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Gestión de Carteras II: Modelo de Valoración de Activos © Juan Mascareñas Universidad Complutense de Madrid Versión original: feb-86; Última versión: dic-12 - La cartera de mercado, 1 - La Línea del Mercado de Capitales (CML), 4 - La Línea del Mercado de Títulos (SML), 7 - El modelo de mercado: riesgos sistemático y específico, 11 - La estimación de la beta, 14 - Las implicaciones del CAPM, 18 - La polémica sobre la validez del CAPM, 19 - La Teoría de Valoración por Arbitraje (APT), 21

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Gestión de Carteras II: Modelo de Valoración de Activos

© Juan Mascareñas Universidad Complutense de Madrid

Versión original: feb-86; Última versión: dic-12

- La cartera de mercado, 1

- La Línea del Mercado de Capitales (CML), 4

- La Línea del Mercado de Títulos (SML), 7

- El modelo de mercado: riesgos sistemático y específico, 11

- La estimación de la beta, 14

- Las implicaciones del CAPM, 18

- La polémica sobre la validez del CAPM, 19

- La Teoría de Valoración por Arbitraje (APT), 21

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Monografías de Juan Mascareñas sobre Finanzas Corporativas ISSN: 1988-1878

6- Gestión de Carteras II: Modelo de Valoración de Activos

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1. La cartera de mercado En el modelo de selección de carteras de Harry Markowitz1 todos los activos que in-tegraban las carteras eficientes eran activos con riesgo (acciones, básicamente). Además, si tuviésemos dos inversores A y B cada uno con una cartera eficiente no podríamos saber quién tiene la mejor cartera, porque ambas son similares (al in-versor A le gustaría la suya y a B le pasaría lo mismo pero, objetivamente, no po-dríamos saber cuál es mejor). Supongamos ahora, que los inversores pueden colocar su dinero en activos finan-cieros libres de riesgo2 como, por ejemplo, en Bonos del Tesoro. Esto introduce un elemento distorsionante en nuestra teoría, puesto que nuestros inversores A y B podrán destinar parte de su presupuesto a invertirlo en dicho activo sin riesgo, manteniendo el resto en sus carteras óptimas respectivas. De tal manera que el rendimiento esperado (EP) y el riesgo (!P) de la nueva cartera del inversor A, será:

EP = (1-X) Rf + X EA

!P = X !A

donde X indica la parte del presupuesto invertida en la cartera A y (1-X) la parte in-vertida en títulos sin riesgo (que proporcionan un rendimiento de Rf); EA y !A muestran, respectivamente, el rendimiento y riesgo esperados de la cartera A. En la figura 1, se muestran las líneas RfA y RfB, representativas de las posibles combi-

naciones entre las dos carteras óptimas y el activo libre de riesgo.

Fig.1 La introducción del activo sin riesgo (Rf)

1 Véase Mascareñas, Juan (2012): “Gestión de Carteras I: Selección de Carteras”. Monografías de Juan Mascareñas sobre Finanzas Corporativas nº 5. http://www.ucm.es/info/jmas/load.htm 2 Se supone que la deuda pública en los países occidentales carece de riesgo de insolvencia, aunque puede tener riesgo de reinversión. En todo caso, normalmente se supone que dicha deuda carece de riesgo.

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El inversor B, que no estaba muy de acuerdo con el riesgo que le proporcionaba su cartera, decide invertir una parte de su presupuesto en bonos del Tesoro y el resto lo deja en su cartera B. El resultado es la cartera denominada B´ (fig.1). Esta car-tera tiene el mismo riesgo que la cartera del inversor A pero da un mayor rendi-miento esperado, como se puede apreciar fácilmente en la figura. Antes de la introducción del activo sin riesgo A y B eran semejantes, ahora ya no. El inversor A observa como B, corriendo el mismo riesgo que él, consigue un mayor rendimiento esperado. Así que al introducir la posibilidad de invertir en títulos sin riesgo, desde un punto de vista objetivo, la cartera B, formada por activos con riesgo, es preferi-ble a la cartera A, que también está formada por activos con riesgo. Ahora bien en la frontera eficiente no sólo están las carteras A y B, sino que hay muchas más. Todas ellas son semejantes, desde un punto de vista objetivo, si no se introduce la posibilidad de invertir en activos sin riesgo. Pero cuando esto último ocurre, la historia cambia y unas carteras son mejores que otras al ser combinadas con dicho activo. Es fácil ver, en la figura 1, que la combinación RfB está por enci-ma de la combinación RfA, lo que hace preferible a la cartera B. Pero hay carteras que al combinarse con Rf son preferibles a B, porque dicha combinación está por encima de RfB. Y, de hecho, hay una cartera formada por títulos con riesgo que al

combinarse con el activo sin riesgo proporciona la mejor combinación posible, la RfM (véase la figura 2), donde M es el punto de tangencia con la frontera eficiente.

Fig.2

Si suponemos que nos encontramos en un mercado eficiente3, todos los inversores se darán cuenta inmediatamente de que la mejor cartera de títulos con riesgo es la M y, lógicamente, todos invertirán parte de su presupuesto en ella y el resto en el activo sin riesgo. Pero ¿qué ocurre con aquéllos inversores que quieran obtener un mayor rendimiento del proporcionado por la propia cartera M?, pues que pedirán prestado dinero al tipo de interés libre de riesgo Rf. Así que, todos los inversores

3 Los supuestos básicos para que esto se cumpla son: Los inversores son diversificadores eficientes, el dinero puede

invertirse o pedirse prestado al tipo de interés libre de riesgo, los inversores tienen expectativas homogéneas, no hay impuestos ni costes de transacción, y el mercado de capitales se encuentra en equilibrio.

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saben que hay que invertir en la recta RfMZ y cada uno de ellos elegirá su combina-

ción óptima sobre la misma, tal y como puede verse en la figura 3.

Fig.3

Aquí es donde surge el denominado teorema de la separación enunciado por el pre-mio Nobel James Tobin4 que dice que el problema de la elección de una cartera óp-tima puede descomponerse en dos decisiones separadas e independientes entre sí. Por un lado, la determinación de la mejor cartera formada exclusivamente por acti-vos con riesgo (la cartera M) es una cuestión puramente técnica y será la misma para todos los inversores. La segunda decisión implica elegir la combinación óptima entre el activo sin riesgo y dicha cartera de mercado y dependerá de la preferencia personal de cada inversor. Resumiendo, todo inversor, dadas las predicciones sobre los activos con riesgo, da-do el tipo de interés sin riesgo y dada la capacidad de préstamo o endeudamiento sobre dicho tipo de interés, se enfrentará con una situación similar a la representa-da en la figura 3. Todas las carteras eficientes se sitúan en la línea RfMZ. La fron-

tera eficiente de Markowitz se ha transformado en una línea recta. Cada punto de la línea RfMZ puede obtenerse: 1º) Al endeudarse o al prestar al tipo

de interés sin riesgo y 2º) Al colocar fondos con riesgo en la cartera M, que se com-pone exclusivamente de activos con riesgo. Esta cartera M es la combinación ópti-ma de los títulos con riesgo. Como todos los inversores tienen las mismas predicciones todos se encontrarán an-te el mismo diagrama mostrado en la figura 3. Por lo tanto, todos los inversores es-tarán de acuerdo en lo referente a la combinación óptima de los títulos con riesgo. Pero no tendrán porqué elegir la misma cartera, puesto que unos prestarán dinero

4 Tobin, James (1958): “Liquidity Preference as Behaviour Towards Risk”, Review of Economic Studies 25, nº2, Febrero, pp.: 65-86

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(punto A de la fig.3) y otros lo pedirán prestado (punto B en fig.3), aunque todos distribuirán el conjunto de sus fondos con riesgo de la misma forma. La composi-ción de M indica la proporción de estos fondos invertida en cada uno de los títulos con riesgo. En el equilibrio, la combinación óptima de los títulos con riesgo ha de incluir todos los títulos y la proporción de cada uno en dicha combinación será igual a la que re-presenta su valor en el conjunto del mercado. Si M incluyese una cantidad negativa de algún título, como todos los inversores piensan lo mismo, todos ellos habrían pe-dido prestado dinero, pero ¿a quién? si nadie está dispuesto a prestarlo. Si un in-versor compra un título determinado en mayor proporción que la que éste repre-senta en el conjunto del mercado, como todos los inversores (que son el conjunto del mercado) opinan lo mismo, le será muy difícil adquirirlo pues los demás inver-sores no estarán dispuestos a deshacerse de él. Así que bajo las condiciones su-puestas, la combinación óptima de los títulos con riesgo es la que existe en el mer-cado. La cartera M es, por lo tanto en palabras de Sharpe, la cartera de mercado, que podemos definirla como la combinación de todos los títulos con riesgo en la misma proporción que tienen en el mercado de valores. Dicha cartera no hace falta calcularla pues cualquier índice bursátil (como el Ibex-35, el Standard & Poor’s 500, o el FT100, por ejemplo) puede actuar como una pseudocartera de mercado al tener representados a los valores de mayor peso del mercado de valores Resumiendo, en el equilibrio todos los inversores adquieren la cartera M, que estará formada por el conjunto de todos los activos con riesgo del mercado en la misma proporción que se encuentran en dicho mercado. Si los inversores desean un mayor rendimiento que el ofrecido por el propio mercado deberán pedir prestado para poder desplazarse hacia la derecha de la línea RfMZ (punto B); si, por el contrario, desean un menor riesgo deberán prestar con lo que se situarán a la izquierda de M (punto A). En todo caso su combinación óptima de cartera de mercado y activos sin riesgo vendrá dada por la curva de indiferencia que sea tangente a dicha recta. 2. La Línea del Mercado de Capitales (CML) En el equilibrio cualquier inversor escogerá un punto situado en la línea RfMZ de la

figura 4. Los inversores más conservadores prestarán parte de su dinero colocando el resto en la cartera de mercado M. Los más arriesgados pedirán prestado con ob-jeto de colocar una cantidad mayor que la de sus fondos iniciales en la cartera de mercado. Pero todos ellos se situarán sobre dicha línea a la que se denomina línea del mercado de capitales (capital market line) o más comúnmente CML. Sólo las carteras eficientes se situarán en dicha recta, mientras que las restantes, o los títulos aisladamente considerados, lo harán por debajo de ella.

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2.1 Características de la CML:

1ª.- La ordenada en el origen (Rf) es el tipo de interés nominal sin riesgo. Es

el precio de consumo inmediato o la recompensa por esperar; es decir, por no consumir ahora, sino más tarde, recibiremos un Rf% de interés.

Se le suele conocer con el nombre de precio del tiempo o, también, el ti-po de interés por retrasar el consumo.

2ª.- La pendiente de la CML representa la relación entre la rentabilidad espe-rada (Ep) y el riesgo asociado (!p). Se la denomina comúnmente precio

del riesgo.

Fig.4 La línea del mercado de capitales (CML)

2.2 La ecuación de la CML A partir de la figura 4 podemos escribir la siguiente ecuación de la CML en función de la pendiente (r) y de la ordenada en el origen (Rf):

Ep = Rf + r !p

El rendimiento esperado de la cartera de mercado será según la ecuación de la CML:

EM = Rf + r !M de donde se deduce el valor de la pendiente r (ver la figura 5):

y sustituyendo el valor de r en la ecuación inicial de la CML obtendremos:

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Fig.5 La pendiente de la CML

Otra forma de llegar a la misma ecuación reside en la idea de que los inversores combinan la cartera de mercado, M, con préstamos o endeudamientos al tipo de interés libre de riesgo (Rf). Por tanto, el rendimiento esperado de dicha combina-

ción será:

Ep = (1 - X) Rf + X EM = Rf + [EM - Rf] X

donde X es la parte del presupuesto total invertida en la cartera de mercado y 1-X la prestada (si X<1) o debida (si X>1) [ver la figura 6].

Fig.6. Carteras eficientes con préstamo y endeudamiento

Por otra parte el riesgo de dicha combinación, medido por la desviación típica, será:

!p = X !M

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si ahora despejamos X y sustituimos su valor en la ecuación anterior obtendremos la ecuación de la CML:

La teoría del mercado de capitales se refiere a las ideas de la gente sobre las opor-tunidades existentes, por lo tanto, son estimaciones realizadas "a priori"; por dicha razón los resultados reales diferirán de los predichos. La cartera de mercado resulta ineficiente en la consideración ex-post, dado que si no fuese así y el futuro se pu-diese predecir con certeza, los inversores no diversificarían y la cartera óptima sería aquella formada por el título de máxima rentabilidad. Es precisamente la falta de certeza lo que justifica la existencia de la teoría de selección de carteras y de la teoría del mercado de capitales. 3. La Línea del Mercado de Títulos (SML). El CAPM Por convenio, el riesgo de una cartera se mide por la desviación típica de su renta-bilidad. En el equilibrio se da una relación simple entre la rentabilidad esperada y el riesgo de las carteras eficientes. Pero dicha relación no se cumple con las carteras ineficientes ni con los títulos aislados. Habrá, pues que encontrar alguna otra medi-da del riesgo. La figura 7 muestra una situación típica de equilibrio donde el punto Z representa un título aislado, que se sitúa por debajo de la CML al ser la inversión en un activo ineficiente. Supongamos que repartimos nuestra inversión entre la cartera de mer-cado, M, y el título con riesgo Z. El rendimiento esperado y el riesgo de esta combi-nación serán: EP = X EZ + (1-X) EM

!2

P = X2 !2Z + (1-X) 2 !2

M + 2X (1-X) !ZM

Cuanto más próximo esté el valor X a la unidad más cerca nos encontraremos del punto Z y cuanto más próximo a cero más invertiremos en la cartera de mercado. A continuación vamos a calcular el valor de la pendiente de la curva MZ en el punto M, puesto que presenta un interés especial. Comenzaremos calculando la desvia-ción típica de la combinación anterior: !P = [X2 !2

Z + (1-X)2 !2M + 2X (1-X) !ZM]1/2

derivando ahora parcialmente con respecto a X:

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"!P/"X = (1/2) [2X!2Z – 2(1-X)!2

M + 2(1-X)!ZM - 2X!ZM ] [X2 !2Z + (1-X)2 !2

M +

2X (1-X) !ZM]-1/2 =

= (1/2) [2X!2Z – 2(1-X)!2

M + 2(1-X)!ZM - 2X!ZM ] / !P

= [X!2Z - (1-X)!2

M + (1-X)!ZM - X!ZM] / !P

= [X!2Z - !2

M + X!2M + !ZM - X!ZM - X!ZM] / !P

"!P/"X = [X (!2

Z + !2M - 2!ZM) + !ZM - !2

M] / !P

derivando el rendimiento de la cartera con respecto a X:

"EP/"X = EZ - EM

Fig.7

calculando ahora la pendiente:

!

"Ep

"#p

= "Ep /"X"#p /"X

= Ez - EM[ ] #p

X #Z2 + #M

2 - 2#ZM[ ] + #ZM - #M2

En el punto M, ocurre que X=0 y el riesgo de la cartera P coincide con el de la car-tera de mercado (!P = !M) por lo que sustituiremos aquél por éste, con lo que ten-

dremos:

!

"Ep

"#p

= Ez - EM[ ] #M

#ZM - #M2

la razón de la importancia de dicha pendiente estriba en que en el punto M, la com-binación ZM ha de ser tangente a la CML cuando la situación es de equilibrio, por lo tanto, ambas pendientes serán idénticas:

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!

Ez - EM[ ] "M

"ZM - "M2 =

EM - Rf

"M

y después de operar obtendremos la ecuación de la línea del mercado de títulos (Securities Market Line - SML), que es la base del modelo de valoración de activos financieros (Capital Assets Pricing Model o CAPM) desarrollado por el premio Nobel William Sharpe5 y por John Lintner6:

!

Ez - EM = EM - Rf

"M2 "ZM - "M

2( ) !

!

Ez = EM + EM - Rf

"M2 "ZM -

EM - Rf

"M2 "M

2

En el equilibrio todos los títulos y carteras (eficientes o no) se situarán en la SML (fig. 8). Una medida adecuada del riesgo de cada activo es la covarianza de su rendimiento con el del mercado, representándose sobre la SML, que relaciona Ei con !iM. Así que cuando un inversor considere añadir un nuevo título a su cartera

deberá saber que el único riesgo por el que será premiado será la covarianza del rendimiento del activo con el del mercado y no su riesgo total medido por la varian-za o desviación típica. Esto se ve más claramente si sustituimos la ecuación de la SML vista más arriba por la siguiente en función del coeficiente de volatilidad ßi:

Ei = Rf + [EM - Rf] ßi

Fig.8 La línea del mercado de títulos (SML)

5 Sharpe, William (1964): “Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk”. Journal of Finance 19, nº 3, septiembre, pp.: 425-442 6 Lintner, John (1965): “The Valuation of Risk Assets and the Selection of Risky Investments in Stock Portfolios and Capital Budgets”, Review of Economics and Statistics 47, nº1, febrero, pp:13-37.

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Dicho coeficiente ß indica la volatilidad de la rentabilidad del título en relación a las variaciones de la rentabilidad del mercado. Aquellos títulos o carteras con una ß > 1 tendrán un riesgo superior al de la cartera de mercado y se denominan agresivos; mientras que los que tengan la ß < 1 tendrán un riesgo menor que la cartera de mercado y se les denomina defensivos. Así que la medida significativa del riesgo de un título es su volatilidad, es decir, su riesgo sistemático. Este concepto es suficien-temente importante como para dedicarle el siguiente apartado. La SML también sirve para calcular el rendimiento esperado de las carteras (tanto si son eficientes como si no lo son). Para ello basta con calcular la ßeta de la cartera a través de la media de las ßetas de cada título, ponderadas por la parte del presu-puesto invertido en las mismas, de esta manera tendríamos que la ßeta de la carte-ra es igual a:

ßP = X1ß1 + X2ß2 + ... + Xnßn

y, por tanto la ecuación de la SML para cualquier cartera quedará de la siguiente forma:

EP = Rf + [EM - Rf] ßp

Al disponer de la SML tenemos una herramienta capital que nos permite obtener el rendimiento esperado de un activo financiero (título individual o cartera de valores) en función de su riesgo sistemático. Así, por ejemplo, si la ßeta de Repsol fuese del 1,25 y la prima de riesgo del mer-cado de valores de Madrid (EM - Rf) es del 5%, sabemos que si el tipo de interés sin

riesgo es del 4%, el rendimiento anual esperado de las acciones de Repsol es del: 4% + 5% x 1,25 = 10,25%. 3.1 Supuestos básicos del CAPM El CAPM se basa en una serie de supuestos básicos, que permiten a los inversores diversificar eficientemente sus carteras sin incurrir en un coste adicional. Dichos su-puestos son:

a) No existen costes de transacción b) Todos los activos pueden ser negociados c) Cualquier activo es infinitamente divisible d) Todos los inversores tienen acceso a la misma información e) Es imposible encontrar activos infra o sobrevalorados en el mercado

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4. El modelo de mercado. Riesgos sistemático y específico Sharpe desarrolló un modelo de regresión lineal denominado modelo de mercado, a partir del modelo diagonal7, que relacionaba el rendimiento del mercado (variable independiente) y el rendimiento del título o cartera (variable dependiente), dicho modelo es el siguiente:

Ri = #i + ßi x RM + $i donde Ri y RM son los rendimientos del título i y del mercado, los cuales son conoci-

dos puesto que se calculan "a posteriori" a través de las expresiones:

Ri = [Pit + Dit – Pit-1] / Pit-1 y RM = [It – It-1] / It-1

donde Pit es el precio en el momento t; Dit son los dividendos y cualquier otro flujo de caja que se reciba durante el período; y Pit-1 es el precio en el momento inme-diato anterior, lo mismo ocurre con It que es el valor de un índice bursátil en el mo-mento t e Ii-1 que es su valor en el momento anterior.

Una vez calculados los rendimientos del título y del mercado tendremos un par de series de valores representativas de cada uno de ellos, a través de las cuales calcu-laremos una regresión lineal mínimo cuadrática (ver figura 9 y el epígrafe 5). Y de ella extraeremos los valores de alfa y beta. A la recta de regresión se la conoce co-mo línea característica del título.

Fig. 9 Línea característica del título o cartera

Alfa indica el rendimiento promedio del título cuando el rendimiento del mercado es nulo (esto es cuando el mercado no se mueve ni al alza ni a la baja). Mientras que ßeta indica la volatilidad del rendimiento del título con respecto a una variación del

7 La diferencia entre ambos radica en que en el modelo diagonal se utiliza como variable exógena o independiente el valor de un índice significativo, mientras que en el modelo de mercado éste se sustituye por su variación relativa, es decir, por su rendimiento. Véase Mascareñas, Juan (2007): “Gestión de Carteras I: Selección de Carteras”. http://www.ucm.es/info/jmas/load.htm

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rendimiento del mercado, de ahí su nombre de coeficiente de volatilidad. Por otra parte, $i es el error que indica la perturbación aleatoria equilibradora del modelo

estadístico. Una vez que disponemos de los valores de alfa y de beta, podemos calcular el ren-dimiento esperado de un título para un período de tiempo futuro. Para ello aplicare-mos la siguiente expresión8:

Ei = #i + ßi x EM

donde Ei y EM indican el rendimiento esperado, respectivamente, del activo y del

mercado. Observe que en el modelo "ex post" los parámetros alfa y beta eran los valores a determinar a través de un modelo de regresión lineal. Mientras que en el modelo "ex ante", ambos parámetros son conocidos al igual que el rendimiento es-perado del mercado, mientras que el rendimiento esperado del título es la incógni-ta. ßeta es posible obtenerlo dividiendo la covarianza entre el rendimiento del titulo y el del mercado (!iM), entre la varianza del rendimiento del mercado (!2

M); y alfa

por diferencia entre la ecuación anterior:

%i = !iM / !2M

#i = Ei - ßi x EM

Como usted bien sabe, cada vez que hablamos de rendimiento esperado debemos referirnos al riesgo que lleva implícita dicha esperanza. La expresión del riesgo es la siguiente:

!2i = ß2

i x !2M + !2

$&

esta expresión surge de calcular la varianza del rendimiento esperado de un título que es igual a la varianza de una suma de variables, algunas de las cuales son aleatorias (RM, $i) y otras no (alfa y beta).

Observe la expresión anterior porque es sumamente importante, fíjese que a la derecha del signo "=" hay dos sumandos. Al primero se le denomina riesgo siste-mático, porque indica el riesgo del título o de la cartera que depende única y exclu-sivamente del mercado, es decir, a factores comunes de tipo macroeconómico. Ten-ga en cuenta que la ßeta es diferente para cada activo financiero mientras que la varianza del rendimiento del mercado (!2M) es la misma para todos ellos. Así que

cuanto más grande sea la ßeta mayor será el riesgo sistemático, es decir, más va-riará el rendimiento del título cuando varíe el rendimiento del mercado. De ahí los activos agresivos que tienen una beta mayor que la del mercado (como usted re-

8 Téngase en cuenta que E($i) = 0

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cordará el mercado tiene una beta = 1, puesto que él varía al unísono consigo mis-mo), mientras que los defensivos tienen una beta más pequeña que la del mercado. Así, por ejemplo, las empresas constructoras suelen ser de tipo agresivo, mientras que los bancos suelen ser valores defensivos. El otro sumando representa el riesgo específico, (también conocido como idiosincrá-tico) es decir, la parte del riesgo total del título que depende sólo de la propia em-presa y no del mercado. Este riesgo es importante porque tiene la propiedad de ser diversificable y, prácticamente, anulable. Esto es, si usted en vez de invertir en un sólo título lo hace en varios, el riesgo específico de su cartera será cada vez más pequeño. Más aún las carteras eficientes tienen un riesgo específico igual a cero. Teniendo en cuenta que el riesgo específico es posible eliminarlo con una buena di-versificación realizada por el inversor, pero no así el sistemático, es importante que usted entienda que el rendimiento esperado de un título o de una cartera depende principalmente del riesgo sistemático. Esto es ¡el mercado sólo paga el riesgo siste-mático de su inversión!, por lo tanto si usted no elimina el riesgo específico estará corriendo un riesgo no remunerado, o lo que es lo mismo, totalmente gratuito. Vuelva a observar la expresión de la SML

Ei = Rf + [EM - Rf] ßi

y vea como la ßeta es la variable independiente del modelo, todo depende de ella, y ella es la base del riesgo sistemático (ß2

i x !2M), puesto que la varianza del ren-

dimiento del mercado (!2M) es igual para todos los activos que coticen en el mer-

cado, pero no así la ßeta. Todo lo dicho hasta ahora para títulos aislados sirve exactamente para las carteras de valores sin más que sustituir en las ecuaciones de la SML y de la línea caracte-rística del título, los parámetros alfa y beta de una acción por los de una cartera. Para ello basta recordar que, como ya comentamos anteriormente, la beta (alfa) de una cartera es igual a la media ponderada de las betas (alfas) de los títulos que la componen9. Así que si tenemos una cartera eficiente estaremos seguros de que no tiene riesgo específico sino sólo sistemático. De tal manera que si queremos cubrirnos del riesgo de una cartera eficiente sólo nos concentraremos en cubrir su riesgo sistemático. Esto podrá hacerse con los instrumentos financieros del tipo de las opciones, fu-turos, swaps, etc.

9 La beta de la cartera de mercado es igual a la unidad y su alfa es igual a cero.

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5. La estimación de la beta El proceso para obtener la línea característica ex-post se compone de los siguientes pasos (véase el ejemplo de la tabla 1):

1º. Se determinan los rendimientos periódicos del activo y del índice. El rendi-miento se calcula dividiendo el valor del activo, o del índice, entre su valor la fecha inmediata anterior (el día antes, el mes antes, etcétera) y al resul-tado se le extrae su logaritmo natural: Ln(Preciot / Preciot-1). Donde pone Preciot se incluye no sólo su valor de mercado sino los dividendos reparti-dos en esa fecha. Así, por ejemplo, Ln(19/17) = 0,111

2º. Se determina el rendimiento medio del activo (Ep = 0,048) y del índice (EM

= 0,022) 3º. Se calcula el valor de la varianza de los rendimientos del activo (!2

p) y del índice (!2

M). Así como la covarianza entre ambos. Esta última se obtiene

para cada período t de la siguiente forma: (Rpt - Ep)( RMt – EM), por ejemplo, (0,111-0,048)(0,123-0,022) = 0,006 Y luego se calcula la media aritmética de los productos para obtener !pM =

0,019 4º. El coeficiente beta se obtiene dividiendo la covarianza (!pM) entre la va-

rianza del rendimiento del mercado (!2M): %p = !pM/!2

M = 0,019 / 0,012 =

1,537

5º. El coeficiente alfa se obtiene restando del rendimiento medio del activo (Ep) el producto de multiplicar la beta por el rendimiento medio del merca-do (EM):

#p = Ep - %p EM = 0,048 – (1,537 x 0,022) = 0,014

Activo Índice Rdto. Activo Rdto. Índice Covarianza

17 345 19 390 0,111 0,123 0,006 24 416 0,234 0,065 0,008 21 379 -0,134 -0,093 0,021 15 320 -0,336 -0,169 0,074 18 338 0,182 0,055 0,004 23 390 0,245 0,143 0,024 27 430 0,160 0,098 0,008 25 412 -0,077 -0,043 0,008

Rdto. Medio = 0,048 0,022 0,019 Varianza (!2

M) = 0,012 Beta = 1,537 Alfa = 0,014

Tabla 1. Cálculo de la línea característica ex-post

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Figura 10. Línea característica del activo

En la figura 10 se muestra la gráfica de la recta de regresión lineal resultante del ejemplo de la tabla 1, la beta indica la pendiente de dicha recta; ésta última se de-fine a través de la siguiente ecuación10:

Ep = 0,014 + 1,537 EM

Ejemplo: A continuación se muestran los datos principales del cálculo de las ecua-ciones de las líneas características para Endesa y Gas natural durante el periodo que la primera estuvo sometida a la OPA lanzada por la gasista (5-sept-2005 hasta 1-feb-2007), y el gráfico de las mismas. Los rendimientos se calcularon diariamen-te. En el caso de Endesa, obsérvese el bajo valor de alfa, que hace que la línea carac-terística de Endesa pase por el centro del eje de coordenadas. Véase como el riesgo específico es dos veces el sistemático, lo que parece lógico porque el precio de la acción de Endesa se movía conforme se iban sucediendo los rumores y noticias acerca de la OPA; algo totalmente independiente del movimiento del IGBM. Esto también se puede apreciar en el bajo coeficiente de determinación Los valores del riesgo total (la desviación típica), del riesgo sistemático y del riesgo específico están en términos diarios, para pasarlos a una base anual basta con mul-tiplicarlos por la raíz cuadrada de 365 (aunque hay quien piensa que esta cifra de-bería representar a los 270 días hábiles del año, en cuyo caso el riesgo total anua-lizado de Endesa sería de un 22,84%).

10 Este tipo de cálculo se realiza mediante un software estadístico en el que además de los coeficientes alfa y beta, se suministran otras variables que son muy útiles. Por ejemplo, el coeficiente de determinación, que indica hasta qué punto la volatilidad de la cartera depende de la volatilidad del mercado; o la propia volatilidad de la beta, puesto que el valor obtenido para ésta es un valor medio sujeto, por tanto, a una variación.

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Endesa

Por otro lado, en cuanto a Gas Natural, su alfa es aún más pequeña y su beta es casi idéntica a la del mercado. También su riesgo específico es mayor que el siste-mático (lógico, por otra parte) lo que viene corroborado por su coeficiente de deter-minación, que es pequeño aunque no tanto como el de Endesa.

Gas Natural

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Si con estos datos formásemos una cartera, su rendimiento diario esperado y su riesgo asociado serían: Ep = 0,20% Xend + 0,09% Xgn !2

p = [(0,8461 Xend + 0,994 Xgn)2 x 0,764%2] + [1,231%2 Xend2 + 1,02%2 Xgn

2]

A continuación se muestra el gráfico representativo de las combinaciones posibles entre ambas compañías.

Tabla 2 Betas de las empresas del Ibex-35 a 23-feb-07

[Fuente: http://www.infomercados.com/webn/analisis/Riesgo.asp] 5.1 Algunas consideraciones sobre las betas históricas

1. El plazo de estimación: Normalmente se analizan los datos históricos que van desde los dos últimos años hasta los últimos cinco. Si se utiliza un pe-riodo largo se dispone de más datos, lo que es bueno estadísticamente ha-blando, pero también es posible que la empresa haya variado sus caracterís-ticas de riesgo. Con un período corto ocurre todo lo contrario.

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2. El intervalo de los rendimientos: El intervalo puede ser anual, trimestral, mensual, semanal, etcétera, lo que lleva a resultados distintos entre ellos (por ejemplo, Telefónica tenía una beta calculada trimestralmente de 1,51 y de 1,79 si se calculaba anualmente11). Sin embargo, partiendo de la base de que pretendemos obtener la tasa de descuento ajustada al riesgo del activo en cuestión y que tanto el rendimiento libre de riesgo como la prima de ries-go se expresan en términos anuales, parece lógico que la beta se obtenga a través de intervalos anuales.

3. El índice de mercado: El índice que va a representar a la cartera de mercado debería ser el de la Bolsa en la que se negocia el activo a valorar12. Si el ac-tivo fuese una compañía multinacional podría ser útil el utilizar como índice uno de tipo internacional (como, por ejemplo, el índice Morgan Stanley Capi-tal International o MSCI).

4. La beta ajustada: Hay evidencia empírica que apoya la idea de que el valor de las betas de los activos tiende a aproximarse hacia la beta del mercado (beta = 1), o hacia la beta media del sector, debido a que se supone que las empresas buscan diversificar al máximo su gama de productos y su clien-tela. Cuando se calcula la beta con objeto de obtener la tasa de descuento para descontar flujos de caja que se van a extender a lo largo de bastantes años, hay que suponer que su valor va a aproximarse al comentado ante-riormente por lo que se corrige la beta históricamente calculada mediante una expresión algo arbitraria13: Beta ajustada = Beta histórica x (2/3) + Beta del sector o mercado x (1/3)

6. Las implicaciones del CAPM El CAPM tiene una serie de importantes implicaciones entre las que destacaremos las siguientes14.

1ª. El rendimiento esperado de un activo no depende de su riesgo total sino que depende únicamente de la parte del riesgo total que está correlaciona-da con la cartera de mercado15: !i 'iM.

2ª. La beta ofrece un método para medir el riesgo de un activo que no puede ser diversificado. El CAPM es un modelo de equilibrio en el que se supone

11 Bolsa de Madrid nº 99 Mayo. 2001. Pág.: XV 12 En cuanto al índice del mercado hay que tener en cuenta que en un gran número de Bolsas de valores pequeñas el índice puede estar dominado por una o dos grandes empresas (por ejemplo, Nokia llegó a ponderar el 75% del índice HEX de la Bolsa de Helsinki). En este caso la validez del índice está en entredicho y podría buscarse otro más interna-cional (como, por ejemplo, en el caso europeo el Eurostoxx 50 u otro similar) 13 Bloomberg utiliza una expresión más sofisticada basada en la confianza estadística de la regresión de la beta. 14 PEROLD, André (2004): “The Capital Asset Pricing Model”. Journal of Economic Perspectives, vol 18 nº3, verano pp.:

3-24 15 Riesgo sistemático = %i !M = = !i 'iM

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que las relaciones rendimiento-riesgo sistemático de los activos aparecen situadas en la SML; de tal manera que si tuviésemos dos activos (títulos o carteras) cualesquiera – el A y el B- que tienen, respectivamente, un ren-dimiento medio y , y un riesgo sistemático %A y %B, deberían en-

contrarse sobre la SML. Sin embargo, como se aprecia en la figura 11, el activo A proporciona un rendimiento superior al que debería haber propor-cionado según la ecuación de equilibrio del mercado; por tanto, los inver-sores se lanzarán a adquirirlo empujando su precio de mercado al alza lo que, a su vez, provocará una caída de su rendimiento hasta que éste se si-túe en el punto A’. Por otro lado, los inversores venderán el activo B que proporciona un rendimiento inferior al que debería según el valor de su riesgo sistemático. Al vender el activo su precio descenderá impulsando al alza su rendimiento hasta que se sitúe en B’.

Fig. 11

3ª. En el CAPM el rendimiento esperado de un activo no depende de la tasa de

crecimiento de sus flujos de caja futuros esperados. Para estimar la tasa de rendimiento esperada sobre los fondos propios de una empresa no es necesario llevar a cabo un exhaustivo análisis financiero y prever sus flujos de caja futuros. Sólo necesitamos estimar la beta de sus acciones.

7. La polémica sobre la validez del CAPM Utilizando las mismas palabras de Fama y French16, la atracción del CAPM es que ofrece predicciones poderosas e intuitivamente favorables sobre cómo medir el ries-go y sobre la relación entre éste y el rendimiento esperado. Por desgracia, el histo-

16 Fama, Eugene, y French, Kenneth (2004): “The Capital Asset Pricing Model: Theory and Evidence”. Journal of Economic Perspectives, vol 18 nº3, verano pp.: 25-46. Una parte sustancial de este apartado se basa en este trabajo.

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rial empírico del modelo es pobre, tanto como para poder invalidar bastantes de sus aplicaciones prácticas. Los problemas empíricos del CAPM pueden reflejar fallos teó-ricos, resultado de los múltiples supuestos simplificadores, pero también pueden ser debidos a las grandes dificultades en implantar test válidos del propio modelo. Por ejemplo, el CAPM dice que el riesgo de un activo debería medirse con relación a una “cartera de mercado” que debe incluir no sólo los activos financieros negocia-dos sino también los bienes de consumo durables, los bienes raíces y el capital hu-mano. Incluso, si nos limitamos sólo a los activos financieros, ¿la cartera de merca-do debería incluir sólo las acciones negociadas en una bolsa determinada? O ¿debe-ríamos incluir también los bonos u otros activos financieros negociados en el mun-do?. En cualquier caso los fallos de las pruebas empíricas del modelo llevan a seña-lar que la mayoría de las aplicaciones del modelo no son válidas. El CAPM es triunfo teórico y un desastre empírico. Desde 1980 varios estudios han demostrado las debilidades de la beta a la hora de predecir el rendimiento esperado de un título o cartera. Así variables como el tamaño de las compañías, la relación entre el precio de mercado y el valor contable, y el momento idóneo para realizar la compra del título explican igual o mejor el rendimiento esperado del título que el propio CAPM. Por ejemplo, el estudio llevado a cabo por Eugene Fama y Kenneth French17 de la Universidad de Chicago en 1992. En su estudio encontraron que los rendimientos de los títulos se relacionan inversamente con el tamaño de una empresa medido éste a través de su capitalización bursátil y con el ratio "valor de mercado / valor contable". Ambas relaciones explican el rendimiento financiero de los títulos mejor que la propia beta. Es decir, que si disponemos de una tabla donde aparezca el ta-maño, la relación valor de mercado - valor contable y las primas de riesgo con res-pecto a ambos valores, podemos estimar de una forma rápida y más fiable el valor del rendimiento mínimo exigido a las acciones de una empresa. Todo esto parece indicar que la aplicación práctica del CAPM es bastante inútil. Por ejemplo, los libros de finanzas suelen recomendar la utilización del CAPM para esti-mar la relación rendimiento-riesgo de un título y de ahí establecer el valor del coste del capital propio. La típica cartera de mercado en dicho cálculo suele incluir activos nacionales, sin embargo, el trabajo empírico demuestra que la relación entre la be-ta y el rendimiento medio es más horizontal de lo que predice el CAPM. Así, según éste último, el coste de las acciones de empresas con betas altas es más alto que el coste histórico, mientras que ocurre exactamente lo contrario con las acciones de empresas con betas bajas18. El CAPM es, sin embargo, un triunfo teórico. Lo continuamos enseñando como una introducción a la teoría de carteras y a la valoración de activos, y como desarrollo 17 Fama, Eugene, y French, Kenneth (1992): "The Cross-Section of Expected Stock Returns". The Journal of Finance 47, nº2 (junio). Pp.: 427-465. 18 Friend y Blume (1970): "Measurement of Portfolio Performance under Uncertainty." American Economic Review. 60:4, pp. 607-36.

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de modelos más sofisticados como el ICAPM de Merton. Pero debemos avisar a nuestros alumnos que a pesar de su atractiva simplicidad, sus problemas empíri-cos19 pueden invalidar sus aplicaciones. Dicho todo lo anterior debemos ser conscientes de una obviedad20: de momento, en el contexto empresarial, no hay una alternativa mejor al CAPM. No importa lo imprecisas que sean sus estimaciones, al carecer de alternativa, son lo mejor con lo que podemos contar. Digamos que el CAPM proporciona una tasa de rendimiento esperado razonable pero no exacta. Este modelo tiende a ser mejor a la hora de jerarquizar proyectos de inversión que en proporcionar un valor absoluto del coste del capital (un error en la estimación de la prima de riesgo del mercado puede ses-gar el valor del rendimiento esperado). En cualquier caso, el CAPM sigue siendo el modelo de valoración más ampliamente utilizado, tal vez por su gran sencillez y la lógica en la que se basa, que muestra al-go ampliamente conocido, es decir, que la utilidad de un modelo no se corresponde normalmente con la exactitud de sus predicciones (los más exactos suelen ser muy complicados de desarrollar y la información necesaria para alimentarlos muy cara y difícil de conseguir). 8. La teoría de valoración por arbitraje (APT) Al igual que el CAPM, la teoría de valoración por arbitraje (APT o arbitrage pricing model)21 es un modelo de equilibrio acerca de cómo se determinan los precios de los activos financieros. Esta teoría desarrollada originalmente por Stephen Ross se basa en la idea de que en un mercado financiero competitivo el arbitraje22 asegura-rá que los activos sin riesgo proporcionen el mismo rendimiento esperado. El mode-lo se basa en la idea de que los precios de los activos se ajustan conforme los in-versores construyen carteras de valores que persiguen la consecución de beneficios de arbitraje. Cuando ya no existan dichas oportunidades se alcanzará el equilibrio en los precios de los activos financieros. Según esta teoría la rentabilidad de cada acción depende por un lado de las influen-cias exógenas de una serie de factores macroeconómicos y, por otro, de una serie de perturbaciones específicas de cada compañía en particular. Así, para cada acción

19 Por ejemplo, cuando se estima la prima de riesgo del mercado se obtiene un valor medio, pongamos un 5,1% anual, pero esta media lleva incorporada una desviación típica, por ejemplo del 1,6%. Esto significa que el rango de la media +/- dos veces la desviación típica va desde un valor de la prima del 1,9% hasta uno del 8,3%. Así que si tenemos un tipo de interés sin riesgo del 4% y una beta igual a la unidad, el rendimiento esperado de ese activo estará comprendi-do entre el 5,9% y el 12,3%. 20 Ivo Welch (2006): A First Course in Corporate Finance. http://book.ivo-welch.info/ed2/toc.html 21 Ross, Stephen (1976): “The Arbitrage Theory of Capital Asset Pricing” Journal of Economic Theory 13, nº3, diciembre pp: 341-360 22 Recuérdese que arbitraje es la operación consistente en comprar un activo determinado en el mercado en que se encuentre más barato y simultáneamente venderlo en el más caro. Con ello se consigue un beneficio sin riesgo (a esto algunos economistas le llaman free lunch, es decir, “comida gratis”).

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hay dos fuentes de riesgo. La primera es la que proviene de los efectos macroeco-nómicos que no pueden ser eliminados mediante la diversificación. La segunda es que el riesgo proviene de posibles sucesos que son específicos de cada empresa; éste tipo de riesgo es eliminable a través de la diversificación. De esta manera, la prima por el riesgo esperado de una acción es afectada por el riesgo macreoconó-mico y no por el riesgo específico. El modelo no dice cuáles son esos factores macroeconómicos o por qué son econó-micamente relevantes sino que sólo señala que hay una relación entre ellos y los rendimientos de los activos financieros. En todo caso los cinco factores más común-mente utilizados son:

a) El nivel de actividad industrial b) La tasa de interés real a corto plazo, medida por la diferencia entre el ren-

dimiento de las Letras del Tesoro y el Índice de Precios al Consumo (IPC). c) La tasa de inflación a corto plazo, medida por las variaciones en el IPC d) La tasa de inflación a largo plazo, medida por la diferencia entre el rendi-

miento hasta el vencimiento entre la Deuda Pública a largo y a corto plazo. e) El riesgo de insolvencia medido por la diferencia entre el rendimiento hasta

el vencimiento de los bonos empresariales a largo plazo calificados como AAA y los BBB.

La APT manifiesta que la prima por el riesgo esperado (ke - Rf) de una acción debe

depender de la prima por el riesgo asociada con cada factor macroeconómico en particular y la sensibilidad de la rentabilidad del activo en relación a cada factor (ßi). O expresado de otra manera, el rendimiento esperado de un título cualquiera (ke) es igual a:

ke = Rf + ß1(1 + ß2(2 +...+ ßn(n

donde Rf es el rendimiento del activo sin riesgo y las (i muestran las primas de riesgo asociadas con cada factor en particular ((i = Ei - Rf). La APT tendrá una uti-

lidad para el inversor siempre que éste pueda: a) identificar un número razonable de factores macroeconómicos, b) medir la prima de riesgo esperada en cada factor y c) medir la sensibilidad del rendimiento del activo con relación a cada factor. Una vez definidos los factores pasaríamos a calcular un modelo de regresión multiva-riante a través del que obtendríamos las betas de cada factor. Calculadas éstas po-dríamos obtener el valor del rendimiento esperado de cada acción, es decir, su cos-te de oportunidad del capital (al que habría que añadirle si fuesen necesarios los costes de emisión de dichas acciones). Ejemplo: Supongamos que los parámetros del modelo APM para una empresa determinada son (1= 2,75%; (2= 0,75%; (3= 3,05% y el tipo de interés sin riesgo

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es del 3,5%. Las correspondientes betas son, respectivamente, 1,20; 0,9; 1,15. Por tanto, el coste de las acciones ordinarias es igual a:

ke = 3,5% + (1,20 x 2,75%) + (0,9 x 0,75%) + (1,15 x 3,05%) = 10,98%

Los supuestos de este modelo son más generales que los del CAPM (no hay supues-tos sobre las preferencias del inversor y son mínimos los referentes a las distri-buciones de probabilidad) y sus conclusiones son menos específicas porque tanto el número de factores como su naturaleza no están especificados (ni siquiera se sabe qué factores serán valorados en el equilibrio). El CAPM puede ser visto como un ca-so particular de la APT; el CAPM dice que uno de los factores es la cartera de mer-cado y es el único que es valorado. Este es un resultado directo del teorema de la separación: todos los inversores, sin tener en cuenta sus diferencias, dividen su ri-queza entre dos tipos de fondos, uno sin riesgo y el otro es la cartera de mercado. Las betas de la APT dependen de las mismas variables que la del CAPM: tipo de ne-gocio y apalancamientos operativo y financiero (incluso, en éste caso, las expresio-nes de las betas factoriales apalancadas son las mismas que vimos en el apartado anterior). Bibliografía BERNSTEIN, Peter (2005): Capital Ideas. John Wiley. Hoboken (NJ)

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