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GEOTECNIA GICO UPCTema 9. Aplicacin de rotura a problemas de contorno bsicos
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UNIVERSIDAD POLITCNICA DE CATALUAGRADO EN INGENIERA DE LA CONSTRUCCIN
___________________________________________________
GEOTECNIA
APUNTES TEMA 9____________________________________________________
TEMA 9. APLICACIN DE ROTURA A PROBLEMAS DE CONTORNO BSICOS
9.1 EMPUJES DE TIERRAS SOBRE ESTRUCTURAS DE CONTENCIN ......................................
9.1.1 Planteamiento general. Empujes activos y pasivos ..................................................................
9.1.3 Accin del agua ...........................................................................................................................
9.1.4 Sobreempujes por cargas exteriores. Otros casos ....................................................................
9.2 CAPACIDAD PORTANTE DEL TERRENO ...................................................... ...............................
9.2.1 Planteamiento general. Mecanismo de rotura global ...............................................................
9.2.2 Modelo del Prandtl para terreno sin peso ....................................................................... ..........
9.2.3 Terreno con peso. Otros casos .................................................................... ................................
9.3 ESTABILIDAD DE TALUDES EN SUELOS .....................................................................................
9.3.1 Introduccin. Planteamiento del problema ..............................................................................
9.3.2 Caso de talud indefinido .............................................................................................................
9.3.3 Caso de corte vertical ......................................................... .........................................................
9.3.3.1. Mtodos de equilibrio global
9.3.3.2. Mtodos de equilibrio parcial o mtodo de las rebanadas
9.3.4 Mtodos generales de equilibrio lmite. Equilibrio global y parcial (rebanadas) ..................
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TTeemmaa99..AApplliiccaacciinnddeerroottuurraaaapprroobblleemmaassddeeccoonnttoorrnnoobbssiiccooss
La consideracin de rotura, como ya se ha visto en el Apartado 8.2 anterior, viene relacionada
con la hiptesis desfavorable de estados lmite ltimos del comportamiento del suelo (referido al
equilibrio plstico del suelo). A efectos prcticos, estos estados lmite ltimos son de especial
inters y de uso en los procesos de diseo, tanto de las posibles estructuras con las que
interacciona el suelo (estructuras de contencin: figura 9.1.a; y estructuras de cimentacin:
figura 9.1.b) como de la posibilidad geomtrica autoportante y de equilibrio del mismo suelo
(estabilidad de taludes: figura 9.1.c). Aun as, es importante especificar que este tema se
presenta con un enfoque ms terico que prctico, dejando de lado los aspectos ms
tecnolgicos (y consecuentes al diseo; pertenecientes ms bien al mbito de la Ingeniera
Geotcnica). De este modo, los problemas de contorno intrnsecos en los que se analizar la
aplicacin de rotura se pueden englobar, por ejemplo, segn las caractersticas geomtricas y de
deformacin en los bordes y de las posibles interacciones en la zona de anlisis (estructuras de
contencin: Apartado 9.1; estructuras de cimentacin: Apartado 9.2; y estabilidad de taludes:
Apartado 9.2), as como de los parmetros resistentes caractersticos y particulares del tipo de
suelo, el confinamiento, el nivel y localizacin de cargas aplicadas, la presencia de agua, etc.
a) b) c)
WEt
Rb
Ei
qQ
qQP
W
R
Q
q
Figura 9.1.a-cProblemas de contorno bsicos generales del tema: estructuras de contencin (a),
capacidad portante (b) y estabilidad de taludes (c)
99..11EEmmppuujjeessddeettiieerrrraassssoobbrreeeessttrruuccttuurraassddeeccoonntteenncciinn
99..11..11PPllaanntteeaammiieennttooggeenneerraall..EEmmppuujjeessaaccttiivvoossyyppaassiivvooss
Se supone una porcin de suelo (, , c= 0), de profundidad y espesor indefinidos, seco y con
superficie libre horizontal (= 0), en el que no se ha alterado su estado inicial de tensiones ni de
deformaciones (grado de consolidacin OCR igual a la unidad y condiciones edomtricas). Si se
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presta atencin a un elemento diferencial situado a una profundidad determinada z(ver figura
9.1.1), ste estar sometido a las tensiones verticalesv
y horizontalesh
, ambas principales
Ya sabido, el factor que relaciona ambas tensiones en un punto ser el coeficiente de empujeK
( /h v
K ). Si las deformaciones laterales estn impedidas (caso edomtrico), dicha relacin
ser el coeficiente de empuje al reposo,K0, luego 0 ,0h v hK . Este coeficiente depende
del grado de consolidacin y del ngulo de rozamiento interno del suelo. Para suelos
normalmente consolidados (OCR= 1), puede utilizarse la expresin que propuso Jaky (1944):
0 1 sinK . Si se representa esta situacin mediante crculos de Mohr (plano ; figura
9.1.2) incluyendo el criterio de rotura de Mohr-Coulomb, el caso considerado (en reposo:
terreno con superficie libre horizontal y sin sobrecargas, en particular con la expresin de
Jacky), permanecer siempre bajo el criterio de rotura.
v
h =K0v
z
, , c = 0)
Figura 9.1.1Estado tensional al reposo en un punto del suelo con superficie libre horizontal (= 0)
0
h,0 = 3 reposo
(z)(K0v)
v= 1
Figura 9.1.2Representacin en el plano (, ) del estado tensional al reposo de un punto del suelo consuperficie libre horizontal
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Los empujes son las presiones que soporta una posible estructura de contencin insertada o
construida en el terreno. Luego partiendo del caso anterior, si se supone una proyeccin vertical
en el suelo hasta una profundidad determinada y con deformaciones laterales nulas, sobre dichaproyeccin se aplicarn empujes al reposo.
En caso de que las deformaciones laterales sean no nulas, el empuje pasar a ser empuje activo
(desplazamientos hacia el sentido en el que el suelo se descomprime) o pasivo (desplazamientos
hacia el sentido en el que el suelo se comprime). Conceptualmente, los empujes (activos o
pasivos) en el trasds de una estructura de contencin pueden entenderse como si provinieran
del estado tensional que se generara al desplazar horizontalmente un paramento que contuviera
el suelo.
Se supone ahora la misma porcin de suelo anterior (sin cohesin y con superficie libre
horizontal), con una plataforma vertical mvil supuestamente ilimitada en profundidad,
indeformable y movible a voluntad. En este caso, el estado activo (figura 9.1.3, superior) se
consigue desplazando horizontalmente la plataforma de contencin hacia el intrads, que como
se ha comentado, descomprime el suelo. En este estado, la relacin entre tensiones que controla
la ley de empujes se regir por el coeficiente de empuje activoKa.
De manera anloga al caso anterior, para el estado pasivo (figura 9.1.3, inferior), el
desplazamiento de la plataforma es hacia el trasds y el coeficiente de empuje pasivo Kpes el
que controla la relacin entre tensiones.
Es evidente que el empuje pasivo, con desplazamientos en contra del suelo, comprimindolo,
ser cuantitativamente mayor que el activo (Kp> Ka).
Si se representan ahora estos dos estados mediante crculos de Mohr, en el caso del estado
activo (figura 9.1.4, superior), al desplazar la plataforma hacia el intrads, las tensiones
horizontales disminuyen desde el estado al reposo hasta alcanzar unos valores lmite ,h a
correspondientes al estado activo, en el que el crculo de tensiones del punto de anlisis toca el
criterio de rotura (las tensiones verticales sern prcticamente invariables en este proceso por
corresponder al equilibrio con el peso de tierras situadas por encima de cada punto, cuya altura
se supone tericamente constante). Las tensiones principales se mantienen ordenadas respecto al
caso del estado al reposo (principal mayor correspondiente a la tensin vertical, 1 v , y
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principal menor correspondiente a la tensin horizontal, 3 ,h a ). En este estado, desde el
punto ,h a (que corresponde al polo de tensiones al ser= 0), se identifican las direcciones de
las superficies de rotura correspondientes (Ia- IIa).
Estado activo:
(h,a =Kav)
direccin (Ia) de los
planos de rotura
v
h,a
direccin (IIa) de los
planos de rotura
e activo
ea (z)
z
(
Ley de empujes del
estado activo:
(e reposo)
Estado pasivo:
(h,p =Kpv)
epasivo
ep (z)direccin (IIp) de losplanos de rotura
v
h,p
direccin (Ip) de losplanos de rotura
z
( Ley de empujes del
estado pasivo:
(e reposo)
Figura 9.1.3Obtencin de los estados activo y pasivo en un punto de una porcin de suelo mediante lahiptesis de desplazamiento horizontal de una plataforma vertical ilimitada
En el caso del estado pasivo (figura 9.1.4, inferior), al desplazar la plataforma hacia el trasds
(es decir, comprimiendo el terreno) las presiones horizontales (empujes) en el suelo aumentarn
como reaccin del terreno que se opone al movimiento. En este estado tambin se llega a un
valor lmite ,h p correspondiente al estado pasivo (de nuevo considerando las tensiones
verticales invariables). Aqu, las tensiones principales cambian de orden, siendo en los estado
pasivos la tensin principal mayor igual a la tensin horizontal, 1 ,h p , y la tensin principal
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menor igual a la tensin vertical, 3 v ). Desde el polo de tensiones se identifican tambin
ahora las direcciones de las superficies de rotura correspondientes (Ip - IIp), con ngulos
menores respecto a la horizontal, comparado con el caso del estado activo.
Estado activo:
0
Estado
activo
(Kav)
direccin de los
planos de rotura Ia
direccin de los
planos de rotura IIa
reposo
(z)
v= 1
h,a= 3
Estado pasivo:
0
v= 3Estado pasivo
(Kpv)
direccin de los
planos de rotura Ip
direccin de los
planos de rotura IIp
reposo h,p = 1
(z)
Figura 9.1.4Representacin en el plano (, ) de los estados tensionales activo y pasivo un punto del
suelo con superficie libre horizontal (= 0)
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Si se analiza genricamente la variacin de los coeficientes de empuje (variacin de tensiones
horizontales) en un punto en relacin con los movimientos laterales necesarios para su
desarrollo, se obtendra una grfica similar a la representada en la figura 9.1.5.
0 (hacia el trasds)
Desplazamiento, hacia el intrads)
Tensinhorizontal,h
h ,p
a
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Si se considera ahora un paramento con una altura H fijada (que es lo que sucede en casos
prcticos debido a la geometra real de las estructuras de contencin), el comportamiento en
rotura explicado en el apartado anterior viene condicionado por la misma, generando una
superficie de deslizamiento lmite compatible con el valor deH. En este contexto se procede acontinuacin a explicar el desarrollo terico bsico referente a dos teoras clsicas de obtencin
y cuantificacin de los empujes sobre estructuras de contencin. stas son, la teora de Coulomb
y la de Rankine.
Teora de Coulomb. Caso bsico
Coulomb observ que cuando los muros colapsaban (por empuje activo, esto es, por el empuje
de tierras provocado en el trasds con desplazamiento hacia el intrads) las tierras en el trasdspermanecan con una forma inclinada ms bien plana. En base a este hecho propuso un modelo
de estimacin de los empujes del terreno (empujes activos) planteando el equilibrio de la masa
de suelo desplazado en el caso ms desfavorable. Dicho modelo supone que los movimientos
del muro son suficientes como para que se forme en el terreno una cua de empuje que est
limitada por una superficie de deslizamiento plana (la curvatura real es despreciable en el caso
de los empujes activos).
El empuje activo,Ease puede obtener por equilibrio de fuerzas en la cua de rotura al conocer
completamente el vector peso (W) en magnitud y posicin, y la direccin de la reaccin en el
segmentoBC (al ser plano) y deEa. Sin embargo se desconoce todava cul es la cua de rotura
que se produce. Cuas de rotura pequeas (segmento BCmuy vertical, figura 9.1.6-derecha)
darn lugar a empujes bajos (poco peso de terreno) mientras que cuas de rotura grandes
(segmento BCmuy horizontal, figura 9.1.6-izquierda) darn lugar tambin a empujes bajos ya
que casi todo el peso lo absorber la reaccin en el segmento BC. En consecuencia, habr una
cua intermedia (figura 9.1.7) que produzca un empuje mximo y que es la que se deber
considerar. Por su parte, la direccin del empuje depende del movimiento relativo entre el
terreno y el trasds del muro durante el proceso de colapso (ascenso o descenso relativo de una
parte respecto a la otra, segn el caso). Y dado que en el caso de colapso la cua se mueve
(desliza sobre el segmentoBC) y que adems existe rozamiento en la superficie de rotura, Rno
puede ser ortogonal a la misma.
Aplicando el criterio de rotura de Mohr-Coulomb
( tannc ) y si se supone por el momento nula la cohesin (lo cual deja del lado de la
seguridad), R resulta tener una direccin que ha de formar un ngulo respecto al plano de
rotura.
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Esta cua puede obtenerse grficamente (antiguamente se haca as de manera habitual) o
analticamente, tal y como se sigue, considerando un paramento de altura mxima h:21
2a aE K h
que se puede determinar a partir de la ley de empujes:
2
0
1( ) ( )d
2
z h
a a a a a
z
e z K z E e z z K h
El coeficiente de empuje activo de Coulomb usado en estas expresiones es:
)(sin)(sin)(sin)+(sin+1)-(sinsin
)+(sin2
2
2
=
Ka
La expresin del coeficiente de empuje anterior tambin se puede utilizar con la forma
proyectada en direccin horizontal y vertical para determinar directamente las componentes del
empuje en dichas direcciones:
h sin( )
cos( )a a
av a
K K
K K
y h sin( )a aE E y cos( )av aE E son, respectivamente, las componenteshorizontal y vertical del empuje y z la profundidad desde la superficie. De las expresiones
anteriores puede observarse la dependencia de parmetros que tienen los empujes activos
calculados por Coulomb:
( , , , , , )a
E f h
W
REa
A
B
C
W
REa
A
B
C
Figura 9.1.6Casos de cuas de rotura posibles
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W
Ea
RW
R
Ea
A
B
C
Figura 9.1.7Cua de rotura en el posible caso ms desfavorable. Acciones sobre la cua en terreno sin
cohesin
La orientacin que define la direccin del empuje activo Ea depender del movimiento que
tenga el muro en el proceso de colapso. Dicha orientacin, definida segn (siendoel ngulo
de interaccin en el contacto tierras-muro), se opondr al posible movimiento estructural,
reduciendo o aumentando el momento de vuelco segn el caso.
El ngulo nunca va a ser mayor que el ngulo de rozamiento interno del terreno (). En
casos extremos, terrenos muy hmedos y superficies de paramento muy lisas, tender a
valores casi nulos ( = 0), mientras que en condiciones bien drenadas y superficies del
paramento muy rugosas resultar igual a (caso en el que la superficie de rotura en la
interaccin suelo-estructura se desarrolla separada del contacto). Sin embargo, en situaciones
especiales como por ejemplo el caso de que el terreno de apoyo del muro sea muy blando o en
presencia de empujes muy fuertes puede llegar a ser negativo, alcanzando valores de hasta -
con superficies rugosas.
As pues, la teora de Coulomb, para el clculo del empuje de tierras, se basa en la obtencin de
la cua de tierras que provoca el mximo empuje (caso activo siguiendo el procedimiento
descrito) o el mnimo empuje (caso pasivo, para el que hay que modificar apropiadamente el
estado tensional en la cua resistente) sobre la estructura de contencin. El procedimiento
consiste en definir la cua de rotura de empuje mximo o mnimo que es la que debe tenerse en
cuenta para dimensionar la estructura con un factor de seguridad. Como hiptesis bsica se
supone que el terreno en el momento de rotura lo hace sobre una superficie plana. Esta hiptesis
es suficientemente apropiada en el caso los empujes activos pero no lo es en el caso de los
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empujes pasivos. Por ello la teora de Coulomb para el clculo de estructuras de contencin, es
adecuada para determinar los empujes en el caso activo pero no lo es para determinar los
empujes pasivos ya que se observa que la rotura es curva, dejando, en conjunto con otros
factores como la mayor deformacin necesaria para alcanzarlos, del lado de la inseguridad encasos prcticos. Por otra parte es un mtodo muy verstil ya que se adapta a cualquier geometra
de la estructura realizando sucesivas cuas hasta encontrar la ptima.
Teora de Coulomb. Efecto de la cohesin
Si se supone la existencia de cohesin (c 0), sta contribuye a travs de la adherencia en el
trasds y el incremento de las tensiones tangenciales resistentes de la superficie de
deslizamientoBC(figura 9.1.8), todo lo cual reduce el valor deEa.
Debido a la cohesin puede ocurrir que aparezcan fisuras de traccin en la parte ms superior
del terreno del trasds debido a posibles tensiones negativas que en realidad no se desarrollan ya
que se separa el terreno. El mtodo de Coulomb permite analizar este problema (estimar, por
ejemplo, la profundidad de terreno afectada), pero es ms fcil plantearlo mediante el mtodo de
Rankine que se presenta en el siguiente subapartado.
W
Ea
R
ca
W
REa
A
B
C
Figura 9.1.8Cua de rotura. Acciones sobre la cua en terreno cohesivo
La cohesin es, pues, un factor de mejora del comportamiento del terreno, pero si finalmente no
se acaba desarrollando, o se desarrolla slo parcialmente, deja del lado de la inseguridad. Dado
que con frecuencia es difcil estimar su efecto de forma adecuada, en la prctica es habitual
despreciarla, quedando de esta manera del lado de la seguridad.
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Teora de Rankine
Pese a las limitaciones de aplicacin que se vern seguidamente, el mtodo de Rankine (1857)
es, desde un punto de vista matemtico, ms elaborado que el de Coulomb. Este mtodo obtienelos empujes del terreno partiendo de un estado de equilibrio en rotura en el que la estructura de
contencin no produce ninguna perturbacin (estados de Rankine estudiados en el tema 8).
En una masa de terreno en estado de Rankine todos sus puntos estn en situacin de rotura
(plastificados), es decir, tal y como se puede ver en la figura 9.1.9, en cada punto, el crculo de
Mohr correspondiente a su estado tensional es tangente a la lnea de resistencia.
v
Estado pasivo
h,p
h,a
Estado activo
c4 2
4 2
Figura 9.1.9Representacin de los estados activo y pasivo de Rankine en un punto de unterreno cohesivo, superficie libre horizontal y con tensin vertical z
En estas condiciones, con terreno homogneo en estado de Rankine, sin acciones exteriores y
con superficie libre horizontal (sin variacin de tensiones verticales en los puntos de cualquier
plano paralelo a la superficie), la tensin horizontal resulta:
2
3 tan 2 tan 24 2 4 2h a az c zK c K
(estado activo)
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21 tan 2 tan 24 2 4 2h p p
z c zK c K
(estado pasivo)
La expresin de los coeficientes de empuje activos y pasivos (Kay Kp) con trasds vertical sonlas siguientes (casos particulares de las expresiones vistas en el tema 8):
2 2
2 2
cos( ) cos ( ) cos ( )cos( )
cos( ) cos ( ) cos ( )aK
Que en el caso particular = 0 (superficie libre horizontal) coincide con las expresiones yavistas anteriormente:
2
2
1 sintan
1 sin 4 2
1 sintan
1 sin 4 2
a
p
K
K
El mtodo de Rankine, a diferencia del de Coulomb, impone el valor de (igualndolo a la
inclinacin del terreno en superficie , en el caso de trasds vertical) y permite obtener los
coeficientes de empujes. En el tema 8 se vio cmo obtener el estado tensional, mediante el
mtodo de Rankine, para cualquier inclinacin de la superficie del terreno en el trasds y para
cualquier inclinacin del paramento de la estructura, as como el clculo del ngulo en casos
arbitrarios.
En caso de considerar un suelo cohesivo, los empujes pueden resultar tericamente negativos
cerca de la superficie (Figura 9.1.10). En la realidad, el comportamiento de traccin consecuente
con estos empujes negativos tericos se traduce en una generacin de grietas en superficie, de
profundidad variable segn la magnitud de la cohesin y de otras consideraciones del contorno
(sobrecargas, etc.).
La ley de empujes que resulta (sin cargas exteriores) es la siguiente:
2( ) tan 2 tan 24 2 4 2a a a
e z z c zK c K
Y el empuje activo total resultante:
21 22a a a
E h K ch K
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En esta ltima expresin (empuje total) est tambin integrada la parte con empujes negativos,
lo cual no es correcto. Considerando nulas las sobrecargas, el terreno puede estar traccionado
con la consecuente aparicin de fisuras hasta una profundidadzcde valor:
2
2 tan2 2 24 2
tan4 2tan
4 2
a
c p
a
cc K c c
z KK
cz
ae z
h
Figura 9.1.10Aparicin de empujes negativos tericos (grietas) debidos a la cohesin
Estos empujes negativos, que significaran que el terreno tira del muro para estabilizarlo (son
favorables a la estabilidad), en realidad no se producen, sino que el terreno se separa del mismoy deben anularse.
As pues, la teora de Rankine, al igual que la de Coulomb, proporciona resultados bastante
realistas para los empujes activos. No obstante, al igual que le ocurre al mtodo de Coulomb,
este mtodo no estima de forma suficientemente correcta los empujes pasivos (las superficies de
deslizamiento no son realmente planas). As pues, el mtodo de Rankine, al igual que el de
Coulomb, podr emplearse para casos simples (con factores de seguridad apropiados) y para
determinar los empujes activos, donde el terreno tiene ms o menos una rotura plana, y por elcontrario no debe emplearse para determinar directamente el empuje pasivo, por las mismas
razones indicadas para el mtodo de Coulomb.
Empuje pasivo. Mtodo de la espiral logartmica
Para el clculo del empuje pasivo se ha propuesto otros mecanismos de rotura ms realistas,
como el de la espiral logartmica (Figura 9.1.11) que se explica someramente a continuacin y
puede considerarse una aplicacin del teorema de la cota inferior explicado en el tema 8. En este
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mecanismoAEes la superficie frente al muro (terreno superior en estado pasivo) afectada por
el posible mecanismo de rotura con terreno inclinado en el intrads; BC es una espiral
logartmica (zona OBCde plasticidad radial) que corresponde a una superficie de rotura; yACE
y AOBson cuas de rotura (ACsegn el estado de Rankine). Para obtener el empuje sobre elintrads del muro debe establecerse el equilibrio de pesos y fuerzas. Para ello puede
considerarse una seccin vertical por el punto Ce imponer equilibrio enABCD (Figura 9.1.12).
A
E
C
O
B
Estado
pasivo Estado de
plasticidad radial
Estado
pasivo
D
C B
A
O
Estado pa sivo
Estado
pa sivo
Estadoplasticida d
radial( )BCe
( )CDE
0rr
3W
2W
1W
Figura 9.1.12Mecanismo de rotura segn el mtodo de la espiral logartmica.
Fijando arbitrariamente O(que determina en consecuencia la posicin del punto Ca partir de la
expresin de la espiral logartmica), se va obteniendo el valor de los distintos parmetros (unos
ms inmediatos de definir que otros; as, por ejemplo, hay mtodos aproximados para ayudar en
la obtencin del peso en la zona en plasticidad radial W2) y se consigueEppor equilibrio (con el
ngulo de contacto que se haya adoptado, como en el caso activo), que puede suponerse
aplicado a de la altura sin no hay acciones exteriores. Se debe tantear varias posiciones de O
hasta obtener el menor valor, ya que se supone que el mecanismo de colapso se desarrollar de
forma que se minimice la resistencia opuesta por el terreno en el intrads (de forma anloga,
aunque contraria, a lo que ocurre con los empujes activos, que se producen a travs de la cua
que los hace mximos). Esta situacin, aparte, deja del lado de la seguridad. Para la aplicacin
de este mtodo pueden aplicarse programas de clculo especficos o bacos disponibles en la
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bibliografa. En el caso drenado la espiral logartmica se convierte en una circunferencia
(mtodo del crculo de rozamiento).
Existen otros procedimientos de clculo, con modelos diferentes, que tienen un tratamientoanlogo al ya visto para la espiral logartmica.
99..11..22AAcccciinnddeellaagguuaa
El agua, y concretamente las presiones intersticiales que genera, tiene una gran importancia en
el estado tensional producido en el terreno y, en particular, en superficies definidas en el mismo,
por lo que es tambin esencial en la estabilidad de las estructuras de contencin.
N.F.
+
ahK hz
'( )a ahK z h K
( )w h
H
,
agua:
0
1
w
a wK
(90 -)
Figura 9.1.13Existencia de agua en el trasds.
Para considerar el efecto del agua en una determinada superficie del terreno se debe tener en
cuenta, por una parte, el estado tensional en trminos de tensiones efectivas y por otra la accindirecta del agua. Si se supone la existencia de una cierta altura de agua en el trasds del muro
(Figura 9.1.13), para considerarla se suman los empujes del agua a los del terreno teniendo en
cuenta el peso especfico sumergido del suelo bajo el NF ( ' w ). El empuje debido al
agua siempre acta ortogonal al trasds ( 0 ) y con coeficiente de empuje unidad ( 1waK ),
lo cual es desfavorable a la estabilidad. En conjunto, la accin directa del agua y la reduccin de
empujes de tierras (acciones efectivas) inducen unos empujes mayores que en el caso de terreno
seco.
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En un caso general habra que estimar la red de flujo (por ejemplo con lluvia) y la ley general
de presiones de agua en el trasds, y a partir de ella y del estado tensional obtener los empujes
efectivos de las tierras (Ka, ) y los del agua (Ka = 1, = 0) en el trasds.
99..11..33SSoobbrreeeemmppuujjeessppoorrccaarrggaasseexxtteerriioorreess..OOttrroossccaassooss
Caso de cargas uniformemente repartidas
Si existen sobrecargas uniformemente distribuidas (Figura 9.1.14) se puede aplicar sin
problemas la teora de Rankine y, con una ligera variacin, la teora de Coulomb, segn se
indica a continuacin.
W
q
Figura 9.1.14Sobrecarga uniformemente repartida en la superficie del trasds.
Puede considerarse que las sobrecargas afectan generando un incremento ficticio del peso Wde
la cua de rotura (ver la figura 9.1.15):
1rea cuasin( ) 2 sin( )
1 21
2 sin( )
l lW q ABl q
W ABl qAB
donde2
1sin( )
qAB
es un factor constante que no depende de la cua escogida.
Luego se puede entender el problema como si la sobrecarga tuviera un efecto sobre el peso
especfico del terreno, transformndolo:
-
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18
1 21
2 sin( )
*
W ABl qAB
Considerando el plano de deslizamiento invariable y teniendo en cuenta la relacin
sin
hAB
, resulta
2 sin* 1
sin( )
q
h
, y se tiene:
2 2 21 1 2 sin 1 sin* 12 2 sin( ) 2 sin( )
a a a a a
qE z K z K z K qz K
z
es decir:
21 sin
2 sin( )a a aE h K qh K
Con la ley de empujes siguiente:
sin( )
sin( )a a a
e z zK qK
q
A
B
Figura 9.1.15Cua de rotura con sobrecarga uniformemente repartida.
Se puede pues, aplicar el mtodo grfico con * o el mtodo analtico con las expresiones
indicadas. Los empujes evolucionarn con la profundidad segn la ley de empujes deducida
(Figura 9.1.16). La utilizacin del peso especfico ficticio permite estimar el empuje total
producido (con una ley triangular de empujes que es irreal) pero no su distribucin, que es
trapezoidal. El empuje resultante pasar por el centro de gravedad del trapecio; calculndolo
queda:
-
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2 sin2 3sin( )
sin3 6
sin( )
h qh
zcdg
h q
Aunque resulta ms cmodo trabajar con ambas componentes, cada una de ellas aplicada en un
punto de aplicacin diferente.
q
h
2h3h
aE q
aE
(90 -)
Figura 9.1.16Ley de empujes para el caso de sobrecargas uniformemente repartidas.
Es frecuente el uso del concepto sobrecarga reducida de tierras para definir las sobrecargas a
travs de una altura representativa del mismo terreno del trasds, esto es, encontrando la altura
de tierras h0, con , que produce la sobrecarga q, luego: h0= q/ . De este modo, si se aplica una
sobrecarga uniforme de valorq (por ejemplo, en un terreno sin cohesin), se puede sustituir la
altura hpor h+ h0, siendo h0la altura de tierras que producira la sobrecarga q, entendida como
una sobrecarga reducida de tierras (figura 9.1.17), o utilizarse directamente el valor de q:
2'
( ) tan4 2a a
e z q z q z K
En el caso de terreno cohesivo (figura 9.1.10 anterior), la ley de empujes de desplaza hacia la
derecha, y los valores negativos deben anularse una vez se ha tenido en cuenta los sobreempujes
debidos a las sobrecargas en superficie del trasds, resultando:
( ) 2a a ae z q z K c K
Empuje activo total:
-
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20
21 22a a a a
E h K qhK ch K
Donde la profundidad de las posibles grietas de traccin, resulta:
1 2c pz c K q
ae zh
q
0 ah K
0 ah h K
0( )h q
Figura 9.1.17Sobrecarga reducida de tierras.
Carga arbitraria
Si la carga aplicada en la superficie del terreno no es uniforme (carga variable, carga puntual,
etc.; figura 9.1.18), la ley de empujes no resulta lineal. A pesar de ello, el mtodo de Coulomb,
que es de una potencia significativa, puede aplicarse para estimar los empujes producidos
dividiendo el trasds en subtramos (ms exactitud a mayor nmero de divisiones) y obteniendo
de este modo las cuas de rotura de los submuros definidos (figura 9.1.19) y los diferentes
centros de gravedad de las distintas distribuciones de empuje resultantes.
Este procedimiento es largo de realizar y por ello resulta ms sencillo en la prctica utilizar
distribuciones semiempricas para estimar los sobreempujes producidos por cargas exteriores
arbitrarias. Mediante el mismo es tambin posible aproximar con la teora de Coulomb los
empujes en otras situaciones complejas como por ejemplo sobre superficies no planas.
-
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Plano de
rotura
Qiq
jq
Figura 9.1.18Cargas variables en la superficie del trasds.
1aE 2*
a2 2* 1a a aE E E
1aE2a
3a
4a
Figura 9.1.19Esquema del mtodo para el clculo de empujes en el caso de carga arbitraria.
99..22CCaappaacciiddaaddppoorrttaanntteeddeelltteerrrreennoo
En esta seccin se analiza la capacidad portante de un suelo sometido a cargas repartidas.
99..22..11PPllaanntteeaammiieennttooggeenneerraall..MMeeccaanniissmmooddeerroottuurraagglloobbaall
La rotura del terreno debido a la aplicacin de cargas en superficie (por ejemplo, el hundimiento
de una cimentacin) puede definirse como la movilizacin de la mxima resistencia al esfuerzo
cortante en el suelo a lo largo de una superficie de deslizamiento acompaada con
-
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deformaciones verticales (asientos) elevadas y generalmente acompaadas con giros o incluso
vuelcos de la estructura sustentada.
El mecanismo de rotura que puede desarrollarse depende del tipo de suelo y muy
particularmente de sus caractersticas resistentes y de su compresibilidad.
Si el suelo es poco compresible, el mecanismo de rotura se desarrolla sin apenas cambio de
volumen, y las deformaciones verticales de la cimentacin solamente se producen si se moviliza
una masa de terreno a lo largo de una superficie de deslizamiento. Este mecanismo de rotura es
el ms general en cimentaciones superficiales y es el que se va a analizar en detalle en este
apartado.
Las caractersticas de este mecanismo, son:
Superficies de deslizamiento bien definidas que afloran en la superficie del terreno
Levantamientos del terreno en ambos lados. Aunque la teora indica una rotura simtrica,
pequeas irregularidades hacen que sea asimtrica con giros ms o menos importantes.
La rotura puede ser repentina y catastrfica y se identifican en el terreno, de modo ms o
menos claro, por ejemplo, las zonas que se muestran en la figura 9.2.1.
p
Estado pasivoEstado pasivo
Estado activo
Zonas de plasticidad radial
Figura 9.2.1Mecanismo de rotura general
99..22..22EExxpprreessiinnddeePPrraannddttllppaarraaeellccaassooddeetteerrrreennoossiinnppeessoo
El modelo del comportamiento en rotura del terreno de Prandtl (1920) bas sus hiptesis en una
zapata corrida, lisa, apoyada en un terreno en el cual no consider su peso y que nicamente
dispona de friccin o de cohesin, pero no ambas propiedades simultneamente.
Posteriormente, la deduccin de Caquot (1948) del teorema de los estados correspondientes,
permiti superponer ambas soluciones (friccin y cohesin) y obtener as la expresin conjunta
-
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de la presin de hundimiento de una zapata corrida lisa, apoyada sobre un terreno sin peso con
friccin y cohesin.
La expresin resultante de la presin de hundimiento de Prandtl tiene la estructura siguiente,
que es general para cualquier modelo esttico planteado con terreno sin peso:
Tal y como puede verse en la figura 9.2.6 existe una zona activa, una zona pasiva y entre medio
una zona de transicin de plasticidad radial. Se muestran las distintas zonas del mecanismo y el
ngulo que forman en funcin de .
Estado
activo
Zona de plasticidad
radial
B
D
F
A C G
E 1 4 2
1
22
0r
2
2 4 2
Estado pasivo
2
1
0exp tanr r
2
q
r
Figura 9.2.6Mecanismo de rotura (modelo de Prandtl). (Los ngulos y dimensiones de la figura no se
corresponden con la realidad).
A partir de las dimensiones de la zona cargada y del ngulo de rozamiento interno del terreno,
se puede definir la zona de afectacin por el mecanismo.
Para encontrar el punto ms bajo se debera hacer la derivada de la funcin matemtica, que es
una espiral logartmica, y que describe la curva que va de DaE(zona de plasticidad radial). No
obstante se puede considerar que el punto ms bajo es aproximadamente el punto F que
coincide con la vertical del puntoA(extremo derecho de la zapata), cuya profundidad se calcula
a continuacin partiendo de la figura 9.2.7.
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En donde:
/ 2
cos 4 2
AB B
AD AD
y despejando AD, se obtiene:
0
1
2cos
4 2
BAD r
Figura 9.2.7Esquema de la media cua activa y relaciones trigonomtricas de la misma
Ya vista en el tema 8, la expresin matemtica de la espiral logartmica en la zona de plasticidad
radial (Figura 9.2.8) es: tan0r r e . A partir de esta expresin, se puede estimar la profundidad
mxima del mecanismo de rotura en la zona de plasticidad radial, segn:
tan0AF r r e
Sabiendo que el ngulo que existe entre AD y AF es:
2 4 2 4 2
, se puede,
entonces, calcular la distancia AF, que es una aproximacin a la profundidad de rotura,
resultando:
tan tan4 2 4 2
0
1
2cos
4 2
BAF r r e e
Esta expresin, que debe ser operada mediante radianes, es muy til porque permite predecir de
forma aproximada, si un estrato que est a cierta profundidad, afectar o no al mecanismo de
rotura.
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0r
22
2
Figura 9.2.8Espiral logartmica.
El ngulo entreADyAEes /2 tal y como puede verse en la figura 9.2.6, de modo que:
tan tan2 2
0
1
2cos
4 2
BAE r r e e
tan tan2 2
cos4 2
tan2 2 4 2
cos4 2
B BAC e e
A partir deACse puede determinar el alcance en superficie, es decir la distancia BGque es la
extensin de rotura (sabiendo queBG = (B/2)+ 2AC):
tan21 2 tan
2 4 2
BBG e
A medida que aumenta el ngulo de rozamiento interno mejora la calidad del terreno. Esto
afecta al mecanismo de rotura en que lo hace ms profundo y ms extenso con lo que aumentala presin de hundimiento de ese terreno ya que se tiene que movilizar ms superficie para
producirse la rotura y generar el mecanismo.
Si el ngulo de rozamiento es menor, el terreno es de peor calidad, el mecanismo de rotura
abarca menos zona y por tanto la presin de hundimiento es ms baja debido a que se moviliza
menos superficie.
r
-
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El mecanismo de rotura de Prandtl se acerca a lo comprobado experimentalmente. Falta
conocer el valor de la hp : presin de hundimiento tal que genera el estado tensional que est en
equilibrio en condiciones de rotura. Para ello se hace el anlisis que se desarrolla a continuacin
(figura 9.2.10),
A
D
E
CB
BAvp
ACvq
2tan 4 2 2 tan 4 2ap p c
2tan 4 2 2 tan 4 2pq q c
a
pq
Figura 9.2.10Equilibrio de tensiones (terreno sin peso).
En el interior del dominio no hay fuerzas por unidad de masa porque se supone terreno sin peso
(= 0), luego:
BD
V z p p
CE
V z q q
En la superficie real de rotura DE, en el momento que se alcanza la rotura se debe cumplir
estrictamente el criterio de Mohr-Coulomb, tannc (figura 9.2.11):
tan( )
tan( )c
c
Figura 9.2.11Resistencia al corte segn el criterio de rotura de Mohr-Coulomb.
-
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Haciendo equilibrio de momentos en el puntoAobtenemos:
2 22 2 2 2h a a p p c
AB BD AC CEp AB pK c K BD q AC qK c K CE M
donde:
Kaes el coeficiente de empuje activo de Rankine:2tan
4 2aK
Kpes el coeficiente de empuje pasivo de Rankine:2tan
4 2pK
Mces el momento producido por la cohesin y se calcula segn se indica a continuacin.
Teniendo en cuenta que acta entreDyE y el ngulo es /2
2
/2tan 2
0
0
dd cos d
cos
( ) d
c
c
rrc r c
M r e c
De este modo se puede despejarph(presin de hundimiento), resultando:
tan 2 tan 2tan tan 1 cot4 2 4 2h
p qe c e
Definiendo los factores siguientes:
tan 2tan4 2q
N e
tan 2tan 1 cot ( 1)cot4 2c q
N e N
Resulta, finalmente, la expresin de la presin de hundimiento:
h q cp qN cN
Donde:
q es la sobrecarga equivalente al peso del terreno que hay por encima de la base de la
sobrecarga correspondiente a las acciones exteriores.
c es la cohesin del terreno.
Y donde los factoresNqyNcrefieren a:
Nq: factor de capacidad de carga debido a la friccin y que slo depende del ngulo de
rozamiento interno. Debe tenerse en cuenta que Nc se cumple siempre, sea cual sea la
hiptesis que se plantee ya que proviene del teorema de los estados correspondientes.
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Nc: factor de capacidad de carga debido a la cohesin y que slo es funcin de Nq (se
demuestra con el teorema de los estados correspondientes)
En condiciones no drenadas (se toma el lmite cuando 0) ambos factores adoptan losvalores 1qN y 2cN como se demostrar posteriormente.
El planteamiento utilizado en esta seccin es una aplicacin del teorema de la cota inferior ya
que se ha definido un mecanismo en equilibrio en el que en ningn punto se supera a la tensin
de rotura. Como tambin se trata de un mecanismo cinemticamente admisible (superficies de
deslizamiento rectas o espirales logartmicas, al ser un planteamiento drenado), podra
imponerse un desplazamiento del mismo, aplicar el principio de los trabajos virtuales y deducir
una presin correspondiente, en este caso, al teorema de la cota superior.
99..22..33TTeerrrreennooccoonnppeessoo..OOttrroossccaassooss
En el caso de tener en cuenta el peso del terreno con el mecanismo de Prandtl, el esquema de
equilibrio es el que se presenta en la figura 9.2.12. Si se realiza el equilibrio de momentos, la
expresin resultante es la de Prandtl ms un tercer trmino debido a la contribucin del peso del
terreno:
1
2q cp qN cN B N
Donde:
Bes la anchura de la zona cargada.
es el peso especfico del terreno.
Y tambin:
N: factor de capacidad de carga debido al peso del terreno.
La expresin del factor N fue dada por Buissman para el mecanismo de Prandtl pero en la
actualidad no se usa debido a su complejidad y porque deja del lado de la inseguridad.
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A
D
E
CB
p
q
2( ) tan 4 2 2 tan 4 2p p z c
2( ) tan 4 2 2 tan 4 2a q z c
1W
2W
3W
p
a
Figura 9.2.12Equilibrio de tensiones (terreno con peso).
Para calcularNse usa habitualmente un mecanismo debido a Terzaghi en el que tiene en cuenta
el peso y la friccin entre zapata y terreno (zona elstica bajo la zapata; Figura 9.2.13). Debido
al rozamiento bajo la zapata, se generan unas tensiones que se oponen a la rotura.
Zona
elstica
Figura 9.2.13Modelo de Terzaghi.
El modelo de Terzaghi tiene la misma expresin general que el modelo de Prandtl
1
2h q cp qN cN B N
, pero en este caso, los coeficientes Nqy Nc tienen expresiones
diferentes al adoptar hiptesis diferentes a las adoptadas por Prandtl, mientras que el factor del
trmino de peso es 2( 1) tanqN N .
Sea cual sea el modelo a plantear (hay varios en funcin de las hiptesis planteadas por
diferentes autores), la estructura de la expresin para calcular la presin de hundimientoph(con
sus tres trminos Nq, Ncy N) siempre es la misma. Adems, a partir de Nqse puede siempre
determinarNc a travs del teorema de los estados correspondientes ( ( 1)cotc qN N ).
-
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De nuevo, todos estos planteamientos en los que la presin de hundimiento se deduce a partir de
un mecanismo en equilibrio en el que no se supera en ningn punto el criterio de rotura,
corresponden a aplicaciones del teorema de la cota inferior.
En la prctica se utiliza una expresin combinada propuesta por Brinch-Hansen en la que Nqy
Nc tienen la misma expresin que en el modelo de Prandtl (Nc procede del teorema de los
estados correspondientes)yNen cambio se toma del modelo de Terzaghi.
Caso no drenado
Esta expresin puede obtenerse deducindola directamente como se hace a continuacin a travsdel mecanismo de Prandtl. Se considera el caso general de una zapata corrida apoyada en
superficie con carga vertical (Figura 9.2.14).
M
p
q
Zona de plasticidad radial
44
2
2h uq c 2h up c
P Q
T
4B
2B
4B
(abnico de transicin)
Figura 9.2.14Tensiones en condiciones no drenadas (la superficie de rotura en la zona radial en el casono drenado es circular).
Se observa la rotura del suelo en condiciones no drenadas en el caso de que se alcance su
mxima resistencia de corte debido a un aumento de la tensin vertical manteniendo la
horizontal constante y como lo hace si se aumenta la tensin horizontal manteniendo la vertical
constante.
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P
uc
h v p 0v
4
P
uc
4
v p h0h
Estado activo de rankine Estado pasivo de rankine
Figura 9.2.15Rotura del terreno en estados activo y pasivo de Rankine.
La curva que describe la zona de transicin es un crculo, que es la que resulta al considerar la
expresin de la espiral logartmica con 0 , siendo la trayectoria de menor energa.
tan0 constante crculor r e r
En esta lnea, la mxima tensin de corte que se puede desarrollar es cu. Si se integra las
tensiones de corte a lo largo de la superficie, se obtiene el valor de la fuerza T:
d d 22 2 2u u u
BT l c l c r c
siendo 2 2
Br
Fcilmente se puede determinar el valor dePy de Qque aparecen en la figura 9.2.14:
22h u
BP p c
22u
BQ q c
Justo antes del colapso el mecanismo tiene que estar en equilibrio. Si se hace equilibrio de
momentos en el puntoM:
2 4 4 4 2 4hB B B B B B
p P Tr Q q
( 2 ) 2 2 ( 2 )2 4 2 4 4 2 2 4 2 4h h u u u
B B B B B B B B B Bp p c c q c q
2 2 2 2 2 2 2
2 2 28 8 8 8 8 8 8h h u u u
B B B B B B Bp p c c q c q
2 2 2 2 2h u u u u u u
p c c q c c c q c
obtenindose, finalmente:
-
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(2 )h u
p q c
Si se comprueba este resultado, que es una cota inferior, con el obtenido mediante el teorema de
la cota superior visto en el tema 8, se observa que el resultado coincide y por tanto se puedeafirmar que la presin de hundimiento es la solucin exacta con las hiptesis inherentes al
procedimiento (plasticidad perfecta y asociada, criterio de rotura de Mohr-Coulomb, etc.) ya
que la presin de colapso es la misma.
Si el terreno tuviera peso, la expresin sera la misma ya que la componente del peso est a
ambos lados, es decir, tanto en la zona pasiva como en la activa, con lo que quedara anulada.
Este resultado para la presin de hundimiento puede deducirse tambin, como se ha indicado
anteriormente, por simple aplicacin de la expresin de Prandtl y Terzaghi con c = cuy = 0.
99..33EEssttaabbiilliiddaaddddeettaalluuddeesseennssuueellooss
En esta seccin se estudia la estabilidad de taludes en suelos.
99..33..11IInnttrroodduucccciinn..PPllaanntteeaammiieennttooddeellpprroobblleemmaa
Los movimientos de ladera o talud naturales constituyen uno de los principales mecanismos de
erosin y transporte en reas de montaa y al mismo tiempo, uno de los riesgos geolgicos de
mayor impacto por la cantidad de material movilizado. Los movimientos de una ladera se
pueden clasificar en: desprendimientos, vuelcos, deslizamientos, expansin lateral y flujos. En
cualquier caso puede distinguirse entre taludes naturales (por ejemplo laderas de montaas) y
artificiales (permetros de terraplenes, desmontes o excavaciones sin elementos estructurales de
contencin, paramentos de presas de tierras, etc.); o entre taludes en roca, muy condicionados
por su estructura, y taludes en suelos.
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Figura 9.3.1Esquema general de una ladera inestable
Muchos de los movimientos de ladera que se observan, y en particular los ms voluminosos,
habitualmente no pueden ser explicados mediante un nico mecanismo de rotura. Cuando se
movilizan cientos de miles o millones de metros cbicos de terreno el comportamiento no suele
ser homogneo y finalmente lo que se observa es una combinacin de varios mecanismos de
rotura como, por ejemplo, vuelco + desprendimientos. As pues, en la estabilidad de una ladera
o talud intervienen simultneamente diversos factores, por lo que es difcil plantear que slo uno
de ellos sea la causa del movimiento. No obstante, cuando se analiza la rotura puede, en
ocasiones, concluirse que ha sido la modificacin de un determinado parmetro concreto la que
ha provocado el inicio de la inestabilidad (por ejemplo, en un deslizamiento particular, por el
aumento de la presin de agua debido a lluvias intensas das antes). En algunos casos,
parmetros que tienen notables influencias en la estabilidad (como por ejemplo, la altura del
talud) pueden ser secundarios. Si algn parmetro suele tener una importancia decisiva, ste es
la litologa, ya que cada material presenta unas caractersticas resistentes especficas y, adems,
un estado de fracturacin, permeabilidad, facilidad de meteorizacin particulares que
condicionan fuertemente la estabilidad.
Es importante tener en cuenta qu factores y situaciones favorecen a la estabilidad y cules son
desfavorables a la estabilidad. A modo de ejemplo, las cargas en coronacin del talud sern, por
lo general, siempre desestabilizadoras, mientras que las cargas en el pie del talud sern
estabilizadoras. Las presiones de agua, como ya se ha comentado, favorecen la inestabilidad,
con lo que ser importante tenerlas en cuenta. Tambin influyen, como es lgico, las
-
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caractersticas geomtricas, de forma que los taludes ms altos y verticales sern ms
inestables que los ms bajos y horizontales, a igualdad de otros factores.
El objetivo final es determinar cundo un talud es o no estable y con qu factor de seguridad loes. Para ello se deben analizar todos los mecanismos (superficies) de rotura posibles y obtener,
para cada uno de ellos, cul es su factor de seguridad. Como es lgico, el talud tendr un nico
factor de seguridad y ste ser el mnimo de todos los calculados para cada una de los
mecanismos de inestabilidad y rotura previstos.
Estabilidad de los suelos
A diferencia de otros materiales, los suelos pueden llegar a ser extremadamente heterogneos,con casos que incluyen granulometra, textura y consistencia muy diversas en un mismo
volumen de anlisis. Los hay que son originarios de fenmenos de transporte y deposicin muy
selectivos (por ejemplo arenas y limos elicos) resultando materiales bastante homogneos; y
otros consistentes en una mezcla de partculas de diversa granulometra (por ejemplo, los
depsitos coluviales). El mecanismo de rotura y la evolucin de la masa movilizada se vern
condicionados por este tipo de caractersticas.
Los suelos cohesivos suelen corresponder a depsitos bastante homogneos que cuando sepresentan en grosores potentes pueden dar lugar a deslizamientos rotacionales. Los
deslizamientos rotacionales se caracterizan por presentar una superficie de rotura curva. Se
produce un giro de la masa de terreno inestable alrededor de un eje imaginario. Por simplicidad
se supone una superficie de rotura circular, aunque sta puede ser elptica o de formas diversas.
Si por el contrario los grosores son pequeos, la rotacin puede quedar inhibida y en este caso
se produce una rotura de tipo plana. Las circunstancias que provocan esta rotura plana suelen
ser, entre otras, la presencia de litologas ms resistentes por debajo del material cohesivo o la
existencia de una superficie de separacin entre el suelo compacto y la parte superior
meteorizada.
En los suelos no cohesivos existe, en su composicin, una transicin hacia los suelos cohesivos.
De este modo, no es difcil encontrar depsitos con contenido de fraccin fina (matriz arcillosa
o limosa) superiores al 10% o 20% en peso, lo que puede proporcionar una cierta cohesin y
adherencia en el conjunto. En este tipo de suelos es corriente la aparicin de fenmenos de
inestabilidad superficial y la cada por desprendimiento de bloques. La estabilidad del conjunto
del depsito depender en gran medida del grado de clasificacin de las partculas y de su
-
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empaquetamiento natural, si bien cuando no existe cementacin entre partculas, los taludes
tienden a desmoronarse.
Estabilidad de los macizos rocosos
Las rocas presentan en general una elevada cohesin y resistencia, por lo que su
comportamiento en lo que se refiere a taludes es distinto a los suelos. En las rocas existen
numerosas debilidades estructurales internas como: juntas, planos de estratificacin, diaclasas,
fallas, planos de esquistosidad, etc., que reducen la resistencia del conjunto. Cuando estas
discontinuidades no existen o no estn presentes con una disposicin desfavorable, puede darse
taludes verticales de gran altura sin problemas de estabilidad y tambin formas en voladizo de
magnitud importante. En granitos, calizas, conglomerados, areniscas, gneis y cuarcitas (entreotras) se desarrollan paredes fuertemente empinadas nicamente controladas por dichas
discontinuidades.
En los apartados posteriores nicamente se va a analizar la estabilidad de los taludes en suelos y
no se va a considerar la estabilidad de taludes en roca. Se va a comenzar por dos casos simples
(talud indefinido y corte vertical) que permiten plantear el procedimiento bsico de clculo de la
estabilidad de un talud y con los que se pueden obtener resultados analticos especficos, y
despus se va a pasar a los mtodos generales de equilibrio lmite, que son los utilizadoshabitualmente en casos de cierta complejidad.
99..33..22CCaassooddeettaalluuddiinnddeeffiinniiddoo
En deslizamientos translacionales, cuya superficie de deslizamiento sea sensiblemente paralela a
la superficie y la profundidad de deslizamiento sea pequea comparada con la longitud, pueden
analizarse las condiciones de estabilidad en la hiptesis de talud indefinido que se indica en la
figura 9.3.2
Interesa conocer las condiciones de estabilidad en un plano comoPPsituado a una profundidad
d. Se alcanzar una situacin inestable cuando la tensin de corte , existente en este plano sea
igual o superior a la resistencia al corte disponible. De acuerdo con la expresin de Mohr-
Coulomb, en tensiones efectivas, es necesario conocer la tensin norma y la presin de agua
upara obtener la tensin de rotura f, en el mismo plano.
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A
Wd E
'B
C
D
n
l
cos( )b l
w
u
P
P
, , nc
l
nlW
Figura 9.3.2Esquema para el anlisis de la estabilidad de un talud indefinido, deslizamiento plano
Teniendo en cuenta que el talud considerado es infinito, todos los planos verticales son
equivalentes entre s. Las fuerzas E y E ejercidas a ambos lados de dos secciones verticales
prximas sern iguales y de sentido contrario. Esto permite resolver el estado de tensiones en la
base de un elemento (con puntos A, B, C y D del contorno) proyectando el peso del elemento W
sobre la superficie de rotura.
2
sin sin sin cos
cos coscosn
W bd dl l
W bdd
l l
Esto permite obtener el factor de seguridad que se define de la siguiente manera:
Resistencia al corte del suelo
Tensin de corte actuanteF
2' cos tan '' tan 'sin cos
f c d uc uF
d
Esta expresin puede particularizarse a determinados casos.
Talud en terreno granular seco
Al estar el terreno seco no se consideran presiones intersticiales y por ser granular la cohesin es
nula. En este caso la expresin del factor de seguridad queda reducida a:
-
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tan
tanF
El mximo ngulo del talud permitido es y corresponde a un factor de seguridad 1.
Flujo de agua paralelo a la superficie
En la figura 9.3.3 se muestra el esquema con las variables necesarias para analizar este caso.
A
d
B
N.F.
P P
, , nc
C z
Figura 9.3.3Flujo paralelo a la superficie en talud indefinido
Con objeto de conocer la presin de agua, sta se determina en un punto genrico B de lasuperficie de rotura. La equipotencial que pasa por Bcorta la superficie del talud en el puntoA.
De este modo, la altura piezomtrica en el punto Aes la mismao que en el punto B. Tomando
como referencia el planoPPcomo origen para el clculo de la altura piezomtrica, se obtiene:
2
2
0 0 0cos
cos
BA
w B w
uz AC
u d
AC d
El factor de seguridad ser en este caso:
2' cos tan 'sin cos
wc d
Fd
Si el terreno es granular (c=0):
tan 'tanwF
-
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Teniendo en cuenta valores habituales para el peso especfico, la expresin resulta
aproximadamente como:
1 tan '
2 tan
F
Es decir cuando hay flujo paralelo a la superficie, el factor de seguridad en terrenos granulares
se reduce aproximadamente a la mitad en roturas planas.
Talud sumergido
El esquema para plantear este caso se muestra en la figura 9.3.4.
AWd
'EB
C
D
n
l
N.F.
, , nc
wH
w ww wH u
w wH u
1w
2w
1sin( )
2 wu
Figura 9.3.4Talud indefinido sumergido
Sobre los planos verticales acy bdactan las presiones de agua y los empujes efectivos Ey E
que se han supuesto iguales y de sentido contrario (mismo estado de tensiones efectivas). Los
empujes horizontales de aguaEw1yEw2 tienen una resultante dada por la siguiente expresin:
1 2
2 2sin
w w
w w w w w w w w w w w w w w
w
E E
H p H p d H p H p dd d
d
Resolviendo el conjunto de esfuerzos sobre el plano de corte y la direccin perpendicular,
obtenemos las siguientes expresiones para y :
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2 2
sin cos sin cos ( ) sin cos
cos 1 sinw w
N w w w
d d d
d H d
En este caso el factor de seguridad queda:
2 2
2
' cos sin tan '
sin cos
' cos tan ' ' tan '
sin cos sin cos tan
w w w w w
w
w
w w
c d H d H d F
d
c d c
d d
Por consiguiente, en ausencia de cohesin, el hecho de sumergir un talud no altera su
coeficiente de seguridad en caso de rotura plana paralela a la superficie.
Si hay cohesin la seguridad es mayor que en el caso de terreno seco pues la tensin de corte
en la base de la columna de suelo es menor.
99..33..33CCaassooddeeccoorrtteevveerrttiiccaall
El caso de corte de talud vertical se analiza a continuacin por separado cuando se tiene un
suelo puramente cohesivo, que se estudia en condiciones no drenadas, y en un caso general encondiciones drenadas.
Condiciones no drenadas
Condiciones no drenadas responde a un suelo cohesivo en el que la estabilidad de un corte
vertical del terreno se analiza a corto plazo. En terrenos de permeabilidad reducida (K10-6 m/s)
la estabilidad a corto plazo (horas o das) siguientes a la excavacin puede analizarse por el
siguiente procedimiento. Se trata de estudiar el equilibrio de las cuas de terreno con superficiede rotura plana que pasan por el pie del talud tal y como se observa en la figura 9.3.5.
El factor de seguridad se define como cociente entre el mximo esfuerzo de corte = cuque
puede ser movilizado a lo largo del plano de rotura AB y el esfuerzo de corte existente Sen el
mismo plano debido a las cargas actuantes, en este caso el peso del terreno situado por encima
del plano AB.
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2
sin1 1
sin cot sin cos2 2
2 2 2sin cos sin cos sin cos
donde es un factor adimensional
u u
u uc
uc
Lc HcF
S S
S W H H H
c cF N
H H
cN
H
/sinL H
A
B
uc
W
N
S
Figura 9.3.5Estabilidad de un corte vertical en condiciones no drenadas
De todos los planos de rotura posibles caracterizados por el ngulo el que se busca es el que
tenga un factor de seguridad mnimo. Para ello se hace la derivada y se iguala a cero para
determinar qu ngulo es el apropiado:
d0 45
d
42sin45cos45
u u
F
c cF
H H
A partir de la expresin anterior se puede encontrar la altura mxima o crtica que se puede
alcanzar en un terreno cohesivo en condiciones no drenadas a corto plazo. Para ello basta con
imponer un factor de seguridad igual a 1 y obtener la altura mximaHmax:
max
4 41u u
c cF H
H
-
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A modo de ejemplo, para un terreno cohesivo de consistencia media con una cu = 50 kN/m2y
un peso especfico de = 20 kN/m3, la altura que se puede alcanzar es de 10 metros
aproximadamente.
Puede observarse que en el caso del talud indefinido el factor de seguridad se ha definido como
cociente de tensiones mientras que en este caso se ha definido como cociente de fuerzas. Se
puede hacer mediantes tensiones si, debido a que actan en la misma superficie, el resultado
equivale al equilibrio de fuerzas.
Por otro lado, con el procedimiento aplicado se han comprobado todas las superficies planas que
pasan por el pie del talud, pero la ms crtica podra ser otra (plana pasando por otro punto o
curva). En este caso, sin embargo, en lnea con lo observado por Coulomb para el colapso demuros (con trasds sensiblemente vertical), las superficies de deslizamiento planas adoptadas
dan lugar a una aproximacin adecuada al problema.
Condiciones drenadas
A continuacin se muestra el anlisis en condiciones drenadas de un suelo que presenta una
cierta cohesin cy un ngulo de rozamiento interno . Estas condiciones son propias cuando
se analiza la estabilidad a largo plazo. En la figura 9.3.6 se muestra el esquema para el anlisis
de estabilidad.
La geometra del problema es en todo similar a la del caso no drenado, y la nica diferencia
estriba en que la resistencia al corte movilizable a lo largo de AB tiene la componente de
cohesin y la de friccin, de tal modo que el coeficiente de seguridad frente a rotura a lo largo
de un plano inclinado se define como:
2
( ' ' tan ')
1 cos2
rotL L c
F SH
El trminoLes, por equilibrio, la componente normal,N, del peso Wsobre el plano AB:
2 21' ' cos cos / sin2L N W H Substituyendo los trminos y simplificando se obtiene:
2 ' tan '
sin cos tan
cF
H
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Para encontrar el plano crtico, se deriva la expresin respecto a :
2 2
2 2 2
d 2 (cos sin ) tan ' '0; donde
d sin cos
tan 'tan 12
cc
c
F N cN
sen H
N
El factor de seguridad obtenido es por tanto:
'2 2 (2 tan ') donde
c c c
cF N N N
H
La altura crtica de un talud, es decir imponiendoF=1 es:
4 ' 'tan 45
2crticac
H
H
/sinL H
A
B
'cW
N
S ' tan( ')
'
Figura 9.3.6Esquema para el anlisis de estabilidad de un corte vertical en condiciones drenadas
99..33..33MMttooddoossggeenneerraalleessddeeeeqquuiilliibbrriioollmmiittee..EEqquuiilliibbrriioogglloobbaallyyppaarrcciiaall
Estos mtodos son relativamente simples y proporcionan resultados razonablemente buenos
cuando se evala la estabilidad de un talud. Se aplican a todo tipo de terreno. La aplicacin de
estos mtodos requiere las siguientes etapas de clculo:
1. Se busca un mecanismo de rotura cinemticamente admisible.
2. Generalmente se define el coeficiente de seguridad a partir del concepto de esfuerzo o
tensin de corte movilizado.
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3. Mediante consideraciones de equilibrio se establecen relaciones entre fuerzas. En general
las condiciones de equilibrio a satisfacer en un problema dado son:
a. Dos ecuaciones de equilibrio de fuerzas (horizontales y verticales).
b.
Una ecuacin de equilibrio de momentos, con relacin a un punto arbitrario.4. Se obtiene el factor de seguridad despejando F en las ecuaciones de equilibrio
mencionadas en el punto 3. Ser necesario encontrar elFmnimo variando la geometra de
la superficie de rotura, lo que conduce a un proceso de clculo repetitivo.
En general el nmero de incgnitas supera al de ecuaciones y es necesario hacer hiptesis
adicionales para la resolucin de los casos. Los mtodos basados en las superficies de rotura
(equilibrio lmite) pueden dividirse en dos grandes grupos segn se considere el equilibrio
global o se plantee el equilibrio parcial de una serie de rebanadas en las que se divide a la masaque se moviliza.
99..33..33..11..MMttooddoossddeeeeqquuiilliibbrriioogglloobbaall
Son los mtodos ms antiguos y nicamente son vlidos para suelos homogneos ya que se
suponen constantes los parmetros resistentes en toda la masa que desliza. Para estos mtodos
se va a considerar una rotura circular, ya que otros tipos de rotura como por ejemplo plana o en
cua es ms propio en rocas y no en suelos. En la figura 9.3.7 se muestra el problema msgeneral.
Condiciones no drenadas
En este caso resulta conveniente expresar el factor de seguridad como cociente de momentos:
Momento resistente
Momento volcadoru AB
s
c rLF
Wd
En el caso de que la resistencia al corte sin drenaje cu no sea constante se puede calcular el
factor de seguridad de la siguiente forma:
dB
u
As
c r s
FWd
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W
A
B
r
rCentro de la rotura circular Perfil del talud
Superfcie
circular derotura
T
cT
T
U
'N
' :N Es la resultantede las tensiones
normales
:U Es la resultantede las presiones
de agua
d
Figura 9.3.7Fuerzas consideradas en un mecanismo circular de rotura
Condiciones drenadas
Si existe rozamiento, tanto la resultante de las fuerzas tangenciales movilizadas (T) como la
resistencia que puede proporcionar el suelo (R) se pueden descomponer en dos trminos (TC, T)
(RC, R) asociados cada uno de ellos a las fuerzas de cohesin y rozamiento respectivamente, de
tal modo que se cumplir:
CC
C
R R RT T T
F F F
Por conveniencia se considerar que el factor de seguridad asociado a las fuerzas de rozamiento
y de cohesin coinciden (F= FC = F).
Siguiendo el mtodo del caso no drenado, es fcilmente deducible el valor de RCy la lnea de
aplicacin de TC. No obstante, para el resto de variables se hace la hiptesis de que todas las
tensiones normales efectivas que actan sobre el crculo estn concentradas en un punto x
(desconocido) del mismo.
Si se sabe la distribucin de presin intersticial se puede conocer la resultante U, tal y como se
muestra en la figura 9.3.8, que compuesta por el peso del terreno W, proporciona el vectorD. A
partir del vectorDse encuentra el puntof por donde debe pasar la resultante de las fuerzasNy
Tdesconocidas hasta el momento.
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W
A
B
r
rO Perfil del talud
Lnea de accin de Tc
D
U
f
u
Figura 9.3.8Condiciones drenadas. Obtencin del puntof
Por otra parte se puede escribir:
'
' tan '
tan 'tan
' d
R N T F
T
N F
De donde se deduce que la resultante T y N forman un ngulo d con la normal de la
circunferencia de rotura en el puntox. Esto es equivalente a decir que dicha resultante debe ser
tangente a un crculo, llamado crculo de rozamiento, de centro Oy de radio rsind. Conocido el
punto de pasofe imponiendo esta ltima condicin, puede conocerse la lnea de actuacin de la
resultante TyN, el valor de sta y el de TC, tal y como se muestra en la figura 9.3.9.
A partir del valor de TCpuede encontrarse el valor deFCcon la siguiente expresin:
'CC
C C
R c ABF
T T
La solucin se habr encontrado si FC =F. Como en general esto no ocurrir, se probar un
nuevoF(lo que define un nuevo crculo de rozamiento) y se obtendr un nuevo TC.
Cuando se hayan encontrado varios valores de FC yF se puede construir un grfico anlogo al
de la figura 9.3.10 que proporciona la solucin.
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A
B
r
rO Perfil del talud
f
'N
x
'' T
D
'T
cT
radio = sin dr
Crculo de
rozamiento
Figura 9.3.9Condiciones drenadas (0). Definicin del crculo de rozamiento
cF
FF
cF F F
cF F
Puntos obtenidos
Figura 9.3.10Obtencin del factor de seguridad solucin del problema.
Para llegar a soluciones ms realistas se han estudiado diversas distribuciones de N ms
acordes con las realmente existentes. Taylor (1937) propone el uso de distribuciones de tipo
senoidal. Hoek y Brown (1981) publican bacos para distintas opciones hidrolgicas del talud
con la existencia de una fisura vertical en el borde superior del talud situada en la posicin ms
desfavorable y con una distribucin de Nconcentrada en un punto. Hoy en da, sin embargo, y
como se ha comentado con anterioridad, estos mtodos se aplican mediante programas de
ordenador que facilitan el clculo.
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99..33..33..22MMttooddoossddeeeeqquuiilliibbrriiooppaarrcciiaalloommttooddooddeellaassrreebbaannaaddaass
Con objeto de mejorar la precisin de los mtodos de equilibrio global se desarrollaron losmtodos de las rebanadas. En ellos la masa de deslizamiento se divide, a efectos de clculo, en
una serie de rebanadas verticales, que se consideran como slidos rgidos y bloques y que
satisfacen condiciones de equilibrio. Estos mtodos permiten adaptarse a geometras del talud
complicadas y permiten realizar el clculo en condiciones drenadas y no drenadas. El
inconveniente de estos mtodos es que son estticamente muy indeterminados ya que el
nmero de incgnitas y ecuaciones no coincide y se deben realizar hiptesis adicionales. A
continuacin se hace un recuento del nmero de incgnitas (tabla 9.3.1) y ecuaciones
disponibles (tabla 9.3.2) para un talud dividido en nrebanadas:
Tabla 9.3.1. Recuento del nmero de incgnitas
Nmero de incgnitas: Descripcin:
1 Factor de seguridad (FS)
n Fuerzas efectivas normales en la base N. La presin del agua
es conocida
n Posicin de la fuerza normal efectiva en cada rebanada
n Fuerza resistente disponible en la base de cada rebanada
n-1 Fuerzas normales en los bordes laterales
n-1 Fuerzas tangenciales en los bordes laterales
n-1 Localizacin de los puntos de aplicacin de las fuerzas
normales en los bordes laterales
6n-2 Total incgnitas
Tabla 9.3.2. Recuento del nmero de ecuaciones
Nmero de ecuaciones: Descripcin:
2n Ecuaciones de equilibrio de fuerzas segn direcciones
independientes
n Ecuaciones de equilibrio de momentos
n Relaciones de rotura entre las tensiones normales y tangenciales
en la lnea de rotura
4n Total ecuaciones
-
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Por lo tanto hay un total de 2n-2 incgnitas que requieren hiptesis adicionales. La empleada
por la mayora de los mtodos es la aplicacin de la fuerza normal situada en el centro de la
rebanada. Esta hiptesis ser tanto ms exacta cuanto mayor sea el nmero de rebanadas. Esta
hiptesis reduce el nmero de incgnitas a n-2. Para acabar de resolver el problema se debenhacer hiptesis adicionales acerca de las fuerzas que actan en los bordes laterales de las
rebanadas y son distintas para cada uno de los mtodos. El mtodo de equilibrio parcial o
rebanadas que se muestra a continuacin es el desarrollado por Bishop (1955).
Mtodo de Bishop
El mtodo de Bishop supona originalmente rotura circular, aunque en la actualidad los
programas informticos permiten adoptar diferentes geometras. El mtodo consiste en dividir eltalud en bloques o rebanadas, tal y como se muestra en la figura 9.3.11, cumpliendo equilibrio
entre ellos (ver figura 9.3.12), y en definir diferentes superficies de rotura e ir obteniendo los
distintos factores de seguridad para cada una de las superficies para finalmente quedarse con el
ms pequeo.
Perfil del talud
A
B
r
O
Figura 9.3.11Discretizacin del talud en rebanadas para el anlisis del problema
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A
B
r
O
ix Wi
sini i
x r
iWiv
i
1iH
1iv
iT
iN
iz
1iz
ix
il
Figura 9.3.12Equilibrio en una rebanada segn el mtodo de Bishop
El mtodo de Bishop establece el factor de seguridad como relacin entre momentos:
resistente
volcador
MFS
M
Donde los Mresistentesy Mvolcadoresse definen de la siguiente manera:
' ' ' '1 1 1
tan ' tan 'i n i n i n
resistentes i i i i i i i i
i i i
M r T r c l l r c l N
1 1
sini n i n
volcador i i i i
i i
M W x r W
' '1
1
tan '
sin
i n
i i i
resistente i
i n
volcadori i
i
c l NM
FSM
W
Haciendo equilibrio de fuerzas verticales, se obtiene:
' cos cos sin 0i i i i i i i i i i iW X X X N u l T
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