gestiÓn de proyectos: redes pert cpm técnica cpm · 2020-03-29 · portal estadística aplicada:...

GESTIÓN DE PROYECTOS: REDES PERT‐CPM

• Técnica CPM• Algoritmo de Ackoff ‐ Sasieni

http://www.estadistica.net/

Portal Estadística Aplicada: Gestión de Proyectos: ‐ CPM. ACKOFF‐SASIENI 2


MÉTODO CPM ‐ RUTA CRÍTICA

El método CPM (Critical Path Method) es frecuentemente utilizado en el desarrolloy control de proyectos. El objetivo principal es determinar la duración de unproyecto, entendiendo éste como una secuencia de actividades relacionadas entresí, donde cada una de las actividades tiene una duración estimada.

La realización de cualquier proyecto lleva dos costes: Los directos que provienen defactores directamente imputables a cada tarea (coste del equipo, materias primas,horas de máquina, horas de hombres, etc.), y los indirectos que son imputablesmediante claves de distribución (gastos generales, multas, supervisión, etc.).

Las versiones originales de los métodos PERT Y CPM se diferencian en dos aspectosimportanes:

• El método PERT supone que los tiempos de ejecución son probabilísticos,mientras que el método CPM supone que las actividades son determinísticas.

• El método CPM asigna la misma importancia al tiempo y al coste.

ESTRUCTURA DEL PROBLEMA CPM

El objetivo fundamental de la técnica CPM, es determinar el cambio entre tiempoy coste que debe emplearse en cada actividad, para cumplir con el tiempo definalización del proyecto programado a un coste mínimo.

Los costes directos de una actividad suelen estar relacionados inversamente con suduración.

Cuando se reduce laduración de una actividad(i, j) a partir de un punto

ij ij(D , CD ) llega un

momento en el que resultaimposible disminuirla pordebajo de un cierto valor ijd

denominado duraciónrécord.

El punto ij ij(d , Cd ) poporciona el tiempo y el coste necesarios cuando se realiza la

actividad de forma intensiva, es decir, se acelera completamente sin reparar encostes.


Al aumentar la actividad llega un momento ijD en que los costes dejan de

disminuir, esta duración se denomina normal.

El punto determinado ij ij(D , CD ) porporciona el coste y tiempo necesarios cuando la

actividad se realiza de forma normal, sin recurrir a costes adicionales (horas extra,materiales especiales, etc.) para acelerar la actividad.

Las variables de decisión: ijx tiempo de duración de la actividad (i, j)=

Naturalmente, cuando es necesario acortar la duración de un proyecto, se deseahacerlo con el mínimo coste posible. Se hace necesario calcular las pendientes decoste de todas las actividades.

Las pendientes de coste representan el incremento de coste directo producido alreducir la duración del proyecto en una unidad de tiempo.

Incremento coste directo: ij ijij

ij ij

Cd CDp pendiente coste actividad (i, j)

D d

−=

−

Para cada actividad (i, j) ij ij

ij ij

CD Coste directo normal D Tiempo normal

Cd Coste directo récord d Tiempo récord

≡ ≡⎧⎨ ≡ ≡⎩


FORMULACIÓN DEL PROBLEMA CPM

MEDIANTE PROGRAMACIÓN LINEAL

Durante un tiempo máximo T de finalización del proyecto, se dben determinar lasduraciones ijx que minimizen el coste total.

Para tener en cuenta la finalización del proyecto se necesita una variable para cadasuceso:

iy ≡ tiempo más temprano (desconocido) del suceso i‐ésimo.

Designando por ijk la ordenada en el origen de la actividad (i, j) , el coste directo

total del proyecto será: ij ij iji , j

CD (T) (k p x )= −∑

El problema queda reducido a: ij iji , j

Max z p x= −∑

Sujeto a las restricciones:

ij ij

ij ij

i ij j

n

ij i

x d

x D

y x y 0

y T

x 0 y 0

≥⎧⎪ ≤⎪⎪ + − ≤⎨⎪ ≤⎪

≥ ≥⎪⎩

Una vez obtenida la solución para diversos valores de T, será preciso combinar losresultados obtenidos, con los costes indirectos para determinar el valor óptimode T.


PROYECTO CON CPM

PASO 1: ACTIVIDADES DEL PROYECTO

Se identifican todas las actividades que intervienen en el proyecto, interrelaciones,sucesiones, reglas de precedencia.

Actividad Actividad Predecesora Tiempo (horas)A ‐‐‐‐ 3B A 1C A 2D A 2E B ‐ C ‐ D 4

PASO 2: DIAGRAMA DE RED

Con la información recogida se obtiene el gráfico del proyecto:

F1 y F2 son actividades ficticias que no consumen tiempo ni recursos.

PASO 3: CÁLCULO DE LA RED

Se consideran tres indicadores (T1, T2 y H) , que se calculan en cada evento o nodo(entendiendo nodo como un punto donde se completan actividades y se inician lassubsiguientes).

• Tiempo más temprano de un suceso 1T (i‐ésimo nodo)

Para calcular este indicador debe recorrerse la red de izquierda a derecha, con lassiguientes consideraciones:


1

1 1

T (primer nodo) 0

T (nodo i‐ésimo) T (nodo anterior i 1) t(actividad finaliza el nodo)

== − +

Si en un nodo finaliza más de una actividad, se toma el tiempo de la actividad

con mayor valor.

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

1

1 1

1 1

1 11

1 1 1 1

1 1

T (1) 0

T (2) T (1) t(A) 0 3 3

T (3) T (2) t(B) 3 1 4

T (4) T (2) t(C) 3 2 5máxT (4) 5

T (4) T (3) t(F1) 4 0 4 T (4) T (2) t(F2) 5 0 5

T (4) T (4) t(E) 5 4 9

== + = + == + = + =

= + = + =⎧=⎨ = + = + = = + = + =⎩

= + = + =

• Tiempo más tardío de realización de un suceso 2T (i‐ésimo nodo)

Para calcular este indicador debe recorrerse la red de derecha a izquierda, con lassiguientes consideraciones:

2 1

2 2

T (primer nodo, de derecha a izquierda) T (de este nodo)

T (nodo i‐ésimo) T (nodo anterior i 1) t(actividad que se inicia)

Si en un nodo finaliza más de una activid

== − −

ad, se toma el tiempo

de la actividad con menor valor.

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩


2 1

2 2

2 22

2 2 2 2

2 2

T (4) T (4) 9

T (4) T (4) t(E) 9 4 5

T (2) T (3) t(B) 5 1 4mínT (2) 3

T (2) T (4) t(C) 5 2 3 T (2) T (5) t(D) 5 2 3

T (1) T (2) t(A) 3 3 0

= == − = − =

= − = − =⎧→ =⎨ = − = − = = − = − =⎩

= − = − =

• Tiempo de Holgura 2 1H T T= −

El tiempo de holgura es la diferencia entre el tiempo más tardío y el tiempo mástemprano de un suceso. En unidades de tiempo corresponde al valor que puedetardar la ocurrencia de un suceso.

La ruta crítica corresponde a los sucesos con holgura cero, es decir, la ruta críticaestá formada por la ocurrencia de sucesos en los que no puede retrarse una horarespecto al cronograma establecido, en otro caso se retrasaría la finalización delproyecto.


Hay dos rutas críticas:

Ruta formada por las actividades A, C, E Ruta con las actividades A, D, F2, E

PASO 4: CRONOGRAMA

En un cronograma se consideran varios factores, siendo el más importante larelación de precedencia, seguido por escalonar las actividades que componen laruta crítica de forma que se complete el proyecto dentro de la duración estimada.


ALGORITMO DE ACKOFF Y SASIENI: MICROCOMPUTADORES

La programación de proyectos a coste mínimo (M.C.E.) surge como prolongacióndel Método del Camino Crítico (C.P.M.) al analizar la relación que existe entre laduración de una actividad y el coste necesario para realizarla.

El método M.C.E. estudia las diferentes actividades en que se desarrolla unproyecto, considerando para cada una de ellas un intervalo de tiempo comprendidoentre un tiempo normal y un tiempo tope (récord). Cada uno de estos tiempos serefiere a un nivel de utilización de recursos.

Puesto que cada actividad tiene una duración entre el tiempo normal y el tiempotope, la duración total del proyecto también estará comprendida en un intervalo(tiempo máximo y tiempo mínimo), dependiendo del nivel que se están utilizandolos recursos.

A diferencia del método PERT, se considera que la duración de cada actividad no esuna cantidad fija, que sólo puede variar por circunstancias aleatorias, sino que, porel contrario, la duración de cada actividad varía de acuerdo con el nivel deutilización de recursos. En consecuencia, a cada nivel de recursos le correspondeuna duración determinada para cada actividad.

La resolución del método M.C.E. da lugar a un problema de programación linealparamétrica. Debido a lo complicado que puede resultar éste proceso operativo, seutiliza algún algoritmo específico (Ackoff y Sasieni).

El algoritmo de Ackoff y Sasieni permite abordar el problema planteado por elmétodo M.C.E de una manera mucho más sencilla y operativa que lo hacen losalgoritmos clásicos de programación paramétrica.


PLANTEAMIENTO DE UN CASO PRÁCTICO DEL ALGORITMO DE ACKOFF Y SASIENI

Un proyecto se compone de las especificaciones recogidas en la tabla adjunta.

Actividad PrecedentesTiempo normalejecución (días)

máximo

Tiempo topeejecución (días)

mínimo

Coste unitariode reducción

euros1 ‐‐‐‐ 10 10 02 1 10 10 03 1 40 40 04 1 28 20 105 2 8 8 06 3 10 6 407 5 30 10 1808 7 , 3 20 8 509 7 , 3 24 14 6510 4, 6, 8 10 6 8011 9 12 8 30

Determinar el coste del proyecto en el mínimo tiempo posible.

Solución:

El grafo PERT del proyecto:

Número de actividades N 12= , seis caminos M 6= y las actividadescorrespondientes a cada uno de ellos.


Caminos Orden de las actividades Número actividadesI 1 ‐ 2 ‐ 5 ‐ 7 ‐ 8 ‐ 10 6II 1 ‐ 2 ‐ 5 ‐ 7 ‐ 9 ‐ 11 6III 1 ‐ 3 ‐ F1 ‐ 8 ‐ 10 5IV 1 ‐ 3 ‐ F1 ‐ 9 ‐ 11 5V 1 ‐ 3 ‐ 6 ‐ 10 4VI 1 ‐ 4 ‐ 10 3

Para calcular la longitud de cada camino se elige el tiempo normal de ejecución,considerando los días a reducir (Tiempo normal ‐ Tiempo tope)

Actividad PrecedentesTiempo normal

ejecución(máximo)

Tiempo topeejecución(mínimo)

Días areducir

1 ‐‐‐‐ 10 10 02 1 10 10 03 1 40 40 04 1 28 20 85 2 8 8 06 3 10 6 47 5 30 10 208 7 , 3 20 8 129 7 , 3 24 14 1010 4, 6, 8 10 6 411 9 12 8 4

Camino I: 1 ‐ 2 ‐ 5 ‐ 7 ‐ 8 ‐ 10 10 10 8 30 20 10 88

Camino II: 1 ‐ 2 ‐ 5 ‐ 7 ‐ 9 ‐ 11 10 10 8 30 24 12 94

Camino III: 1 ‐ 3 ‐ F1 ‐ 8 ‐ 10 10 40 0 20 10 80

Camino IV: 1 ‐ 3 ‐ F1 ‐ 9 ‐ 11 10 40 0 2

→ + + + + + =→ + + + + + =

→ + + + + =→ + + + 4 12 86

Camino V: 1 ‐ 3 ‐ 6 ‐ 10 10 40 10 10 70

Camino VI: 1 ‐ 4 ‐ 10 10 28 10 48

+ =→ + + + =

→ + + =

Con estos datos se forma la matriz B(M, N) , a partir de donde comienza el análisisde los posibles acortamientos.


Primer acortamiento:

Actividades

1 ‐ 2(1)

2 ‐ 3(2)

2 ‐ 4(3)

2 ‐ 7(4)

3 ‐ 5(5)

4 ‐ 7(6)

5 ‐ 6(7)

6 ‐ 7(8)

6 ‐ 8(9)

7 ‐ 9(10)

8 ‐ 9(11)

4 ‐ 6F1

I 0 0 0 180 50 80

II 0 0 0 180 65 30

III 0 0 50 80 0

IV 0 0 65 30 0

V 0 0 40 80

Caminos

VI 0 10 80

Se crea un vector C(M,1) , siendo M el número de caminos del grafo, que contienelos tiempos máximos de realización del proyecto para cada camino.

Posteriormente, se forma el vector F(N, 1) , siendo N el número de actividades,donde cada elemento indica los posibles días en que se pueden reducir lasactividades del proyecto.

Del análisis del vector C(M,1) pueden resultar uno o varios caminos críticos, queserán aquellos que tienen longitud máxima y, por tanto, el valor máximo en elvector C(M,1)

Vector C(M, 1)

Caminos Longitud

I 88

II 94

III 80

IV 86

V 70

VI 48

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Vector F(N, 1)

Actividad Días a reducir

1 0

2 0

3 0

4 8

5 0

6 4

7 20

8 12

9 10

10 4

11 4

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Observando el vector C(M,1) solo hay un camino crítico (II) de longitud 94 díasSe utiliza un vector M(I, 1) dimensionado según el número máximo de caminoscríticos simultáneos posibles, siendo este valor el número total de caminos M.


La función del vector M(I, 1) consiste en almacenar el número de orden de loscaminos críticos.

Con un solo camino crítico: M(1, 1) número de orden del camino crítico 2= =

Se realiza un análisis de las actividades que se pueden acortar en el Camino II de lamatriz B(M, N) : 1 2 5 7 9 11 , siendo los respectivos valores de la matrizF(N, 1) : 0 0 0 20 10 4

Se genera la matriz Q con una columna (referene al camino II) y tres filas (alencontrrarse tres actividades con posibilidad de acortarse).

El vector P (de las mismas dimensiones) archiva los costes unitarios de reduccióncorrespondientes a las actividades archivadas en la matriz Q, y que son extraídas dela fila 2 (Camino 2) de la matriz B(M, N)

En el vector R se almacenan los días posibles a reducir de esas mismas actividades,tomados del vector F.

Actividadesa recortar

Q

Costes unitariosde reducción

P

Tiempoa reducir

R

7 180 209 65 1011 30 4

El mínimo valor de P (30 euros/día) corresponde a la actividad 11, que puedeacortarse 4 días.

En consecuencia, en principio, el primer acortamiento consiste en acortar loscaminos en los que interviene la actividad 11 en cuatro días.

El nuevo valor de C acortando 4 días a la actividad 11:

Vector C(M, 1)

Caminos Longitud

I 88

II 90

III 80

IV 82

V 70

VI 48

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Como el camino II no ha dejado de ser crítico, serealiza este acortamiento, que supondrá unincremento en el coste del proyecto de:4 días x 30 (euros/día) 120 euros=


El nuevo vector F:

Vector F(N, 1)


1 0

2 0

3 0

4 8

5 0

6 4

7 20

8 12

9 10

10 4

11 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Segundo acortamiento:

El camino crítico II tiene una duración d 90 días, por lo que M(1, 1) 2=

Los vectores Q , P y R serán:


Q


P

Tiempoa reducir

R

7 180 209 65 10

El mínimo valor de P (65 euros/día) corresponde a la actividad 9, que puedeacortarse 10 días.

El nuevo valor de C acortando 10 días a la actividad 9:

Vector C(M, 1)

Caminos Longitud

I 88

II 80

III 80

IV 72

V 70

VI 48

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

El camino II ha dejado de ser crítico, ya que apareceel camino I después del acortamiento con unalongitud de 88 días.

Para evitar esto, sólo se acorta en 2 días la actividad9, resultando un valor rectificado de C.

Valor rectificado de C acortando 2 días a la actividad 9:


Vector C(M, 1)

Caminos Longitud

I 88

II 88

III 80

IV 80

V 70

VI 48

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

El incremento de coste del proyecto será:2 días x 65 (euros/día) 130 euros=

El nuevo vector F, traseste acortamiento será:

Vector F(N, 1)


1 0

2 0

3 0

4 8

5 0

6 4

7 20

8 12

9 8

10 4

11 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Tercer acortamiento:

Hay dos caminos críticos (I y II) , por lo que el vector M tendrá dos filas

Camino I: 1 ‐ 2 ‐ 5 ‐ 7 ‐ 8 ‐ 10

Camino II: 1 ‐ 2 ‐ 5 ‐ 7 ‐ 9 ‐ 11⎧⎨⎩

La matriz Q tendrá dos columnas (una para camino crítico) y contendrá las distintascombinaciones que se pueden formar con las actividades que la componen conposibilidad de acortamiento.



Q


P

Tiempoa reducir

R

7 7

7 9

8 7

8 9

10 7

10 9

180

180 65 245

50 180 230

50 65 115

80 180 260

80 65 145

+ =+ =+ =+ =+ =

20

8

12

8

4

4

El mínimo valor de P es 115 euros/día, que corresponde a acortar las actividades 8y 9 en ocho días cada una.

El nuevo valor de C acortando 8 días las actividades 8 y 9:

Vector C(M, 1)

Caminos Longitud

I 80

II 80

III 72

IV 72

V 70

VI 48

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

El camino I y II continúan siendo críticos, por lo quees válido el acortamiento.

El incremento del coste del proyecto será:8 días x 115 (euros/día) 920 euros=

El nuevo vector F,queda de la forma:

Vector F(N, 1)


1 0

2 0

3 0

4 8

5 0

6 4

7 20

8 4

9 0

10 4

11 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠


Cuarto acortamiento:

Hay dos caminos críticos (I y II), las matrices M , P , Q y R son:

Camino I: 1 ‐ 2 ‐ 5 ‐ 7 ‐ 8 ‐ 10

Camino II: 1 ‐ 2 ‐ 5 ‐ 7 ‐ 9 ‐ 11⎧⎨⎩

La matriz Q tendrá dos columnas (una para camino crítico) y contendrá las distintascombinaciones que se pueden formar con las actividades que la componen conposibilidad de acortamiento.

MActividadesa recortar

Q


P

Tiempoa reducir

R

1

2

7 7

8 7

10 7

180

50 180 230

80 180 260

+ =+ =

20

4

4

El mínimo valor de P es 180 euros/día, que corresponde a acortar la actividad 7,pudiendo reducirse en 20 días.El nuevo valor de C acortando 20 días la actividad 7:

Vector C(M, 1)

Caminos Longitud

I 80 20 60

II 80 20 60

III 72

IV 72

V 70

VI 48

⎛ ⎞⎜ ⎟− =⎜ ⎟⎜ ⎟− =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Los caminos I y II han dejado de ser críticos.

En consecuencia, sólo se acorta en 8 días la actividad7, resultando un valor rectificado de C.

Valor rectificado de C acortando 8 días a la actividad 7:

Caminos Longitud

I 72

II 72

III 72

IV 72

V 70

VI 48

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

El incremento del coste del proyecto será:8 días x 180 (euros/día) 1.440 euros=


Después de esteacotamiento, el vector Fresultante será:

Vector F(N, 1)


1 0

2 0

3 0

4 8

5 0

6 4

7 12

8 4

9 0

10 4

11 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Atendiendo al vector C hay cuatro caminos críticos (I , II , III , IV).

Camino I: 1 ‐ 2 ‐ 5 ‐ 7 ‐ 8 ‐ 10

Camino II: 1 ‐ 2 ‐ 5 ‐ 7 ‐ 9 ‐ 11

Camino III: 1 ‐ 3 ‐ F1 ‐ 8 ‐ 10

Camino IV: 1 ‐ 3 ‐ F1 ‐ 9 ‐ 11

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Analizando estos caminos para analizar un posible acortamiento, no se puede darninguna combinación, con las actividades que los componen, que sea susceptiblede reducicción.En esta línea, en el Camino IV: 1 ‐ 3 ‐ F1 ‐ 9 ‐ 11 las dos únicas actividades posibles(9 y 11) con posibilidad inicial de acortarse, han sido reducidas a su tiempo mínimo,como puede observarse en el vector F.

En caso de acortar alguno de los otros caminos críticos (I , II , III), quedaría un únicocamino crítico (IV), con lo que no se reduciría la duración total del proyecto.

El proyecto queda reducido a 72 días, con un acortamiento de 94 72 22− = días yun incremento del coste de 120 130 920 1.440 2610+ + + = euros.


En la tabla adjunta se recogen los resultados para acortamiento, para unainterpretación más sencilla.

AcortamientosActividadesacortadas

(1)Coste/día

(2)

Díasacortados

(3)

Días acortadosacumulados

(4)

Duración totalproyecto

(5)

Costeacortamiento

(6)

Costeacumulado

(7)

1 11 30 4 4 90 120 120

2 9 65 2 6 88 130 250

3 8 , 9 115 8 14 80 920 1.170

4 7 180 8 22 72 1.440 2.610

Adviértase que si tratara de acortar en 10 días la duración del proyecto,observando la columna (4) la situación queda en el 30 acortamiento, teniendo querealizar los dos primeros acortamientos, más los 4 días restantes del terceracortamiento.

La duración del proyecto (columna 5) será de 88 4 84− = días

Las actividades acortadas (columnas 1 y 3) serán:

Actividad 11 (en 4 días)



⎧⎪⎨⎪⎩

El coste del acortamiento (columna 2 y 3) : x x x4 30 2 65 4 115 710+ + = euros

Una vez que se han acortado estas actividades en las cantidades señaladas, seaplican los algoritmos PERT o CPM para calcular las holguras y realizar el control delproyecto.


Con los datos obtenidos en cada uno de estos acortamientos se construye ungráfico, representando en las abscisas los días a reducir y, en las ordenadas, elincremento del coste.

El gráfico tiene la utilidad de visualizar el incremento del coste del proyectocorrespondiente a un acortamiento determinado, o bien, conocido un incrementodel coste, conocer la duración total del proyecto.

Si se tratara de acortar en 10 días la duración del proyecto, el incremento del costesería de 710 euros.


Sea un proyecto descompuesto en nueve actividades: A , B , C, D , E , F , G , H , IEn la tabla adjunta se presentan los tiempos de ejecución.

ActividadTiempo normal

(máximo)Tiempo tope(mínimo)

Coste unitarioreducción

1 ‐ 2 8 4 21 ‐ 3 10 5 41 ‐ 4 12 6 32 ‐ 4 10 6 42 ‐ 5 14 9 33 ‐ 4 7 5 53 ‐ 6 12 8 24 ‐ 5 7 4 55 ‐ 6 10 7 1

Calcular la duración mínima del proyecto a un coste mínimo

Solución:

En la figura adjunta se reflejan los tiempos early de los diferentes sucesos,calculados con los tiempos máximos de ejecución. La duración del proyecto sera de35 unidades de tiempo.

De otra parte, los tiempos early de los diferentes sucesos, calculados esta vez deacuerdo con los tiempos topes (mínimos) de ejecución de las actividades. Laduración del proyecto es de 21 unidades de tiempo.


Se deduce que es posible elegir cualquier duración del proyecto entre 21 y 35unidades de tiempo.

Elegida la duración correspondiente, hay que determinar el tiempo de ejecución delas diferentes actividades, de forma que el correspondiente coste suplementario enconcepto de reducción del tiempo sea mínimo.

Atendiendo a los costes unitarios de reducción, el modelo de programación linealtiene como función objetivo:

12 13 4 24 25 34 36 45 56máx F 2x 4x 3x 4x 3x 5x 2x 5x x= + + + + + + + +

con el siguiente conjunto de restricciones:

12 34

13 36

14 45

24 56

25

4 x 8 5 x 7

5 x 10 8 x 12

6 x 12 4 x 7

6 x 10 7 x 10

9 x 14

≤ ≤ ≤ ≤≤ ≤ ≤ ≤≤ ≤ ≤ ≤≤ ≤ ≤ ≤≤ ≤

En general, el método MCE lleva a la resolución de un programa lineal paramétrico,cuyo número de variables es igual al número de actividades en que se hadescompuesto el proyecto y cuyo número de restricciones es igual a la suma deldoble del número de actividades, más el número de caminos que tienen lapropiedad de unir los vértices extremos del grafo.

Para resolver, de una forma más sencilla, el problema planteado de optimizar laduración de las diferentes actividades a un coste mínimo, se recurre al algoritmo deAckoff y Sasieni.


Para ello se necesitan las especificaciones recogidas en la tabla adjunta y el grafoPERT del proyecto:




1 ‐ 2 8 4 21 ‐ 3 10 5 41 ‐ 4 12 6 32 ‐ 4 10 6 42 ‐ 5 14 9 33 ‐ 4 7 5 53 ‐ 6 12 8 24 ‐ 5 7 4 55 ‐ 6 10 7 1

Grafo PERT del proyecto:

Número de actividades N = 9, cinco caminos M = 5 y las actividadescorrespondientes a cada uno de ellos.

Caminos Orden de las actividadesNúmero deactividades

I 1 – 3 , 3 – 6 2II 1 – 3 , 3 – 4 , 4 – 5 , 5 – 6 4III 1 – 4 , 4 – 5 , 5 – 6 3IV 1 – 2 , 2 – 4 , 4 – 5 , 5 – 6 4V 1 – 2 , 2 – 5 , 5 – 6 3


A continuación, se calcula la longitud de cada camino, fijándose en el tiemponormal (máximo) de cada actividad que compone dicho camino.Camino I: 1 ‐ 3 , 3 ‐ 6 → 10 + 12 = 22Camino II: 1 ‐ 3 , 3 ‐ 4 , 4 ‐ 5 , 5 ‐ 6 → 10 + 7 + 7 + 10 = 34Camino III: 1 ‐ 4 , 4 ‐ 5 , 5 ‐ 6 → 12 + 7+ 10 = 29Camino IV: 1 ‐ 2 , 2 ‐ 4 , 4 ‐ 5 , 5 ‐ 6 → 8 + 10 + 7 + 10 = 35Camino V: 1 ‐ 2 , 2 ‐ 5 , 5 ‐ 6 → 8 + 14 + 10 = 32

Posteriormente, se calcula el tiempo a reducir de cada actividad, esto se consiguerestando al tiempo normal (máximo), el tiempo a reducir, denotando por tiempotope (mínimo):



Tiempo areducir


1 ‐ 2 8 4 4 21 ‐ 3 10 5 5 41 ‐ 4 12 6 6 32 ‐ 4 10 6 4 42 ‐ 5 14 9 5 33 ‐ 4 7 5 2 53 ‐ 6 12 8 4 24 ‐ 5 7 4 3 55 ‐ 6 10 7 3 1

Con estos datos se elabora la Matriz B (M, N), a partir de donde comienza el análisisde los posibles acortamientos. Esta se rellena con los datos prorcionados para elCoste unitario de reducción.

MATRIZ B (M, N) Actividades

1 ‐ 2 1 ‐ 3 1 ‐ 4 2 ‐ 4 2 ‐ 5 3 ‐ 4 3 ‐ 6 4 ‐ 5 5 ‐ 6I 4 2II 4 5 5 1III 3 5 1IV 2 4 5 1

Cam

inos

V 2 3 1


Primer Acortamiento

Se crea un vector C (M, 1), siendo M el número de caminos del grafo, que contienelos tiempos máximos de realización del proyecto para cada camino, esto es, lalongitud.

Posteriormente, se forma el vector F (N, 1), siendo N el número de actividades,donde cada elemento indica las posibles unidades de tiempo en que se puedenreducir las actividades del proyecto.Del análisis del vector C (M, 1), pueden resultar uno o varios caminos críticos, queserán aquellos que tienen una longitud máxima, y, por tanto, el valor máximo en elvector C.

Vector C(M, 1)

Caminos Longitud

I 22

II 34

III 29

IV 35

V 32

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Vector F(N,1)

Actividades Tiempo a reducir

1 2 4

1 3 5

1 4 6

2 4 4

2 5 5

3 4 2

3 6 4

4 5 3

5 6 3

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Observando el vector C (M, 1) sólo hay un camino crítico (IV) de longitud 35unidades de tiempo.

Se realiza un análisis de las actividades que componen el camino IV de la matrizB(M, N): 1 – 2 , 2 – 4 , 4 – 5 , 5 – 6, siendo los respectivos valores del vectorF (N, 1): 4 , 4 , 3 , 3.

Como no obtenemos ningún valor 0, todas estas actividades se analizarán parapoder ser acortadas.


Se genera la matriz Q con una columna, referente al camino IV, y cuatro filas (alencontrarse cuatro actividades con posibilidad de acortarse).

El vector P recoge los costes unitarios de reducción correspondientes a lasactividades de la matriz Q.

En el vector R se reflejan las unidades de tiempo posibles a reducir de esas mismasactividades, tomadas en el vector F.

Caminos M

Actividadesa recortar Q


P

Tiempoa reducir R

1 – 2 2 42 – 4 4 44 – 5 5 3

IV

5 – 6 1 3

El mínimo valor de P (1 euro/ud. tiempo) corresponde a la actividad 5 – 6, quepuede acortarse 3 unidades de tiempo.

En consecuencia, el primer acortamiento consiste en acortar 3 unidades de tiempoen los caminos en los que intervenga la actividad 5 – 6.

Con ello obtenemos un nuevo valor del vector C y vector F:

Vector F(N,1)


1 2 4

1 3 5

1 4 6

2 4 4

2 5 5

3 4 2

3 6 4

4 5 3

5 6 0 (3 3)

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠


Vector C(M, 1)

Caminos Longitud

I 22

II 31 34 3

III 26 29 3

IV 32 35 3

V 29 32 3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎝ ⎠

Como el camino IV no ha dejado de ser crítico, se realiza este acortamiento, quesupondrá un incremento en el coste del proyecto de:3 unidades de tiempo x 1 (euro/ud. tiempo) = 3 euros

Segundo Acortamiento

Las actividades que componen el camino crítico IV son: 1 – 2 , 2 – 4 , 4 – 5 , 5 – 6.Y sus respectivos valores en el vector F son: 4 , 4 , 3 , 0.

Por lo que sólo se analizarán las tres primeras actividades, que son las que tienenposibilidad de reducirse. Los vectores Q , P , R serán:

Caminos M

Actividadesa recortar Q


P

Tiempoa reducir R

1 – 2 2 42 – 4 4 4IV4 – 5 5 3

El mínimo valor de P (2 euros/ud. tiempo) corresponde a la actividad 1 – 2, quepuede acortarse 4 días.

El nuevo valor de C acortando los caminos en los que interviene esta actividadserá:

Vector C(M, 1)

Caminos Longitud

I 22

II 31

III 26

IV 28 32 4

V 25 29 5

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎝ ⎠

El camino IV ha dejado de ser crítico ya que aparece el camino II después delacortamiento con una longitud de 31 unidades de tiempo.


Para evitar esto, sólo se acorta en 1 unidad de tiempo la actividad 1 – 2, resultandoen un valor rectificado de C, para que así el camino IV continúe siendo crítico.

Valor rectificado del vector C y nuevo valor del vector F:

Vector C(M, 1)

Caminos Longitud

I 22

II 31

III 26

IV 31 32 1

V 28 29 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎝ ⎠

El incremento de coste del proyecto será:1 unidad de tiempo x 2 (euros/ud.tiempo) = 2 euros

Vector F(N,1)


1 2 3 4 1

1 3 5

1 4 6

2 4 4

2 5 5

3 4 2

3 6 4

4 5 3

5 6 0

⎛ ⎞⎜ ⎟− = −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Tercer Acortamiento

Hay dos caminos críticos (II y IV), por lo que el vector M tendrá dos filas:

Camino II: 1 – 3 , 3 – 4 , 4 – 5 , 5 – 6Camino IV: 1 – 2 , 2 – 4 , 4 – 5 , 5 – 6

La matriz Q tendrá dos columnas (una para cada camino crítico) y contendrá lasdistintas combinaciones que se pueden formar con las actividades que la componencon posibilidad de acortamiento.

Está combinación se realizará juntando las actividades de un camino con las delotro, pero no con las propias del mismo camino crítico:


El vector P será el resultado de sumar el coste unitario de cada actividad y en elvector R se escogerá la menor unidad de tiempo de entre las dos actividades queconforman cada combinación.

CaminosM


Q


P

Tiempoa reducir

R 1 – 3 1 – 2 (4 + 2) 6 (5 y 3) 3 1 – 3 2 – 4 (4 + 4) 8 (5 y 4) 4 1 – 3 4 – 5 (4 + 5) 9 (5 y 3) 3 3 – 4 1 – 2 (5 + 2) 7 (2 y 3) 2 3 – 4 2 – 4 (5 + 4) 9 (2 y 4) 2 3 – 4 4 – 5 (5 + 5) 10 (2 y 3) 2 4 – 5 1 – 2 (5 + 2) 7 (3 y 3) 3 4 – 5 2 – 4 (5 + 4) 9 (3 y 4) 3

II

IV

4 – 5 4 – 5 (5) 5 (3) 3

El mínimo valor de P es 5 euros/ud. tiempo, que corresponde acortar 3 unidades detiempo los caminos en los que intervenga la actividad 4 – 5.

El nuevo valor de los vectores C y F serán:

Vector F(N,1)


1 2 3

1 3 5

1 4 6

2 4 4

2 5 5

3 4 2

3 6 4

4 5 0 3 3

5 6 0

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟− = −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠


Vector C(M, 1)

Caminos Longitud

I 22

II 28 31 3

III 23 26 3

IV 28 31 3

V 28

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Los caminos II y IV continúan siendo críticos, por lo que es válido el acortamiento.Además, se les suma el camino V como camino crítico.

El incremento del coste del proyecto será:3 unidades de tiempo x 5 (euros/ud. tiempo) = 15 euros

Cuarto Acortamiento

Hay tres caminos críticos (II, IV, V) por lo que el vector M tendrá tres filas.

Camino II: 1 – 3 , 3 – 4 , 4 – 5 , 5 – 6Camino IV: 1 – 2 , 2 – 4 , 4 – 5 , 5 – 6Camino V: 1 – 2 , 2 – 5 , 5 – 6

Las combinaciones que se pueden formar con las actividades que los componen ytienen posibilidad de acortamiento son:

Siendo el vector P el resultado de sumar el coste unitario de cada actividad y elvector R la menor unidad de tiempo de entre las dos actividades que conformancada combinación, la matriz Q será:


CaminosM

Actividades a recortarQ


P

Tiempo a reducirR

1 – 3 1 – 2 1 – 2 ( 4 + 2) 6 (5 y 3) 3 1 – 3 1 – 2 2 – 5 (4 + 2 + 3) 9 (5 y 3 y 5) 3 1 – 3 2 – 4 1 – 2 (4 + 4 + 2) 10 (5 y 4 y 3) 3 1 – 3 2 – 4 2 – 5 (4 + 4 + 3) 11 (5 y 4 y 5) 4 3 – 4 1 – 2 1 – 2 (5 + 2) 7 (2 y 3) 2 3 – 4 1 – 2 2 – 5 (5 + 2 + 3) 10 (2 y 3 y 5) 2 3 – 4 2 – 4 1 – 2 (5 + 4 + 2) 11 (2 y 4 y 3) 2

II

IV

V

3 – 4 2 – 4 2 – 5 (5 + 4 + 3) 12 (2 y 4 y 5) 2

El mínimo valor de P es 6 euros/ud. tiempo, que corresponde acortar 3 unidades detiempo los caminos en los que intervengan las actividades 1 – 3 y 1 – 2.


Vector F(N,1)


1 2 0 3 3

1 3 2 5 3

1 4 6

2 4 4

2 5 5

3 4 2

3 6 4

4 5 0

5 6 0

⎛ ⎞⎜ ⎟− = −⎜ ⎟⎜ ⎟− = −⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Vector C(M, 1)

Caminos Longitud

I 19 22 3

II 25 28 3

III 23

IV 25 28 3

V 25 28 3

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎝ ⎠

Los caminos II, IV y V continúan siendo críticos por lo que es válido el acortamiento.



Quinto Acortamiento

Hay tres caminos críticos (II, IV, V) por lo que el vector M tendrá tres filas.

Camino II: 1 – 3 , 3 – 4 , 4 – 5 , 5 – 6Camino IV: 1 – 2 , 2 – 4 , 4 – 5 , 5 – 6Camino V: 1 – 2 , 2 – 5 , 5 – 6



CaminosM



P

Tiempo a reducirR

1 – 3 2 – 4 2 – 5 (4 + 4 + 3) 11 (2 y 4 y 5) 2IIIVV 3 – 4 2 – 4 2 – 5 (5 + 4 + 3) 12 (2 y 5 y 5) 2

El mínimo valor de P es 11 euros/ud. tiempo, que corresponde acortar 2 unidadesde tiempo los caminos en los que intervengan las actividades 1 – 3 , 2 – 4 y 2 – 5.



Vector F(N,1)


1 2 0

1 3 0 2 2

1 4 6

2 4 2 4 2

2 5 3 5 2

3 4 2

3 6 4

4 5 0

5 6 0

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟− = −⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟− = −⎜ ⎟

− = −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Vector C(M, 1)

Caminos Longitud

I 17 19 2

II 23 25 2

III 23

IV 23 25 2

V 23 25 2

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎝ ⎠

Los caminos II, IV y V continúan siendo críticos, por lo que es válido elacortamiento.

Además, se les suma el camino III como camino crítico.


Sexto Acortamiento

Hay cuatro caminos críticos (II, III, IV, V) por lo que el vector M tendrá cuatro filas.

Camino II: 1 – 3 , 3 – 4 , 4 – 5 , 5 – 6Camino III: 1 – 4 , 4 – 5 , 5 – 6Camino IV: 1 – 2 , 2 – 4 , 4 – 5 , 5 – 6Camino V: 1 – 2 , 2 – 5 , 5 – 6




CaminosM



P

Tiempo a reducirR

II ‐ IIIIV ‐ V

3 – 4 1 – 4 2 – 4 2 – 5 (5 + 3 + 4 + 3) 15 (2 y 6 y 2 y 3) 2

El mínimo y único valor de P es 15 euros/ud. tiempo, corresponde a acortar 2unidades de tiempo los caminos en los que intervengan las actividades 3 – 4 , 1 – 4 , 2 – 4 y 2 – 5.


Vector F(N,1)


1 2 0

1 3 0

1 4 4 6 2

2 4 0 2 2

2 5 1 3 2

3 4 0 2 2

3 6 4

4 5 0

5 6 0

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟− = −⎜ ⎟⎜ ⎟− = −⎜ ⎟

− = −⎜ ⎟⎜ ⎟− = −⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠


Vector C(M, 1)

Caminos Longitud

I 17

II 21 23 2

III 21 23 2

IV 21 23 2

V 21 23 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎝ ⎠

Los caminos II, III, IV y V continúan siendo críticos, por lo que es válido elacortamiento.


Séptimo Acortamiento

Atendiendo al vector C hay cuatro caminos críticos (II, III, IV, V).

Camino II: 1 – 3 , 3 – 4 , 4 – 5 , 5 – 6Camino III: 1 – 4 , 4 – 5 , 5 – 6Camino IV: 1 – 2 , 2 – 4 , 4 – 5 , 5 – 6Camino V: 1 – 2 , 2 – 5 , 5 – 6

Analizando estos caminos para conseguir un posible acortamiento, no se puede darninguna combinación con las actividades que componen los caminos, que seansusceptibles de reducción.

Las actividades de los caminos II y IV ya han sido reducidas a su unidad de tiempomínima, por lo que no pueden combinarse.

Los caminos III y V tienen las únicas actividades posibles de acortamiento, que son1 – 4 y 2 – 5.

En caso de acortar alguno de estos caminos (III y V), seguirían quedando otros doscaminos críticos (II y IV), por lo que no se conseguiría reducir la duración total delproyecto, por lo que se da por concluido el algortitmo.


El proyecto queda reducido a 21 unidades de tiempo, con un acortamiento de 14unidades de tiempo (35 – 21).Con un incremento de coste de: 3 +2 + 15 + 18 + 22 + 30 = 90 euros.

En la siguiente tabla se encuentran un resumen para cada acortamiento:

AcortamientosActividadesacortadas

Coste/unidadtiempo

Tiempoacortado

Tiempoacortadoacumulado

Duracióntotal

proyecto

Costeacortamiento

Costeacumulado

1 5 – 6 1 3 3 32 3 3

2 1 – 2 2 1 4 31 2 5

3 4 – 5 5 3 7 28 15 20

41 – 31 – 2

6 3 10 25 18 38

51 – 32 – 42 – 5

11 2 12 23 22 60

6

3 – 41 – 42 – 42 – 5

15 2 14 21 30 90

Un resumen de los cambios efectuados en el Vector F (N, 1):

AcortamientosInicio Primero Segundo Tercero Cuarto Quinto Sexto

1 – 2 4 4 3 3 0 0 01 – 3 5 5 5 5 2 0 01 – 4 6 6 6 6 6 6 42 – 4 4 4 4 4 4 2 02 – 5 5 5 5 5 5 3 13 – 4 2 2 2 2 2 2 03 – 6 4 4 4 4 4 4 44 – 5 3 3 3 0 0 0 0

Actividad

es

5 – 6 3 0 0 0 0 0 0


ALGORITMO DE ACKOFF ‐ SASIENI (TIEMPO‐SOBRESCOSTE)

PASO 1: Construir una matriz cuyas filas representen las diferentes rutas existentesde comienzo a fin del proyecto y, por columnas las diferentes actividades quecomponen el proyecto.Cada elemento (i, j) de la matriz, representará la pendiente de coste de la actividadque ocupa la columna j‐ésima siempre y cuando pertenezca a la ruta de la fila i‐ésima; en otro caso se deja en blanco.Se requiere que la matriz tenga tantas columnas como pendientes de coste posea.

PASO 2: Se amplía la matriz obtenida con una columna cuyos elementosrepresenten las duraciones normales de las respectivas rutas, y una fila cuyoselementos indiquen la diferencia entre las duraciones normal y récord de cadaactividad (acortamiento posible).

PASO 3: Se selecciona la actividad de menor pendiente en cada de las rutas críticasdel proyecto (caso de existir varias) y se determina el tiempo de acortamiento.

Para ello se calcula el mínimo de las cantidades:

‐ Acortamiento máximo de las actividades sin que cambie su pendiente.

‐ Diferencia entre la duración de la ruta crítica y del primer subcrítico.

PASO 4: Una vez calculado el tiempo de acortamiento, se determina el incrementoen el coste directo y el coste indirecto para la duración resultante. Se calcula elcoste total y se amplia la matriz con una nueva columna, que represente las nuevasduraciones de las rutas y una fila para mostrar los nuevos acortamientos posibles.El algoritmo continúa hasta encontrar una ruta crítica irreducible.


El proceso de construcción de un microcomputador, en unidades de tiempodiarias, se compone de las siguientes actividades:

DuracionesActividad

Normal RécordPendienteDe Coste

1 − 2 17 13 6

1 − 3 15 10 3

1 − 4 20 15 2

2 − 6 18 16 4

2 − 6 16 15 5

3 − 4 5 3 2

3 − 5 13 8 6

4 − 6 20 19 6

5 − 6 10 8 5

El coste indirecto del proyecto en duración normal (40 días) es de 360 millones deeuros y el coste indirecto viene determinado por la función:

i x proyectoC 5 D 167 millones de euros= +

a) Determinar la duración más interesante del proyecto desde un punto de vistaeconómico.

b) Determinar el coste del proyecto en el mínimo tiempo posible.

Solución:

a) En el planteamiento del problema: El Coste Directo en la duración normal de 40días es de 360 millones de euros y el Coste Indirecto:

i i x xproyectoC C 5 D 167 5 40 167 367 millones de euros= = + = + =

El Coste Total t d iC C C 360 367 727= + = + = millones de euros.

El objetivo es determinar el cambio entre tiempo y coste que debe emplearse encada actividad, para cumplir con el tiempo de finalización del proyecto a un costemínimo.

En la figura adjunta se reflejan los tiempos early de los diferentes sucesos,calculados con los tiempos máximos de ejecución. La duración del proyecto sera de40 días.


De otra parte, los tiempos early de los diferentes sucesos, calculados esta vez deacuerdo con los tiempos records (mínimos) de ejecución de las actividades. Laduración del proyecto es de 34 días.

Se deduce que es posible elegir cualquier duración del proyecto entre 34 y 40 días.

Elegida la duración correspondiente, hay que determinar el tiempo de ejecución delas diferentes actividades, de forma que el correspondiente coste suplementario enconcepto de reducción del tiempo sea mínimo.

Atendiendo a los costes unitarios de reducción, el modelo de programación linealtiene como función objetivo:

12 13 14 26 26 34 35 46 56máx F 6x 3x 2x 4x 5x 2x 6x 6x 5x= + + + + + + + +

con el siguiente conjunto de restricciones:


12 34

13 35

14 46

26 56

26

13 x 17 3 x 5

10 x 15 8 x 13

15 x 20 19 x 20

16 x 18 8 x 10

15 x 16

≤ ≤ ≤ ≤≤ ≤ ≤ ≤≤ ≤ ≤ ≤≤ ≤ ≤ ≤≤ ≤

En general, el método MCE lleva a la resolución de un programa lineal paramétrico,cuyo número de variables es igual al número de actividades en que se hadescompuesto el proyecto y cuyo número de restricciones es igual a la suma deldoble del número de actividades, más el número de caminos que tienen lapropiedad de unir los vértices extremos del grafo.

Para resolver, de una forma más sencilla, el problema planteado de optimizar laduración de las diferentes actividades a un coste mínimo, se recurre al algoritmo deAckoff y Sasieni.

Número de actividades N = 9, cuatro caminos M = 4 y las actividadescorrespondientes a cada uno de ellos.

Caminos Orden de las actividades Número actividadesI (1 ‐ 3) , (3 ‐ 5) , (5 ‐ 6) 3II (1 ‐ 3) , (3 ‐ 4) , (4 ‐ 6) 3III (1 ‐ 4) , (4 ‐ 6) 2IV (1 ‐ 2) , (2 ‐ 6) , (2 ‐ 6) 3

Para calcular la longitud de cada camino se elige la duración normal de ejecución.

Camino I: (1 ‐ 3) , (3 ‐ 5) , (5 ‐ 6) → 15 + 13 + 10 = 38Camino II: (1 ‐ 3) , (3 ‐ 4) , (4 ‐ 6) → 15 + 5 + 20 = 40Camino III: (1 ‐ 4) , (4 ‐ 6) → 20 + 20 = 40Camino IV: (1 ‐ 2) , (2 ‐ 6) , (2 ‐ 6) → 17 + 18 = 35

Con estos datos se forma la matriz B (M, N), a partir de donde comienzan losposibles acortamientos.


Primer Acortamiento

Actividades

1 ‐ 2(1)

1 ‐ 3(2)

1 ‐ 4(3)

2 ‐ 6(4)

2 ‐ 6(5)

3 ‐ 4(6)

3 ‐ 5(7)

4 ‐ 6(8)

5 ‐ 6(9)

I 3 6 5

II 3 2 6

III 2 6

Caminos

IV 6 4 5

A continuación, se crea un vector C (M, 1), siendo M el número de caminos delgrafo, que contiene los tiempos máximos de realización del proyecto para cadacamino.

Posteriormente, se forma el vector F (N, 1), siendo N el número de actividades,donde cada elemento indica los posibles días en que se pueden reducir lasactividades del proyecto.

Del análisis del vector C (M, 1) pueden resultar uno o varios caminos críticos, queserán aquellos que tienen longitud máxima y, por lo tanto, el valor máximo en elvector C (M, 1).

Vector C(M, 1)

Caminos Longitud

I 38

II 40

III 40

IV 35

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Vector F(N, 1)


1 2 4

1 3 5

1 4 5

2 6 2

2 6 1

3 4 2

3 5 5

4 6 1

5 6 2

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Observando el vector C (M, 1), hay dos caminos críticos (II) y (III) de longitud 40días.

Camino II: (1 ‐ 3) , (3 ‐ 4) , (4 ‐ 6)Camino III: (1 ‐ 4) , (4 ‐ 6)


Se genera la matriz Q con dos columnas (referentes a los camino II y III) y lasdistintas combinaciones que se pueden formar con las actividades que la componencon posibilidad de acortamiento.

Actividades arecortar Q


P

Tiempo areducir R

(1 – 3) , (1 – 4) 3 + 2 = 5 5(1 – 3) , (4 – 6) 3 + 6 = 9 1(3 – 4) , (1 – 4) 2 + 2 = 4 2(3 – 4) , (4 – 6) 2 + 6 = 8 1(4 – 6) , (1 – 4) 6 + 2 = 8 1(4 – 6) , (4 – 6) 6 1

El mínimo valor de P (4 euros/día) corresponde a las actividades (3 – 4) y (1 – 4),que pueden acortarse 2 días.

El nuevo valor de C acortando 2 días a las actividades (3 – 4) y (1 – 4):

Vector C(M, 1)

Caminos Longitud

I 38

II 38 40 2

III 38 40 2

IV 35

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Como los caminos II y III no han dejado de ser críticos, se realiza este acortamiento,que supondrá un incremento en el coste del proyecto de:2 días x 4 (euros/día) = 8 euros

Nuevo vector F:

Vector F(N, 1) Vector F(N, 1)

Actividad Días a reducir Actividad Días a reducir

1 2 4 1 2 4

1 3 5 1 3

1 4 3 5 2

2 6 2

2 6 1

3 4 0 2 2

3 5 5

4 6 1

5 6 2

⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎜ ⎟− = −⎜ ⎟⎜ ⎟−

=⎜ ⎟−⎜ ⎟

⎜ ⎟− = −⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

5

1 4 3

2 6 2

2 6 1

3 4 0

3 5 5

4 6 1

5 6 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠


Segundo Acortamiento

Observando el vector C (M, 1), hay tres caminos críticos (I), (II) y (III) de longitud 38días.

Camino I: (1 ‐ 3) , (3 ‐ 5) , (5 ‐ 6)Camino II: (1 ‐ 3) , (3 ‐ 4) , (4 ‐ 6)Camino III: (1 ‐ 4) , (4 ‐ 6)


Q


P

Tiempo areducir R

(1 – 3) , (1 – 3) , (1 – 4) 3 + 2 = 5 3(1 – 3) , (1 – 3) , (4 – 6) 3 + 6 = 9 1(1 – 3) , (4 – 6) , (1 – 4) 3 + 6 + 3 = 11 1(1 – 3) , (4 – 6) , (4 – 6) 3 + 6 = 9 1(3 – 5) , (1 – 3) , (1 – 4) 6 + 3 + 2 = 11 5(3 – 5) , (1 – 3) , (4 – 6) 6 + 3 + 6 = 15 1(3 – 5) , (4 – 6) , (1 – 4) 6 + 6 + 2 = 14 1(3 – 5) , (4 – 6) , (4 – 6) 6 + 6 = 12 1(5 – 6) , (1 – 3) , (1 – 4) 5 + 3 + 2 = 10 2(5 – 6) , (1 – 3) , (4 – 6) 5 + 3 + 6 = 14 2(5 – 6) , (4 – 6) , (1 – 4) 5 + 6 + 2 = 13 2(5 – 6) , (4 – 6) , (4 – 6) 5 + 6 = 11 2

El mínimo valor de P (5 euros/día) corresponde a las actividades (1 – 3) y (1 – 4),que pueden acortarse 3 días.

El nuevo valor de C acortando 3 días a las actividades (1 – 3) y (1 – 4):

Vector C(M, 1)

Caminos Longitud

I 35 38 3

II 35 38 3

III 35 38 3

IV 35

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Como los caminos I, II y III no han dejado de ser críticos, se realiza esteacortamiento, que supondrá un incremento en el coste del proyecto de:3 días x 5 (euros/día) = 15 euros


Nuevo vector F:



1 2 4 1 2 4

1 3 2 5 3 1

1 4 0 3 3

2 6 2

2 6 1

3 4 0

3 5 5

4 6 1

5 6 2

⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟− = − −⎜ ⎟− = −⎜ ⎟⎜ ⎟−

=⎜ ⎟−⎜ ⎟

⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

3 2

1 4 0

2 6 2

2 6 1

3 4 0

3 5 5

4 6 1

5 6 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Tercer Acortamiento:

Observando el vector C (M, 1), hay cuatro caminos críticos (I), (II), (III) y (IV) delongitud 35 días.

Camino I: (1 ‐ 3) , (3 ‐ 5) , (5 ‐ 6)Camino II: (1 ‐ 3) , (3 ‐ 4) , (4 ‐ 6)Camino III: (1 ‐ 4) , (4 ‐ 6)Camino IV: (1 ‐ 2) , (2 ‐ 6) , (2 ‐ 6)



Q


P

Tiempo areducir R

(1 – 3) , (1 – 3) , (4 – 6) , (1 – 2) 3 + 6 + 6 = 15 1(1 – 3) , (1 – 3) , (4 – 6) , (2 – 6) 3 + 6 + 4 = 13 1(1 – 3) , (1 – 3) , (4 – 6) , (2 – 6) 3 + 6 + 5 = 14 1(1 – 3) , (4 – 6) , (4 – 6) , (1 – 2) 3 + 6 + 6 = 15 1(1 – 3) , (4 – 6) , (4 – 6) , (2 – 6) 3 + 6 + 4 = 13 1(1 – 3) , (4 – 6) , (4 – 6) , (2 – 6) 3 + 6 + 5 = 14 1(3 – 5) , (1 – 3) , (4 – 6) , (1 – 2) 6 + 3 + 6 + 6 = 21 1(3 – 5) , (1 – 3) , (4 – 6) , (2 – 6) 6 + 3 + 6 + 4 = 19 1(3 – 5) , (1 – 3) , (4 – 6) , (2 – 6) 6 + 3 + 6 + 5 = 20 1(3 – 5) , (4 – 6) , (4 – 6) , (1 – 2) 6 + 6 + 6 = 18 1(3 – 5) , (4 – 6) , (4 – 6) , (2 – 6) 6 + 6 + 4 = 16 1(3 – 5) , (4 – 6) , (4 – 6) , (2 – 6) 6 + 6 + 5 = 17 1(5 – 6) , (1 – 3) , (4 – 6) , (1 – 2) 5 + 3 + 6 + 6 = 20 2(5 – 6) , (1 – 3) , (4 – 6) , (2 – 6) 5 + 3 + 6 + 4 = 18 2(5 – 6) , (1 – 3) , (4 – 6) , (2 – 6) 5 + 3 + 6 + 5 = 19 2(5 – 6) , (4 – 6) , (4 – 6) , (1 – 2) 5 + 6 + 6 = 17 2(5 – 6) , (4 – 6) , (4 – 6) , (2 – 6) 5 + 6 + 4 = 15 2(5 – 6) , (4 – 6) , (4 – 6) , (2 – 6) 5 + 6 + 5 = 16 2

El mínimo valor de P (13 euros/día) corresponde a las actividades (1 – 3), (4 – 6) y(2 – 6), que pueden acortarse 1 día.

El nuevo valor de C acortando 1 día a las actividades (1 – 3), (4 – 6) y (2 – 6):

Vector C(M, 1)

Caminos Longitud

I 34 35 1

II 34 35 1

III 34 35 1

IV 34 35 1

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎝ ⎠

El incremento de coste de proyecto será de: 1 día x 13 (euros/día) = 13 euros


Nuevo vector:



1 2 4

1 3 1 2 1

1 4 0

2 6 1 2 1

2 6 1

3 4 0

3 5 5

4 6 0 1 1

5 6 2

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟− = −⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟− = −

=⎜ ⎟−⎜ ⎟

⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟− = −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

1 2 4

1 3 1

1 4 0

2 6 1

2 6 1

3 4 0

3 5 5

4 6 0

5 6 2

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Observando el vector C (M, 1), hay cuatro caminos críticos (I), (II), (III) y (IV) delongitud 34 días.

Camino I: (1 ‐ 3) , (3 ‐ 5) , (5 ‐ 6)Camino II: (1 ‐ 3) , (3 ‐ 4) , (4 ‐ 6)Camino III: (1 ‐ 4) , (4 ‐ 6)Camino IV: (1 ‐ 2) , (2 ‐ 6) , (2 ‐ 6)

Analizando estos caminos para analizar un posible acortamiento, se compruebaque no se puede dar ninguna combinación.

En consecuencia, finalizan los acortamientos.

Por ejemplo, en el caso de acortar alguno de los caminos (I), (II) y (IV), quedaría unúnico camino crítico (III), con lo que se reduciría la duración total del proyecto.

El proyecto queda reducido a 34 días con un acortamiento de 40 – 34 = 6 días.

Coste indirecto = 5 x 34 + 167 = 337 millones de euros.Coste directo = 360 + 8 + 13 + 15 + 2 = 394 millones de euros.Coste total = CI + CD = 337 + 394 = 731 millones de euros.

Por tanto, el coste en duración récord es de 731 millones de euros y su duración esde 34 días.

o o 0Inicio 1 2 3

Caminos Longitud Longitud Longitud Longitud

I: 1 ‐ 3 ‐ 5 ‐ 6 38 38 35 34C

II: 1 ‐ 3 ‐ 4 ‐ 6 40 38 35 34

III: 1 ‐ 4 ‐ 6 40 38 35 34

IV: 1 ‐ 2 ‐ 6 35 35 35 34

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠


o o oInicio 1 2 3

Actividad Días reducir Días reducir Días reducir Días reducir

1 ‐ 2 4 4 4 4

1 ‐ 3 5 5 2 1

1 ‐ 4 5 3 0 0

F 2 ‐ 6 2 2 2 1

2 ‐ 6 1 1 1 1

3 ‐ 4 2 0 0 0

3 ‐ 5 5 5 5 5

4 ‐ 6 1 1 1 0

5 ‐ 6 2 2 2 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠


http://www.estadistica.net/

gestiÓn de proyectos: redes pert cpm técnica cpm · 2020-03-29 · portal estadística aplicada:...

Documents