grado 10 tema identificación de as secciones cónicas en...

1 Identificación de las secciones cónicas en objetos de su entorno

Grado 10 Tema

Matematicas - Unidad 4Descubramos nuevas formas y usemos el planocartesiano

Identificación de las secciones cónicas en objetos de su entorno

Nombre: Curso:

Usualmente se piensa que las matemáticas están desligadas de la vida real, de lo tangible; cuando la realidad es que las matemáticas rodean cada cosa que vemos y es a partir de ella que se puede construir o crear. Construcciones humanas como tu casa, los edificios, carreteras, y hasta construcciones vanguardistas que hacen uso de las secciones cónicas nos muestran cuán útiles son las matemáticas al momento de crear y construir elementos que se salgan de patrones y sorprendan a los demás.

Lee atentamente el siguiente texto, y observa las imágenes

Actividad Introductoria: Estructuras magníficas

Como ha sucedido en numerosas ocasiones, importantes creaciones en matemáticas no tuvieron un origen que pronosticara su relevancia posterior. Uno de estos casos es el de las conocidísimas cónicas, en un principio estudiadas casi por simple diversión, pero de tan variadas aplicaciones en muchas ramas de la ciencia. Como es sabido, fue Apollonius de Perga, en el siglo III a.C. el primero que las introdujo públicamente, escribiendo el más importante tratado antiguo sobre las secciones cónicas, aunque ya en el siglo anterior Menaechmus había escrito el primer tratado sobre cónicas. Lo que no es tan conocido es que el motivo que originó esta creación no fue precisamente el de explicar las órbitas de los planetas ni construir aparatos de radar, sino el de buscar soluciones sólo con regla y compás de los tres famosos problemas griegos que hoy sabemos irresolubles. Durante muchos siglos, las cónicas fueron descartadas en los trabajos de los matemáticos hasta que volvieron súbitamente a la vida, al comprobarse que el mundo que nos rodea está lleno de secciones cónicas.

En la elipse encontró Kepler la respuesta al enigma del movimiento planetario, descubriendo que el planeta Marte (ahora sabemos que al igual que el resto de los planetas) tiene órbitas elípticas y el sol está situado en uno de sus focos (de ahí el nombre dado a estos puntos). Con base a este descubrimiento Newton enunció la famosa ley de la gravitación universal; así el descubrimiento de Kepler se deduce como consecuencia matemática de dicha ley. También los satélites y los cometas tienen órbitas elípticas, de mayor o menor excentricidad, lo cual es en cierto modo providencial, pues si se tratara de hipérbolas o parábolas, no volverían a repetir su ciclo. Así mismo, Galileo demostró que las trayectorias de los proyectiles son parabólicas.

Casino in Funchal, Madeira. Brasil

Palacio de alborada, Brasilia, Brasil

El puente del Río Colorado. EE.UU

Torre “Tambor” en Kobe. Japón

Catedral Gótica de Saint Vitus. Pagra,

Vista del Holstentor en Lübeck Alemania


Con base en la información presentada y en las imágenes, responde las siguientes preguntas y realiza la consigna.

a. ¿Cuáles de las estructuras presentadas no representan una figura de forma parabólica

b. ¿Quiénes son los precursores de las secciones cónicas en la historia?

c. ¿Cuál de las figuras representa una sección cónica de forma elíptica?


d. ¿Cuál de las formas no pertenece a una de las partes del cono?

e. ¿De cuál de los cuerpos geométricos se obtienen las secciones cónicas?

f. En un párrafo, redacta la importancia que según tu experiencia y lo visto en el video han tenido las secciones cónicas en el desarrollo de la arquitectura y la ingeniería.


Al finalizar la clase podrás:

» Identificación de las secciones cónicas en objetos de su entorno

• Determinar las características de las secciones cónicas.

• Describir el cono a partir de actividades con material concreto.

• Reconocer la circunferencia como sección cónica a partir de actividades con material concreto.

• Identificar en su entorno formas elípticas reconociendo que dicha forma se obtiene a partir del corte de un cono

• Identificar en su entorno formas parabólicas reconociendo que dicha forma se obtiene a partir del corte de un cono.


Actividad 1: Operando

En compañía de un compañero y apoyándote en los moldes que tu docente te facilitará, realiza las siguientes consignas.

1. Con ayuda de los moldes con forma de cono, realicen como mínimo 4 conos de diferentes tamaños

2. Usando una regla como plano, realicen los cortes necesarios a los conos construidos en el punto anterior para obtener las diferentes cónicas.

Apóyense en los resultados obtenidos en la actividad 3 “Sombras”, en la que hallaron el ángulo indicado para la obtención de las diferentes cónicas.

3. Con base en la información obtenida hasta el momento y en lo desarrollado en los anterio-res puntos, realicen una exposición en la cual presenten lo aprendido hasta el momento en la clase.

• Identificar en su entorno formas hiperbólicas reconociendo que dicha forma se obtiene a partir del corte de un cono

• Reconocer las cónicas degeneradas a partir de actividades con material concreto.

• Describir cómo surge el estudio de las secciones cónicas en la historia.


Con base en lo visto hasta el momento responde las siguientes preguntas de manera individual, cuando tu docente te lo indique comparte las respuestas con el resto de la clase.

Actividad 2: Del cono a las secciones cónicas

a. ¿Qué consideran que es una figura de forma cónica?

b. ¿Las figuras de forma cónica son cuerpos geométricos?

c. ¿Cuál es la relación entre el cono y el cilindro?


d. ¿Qué diferencia hay en la construcción del cono y del cilindro?

De acuerdo a lo visto hasta el momento, nombra cada imagen con base en la sección cónica que representa, apóyate en las opciones que se te presentan.


Cilindro

Hipérbola

Esfera

Parábola

Cono

Cono doble

Directriz

Elipse

Círculo

Circunferencia

De forma individual, y con base en lo visto y discutido hasta el momento en clase; Resuelve las siguientes consignas y preguntas:

a. Dwescribe cómo se forma un cono, así mismo sus partes: generatriz, vértice y base.


b. Las secciones cónicas son descritas de acuerdo a sus propiedades. Sí se cambia el volumen, la altura, la base, o el área total de la cónica ¿se alterarán las secciones cónicas?


De acuerdo a lo observado en los videos que te presentará tu docente, construye cada una de las secciones cónicas mostradas. Apóyate en las instrucciones.

Sigue atentamente las instrucciones y realiza lo que en cada una de ellas se describe. Utiliza las imágenes como referentes.

Reúne los materiales que vas a necesitar para la elaboración de las secciones cónicas

Primero, marca en el papel un punto F que será el foco de la parábola.

Toma el borde del papel como la directriz.

Imágen de referenciaInstrucción


Dobla el papel por el lado de la directriz, sobre el punto F, desde cualquier ángulo.

Debes marcar muy bien cada doblez, pero con cuidado, pues el papel es frágil y se puede romper

Repite el anterior paso con tantos puntos como quieras, modificando el ángulo al doblar el papel.

Entre más dobleces hagas, mejor.

Así, al cabo de unos minutos tendrás construida una parábola..


Primero, dibuja una circunferencia utilizando un compás y ubica el centro de la misma. A diferencia de la parábola, la elipse tiene dos focos.

El foco dos será cualquier punto dentro de la circunferencia.

Este (punto F2) deberá recorrer la mayor cantidad de puntos que conforman el perímetro de la circunferencia

Para construir una elipse con doblado de papel, Necesitas reunir los materiales y de forma similar desarrollar el procedimiento.


Dobla el papel y coloca el punto sobre la circunferencia, que se ve a través del papel.

Con cuidado, marcamos el doblez.

Corre el punto un poquito y haz el segundo doblez

Y así, sigue moviendo el punto por toda la circunferencia.

Ten paciencia, porque el proceso puede tardar un poco.


Después de tu dedicación obtendrás una bellísima elipse, donde podrás identificar el foco uno y el foco dos.

Ahora toma el punto P y haz que recorra toda la circunferencia.

Dobla el papel de manera que el punto P quede sobre un punto de la circunferencia.

Para finalizar las construcciones, debes tener tus materiales a la mano.

Primero dibuja una circunferencia utilizando un compás. Y ubica un punto por fuera de la circunferencia, que llamarás punto P.


Con cuidado marca muy bien el doblez

Entre más dobleces hagas, mejor quedará tú hipérbola.

Finalmente, la hipérbola está lista.


Lee la siguiente información acerca de las propiedades de cada sección cónica y relaciónala con lo visto en los anteriores videos.

La parábola presenta una propiedad, la cual es que: la distancia de cualquier punto que se encuentre en su curva hasta el foco será igual a la distancia del mismo punto a la directriz

Los puntos que forman la circunferencia conserva la misma distancia hasta el punto central.

Dicha distancia es lo que se conoce como radio.

Los puntos que conforman el lugar geométrico de la hipérbola cumplen la propiedad:

La distancia de cualquier punto de la hipérbola al foco F1, menos la distancia al foco F2 en valor absoluto, es igual a un valor constante 2a.


La Parábola la puedes encontrar en la trayectoria de un proyectil como un cohete, una pelota de baloncesto o el agua que brota de una fuente (movimiento descubierto por Galileo, aunque fue descubierta desde mucho tiempo antes), en reflectores para lámparas y telescopios, en detectores de radar, en antenas receptoras de señales de radio y televisión como las antenas satelitales.

La elipse la puedes encontrar en formas de las cubiertas de mesas, formas de ventanas, formas de marcos para encuadrar retratos y fotografías, formas de las bases de envases, en la forma de las orbitas de los planetas que giran alrededor del sol (descubierto por Kepler)

La hipérbola la puedes encontrar diversas formas en las construcciones y en los elementos construidos por el ser humano. Es el caso de los lentes bicóncavos utilizados en la industria oftalmológica. Y en los silos nucleares.

Revisa la siguiente información con respecto a las secciones cónicas:

Actividad 3: Detén el tiempo


El cono es uno de los cuerpos geométricos (del cual se originan las secciones cónicas) más fáciles de observar en la vida cotidiana, se puede observar en formas de vasos de agua, altavoces, la punta de los cinceles u otros objetos tales como perforadores, conos de tránsito, sombreros, etc

La circunferencia la puedes encontrar en utensilios de cocina como tapas, bordes de ollas; también en tapas de alcantarillas, objetos celestes como la luna, balones de futbol, etc.

Ahora, con base en la información vista hasta el momento, reúnete con dos de tus compañeros de clase y resuelve las siguientes consignas y preguntas:

1. ¿ Usa una cámara fotográfica y tómale dos fotos a los objetos que tengan forma de secciones cónicas que puedas apreciar en tu entorno.

2. Dado que has visto que es muy común encontrar elementos de forma cónica, como herramientas, como utensilios de cocina, muebles, instrumentos musicales, artes, en la naturaleza, etc… ¿Cuál consideras que es la importancia de las secciones cónicas en la vida diaria?

3. Hagan una lista de otros objetos que tengan forma de las diferentes secciones cónicas

4. Con las fotografías que trajeron a la clase hagan una selección de 2 o 3 por integrante de grupo, y jueguen de “memoria”, cada pareja de trabajo deberá hacer la relación entre las imágenes y la sección cónica que representa, las parejas no podrán elegir las fotografías que previamente han jugado.

Utilizando un octavo de cartulina y una linterna realiza las siguientes consignas para observar cada una de las secciones cónicas que se relacionan.

Actividad 4: Sombras


De acuerdo a la información presentada, en compañía de un compañero de clase resuelve las siguientes consignas:

a. Ubica la linterna sobre la cartulina (según se observa en la imagen) y detalla qué cónica se observa. Ayúdate alejando o acercando la linterna a la cartulina de forma vertical.

b. Ubica la linterna sobre el papel pero con una pequeña inclinación como se muestra en la figura, esto generará que se desfigure un poco la circunferencia inicial, cambiando la cónica a observar.

c. A partir del paso anterior, al inclinar un poco más la linterna sobre el plano, se observa que la cónica se sale de la cartulina y forma una tercera cónica conocida.

d. Al colocar la linterna de forma paralela a la cartulina se amplía la curva y se observa una de las ramas de la hipérbola


a. Haciendo uso de los materiales adecuados, reproduzcan cada una de las cónicas observadas por medio del uso de la linterna.


a. Realicen un video en el que describan el procedimiento que realizaron para obtener a través de la linterna las cónicas vistas hasta el momento (circunferencia, parábola, elipse e hipérbola), y se lo presentan a su docente.

b. Haciendo uso del compás, la cartulina como plano, y la linterna, indiquen con qué ángulo se debe ubicar la cartulina con respeto a la linterna para generar las cónicas.


De manera individual realiza de forma detallada la lectura “Cónicas: historia”, a partir de la información responde las preguntas y consignas que se te indican. Cuando tu docente te lo indique comparte con tus compañeros de clase tus respuestas.

Actividad 5: Memoria cónica


Cónicas: historia

Las curvas cónicas fueron estudiadas por matemáticos de la escuela Griega hace mucho tiempo.

¿Quién fue el primero en estudiar las cónicas? Una de las primeras personas en estudiar las secciones cónicas fue Menaechmus (Menecmo) de Grecia, alumno de Eudoxio, como consecuencia de su interés en el problema de construir con regla y compás un cubo de volumen doble al de un cierto cubo dado; esto sucedió en el siglo IV a. C. Probablemente, Menecmo encontró algunas propiedades de las secciones cónicas, como las asíntotas de la hipérbola, aunque no existe ningún documento que lo demuestre. En el mismo siglo el geómetra Euclides escribió 4 libros sobre las secciones cónicas, de los cuales ninguno se conserva en la actualidad. Según Pappus de Alejandría, Aristeo (contemporáneo de Euclides) trabajó las cónicas y las llamó: sección del cono rectángulo, sección del cono acutángulo y sección del cono obtusángulo (parábola, elipse e hipérbola actual). Pero, al igual que ocurre con los cuatro libros de Euclides, no se conservan documentos de esos trabajos.

El primer tratado escrito que se conserva sobre las secciones cónicas es debido a Apolonio de Perga. En sus 8 libros Apolonio estudia las propiedades geométricas de las secciones cónicas. Las figuras que se van a estudiar, todas ellas conocidas con el nombre genérico de cónicas, se pueden obtener como intersección de una superficie cónica con un plano. Previamente a este trabajo existían estudios elementales sobre determinadas intersecciones de planos perpendiculares a las generatrices de un cono, obteniéndose elipses, parábolas o hipérbolas según que el ángulo superior del cono fuese agudo, recto u obtuso, respectivamente. Si bien no disponía de la Geometría Analítica todavía, Apolonio hace un tratamiento de las cónicas que se aproxima mucho a la misma.

Los resultados obtenidos por Apolonio sobrevivieron sin cambios hasta que Fermat y Descartes, en una de las primeras aplicaciones de la Geometría Analítica (Fermat y Descartes se pueden considerar los fundadores de la Geometría Analítica), retomaron el problema llegando a su casi total estudio, haciendo siempre la salvedad de que no manejaban coordenadas negativas, con las restricciones que esto impone. La contribución de cada uno reside esencialmente en el reconocimiento de que una ecuación dada con dos incógnitas puede considerarse como la determinación de una curva plana con respecto a un sistema de coordenadas. El estudio analítico de Descartes ofrece un aspecto puramente algebraico y se sirve de las ecuaciones de las cónicas para deducir propiedades referentes a las curvas y a su construcción geométrica. Por otro lado, Fermat deduce las ecuaciones de la recta, la circunferencia y todas las secciones cónicas.

a. ¿Quiénes son los responsables del descubrimiento de las secciones cónicas?

b. ¿Quiénes profundizaron en el estudio de las secciones cónicas y cuáles fueron los aportes de estos personajes para la humanidad?

c. ¿Cuál o cuáles fueron los problemas que dieron origen al estudio de las secciones cónicas?


d. Mencione las obras en las que se condensa el estudio de las secciones cónicas.

Revisa la siguiente información acerca de los elementos que conforman un cono.

Actividad 6: Cortes a cono y cilindro

Vértice: Es el punto en el cual se intersectan al menos dos aristas o confluye una generatriz.Base: Es la superficie circular generada por la rotación del radio en torno al eje.

Eje: Es la línea central sobre la cual rota la línea generatriz, o exterior del cono. En un cono rectángulo es congruente con la altura

Radio: Es el segmento fundamental para formar la base, al rotar sobre el eje forma un círculo que sirve de base del cuerpo geométrico.

Superficie: Es la curva formada por medio de un segmento de línea que rota con respecto al eje, y se extiende desde el vértice hasta la base.

Centro: Es el punto central a partir del cual se extiende el radio y se toma como centro de la base del cuerpo geométrico.

Generatriz: Es el segmento de línea que rota con respecto al eje, formando la superficie lateral de curva y describe una trayectoria inclinada sobre la circunferencia en la base.


Detalla las condiciones en las cuales se desarrolla la manipulación de las secciones cónicas por medio del uso del aplicativo Geogebra.

De igual forma revisa la siguiente información acerca de los elementos que conforman a un cilindro.

Altura: Es el segmento de línea que actúa como eje de rotación y se extiende desde la cara superior hasta la inferior del cuerpo geométrico.

Base: Es la superficie circular generada por la rotación del radio en torno al eje de giro.Eje de giro: Es el segmento de línea AD con respecto al cual rota el rectángulo ABCD formando el cilindro.

Radio: Es el segmento de línea AB que rota con respecto al eje, formando la superficie circular de los extremos del cuerpo geométrico

Superficie lateral: Es la curva generada por la rotación del rectángulo ABCD con respecto al eje de giro, describe en sus extremos una circunferencia que encierra la base.

Generatriz: Es el segmento de línea BC congruente con AD que rota con respecto al eje, formando la cara lateral del cilindro.

A partir de la información obtenida con el aplicativo de Geogebra y lo visto en clase, resuelve las siguientes consignas de forma individual.

a. Usando lápiz y papel identifiquen las secciones cónicas que se forman al intersectar con un plano un cilindro, estableciendo las relaciones entre las secciones cónicas obtenidas en el cono y las del cilindro.


b. Ident ifique en las secciones cónicas que se generan, sus generatrices y vértices.


1. Con ayuda de los moldes que tu docente te facilita, construye cuatro conos simples

2. Con ayuda de un bisturí corta de manera horizontal uno de ellos.

3. Elige otro de los conos que elaboraste en el primer paso y córtalo con apoyo del bisturí en diagonal paralela a un lado.


Instrucciones: Sigue atentamente las indicaciones y realiza lo que en cada una de ellas se describe. Utiliza las imágenes como referentes.


4. Con ayuda de un bisturí corta de manera vertical otro de los conos construidos.

5. Con el último de los conos construidos, recórtalo de forma que sea perpendicular a uno de sus lados


Con base en el procedimiento anterior, realiza las siguientes consignas.

a. Usando plastilina construye tres conos dobles.

b. Usando un cono, y un bisturí como plano, realiza un trazo paralelo a una generatriz del cono que pase por el vértice. Resalta la intersección del cono con el plano e indica qué cónica degenerada se obtiene.


Describe tu procedimiento e indica qué valor de ángulo elegiste para realizar el corte.

Dibuja tu construcción resaltando la intersección entre el cono y el plano




c. Usando un cono, y un color diferente como plano, realiza un trazo perpendicular u oblicuo al eje y que pase por el vértice. Resalta la intersección del cono con el plano e indica qué cónica degenerada se obtiene.


d. Usando un cono, y un color diferente como plano, realiza un trazo paralelo al eje del cono y que pase por el vértice. Resalta la intersección del cono con el plano e indica qué cónica degenerada se obtiene.




e. Enuncie lo que considere significativo para obtener una sección cónica degenerada.

Con base en lo visto en la clase, observa las siguientes imágenes y escribe en el espacio qué sección cónica ha sido utilizada en su construcción. Luego comparte tus respuestas con tus compañeros de clase en el momento que tu docente te lo indique.


Reúnete con dos compañeros de tu clase, y con base en lo visto en la clase hasta el momento y la selección de imágenes que te mostrará tu docente realiza las siguientes consignas.


a. Identifica y representa cada una de las secciones cónicas que aparecen en las 12 imágenes presentadas, posteriormente socializaremos las respuestas con el resto de la clase

Sección cónica identificada.Imagen seleccionada



b. Usa las imágenes y de acuerdo con lo aprendido inventa una historia corta en la que resaltas la importancia de las secciones cónicas en la humanidad.


Con base en las respuestas de tus compañeros de clase y tu respuesta, en un párrafo corto responde la pregunta:

c. ¿Qué conclusión puedes decir con respecto a la construcción de las diferentes cónicas?


A partir de lo visto en la clase, desarrolla de manera individual las siguientes consignas.

a. Haz una selección de maravillas del mundo actual en las que puedas identificar alguna de las secciones cónicas vistas en clase, pega su imagen o foto.

Maravilla 1:

Maravilla 2:


Maravilla 3:

Maravilla 4:

Maravilla 5:


b. Elige 10 países y de ellos investiga su flor nacional, identifica cuál de esas flores presenta alguna cónica en su estructura.

c. Investiga sobre 5 cuerpos celestes pegando su imagen, de igual forma identifica y representa cada una de las secciones cónicas que identificaste en las imágenes seleccionadas.

Países seleccionados: Flor Nacional

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Cuerpo celeste 1:


Cuerpo celeste 2:

Cuerpo celeste 3:


Cuerpo celeste 4:

Cuerpo celeste 5:


• Sección cónica identificada en los cuerpos celestes elegidos

d. Usando como base cada una de las secciones cónicas construye con plastilina u otros materiales, 4 diferentes maravillas seleccionadas en el ítem anterior.

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