geometría y topología en sistemas cuánticos problema...

Geometría y Topología en Sistemas CuánticosProblema físico de Dirac-Landau

Marina de la Torre Mayado

Máster en Métodos Matemáticos Avanzados

Departamento de Física Fundamental e IUFFyM

2014

Marina de la Torre (USAL) Geometría y Topología en Sistemas Cuánticos GyTSC 2014 1 / 83

Outline

1 Introducción

2 Ecuación de Schrödinger y niveles de Landau

3 Traslaciones magnéticas. Simetría W∞ en el problema de LandauTeoría clásica

Acción de las traslaciones magnéticas: Grupo de HeisenbergFunción generatriz de las traslaciones magnéticas finitasSimetría w∞. Reducción al espacio de fases bidimensional: Límite topológico.

Teoría cuánticaTraslaciones magnéticas finitas: Álgebra trigonométricaSimetría W1+∞. Reducción al primer nivel de Landau (LLL): Teoría de Chern-Simons.

4 Ecuación de Dirac-Landau y modos ceroSimetría de conjugación y modos cero: Número fermiónicoAsimetría y flujo espectralLímite no-relativista y Supersimetría

5 Bibliografía


Introducción

• Problema de Landau:

Niveles de energía de una partícula cargada, moviéndose en el espacio, en un campomagnético homogéneo constante.

Diamagnetismus der Metalle, Z. Phys. 64 (1930) 629

• Efecto Hall Cuántico Entero y Fraccionario:

Niveles de energía de una partícula cargada moviéndose en el plano perpendicular aun campo magnético homogéneo constante.

Problema no-relativista: Ecuación de Schrödinger.Problema relativista (masa cero): Ecuación de Dirac.


IntroducciónEl campo electromagnético

Ecuaciones de Maxwell:

∇ · E = ρ (1)

∇× B =1c

j +1c∂E∂t

(2)

∇ · B = 0 (3)

∇× E = −1c∂B∂t

(4)

ρ(x, t) densidad de carga y j(x, t) densidad de corriente.

(1) Ley de Gauss

(2) Ley de Ampere

(4) Ley de Faraday

Utilizaremos unidades racionalizadas de Lorentz-Heaviside.


IntroducciónDe las ecuaciones (3) y(4) se deduce:

B = ∇× A , E = −∇φ− 1c∂A∂t

(5)

donde φ(x, t) es el potencial escalar y A(x, t) es el potencial vector.

Las ecuaciones dadas en (5) no determinan los potenciales de forma única.

Para una función arbitraria f (x, t) la transformación:

φ→ φ′ = φ+1c∂f∂t

, A→ A′ = A−∇f (6)

deja los campos E y B invariantes.

La transformación (6) se conoce como transformación gauge de segundo tipo.


IntroducciónEn función de los potenciales las ecuaciones de Maxwell (3) y (4) se satisfacenautomáticamente, mientras que las dos primeras (1) y (2) dan lugar a:

−∇2φ− 1c∂

∂t(∇ · A) = ρ (7)

(1c2

∂2

∂t2 −∇2)

A +∇(

1c∂φ

∂t+ (∇ · A)

)=

1c

j (8)

En ausencia de cargas y corrientes ρ = 0, j = 0 podemos elegir el gauge de Coulombo gauge de radiación:

∇ · A = 0 (9)

A es un campo transversal:k · A = 0

donde k es la dirección de propagación de la onda.


Introducción• En ausencia de cargas la ecuación (7) es:

∇2φ = 0⇒ φ ≡ 0

• La ecuación (8) reduce a:

A = 0 (10)

donde

≡ 1c2

∂2

∂t2 −∇2

• Los campos eléctrico y magnético en este gauge son

B = ∇× A , E = −1c∂A∂t

y, como A, son campos transversales. Las soluciones de (10) son ondaselectromagnéticas transversales en el espacio libre.


IntroducciónElectrodinámica clásica

• Lagrangiano de una partícula de masa m y carga q moviéndose en un campoelectromagnético:

L(x, x) =12

mx2 +qc

A · x− qφ (11)

donde A(x, t) y φ(x, t) son el potencial vector y escalar del campo electromagético enla posición de la partícula a tiempo t.

•Momento conjugado de xi:

pi =∂L∂xi

= mxi +qc

Ai ⇒ p = mx +qc

A (12)

• Ecuaciones de Euler-Lagrange

ddt

(∂L∂xi

)− ∂L∂xi

= 0 (13)


IntroducciónEn función de los campos E y B tomados en la posición instantánea de la carga:

mddt

x = q[

E +1c

x× B]

(14)

Fuerza de Lorentz• El Hamiltoniano es, por tanto,

H =∑

i

xipi − L(x, x)

H =1

2m

(p− q

cA)2

+ qφ (15)

Las ecuaciones de Hamilton nos dan de nuevo (12) y (14).


IntroducciónMecánica cuántica no-relativista

• Cuantización canónica:xi → xi , pi → pi

Relaciones de conmutación canónicas1:

[xi, pj] = i~δij (16)

[xi, xj] = 0 = [pi, pj] (17)

1Se define el conmutador de dos operadores A y B:

[A, B] = AB− BA


Introducción

• Hamiltoniano para una partícula cargada en presencia de un campoelectromagnético,

H =1

2m

(p− q

cA)2

+ qφ (18)

H =1

2mp2 − q

2mc(A · p + p · A) +

q2

2mc2 A2 + qφ

p · A− A · p = −i~∇ · A

En el gauge de Coulomb ∇ · A = 0⇒ p y A conmutan.


IntroducciónInvariancia gauge y acoplamiento mínimo

La ecuación de Schödinger:

i~∂ψ(x, t)∂t

= Hψ(x, t) (19)

Transformación gauge en los potenciales (6):

φ→ φ′ = φ+1c∂f∂t

, A→ A′ = A−∇f

Transformación de la función de onda:

ψ(x, t)→ ψ′(x, t) = ei q~c f (x,t) ψ(x, t) (20)


Ecuación de Schrödinger y niveles de LandauProblema de Landau en el plano

Movimiento de un electrón, q = −e, e > 0, en un plano en presencia de un campomagnético homogéneo constante perpendicular al mismo, B = −B k.

φ = 0 , A = A(x1, x2)⇒ E = 0 , B = ∇× A

⇒ B = ∂2A1 − ∂1A2


Ecuación de Schrödinger y niveles de LandauEn el gauge de Coulomb,∇ · A = 0, tenemos dos posibilidades:

Gauge simétrico: A1(x1, x2) = B2 x2

A2(x1, x2) = −B2 x1

Ai = εij∂jχ(x1, x2) , χ(x1, x2) =B4

(x21 + x2

2) (21)

Gauge de Landau: A1(x1, x2) = Bx2

A2(x1, x2) = 0

ALi = AS

i + ∂if (x1, x2) , f (x1, x2) =B2

x1x2 (22)


Ecuación de Schrödinger y niveles de Landau• Acción clásica

S =∫

dt(

12

mx2i −

ec

Aixi

)≡ m

2

∫dt x2

i +eB2c

∫(x1dx2 − x2dx1) (23)

• Formalismo canónico:

p = mx− ec

A , H =1

2m

(p +

ec

A)2

• En el gauge simétrico el Hamiltoniano cuántico es:

H =1

2m(p2

1 + p22) +

e2B2

8mc2 (x21 + x2

2)− eB2mc

(x1p2 − x2p1) (24)


Ecuación de Schrödinger y niveles de Landau• El operador momento angular orbital es:

L3 = (x1p2 − x2p1) (25)

• Se define la frecuencia característica:

ω =eB

2mc, [ω] = T−1

El Hamiltoniano para el problema de Schödinger-Landau, en el plano, y en el gaugesimétrico es:

H =1

2m(p2

1 + p22) +

12

mω2(x21 + x2

2)− ωL3 (26)

[H, L3] = 0


Ecuación de Schrödinger y niveles de Landau• Representación de coordenadas:

xi = xi , pi = −i~∂

∂xi, i = 1, 2

H = − ~2

2m

(∂2

∂x21

+∂2

∂x22

)+

12

mω2(x21 + x2

2)− ωL3 (27)

L3 = −i~(

x1∂

∂x2− x2

∂

∂x1

)(28)

• Ecuación de Schrödinger:

i~∂ψ(x, t)∂t

=[− ~2

2m∆ +

12

mω2(x21 + x2

2) + i~ω(

x1∂

∂x2− x2

∂

∂x1

)]ψ(x, t) (29)


Ecuación de Schrödinger y niveles de Landau• Soluciones estacionarias: espectro.

ψ(x, t) = e−i E~ tψ(x1, x2)⇒ Hψ(x1, x2) = Eψ(x1, x2)

• Coordenadas complejas en el plano: z = x1 + ix2 , ∂∂z = 1

2

(∂∂x1− i ∂∂x2

)z = x1 − ix2 , ∂

∂ z = 12

(∂∂x1

+ i ∂∂x2

)• Operadores escalera:

a =12l

(z + 2l2

∂

∂z

), a† =

12l

(z− 2l2

∂

∂z

)(30)

b =12l

(z + 2l2

∂

∂z

), b† =

12l

(z− 2l2

∂

∂z

)(31)

Donde se define la longitud característica: l2 = ~mω ⇒ l =

√~

mω .


Ecuación de Schrödinger y niveles de Landau•Momentos canónicos conjugados de z y z:

pz =12

(p1 − ip2) , pz =12

(p1 + ip2)

[z, pz] = i~ = [z, pz]

Resulta pues:

[a, a†] = 1 = [b, b†]

los demás conmutadores son cero.• El Hamiltoniano (27)y el momento angular orbital (28) en función de losoperadores escalera vienen dados por:

H = ~ω(a†a + aa†) ≡ ~ωc

(a†a +

12

)(32)

L3 = ~(b†b− a†a) (33)

donde ωc = 2ω = eBmc es la frecuencia ciclotrón. Es inmediato que: [H, L3] = 0.


Ecuación de Schrödinger y niveles de Landau• Tenemos dos representaciones número:

Na = a†a , Nb = b†b

con autovalores na = 0, 1, 2, · · · y nb = 0, 1, 2, · · · .

• Podemos construir una base ortonormal y completa de estados propios delHamiltoniano y el momento angular, |n,m〉, tal que:

H|n,m〉 = ~ωc

(n +

12

)|n,m〉 (34)

L3|n,m〉 = ~m|n,m〉 (35)

donde n y m son dos números cuánticos dados por

n = na = 0, 1, 2, · · ·

m = nb − na ≡ nb − n = −n,−n + 1, · · · ⇒ m ≥ −n


Ecuación de Schrödinger y niveles de Landau• Los operadores escalera (30) y (31) actúan sobre esta base de la forma:

a|n,m〉 =√

n |n− 1,m + 1〉 , b|n,m〉 =√

n + m |n,m− 1〉 (36)

a†|n,m〉 =√

n + 1 |n + 1,m− 1〉 , b†|n,m〉 =√

n + m + 1 |n,m + 1〉 (37)


Ecuación de Schrödinger y niveles de Landau• Degeneración:

Cada nivel de Landau, n, está infinitamente degenerado.

La degeneración está asociada con el entero m, que toma los valores:m = −n,−n + 1, · · · ,∞.

• La base de estados propios |n,m〉 cumple:

Ortonormalidad:〈n,m|n′,m′〉 = δnn′δmm′

Completitud:∞∑

n=0

∞∑m=−n

|n,m〉〈n,m| = 1


Ecuación de Schrödinger y niveles de Landau• Primer nivel de Landau n = 0: |0,m〉 , m = 0, 1, 2, · · ·

E0 =~ωc

2≡ ~ω

a|0, 0〉 = 0 = b|0, 0〉 ⇒

|0,m〉 =1√m!

(b†)m|0, 0〉 (38)

H|0,m〉 = ~ω|0,m〉

L3|0,m〉 = ~m|0,m〉


Ecuación de Schrödinger y niveles de Landau• Nivel de Landau n 6= 0: |n,m〉 , n = 1, 2, · · · , m ≥ −n

En = ~ωc

(n +

12

)

a|0, 0〉 = 0 = b|0, 0〉 ⇒ |0, n + m〉 =1√

(n + m)!

(b†)n+m

|0, 0〉

m = −n,−n + 1, · · · , |0, n + m〉 ⇒ |n,m〉

|n,m〉 =1√

n!(n + m)!

(a†)n(

b†)n+m

|0, 0〉 (39)

H|n,m〉 = ~ωc(n + 1

2

)|n,m〉

L3|n,m〉 = ~m|n,m〉


Ecuación de Schrödinger y niveles de LandauFunciones de onda propias del Hamiltoniano en representación de coordenadas:

Primer nivel de Landau n = m = 0:

a|0, 0〉 = 0 = b|0, 0〉

〈z, z|a|0, 0〉 = 0⇒ 12l

(z + 2l2

∂

∂z

)〈z, z|0, 0〉 ⇒ 〈z, z|0, 0〉 = f (z)e−

12l2

zz

〈z, z|b|0, 0〉 = 0⇒ 12l

(z + 2l2

∂

∂z

)〈z, z|0, 0〉 ⇒ ψ00(z, z) = f (z)e−

12l2

zz

ψ00(z, z) =1

l√π

e−1

2l2zz (40)

donde ψ00(z, z) ≡ 〈z, z|0, 0〉 y∫dzdz

2iψ∗00(z, z)ψ00(z, z) = 1


Ecuación de Schrödinger y niveles de LandauPrimer nivel de Landau n = 0 y m 6= 0:

|0,m〉 =1√m!

(b†)m|0, 0〉

〈z, z|0,m〉 =1√m!

1(2l)m

(z− 2l2

∂

∂z

)m

〈z, z|0, 0〉 ⇒ 〈z, z|0,m〉 = f (z)e−1

2l2zz

ψ0m(z, z) =1

lm+1√πm!

zm e−1

2l2zz (41)

Ortonormalidad: ∫dzdz

2iψ∗0m(z, z)ψ0m′(z, z) = δmm′


Ecuación de Schrödinger y niveles de LandauNivel de Landau n 6= 0 y m ≥ −n:

|n,m〉 =1√

n!(n + m)!

(a†)n(

b†)n+m

|0, 0〉

〈z, z|n,m〉 =1√n!

1(2l)n

(z− 2l2

∂

∂z

)n(

1ln+m+1

√π(n + m)!

zn+m e−1

2l2zz

)

ψnm(z, z) =(−1)n

lm+1

√n!

π(n + m)!zm Lm

n

( zzl2

)e−

12l2

zz (42)

Ortonormalidad: ∫dzdz

2iψ∗nm(z, z)ψn′m′(z, z) = δnn′ δmm′


Ecuación de Schrödinger y niveles de Landau• Para u = zz

l2 , Lmn (u) son los polinomios asociados de Laguerre:

Ecuación diferencial:

ud2Lm

n (u)du2 + (m + 1− u)

dLmn (u)du

+ nLmn (u) = 0

Ortogonalidad: ∫ ∞0

Lmn (u)Lm

n′(u)ume−udu =(n + m)!

n!δnn′

Algunas expresiones para Lmn (u):

Lmn (u) =

euu−m

n!

(ddu

)n

(un+me−u)

Lmn (u) =

n∑k=0

(−1)k(

n + mn− k

)uk

k!


Ecuación de Schrödinger y niveles de Landau• Algunos ejemplos de polinomios asociados de Laguerre:

Lm0 (u) = 1

Lm1 (u) = −u + (m + 1)

Lm2 (u) =

12

[u2 − 2(m + 2)u + (m + 1)(m + 2)]

Lm3 (u) =

16

[−u3 + 3(m + 3)u2 − 3(m + 2)(m + 3)u + (m + 1)(m + 2)(m + 3)]


Ecuación de Schrödinger y niveles de LandauGráficas de la densidad de probabilidad ρnm = πl2ψ∗nmψnm v.s. ( x1

l ,x2l ):

n = 0, m = 0, 1, 2, 3

n = 1, m = −1, 0, 1, 2

n = 2, m = −2,−1, 0, 1


Ecuación de Schrödinger y niveles de LandauEl espectro del problema de Landau en el plano, en el gauge simétrico, está formadopor niveles de energía degenerados: niveles de Landau.• La densidad de estados posibles para cada nivel de Landau es:

Primer nivel de Landau n = 0:

∞∑m=0

ψ∗0m(z, z)ψ0m(z, z) =eBhc

(43)

En general n 6= 0:

∞∑m=−n

ψ∗nm(z, z)ψnm(z, z) =eBhc

(44)

• El número de estados posibles por unidad de área y por espín para cada nivel deLandau es constante y proporcional a la intensidad del campo magnético:

nB =eBhc


Traslaciones magnéticas. Simetría W∞ en el problema deLandau

Las traslaciones magnéticas representan la simetría característica del problema deLandau.

Teoría clásica:I Acción de las traslaciones magnéticas: Grupo de Heisenberg.I Traslaciones magnéticas finitas.I Simetría w∞. Reducción al espacio de fases bidimensional: Límite topológico.

Teoría cuántica:I Traslaciones magnéticas finitas: Álgebra trigonométrica.I Simetría W1+∞. Reducción al primer nivel de Landau (LLL): Teoría de

Chern-Simons.


Outline

1 Introducción






5 Bibliografía


Acción de las traslaciones magnéticas: Grupo deHeisenberg• Sistema Hamiltoniano (M,H, ω)2:

M = T∗R2 , ω = dx1 ∧ dp1 + dx2 ∧ dp2

H =1

2m

[(p1 +

B2

x2

)2

+(

p2 −B2

x1

)2]

• Transformación de Legendre:

p1 = mx1 −B2

x2 , p2 = mx2 +B2

x1

• Grupo de traslaciones en el plano G ∼= R2:

Φ : R2 × R2 → R2

(s, x)→ x + s

∀s ∈ R2 ⇒ Φs : R2 → R2 , Φs Φr = Φs+r

2Tomamos: e = c = 1Marina de la Torre (USAL) Geometría y Topología en Sistemas Cuánticos GyTSC 2014 34 / 83

Acción de las traslaciones magnéticas: Grupo deHeisenberg• El álgebra de Lie de G: G = Lie R2, es un álgebra abeliana:

a = a1∂

∂x1+ a2

∂

∂x2∈ G , [a, b] = 0 , ∀a, b ∈ G

• Los campos fundamentales coinciden con sus correspondinetes elementos delálgebra de Lie:

Xa = a1∂

∂x1+ a2

∂

∂x2(45)

• La acción inducida en T∗R2 es:

Φ : R2 × T∗R2 → T∗R2

(s, (x, p))→ (x + s, p′)

p′ = (p1 −B2

s2, p2 +B2

s1)


Acción de las traslaciones magnéticas: Grupo deHeisenberg• Ahora los campos fundamentales son:

XLa = a1

(∂

∂x1+

B2∂

∂p2

)+ a2

(∂

∂x2− B

2∂

∂p1

)(46)

• Esta acción es una simetría del sistema hamiltoniano si:1 ∀s ∈ R2 ⇒ Φ∗s (H) = H, donde

Φ∗s : C∞(T∗R2)→ C∞(T∗R2) , Φ∗s (f (x, p)) = f (Φ(x, p))

2 LXLaω = 0, es decir, la derivada de Lie3 de la forma simpléctica a lo largo del

campo es cero. El grupo actúa por simplectomorfismos (preserva la formasimpléctica).

3LXθ = d(iXθ) + iXdθMarina de la Torre (USAL) Geometría y Topología en Sistemas Cuánticos GyTSC 2014 36 / 83

Acción de las traslaciones magnéticas: Grupo deHeisenberg• Las cantidades conservadas:

1 La aplicación comomento:

f : LieR2 → C∞(T∗R2)a → fa

iXLaω = dfa ⇒ fa(x, p) = a1

(p1 −

B2

x2

)+ a2

(p2 +

B2

x1

)2 La aplicación momento:

J : T∗R2 → (LieR2)∗

(x, p)→ J(x, p)

< J(x, p), a >= fa(x, p)⇒ J(x, p) =(

p1 −B2

x2, p2 +B2

x1

)


Acción de las traslaciones magnéticas: Grupo deHeisenberg• Las cantidades Nöether conservadas son:

β1 = p1 −B2

x2 , β2 = p2 +B2

x1 (47)

• Sin embargo, la aplicación comomento no es un morfismo de álgebras:

f : LieR2 → C∞(T∗R2)a→ fa[a, b] → f[a,b] ⇒ f[a,b] 6= fa, fb

∀a, b ∈ LieR2 ⇒ f[a,b] = f0 = 0

fa, fb = ω(XLa ,X

Lb ) =

2∑i=1

(∂fa∂xi

∂fb∂pi− ∂fb∂xi

∂fa∂pi

)= B(a2b1 − a1b2)


Acción de las traslaciones magnéticas: Grupo deHeisenberg• Grupo de Heisemberg: extensión central.

SeaH2+1 el grupo de Heisemberg isomorfo a R2 × R, con la ley de grupo:

(x1, x2, z) · (x′1, x′2, z′) = (x1 + x′1, x2 + x′2, z + z′ + x1x′2)

∀(s, z) ∈ H2+1 ⇒ Φ(s,z)(x) = x + s

• El álgebra de Lie del grupo de HeisembergH2+1 = LieH2+1 es:

(e1, e2, c) ∈ H2+1 , [e1, e1] = [e2, e2] = [e1, c] = [e2, c] = 0

con[e1, e2] = c

El campo funadamental es: X(a,c) = Xa.


Acción de las traslaciones magnéticas: Grupo deHeisenberg• La acción inducida por este grupo será:

∀(s, z) ∈ H2+1 ⇒ Φ(s,z)(x, p) = (x + s, p′)

donde

p′ =(

p1 −B2

s2, p2 +B2

s1

), XL

(a,c) = XLa

• La aplicación comomento ahora si es un morfismo de álgebras:

f : LieH2+1 → C∞(T∗R2)(a, c) → f(a,c)

[(a, c), (b, c′)]→ f[(a,c),(b,c′)] , f[(a,c),(b,c′)] = f(a,c), f(b,c′) = B(a2b1 − a1b2)

para la extensión central:[e1, e2] = c ≡ −B (48)


Traslaciones magnéticas finitas• El Hamiltoniano clásico que estamos considerando es4:

H =1

2m

(p1 +

B2

x2

)2

+(

p2 −B2

x1

)2

• El espacio de fases es de dimensión cuatro con la estructura canónica natural:

xi, pj = δij , xi, xj = 0 = pi, pj , i, j = 1, 2

donde , es el paréntesis de Poisson.• Consideremos las nuevas variables α, β, y sus conjugadas α∗, β∗,

α =12

[−(

p2 −B2

x1

)+ i(

p1 +B2

x2

)](49)

β =12

[ (p2 +

B2

x1

)+ i(

p1 −B2

x2

)](50)

4e = c = 1Marina de la Torre (USAL) Geometría y Topología en Sistemas Cuánticos GyTSC 2014 41 / 83

Traslaciones magnéticas finitas• Hamiltoniano clásico en función de las variables (49):

H =1m

(αα∗ + α∗α) , α, α∗ = −iB2

• De (50) se obtienen las cantidades conservadas:

β1 = p1 −B2

x2 , β2 = p2 +B2

x1 , β, β∗ = −iB2

• La función generatriz de las traslaciones magnéticas infinitesimales es:

fa = a1β1 + a2β2 , a1, a2 ∈ R (51)


Traslaciones magnéticas finitasfa(x, p), dada por (51), es una transformación canónica infinitesimal ya que satisface:

xi → xi + δfa xi , δfa xi = xi, fa =∂fa∂pi

= ai i = 1, 2

pi → pi + δfa pi , δfa pi = pi, fa = −∂fa∂xi

= −εijajB2

i, j = 1, 2

δfaα = 0 = δfaα∗ =⇒ δfa H = H, fa = 0

Las traslaciones magnéticas son la simetría del problema clásico de Landau


Traslaciones magnéticas finitas• La función generatriz de las traslaciones magnéticas finitas es:

ta1a2 = ei(a1β1+a2β2) (52)

o bientaa = eaβ−aβ∗

donde a = a1 + ia2 y 2β = β2 + iβ1.

• Estas transformaciones satisfacen el álgebra clásica w∞:

ta1a2 , tb1b2 = B(a1b2 − a2b1) ta1+b1 a2+b2 (53)

taa , tbb = iB2

(ab− ab) ta+b a+b


Simetría w∞• A partir de la función generatriz:

taa = e−aβ∗eaβ =∞∑

n,m=0

(−1)n anam

n!m!(β∗)n(β)m

se puede definir la transformación canónica más general:

Lnm(x, p) = (β∗)n+1(β)m+1 , n,m ≥ −1 (54)

tal queδH = H,Lnm = 0

• Tenemos así otra representación del álgebra clásica w∞:

Lnm,Lkl = iB2

((n + 1)(l + 1)− (m + 1)(k + 1)) Ln+km+l (55)


Reducción al espacio de fases bidimensional• Las transformaciones canónicas, β, β∗ y Lnm dejan invariante δα = 0 = δα∗ y, portanto, el Hamiltoniano del sistema.

• Estas tranformaciones actúan de forma no trivial en un subespacio de energíaconstante (que podemos tomar igual a cero):

α = 0 = α∗ =⇒ β =B2

z , β∗ =B2

z

β, β∗ = −iB2

• En este espacio de fases reducido tenemos una forma simpléctica:

ω = dβ ∧ dβ∗ = dz ∧ dpz

tal que

β ≡ 2ipz , β∗ =B2

z =⇒ z, 2pz = 1


Límite topológico y Mecánica de Chern-Simons• Acción clásica:

S =∫

dt(

12

m x− ec

x · A)

=12

m∫

dt x +eB2c

∫dt (x1x2 − x2x1)

• Tomar el límite topológico en esta acción es equivalente a pasar al espacio de fasesreducido:

S = limm→0

S =eB2c

∫dt(x1x2 − x2x1)

=eB2c

∮(x1dx2 − x2dx1) =

eBc

∫ ∫Ω

dx1dx2 ≡ Φ

S es una acción de tipo Chern-Simons5.Esta acción describe clásicamente el grado de libertad residual para cada valor dela energía.Las simetrías de esta acción son los difeomorfismos que preservan el área y quedejan invariante Φ (flujo magnético a través de una superficie de área finita).

5Aspects of Chern-Simons Theory. Gerald V. Dunne. 1999Marina de la Torre (USAL) Geometría y Topología en Sistemas Cuánticos GyTSC 2014 47 / 83

Outline

1 Introducción






5 Bibliografía


Traslaciones magnéticas finitas: Álgebra trigonométrica• Hamiltoniano cuántico:

H =1

2m

[(p1 +

eB2c

x2

)2

+(

p2 −eB2c

x1

)2]

donde x1, x2, p1 y p2 son operadores cuánticos que satisfacen:

[xi, pj] = i~δij , i, j = 1, 2

[xi, xj] = 0 = [pi, pj] , i, j = 1, 2

Cuantización canónica

, =⇒ 1i~

[ , ]


Traslaciones magnéticas finitas: Álgebra trigonométrica• Los operadores no-hermíticos asociados a las variables clásicas α, α∗, β, β∗ son:

a =1√2~B

[−(

p2 −eB2c

x1

)+ i(

p1 +eB2c

x2

)](56)

b =1√2~B

[ (p2 +

eB2c

x1

)+ i(

p1 −eB2c

x2

)](57)

y sus hermíticos conjugados.• Estos operadores (4) y (4) satisfacen el álgebra:

[a, a†] = 1 = [b, b†]

[a, a] = [a†, a†] = 0 = [b, b] = [b†, b†]

[a, b] = [a†, b†] = 0 = [a, b†] = [b, a†]


Traslaciones magnéticas finitas: Álgebra trigonométrica• Hamiltoniano cuántico en función de los operadores ():

H = ~ω(aa† + a†a) , ω =eB

2mc

• Los generadores infinitesimales de las traslaciones magnéticas en el problemacuántico son (), y satisfacen,

[H, b] = 0 = [H, b†]

• El generador de las traslaciones magnéticas finitas es el operador:

Taa = e(ab−ab†) (58)

o bienTa1a2 = ei(a1b1+a2b2)

donde a = a1 + ia2, a1, a2 ∈ R y 2b = b2 + ib1.


Traslaciones magnéticas finitas: Álgebra trigonométricaDe la relación de conmutación:

[b1, b2] = −2i

se deduce6

Ta1a2 Ta′1a′2 = ei(a′2a1−a′1a2)Ta1+a′1a2+a′2

Por tanto, los generadores de las traslaciones magnéticas finitas en el problemacuántico satisfacen el álgebra trigonométrica de Fairlie-Fletcher-Zachos:

[Ta1a2 , Ta′1a′2 ] = 2i sin(a′2a1 − a′1a2)Ta1+a′1a2+a′2 (59)

[Taa, Ta′a′ ] = 2 sinh[

12

(aa′ − aa′)]

Ta+a′a+a′ (60)

6Fórmula de Campbell-Baker-Hausdorff eC = eAeB

C = A + B +12[A,B] +

112

[A, [A,B]] +112

[[A,B],B] +148

[A, [[A,B],B]] + · · ·


Traslaciones magnéticas finitas: Álgebra trigonométrica• Re-escalando los operadores b y b† de tal forma que: [b, b†] = ~ B

2 .De (59) se recupera el álgebra clásica w∞:

[Ta1a2 , Ta′1a′2 ] = i~ ta1a2 , ta′1a′2+ θ(~2)

dondeta1a2 , ta′1a′2 = B (a′2a1 − a′1a2) ta1+a′1a2+a′2

• En representación de coordenadas:

Taa ψ(z, z) = e12l (az−az) ψ(z + al, z + al) (61)

donde l =√

~mω es la longitud magnética y

Taa = eaa2 eabe−ab† ≡ e−

aa2 e−ab†eab


Simetría W1+∞• Podemos definir infinitos operadores:

Lnm =(

b†)n+1 (

b)m+1

, n,m ≥ −1 (62)

tales que[H, Lnm] = 0

• Que satisfacen el álgebra W1+∞:

[Lnm, Lkl] =min(m,k)∑

s=0

(m + 1)!(k + 1)!(m− s)!(k − s)!(s + 1)!

Ln+k−sm+l−s

−min(l,n)∑

s=0

(l + 1)!(n + 1)!(l− s)!(n− s)!(s + 1)!

Ln+k−sm+l−s (63)


Simetría W1+∞• En el límite clásico7:

[Lnm, Lkl] = ~Lnm,Lkl+ θ(~2)

recuperamos de nuevo el álgebra clásica w∞:

Lnm,Lkl = i((n + 1)(l + 1)− (m + 1)(k + 1))Ln+km+l

• A nivel cuántico podemos considerar los casos especiales:1 [Ln0, Lk0] = (k − n)Ln+k0

2 [L0n, L0k] = (n− k)L0n+k

3 [Lnn, Lkk] = 04 [L00, Lnm] = (n− m)Lnm

• Sin embargo, en representación de coordenadas los únicos operadores que generantransformaciones de coordenadas locales son:

L0(−1) = b† , L−10 = b , L = L00 − a†a

7Re-escalando: [b, b†] = ~Marina de la Torre (USAL) Geometría y Topología en Sistemas Cuánticos GyTSC 2014 55 / 83

Reducción al primer nivel de Landau (LLL): Teoría deChern-Simons• Los operadores b, b† y Lnm conmutan con a, a†, y por tanto, con el Hamiltoniano.

• Cuánticamente tomar el límite topológico equivale a quedarnos en el primer nivel deLandau (LLL):

a = 0 = a† =⇒ b = 2l∂

∂z, b† =

zl

En el espacio de fases reducido: b y b† son el operador coordenada y momentoconjugado, respectivamente, y satisfacen:

[b, b†] = 1 =⇒ [2∂

∂z, z] = 1

• En este espacio de fases reducido los generadores de simetría son:

Lnm =2n+m

ln−m zn+1(∂

∂z

)m+1


Ecuación de Dirac-Landau y modos cero• Ecuación de Dirac en (2 + 1)-dimensiones para un electrón sin masa en presenciade un campo magnético homogéneo, constante, perpendicular al plano:

γµ(

pµ +ec

Aµ)ψ(x) = 0 (64)

• Notación relativista:xµ = (x0, x) = (ct, x), xµ = gµνxν , gµν = diag(1,−1,−1), µ, ν = 0, 1, 2.Aµ = (A0,A), A0 = φ y A = (A1,A2).

•Matrices gamma (2× 2):

1

γµγν + γνγµ = 2gµν

2

(γµ)† = γ0γµγ0

(γ0)2 = I = −(γi)2, i = 1, 2, Trγµ = 0,∀µ = 0, 1, 2


Ecuación de Dirac-Landau y modos cero• Elegimos la siguiente representación de las matrices gamma:

γ0 = σ3 , γ1 = iσ1 , γ2 = iσ2 (65)

donde (σ1, σ2, σ3) son las matrices de Pauli.• Las matrices de Pauli:

σ1 =(

0 11 0

), σ2 =

(0 −ii 0

), σ3 =

(1 00 −1

)1

σiσj + σjσi = 2δij , i, j = 1, 2, 3

2

(σi)† = σi

(σi)2 = I, Trσi = 0, ∀i = 1, 2, 3,

[σi, σj] = 2iεijkσk , i, j, k = 1, 2, 3


Ecuación de Dirac-Landau y modos cero• Hamiltoniano de Dirac en (2 + 1) dimensiones para campos estáticos8

HD = ~α(c~p + e~A) (66)

donde ~α = (α1, α2).• α1 y α2 son las matrices de Dirac (2× 2):

α1 = γ0γ1 =(

0 i−i 0

)α2 = γ0γ2 =

(0 11 0

)β es también una matriz de Dirac asociada al término de masa:

β = γ0 =(

1 00 −1

)

8Gauge de Weyl A0 = 0 y gauge de Coulomb∇ · A = 0.Marina de la Torre (USAL) Geometría y Topología en Sistemas Cuánticos GyTSC 2014 59 / 83

Ecuación de Dirac-Landau y modos cero• En esta representación de las matrices de Dirac el Hamiltoniano puede expresarse:

HD =(

0 D†

D 0

)(67)

donde D y D† son dos operadores no-hermíticos,

D† = (cp2 + eA2) + i(cp1 + eA1) , D = (cp2 + eA2)− i(cp1 + eA1)

• En el gauge simétrico y en función de los operadores escalera a y a†:

D† = −√

2eB~c a† , D = −√

2eB~c a

[D,D†] = 2eB~c


Ecuación de Dirac-Landau y modos cero• El momento angular total perpendicular al plano es:

J3 = L3 + S3 = (x1p2 − x2p1)I +~2

Σ3 (68)

dondeI = I(2×2) , Σ3 =

12i

[γ1, γ2] = σ3

Tenemos, pues,[HD, J3] = 0

[HD,L3] = −i~[α1(

cp2 −eB2

x1

)− α2

(cp1 +

eB2

x2

)][HD, S3] = i~

[α1(

cp2 −eB2

x1

)− α2

(cp1 +

eB2

x2

)]


Ecuación de Dirac-Landau y modos cero• Problema espectral de Dirac-Landau:

HDψ = Eψ , HD =(

0 D†

D 0

)

J3ψ = j3ψ , J3 =(

L3 + ~2 0

0 L3 − ~2

)ψ es un espinor de dos componentes:

ψ =(ψ1ψ2

)y en el gauge elegido:

L3 = ~(b†b− a†a) , D = −√

2eB~c a , D† = −√

2eB~c a†


Ecuación de Dirac-Landau y modos cero• La base ortonormal y completa de espinores propios de la energía y del momentoangular total, es:

ψ0m(z, z) , ψ+nm(z, z) , ψ−nm(z, z)

Modos cero:

ψ0m(z, z) =(

Ψ0m(z, z)0

), E0 = 0 , j3 = ~

(m +

12

)Donde Ψ0m(z, z) es la función de onda normalizada del primer nivel de Landaudel problema no-relativista:

Ψ0m(z, z) =1

lm+1√πm!

zm e−1

2l2zz , m ≥ 0


Ecuación de Dirac-Landau y modos ceroPara n 6= 0 tenemos estados de energía positiva ψ+

nm y estados de energíanegativa ψ−nm:

ψ+nm(z, z) =

1√2

(Ψnm(z, z)

−Ψn−1m+1(z, z)

), E+

n =√

2eB~c n , j3 = ~(

m +12

)

ψ−nm(z, z) =1√2

(Ψnm(z, z)

Ψn−1m+1(z, z)

), E−n = −

√2eB~c n , j3 = ~

(m +

12

)De nuevo Ψnm(z, z) es la función de onda normalizada del problemano-relativista de Landau:

Ψnm(z, z) =(−1)n

lm+1

√n!

π(n + m)!zm Lm

n

( zzl2

)e−

12l2

zz , m ≥ −n


Ecuación de Dirac-Landau y modos cero• Ortonormalidad: ∫

dzdz2i

ψ†nm(z, z)ψn′m′(z, z) = δnn′δmm′

• El espectro de Dirac-Landau para una partícula sin masa es:

Tenemos dos tipos de estados:Modos cero: correspondientes al primer nivel de Landau con n = 0,m ≥ 0.Estados con n 6= 0: para cada n y m ≥ −n tenemos dos soluciones, una conenergía positiva y otra con energía negativa.


Ecuación de Dirac-Landau y modos cero• Cada nivel de Dirac-Landau está infinitamente degenerado. La densidad de estadospor unidad de área y por espín es ahora:

1 Modos cero:∞∑

m=0

ψ†0mψ0m =eBhc

2 n 6= 0∞∑

m=−n

ψ†nmψnm =eBhc

Es decir, la misma que en el problema de Landau no-relativista:

nB =eBhc


Simetría de conjugación y modos cero• Simetría de conjugación: HD, C = 0

CψE = ψ−E

C = σ3 , σ3ψE = ψ−E , σ3ψ0 = 0

La existencia de modos cero autoconjugados⇐⇒ Propiedades topológicas

• El operador de Dirac sobre una variedad topológicamente no-trivial es Fredholm: sunúcleo y co-núcleo son de dimensión finita.

• El teorema del índice identifica el número de modos cero con la primera clase deChern y son, por tanto, inevitables en fibrados no triviales.

IndiceHD = Dim KerD− Dim KerD†


Simetría de conjugación y modos cero• En nuestro caso, el problema de Dirac-Landau en el plano, resulta que:

Dim KerD† = 0 , Dim KerD 6= 0

En el plano hay infinitos modos cero.• Por otro lado, el número fermiónico en el vacío para una Teoría Cuántica deCampos se define:

N =12

∫d2x〈0|[ψ†(x), ψ(x)]|0〉

donde ψ(x) es el campo fermiónico, en presencia de un campo magnético, en el plano.Resulta:

N =12

(]modos cero ocupados)− 12

(]modos cero no ocupados) ≡ −12

Dim KerD

La existencia de modos cero está relacionada con la presencia de estados cuánticoscon un número fermiónico fraccionario.


Asimetría y flujo espectral• Hamiltoniano de Dirac en (2 + 1) dimensiones con un término de masa:

HmD = HD + βmc2 =

(mc2 D†

D −mc2

)(69)

• Espectro:

1 n = 0

E0 = +mc2 , ψ0m =(

Ψ0m

0

), m = 0, 1, 2, · · ·

2 n 6= 0E±n = ±

√2eB~c n + m2c4

ψ±nm =

√|En|+ mc2

2|En|

(Ψnm

−|En|±|En|+mc2 Ψn−1m+1

), m ≥ −n

donde Ψ0m(z, z) y Ψnm(z, z) son las soluciones del problema no-relativista deLandau.


Asimetría y flujo espectral• Asimetría espectral:

• Relación con el número fermiónico:

N = −sig(m)12

ehc

∫d2x B = −sig(m)

ΦΦ0

donde Φ = AB para A finita y Φ0 = hce , en el límite,

limm→0

N = −12

ΦΦ0


Asimetría y flujo espectral• Flujo espectral:

Hm(τ)D = HD + βm(τ)c2 , m(τ) = m

(1

1 + e−τ− 1

2

)

limτ→−∞

Hm(τ)D = H−

m2

D , limτ→+∞

Hm(τ)D = H+ m

2D


Asimetría y flujo espectral• Se define el flujo espectral:

N∞ − N−∞ = −212

ΦΦ0

= −IndiceHD

En resumen:

HD con masa cero⇔Modos cero autoconjugados⇔ Número fermiónicono-trivial⇔ Índice del operador de Dirac.Hm

D con una masa distinta de cero⇔ Asimetría espectral⇔ El númerofermiónico depende del signo de la masa.

Hm(τ)D con una masa m(τ) que varía adiabáticamente con τ ⇔ Flujo espectral⇔

Diferencia entre el número fermiónico en los límites τ → ±∞⇔ Índice deloperador de Dirac.


Límite no-relativista• Límite no-relativista de la ecuación de Dirac en (2 + 1) dimensiones, para unapartícula con masa, en un campo magnético constante y uniforme: mc2 D†

D −mc2

ψ1

ψ2

= E

ψ1

ψ2

D†ψ2 = (E − mc2)ψ1

Dψ1 = (E + mc2)ψ2

ψ2 =1

E + mc2 Dψ1 ⇒ D†Dψ1 = (E2 − m2c4)ψ1


Límite no-relativista• Definimos ENR = E − mc2. En el límite no-relativista E ≈ mc2, y a orden cero en(v/c)2, resulta:

ψ2 =1

2mc2 Dψ1 ,1

2mc2 D†Dψ1 = ENRψ1

Dado que

[D,D†] = 2eB~c =⇒ 14mc2 (D†D + DD†)ψ1 = ENRψ1

y así [1

2m

(~p +

ec~A)2− ~

eB2mc

]ψ1 = ENRψ1

Ecuación de Schödinger-Pauli, en mecánica cuántica no-relativista, para un espinor dedos componentes:[

12m

(~p +

ec~A)2

I− ~eB

2mcσ3]ψ = ENRψ , ψ =

(ψ1ψ2

)(70)


Límite no-relativista• Hamiltoniano de Pauli:

HP =1

2m

(~p +

ec~A)2

I + ~e~

2mc~σ · ~B (71)

donde I es la matriz identidad 2× 2, µB = e~2mc es el magnetón de Bohr y

~σ = (σ1, σ2, σ3) son las matrices de Pauli.• Espectro y espinores propios:

ψ0m(z, z) =

Ψ0m(z, z)

0

, ENR0 = 0

ψnm(z, z) =

Ψnm(z, z)

− |E0n|

2mc2 Ψn−1m+1(z, z)

, ENRn =

(E0n)2

2mc2

donde (E0n)2 = 2eB~cn, n 6= 0 y m ≥ −n.


Límite no-relativista

Niveles de Landau para el Hamiltoniano de Schrödinger HS:

ESn = ~ωc

(n +

12

)≡ B (2n + 1)

e~2mc =1⇒ ES

0 ≡ B

Niveles de Landau para el Hamiltoniano de Pauli HP:

EPn =

2eB~cn2mc2 ≡ 2Bn

e~2mc =1⇒ EP

0 ≡ 0


Supersimetría• Hamiltoniano de Pauli y Supersimetría:

HP =1

2mc2 H2D =

12mc2

D†D 0

0 DD†

(72)

• El espacio de Hilbert de HP:H = HF ⊕HB

descompone en suma directa de dos subespacios: HF = ψ ∈ H / Cψ = −ψ

HB = ψ ∈ H / Cψ = ψ

siendo C = σ3 el operador de conjugación de carga.


Supersimetría• Se definen las supercargas:

Q =1 + σ3

2HD =

0 D†

0 0

(73)

Q† =1− σ3

2HD =

0 0

D 0

(74)

tales queQ,Q = 0 = Q†,Q† , Q,Q† = (2mc2)HP

[HP,Q] = 0 = [HP,Q†]

HB

Q†

Q

HF


Supersimetría• Consideremos un estado propio de HP con energía distinta de cero, EP

n 6= 0,

Q(ψB

ψF

)=(

D†ψF

0

)Q†(ψB

ψF

)=(

0DψB

)

resulta D†ψF = |E0n|ψB

DψB = |E0n|ψF

EPn =

(E0n)2

2mc2

Los estados de energía distinta de cero forman pares bose-fermi


Supersimetría• Los estados de HP con energía cero, EP

0 = 0, son singletes:

D†ψF = 0 , DψB = 0

Representaciones unidimensionales de la supersimetría:

Q(ψB

ψF

)= 0 = Q†

(ψB

ψF

)• En el problema de Landau-Pauli, que estamos considerando, los modos cero tienencaracter bosónico:

ψ0m(z, z) =

Ψ0m(z, z)

0

, Cψ0m(z, z) = +ψ0m(z, z)

El caracter bosónico o fermiónico de los modos cero depende del signo del campomagnético y del signo de la carga

En este caso hemos elegido: B = −B k y q = −e.


Supersimetría• Por último, definimos el operador de Klein fermiónico (−1)F:

(−1)FQ + Q(−1)F = 0 = (−1)FQ† + Q†(−1)F ⇒ (−1)F ≡ σ3

• Los modos cero no forman pares bose-fermi y, por tanto,

n0F − n0

B = Tr(−1)F

Tr(−1)F = −n0B ≡ Número total de modos cero

≡ Flujo espectral ≡ Asimetría espectral

≡ Número fermiónico fraccionario

Topología no-trivial en el plano⇐⇒ Presencia del campo magnético


Bibliografía

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Bibliografía

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