cuales son escasos.

SOCIEDAD CHILENA DE INGENIERIA HIDRAULICA XI CONGRESO CHILENO

GOLPE DE ARIETE EN ESTACIONES DE BOMBEO

UNA METODOLOGIA ALTERNATIVA

Fernando Monsalve Contreras

RESUMEN

Este articulo propone un metodo alternativo, desarrollado por el autor, para resolver la condici6n de borde const~uida por las bombas en una impulsi6n al aplicar el Metodo de las Caracteristicas en el problema de golpe de ariete, considerada mas simple que las expuestas en texlos especializados sobre el tema. Tiene tam bien la ventaja de operar con las curvas de la bomba suministrada por el fabricante a traves de catalogos y no con valores parametricos obtenidos de ensayo en modelo de bombas, los

Ingeniero Civil, Unlversldad de Chile, CADE • IDEPE Consultores en Ingenleria

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1.- INTRODUCCION

Este articulo tiene por finalidad hacer un analisis del fen6meno de golpe de ariete con las condiciones de contorno referente a bombas cuando el problema es resuelto mediante el Metodo de las Caracteristicas empleando la forma hom610ga de la curva de la(s) bomba(s) .

Esta forma de resolver el problema es una a~ernativa de la metodologia presentada en los Iibros especializados de transientes hidraulicos (Ref 1,2,3) que consiste en trabajar con parametros adimensionales de las curvas carac1eristicas de las bombas obtenidas de ensayos en modelo.

Ambos metodos dan resultados prac1icamente iguales segun se vera en un ejemplo de aplicaci6n. Sin embargo, en la opini6n del autor, la metodologia aqui propuesta presenta una venlaja adicional, ademas de la forma mas Simple de resolver el problema.

La ventaja adicional es que se trabaja con la propia curva de la(s) bomba(s) que se emplearan en el proyecto en vez de una tabla con parametros adimensionales obtenidos de las curvas hom610gas para una delerminada rotaci6n especifica que casi nunca corresponde a la de las bombas que se han proyectado, ya que se cuenta con tablas, solamente para tres rotaciones especificas: Ns=35, Ns=147 y Ns=261 en el sistema SI.

~~

En este articulo, primeramente se hace una breve introducci6n al Metodo de las Caracteristicas con la unica finalidad de poder comprender el ecuacionamiento de la condici6n de contorno. Para una exposici6n mas detallada de este metodo se remite al lec10r a la bibliografia (Ref 1 y 2). Se expone resumidamente la metodologia empleada por Streeter y por Chaudhry basad a en datos obtenidos de ensay os en modelos de bombas.

Luego, se presenta la metodologia propuesta con aplicacion a una impulsi6n sin elementos protectores en la tinea contra los efectos del golpe de ariete, con la finalidad de una mejor visualizaci6n del tema de este articulo. Es decir, que el ejemplo supone una tinea de impulsi6n con un trazado muy favorable en que las presiones minimas no cortan el trazado de la tuberia en ningun punto. Cuando se verifica que se produciran presiones negativas por el corte de la envolvente minima de la linea piezometrica con la tuberia, es necesario colecar dispos~ivos de protecci6n. Estos pueden ser, estanque hidroneumatico, estanque "one way" 0 unidireccional, chiminea de equilibrio, etc, 0 simplemente aumentar el momenta de inercia del motor de la bomba mediante un volante. Esta ultima alternativa puede ser aplicable cuando las presiones negativas en la tuberia, sin protecci6n, son pequenas, subsanando el problema y economizando un elemento protector.

EI ejemplo supone la existencia de una valvula de retenci6n inmediatamente agua abajo de la bomba. Tambien por simplicidad se ha escogido un ejempfo con una unidad. En el caso de varias bombas en paralelo, el procedimiento es el mismo al desarrollado, s610 que el gasto unitario debe ser multiplicado por el numero de bombas.

Finalmente se presentan los resultados obtenidos y com par ados con el metodo clasico de resoluci6n de este problema. AI final del articulo se detalla un cuadro con la simbologia empleada.

2- METODO DE LAS CARACTERISTICAS

2. 1 Ecuacionamiento 01er Simbologia al final del articulo)

Las ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento aplicadas alliquido dentro de un elemento "dx" de una tuberia (ver Figura N° 1). son respectivamente:

LlN<J p;':~rKO

f~I ~ 1 ---­! 11-1 I

" ":;- ",--"" ,,,--, T • :- - tk"jo

-:- -.- ~ ." . . ­~-~. _. .~.ii,~-~: ,'" ~~!'!

rlCC.?... >.: '1: I

(1)§!I.. 82 av=0

at g ax

(2)gaH.av.~=o ax at 20

Estas dos ecuacione~ de derivadas parciales son transformadas a cuatro ecuaciones dilerenciales ordlnarias por el Met0do de las Caracteristicas, resultando :

_II. dH. dV. NIVI =0 (3)

8 dt dt 20

!!!. =-8 (4)

df

141 140

.9.dH+dV+~=O II, 8dt dt 20

dX=+8 (-,dt

Puesto que 'a" es practicamente constante, las derivadas dx/dt son rectas y lIamadas 'caracterlstll ,~' En estas rectas, las ecuaciones (3) y (5) son validas.

Es interesante ver que la soluci6n de estas ecuaciones se desarrolla en un plano x-t (largo de fa tubuli .. en abcisa y tiempo en ordenadas). En este plano las ecuaciones (4) y (6) son rectas. La Figura N" muestra el plano x-t con la tuberia dividida en N tramos de largos iguales <iX = LJN

t='+2 .6. .

t=t+ 6 t

t bJ I WCfTJ-w..=0 N=l i-1 i+1 N N+l x

aguas arriba aguas obajo

FIGURA NQ 2

La soluci6n del problema consiste en dividir la(s) tuberia(s) en N tramos de longitud t.x. La integraci6n de las ecuaciones (3) y (5) a 10 largo de las rectas caracteristicas permite conocer las variables H y V en el punto P. Este punto P corresponde a un punto interior ' i" cualquiera en un instante t=t+t.t, siendo que se conocen todas las variables (H y V) en el .t.t anterior.

Se efectua una aproximaci6n de primer orden que es satisfactoria er. los problemas donde la perdida de carga por frotamiento no es importante 'rente a la altura geometrica. Para casos donde esta perdida de carga es importante en relaci6n a la altura geometrica, hay que hacer una aproximaci6n de 2" orden (ver bibliografia).

Con la aproximaci6n de primer orden la integraci6n

(HpdH (aPdQJH, Ja,

en las ecuaciones (3) y (5) conduce al siguiente par

(7)

Hp=Hs+B(Op-oJ+ROsl Osl

(8) Hp=HA-B(Op-oJ-ROAI OAI

rl<)nde R=~B=.!!.. 2g0S'gs

Resolviendo simultaneamente las ecuaciones (7) Y (8) para un nudo intemo 'i' de la tuberia, la linea

piezometrica viene dada por (9)

C·Rect8Hp,=Cp-BOp,

(10)C-Recta

Hp,=CM+BOp,

donde

Cp=H,_, +O,_,(B-RI 0,_, \)

C"=H,_,-O,,,(B-RIO,., I)

Eliminando Q~ de la ecuaciones (9) y (10)

Cp+CM Hp,= --2­

Q ; eS determinado entonces por (9) 6 (10) p

Por 10 tanto, las variables H Y Q en un punto internO cualquiera de la tuberia depende solamente de

estas variables en los puntos adyacentes en el instante t.t anterior.

t./= t.x •.i.­a aN

2.2 Condiciones de Contomo

Para determinar las variables H y Q en los extremos de la tuberfa, son utilizadas las ecuaciones (9) y (10) con las ecuaciones de contorno del elemento situado en el extremo (bomba, estanque de nivel constante.turbina, valvula, estanque hidroneumatico, etc). Cada uno de estos elementos tiene sus propias caracteristicas expresadas por una 0 mas ecuaciones. Algunas de estas son muy simples, como es el caso de estanques de nivel constante, tuberfas ciegas 0 valvula. Otras son mas complejas, como es el caso de bombas, estanques hidroneumaticos. turbinas de reacci6n, ventosas, chimineas de equilibrio, estanques "One way". etc.

En el caso que nos preocupa, estamos analizando un sistema simple, con bomb a aguas arriba y valvula de retencion inmediatamente aguas abajo de ella y estanque 'de nivel constante en el extrema de aguas abajo.

2.2.1 Estanque de Nivel Constante Aguas Abajo

La soluci6n en este caso es inmediata, pues Hp, = Z, en todo instante, siendo Z, es el nivel del estanque.

,.,. Hp,=HpN.' =Z,

Z,=Cp-BQp,

Qp=Q _ Cp-Z, I PN.,- -B­

2.2.2 Bomba Aguas Arriba

a) Metodo de Curvas Homologas Adimensionales (Streeter y Chaudhry)

Marshal, Flesh y Suter elaboraron curvas parametricas en base a ensayos'de modelo de bomb as de igual rotacion especifica para Ns= 35, Ns=147 YNs=261 en el sistema SI; es decir, bombas centrifugas, de flujo mixto y axiales respectivamente. Observese que si la bomba centrffuga tiene doble succi6n, entonces N, = 25

Estas curvas tienen expresiones segun las siguientes relaciones:

h donde x=[n +tan"~)WH(x)= «2+V2 (1.

144

P WB(x)= (1.2+V2

donde:

a = N/NR (rotaci6n)

v = VIVR = O/OR (velocidad 0 gasto)

h = H/HR (carga hidraulica)

(l = M/MR (torque)

donde el subindice R indica las condiciones en regimen permanente.

Las curvas adimensionales public adas por los autores tienen 89 pares de valores correspondientes a WH y WB, los cuales cubren los cuatro cuadrantes de trabajo de una bomba. Estos valores estan igualmente espaciados en t.x = rr/44 . La zona de funcionamiento normal de una bomba corresponde al caso en que v > =0 y a > 0 : la zona de rotaci6n reversa esta dada por v > 0 y a < 0 ; la zona de disipaci6n de energfa por v < 0 y a > = 0 y finalmente la zona de luncionamiento como turbina v < = 0 y a < O. En el caso de bomb a y valvula de retenci6n. que es la situaci6n existente en la

practica. hay que trabajar con los primeros 45 pares de valores de las tablas.

La carga hidraulica y torque en la bomba en un instante dado del transiente vienen dados por las

expresiones:

(14)H=H,/J=HJ.a2+v~WH(x)

(15)M=MR~ =MJ.,,}+v~WB(x)

dande x = rr + tan" (v ia)

Las incognitas son h · v • a . (l

Para resolver el sistema son necesarias dos ecuaciones adicionales que son las ecuaciones de la inercia

y la Recta Caracteristica C'

Ecuaci6n de Inercia

2M=- WR dw

9 dt

145

! I.

,,

donde WR' es el momento de inercia del conjunto motor-bomba y w es la velocidad angular 1'" radianes/seg_ Para un intervalo de tiempo L>t se adopta la meclia de los valores.

Ma+M = WR2 2nNR (a-exal.;. 2 (/60 M

de aqui resulta

WR2 NR_n_(ex_aal:O~+Jlo-g MR 15M

Recta Caracteristica C'

Hp=C"".BOp

que aplicada al 2" punto interno de la tuberia, resulta: ~.

Hp=C""-02(B-RI 0 21)

don de

C""=H2- 0 2(B-RI 0 21)

denotando el subindice 2 las condiciones ya conocidas en el 2" punto de la tuberia en el L>t anterior.

La soluci6n de las ecuaciones (14), (15), (16) y (17) se efectua por metodos iterativos obteniendose los valores h, v, cr, (3 en todo instante del transiente. En cad a una de estas iteraciones se trabaja con los valores tabulados WH(x) y WB(x) a que se hizo referencia. Para mayores detalles de este metodo ver la bibliografia cit ada.

Observese que a partir del cierre de la valvula de retenci6n por inversi6n del flujo en el inicio de la tuberia, estas ecuaciones no son mas validas, convirtiendose la condic i6n de borde en un tubo ciego aguas arriba, la cual se resuelve imponiendo 0 = 0 en la ecuaci6n (10).

(16)

(17)

I I) METODO PROPUESTO

metodologia propuesta trabaja con las curvas de la bomba dadas por et fabricante y siempre ClI~ponibles en sus cata/ogos. Esta basada en las relaciones de semejanza de la bomba y supuestas lilliidas en el transcurso del fen6meno del transiente hasta que se cierra la valvula de retenci6n.

-; cuatro ecuaciones utitizadas son:

cuaci6n H-O (dada por el fabricante) cuaci6n M-O (obtenida de la curva Potencia-O dada por el fabricante)

Ecuaci6n de lnercia Ecuaci6n de la Recta Caracteristica C'

Lt, forma de las curvas H-O y M-O dfldas por el fabricante en sus catatogos, siempre sa pueden xpresar con mucha aproximaci6n en su forma hom610ga:

H=a 0 2+b Qa +Co,, 2 ~.o o

y recordando que el torque es

7S-60.PHP M- 2nN

con la curva de potencia de la bomba se puede escribir

M=U002+v/~a+woa2 ,

donde a" b" co' u ' vo' Wo son constantes determinadas por el ajuste hecho a las curvas dadas por elo fabricante de la bomba,

Las ecuaciones de inercia y de fa Recta Caracteristica C' son aquellas descritas en el metodo anterior.

Resumiendo, las cuatro ecuaciones disponibles son:

2 (18)H-Zo=ao02+boOcx +coa

2 (19)M=u00 2 + v00a. +w ao

(20)p=(ex o-a)K- ~o

146 147

- -

H=CM2+BO

donde

WR 2NR" K·--­

gMR'5IH

y donde ao ' Po son las relaciones de rotaci6n y torque en el ~t anterior y por 10 tanto conocidos. Zo = Nivel de agua en la aspiraci6n de la bomba.

EI momento de inercia WR' se puede evaluar mediante la f6rmula de Donsky, la cual da valores aproximados. Con la tecnica actual los moment os de inercia son algo inferiores.

WR 2m150 (PHP),·436 [Kg-m2jNR

Las inc6gnitas del sistema de ecuaciones son H, Q, a, P

M Np=- a=­MR NR

De (18) Y (21)

CM2+BO-Zo '8002+boaO+coa2

De (19) Y (20)

~(U002 +Voa 0 + woa2j . (a 0 -a)K-Il 0

MR

Se tiene as; dos func;ones:

Ft'800 2+(boO: - BjO+coa.2 - CM. +Zo=O

2F2=uoO'+VoaO+Woa - MR [(a o-a)K-Il.J=O

La soluci6n de este par de ecuaciones se puede hacer mediante el metodo numerico iterativo de Newton-Raphson

Ft+ aFt l'J.0+ aFt l'J.,,=0 ao ao:1' 1

F2+ aF2 l'J.0+ aF2 l'J.,,=0 ao ao:

Resolviendo esle sistema de dos ecuaciones:

aFt aF2

l'J.a =( :~ - ;)t ):( :;t - :;2) ao ao ao ao

aFt

l'J.0=-~-!'J.a~ aFt aFt ao ao

obteniendo las derivadas parciales

aFt =2s 0+b a-Bo oao

aFt =b O+2co" oaa

aF2=2u O+ Vo"oao

aF2 =VoO+2wo" +M~ 00:

Las inc6gnitas son Q y a

A cada iteraci6n las inc6gnitas se evaluan con los increment os respectivos;

a=a+.6.a:

0 = 0+ l'J. 0

EI procedimiento se repite hasta que

1 l'J.a 1 +1 l'J.01 s £

donde < = tolerancia. Normalmente < = 0.0002 es suficiente.

148 149

Una vez obtenido los valores a'y 0, se calc ulan las otras variables. Mediante (21) se obtiene H y luego mediante (19) 6 (20) se obtiene M. Se recuerda que una vez que la valvula de retenci6n se ha cerrado, la condici6n de bOrde se transforma e.l un tuba ciego aguas arriba (0=0) y que segun la ecuaci6n (10) se tiene Hp , = CM.

3.- CASO SIMULADO

Se present a un ejemplo con la finalidad de comparar los resunados obtenidos por las dos metodologlas expuestas. Se 'escogi6 un caso en que la rotaci6n especifica de la bomba es Ns=35 (SI) de tal manera que la comparaci6n sea valida al emplear la metodologia propuesta, y por ctro, la metodologia present ada por Streeter y Chaudhry utilizando las tablas correspondientes a esa rotaci6n especffica.

En el ejemplo present ado, la perdida de carga por frotamiento es importante frente a la altura geometrica. Por esta raz6n el modele aplicado considera una apFOximaci6n de 2!' orden en el calculo de los puntos internos de la tuberia, permaneciendo, por simplicidad, una aproximaci6n de 1°orden para las condiciones de contorno.

Los resultados del ejemplo se presentan en la Figura N° 3

DATOS DEL PROBLEMA

Una impulsi6n esta equipada con una bomba cuyas caracteristicas estan dadas en la figura N° 3. (observese que la rotaci6n especifica de esta bomba es Ns=35 SI). Los datos del problema son los siguientes:

TUBERIA Q = 1.10 m3/s L = 1200 m. D ~ 0.80 m a~ 960 m/s f= 0.020 (coet. Darcy-W).(f equiv. considera perdidas de carga singulares)

ESTANQUES N.A. en s"cci6n~ 50.0 m.s.n.m. NA estanque de impulsi6n= 155.82 m.s.n.m.

BOMBA Coeficientes de las curvas: a = -20.349 U ~ -274.65 b ~ 0.694 Vo = 1064.53

e o

o Co = 137.0 we ~ 335.55 WR' = 305 Kg-m' NR = 1160 r.p.m. P= 1902 HP

La tuberia se dividi6 en 10 tramos iguales, es decir, que el tot de calculo es de 0.125 seg.

'l.-RESUL TADOS

lOS resultados del ejemplo se encuentran en la figura N° 4. Y se presentan en forma adimencional las

v<Jriables carga hidraulica, gasto Y rotaci6n.

En la Figura N0 4 tambi{m se han incorporado los resultados det mismo problema resuelto por la melodologia presentada por Streeter y tambien por Chaudhry, pudiendose verificar la gran similitud de los resultados. Hay que recordar que la expresi6n h=H/H, es la relaci6n de las presiones, pues al valor H de la linea piezometrica se Ie ha descontado la cota en el eje de la bomba.

Se puede apreciar una pequeiia diferencia en los maximos y minimos de las presiones en la bomba entre ambos metodos. Esto se debe a que en la metodologia que ha empleado los valores adimensionales de los parametros de la bomba hay una caida brusca de la presi6n poco antes de producirse el cierre de la valvula de retenci6n. Esto se debe, probablemente, a un error de impresi6n en un valor de las tablas publicadas (Streeter. Mc Graw Hill). Por otra parte, el metodo propuesto ll1uestra un comportamiento de la presi6n en esos instantes, mas regular.

5.-CONCLUSIONES

La metodologia desarrollada en este articulo para la condici6n de contorno de calda de tensi6n en las bombas de una impulsi6n, suministra los mismos resultados que la metodologia presentada por Streeter y por Chaudry. EI manejo del ecuacionamiento de la metodologia aqui propuesta es mas simple, permitiendo una mas facil implementaci6n en la elaboraci6n de un programa para computador. Ademas el metodo opera con las curvas de la(s) bomba(s) que se utilizara en el proyecto.

CURV AS DE LA BOMBA Nr = 1160 r.p.m.

7 50 160 3500 150 3250 140 3000 130 2750 120 110 100

~ 90 ~ 80 :I: 70

60 50 40

25 0 0 2250 2000 1750 1500 1250 1000 750

a:­<S =! !z! ~ ~

30 500 20 250 10 o o

o 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1. 1 4

GAS TO (M3/S)

FIGURA N" 3

1-­

P

/ = ¥

----+­1--.

-POT N 'IA =--­---­~

---­/.

-----­~

151150

t l I "<j- I . - r~ I I

I =1--­-. - -l~ I

+---+-1 ~~+i- t - L_~ j 1_-1

! I I 1­~~ -tj' . tiL

! -,

'­~ --- -,O · I

~ ~ ~ I ,­"<:; --. ,I ­

~ --- - /7~ - -- C\I~ 0h C\I ro . ~ 0 ro ~ ~ ~ r-0

0

~ ~ ~ - b JH/H = ~ IN/N=U JO/O­

~ L~ ;_ ~ll:.:J ..,

ll:.:J ' j I L ,~lh l'J - -'-, c ~ f-C0~ -- I J _I f .~ I ' "-1 - ' . eN ~ ~l rJ~_ -' :~-±- wt/ r~ ~8

152

~ W a:

~~~ "<j- ~ ~ r- 0 I ­~ (/)~ I I ~

-~

t1 0

rr­

ffi C)row (fJ

~ HO

"c 0 -0 Q)

0

~@~~" 0 Ll

5.- SIMBOLOGIA

B=Constante de la tuberia D=Diametro de la tubeiia H=Cota piezomelrica en un instanle I cualquiera H;=Cota piezometrica en la sacci6n "i" en el instante t (conocido) Hp,=Cota piezometrica en la secci6n "i" an el instante t+At HA=Altura piezometrica en regimen permanente h=H/HA L= Largo de la tuberia M=Torque en un instante t cualquiara MA= Torque en regimen permanente N=Rotaci6n de la bomba (rpm) en un instante t cualquiera NA=Rotaci6n Nominal de la bomba N= Numero de tramos en que es dividida la tuberia P = Potencia de la bomba 0= Gasto en un instante t cualquiera O;=Gasto en la secci6n "i" en el instante' t (conocido) Op, = Gasto instantimeo en el instante t + At 0 o=OA=Gasto en regimen permanente q=O/OA R=Constante que expresa la perdida de carga en la tuberia S=Secci6n de la tuberia I=Tiempo (seg) VA= Velocidad de regimen permanente en la tuberia v=VN A . WH= h/(a' + v") WB= {3/(a' +v") WR'=Momento de inercia del conjunto motor-bomba [Kg-m' l Zo = Nivel de agua en la succi6n de la bomba Z,=Nivel de agua en el estanque de impulsi6n a= Celeridad de la onda de presi6n a = Constante de la regresi6n H-O de la bombao b == o c = u: = Constante de la regresi6n M-Q de la bomba

vo= wo= a=N/NA {3 =M/MA At= Intervalo de tiempo w= Velocidad angular de la bomba

6. - BI6L10GRAFIA

(1) E. Benjamin Wylie & Victor L. Streeter. Fluid Transients. Mc Graw Hill (2) M, Hanil Chaudhry. Applied Hydraulic Transients. Van Nostrand Reinhold Company (3) Edmundo Koelie.Transitorios Hidraulicos. Universidade de Sao Paulo,

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