GRADOS DE LIBERTADEn dinmica estructural, el nmero de coordenadas independientes necesario para especificar la configuracin o posicin de un sistema en cualquier instante de tiempo se conoce como el nmero de grados de libertad. Toda estructura continua tiene un nmero infinito de grados de libertad. Sin embargo, el proceso de seleccin o idealizacin de un modelo matemtico apropiado permite reducir los grados de libertad a un nmero discreto y en algunos casos a uno solo.La figura muestra algunos ejemplos de estructuras que pueden ser representadas como sistemas con un grado de libertad para el anlisis dinmico; esto es, estructuras modeladas como sistemas con una sola coordenada de desplazamiento.

Estos sistemas con un grado de libertad pueden ser representados convenientemente por el modelo matemtico que aparece en la fig que tiene los siguientes elementos:1 un elemento masa m; que representa la masa o propiedad de inercia de la estructura2 un elementos resorte k que representa las fuerzas internas del sistema y la capacidad de la estructura de almacenar energa potencial3 un elemento amortiguacin c ; que representa las caractersticas friccionales y las prdidas de energa de la estructura4 la fuerza de excitacin F(t) se escribe en esta forma para indicar que es una funcin del tiempo Al adoptar el modelo matemtico que aparece en la figura 1-2 se asume que cada elemento del sistema representa una sola propiedad, es decir la masa m representa solo la propiedad de inercia y no la de elasticidad o de disipacin de energa, mientras que el resorte k representa solo a la elasticidad y no a la inercia o la disipacin de energa.

Finalmente el elemento de amortiguacin c solamente disipa energa. El lector debe tener en cuenta que tales elementos puros no existen en nuestro mundo fsico y que los modelos matemticos son solamente idealizacin conceptual de estructuras reales.Los modelos matemticos pueden proporcionar un conocimiento exacto y completo del comportamiento del modelo mismo, pero solo pueden dar informacin limitada o aproximada acerca del comportamiento del sistema fsico real. No obstante, desde el punto de vista prctico, la informacin que se adquiere en el anlisis del modelo matemtico puede bastar para una adecuada compresin del comportamiento dinmico del sistema fsico, incluyendo las especificaciones de diseo y seguridad.SISTEMAS SIN AMORTIGUACIONEmpezaremos nuestro estudio de dinmica de estructuras con el anlisis de un sistema simple y fundamental, el sistema con un grado de libertad en el cual ignoramos o despreciamos las fuerzas de amortiguacin. Adems, vamos a considerar a este sistema como si estuviera libre de la accin de fuerzas exteriores durante su movimiento vibratorio. En estas condiciones, el sistema en movimiento estara gobernado solo por la influencia de las llamadas condiciones iniciales, o sea el desplazamiento y la velocidad especificados, en el instante t=0, cuando se inicia el estudio del sistema. Este sistema con un grado de libertad se conoce como oscilador simple sin amortiguacin.Habitualmente se representa como se muestra en la figura 1-3 a) o en la 1-3b) o en cualquier otra forma similar. Estas dos ilustraciones representan modelos matemticos que son dinmicamente equivalentes. Es cuestin de preferencia personal adoptar uno u otro. En estos modelos la masa m est restringida por el resorte k a moverse linealmente a lo largo de un eje de coordenadas.

La caracterstica mecnica de un resorte est dada por la relacin entre la magnitud de la fuerza F aplicada a un extremo libre y el desplazamiento y que resulta en ese extremo. Esto se muestra en la fig. 1-4, representa el comportamiento de un resorte duro en el cual la fuerza requerida para producir una determinada deformacin aumenta a medida que el resorte se deforma. El segundo resorte b) se conoce como resorte lineal porque su deformacin es directamente proporcional a la fuerza, y su representacin grfica es una lnea recta. La constante de proporcionalidad entre la fuerza y el desplazamiento (pendiente de la lnea b) de un resorte lineal se llama, constante del resorte, y habitualmente se designa con la letra k. en consecuencia, podemos establecer la siguiente relacin entre la fuerza y el desplazamiento de un resorte lineal:Ft=ky

Un resorte con las caractersticas representadas por la curva c) de la figura 1-4 se conoce con el nombre de resorte blando. En este resorte la fuerza adicional necesaria para producir una nueva deformacin disminuye a medida que la deformacin del resorte aumenta. Indudablemente, el lector sabe, por experiencia adquirida previamente en modelos matemticos de sistemas fsicos, que el resorte lineal es el ms fcil de analizar. Por lo tanto, no es sorprendente que la mayor parte de la literatura tcnica sobre dinmica de las estructuras emplee modelos con resortes lineales. Dicho de otro modo, ya sea porque las caractersticas elsticas del sistema estructural son esencialmente lineales, o simplemente debido a la conveniencia de simplificar el anlisis, generalmente se supone que las propiedades de fuerza y deformaciones del sistema son lineales. A favor de esta prctica se debe hacer notar que, en muchos casos, los desplazamientos que se producen en la estructura por la accin de excitaciones de fuerzas exteriores son pequeos (zona E de la figura 1.4) acercando al aproximacin lineal al comportamiento real de la estructura.RESORTES EN PARALELO Y EN SERIEA veces es necesario determinar la constante del resorte equivalente de un sistema en el que dos o ms resortes estn dispuestos en paralelo, como aparecen en la figura 1-5 a) o en serie, como en la figura 1-5 b).

En el caso de dos resortes en paralelo, la fuerza total que se requiere para producir un desplazamiento relativo de una unidad de sus extremos es igual a la suma de las constantes de los resortes. Por definicin esta fuerza total es la constante de resorte equivalente, y est dada por:Ke=k1+k2En general, para el caso de n resortes en paralelo la constante del resorte equivalente es

Cuando dos resortes estn unidos en serie, como en la figura 1-5 b) la fuerza P produce en sus extremos los siguientes desplazamientos relativos.

Por lo tanto, el desplazamiento total y del extremo libre de los dos resortes en serie es y=y1+y2, o sustituyendo y1 e y2.

En consecuencia, la fuerza necesaria para producir un desplazamiento unitario (constante del resorte equivalente) viene dada por la formula.

Si de esta ltima relacin despejamos Y y la aplicamos a la ecuacin 1.4 podemos convenientemente expresar la relacin entre los valores recprocos de las constantes de los resortes, como:

En general, para n resortes en serie, la constante del resorte equivalente se puede obtener de:

LEY DEL MOVIMIENTO DE NEWTONEstudiaremos el oscilador simple mostrado en la figura 1-3 el objetivo es describir su movimiento, es decir, predecir el desplazamiento o la velocidad de la masa m en cualquier instante de tiempo t a partir de las condiciones iniciales dadas en el instante t=0. La relacin analtica entre el desplazamiento Y y el tiempo est dada por la segunda ley de movimiento de newton, que en notacin moderna puede ser expresada como:F=m*a 1.7)Donde F es la resultante de las fuerzas que actan sobre una partcula de masa m y a es la aceleracin resultante.La ecuacin 1.7) es una relacin vectorial y como tal, puede ser escrita en forma equivalente en funcin de sus componentes en las coordenadas x,y,z o sea,

La aceleracin se define como la deriva segunda con respecto al tiempo del vector posicin, por lo tanto las ecuaciones 1.8 son ecuaciones diferenciales. El lector debe recordar tambin que las ecuaciones establecidas por newton son directamente aplicables solo a cuerpos idealizados como partculas, o sea a cuerpos que tienen masa pero no volumen. Sin embargo, como se demuestra en mecnica elemental, la ley del movimiento de Newton es aplicable directamente a cuerpos de dimensiones finitas que tienen movimiento de traslacin.Para el movimiento plano de un cuerpo rgido y simtrico con respecto al plano de movimiento (plano x-y) la ley del movimiento de newton da las siguientes ecuaciones:

En estas ecuaciones (aG)x y (aG)y son las componentes de la aceleracin, a lo largo de los ejes X y y, del centro de masas G del cuerpo ; es la aceleracin angular IG es el momento de inercia de la masa del cuerpo con respecto a un eje perpendicular al plano x-y y que pasa por G, el centro de masas. Las ecuaciones 1.9 son por cierto aplicables a un cuerpo rgido en rotacin con respecto a un eje fijo. Para este tipo particular de movimiento plano, alternativamente, la ecuacin 1.9c puede ser reemplazada por:

DIAGRAMA DE CUERPO LIBREEn la resolucin de los problemas dinmicos es recomendable seguir un mtodo que conduzca a un anlisis orgnico y sistemtico. La primera y posiblemente, la ms importante practica a seguir en cualquier anlisis dinmico, es dibujar un diagrama de cuerpo libre del sistema, antes de hacer la descripcin matemtica del mismo.El diagrama de cuerpo libre DCL. Como el lector recordara es un bosquejo del cuerpo aislado por otros cuerpos, en el que se muestran todas las fuerzas externas que actan. Por ejemplo en la figura 1-6b se establece el diagrama de cuerpo libre de la masa m de un oscilador desplazado en direccin positiva con referencia a la coordenada y, y que obra bajo la fuerza del resorte Ft=ky (suponiendo un resorte lineal) el peso del cuerpo mg y la reaccin normal N de la superficie soportante tambin se muestran, aunque estas fuerzas, que actan en direccin vertical, no entran en la ecuacin del movimiento escrita en el sentido de y. la aplicacin de la ley de Newton a este movimiento nos da la ecuacin.

En la cual la fuerza del resorte que acta en la direccin negativa, tiene signo menos, y en la que la aceleracin ha sido indicada por . En esta notacin, los dos puntos sobre la letra Y, indican la derivada segunda con respecto al tiempo y evidentemente un solo punto indicara la derivada primera con respecto al tiempo, o sea la velocidad.

EL PRINCIPIO DE DALEMBERTOtra forma de obtener la ecuacin 1.10 es haciendo uso del principio de DAlembert, que establece que un sistema puede ser puesto en estado de equilibrio dinmico agregando a las fuerzas externas una fuerza ficticia, comnmente conocida como fuerza de inercia.