GRAFOS

INTRODUCCIÓN

Explicaremos lo que son los grafos, sus tipos, y algunas derivaciones de ellos, así como su representación gráfica y en algunos casos, su representación en algún programa informático.

APLICACIONES DE LOS GRAFOS

• Determinar las rutas mas cortas entre ciudades

• Circuitos eléctricos

• Topología de red de computadores

• Arquitectura de redes de telefonía móvil

HISTORIA

• El primer artículo científico relativo a grafos fue escrito por el matemático suizo Leonhard Euler en 1736. Euler se basó en su artículo en el problema de los puentes de Königsberg. La ciudad de Kaliningrado, originalmente Königsberg, es famosa por sus siete puentes que unen ambas márgenes del río Pregel con dos de sus islas.

GRAFOS

• Para las matemáticas y las ciencias de la computación, un grafo es el principal objeto de estudio de la teoría de grafos. De esta forma, un grafo se representa gráficamente como un conjunto de puntos (llamados vértices o nodos), unidos por líneas (aristas). Los grafos permiten estudiar las interrelaciones entre unidades que se encuentran en interacción.

• Un grafo está compuesto por dos conjuntos finitos.

Un conjunto de |A| aristas,

Un conjunto de |V| vértices

J es la relación de incidencia, que asocia a cada elemento de |A| un par de elementos de |V|

Se denota G= { A, V, j}

Aristas: son las líneas que unen dos vértices

Aristas Adyacentes: dos aristas son adyacentes si convergen sobre el mismo vértice

Aristas Múltiples o Paralelas: dos aristas son múltiples o paralelas si tienen los mismos vértices en común o incidente sobre los mismos vértices

Vértices: Son los objetos representados por punto dentro del grafo

Arista Cíclica: es una arista cuyos extremos inciden sobre el mismo vértice

CLASIFICACIÓN DE LOS GRAFOS

• Grafos No Dirigidos

• Grafos Dirigidos

• Grafo Regular

• Grafo Bipartito

• Grafo Completo

• Grafo Nulo

• Grafo Isomorfo

• Grafo Platónico

• Grafo Euleriano

• Grafo Conexo

GRAFOS NO DIRIGIDOS

• son aquellos en los cuales los lados no están orientados (no son flechas). Cada lado se representa entre paréntesis, separando sus vértices por comas (va,vb)=(vb,va).

GRAFOS DIRIGIDOS

• Son aquellos en los cuales los lados están orientados (flechas). Cada lado se representa entre ángulos, separando sus vértices por comas y teniendo en cuenta <va ,vb>=<vb ,va>. En grafos dirigidos, para cada lado <a,b>, a, el cual es el vértice origen, se conoce como la cola del lado y b, el cual es el vértice destino, se conoce como cabeza del lado.

GRAFO REGULAR• Son aquellos vértices que no tienen una

dirección definida

GRAFO BIPARTITO• Sus vértices no están agrupados a un nodo,

por la cual no forman un recorrido

GRAFO NULO• Esto sucede cuando los vértices no están

unidos a un nodo (Vértices excluidos)

GRAFO ISOMORFO• Dos grafos son isomorfos cuando existe

una correspondencia de uno a otro vértice

GRAFO PLATONICO• Los vértices están formados, de tal forma

que dibuja las figuras geométricas

GRAFO EULERIANO• Es la forma de encontrar un camino mas

corto entre los diferentes nodos

GRAFO CONEXO• Cuando lo vértices de un punto a otro o

viceversa (de “a” – “b” ó “b” - ”a” )

REPRESENTACIONES

• Matrices

• Lista

• Matrices dispersa

CICLO DE UN GRAFO

• Ciclo.- es una cadena finita donde el nodo inicial de la cadena coincide con el nodo terminal de la misma.

• Ciclo Simple.- es el ciclo de una cadena simple

BUSQUEDA DE PROFUNDIDAD [BEP]

• Se recorre el grafo, siempre hacia adelante hasta que se llega al final o hasta una trayectoria que ya se ha recorrido; luego se devuelve y busca trayectorias no exploradas.

• El objetivo es generar un árbol de las trayectorias.

PSEUDOCODIGO

1. Inicializar todos los nodos al estado de preparado (ESTADO=1)

2. Meter el nodo inicial A en la pila y cambiar su estado a estado de espera (ESTADO=2).

3. Repetir los pasos 4 y 5 hasta que la pila este vacía.

4. Sacar el nodo N en la cima de la pila. Procesar el nodo N y cambiar su estado al de procesado (ESTADO=3).

5. Meter en la pila todos los vecinos de N que estén en estado de preparados (ESTADO=1) y cambiar su estado a estado de espera

6. (ESTADO=2).

7. [ fin de bucle del paso 3 ]

8. Salir.

BÚSQUEDA EN ANCHURA [BEA]

• A diferencia con la BEP ahora se visitan todos los vecinos de un vértice antes de pasar al siguiente. Por tanto no hay necesidad de retroceder

PSEUDOCODIGO

1. Inicializar todos los nodos al estado de preparados (ESTADO=1).

2. Poner el nodo de partida A en la COLA y cambiar su estado a espera (ESTADO=2).

3. Repetir pasos 4 y 5 hasta que COLA esté vacía.

4. Quitar el nodo del principio de la cola, N. Procesar N y cambiar su estado a procesado (ESTADO=3).

5. Añadir a COLA todos los vecinos de N que estén en estado de preparados (ESTADO=1) y cambiar su estado al de espera (ESTADO=2).

6. [ fin del bucle del paso 3 ]

7. Salir.

GRACIAS