grafos 2
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GRAFOS: ALGORITMOS FUNDAMENTALES
ESTRUCTURAS DE DATOSwww.espol.edu.ec
www.fiec.espol.edu.ec
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MATRIZ DE CAMINOS Es una matriz cuadrada P,
Que representa si hay o no camino Entre dos vértices Vi y Vj
hay lo no si 0,
caminohay Vy V entre si ,1 jiPij
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CIERRE TRANSITIVO Es el grafo resultante de la matriz de caminos Si un grafo es fuertemente conexo
Su cierre transitivo es un grafo completo
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UN POSIBLE ALGORITMO Entre Vi y Vj puede haber camino
Directo, cuando A[i][j] == 1, camino de long. 1 O pasando por otros vértices
Si solo analizamos pasar por un Vk extra Cuando A[i][k] == 1 && A[k][j] == 1, Long. 2 Si Vk puede ser V1 o V2 o … Vn, realmente
(A[i][1] && A[1][j]) || (A[i][2] && A[2][j]) || (A[i][n] && A[3][n])
Que representa A * A, A2
Nos indica solo si hay un camino de long. 2 entre Vi y Vj
La matriz de caminos indicara si hay camino ya sea De long. 1 o de long. 2 o de long. 3 o de long. N, es decir:
B = A + A2 + A3 + A4 +…. An
0 Bij si 0,
0 Bij si ,1Pij
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WARSHALL: MAS EFICIENTE El anterior algoritmo
Es poco eficiente, peor Cuando el grafo tiene muchos vértices
Warshall propuso otro algoritmo Mas eficiente Calcular una secuencia de matrices cuadradas
De 0s(no hay camino) y 1s(hay camino) P0, P1, P2, P3… PN
La diferencia entre Pk y Pk-1 Se basa añadir un vértice Vk-1 al análisis Para saber y a través de Vk-1 hay camino entre V1 y Vj
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COMO FUNCIONA Existe una matriz inicial P0
Indica si hay o no camino DIRECTO de Vi a Vj La matriz que le sigue P1
Indicaría si hay o no camino DIRECTO (Esto ya lo sabe P0) O pasando por V0 (añade este vértice al análisis)
P2 Indicaría si hay camino DIRECTO o pasando por V0 (Esto ya lo sabe P1) O pasando por V1
P3 Indicaría si hay camino DIRECTO o pasando por V0, o V1 (Lo sabe P2) O pasando por V2
Pk Indicaría lo que ya sabe Pk-1 O pasando por Vk-1
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EL ALGORITMO ENTONCES Debemos encontrar Pn
Sabiendo que Pk[i][j] es 1 si Pk-1[i][j] es 1 o Pk-1[i][k] && Pk-1[k][j]
En otras palabras:
no si 0,
[k][j])P [i][k]P( [i][j]P si ,1 1-k1-k1-kPij
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WARSHALL IMPLEMENTADOMatrizAdy Warshall(Grafo G){
int i, j, k;
MatrizAdy P;
CopiarMatrices(P, G.A);
for(k = 0; k < G.nvertices; k++){
for(i = 0; i < G.nvertices; i++){
for(j = 0; j < G.nvertices; i++){
P[i][j]= P[i][j] || (P[i][k] && P[k][j]);
}
}
}return P;
}
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CAMINOS MAS CORTOS Frecuentemente, se desea conocer en una red
Cual es el camino mas corto Entre un par de vértices
En este caso Si importa cuantos caminos existen Si ya conozco un camino, pero encuentro uno mejor, sustituir
Se aplica el algoritmo de Dijkstra Es un algoritmo ávido, ya que Resuelve el problema en sucesivos pasos En cada paso
Selecciona la solución mas optima
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DIJKSTRA Dado un V0, Dijkstra busca un conjunto D con
Las menores distancias de V0 al resto de vértices Al inicio, solo conocemos
Las distancias de los adyacentes D es inicializada a
Factor de peso para los adyacentes, Infinito para los no adyacentes
D va ser mejorado sucesivamente Escogiendo el vértice Vk no elegido antes
Que tenga la distancia mas corta V0, Vk
Probamos si pasando por Vk Se puede obtener distancias mas cortas de las que tenemos Para cada Vértice restante del grafo
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EJEMPLO DE DIJKSTRA
V2 V5
V1
V3 V4
V6
38
5
34
7
3
2
Escogidos
Vértice Evaluado
D[0] D[1] D[2] D[3] D[4]D[5]
V1 V2 V3 V4 V5 V6
De V1 AL RESTO
V1 0 3 4 ∞ 8 ∞V1
1. D[] se inicializa con F.P. de adyacentes al origen
2. Escoger vértice Vk que no haya sido escogido, con la menor distancia del Vevaluado a Vk
V2
3. Revisar si alguna distancia puede ser mejorada pasando por Vk
Pasando por V2, Distancia de V1 a V5 seria 8, no hay
mejora
0 3 4 ∞ 8 ∞V1,V2
Repetir hasta k se hayan visitado todos los vértices
V3 0 3 4 ∞ 7 ∞V1,V2,V3
V5 0 3 4 14 7 10V1,V2,V3,V5
V6 0 3 4 12 7 10V1,V2,V3,V5,V6
Pasando por V3, Distancia de V1 a
V5 seria 7, CAMBIAR
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DIKSTRA1. Se crea una lista de VDiks con todos los vértices del grafo,
y cada VDiks creado también se encola2. Se saca de la cola el menor VDiks por distancia(vmenor)3. Por cada VDiks v de la lista, se revisa
Si su vértice es adyacente al vértice de vmenor y si pasando por vmenorse puede conseguir una mejor distancia Si es así, se modifica v con los nuevos datos
4. Se repite todo desde el paso 2 hasta que no haya nada mas en la cola
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CAMINOS MAS CORTOS ENTRE TODOS LOS PARES DE VERTICES Es una generalización de lo anterior Si se puede obtener la menor distancia
De un V0 al resto También se puede obtener
La menor distancia de todos los vértices Al resto
Se podría aplicar Dijkstra A cada vértice Y obtener n vectores D, o , una matriz F
Pero se puede aplicar otro algoritmo
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FLOYD Este algoritmo se basa en Warshall
Se calculaba una secuencia de matrices Pk Cada Pk evaluaba dos opciones
Que Pk-1 indicara camino entre Vi y Vj o Que Pk-1 indicara camino entre Vi y Vj
Pasando por Vk
Floyd tambien calcula Fk, pero Cada Fk escogera la menor distancia entre
Distancia entre Vi y Vj, indicado por Fk-1 o Distancia entre Vi y Vj pasando por Vk, indicado por Fk-1
[k][j])) F[i][k] [i][j] ,(FMin(FFij k-k-k- 111
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ARBOL DE EXPANSION DE COSTE MINIMO Dado un grafo G
No dirigido Valorado, con pesos no negativos
El árbol de expansión mínima Es un grafo parcial conexo a partir de G Tal que la suma de sus aristas sea mínima
Ejemplo de aplicación Redes de comunicaciones, de costo mínimo
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ALGORITMO DE PRIM Dado el grafo, se debe seleccionar
Un vértice de inicio v Dicho vértice v se añade a un conjunto W Escoger el vértice u que no pertenezca a W
Adyacente a cualquiera de los vértices de W Y que tenga un costo mínimo
Añadir el vértice u al conjunto W Repetir proceso hasta que V == W
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EJEMPLO
1 2 3
4 5 6
7
1
46
3
45
2
6
8
7
34
Desde 1
W = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 6
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PRIM1. Se crea un grafo nuevo con los
mismos vértices del grafo original2. vorigen se marca como visitado3. Los arcos de vorigen, cuyos vértices destino no han sido
visitados, se encolan por peso4. Se desencola el menor en peso de los arcos
no visitados(amenor) y su vértice destino se marca como visitado5. En el nuevo grafo,
se lanza el arco correspondiente a amenor(de ida y vuelta) 6. Se repite todo desde el punto 3 pero para
un vorigen igual al vértice del arco sacado(amenor)hasta que el numero de vértices marcados como visitadossea igual al numero de vértices del grafo
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ALGORITMO DE KRUSKAL Kruskal se basa en el concepto de
Componentes conexas Sabemos que en el árbol de expansión
Deben aparecer todos los vértices de G Lo que no sabemos aun
Es que arcos escoger para unirlos Lo que a Kruskal le interesara elegir
Son los arcos, no los vértices, como en Prim
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COMO FUNCIONA Primero añadir todos los vértices al árbol A
Estos forman n componentes conexas Luego elegir el arco de costo mínimo
Que no haya sido elegido anteriormente y que No una dos vértices de una misma componente
Este proceso se repite hasta que Se hayan unido todos los vértices Es decir, n-1 veces
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EJEMPLO
1 2 3
4 5 6
7
1
4 6
3
45
2
68
734
Desde 1 1 2 3
4 5 6
7