, V2, . . . , Vn; y m vertices degrado par: W1,W2, . . . ,Wm, esto es, en total tiene n+m vertices. Queremos probar que n es un numeropar. La formula del primer teorema de grafos queda escrita ası:

g(V1) + g(V2) + . . .+ g(Vn) + g(W1) + g(W2) + . . .+ g(Wm) = 2 · g(G)

Podemos pasar a restar todos los grados pares al otro lado de la ecuacion:

g(V1) + g(V2) + . . .+ g(Vn) = 2 · g(G)− g(W1)− g(W2)− . . .− g(Wm)

Aquı vemos que en el miembro derecho de la ecuacion tenemos un numero par al que le hemos restadouna cierta cantidad de numeros pares. El resultado debe ser par, de donde concluimos que el miembroizquierdo tambien es par. Mas especıficamente, tenemos que la suma de n numeros impares devuelve unresultado par. La unica posibilidad es que n sea par, que es lo que querıamos demostrar.

Los dos teoremas anteriores son empleados frecuentemente en la resolucion de problemas de olimpia-das internacionales y no deben ser subestimados a pesar de su simpleza. Ahora continuaremos nuestrodesarrollo en una direccion que tiene aplicaciones inmediatas en los torneos deportivos.

2.2. Descomposicion en Rondas

Consideremos un torneo con n competidores en el que se desea que cada competidor juegue exactamenteuna vez con cada uno de los demas competidores. El grafo del torneo serıa precisamente Kn. De acuerdo

al ejercicio 1 se tienen n(n−1)2 partidos. Se podrıan llevar a cabo en secuencia, comenzando cada partido

cuando acaba el anterior, sin embargo esto es poco practico por cuestiones de tiempo. Podrıamos ponera jugar a varias parejas simultaneamente en rondas,2 intentando reducir el numero de rondas al mınimoposible. ¿Cual es este mınimo? Antes de revelar la respuesta, consideremos un ejemplo pequeno. Si n = 4, ylos competidores son etiquetados A,B,C,D, cada competidor tiene exactamente 3 contrincantes, ası que,para que el jugador A pueda competir con cada uno de los demas se requiere como mınimo 3 rondas.Veremos que es posible hacer que los demas jugadores tambien completen sus partidos con solo 3 rondas,por lo que 3 es la respuesta para este caso particular. Podemos descomponer al grafo K4 en tres rondas,tal como lo ilustra la figura 6.

A B

D C

A B

D C

A B

D C

A B

D C

Torneo Ronda 1 Ronda 2 Ronda 3

Figura 6: Descomposicion minimal en rondas de K4

A este tipo de descomposicion de un grafo en el mınimo numero de rondas, tal que en las distintasrondas cada competidor no juega mas de un partido, se le llama “descomposicion minimal en rondas”.Generalmente existen muchas descomposiciones minimales diferentes.3 Cualquier grafo finito es suceptiblea ser descompuesto en rondas, aunque tıpicamente el procedimiento es empleado en la descomposicion

2Esto se hace generalmente en torneos de ajedrez, donde solo estamos limitados por el numero de tableros. En el caso dedeportes que requieran canchas u otros implementos costosos, se debe imponer una limitante al numero de partidos que sepueden jugar en una misma ronda, y los resultados de esta seccion se verıan modificados.

3No solo podemos intercambiar el orden de las rondas, sino que en muchos grafos existen descomposiciones minimales conrondas que son esencialmente distintas.

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de los grafos completos Kn. Cuando el grafo de un torneo es Kn, tambien se le conoce como torneotipo round-robin o torneo tipo todos contra todos. Si n es un numero par, podemos agrupar a los

jugadores en n2 parejas y, puesto que se deben jugar n(n−1)

2 partidos en total, suena razonable tomar comocandidato a mınimo de rondas al numero n − 1. El siguiente teorema nos asegura que las n − 1 rondasson suficientes para lograr nuestro proposito.

Teorema 3 (Descomposicion de torneos round-robin, caso par). Si n es par, el numero de rondas enuna descomposicion minimal de Kn es n− 1.

La demostracion de este teorema consiste basicamente en construir la descomposicion. No la llevaremosa cabo en este momento pues su demostracion se sigue de las soluciones al problema 4 y el ejercicio8, ajustando algunos detalles.4 Directamente del problema 4 podemos deducir el caso impar, el cualenunciamos separadamente por comodidad, pues el numero de rondas mınimo resulta distinto.

Teorema 4 (Descomposicion de torneos round-robin, caso impar). Si n es impar, el numero de rondasen una descomposicion minimal de Kn es n.

2.3. Caminos Eulerianos y Hamiltonianos

Proseguimos nuestro desarrollo con una definicion y un teorema mas. Supongamos que G es un grafocualquiera que no es digrafo. Un camino que recorre cada una de las aristas de G exactamente una vez esllamado camino euleriano o camino de Euler.5 Por ejemplo, en el Subgrafo 2 de la figura 2, un posiblecamino euleriano estarıa dado siguiendo la siguiente secuencia de vertices: G,B,A,B,A,E,G, F,D,E,D;en los puntos en los que existe mas de una arista que conecte dos vertices, se puede elegir cualquierateniendo el cuidado de no repetirla cuando la eleccion se presente nuevamente. En el caso de digrafosse pide ademas que el camino respete la orientacion dada de las aristas. Se le llama euleriano puesel matematico Leonhard Euler fue el primero en discutir y resolver el problema de hallar condicionesnecesarias y suficientes para asegurar la existencia de tales caminos en un grafo, esto en el ano 1736. Lasconclusiones de Euler quedan resumidas en el siguiente teorema.

Teorema 5 (Caminos eulerianos). Un grafo finito G que no es digrafo, tiene un camino de euler si, ysolo si, se cumplen las siguientes dos condiciones:

G es un grafo conexo.No existen vertices con orden impar en G, o bien existen exactamente dos.

Bosquejo de demostracion. La prueba se fracciona en tres partes:

(a) Si el grafo G tiene un circuito de euler entonces todos sus vertices tienen grado par.

(b) Si todos los vertices del grafo G tienen grado par entonces G tiene un circuito de euler.

(c) El grafo G tiene un camino de euler que no es circuito si, y solo si, G tiene exactamente 2 verticesde grado impar.

Demostracion de la parte (a). Note que en este caso asumimos que posee un circuito euleriano, estoes, un camino euleriano que termina en su punto inicial. Cuando salimos del punto inicial, el numero dearistas libres de dicho vertice (las que aun no hemos utilizado) se reduce en uno. Conforme avanzamos enel circuito euleriano entramos a un vertice y salimos de el por otra arista, reduciendo en dos la cantidadde aristas libres de todos los vertices por los que pasamos. Puesto que el circuito euleriano se detendra enel vertice inicial, todos los demas vertices deben tener grado par, pues siempre que entramos a uno deellos volvemos a salir. Al vertice inicial se le redujo en uno la cantidad de aristas libres al comenzar el

4Pueden consultarse las soluciones a los problemas que fueron anexadas al final del documento.5Como segundo anexo tenemos una biografıa de Leonhard Euler, despues de los ejercicios complementarios.

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camino, luego se le reduce de dos en dos conforme entremos y salgamos de el, hasta que el camino sedetenga definitivamente, con lo cual reduciremos en uno nuevamente sus aristas libres, alcanzando por finel valor cero. El resultado neto es que tambien este vertice tiene grado par.

Demostracion de la parte (b). Asumimos ahora que el grafo es tal que todos sus vertices tienen gradopar, y debemos probar que existe un circuito de Euler. Comencemos en un vertice cualquiera V1 y avan-cemos formando un camino, eligiendo de manera aleatoria en cada vertice la arista en la cual seguimos.Siempre que llegamos a un vertice distinto de V1, al entrar a el reducimos en uno la cantidad de aristaslibres y, puesto que se trata de un numero par, siempre existira una arista por la cual podremos salir deese vertice. En otras palabras, podemos continuar nuestro camino hasta que, eventualmente, alcancemosde nuevo el vertice V1. Al alcanzarlo, habremos formado un circuito C1 que redujo la cantidad de aristaslibres en cada uno de sus vertices en numeros pares. Si C1 usa todas las aristas del grafo, hemos terminado.Si no las usa todas, existe algun vertice V2 en C1 que posee aristas libres. Esto se debe a que el grafo esconexo y si no existiera V2 entonces C1 serıa una componente conexa que estarıa separada del resto delgrafo. Si existen varios candidatos a V2, elegimos cualquiera. Ahora, del grafo original G borremos todaslas aristas de C1 y todos los vertices de C1 que hayan agotado sus aristas. El resultado es un subgrafo deG que contiene a V2, subgrafo al que llamaremos G2. Comenzamos ahora a crear un nuevo camino quecomienza en V2, empleando aristas de G2. Por los mismos argumentos, eventualmente regresaremos a V2,cerrando un circuito C2. Ahora adjuntaremos C2 a C1, formando un circuito mas grande. La manera dehacerlo es considerar el viaje en C1 que va desde V1 hasta V2, luego detenernos en nuestro trayecto, tomarahora la ruta trazada por C2 hasta regresar a V2, y luego proseguir nuestro camino en C1 hasta regresar aV1. Este nuevo circuito posee las aristas de los dos circuitos a partir de los cuales lo formamos; si ya tienea todas las aristas de G, hemos terminado. Si no fuera el caso, podemos repetir el procedimiento descritoanteriormente, formando cada vez circuitos mas grandes hasta que eventualmente se tenga el circuito deEuler.

Demostracion de la parte (c). Esencialmente, la idea aquı es adjuntar una arista extra que una los dosvertices de grado impar, formando un grafo “mas grande”.6 En este nuevo grafo todos los vertices tienengrado par, ası que existe un circuito euleriano. Removiendo la arista nuevamente, el circuito de Euler setransforma en un camino de Euler que no es circuito, para el grafo original. Confiamos en que el lectorpuede suplir los detalles que considere faltantes en las tres demostraciones.

El teorema anterior no aparece tan comunmente en soluciones de problemas olımpicos, sin embargo,nunca esta de mas acrecentar nuestra cultura general. Concluimos esta seccion discutiendo un conceptorelacionado. Cuando un camino es tal que pasa por cada vertice del grafo exactamente una vez, se lellama camino hamiltoniano,7 y en el caso de que se cierre sobre sı mismo, circuito hamiltoniano. Enla figura 7 vemos un grafo con un camino hamiltoniano resaltado. Los caminos y circuitos hamiltonianosno son en general unicos, al igual que los caminos y circuitos eulerianos, aun si hacemos caso omiso a laorientacion en la que se recorren las aristas y, en el caso de los circuitos, a la eleccion del punto inicial.

En cierto sentido, el vertice inicial de un circuito hamiltoniano serıa visitado dos veces, al ser tambienel vertice final, pero recordemos que en un circuito cualquier vertice puede ser considerado como punto

6Se le llama supergrafo, en contraposicion a subgrafo. Si G2 es subgrafo de G1, entonces G1 es supergrafo de G2.7Sir William Rowan Hamilton (4 de agosto de 1805 — 2 de septiembre de 1865) fue un matematico, fısico, y astronomo

irlandes, que hizo importantes contribuciones al desarrollo de la optica, la dinamica, y el algebra. Su descubrimiento de losnumeros cuaterniones, junto con el trabajo que realizo en dinamica son sus contribuciones mas conocidas. Este ultimo trabajofue despues decisivo en el desarrollo de la mecanica cuantica, donde un concepto fundamental llamado “operador hamiltoniano”lleva su nombre. Los circuitos hamiltonianos fueron bautizados en su honor debido a que construyo un juguete en el que sedebıa encontrar un circuito de este tipo en la superficie de un dodecaedro, al que se le llamo juego icosiano. El nombre deljuego esta relacionado con la estructura algebraica propuesta por Hamilton para estudiar el grupo de rotaciones del icosaedro,estructura que el propio Hamilton bautizo como Calculo Icosiano. El calculo icosiano fue un producto de su futil intento porencontrar un sistema algebraico semejante al de los numeros complejos, pero de dimension tres sobre los reales. A la larga, estolo llevo a descubrir los cuaterniones.

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Figura 7: Camino hamiltoniano en un grafo

de partida. La interpretacion mas correcta es la que se obtiene olvidando que el circuito poseıa un puntode inicio y considerando todos los vertices de manera indistinta.

Uno de los grafos mas interesantes que no poseen un circuito hamiltoniano es el grafo de Herschel,8

que podemos apreciar en la figura 8. No se conocen condiciones que sean simultaneamente necesariasy suficientes, y que simplifiquen el trabajo de determinar cuales grafos poseen un camino hamiltoniano,aunque algunas condiciones suficientes son conocidas. Por este motivo no presentamos un teorema elegantecomo el de Euler.

Figura 8: Grafo de Herschel

Ejercicios

5. S© Supongamos que existe un cierto numero entero positivo N de personas dentro de un mismocuarto. Cada persona tiene exactamente a cinco amigos dentro del cuarto (considere que la relacionde amistad es simetrica, esto es, que si Juan es amigo de Pedro, entonces Pedro es amigo de Juan.Ademas considere que nadie puede ser amigo de sı mismo). Muestre que no es posible que N seaigual a 23.

6. S© Determine para que valores de N es posible el enunciado del problema anterior. Para resolvereste problema se debe declarar el conjunto de valores invalidos y explicar el motivo de la invalidez,

8Alexander Stewart Herschel fue un profesor y astronomo ingles, realizo un trabajo pionero en espectroscopıa de me-teoritos. El grafo lleva su nombre por sus estudios relativos al juego icosiano de Hamilton. Vease el ejercicio 28 en la seccion deejercicios complementarios.

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declarar el conjunto de valores validos y proporcionar un grafo (para cada uno de esos valores), quemuestre que en efecto es valido.

7. S© Construya una descomposicion minimal en rondas para K6.

8. S© Asumiendo que el teorema de los torneos round-robin, caso par, ya ha sido demostrado, pruebe elcaso impar. Hagalo construyendo una descomposicion para cada valor impar que dependa de algunadescomposicion para un valor par.

Problemas

9. P© S© (Propuesto por Mongolia para la 32a Olimpiada Internacional) Se quiere disenar una compe-tencia entre 7 jugadores de tal manera que en cualquier coleccion de 3 competidores al menos 2compitan entre sı. ¿Cual es el mınimo numero de juegos con el que se puede lograr esta condicion?

10. P© S© (Olimpiada Iberoamericana, El Salvador 2002) Dado un conjunto de 9 puntos en el plano talesque no hay 3 que esten alineados, muestre que para cada punto P del conjunto se cumple que: elnumero de triangulos con vertices en los 8 puntos restantes, que tengan a P en su interior, es par.

3. La Caracterıstica de Euler y los Solidos Platonicos

3.1. Poliedros

Informalmente hablando, un poliedro es un solido geometrico en 3 dimensiones que tiene caras planas.Cada cara debe ser un polıgono, y cada lado de una cara debe ser compartido completamente con otracara. Se requiere ademas que el conjunto de caras que comparten un vertice se pueda ordenar cıclicamentede forma que cada par de caras consecutivas compartan un lado. Generalmente, cuando usamos la palabrapoliedro, nos referimos a la superficie (la superficie esta conformada por las caras, sus bordes y vertices)y no consideramos que el interior (si es que existe) sea parte de la figura. Esto dependera del contexto enel que nos encontremos trabajando. Decimos que un poliedro es convexo si la superficie no se intersectaconsigo misma (lo que implica que existe interior propiamente hablando), y si el segmento de recta queune cualquier par de puntos de la superficie esta contenido en la union del interior y la superficie. Enlas figuras 9 y 10 podemos apreciar algunos ejemplos de poliedros. Si sustituimos la palabra cubo porhexaedro, podemos usar los cinco nombres de poliedros listados en la figura 9 para bautizar a cualquierotro solido geometrico que posea el mismo numero de caras. Las ilustraciones muestran el representantede cada grupo de solidos que posea el mayor numero posible de simetrıas.

Tetraedro Cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro

Figura 9: Solidos Platonicos

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Decimos que un poliedro es regular si sus caras son polıgonos regulares,9 todas ellas congruentes10

entre sı, y si las caras se ensamblan de la misma manera en cada vertice (mismo numero de caras,empleando los mismos angulos). Existen 9 poliedros regulares, 5 de ellos son convexos y 4 no lo son. A losconvexos se les llama comunmente Solidos Platonicos (Ver figura 9), en tanto que los no convexos sonllamados Estrellas Regulares (Ver figura 10). Una condicion equivalente a la del ensamblaje identicoen cada vertice, es que el conjunto de los vertices del poliedro yazca en una misma esfera.

Pequeno Dodecaedro Estrellado Gran Dodecaedro Gran Dodecaedro Estrellado Gran Icosaedro

Figura 10: Estrellas Regulares

3.2. La Caracterıstica de Euler

Si calculamos el numero de caras (c), aristas (a), y vertices (v) de cada uno de los solidos platonicos,y realizamos la operacion c− a+ v, nos llevamos la grata sorpresa de que el resultado siempre es 2, comolo muestra el Cuadro 1.

Solido Platonico c a v c− a + v

Tetraedro 4 6 4 2Cubo 6 12 8 2

Octaedro 8 12 6 2Dodecaedro 12 30 20 2Icosaedro 20 30 12 2

Cuadro 1: Caras, aristas y vertices de los solidos platonicos

En este punto, podrıamos preguntarnos si el valor de dicha operacion es siempre 2 para cualquierpoliedro. La respuesta a la pregunta es, tristemente, no. De hecho, para dos de las estrellas regulares elvalor es distinto. Podrıamos atribuir este fracaso a la falta de convexidad, y en cierto sentido estarıamosen lo correcto, sin embargo, existen poliedros no convexos para los cuales el valor sı resulta ser 2 (porejemplo, las otras dos estrellas regulares). A pesar de estos contraejemplos, el resultado es verdadero parauna gran clase de poliedros y, aun entre los que no fuera ası, se presenta considerable regularidad alclasificarlos segun el valor de la operacion.

9Un polıgono es regular si es equilatero y equiangular. Equilatero significa que todos sus lados miden lo mismo. Equiangularindica que sus angulos (la forma en la que ensamblamos los lados) miden lo mismo. Se debe tener cuidado con esta definicion,pues una estrella de 5 picos dibujada apropiadamente puede ser considerada como un pentagono regular en el que los lados seintersectan en otros puntos, ademas de los extremos. Tal figura es llamada pentagono regular no convexo.

10Dos figuras geometricas son congruentes si una se puede convertir en la otra mediante una serie de rotaciones, reflexioneso traslaciones, es decir, si son la misma figura en posiciones (tal vez) diferentes.

11

Para abreviar, al resultado de c − a + v lo representaremos mediante el sımbolo χ (se pronuncia ji).Nuevamente, el gran matematico Leonhard Euler fue el primero en demostrar el hecho de que χ = 2 parapoliedros convexos. Aunque el no exigio ninguna restriccion en el poliedro, su prueba solo puede aplicarsesi se supone la convexidad. Su demostracion aparece en una carta dirigida a Goldbach,11 fechada en 1750.Es por este motivo que χ es conocido como la caracterıstica de Euler de un poliedro. Existen variasformas de precisar las condiciones necesarias para que la caracterıstica de Euler valga 2. La siguienteforma de enunciarlas, y la demostracion que veremos a continuacion, se la debemos al matematico vonStaudt,12 quien la publico en 1847.

Teorema 6 (Teorema de Euler sobre poliedros). Sea P un poliedro que satisface las siguientes condi-ciones:

El grafo formado por los vertices y aristas de P es conexo.Cualquier curva poligonal cerrada simple dibujada en la superficie de P separa la superficie en dospartes.

Entonces χ = 2 para P.

Aquı debemos aclarar que una curva poligonal cerrada simple es un trazo hecho de segmentos de rectacontiguos que termina en su punto inicial, y que no se intersecta consigo mismo. Los segmentos de rectano necesariamente son aristas del poliedro.

Demostracion. Por el ejercicio numero 2, el grafo de la primera condicion del enunciado posee un subgrafoT que es un arbol que incluye todos los vertices de P y algunas de sus aristas. Ahora formaremos lo quese conoce como grafo dual de T. Este dual es otro grafo D definido de la siguiente manera: Por cada caraA de P, le daremos a D un vertice A. Dos vertices A y B estaran enlazados por una arista de D, si ysolo si A y B son caras adyacentes que se tocan en una arista que no pertenece a T. Uno puede inclusodibujar a D sobre la superficie de P, eligiendo a A como un punto en el interior de la cara A, y dibujandolas aristas del grafo D de tal forma que se doblan sobre la superficie, como se muestra en la figura 11.

cara B

cara C

cara D

Arbol T

cara A

AB

C

D

Dual D

Figura 11: Construccion del grafo dual en un tetraedro.

11Christian Goldbach fue un matematico prusiano, nacido en Konigsberg, hijo de un pastor. Estudio leyes y matematicas.Viajo por toda Europa conociendo a muchos matematicos, entre ellos Euler, con los que mas tarde siguio en contacto porcorrespondencia. Hoy en dıa es conocido por la llamada Conjetura de Goldbach, que dice que todo numero par mayor que dos sepuede representar como la suma de dos numeros primos. Esta conjetura se encontro en una carta que envio Goldbach a Euleren 1742. Goldbach tambien estudio y demostro varios teoremas sobre potencias perfectas.

12Karl Georg Christian von Staudt fue un matematico aleman, nacido en Rothenburg. Asistio a la universidad deGottingen, donde fue alumno de Gauss, quien era el director del observatorio. Fue uno de los primeros en adoptar un estiloriguroso al tratar el tema de la geometrıa proyectiva, evitando la mencion de distancias, angulos o perpendiculares. Ademas desu notable trabajo respecto a conicas, polos y polares, tetradas armonicas y cuadricas, tambien hizo contribuciones en teorıa denumeros.

12

Si nos imaginamos que el poliedro P esta hecho de papel, podemos recortar a lo largo de las aristas delarbol T, y luego desdoblar la figura para aplanarla, logrando en el proceso que las aristas del grafo dualD puedan dibujarse como segmentos de recta. Se le llama desarrollo plano del poliedro a la figurageometrica que se obtiene al recortar algunas aristas del poliedro de forma que la superficie siga constandode una sola pieza, y que pueda ser desdoblado para aplanarlo (ver problema 37).

Prosiguiendo, si dos vertices de D no estuvieran conectados por un camino en D, eso se deberıa a quedichos vertices estarıan aislados uno del otro mediante un circuito en T (Esto requiere una prueba masrigurosa, si se quiere ser enteramente formal. Tal prueba recurrirıa al teorema de Jordan sobre las curvascerradas simples.). Puesto que T es un arbol, esto no puede suceder, de donde inferimos que D es un grafoconexo. Es mas, D es un arbol tambien, pues si tuviera un circuito, ese circuito dividirıa a P en dos partes(por la segunda condicion del teorema), y en cada una de las partes tiene que haber vertices de T quequedarıan separados por el circuito, violando la conexidad de T.

Por el ejercicio 3, tenemos que el numero de vertices menos el numero de aristas en cada uno de estosarboles vale 1, utilizando subındices que indiquen el arbol podemos escribir:

vT − aT = 1 vD − aD = 1

sumando ambas ecuaciones, y agrupando los terminos negativos obtenemos:

vT − (aT + aD) + vD = 2

Pero, por construccion:

vT representa la cantidad (v) de vertices en P, pues T los tiene todos.aT + aD es el numero (a) de aristas de P, pues las que no estan en T estan contadas en D.

vD es la cantidad (c) de caras, pues hay un vertice en D por cada cara en P.

Colocando v, a, c en los lugares correspondientes de la ecuacion anterior, completamos el argumento.

3.3. Los Solidos Platonicos

Los solidos platonicos han sido estudiados desde la antiguedad. Disenos ornamentados de ellos fueronfabricados por la gente neolıtica de Escocia, al menos mil anos antes de Platon. Existen dados con formade cubos y tetraedros que datan de epocas anteriores aun. Los antiguos griegos los estudiaron de maneraamplia; algunos historiadores atribuyen a Pitagoras13 la determinacion de los 5 poliedros regulares. Otrasevidencias sugieren que el descubridor del icosaedro fue Teeteto,14 un contemporaneo de Platon. Noimportando cual sea el caso, Teeteto elaboro una descripcion matematica de los 5 solidos y es el autor dela que probablemente es la primera demostracion conocida de que no existen mas.

Los solidos platonicos fueron bautizados de esa manera debido a que ocupan un lugar preponderante enla filosofıa de Platon, quien en su diagolo intitulado El Timeo los relaciona con los 4 elementos. La tierraestaba asociada con el cubo, el aire con el octaedro, el agua con el icosaedro, el fuego con el tetraedro,

13Pitagoras de Samos fue un matematico y filosofo griego jonico del siglo VI antes de Cristo, fundador del movimientoreligioso llamado pitagoreanismo, que sostenıa que todo en el universo puede ser explicado mediante numeros, y se rige conformea ellos; dicho de manera poetica: “Todo es numero”. Los pitagoricos, los que estudiaban en la escuela que Pitagoras fundo,atribuıan todos sus resultados a su maestro, por lo que es difıcil determinar quien es el autor de las demostraciones, incluso ladel famoso “teorema de Pitagoras”.

14Teeteto de Atena fue un matematico del perıodo clasico. Sus contribuciones principales se centran en los solidos regularesy las distancias irracionales. El y Platon fueron instruidos por Teodoro de Cirene, un matematico que exploro en gran detalle lateorıa de las cantidades inconmensurables. Teeteto continuo esos estudios con gran entusiasmo, y varios de sus resultados fueronincluidos en el libro X de Los Elementos.

13

en tanto que el dodecaedro estaba relacionado de alguna manera con el espacio y las estrellas.15 El calordel fuego se siente filoso y punzante, como si se tratara de pequenos tetraedros. Las rafagas de vientotambien pueden asociarse con puntas agudas, pero fluyen de manera mas ordenada, motivo por el cualse creıa que el aire estaba compuesto de octaedros microscopicos. Icosaedros muy pequenos y en grandescantidades fluyen como si se tratara de esferas minusculas, y por esto el agua se componıa de ellos. Encambio la tierra, que no fluye tan facilmente pero tampoco corta ni aguijonea al tacto, debıa estar hechade cubos, que podıan ordenarse compactamente en rocas o distribuirse de manera torpe, dejando espaciosintersticiales, para formar tierra suelta.

Euclides16 dio una descripcion matematica detallada de los solidos regulares en su libro “Los elemen-tos”; el tomo XIII (ultimo tomo de la obra) esta enteramente dedicado a sus propiedades. Presenta, entreotros resultados, las construcciones de los 5 solidos, la relacion entre la longitud de sus aristas y los diame-tros de las esferas que los circunscriben, y la demostracion de que no existen otros. Algunos sostienen quela obra entera tiene como proposito construir la estructura matematica necesaria para tratar finalmenteeste tema.

La Prueba

Olvidemos momentaneamente que sabemos cuantos poliedros regulares convexos existen, y cuales son.Nuestro objetivo ahora es el de probar que, en efecto, son los 5 mostrados en la figura 9. Supongamos queP es un poliedro regular convexo en el que cada cara tiene p lados (aristas de P), y supongamos ademasque en cada uno de los vertices de P se ensamblan q caras.

Utilizando la ecuacion de la caracterıstica de Euler podemos probar la formula:

1

p+

1

q=

1

2+

1

a

Esta formula tiene unicamente 5 soluciones no degeneradas en numeros enteros positivos (las solucionesson trıos de numeros (p, q, a) que se pueden sustituir en la ecuacion anterior, devolviendo una identidad.Ver problema 12). Cada una de esas soluciones corresponde a un solido platonico, lo cual prueba que noexisten mas de 5. A esto debemos agregar una prueba de existencia, que nos muestre que estas 5 opcionesson validas, cosa que se puede hacer, por ejemplo, construyendo las figuras.

Ejercicio

11. P© Verifique los datos del Cuadro 1 para el dodecaedro y el icosaedro, haciendo uso de la siguienteinformacion:

Un dodecaedro tiene 12 caras con forma de pentagonos. En cada vertice se ensamblan 3 caras.

Un icosaedro tiene 20 caras con forma de triangulo equilatero. En cada vertice se ensamblan 5caras.

Utilice la informacion para calcular el numero de vertices y el numero de aristas de ambos solidos.

15Posiblemente mediante aquella substancia hipotetica que despues fue bautizada eter.16Euclides de Alejandrıa fue un matematico griego, comunmente llamado “el padre de la Geometrıa”. Fue activo en la

ciudad de Alejandrıa durante el reinado de Ptolomeo I. Su coleccion de libros intitulada “Los Elementos” es probablemente eldocumento cientıfico mas influyente de todos los tiempos, sirviendo de libros de texto (particularmente para la ensenanza degeometrıa) hasta principios del siglo XX. A pesar de ser principalmente conocidos por su contenido geometrico, Los Elementostambien incluyen teorıa de numeros. En ellos, Euclides considera la relacion entre los numeros perfectos y los primos de Mersenne,la infinitud de los numeros primos, el lema de Euclides sobre factorizacion (que conduce al teorema fundamental de la aritmetica)y el algoritmo euclidiano para encontrar el maximo comun divisor de dos numeros. Tambien escribio tratados sobre perspectiva,geometrıa esferica, secciones conicas, teorıa de numeros y rigor matematico.

14

Problemas

12. S© Obtener la ultima formula mencionada, a partir de la ecuacion de la caracterıstica de Euler, yverificar que en efecto posee unicamente 5 soluciones que puedan ser interpretadas como poliedrosno degenerados (Por ejemplo p = 2 corresponde a un caso degenerado).

13. P© S© Hallar un poliedro para el cual la caracterıstica de Euler valga 0, y uno para el cual valga 4.

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ANEXO

A. Ejercicios Complementarios

Esta seccion incluye ejercicios y problemas que no fueron considerados en el Congreso de MatematicaEducativa, y que amplıan el material cubierto, a la vez que permiten practicar lo aprendido. El listadono esta ordenado de acuerdo a su dificultad.

Ejercicios

14. Diga cuales solidos platonicos tienen caminos eulerianos y cuales no.

15. Si en un torneo con n equipos, n ∈ N, cada equipo debe jugar 3 veces contra cada uno de suscontrincantes, ¿Cuantos partidos se jugaran en el torneo? ¿Y si debe jugar k ∈ N veces contra cadacontrincante?

16. Consideremos un torneo con n equipos, donde n ∈ N, n > 3. Si cada equipo debe jugar exactamente3 partidos en total, ¿Cuantos partidos se jugaran a lo largo de todo el torneo?

17. ¿Cual es el mınimo orden (numero de vertices) posible para un grafo conexo que no posea caminoshamiltonianos? Construir un ejemplo de tal grafo.

18. Decimos que un grafo es k-regular si todos sus vertices poseen grado igual a k, Donde k ∈ N. ¿Cuales el grado global de un grafo k-regular de orden n?

19. Cualquier segmento de recta que tenga por extremos dos vertices no consecutivos de un polıgonoregular es llamado diagonal del polıgono. ¿Cuantas diagonales posee un polıgono regular de n lados?

20. Asuma para este ejercicio que la relacion de amistad es simetrica, esto es, que si Juan es amigode Pedro entonces Pedro es amigo de Juan. Demuestre que en cualquier conjunto A de 6 personassiempre existe un subconjunto B de 3 personas, tal que todas las parejas de personas en B sonamigos entre sı, o bien existe un subconjunto B de 3 personas tal que ningun par de personas de Bguardan la relacion de amistad.17

21. Si n,m son enteros positivos, considere una cuadrıcula de n ×m formada de cuadritos de lado 1.Ese dibujo puede ser considerado como una representacion de un grafo en el que los vertices de lacuadrıcula son los vertices del grafo, y las aristas son los lados de los cuadritos. Demuestre que todografo cuadrıcula es bipartito.

22. Pruebe que todo arbol es bipartito.

23. Demuestre que un grafo es bipartito si no posee circuitos de longitud impar.

24. ¿Cuantas aristas posee Kn,m? ¿Cuantas rondas posee su descomposicion minimal?

25. Al grafo que consiste unicamente de un vertice y no posee aristas se le llama trivial. Un vertice degrado 1 en un grafo cualquiera es llamado vertice terminal. Demuestre que todo arbol no trivial

17El valor 6 es el mınimo necesario de elementos que debe haber en A para que podamos asegurar la existencia de B. La ramade la combinatoria que estudia este tipo de problemas se conoce como teorıa de Ramsey. Este ejercicio es el mınimo caso notrivial estudiado por la teorıa, y el valor 6 es conocido como numero de Ramsey del par (3, 3) en dos colores o, para abreviar,R2(3, 3).

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posee al menos un vertice terminal.

26. Demuestre que todo arbol no trivial posee al menos dos vertices terminales.

27. (Problema de Roger Penrose en el libro “La Mente Nueva del Emperador”) El siguiente grafo poseeexactamente 2 ciclos hamiltonianos. ¿Cuales son?

28. Muestre que el grafo de Herschel (figura 8) es bipartito y use este hecho para probar que no poseeun circuito hamiltoniano.

29. Considere los vertices de un polıgono regular de 8 lados. Para este ejercicio dibujaremos grafoscon aristas rectas exclusivamente, es decir, las aristas seran segmentos de recta que unen 2 delos 8 vertices mencionados anteriormente. A las distintas representaciones de grafos que podamosdibujar de esta manera les llamaremos “dibujos rectilıneos” (El termino es de uso exclusivo paraeste ejercicio). Dos dibujos rectilıneos son congruentes si uno se puede convertir en el otro medianterotaciones, reflexiones y/o traslaciones (el mismo dibujo en una posicion diferente). Liste al menos12 dibujos rectilıneos que representen grafos 3-regulares y tales que ningun par de dibujos rectilıneosen su listado sean congruentes entre sı. Explique por que la relacion de congruencia es diferente dela relacion de isomorfıa.

30. Construya dos grafos de orden 8, que sean 3-regulares y que no sean isomorfos. Demuestre que noson isomorfos.

31. Encuentre dos descomposiciones minimales en rondas para K6 que sean esencialmente distintas, estoes, que la primera no se pueda convertir en la segunda mediante un intercambio en el orden de susrondas.

32. Muestre que cada solido platonico, al ser considerado como un grafo, posee un ciclo hamiltoniano.

33. En la notacion empleada en la parte de los solidos platonicos, probar las siguientes formulas paraun poliedro regular:

v =4p

4− (p− 2)(q − 2), a =

2pq

4− (p− 2)(q − 2), c =

4q

4− (p− 2)(q − 2)

34. En la demostracion del teorema de Euler sobre poliedros, en la figura 11, mostramos una posibleeleccion del arbol T para un tetraedro. Existe solamente una forma diferente de construir el arbolde tal forma que no sea isomorfo al mostrado. ¿Cual es esa forma? Dibuje el desarrollo plano deltetraedro para cada uno de los dos posibles arboles.

Problemas

35. En una olimpiada de matematica participan n personas, donde n ∈ N, n ≥ 2. Vamos a suponer quesi A conoce a B entonces B conoce a A (A,B son competidores de la olimpiada). Curiosamente,

17

para cualquier pareja de desconocidos se cumple que ellos tienen exactamente 2 conocidos en comun.Supongamos que Rafael y Marcos se conocen entre sı pero no tienen conocidos en comun. Demostrarque el numero de conocidos de Rafael es igual al numero de conocidos de Marcos (entre las personasde la competencia).

36. Un vertice V en un grafo es llamado mediano de los vertices A,B,C, si V pertenece a alguncamino mas corto entre A y B, algun camino mas corto entre B y C, y algun camino mas cortoentre A y C. En tal caso, al vertice V tambien lo denotamos porM(A,B,C). Un grafo G es llamadografo mediano, si para cualquier trıo de vertices A,B,C de G existe un unico vertice medianoM(A,B,C). Demuestre que todo arbol es un grafo mediano. Demuestre tambien que todo grafocuadrıcula es un grafo mediano (ver ejercicio 21).

37. La imagen siguiente muestra un posible desarrollo plano de un cubo:

¿Cuantos desarrollos planos del cubo existen de manera que las figuras obtenidas no sean congruentesentre sı? Elabore un listado y pruebe que no hay mas formas.

38. Si sustituimos cada arista de un grafo completo por una flecha (eligiendo la direccion de cada flechade manera aleatoria) obtenemos un grafo dirigido completo. Demostrar que en todo grafo dirigidocompleto existe un camino hamiltoniano dirigido (es decir, un camino hamiltoniano cuyo recorridorespeta las direcciones en el grafo).

39. Un grafo es llamado planar si puede ser dibujado en un plano de manera que las aristas (que puedenser segmentos curvilıneos) solo se intersecten en los vertices del grafo. En otras palabras, un grafoplanar puede ser dibujado sin “intersecciones accidentales”. Demuestre que un grafo planar con nvertices no puede tener mas de 3n− 6 aristas.

Problemas Miscelaneos

Estos problemas pueden requerir herramientas fuera de la teorıa de grafos o, tal vez, fuera de la combi-natoria.

39. Existen n personas en un grupo de apoyo. Las personas se llaman ocasionalmente para mostrar sucompanerismo. Supongamos que en el ultimo mes cualquier pareja de miembros ha tenido una omenos conversaciones telefonicas. Ademas de esto, siempre que se elige un subconjunto de n − 2personas del grupo, el total de conversaciones telefonicas en el ultimo mes que involucren a al menosuna persona del subconjunto es 3m, donde m es un numero natural que no depende de la elecciondel subconjunto. Determinar los posibles valores de n.

40. La generalizacion del concepto de poliedro a espacios con mas de 3 dimensiones es el llamadopolitopo. Ası como en R2 tenemos los polıgonos regulares y en R3 los solidos platonicos, en Rn

hay politopos regulares para cada posible valor natural de n. En R4 existen 6 politopos regularesconvexos y 10 no convexos. Para n ≥ 5, esto es, para cinco o mas dimensiones, los politopos noconvexos dejan de existir, en tanto que hay tres convexos para cada valor de n. Estos tres politoposregulares corresponden a las generalizaciones respectivas del tetraedro, el cubo y el octaedro, que

18

son llamados n-tetraedro, n-cubo y n-octaedro, donde el valor de n ya ha sido fijado previamente.¿Como se podrıan definir tales generalizaciones? (Este no es tanto un problema matematico formalsino uno de intuicion e ingenio).

41. Un 0-cubo es un vertice aislado, un 1-cubo es un segmento de recta, 2-cubo es otro nombre para uncuadrado, y un 3-cubo es el cubo tradicional; de allı en adelante comienzan las generalizaciones. Ob-serve como con las aristas de un 3-cubo se dibujan tambien seis 2-cubos que lo limitan (llamemosles2-cubos limıtrofes), que son precisamente sus caras. Ası tambien, el 3-cubo tiene doce 1-cuboslimıtrofes (sus aristas). Si n, k ∈ N, n ≥ k ¿Cuantos k-cubos limıtrofes posee un n-cubo? Respondaen forma de una formula cerrada.18 Halle formulas semejantes para los n-tetraedros y n-octaedros,con las restricciones que considere convenientes.

18Cerrada significa no recursiva.

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B. Biografıa: Leonhard Euler

Fue un respetado matematico y fısico. Nacio el 15 de abril de 1707 en Basilea (Suiza) y murio el 18 deseptiembre de 1783 en San Petersburgo (Rusia). Se lo considera el principal matematico del siglo XVIIIy como uno de los mas grandes de todos los tiempos. Vivio en Rusia y Alemania la mayor parte de suvida y realizo importantes descubrimientos en areas tan diversas como el calculo o la teorıa de grafos.Tambien introdujo gran parte de la moderna terminologıa y notacion matematica, particularmente parael area del analisis matematico, como por ejemplo la nocion de funcion. Asimismo se le conoce por sustrabajos en los campos de la mecanica, optica y astronomıa. Una afirmacion atribuida a Pierre SimonLaplace expresa la influencia de Euler en los matematicos posteriores: ((Leed a Euler, el es el maestro detodos nosotros.))

Retrato de Leonhard Euler por Emanuel Handmann

Euler trabajo practicamente en todas las areas de las matematicas: geometrıa, calculo, trigonometrıa,algebra, teorıa de numeros, ademas de varias areas de la fısica. Fue uno de los matematicos mas prolıficosde la historia. Su actividad de publicacion fue incesante (un promedio de 800 paginas de artıculos al anoen su epoca de mayor produccion, entre 1727 y 1783), y una buena parte de su obra completa esta sinpublicar. Se le considera el ser humano con mayor numero de trabajos y artıculos en cualquier campodel saber, solo equiparable a Gauss. Si se imprimiesen todos sus trabajos, muchos de los cuales son deuna importancia fundamental, ocuparıan entre 60 y 80 volumenes. Ademas, no se ha estudiado mas deun 10 % de sus escritos. Por todo ello, el nombre de Euler esta asociado a un gran numero de cuestionesmatematicas.

En 1736, Euler resolvio el problema conocido como “problema de los puentes de Konigsberg”. Laciudad de Konigsberg, en Prusia Oriental (actualmente Kaliningrado, en Rusia), estaba localizada en elrıo Pregel, e incluıa dos grandes islas que estaban conectadas entre ellas y con las dos riberas del rıomediante siete puentes. El problema consistıa en decidir si era posible seguir un camino que cruzase todoslos puentes una sola vez y que finalizase llegando al punto de partida. No lo hay, y Euler logro probarlomatematicamente demostrando que no existıa un ciclo euleriano, debido a que el numero de puentes enmas de dos bloques era impar. A esta solucion se la considera la primera demostracion en la teorıa degrafos. Euler tambien introdujo el concepto conocido como caracterıstica de Euler del espacio, y unaformula que relaciona el numero de lados, vertices y caras de un polıgono convexo con esta constante. Elestudio y la generalizacion de esta formula, especialmente por Cauchy y L’Huillier, supuso el origen de latopologıa.

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C. Respuestas

C.1. Pistas

2. Para resolver este ejercicio se puede presentar un algoritmo que nos construya el arbol en cuestion.Comenzar en un vertice cualquiera (la raız del arbol) y agregar un vertice a la vez.

4. Pensar en la suma modulo n, o bien en “rectas paralelas”.

9. Encontrar un grafo que posea el candidato a mınimo, luego probar que cualquier grafo que cumplalas condiciones del problema tiene mas aristas, o la misma cantidad. Poner especial atencion en elvertice de grado mınimo.

10. Pensando en el segundo teorema de grafos, construir un grafo en el que cada vertice represente auno de los triangulos del enunciado, de forma que aquellos que tengan a P en su interior sean degrado impar en el grafo.

11. Un dodecaedro tiene 12 caras, cada una de sus caras tiene 5 vertices, ası que resulta natural multi-plicar: 12 × 5, pero en este calculo hemos contado 3 veces a cada vertice, pues pertenece a 3 carasdistintas. Corrigiendo el resultado obtenemos 12×5

3 = 20 vertices en el dodecaedro. Todos los demasdatos se pueden verificar haciendo razonamientos similares.

13. Para hallar un poliedro con χ = 0, pensar en una dona. Para χ = 4, buscar un poliedro tal que elgrafo de sus vertices y aristas tenga dos componentes conexas, esto es, un poliedro con dos superficiesseparadas (debe ser un solo poliedro).

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C.2. Soluciones

1. Este ejercicio es tan basico e importante que presentaremos 3 soluciones.

solucion 1: Si le damos algun orden a los vertices, desde el primero de ellos debemos trazar n− 1aristas hacia todos los demas. El segundo vertice ya tiene trazada una arista, ası que falta dibujarn− 2 mas. Desde el tercer vertice debemos agregar n− 3 aristas, y ası sucesivamente, hasta llegar alpenultimo vertice, desde el cual agregamos una ultima arista. El total es 1+2+3+. . .+(n−2)+(n−1)

que, por la formula de Gauss, es equivalente a n(n−1)2 .

solucion 2: Hay n vertices, y desde cada uno de ellos debemos trazar n − 1 aristas. Es naturalhacer el producto n(n − 1), sin embargo, en ese resultado hemos contado cada arista 2 veces (porejemplo, la arista AB fue contada como una de las aristas de A, y tambien como una de B), por loque debemos dividir ese total entre 2.

solucion 3: Hay una arista por cada subconjunto de 2 elementos elegidos del conjunto de n vertices

que tenemos. Dicho numero esta dado por el coeficiente binomial(n2

)= n(n−1)

2 (Esta en realidad esla misma solucion anterior, pero en forma mas tecnica).

2. Comenzaremos con T definido como un grafo vacıo, y le iremos agregando vertices y aristas deacuerdo al siguiente procedimiento:

Paso 1: Elija un vertice cualquiera de G y agreguelo a T, para que juegue el papel de la “raız delarbol”.

Paso 2: Elija un vertice de G que este a distancia 1 de alguno de los vertices anteriormenteagregados a T, y agreguelo junto con alguna arista a la que se le atribuya la distancia 1. Siya no existen vertices de G a esa distancia, entonces hemos terminado.

Paso 3: Regrese al paso 2.

Conforme vamos ejecutando el procedimiento, notemos que cada uno de los pasos conserva la pro-piedad de que T es un arbol (para cerrar un circuito deberıamos agregar dos aristas). Ademas, concada paso se agrega un vertice, ası que eventualmente agregaremos a todos los vertices de G.

3. Consideremos un arbol cualquiera con al menos dos vertices M,N . Puesto que el arbol es conexo,existe un camino que conecta a dichos vertices. Si agregamos una arista MN que no estaba, talarista junto con el camino anterior conforman un circuito, de donde podemos concluir la siguienteproposicion: si a un arbol le agregamos una arista extra, deja de ser un arbol.

Ahora para resolver el ejercicio, apliquemos el algoritmo de la solucion anterior a T. El procedimientonos devolvera un subarbol que posee todos los vertices de T y algunas de sus aristas. Sin embargo,no pueden faltar aristas, ya que al agregarlas para obtener a T, el grafo dejarıa de ser un arbol por laproposicion anterior. Esto indica que cuando aplicamos el algoritmo a un grafo que ya es un arbol,el algoritmo construye completamente al grafo.

Notemos ahora que en el procedimiento cada vertice es anadido junto con su arista respectiva,excepto el primer vertice (la raız del arbol); luego, la cantidad de vertices supera en 1 a la cantidadde aristas.

4. El mınimo numero de colores necesario para lograrlo es n. Primero notemos que con menos coloreses imposible, ya que debe haber al menos un color por cada computadora. Ahora mostraremos quecon n colores es posible. Para futura referencia, numeremos los colores del 1 al n. Presentamos dosformas de demostrar que n colores son suficientes, formas que son aparentemente distintas aunqueultimadamente se fundamentan en el mismo principio.

metodo 1: Numeremos tambien las computadoras del 1 al n, aunque esta numeracion es solamenteprovisional, y no representa el color que le correspondera a la computadora. El numero del color

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con el que pintaremos cada cable sera el resultado de la suma modulo n de los dos numeros de lascomputadoras que conecta.19

Consideremos las computadoras A,B,C con numeros respectivos a, b, c. los cables AB,AC estaranpintados con los colores a + b, a + c (mod n) respectivamente. Ambos cables estan conectados a lacomputadora A. Si sus colores fueran iguales, tendrıamos que a+ b ≡ a+ c (mod n), lo que implicab ≡ c (mod n) que no se puede dar mientras B,C sean computadoras distintas. Por este motivo, lacoloracion de los cables propuesta cumple con la tercera condicion del enunciado. Ahora notemosque hay n− 1 cables de colores distintos unidos a cada computadora. Entre esos n− 1 colores faltauno que sera el que usaremos para colorear a la computadora en cuestion, de forma que se cumpla lasegunda condicion del enunciado. El color que le correspondera a la computadora A sera a+ a ≡ 2a(mod n), ya que es el unico numero que no se puede obtener como suma modulo n del numero a conotro numero que no sea congruente con a. Como el numero 2 tiene inverso multiplicativo modulo nya que el modulo es impar, tenemos que a 6≡ b (mod n) implica 2a 6≡ 2b (mod n), lo que nos indicaque esta coloracion cumplira la primera condicion del enunciado.

metodo 2: Coloquemos las computadoras en los vertices de un n-agono regular e imaginemos que loscables son los segmentos de recta que unen los distintos pares de vertices. En la figura geometrica queobtenemos hay n familias de segmentos paralelos. Para cada familia hay exactamente un vertice queno es extremo de ningun segmento de la familia. Coloreemos ese vertice y la familia que le correspondedel mismo color, usando colores distintos para familias distintas. El resultado es equivalente al quese obtiene con el primer metodo.

5. Si hubiera 23 personas en el cuarto, y cada quien tuviera 5 amigos, por el teorema de los saludostendrıamos que el numero de aristas en todo el grafo de amistades G serıa g(G) = 23×5

2 que no esun entero, por lo que N 6= 23.

6. N ≤ 5 es invalido, pues no habrıa suficiente gente dentro del cuarto para que cada quien tuviera 5amigos. Para N > 5, todos los valores impares son invalidos por el mismo motivo que el expuestoen el ejercicio anterior. Los valores pares mayores que 5 son validos. Esto se puede visualizar demuchas formas, una de ellas es construyendo una representacion geometrica del grafo de la siguientemanera: colocamos los N vertices ordenados en un N -agono regular, y conectamos cada vertice conlos vertices vecinos en el N -agono, y tambien con los vecinos de sus vecinos (excepto el mismo), yfinalmente con el vertice opuesto en el polıgono. Este es un grafo en el que cada vertice tiene grado5, como se muestra en la figura para N = 8.

7. Una posible forma de hacerlo es:

Ronda 1 Ronda 2 Ronda 3 Ronda 4 Ronda 5

19Para el lector que no conozca lo que significa suma modulo n, lo invitamos a investigarlo. Puede consultar nuestras publi-caciones de anos anteriores, o bien internet, o cualquier libro de teorıa de numeros.

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8. Sea n un numero par tal que n ≥ 4 y supongamos que ya hemos construido una descomposicionminimal de Kn (la cual tendra n−1 rondas). Queremos construir a partir de ella una descomposicionpara Kn−1. Lo que debemos hacer es borrar un vertice cualquiera del grafo y de cada una de lasrondas, removiendo las aristas que lo conectaban con otros vertices. En cada ronda, el vertice quese conectaba con el que fue borrado sera el equipo que debe pasar esa ronda sin jugar un partido.Vemos que las rondas unidas completan a Kn−1 al tratarse de un subgrafo de Kn, y el numero derondas corresponde con el valor mınimo.

Nota: Este metodo puede ser usado a la inversa tambien, comenzando con una descomposicionminimal de Kn−1 y formando a partir de ella una para Kn, agregando un vertice que juega con elequipo que esperaba en cada ronda.

9. Observe que el grafo de 9 aristas siguiente satisface las condiciones. Vamos a probar que el mınimoes 9.

Supongamos que G es un grafo que satisface las condiciones del problema. Observe que si M esun vertice en G que no esta unido a ninguno de los vertices en la coleccion {V1, V2, V3, . . . , Vn},entonces por las condiciones del problema se tiene forzosamente que esa coleccion conforma un grafocompleto Kn. Tomemos a M como un vertice de grado mınimo. Si g(M) = 0 o si g(M) = 1 entonceslos vertices no conectados con M se configuran en un subgrafo tipo K6 o K5, y cada uno de ellostiene mas de 9 aristas. Si g(M) = 2, entonces M se conecta con otros dos vertices A,B, y los otros 4vertices que no se conectan con M conforman un K4 que aporta 6 aristas. A estas hay que agregarlelas dos aristas de M , con lo cual tenemos 8. Si elegimos un trıo conformado por A,B y alguno delos vertices de la configuracion K4, entre ellos debe haber al menos una arista para que se cumplael enunciado, y podemos anadirla a las 8 que tenıamos para totalizar 9. Finalmente si g(M) ≥ 3,entonces cada uno de los 7 vertices tiene 3 o mas aristas (ya que M tenıa grado mınimo), y porel teorema de los saludos tendrıamos una cantidad de aristas en G que supera el valor 3×7

2 , que esmayor que 9.

10. Considere los(83

)= 56 triangulos que pueden o no tener a P en su interior, como los vertices de un

grafo G de orden 56. Dibujaremos una arista entre dos vertices (esto es, estableceremos una ciertarelacion entre dos de los triangulos) de G si ambos tienen a P en su interior, y ademas compartenun lado. Vamos a probar que cada triangulo que tiene a P en su interior sera un vertice de grado 5en G.

Considere un triangulo 4ABC que tiene al punto P en su interior. Dibuje las rectas AP,BP,CP .De esas rectas, las semirrectas que comienzan en P y no pasan por los vertices del triangulo dividenal plano en 3 regiones, tal como lo muestra la ilustracion.

A

B CP

D

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Ya hemos colocado 4 de los 9 puntos en nuestra ilustracion. Si el punto D fuera colocado en la regionen la que se encuentra el vertice A, entonces el triangulo 4BCD se relacionara con 4ABC en Gmediante una arista, pues ambos tendran a P en su interior y comparten el lado BC. Una situacionanaloga se da si colocamos el punto D en cualquiera de las otras dos regiones. Ademas de A,B,C, P ,en el conjunto hay otros 5 puntos, por lo que el triangulo 4ABC tendra grado 5 en G (que es unvalor impar). Note que si un triangulo no tiene a P en su interior, entonces su grado es cero (que espar). Una aplicacion del segundo teorema de grafos devuelve el resultado deseado.

12. Mediante argumentos similares a los del ejercicio 11 podemos probar estas dos relaciones: v =2aq , c = 2a

p . Sustituyendolas en la ecuacion de Euler y dividiendo ambos miembros de la ecuacionentre 2a obtenemos la ecuacion requerida. Ahora, para probar que solo posee cinco soluciones nodegeneradas, observe que se necesita p, q ≥ 3. Si p, q son simultaneamente mayores o iguales a 4,entonces el miembro izquierdo de la ecuacion es menor o igual a 1

4 + 14 = 1

2 , y claramente no puedehaber soluciones. Si uno de ellos es mayor o igual a 6, entonces el miembro izquierdo es menor o iguala 1

6 + 13 = 1

2 y tampoco habra soluciones. Si p = q = 3, podemos completar la solucion con a = 6, quecorresponde al tetraedro. Si entre p, q uno de ellos vale 3 y el otro 4, entonces forzosamente a = 12 yestas dos posibilidades representan al cubo y el octaedro. Si uno vale 3 y el otro 5, entonces a = 30y tenemos al icosaedro y el dodecaedro. Y hemos revisado exhaustivamente todas las posibilidades.

13. Considerar el poliedro mostrado en la ilustracion. Removerle el prisma rectangular central, creandoun tunel que lo atraviesa desde la cara cuadrada superior hasta la cara cuadrada inferior, formandouna especie de dona. El nuevo poliedro posee 16 vertices, 32 aristas y 16 caras.

Tunel

Ahora bien, un poliedro en el que χ vale 4 se puede formar tomando un cubo cuya arista tiene 3unidades de longitud, dividiendolo (mentalmente) en 27 cubitos y removiendole el cubito unitariocentral. El poliedro resultante tiene 16 vertices, 24 aristas y 12 caras.

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Referencias

[1] Ore, Oystein. Graphs and their Uses (Grafos y sus Usos), Nueva York: Random House, 1963.

[2] Perez Seguı, Marıa Luisa. Combinatoria, Mexico: UNAM, Olimpiada Mexicana de Matematicas,Sociedad Matematica Mexicana, 2010.

[3] Diestel, Reinhard. Graph Theory, Nueva York: Springer-Verlag, 2000.

–Sitios en lınea–

[4] http://en.wikipedia.org/ (Wikipedia en ingles). Artıculos: “Graph theory”, “Leonhard Euler”,“Glossary of graph theory”, “Platonic solid”,“Euler’s characteristic”.

[5] http://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php (Anteriormente conocida comoMathlinks). Secciones: “Centroamerican”, “Iberoamerican”, “IMO”.

[6] http://foro.mate304.org/ (Foro oficial de Guatemala para olimpiadas internacionales). Seccion:“Combinatoria”.

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