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GUÍA DE ENSEÑANZA- APRENDIZAJE No 2

Área: MATEMÁTICAS Asignatura:

MATEMATICA

Docente: Lisseth Díaz

Periodo: 2°

Nombre del estudiante: Grado: 8° Fecha delimitación:

TEMÁTICA GENERAL

Expresiones algebraicas – triángulos y propiedades – Gráficos de barras compuestas- Probabilidad

ESTÁNDAR

Construir expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada

Aplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triángulos, en la resolución y formulación

de problemas.

Reconocer las diferentes maneras de presentar la información puede dar origen a distintas

interpretaciones.

Reconocer tendencias que se presentan en conjuntos de variables relacionadas.

DBA

Propone, compara y usa procedimientos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba

conjeturas en diversas situaciones o contextos.

Identifica relaciones de congruencia y semejanza entre las formas geométricas que configuran el diseño

de un objeto

Interpreta información presentada en tablas de frecuencia y gráficos cuyos datos están agrupados en

intervalos.

Hace predicciones sobre la posibilidad de ocurrencia de un evento compuesto e interpreta la predicción

a partir del uso de propiedades básicas de la probabilidad.

COMPETENCIAS

Utilizar adecuadamente las operaciones con expresiones algebraicas, y sus propiedades básicas para

resolver situaciones problema en distintos contextos.

Comprende el concepto de congruencia de figuras en el plano, y aplica los criterios de congruencia de

triángulos para determinar si dos figuras son congruentes.

Organiza información en tablas de frecuencia de datos agrupados y hace lecturas a partir de gráficos

compuestos

Calcula la probabilidad de ocurrencia de un evento

CONTENIDOS

Teoría de los números - Geometría

- Expresiones algebraicas - Triángulos

- Polinomios- Reducción de términos en un polinomio - Propiedades de los triángulos

- Adición de polinomios - Construcción de triángulos

- Sustracción de polinomios - Congruencia de triángulos

- Multiplicación de polinomios - Criterio de congruencia de triángulos

- Productos notables - Teorema de Pitágoras

- División de un polinomio entre un monomio - Área de triángulos

- División de polinomios - Estadística

- División sintética - Gráfico circula- agrupación de datos

- Teorema del residuo - Distribución de frecuencias por intervalo-

Histogramas – Grafico de barras compuesto

- Cocientes notables - Probabilidad

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

La conservación de la guía hasta final de periodo

Actividades grupales e individuales

Comportamiento en clase

Compromiso, cumplimiento y entrega de las actividades

1

2

Expresiones algebraicas

1. Término algebraico: Un término algebraico es el producto de una o más variables y una

constante literal o numérica. Ejemplos: 3x2y, 45m En todo término algebraico podemos distinguir:

Signo, coeficiente numérico y factor literal.

2. Grado de un término:

- Grado absoluto: Se denomina grado absoluto de un término algebraico a la suma de los

exponentes de su factor literal por ejemplo: 3 es 5.

- Grado relativo: Mientras que su grado relativo con respecto a x es 2

Ejercicios: Para cada uno de los siguientes términos algebraicos, determina su signo, coeficiente

numérico, factor literal y grado:

Expresiones algebraicas: Es la combinación de variables y números mediante las operaciones de

adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación

Términos semejantes de una expresión algebraica:

Valorar una expresión algebraica

Valorar una expresión algebraica significa asignar un valor numérico a cada variable de los términos

y resolver las operaciones indicadas en la expresión para determinar su valor final. Ejemplo:

Valoremos la expresión: 5x2y – 8xy2 – 9y3, considerando x = 2; y = –1

1. Reemplazar cada variable por el valor asignado.

2. Calcular las potencias indicadas

3. Efectuar las multiplicaciones y divisiones

4. Realizar las adiciones y sustracciones

Veamos el ejemplo propuesto:

5 y – 8x – 9

3

Ejercicios: Calcula el valor numérico de las expresiones algebraicas siguientes, considerando.

Reducción de Términos semejantes:

Se denominan términos semejantes de

una expresión algebraica todos aquellos

términos que tienen igual factor literal.

Ejemplos:

En la expresión 5 b + 3abx + 6 – 7

b, 5 b es semejante con – 7 b

En la expresión – 8x +

,

es semejante con

Reducir términos semejantes consiste en

sumar los coeficientes numéricos,

conservando el factor literal que les es

común.

1 Reduce

a. 8x – 6x + 3x – 5x + 4 – x =

b. 4,5a – 7b – 1,4 b + 0,6a + 5,3b + b =

c.

– 2mn +

-

mn + 2mn – 2 =

d.

+ 31 +

-

-

-

+

Uso de paréntesis:

En álgebra los paréntesis se usan para agrupar términos y separar operaciones. Para eliminar

paréntesis debes fijarte en el signo que tengan:

Si es positivo, se elimina manteniendo todos los signos que están dentro de él.

Si es negativo, se elimina cambiando todos los signos que están dentro de él.

4

Ejemplos:

1) 2a x a 1 a x 3 2a x a 1 a x 3 2a 2x 2

2) 3x – (6x + 1) + (x –3 )= 3x – 6x – 1 + x – 3 = –2x – 4

Observación: Si en una expresión algebraica existen paréntesis dentro de otros, se empiezan a

eliminar desde el más interior.

- * ⌊ ( )⌋+ =

- * ⌈ ⌉+ =

- * + =

+ = 2 + 4mn + 3

2. Desarrolla en tu cuaderno

a. -4 – (x – y ) – 5 +( x+ 3y) – 2 -* ⌊ ( )⌋+ =

b. - * ,( )-+ + * ,( )-+ - ,* ( )+-=

Polinomios

Es una expresión algebraica formada por sumas o restas entre monomios. Los monomios que

conforman un polinomio se les llama términos de polinomios.

- Grado de un polinomio: El grado de un polinomio está determinado por el mayor grado de

alguno de sus términos cuyo coeficiente es distinto de cero.

- Clasificación según la cantidad de términos.

Según el número de términos que posea una

expresión algebraica se denomina:

Monomio: Un término algebraico: ; - 35z

Binomio: Dos términos algebraicos: x + y; 3 – 5b

Trinomio: Tres términos algebraicos a + 5b -19

Polinomio: Más de dos términos algebraicos: 2x – 4y +

6z – 8x2 5.

Ejercicios: Determina el grado y clasifica según el número de términos, las siguientes expresiones

algebraicas:

Adición y sustracción de polinomio

La suma o la resta de dos o más polinomios puede realizarse sumando o

restando sus términos semejantes. Estas operaciones pueden hacerse en

vertical y en horizontal o en fila.

A

En la figura el área de la zona A es 8xy + 𝑥 - 6𝑦 y la del

rectángulo B es 𝑥 - 𝑦 + 6 xy

¡Cual es la expresión que representa el área total del jardín?

5

2.1 Elimina los paréntesis y halla las sumas de los siguientes polinomios

a. (2ab + 3 ) + (-11ab - 3 )=_________________________________________________________________

b. (3ab + 6b) + (2a + 5b) =________________________________________________________________

c. (2m + 5 ) + (6m - 3 )=______________________________________________________________

d. (10x + 4 ) + (12x + 4 )=____________________________________________________________

2.2 Halla las diferencias

a. (3x + 4y) – (2x + y)=_____________________________________________________________________

b. (10 + 3 )- (7 + 8 )=____________________________________________________________________

c. (8a + 9ab)- (6a + 3ab)=_________________________________________________________________

d. (6mn + 4 )- (8mn -2 )___________________________________________________________________

2.3 Organiza los polinomios en columna luego encuentra cada suma

a. (6x – 5 ) + (2x + + ) b. (5a+ 8 b + ) + (2a+ 4 b + 6 )

c. (4y + 2 + ) + (- 2y + + 6 ) d. (7m - 5 -15 ) + ((2 - 2 +9 )

6

1.1 Agrupa términos semejantes y obtén cada suma

a. (6a + 5b + 3ab) + (4a + 8b -2ab)=

b. (2x – 3xy + 4 ) + (8x + 3xy - 2 )

c. (4m + 6 + ) + (6m - 3 + 5 )=

d. (5m + 3 + 9 ) + (9m - 4 + 2 )=

1.2 Halla la suma de los siguientes polinomios

a. (4 yz + 3xy + 8 ) + (6xy - 2 + 6 yz)

b. (-3 + 5 ab + 3 ) + (6 + 2ab)

c. (2 + 4 b + ) + (2 + 3a - 2 b - 7 )

d. ( - +4 ) + (6 + 2m + 6 - 10 )

e. (

a +

b - ) + (

a +

b)

f. (

m +

+

)+ (

-

n+ )

g. (

x +

– 5y + z) + (

x +

– 8z)

h. ( y +

+ 5y) + (-x +

y -

+ 5y)

1.3 Realiza las siguientes restas

a. (6 – 3x + 8) – (8 + 7x + 5)

b. (-4 – 6 mn - 2) – (-3 + 5mn - 8)

c. (9y – 7x + 9w) – (3w – 4x + 2z)

d. (12xyz - 4 yw) – (13xyz - 14 yw)

e. (5 - 9 ) - (4 - 5 )

f. (-6x + 8 ) – (

-

)

g. (6m + 2n -3) – (-5m -2n -4)

1.4 Dados los polinomios P(x) = –7x4 + 6x2 + 6x + 5, Q (x) = –2x2 + 2 + 3x5 y R(x) = x3 –x5 + 3x2, calcula:

a) P(x) + Q(x) d) P(x) – Q(x) – R(x)

b) P(x) – Q(x) e) R(x) + P(x) – Q(x)

c) P(x) + Q(x) + R(x) f) P(x) – R(x) + Q(x)

7

10 𝑥 𝑦 𝑧

5 𝑥 𝑦 𝑧

Multiplicación de polinomios

2.1 (x + 5)(x - 5)

2.2 (2x + 5)(2x - 5)

2.3 (5xy - 6)(5xy + 6)

2.4 (12 + 9ab)(12 – 9ab)

2.5 (3xyv - 4ab)(3xyv + 4ab)

2.6 (3ab2c - 4ad2)(3ab2c + 4ad2)

2.7 (11axt2v2 + w4)(11axt2v2 - w4)

2.8 (5.32 + 4)(5.32 - 4)

2.9 [(a+4) - b][(a+4) + b]

2.10 [(x - y) + z][(x - y) - z]

2.11 (2c + d + e)(2c + d - e)

2.12 (a + b + 5)(a + b - 5)

2.13 (a – b + 5)(a + b + 5)

2.14 (a2 - b2 - ab)(a2 + b2 + ab)

2.15 (10 + 2a + 3b)(10 – 2a - 3b)

2.16 (3 – x + y)(3 + x + y)

2.17 (a + b + 7)(a – b + 7)

2. 18 (-a –b + 7)(a + b + 7)

2.19 (10x2a + 9bc)(9bc - 10x2a)

En la figura las dimensiones del rectángulo se representan

por monomios

5𝑥 𝑦 𝑧

8

2.1 Halla el producto en cada caso.

a) (-2x2)(

)

b) (-3m2)(4m3+1)

c) (-5a3)(2 a2-7+3)

d) (-4x)(-w4+3x2w3-xw2+2w-3)

e) (2x+3)(x2-1)

f) (-4x2-7)(-x+5)

g) (2x-y)(3x+y)

h) (x+3)(x-3)

i) √ x2(-5x+2√ x2+√ x3)

j) .

/ (

)

k) (−8 ) .

/ (

)

l) .

/ .

/

m) ( )( )( )

2.2 Realizo la multiplicación y escribo el grado

del polinomio producto, en cada caso.

a) ( )( )

b) ( )( )

c) ( )( )

d) .

/ (

)

e) ( )( )

f) (√ )(√

)

g) ( )( )

h) ( )( )

i) ( )( )

j) .

/ ( 6 )

2.3 Halla, en cada caso, el resultado.

a) (2x-3)(4 ) ( )( )

b. (2 a+3b)( ) ( )( )

b) (3t-1)(t-1)(t+1)

c) ( )( )( )

2.4 Si en el ejercicio 3 se dan los siguientes

valores: a=-2, b=3, t=2, x=-1, halla en cada

caso el valor del polinomio producto.

2.5 Represento el rectángulo que tiene las

dimensiones indicadas y halla su área.

a) Largo: 3x+4, ancho: 2x+5

b) Largo: 4x+3, ancho 3x+1

c) Largo: 2x+5, ancho: 3x+2

d) Largo: x+6, ancho: 3x+1

2.6 Hallo una expresión algebraica para

indicar el área de la región de color blanco en

cada figura.

9

PRODUCTOS NOTABLES

- Cuadrado de un binomio

El cuadrado de un binomio es equivalente al cuadrado del primer término, más (o menos, según la

operación entre los términos) el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado

del segundo término.

- Producto de la suma por la diferencia de dos términos

El producto de la suma por la diferencia de dos términos es equivalente a la diferencia entre el

cuadrado del primer término y el cuadrado del segundo término

- Producto de la forma (x +a ) ( x+ b)

El producto de la forma (x + a) (x + b) es equivalente al cuadrado del termino común, más el

producto de dicho término por la suma de los no comunes, más el producto de los términos no

comunes.

Ejemplo:

(7m + 1) = (7m) + 2 (7m) (1) + (1)

=49𝑚 + 14 m + 1

(3x – 5y ) = (3x) - 2 (3x) (5y) + (5y)

= 9𝑥 – 30xy + 25𝑦

Ejemplo:

(7m + 3n) (7m – 3n) = (7m) – (3𝑛) =49 𝑚 - 9𝑛

Ejemplo:

( y + 8) (Y – 3) = (y) + y (8 – 3) + (8) (-3)

= 𝑦 + 5y - 24

10

- Cubo de un binomio

El cubo de un binomio es equivalente al cubo del primer término, mas (o menos, según la

operación) el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo, más el triple producto

del primer término, mas (o menos) el cubo del segundo termino

a. Cuadrado de una suma

243

222

2

2

83.4

.3

32.2

117.1

ba

byxa

yx

x

b.- Cuadrado de la diferencia

225

223

2

2

3.4

53.3

14.2

32.1

ayx

ba

ax

ba

c.- Producto de la suma por la diferencia

axax

aa

axax

yxyx

3131.4

2112.3

.2

.1

2222

d.- Producto del cubo de un binomio

11

129.4

65.3

63.2

95.1

22

33

22

xyxy

abab

nn

aa

e- CUBO DE UN BINOMIO (SUMA Y DIFERENCIA)

3

3

3

3.3

1.2

2.1

m

x

a

3.1 Observa el siguiente polinomio: 3x4+2x3+x2-2x4+2x-3x2+2 Si lo simplificamos, ¿qué expresión

algebraica obtenemos?

a) –x4+2x3+2x2+2x+2 b) 5x4+2x3-2x2-2x+2

c) -5x4+2x3+2x2-2x+2 c) x4+2x3-2x2+2x+2

3.2 ¿En cuál de las siguientes operaciones se expresa el cociente de 3

2

x

x

?

a) x b) x

1 c) x-5 d)

5

1

x

3.3 ¿Cuál es el resultado de la siguiente operación? (2x3+6x2-5x)(4x)

a) 8x2+24x-20 b) 6x4+10x3-x2 c) 8x4+24x3-20x2 d) 2x7+6x6-5x5

3.4 Lee el siguiente problema: Si al doble de un número le aumentamos 6 unidades, obtenemos 42

unidades. ¿Cuál es ese número? ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas expresa el

problema anterior?

a) 2x-6=42 b) 2x+6=42 c) 2x+42=6 d)2x-42=6

3.5 Observa la siguiente figura. ¿En cuál opción se expresa su área?

3.6 En un rectángulo el largo es 3 unidades mayor que su ancho. Si su área es igual a 30, ¿cuál es la

ecuación que permite calcular los lados del rectángulo?

a) x2+3x-30=0 b) x2+3x+30=0 c) x2-3x-30=0 d) x2-3x+30=0

3.7 El área de un rectángulo es de 4x2+6x. Si el ancho mide 2x, ¿cuál de las siguientes expresiones

representa la medida de su largo?

a) 8x3+12x2 b) 4x2+8x c) 2x2+3x d) 2x+3

12

3.8 Al identificar, agrupar y simplificar los términos semejantes que aparecen en el siguiente

recuadro, ¿cuál es la expresión resultante?

3.9 Juan tiene “x” cantidad de canicas y Abraham tiene 4 canicas menos que Juan. El cuadrado

del número de canicas de Juan más el cuadrado de número de canicas de Abraham es 328. ¿Cuál

de las siguientes ecuaciones modela la situación anterior?

a) x2+(x-4)2=328 b) x2-(x-4)2=328 c) x2+(x+4)2=328 d) x2(x-4)2=328

3.10 Observa la siguiente figura. Si queremos encontrar el valor de

x en la figura, ¿cuál de las siguientes ecuaciones debemos de

resolver?

a)4x2+12x-10=0

b) 4x2+12x+5=0

c) 4x2+12x+10=0

d) 4x2+12x=0

3.11 Observa la siguiente figura construida a partir de rectángulos y

cuadrados. ¿Cuál es la representación del área del cuadrado ABCD?

a) (x+5)2 c) (x+5)(x-5)

b) b) x2+5x+25 d) x2+52

3.12 El largo de una cancha de futbol es 45 metros más grande que su ancho. Si el área es de 4050

m2, ¿cuál es la ecuación que permite calcular los lados del rectángulo?

a) X2-45x-4050=0 b) x2 +45x+4050=0 c) x2 -45+4050=0 d) x2+45x-4050=0

3.13 Observe la siguiente figura. Si queremos calcular

numéricamente el área total del triángulo rectángulo, ¿cuál de las

siguientes ecuaciones debemos de resolver?

a) 8x2+8x+2=0 c) 4x2+4x+1=0

b) 8x2+4x+2=0 d) 4x2+4x+2=0

3.14 Juan tiene un terreno cuadrado de lados a y planea construir una

casa utilizando el terreno de lados b, como se muestra en la siguiente

figura. ¿Cuál es la expresión algebraica que denota el área del terreno

sobrante?

a) a2-b2

b) a2-2ab2-b2

c) a2+2ab2+b2

13

d) a2+b2

3.15 Ricardo compró un terreno rectangular de 64 u2. Él quiere

saber el largo y el ancho del mismo. Ayúdale a descubrirlo

indicando cuál es la ecuación que tiene que resolver para

encontrar los datos.

a) x2+4x-64=0 c) 2x+4=64

b) x2-4x-64=0 d)

6

3.16 Observa el rectángulo de la siguiente figura. Si el valor del área

es 6x2-7x-5, ¿cuánto vale la altura?

a) 26 u c) 7.5 u

b)

d) -7.5 u

3.17 La diferencia 5502-4502, ¿a cuál de las siguientes expresiones aritméticas es equivalente?

a) (550-450)2 b) (550+450)(550-450) c) 550-2(550)(450)+450 d) (550-450)(550-450)

3. 18 A Pedro su amigo le vendió un terreno como el que se muestra a

continuación. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones le dará el valor de las

dimensiones del terreno al resolverla?

a) x2+20x+8000=0

b) x2-60x-8000=0

c) x2+60x+88000=0

d) x2+60x-7200=0

3.19 Observa la siguiente figura. Si el área sombreada está dada por la

expresión x2-16, ¿cuál de las siguientes opciones presenta la factorización

correcta de esta expresión?

a) (x+4)(x-4) c) (4-x)(4+x)

b) (x-4)(x-4) d) (4+x)(4+x)

3.20 Doña Sofía compró un pequeño terreno cuadrado, el cual utilizó para sembrar algunas semillas

como se muestra en la siguiente figura. ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas representa el

área que ocupa todo el terreno de Doña Sofía?

a) x2+30

b) x2 -225

c) x2+30x+225

d) x2-30x+225

3.21 Observa la siguiente expresión algebraica escrita en una hoja

de papel. ¿Qué expresión ha sido cubierta por la mancha?

a) x+3 c) x+5

b) x-3 d) x-5

14

División de un polinomio entre un monomio

Es una operación que tiene por objeto, dado

el producto de dos factores (dividendo) y uno

de los factores (divisor), hallar el otro factor.

Para efectuar divisiones es importante

recordar:

1. Ley se signos. -

2. Ley de exponentes.

3. Ley de coeficientes.

a) División de monomios.

Para dividir monomios, se dividen los coeficientes entre si y se

simplifica la parte literal, para ello, se aplica la propiedad de

potenciación del cociente de potencias de igual base.

b) División de polinomio entre monomio.

Se divide cada uno de los términos del polinomio entre

el monomio separando los cocientes parciales con sus

propios signos.

c) División de polinomio entre polinomio.

Para dividir un polinomio por otro polinomio, se procede de la siguiente manera.

1. Se ordenan los términos de

ambos polinomios según las

potencias descendientes de

una de las letras comunes a los

dos polinomios (en el caso de

que el dividendo sea un

polinomio incompleto, se dejan

los espacios del término que

falta).

2. Se divide el primer término

del polinomio dividiendo por el

primer término del polinomio

divisor, con lo que se obtiene el

primer término del cociente.

3. Se multiplica el primer término del cociente por el divisor y se resta del dividendo. Si el grado de

esta diferencia es menor que el grado del divisor, esta diferencia es el resto de la división.

4. Se repite el proceso anterior hasta obtener un resto igual a cero o de grado menor que el divisor.

5.1 Desarrolla en tu cuaderno

15

a.

= b.

= c.

= d.

= e.

= f.

=

g.

= h.

= i.

j.

= k.

l.

5.2 Realiza las siguientes divisiones de polinomios entre monomios.

a.

a

aba 2

b.

a

baaba

2

653 3223

c.

a

abbaa

3

963 223

d.

m

mnnmm

2

2086 223

e.

2

34

7

1428

x

xx

f.

2

23

10

10520

x

xxx

g.

5

510 yx

h.

2

23

4

16328

y

yyy

i. 1

2

6

810

x

xx

j.

2

23

5

1015

x

xx

5. 3 Divide los siguientes polinomios

a. Dividir x2 + 2x – 3 entre x + 3

b. Dividir x2 – 20 + x entre x + 5

c. Dividir m2 – 11m + 30 entre m – 6

d. Dividir 3x2 + 2x – 8 entre x + 2

16

División sintética

Es un procedimiento abreviado

que se aplica en la division de

polinomios cuando el divisor es de

la forma

( x + a).

Los pasos para obtener el cociente

( + 3x + 8 ) ÷ ( x + 2 )

Teorema del residuo

El residuo de dividir un polinomio entre un divisor de la forma x + a es equivalente al valor

que se obtiene reemplazando el valor x = -a en el polinomio

Ejemplo

En la operación

(2 + 3x + 4) ÷ (x +2)

Se reemplaza x por -2, así:

2 (-2) + 3 (-2) + 4

= 8 - 6 +4

= 6 es el resultado de la división

Determina si cada división es exacta o no.

a. (3 - 3m + 2) ÷ (m + 1)

b. (4 – 6b + 8) ÷ (b – 2)

c. (3 + 2 + 4a – 5) ÷ (a -3)

d. (4 + 5 + 6) ÷ (a + 3)

e. (5 – 2 + 8) ÷ (b + 2)

f. (3 – 8 + 5 + 4) ÷ (n + 4)

e. ( – 1 ) ÷ (x - 1)

g. ( +a +14) ÷ (a + 2)

17

Cocientes notables

Los cocientes Notables son ciertos cocientes

que obedecen a reglas fijas y que pueden ser

escritas por simple Inspección. Los más

importantes son:

1. Cociente de la Diferencia de los

Cuadrados de dos cantidades entre la

suma de las cantidades

Al realizar la Respectiva División de

Polinomios, encontramos que el Cociente

de dicha División es:

es

Ejemplo 1. Dividir entre

Solución

2. Cociente de la Diferencia de los

Cuadrados de dos cantidades entre la

Diferencia de las cantidades

Al realizar la Respectiva División de Polinomios,

encontramos que el Cociente de dicha

División es a + b

3. Cociente de la Suma de los cubos de dos

cantidades, entre La suma de las cantidades

Ejemplo 2. Dividir entre

Solución

Al realizar la Respectiva División de Polinomios,

encontramos que el Cociente de dicha

División es

Ejemplo 3 Dividir entre

Solución

4. Cociente de la Diferencia de los cubos de

dos cantidades, entre la Diferencia de las

cantidades

Ejemplo 4. Dividir entre 1- 4a

Solución

ba

ba

22

baba

ba

22

229 yx

yxyx

yx

3

3

9 22

yx 3

ba

ba

22

baba

ba

22

2

2

4

11

1x

x

x

41 x 21 x

2233

bababa

ba

338 yx yx 2

22

2233

24

)(2)2(2

8

yxyx

yyxxyx

yx

ba

ba

33

2233

bababa

ba

3641 a

23

164141

641aa

a

a

ba

ba

33

18

1 2. 3. 4.

5. 6. 7.

8. 9. 10.

11. 12. 13.

14. 15. 16.

17. 18. 19.

20

a

a

1

1 3

a

a

1

1 3

yx

yx

33

12

18 3

a

a

yx

yx

32

278 33

nm

nm

532

12527 33

74

34364 3

a

a

y

y

56

125216 3

ab

ba

1

1 33

b

b

89

512729 3

bax

bxa

333

mxn

xmn

333

yx

yx

3

272

3

6

33

99

2

8

ya

ya

4

12

1

1

x

x

5

15

75

343125

x

x

1

12

6

n

n

13

1272

6

x

x3

93

4

64

ba

ba

22

66

ba

ba

19

GEOMETRIA

Triángulos

El triángulo es el conjunto formado por tres

segmentos que unen, respectivamente, tres

puntos no colineales. Estos dividen el plano

en tres subconjuntos: el interior del triángulo,

el exterior del triángulo y el mismo triangulo.

1.1 Clasifica los siguientes triángulos según la medida de sus lados

1.2 Clasifica los triángulos de acuerdo con la medida de sus ángulos

1.3 Identifica los elementos pedidos en cada uno de los triángulos

1.4 Relaciona cada triangulo con su clasificación

20

1.5 Julián diseño una cometa

como la de la ilustración

a. ¿Cuántos triángulos se

distinguen en el diseño ¿Cuáles

Son?

b. Qué clase de triángulo es el

que determina los puntos A, B, y

D?

c. Julián afirma que en su cometa los puntos A, B y c

determina los vértices de un triángulo ¿Es cierta esta

afirmación? Explica.

Propiedades de los triángulos

“En todo triángulo la suma de las medidas

de dos de sus lados es siempre mayor que la

medida del tercero” Por lo tanto, dicho

triangulo existe.

1 Encuentra el valor de la incógnita en cada triángulo

2. Escribe verdadero (v) o falso (F), según corresponda en cada caso.

a. En el triángulo formado por los segmentos a = 3 cm, b= 4 cm y c = 5 cm, el ángulo con mayor

apertura es el opuesto al lado b

b. Es posible construir un triángulo cuyos lados midan 8cm, 3 cm y 7 cm.

c. En un triángulo, los ángulos interiores pueden medir 45°, 32° y 50°

d. Los ángulos exteriores de un triángulo cuyos ángulos internos miden 60°, 50° y 70°, son 120°, 130° y

110° respectivamente.

e. Es posible construir un triángulo cuyos lados miden 5 cm, 11 cm y 6 cm.

21

3. Selecciona un trío de segmentos con los cuales sea posible formar un triángulo en cada caso

3. Lee la información y luego, resuelve. 4. Encuentra los elementos desconocidos en

cada triangulo.

Pablo desea comprar enchapes de forma triangular para su cocina. Para esto, en el almacén le

han mostrado un catálogo con los siguientes modelos

a. Si en la primera tableta, uno de los

ángulos congruentes mide 73° ¿Cuánto

miden los otros dos?

b. Pablo se ha percatado de que el

catalogo tiene un error ¿de qué se trata?

Explica

c. Explica a qué se debe que el ángulo de

mayor amplitud en la tableta roja sea el

A

22

Construcción de triángulos

Con regla y compas puede construirse diferentes triángulos conociendo algunos de

sus elementos

1. Cuando se conocen sus tres lados: Teniendo esta opción se pueden construir

triángulos equiláteros, isósceles y escalenos. Así para construir un triángulo escaleno

de medidas d = 3, e= 2 cm y f = 4 cm se realizan las siguientes instrucciones.

2. cuando se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos

3. Cuando se conoce un lado y los ángulos adyacentes

23

Para esta actividad procura utilizar hojas milimetradas, regla compás y / o transportador)

Construye los siguientes triángulos, usando los materiales necesarios: (Regla, Compás y/o

Transportador)

ABC, donde a = 3 cm, = 60º, b = 3 cm

ABC, donde a = 5 cm, b = 5 cm, c = 5 cm

ABC, donde = 60º, c = 7 cm, = 60º

ABC, donde c = 3 cm, b = 90º, a = 3 cm

ABC, donde c = 4 cm, b = 5 cm, c = 4 cm

ABC, donde = 25º, c = 3 cm, = 25º

ABC, donde a = 3 cm, = 45º, b = 4 cm

ABC, donde a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm

ABC, donde = 20º, c = 4 cm, = 110º

Líneas notables en el triángulo

Altura: Es el segmento perpendicular desde uno de los vértices hasta el lado opuesto.

Bisectriz de un ángulo: Es una semirrecta que tiene el mismo origen del ángulo (Vértice) y que divide

a este en 2 ángulos congruentes. Los bisectrices se interceptan en un punto llamado Incentro.

24

1. Traza en cada uno de los siguientes triángulos, las alturas, medianas y bisectrices, señala el

ortocentro, el baricentro y el incentro.

2. Traza el triángulo y las líneas notables que se indican en cada caso

a. b. c.

Encuentra los puntos solicitados en los triángulos dados.

Un triángulo equilátero, y

respecto a un mismo lado,

la mediana, la altura y la

mediatriz.

Un triángulo rectángulo y la

mediatriz de la hipotenusa

Un triángulo obtusángulo y

las alturas respecto a los

lados opuestos de los

ángulos agudos.

25

La siguiente es la estructura de cierta ala Delta, la cual está diseñada con base en dos triángulos y

varios tubos transversales más livianos, dispuestos de forma que determinan líneas notables en

dichos triángulos.

a. ¿Cuál es la línea notable determinada por el tubo rojo?

b. ¿Cuál es la línea notable que representa el tubo azul?

c. Si se ponen tubos determinando las alturas de los triángulos ABD Y CBD, ¿Todos estarán dentro de

la estructura? Explica

Congruencia de triángulo

5.1 Al trazar una diagonal en cierto tipo de cuadriláteros, se generan dos triángulos congruentes

Algunas estructuras de torres de comunicación están compuestas por figuras triangulares

26

5.2 Traza cualquier diagonal a cada uno de

los siguientes cuadriláteros, e identifica e

identifica en cuales se generan dos triángulos

congruentes.

5.3 ¿Para qué tipo de cuadriláteros se cumple

esta propiedad? Explica

5.4 En los movimientos realizados sobre la

figura se cometieron algunos errores. Usa el

compás y el transportador para verificar

cuales de los triángulos son congruentes con el

original.

5.5 Traslada el triángulo ABC, 5 unidades hacia

la derecha. Luego, reflejo sobre la recta I.

5.6 Dados los siguientes triángulos, determina

cuáles son congruentes.

a. Solo I y II

b. Solo I y III

c. Solo II y III

d. I, II y III

e. Ninguno

5.7 Un alumno para

demostrar en el cuadrado

de la figura que ∆ ABC ∆

BCD, determino que AB

BD, que AC DC y que el

CAB BDC, por ser

rectos. ¿Qué criterio de

congruencia utilizó?

a. LLL

b. LAL

c. ALA

d. AAL

e. LLA

5.8 ¿Qué parejas de triángulos son

congruentes?

a. Solo II

b. Solo I y II

c. Solo I y III

d. Solo II y III

e. I, II y III

27

Justifica

5.9 En los triángulos siguientes se verifica que

AB DE, que BC EF y que el CAB FDE.

¿Qué criterio permite demostrar que estos

triángulos son congruentes?

a. LLL

b. LAL

c. ALA

d. LLA

e. Falta información.

5.10 Los triángulos de la figura, son

congruentes según el criterio.

a. LAL

b. LLA

c. ALA

d. LLL

e. AAA

5. 11 En la figura, el ∆ ABC ∆ DEF, entonces

se verifica

a. AB DE

b. AB FE

c. AC FE

d. AC DF

e. AF FD

5. 12 Para demostrar que los triángulos AOB Y

COD de la figura, son congruentes, es

necesario saber que:

a. BAO DCO

b. AB // CD

c. AO DO y AB CD

d. AB DC

e. BO CO y AO DO

5.13 Marca la alternativa de la proposición

verdadera.

a. Dos triángulos rectángulos son congruentes

si sus ángulos agudos respectivos son

congruentes.

b. Dos triángulos son congruentes si sus lados

homólogos miden lo mismo.

c. Dos triángulos son congruentes si sus ángulos

respectivos son iguales.

d. Para demostrar que dos triángulos son

congruentes se puede utilizar el criterio AAL

e. Todos los triángulos equiláteros son iguales.

5.14 Los triángulos ABC y DEF de la figura son

congruentes, entonces la medida de EF es:

a.9

b.15

c.17

d.40

e. Falta información

5.15 En la figura, ABCD es rectángulo y el

DEA CFB. ¿Qué criterio permite

demostrar que el ∆EAD FBC?

a. LLL

b. LLA

c. ALA

d. LLA

e. Falta información

5.16 En el triángulo ABC informa isósceles,

y . Se puede probar que ∆ ADC

∆ BEC por el criterio.

a. LLL

b. LAL

c. ALA

d. LLA

e. B o C

28

ESTADISTICA

REPRESENTACION GRAFICA DE LA INFORMACIÓN

Diagrama circular: Presenta las categorías de la variable

en un círculo. Por lo general muestra los porcentajes de

cada categoría. Para determinar la parte del círculo o el

ángulo que corresponde a cada categoría se multiplica

la frecuencia relativa por 36

Teniendo en cuenta las tablas de frecuencias elaboradas en clase presenta de forma gráfica

(Diagrama Circular y de barras) la información organizada en la tabla de frecuencias.

DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS CON INTERVALOS

En algunas situaciones los datos recogidos presentan frecuencias muy pequeñas entonces es útil

construir una distribución de frecuencias que permita agrupar los datos por intervalos que tengan la

misma longitud.}

Ejemplo

Un nadador de 200 metros registra el tiempo de sus ultimos 14 entrenamientos los resultados en

segundos son

125 120 130 135 125 115 116 122 117 115 132 121 133 119

Para construir la distribución de frecuencias con intervalos se realiza el siguiente procedimiento.

1. Se encuentra la longitud de distribución que recibe el nombre de rango R y se calcula

restando del dato mayor, el dato menor R = 135 – 115 = 20

2. Se determina el enumero de intervalos que va a tener la tabla. Este criterio puede ser definido

por la persona que realiza el estudio, pero una buena aproximación es la raíz cuadrada del

total de datos n y aproximar su resultado al entero más cercano.

3. Como n = 14, √ = 3,74 4, El número de intervalo es 4

4. Se halla la longitud de cada intervalo realizando el cociente entre el rango y el número de

intervalos, es decir

=

5

5. Finalmente se realiza la tabla de distribución de frecuencia. En esta tabla la primera columna

corresponde a los intervalos. Estos intervalos tienen un límite inferior cerrado [115 -120) es

decir toma el dato 115 y un límite superior abierto donde no se toma el 120, excepto en el

último intervalo donde ambos límites son cerrados

6. En el primer intervalo el límite inferior es el dato menor de la muestra 115 y el límite superior 120

resulta de sumar el límite inferior con la longitud de cada intervalo (115 +5)

7. Para el segundo intervalo se inicia con el límite superior del primer intervalo, y el límite superior

se obtiene sumando el límite inferior con la longitud del intervalo. Se sigue el mismo

procedimiento hasta el último intervalo donde el límite superior es cerrado y coincide con el

dato más grande de la muestra.

8. La frecuencia fr, % F Y Fr se calculan de la misma forma como una distribución de

frecuencias sin intervalos

9. La marca de clase m es el punto medio del intervalo, es decir, es el punto que representa

todos los datos que pertenecen al intervalo.

10. Se calcula m=

para el segundo intervalo m=

Entonces la

tabla de distribución de frecuencias es:

29

Tiempo(s) f fr F Fr % m [115 – 120) 5 [120 - 125) 3 122,5 [125 - 130) 2 [130– 135] 4 Total n = 14 1 100%

- Histogramas y polígonos de frecuencia

Son gráficos usados para la distribución de frecuencias

con intervalos. En el eje horizontal del histograma se

ubican los límites de los intervalos teniendo en cuenta que

el límite superior se escribe solo una vez y los rectángulos

que los componen van unidos del límite a límite.

Los siguientes datos representan el número de horas que ven televisión, durante el fin de semana, 16

niños de primaria: 5, 5, 13, 8,13, 8, 13, 20,15,15,15,10,15, 7, 10, 10

-Elabora una tabla de frecuencias sin intervalos y una tabla de frecuencias con intervalos. Luego

obtener conclusiones de cada uno de ellos y realizar el histograma.

GRAFICO DE BARRAS COMPUESTO

Las gráficas de barras compuestas muestra la relación de varios elementos en distintos momentos.

Cada barra representa el 100% de los individuos de cada clase y se divide proporcionalmente, en

los porcentajes del otro criterio de clasificación. En estas gráficas se pueden dibujar horizontal o

vertical, y se utilizan sombreados, colores o patrones para distinguir los segmentos.

ALUMNOS MATRICULADOS EN LA ESCUELA (2007-2011)

Años Preescolar Primaria Total

2010 121 138 259

2011 110 143 253

2012 115 125 240

2013 128 119 247

2014 103 111 214

PREESCOLAR PRIMARIA

2010 121 /259 = 0,467 x 100 = 46,7% 2010 138 /259 = 0,532 x 100 = 53,2%

2011 110 /253 = 0,439 x 100 = 43,4% 2011 143 /253 = 0,565 x 100 = 56,5%

2012 115 /240 = 0,479 x 100 = 47,9% 2012 125 /240 = 0,520 x 100 = 52,08%

2013 128 /247 = 0,518 x 100 = 51,8% 2013 119 /247 = 0,481 x 100 = 48,17%

2014 103 /214 = 0,481 x 100 = 48,1% 2014 111 /214 = 0,518 x 100 = 51,8%

30

ALUMNOS MATRICULADOS

PREES. PRIMARIA TOTAL %

2010 46,7% 53,2%

99.9%

2011 43,4% 56,5%

99,9%

2012 47,9% 52,08%

99,9%

2013 51,8% 48,17%

99,9%

2014 48,1% 51,8%

99,9%

Elabora el grafico de barras compuesto a partir de la siguiente tabla, la cual contiene información

sobre la cantidad de madres comunitarias en la ciudad de ciénaga y santa marta.

MADREC OMUNITARIAS DE SANTA MARTA Y CIÉNAGA

Años Santa Marta Ciénaga Total

2011 290 265

2012 290 296

2013 322 320

2014 339 328

2015 354 338

2016 362 346

ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN GRAFICA

Se entrevistó a un grupo de personas y con los datos recogidos se

elaboró la siguiente grafica

En la gráfica se puede deducir que la mayoría de las persona

duermen 6h y que el promedio de horas de sueño estaría

alrededor de las 5h, exponiendo así, según el estudio, la mayoría

de ellas sufran molestias o trastornos. Con estos datos se puede

organizar una campaña para mejorar su calidad de vida.

En el caso dado, los estudios han comprobado que existe una

estrecha relación entre las horas de sueño que una persona

logra conciliar durante la noche con su estado de ánimo y nivel

de rendimiento intelectual a lo largo del dia; en otras palabras, si

el periodo de descanso nocturno es demasiado breve y no

alcanza 7 a 8 horas diarias como promedio una persona puede

exponerse a varios trastornos.

Analiza la información y luego contesta.

Un colegio desea saber cuál es el riego que tienen los estudiantes de 15

a 18 años, con una estatura promedio de 1,60 m, de sufrir sobrepeso

(Mayor que 55 kg); para ello, se les pregunto por su peso y la

información recogida fue la siguiente.

¿Cuántos estudiantes se analizaron?

¿Tienen riesgo de sufrir sobre peso estos estudiantes?

¿Qué decisión tomarías, de acuerdo con estos resultados, sobre la

31

¿Cuántos estudiantes sufren de sobrepeso?

¿Si la dieta del almuerzo de los estudiantes continua igual, ¿Aquellos que actualmente sufren sobre

peso están exentos de sufrirlo?

¿En el grupo de encuestado hay más estudiantes normales o con sobrepeso?

PROBABILIDAD

Sea E el experimento “Sacar una carta al azar de la bajara francesa” y A , el evento “as”

Puesto que E tiene 52 resultados posibles y A tiene cuatro resultados favorables, la probabilidad del

evento A es:

P(A) =

= 0,0 77 -- Aproximación a las milésimas

5.1 Considera el experimento de sacar a balota al azar, de la urna que se muestra a continuación,

luego completa la tabla.

5.2 Tenemos muchas bolas de cada uno de los siguientes colores: negro (N), rojo (R), verde (V) y azul

(A), y una gran caja vacía. Echamos en la caja 1 R, 50 V y 200 A. Removemos y extraemos una al

azar. Asocia con flechas:

P [R] Imposible

P [V] Muy poco probable

P [A] Poco probable

P [N] Muy probable

5.3 Razona de cuál de las bolsas siguientes es más probable sacar bola roja:

I. Roja, roja, azul y azul.

II. Roja, roja, roja, azul y azul.

III. Roja, roja, roja, roja, roja, azul, azul y azul

5.4 Lanzamos un dado con forma de dodecaedro con las caras numeradas del 1 al 12 y anotamos

el número obtenido.

a) ¿Cuál es el espacio muestral?

b) Escribe los sucesos:

A= “Menos de 5”:____________________________ B= “Más de 4”:______________________________

C = “Número par”:___________________________

D = “No múltiplo de 3”:_______________________

5.6 Halla la probabilidad de obtener un 2 y la probabilidad de obtener un 5, al lanzar un dado

correcto en cada uno de estos casos:

La baraja francesa consta de un conjunto de 52 cartas,

compuesto de cuatro palos (Cuatro grupos de cartas de una

misma figura). En cada palo hay un as (A) y cartas del dos al diez,

además de o Q y un valet o J.

32

5.7 Si lanzamos una moneda cuatro veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener exactamente dos

caras? ¿Y la de obtener al menos dos caras?

5.8 Una botella contiene 20 bolas de colores negro, rojo y verde. No sabemos cuántas de cada

color, ni podemos verlo, porque la botella es opaca. Solo podemos ver, cuando la tumbamos, el

color de la bola que queda junto al tapón, que es transparente. Durante unos días hacemos 1 000

veces la experiencia de agitar, inclinar la botella y anotar el color de la bola que se ve. Hemos

obtenido estos resultados:

¿Cuántas bolas hay de cada color?

7. Responde verdadero o falso a estas afirmaciones:

a) La probabilidad es un número comprendido entre 0 y 1. _____

b) Al lanzar un dado correcto, es más probable obtener un 2 que un 5. ____

c) Si un suceso es muy probable, su probabilidad es próxima a 1. ____

d) Si al lanzar una moneda seis veces nos ha salido CARA en los seis casos, la próxima vez es más probable que salga CRUZ. ____