geometría uni 5º

ndiceCaptulo 1Tringulos con ngulos entre paralelos .......................................................... 4

Captulo 2Lneas notables en el tringulo ....................................................................... 9

Captulo 3Congruencia de tringulos ........................................................................... 14

Captulo 4Aplicaciones de la congruencia .................................................................... 20

Captulo 5Polgonos ..................................................................................................... 25

Captulo 6Cuadriltero ................................................................................................. 30

Captulo 7Repaso ......................................................................................................... 35

Captulo 8Circunferencia - ngulos asociados ............................................................. 39

Captulo 9Circunferencia - Propiedades ....................................................................... 46

Captulo 10Puntos notables ............................................................................................ 52

Captulo 11Puntos notables (Recta de Euler) .................................................................. 57

Captulo 12Proporcionalidad ......................................................................................... 62

Captulo 13Semejanza .................................................................................................... 67

Captulo 14Relaciones mtricas en la circunferencia ..................................................... 73

Captulo 15Relaciones mtricas en tringulos rectngulos ............................................. 79

Captulo 16Repaso ......................................................................................................... 85

Captulo 17Relaciones mtricas en tringulos oblicungulos ......................................... 88

Geometra

Captulo 18Polgonos regulares ...................................................................................... 93

Captulo 19reas triangulares ........................................................................................ 98

Captulo 20reas cuadrangulares ................................................................................. 104

Captulo 21reas de regiones circulares ...................................................................... 110

Captulo 22Repaso ...................................................................................................... 117

Captulo 23Geometra del espacio ............................................................................... 122

Captulo 24ngulo diedro y ngulo triedro .................................................................. 128

Captulo 25Poliedros y poliedros regulares .................................................................. 133

Captulo 26Prisma y cilindro ........................................................................................ 138

Captulo 27Repaso ....................................................................................................... 143

Captulo 28Tronco de prisma y cilindro ....................................................................... 147

Captulo 29Pirmide y cono ......................................................................................... 154

Captulo 30Repaso ....................................................................................................... 160

Captulo 31Tronco de cono y pirmide ........................................................................ 163

Captulo 32Superficie esfrica y Pappus ....................................................................... 168

Captulo 33Esfera y Pappus .......................................................................................... 173

Captulo 34Repaso ....................................................................................................... 179

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Problemas resueltos

1. En el grfico: L1//L2//L3; L4//L5. Calcular "x".

480

L3

L2

L1

L5L4

x

Resolucin:

4 50

B

E

F

80

L3

L2

L1

L5L4

x

L1//L2 : 2+80=180 =50

L2//L3 : mBEBF=50

L4//L5 : 5=2

5=100 =20

EBF : 50+x=4 50+x=4(20) \x=30.

2. En el grfico mostrado, calcule: a+b.

2

302

a

b

Resolucin:

2

230

a a 25b

b

EnelABC :3+3=150 : +=50 Por Prop.

mBEBF=2

+ = 2

50 =25

FNG :25+a+b=180 \ a+b=155.

3. En el grfico mostrado, calcule "x".

B2B

nn

xx

m m

Resolucin:

B2BB

B

A

m mS

T

2B

nn

xx

C

m

2x

m

90+x2

Piden: "x"

Por propiedad de bisectrices interior y exterior: mBABC=4B BTS:Prop.Bisectrizinterioryexterior mBBTS=2x. ABC: Prop. Bisectrices interiores

mBATB=90+ x2

.

90+ x2

+2x=180

\x=36.

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Geometra

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1. En el grfico, a // b , + =160 y el ngulo PQS es recto, calcule el valor de "".

P

Q

a

bS

a) 35 b) 40 c) 50 d) 55 e) 80

2. En el grfico, calcule "x":

x

7

8

8

7

a) 140 b) 110 c) 100 d) 160 e) 120

3. En el grfico, =24. Calcule el valor de "".

a) 28 b) 36 c) 39 d) 42 e) 52

4. Tenemos m // n , el ngulo AOB es recto.Calcule el valor de "".

mA

BO

n

a) 12 b) 15 c) 30 d) 45 e) 60

Problemas para clase

4. En un tringulo ABC, se ubica en AB y BC los puntos "P" y "Q", respectivamente. mBBAQ=30,mBQAC=50,mBPCA=60yAB=BC.CalculemBQPC.

Resolucin:

a

a

a

60

a

a3020

2080

50

50

6040

40

40 x

A

E

P

Q

B

C

Piden: "x" SetrazaCE tal que mBECA=20 EQC:equiltero. EPQ:issceles: 40+x=70 \x=30.

5. Segn el grfico, calcule ++, si AN=AT,BM=BR y CS=CP.

MB

R

S

PCA

NT

Resolucin:M

B

R

S

PCA

aa2a

b 2b

2c

c

c

b

NT

Piden : ++ ABC : 2a+2b+2c=180 a+b+c=90

TRS : a+++b++c=360

90a+b+c+++=360

\ ++=270.

xx

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5. Si: m // n , calcule el valor de "x".

160

160

x

2x

m

nx+40

x+10

a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 30

6. En el grfico: a // b ; m // n y =66, calcule "x".a

m

n

3x

b

a) 66 b) 60 c) 33 d) 15 e) 11

7. Si: L1// L2, calcule el valor de "x".

64

2x

L1

L2

a) 40 b) 36 c) 32 d) 16 e) 8

8. Si:BA=AD=DC,calcule:mBBCD.

5

3

A C

DB

a) 12 b) 10 c) 15 d) 18 e) 16

9. En el grfico mostrado, calcule "x", si: =50.

x

a) 90 b) 100 c) 120 d) 130 e) 150

10. Si : a // b ,calcule:x+y+z.

a

b

xzy

a) 120 b) 135 c) 150 d) 165 e) 180

11. Si: L1// L2// L3 ; +=200. Calcule el valor delnguloABC.

L1

L2

L3

A

B

a

bb

a

C

a) 60 b) 70 c) 80 d) 90 e) 100

12. Si : L1// L2 ; b - a=70. Hallar "x"

a

x

b

L1

L2

a) 50 b) 60 c) 70 d) 75 e) 90

13. Si: a // b , AB// EF, =22 y =144, calcule el valor de "x".

x

A

a b

B

E

F

a) 54 b) 58 c) 78 d) 122 e) 128

x50

x36

x

x

x

Geometra

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1. En el grfico mostrado, calcule la medida del nguloABC.

aa

120 40A

B

C D

a) 20 b) 60 c) 30 d) 40 e) 50

2. En el grfico mostrado, calcule: y - x.

80 60x y

a a

a) 20 b) 10 c) 60 d) 30 e) 25

3. En el grfico mostrado, hallar el valor de "x".

d d

cc

x

bb a

a80

a) 20 b) 15 c) 35 d) 10 e) 25

4. Los lados de un tringulo miden 8, "x" y "3x", calcule el valor entero de "x".

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

5. EnuntringuloABC,AB=5, BC=9. Calcule la diferencia entre el mximo y el mnimo valor enteroquepuedetomarAC.

a) 9 b) 7 c) 6 d) 8 e) 5

6. EnuntringuloABC,setrazanlascevianasBE y BD, donde "E" ADy m EBD

3B =m DBC

2B =mBABE=x,AB=ADy

BC=EC, calcule "x".

a) 10 b) 12 c) 15 d) 18 e) 20

7. En el grfico mostrado, calcule "x".

4a 4ba b

x

a) 120 b) 118 c) 144 d) 132 e) 126

8. En el grfico mostrado, calcular "x".

a 2a

2b bb

x

a) 120 b) 150 c) 144 d) 135 e) 105

Tarea domiciliaria

14. En la figura L1// L2, si: m+n+q=135, calcule: (+)

48

m n q86

L1

L2

a) 93 b) 97 c) 100 d) 107 e) 108

15. En el grfico: L1// L2. Calcule el valor de "x".

x

2

2

L1

L2

a) 30 b) 37 c) 40 d) 45 e) 60

x

x

x

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9. Enun tringulo rectnguloABC, rectoen"B",se traza la cevianaCM. Si CM=12, MB=2x y AC=3x+6, calcule los valores enteros quepuede tomar "x".

a) 2,3,4,5,6 b) 2,3,4 c) 3,4,5 d) 4,5,6 e) 3,4

10. DadoeltringuloobtusnguloABC,obtusoen"C",AC=6cmyBC=4cm.Calcular lasumadelmximoymnimovalorenterodeAB.

a) 13 cm b) 14 cm c) 17 cm d) 12 cm e) 16 cm

11. Dada la regin triangular ABC cuyo permetro esiguala10m.(endicharegindeubicaelpunto"P").CalcularPA+PC,sabiendoquedichasumaesenteroyqueademsACtomasumximovalorentero.

a) 6,5 m b) 5,5 c) 4 d) 5 e) 6

12. EnuntringuloisscelesABCcuyabaseesAC, se ubican los puntos "P" en AB y "Q" en BC de modo que: mBPAQ=20,mBACP=50ymBPCQ=30. Calcule la mBPQA.

a) 30 b) 28 c) 29 d) 31 e) 32

13. Los lados de un tringulo isscelesmiden 5 y 12. Calcule el permetro de la regin deltringulo.

a) 22 b) 25 c) 24 d) 29 e) 30

14. Delgrficomostrado,calcule"x".

100

x

x

a) 120 b) 130 c) 135 d) 110 e) 145

15. En el grfico, halla el valor de "".

2 2

2

2

a) 10 b) 15 c) 18 d) 20 e) 25

16. Cul es el mximo valor entero de la longitud de un lado de un tringulo, si el permetro de su reginesiguala40.

a) 20 b) 21 c) 22 d) 19 e) 18

17. EnuntringuloABC,enlosladosAByACseubican los puntos "D" y "E" respectivamente,DE=EC=BC. La medida del ngulo BAC esiguala25yladelnguloADEesiguala35.CalcularlamedidadenguloABC.

a) 68 b) 85 c) 99 d) 70 e) 92

18. En el grfico, L1// L2 yelnguloAOBesrecto.Luego, el suplemento del complemento de "" es:

2

B

O

A

L2

L1

a) 30 b) 45 c) 60 d) 90 e) 120

19. Calcular "x" si L1// L2 y el tringulo ABC esequiltero.

7

x

A

C

B

L2

L1

a) 100 b) 130 c) 120 d) 140 e) 110

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Problemas resueltos

1. EnuntringuloABC,setrazalamedianaBM, si mBBAC=106ymBBCA=23.Calcule:mBBMA.

Resolucin:

37

3m

4m

6m5m

5mA M

ST

B

C5m

6m14106

x 23

Sea : TA=AC BST : NOT37y53 BSC : NOT14y76

:BTCM : Trapecioissceles BM//TC

` x=37.

2. EnuntringuloABC,setrazalamedianaBM, luegosetrazaAH BM (H BM). BH=2(HM). Calcule mBCBM. (mBABH=45)Resolucin:

452m

2m

2m

m

m

H

x

C

S

A

B

M

Piden "x" Se prolonga BM y luego CS BM AHMMSC HM=MS,AH=SC

BSC: NOT y253

2127` j

` X= 253

3. EnuntringuloABC,setrazalacevianaBN, tal que BN=AC, mBBAC=100, mBBCN=30.Calcule mBNBC.

Resolucin:

x

100

50

80

80

2030

N

B

A

T

C

SeprolongaBAtalqueTC=BT

BNCT:Prop.delcuadrilteronoconvexomBTBN=40. \x=10.

4. En un tringulo issceles ABC (BC=AC), setrazalacevianaBL,talquemBBCA=2mBCBL. Calcule mBBCA,(AB=LC).

Resolucin:B

A90- 2

2

30H L

E

S

S

SN

C

Piden: 2 SetrazaLE tal que mBLCE=2 SetrazaBH AC,ABH BEN BN=NL=BH(HBL:NOT30y60) 30=+2 =10 \ 2=20.

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1. Delgrfico,calcule"x".

x x

a) 12 b) 18 c) 24 d) 36 e) 60

2. Calcule "x":B

A C

80

x

a) 140 b) 130 c) 120 d) 110 e) 125

3. En el grfico, calcule el valor de "x".

3x

4x

a) 18 b) 16 c) 19 d) 12 e) 20

4. En un tringulo ABC, mBA - mBC=18. Calcule la medida del ngulo formado por la bisectrizinteriordelBBylamediatrizdeAC.

a) 16 b) 24 c) 18 d) 12 e) 9

5. En un tringulo ABC, mBA=2(mBC), la bisectriz interior BD prolongada intersecta en "E"a labisectrizexteriordelBC.Si:DE=8. Calcule CE.

a) 4 b) 7 c) 8 d) 6 e) 10

6. EnuntringuloABC,sobrelaprolongacindellado CB se ubica el punto "Q", tal que la medida delsuplementodelnguloAQCeseldobledelamedidadelnguloACB.CalculeQB. Si:AQ=9yBC=7.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

7. SobreelladoACdeuntringuloABC,seubicaelpunto"E",de talmaneraque:EB=AB=10,BC=16 y mBC=30.CalculeEA.

a) 16 b) 15 c) 14 d) 13 e) 12

8. En la figura, calcule "".

A

B

C

FE

1545

a) 30 b) 24 c) 20 d) 18 e) 15


5. En un tringulo rectngulo ABC recto en"B" (AB=BC), se ubica un punto interior "P"PA=AB,mBBCP=135. Calcule mBBCP.

Resolucin:B

A

135

45

I

H

P

a

a

a

a

C

x

Piden: "x" SetrazaAH BP BH=HP= ABH BIC(ALA)IC=BH

BCI:NOT( 2

37 y 2

143 ) = 2

37

x+ 2

37 =45

\ x= 2

53 .

Geometra

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9. En la figura, calcule "".

A

B

C

M135

8

a) 30 b) 31 c) 33 d) 35 e) 37

10. Enelgrfico,calcule:"x".AB=BC.

A

B

C

2163

30

x

a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) 45

11. En el grfico 2AB=2BC. Calcule: "", si: AM=MB.

B

A

M

135

C

a) 15 b) 37/2 c) 12 d) 45/2 e) 8

12. Enelgrfico,AM=MB,calcule"x".B

A

M

135

Cx

53/2

a) 10 b) 8 c) 12 d) 18 e) 16

13. En un tringulo ABC, "M" punto medio deAC. Si: mBA=14, mBC=25/2, calcule la mBABM.

a) 75 b) 82 c) 90 d) 100 e) 105

14. Enelgrafico,PB=PC,AB=BC,calcule"x".B

A C

P

75

x

a) 14 b) 15 c) 37/2 d) 53/2 e) 30

15. EnuntringuloABC,"P"puntomediodeAC. Si la mBA=53,mBC=23, calcule la mBCBP.

a) 28 b) 30 c) 36 d) 37 e) 53/2

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Geometra

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Tarea domiciliaria

1. Dosladosdeuntringuloisscelesmiden5 y 12. Calcular su permetro.

a) 22 b) 25 c) 27 d) 29 e) 31

2. Calcular "",si:AE=EF=FP=PB.

140

3

2AE

F

P

B

C

a) 10 b) 18 c) 15 d) 20 e) 24

3. Calcular "x".

x 27

a) 9 b) 18 c) 27 d) 15 e) 28

4. Si BC // ED, m - n=16. Calcular "".AD=DE.

A

B

C D

E

2xx

mn

a) 16 b) 18 c) 22 d) 14 e) 26

5. Calcular "" si los ngulos ACE y BFD sonsuplementarios.

A

B CD

EF

3

3

2

a) 10 b) 12 c) 15 d) 18 e) 20

6. Calcular el valor de "x", si: a+b=220 y CN=NM.

x

b

a

M

N

C

a) 110 b) 120 c) 140 d) 150 e) 135

7. EnuntringuloABC,setieneque6AB=5ACymBA=7.CalculelamBC.

a) 37 b) 45 c) 30 d) 53 e) 60

8. Segnelgrfico,calcular"2x",siAB=AC.B

A C80 70

x

a) 60 b) 40 c) 10 d) 20 e) 50

9. EnuntringulorectnguloABC,rectoen"B",setrazalacevianainteriorCM, de tal manera que mBBCM=39.Calcule"AM".Si:BC=9,6y mBA=37.

a) 6,4 b) 5 c) 4,8 d) 4 e) 3,2

10. Segn el grfico, calcular: m+n.

40 20m n

a) 220 b) 210 c) 145 d) 200 e) 250

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11. Segn el grfico, calcular (x+y).

A40

x

C

y

yy-

B

a) 200 b) 210 c) 220 d) 280 e) 245

12. Calcular el valor de "x". si: 2mBABD+mBBCA=130.

602A D

R

C

B

x3

a) 40 b) 50 c) 30 d) 45 e) 35

13. Calcular"x",siAD=DC=BC.

x

35 60

B

A C

D

a) 85 b) 80 c) 65 d) 95 e) 75

14. CalcularBC,si:AB+AD=4.

2

A

B

CD

a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 4

15. Calcular "x", del grfico mostrado.

80

x+m

mx

a) 8 b) 10 c) 12 d) 13 e) 15

16. En la figura mostrada, calcular "x"

A

B

C

x

45 30

D

a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 25

17. Sobre el lado BCdeuntringuloABC,seubicaelpunto"D", talquelamBADCes iguala lasemisumadelosngulosinterioresde"A"y"B".CalcularBD,siadems:AC=12 y BC=16.

a) 14 b) 10 c) 8 d) 4 e) 6

18. SetieneuntringuloobtusnguloABC,obtusoen "C", de modo que mC! - mA!=32. Calcular lamedida del ngulo que forman la bisectrizexterior BE y la altura BH.

a) 64 b) 68 c) 70 d) 72 e) 74

19. Enun tringuloABC lamBA=30mBC=7, BC=10.Calcule:AC.

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

20. EnuntringuloABCsetrazalabisectrizinteriorBD.SimBA-mBC=20. Hallar mBBDC.

a) 100 b) 90 c) 105 d) 110 e) 120

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Problemas resueltos

1. En la figura, los tringulos ABC y CPQ sonequilteros. Calcule: mBBQP.

A

B

C

Q

P

Resolucin:

a

A

B

C

Q

Pb

60

x

60

a

Se pide: "x" +=60 PQC : equiltero APC BCQ(L.A.L.) mBBQC=90 x+60=90 x=30

2. DadountringuloABC,rectoen"B",enlacuallaceviana interior es BR, tal que mBBAC=2mBABRyAB=RC.CalculemBBCA.

Resolucin:

a

A

B

E

CRx

22

90-

90-

b

b

a

Piden "x" Setraza RE tal que: mBREB=90- ABRREC(L.A.L.) 2=x ABC: 2+2=90 2=45 ` X=45.

3. EnelgrficoAB=BC=2,AR=1.CalculeBT.

A

R

T

B C

45

Resolucin:

x

A

R

T

B C F

45

2

4

2 1

1

Se pide: "x"

SeprolongaACtalquemBTFC=90 RAC CTF(A.L.A.) CF=1,TF=4 BTF(NOT53y37) x=5

4. DelgrficoAB=EC.Calcule"x".

A B

C

E

x

20 20

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TRILCEColegios

Geometra

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1. Si CD=CA, AB=2 y BC=5. Calcule la distanciade"D"aL

AB

C

D

L

a) 5 b) 3 c) 6 d) 7 e) 8

2. En el grfico, los tringulos ABC y BED sonequilteros.CalculelamedidadelnguloEDC.Si: mBAEB=108.

A

B

C

D

E

a) 60 b) 30 c) 48 d) 45 e) 53

3. En el grfico, el tringulo ABC es equiltero.AB=ayAT=b.Calcular:BL.

A

B

60

T

L

C

a) b b) a.b c) a-b d) b

2 e) a b

2+

4. En el grfico: AB=ED, AE=CD y CE=6.Calcular: BC.

A

B

C

DE60 60

a) 6 b) 6 2 c) 8 2 d) 12 e) 9


Resolucin:

a

a

M

A B

C

Ea

a

40

40

x

40

30 30

20 20

Piden: "x" SeconstruyeelABMequiltero AME EBM(L.A.L.) MBE EBC(L.A.L.) \ x=30.

5. EnuntringuloABC,obtusoen"B",setrazalamediana AM, mBBAM=30,mBBCA=2mBMAC.Calcule mBMAC.

Resolucin:

A

B

T

M

C

30x

ll

l

E

S x

2x 2x

30+3x

x

Piden: "x" SetrazaME tal que mBMEC=2x SetrazaMT =AB BTM SME mBBTM = x 30+3x+x+90=180 ` X=15.

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5. En el grfico, calcule "x".

A

B

C

D

Px

24

42

48

24

a) 30 b) 36 c) 42 d) 46 e) 48

6. Engrfico:AE=MF,AE // MNyMN=AF.Halle "f" .

A

E

M

N

F

70

a) 20 b) 30 c) 40 d) 25 e) 35

7. En la siguiente figura, calcule la mBDCE. Si:BD=DEylamBADE=100.

A

B

C

D

E

a) 40 b) 30 c) 10 d) 20 e) 25

8. En un tringulo equiltero ABC, en su regininterior se ubica un punto "P" , si: m ABP

4B =m CAP

5B =m BCP

6B .

Calcule mBABP.

a) 24 b) 24 c) 30 d) 37 e) 45

9. En la siguiente figura, calcule mBCDA. siAB=BC=CD.

A

B

C

D5x7x

10x

a) 50 b) 10 c) 40 d) 70 e) 100

10. En la siguiente figura, calculeMPsi:AD=16,BM=MC y mBBAD=mBPDC.

A

B

CD

M

P

a) 16 b) 12 c) 6 d) 4 e) 8

11. En el grfico, calcule ""AP=BC.

A

B

CH

23 5

P

a) 5 b) 7 c) 9 d) 10 e) 15

12. EnunABCsetrazalacevianaBD, tal que: AB CDy"D"estenelladoAC.Adems,mBABD=60ymBBAC=20.CalculelamBBCA.

a) 15 b) 30 c) 25 d) 2230' e) 20

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Tarea domiciliaria

1. En el grfico, AB=CD. Hallar la medida delnguloformadoporlasrectasAByCD.

A

B C

D

a) 60 b) 45 c) 30 d) 40 e) 15

2. En el grfico, los tringulos ABC y LCD soncongruentes. Hallar la medida del ngulo formadoporlasrectasAByLD.

B

L

AC

D

a) 90 b) 100 c) 120 d) 150 e) 135

3. Si:AB=CD.Calcule"":

A

B

DC

290 -

a) 10 b) 12 c) 16 d) 8 e) 18

4. En cierto tringulo PQT, se traza de cevianainterior QM, de tal manera que: QM=PT y mMTSQ=4(mMQSP). Hallar: mMQSP, si: mQPSM=7(mMQSP).a) 18 b) 16 c) 12 d) 10 e) 9

5. Enun tringuloABC, se traza la ceviana interiorBM, de modo que: mMBSC=2 (mMBSA)y mMCSB=2 (mMBSC). Calcular mMBSA,siBM=AC.a) 15 b) 18 c) 20 d) 24 e) 10

13. Si mBBCD=30,AB=BCyBD=AD.Calcular "".

A

B

C

D

4

a) 12 b) 15 c) 10 d) 18 e) 20

14. Dado un tringulo equiltero ABC, en AC y en la regin exterior relativa a BC se ubican lospuntos"D"y"E", respectivamente, talqueAD=EC,AE=BCymBBAE=40.CalculelamBBDE.

a) 30 b) 45 c) 40 d) 50 e) 60

15. Delgrfico,BM=AC.Calcule"".

A

B

C

M

2

90-

a) 20 b) 30 c) 60 d) 10 e) 40

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6. Sobre el lado AC de un tringulo ABC, seconstruye exteriormente el tringulo isscelesAEC,(AE=EC)detalmaneraquemAESB=3mACSB y mCASB=2mECSA.CalcularmEASC, si ECSA=mACSB.a) 10 b) 12 c) 15 d) 18 e) 24

7. En un tringulo ABC, obtuso en "B", se trazala ceviana interior BM, de tal manera que: MC=AB.Adems,sesabequemAS=12 y mCS=18. Calcular mMBSA.a) 9 b) 12 c) 15 d) 18 e) 24

8. Se tiene un tringulo escaleno ABC.Exteriormente se construyen los tringulos equilterosBADyBEC.Hallar lamedidadelngulo formado por CD y AE .

a) 135 b) 120 c) 125 d) 115 e) 130

9. CalculeAD.Si:AB=9yCD=12.

A

B

C

DE

90-

22 2

a) 18 b) 15 c) 22 d) 21 e) 20

10. EnuntringuloABC,sobreAC y BC se ubican los puntos"D"y"E",respectivamente.Si:AB=DC,mBBAC=mBBDE=32,mBDBE=74. Calcule la mBABD.

a) 32 b) 36 c) 40 d) 42 e) 48

11. EnuntringuloABC,sobreAC se ubica un punto "P", sea "Q" un punto exterior relativo al lado AC,si:AB=BP,AQ=PC,mBBAC=2x, mBCAQ=5x, mBBQC=mBBCQ. Calcule "x".

a) 8 b) 10 c) 12 d) 15 e) 20

12. SiAB=BC,AH=3 y HC=8. Halle la distancia de "B" a L

A

B

C

H

L

a) 4,5 b) 6,5 c) 5,5 d) 5 e) 6

13. En el grfico, calcule: "",si:AB=CDyBC = AD .

A

B

C

D

3245

a) 7 b) 8 c) 9 d) 12 e) 15

14. EnuntringuloescalenoABC,sobresusladosexteriores se grafican los tringulos isscelesABMyCBN.MC=12.Calcule lamedida delsegmento AN.

a) 6 b) 6 2 c) 6 3 d) 8 e) 12

15. En el grfico, las regiones sombreadas son congruentes.Si:BM=3yAC=11,calculeAB.

A

B

C

M

H

a) 4 2 b) 7 2 c) 5 2 d) 5 e) 10

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16. Calcule "x", si los tringulos ABR y PBC sonequilteros.

A

B

C

R

P x

a) 30 b) 35 c) 45 d) 53 e) 60

17. En el grfico, calcular "x"

10

40

40

80

x

a) 10 b) 12 c) 15 d) 18 e) 20

18. Enlafigura:AB=FC,calcular"".

A

B

CF

2

a) 15 b) 18 c) 2230' d) 30 e) 36

19. Enlafigura,AP=BC,calcule"x".

A

B

CP

70

40

x

a) 20 b) 10 c) 15 d) 30 e) 40

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Problemas resueltos

1. Delgrfico,calcule:AC.Si:PB=4.

A

B

C

P

Resolucin:

A

B

C

P4

M

T

x

Se prolonga CP TP=PC Setrazapor"P"MP // AC MP:basemediadelATC MPB:issceles:MP=4 \x=8

2. EnelgrficoAB=BC= ED2

. Calcule "x".

A

B

E

C4

x D

Resolucin:

A

B

E

C2

2

2

x

DS

S

m m

mk

k

k

T

m

m

SeaED=2n Se prolonga CP TP=PC Pordato:AB=BC=m T.mediana:CS=SE=SD=m BSC TSD:SC=TC ACT:NOT30y60 \x=30

3. Segn el grfico, AB=CD. L1 y L2 son mediatrices de AC y BD, respectivamente. Calcule

L1

L2

B

A

C

D

Resolucin:

////

m

L1

L2

B

A

C

D

m

M

Se pide:

T.mediatriz:AM=MC,MB=MD ABM CMD(L.L.L.) 2+=2+ = \ =1

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1. En la figura, calcule BC, si: HM=6.

A

B

C

H

M

a) 9 b) 12 c) 15 d) 18 e) 24

2. Enun tringuloABClamedidadelBABCesigual a 128. Las mediatrices de AB y BC cortan a AC en los puntos "R" y "S", respectivamente. Luego, la suma de las medidas de los ngulos ABRySBCes:

a) 40 b) 48 c) 50 d) 52 e) 64

3. En un tringulo ABC (AB

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6. Enelgrfico,calculeHM,AM=MC.AB=12yBC=18.

A

B

C

H

M

a) 3 b) 3,5 c) 4 d) 5 e) 6

7. EnuntringuloABC,setrazalamedianaBM. Si:AB=8 y BC=12, calcule el mximo valor entero de BM.

a) 8 b) 11 c) 9 d) 10 e) 12

8. EnuntringuloABC,setrazalamedianaBM. Si: AB=50, BC=14, BM=24, calcule la mBABM.

a) 37/2 b) 24 c) 30 d) 32 e) 16

9. En un tringulo issceles ABC (AB=BC) seubicaelpunto"P"enelinterior,AP=AB,mBABC=2(mBBAP) y mBPCB=2(mBPAC).Calcule: mBAPC.

a) 100 b) 110 c) 120 d) 130 e) 140

10. Delafigura,calcule:MN.Si:QM=7.Q

M

RNP

2

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

11. Enlafiguramostrada,AC=CD. Calcule : "".

A D

BC

2

34

a) 10 b) 12 c) 15 d) 18 e) 20

12. En el grfico: EL=2(FB). Calcule la mBFBC.

A

B

C

F

E L

3

15

a) 30 b) 40 c) 50 d) 53 e) 60

13. En el grfico : AH2

=AB=HC.Calculela mBABD.

A

B

C

D

H

a) 37/2 b) 45/2 c) 53/2 d) 30 e) 38

14. Segn el grfico, calcule "x".

A

B

C

D

80

40

30

70

x

a) 40 b) 50 c) 30 d) 45 e) 60

15. Segnelgrfico,calcule"x",siAM=MC.

A

B

CM

90-2x

x45

a) 18 b) 20 c) 37/2 d) 53/2 e) 15

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Tarea domiciliaria

1. Sobre el lado BC de un tringulo ABC, seconstruye exteriormente el tringulo BEC, de tal manera que mBEBC=90, mBE!A=14, mEA!C=30yAE=2EB.CalcularmBC!E, siAC!B=74a) 30 b) 37 c) 45 d) 53 e) 60

2. Hallar PH, si: BH=36.

A C

B

PM

H

a) 18 b) 15 c) 12 d) 9 e) 6

3. Enun tringuloABC, se traza la alturaBH y la mediana BM; de tal manera que: mBABH=mBHBM=mBMBC. Calcule mBHBM.

a) 30 b) 37 c) 45 d) 53 e) 60

4. Enun tringulo rectnguloABC, recto en "B", sobre la hipotenusa ACseubicaunpunto"D"talqueelnguloABDmide24.Sielngulo"C"mide38yBD=5.CalculeAC.

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

5. Enlafigura,calcule"x",si:AP=PByPC=2AB.

A

B

CP

x

a) 15 b) 18 c) 20 d) 24 e) 10

6. Enla figura:AM=MB,MO=OCyMN // OA. CalculeMN,si:OA=21.

A

B

C

M

N

O

a) 10 b) 7 c) 10,5 d) 9 e) 14

7. Enlafigura,calcule"x",siMN=NC,AM=CBymBANC=120.

A

B

C

M

Nx

a) 53 b) 60 c) 6330' d) 75 e) 80

8. EnuntringuloABC,setrazalamedianaBM. AB=7 y BC=9. Calcule el mayor valor entero de BM.

a) 6 b) 7 c) 8 d) 5 e) 4

9. EnuntringulorectnguloABC,rectoen"B",setrazalacevianaCEyenlostringulosABCyAECsetrazanlasalturasBD y EF, respectivamente. Si BC=5, EF=3 y la mBBAC=2(mBBCE), calcule:BD.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

10. Enun tringulo rectnguloABC, rectoen"B",sobre la hipotenusa ACseubicaunpunto"D"talqueelnguloABDmide24.Sielngulo"C"mide38yBD=8,hallarAC.

a) 6 b) 7 c) 16 d) 9 e) 10

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11. Enlafigura,calcule"x".SiHC=4AH.

A

B

H C

2

x

a) 62 b) 60 c) 53 d) 45 e) 37

12. En la figura, calcule "".Si:AM=BMyCM=BC/2.

2

A

B

C

M

a) 32 b) 37 c) 36 d) 24 e) 18

13. EnuntringulorectnguloABC,laalturaBH y labisectrizinteriorAD se cortan en "P". Luego, por "P" se traza una paralela al lado AC quecorta a BCen"N".CalcularNC,si:BD=6cm.

a) 2cm b) 3 c) 4 d) 6 e) 5

14. En la figura, calcule BC si MH=9cm.

A

B

CH

M

a) 9cm b) 12 c) 15 d) 18 e) 24

15. Enun tringuloacutnguloABC,se trazan lasalturas BQ y CP. Calcular mBPMQ, siendo "M" punto medio de BC y mBA=50.

a) 80 b) 70 c) 60 d) 40 e) 50

16. En un tringulo ABC, se traza la altura BHde tal manera que mBHBC=2(mBHBA) y8(AH)=3(HC).CalcularmBC.

a) 37 b) 30 c) 24 d) 16 e) 15

17. Enlafiguramostrada,hallar"x",siAM=MC.

A

B

CH M

x

70

a) 20 b) 45 c) 50 d) 40 e) 25

18. Enlafiguramostrada,AM=MC.Calcular"".

452

B

A CM

a) 10 b) 15 c) 20 d) 5 e) 18

19. En un tringulo ABC: mBABC=62; sobreAB y BC se ubican los puntos "P" y "Q", respectivamente. Tal que BP=QC y las mediatrices de BC y PQsecortanen"O".HallarmBOBC.

a) 30 b) 31 c) 28 d) 2630' e) 24

20. EnuntringuloobtusnguloABC,obtusoen"A",mBB=2(mBC), se levanta AP perpendicular a AC("P"enBC).Calcule:PC,si:AB=6.

a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15

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Problemas resueltos1. Se tiene un polgono equingulo tal que el

nmero de diagonales ms el doble del nmero de lados es 36. Calcule la medida del ngulo interior de dicho polgono.

Resolucin:

Dato:Ndiag+2n=36

( )n n2

3- +2n = 36

n=8.

BInterior = ( )nn180 2-

= ( )8

180 6 =135.

BInterior =135.

2. Enelgrfico,ABCDEFesunpolgonoequingulo,LesmediatrizdeCD, y BT=6.CalculeTN.

A

B C

D

EF

T

N

L

Resolucin:

A

B C

D

EF

T

N

=60

60 6 x

x

120

120

S

BInterior = ( )6

180 6 2- =120

=60 T.mediatriz:CT=TD STC TDN(A.L.A.) ST=x BTS: NOT(30y60) \ =3 3 .

3. Si el nmero de diagonales aumenta en 18 en un polgono regular, su ngulo central disminuye en 20. Calcule el nmero de lados.

Resolucin:

Lados Diag B central

Polig 1 n ( )n n2

3-n

360

Polig 2 m ( )m m2

3-m360

Dato: ( )n n2

3- + 18= ( )m m2

3-

n360 - 20 =

m360

Despejandoyoperando:

\ n=6

4. Se tieneunoctgonoequinguloABCDEFGHtal que AB=1, CD=2, BC= 2 y DE=2 2 . Calcule mBDEA.

Resolucin:

2 2

2 5

45

4537/2

53/2

135

135

53/22

5

253

x

A

B

C D

E

F

GH

S T

1

1

1 2 2

2

Piden "x"

B interior : 180 ( )8

8 2- =135

SCA(NOT 2

53 y 2

127 )

CTE(NOT 2

53 y 2

127 )

ACE(NOT 2

53 y 2

127 )

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x=253 +

237

\ x=45.

5. Segn el grfico, calcular "x" si los polgonos ABCDE...yMCNP...sonequingulos,ademsel nmero de lados del segundo es mnimo.

A

B C

D

N

PM

3 2x

Resolucin:

A

B C N

PM

3 2x

m lados

n lados

1. Calcule el nmero de vrtices de un polgono cuyo nmero de diagonales es el triple del nmero de lados.

a) 10 b) 11 c) 12 d) 9 e) 8

2. Si: ABCDEF es un hexgono regular, calcule"x".

A

B

C D

E

Fx

5x

a) 8 b) 10 c) 15 d) 20 e) 21

3. Si a un polgono se le aumentan cuatro lados, entonces la suma de las medidas de sus ngulos internos se duplica. Calcule el nmero de vrtices del polgono :

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

4. Marcarlaproposicincorrecta: Elcrculoesunconjuntoconvexo. Lasrectasparalelassonunconjuntoconvexo.Todonguloesconjuntonoconvexo. Todopolgonoesunconjuntoconvexo.

a) VFFF b) FVVV c) FVFV d) VFVF e) VFVV

5. Alaumentarentreselnmerodeladosdeunpolgono, el nmero de diagonales se duplica. Calcule la suma de las medidas de los ngulos internos de dicho polgono.

a) 720 b) 900 c) 1080 d) 1440 e) 1260


Piden "x"

Dato:3=n

360

=n

120

n (mnimo) Si: n=3 =40 n=4 =30

2= m

360 80= m

360

m: no existe

2 = m

360 60= m

360

m= 6 (existe)

3+x+2=180 90+x+60=180 \ x=30.

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6. Indicarelvalorverdaderodecadaproposicin:Todopolgonotienengulosexteriores.Siunpolgonopresentangulosinternosde igual medida ser polgono regular. Todopolgonoesunconjuntoconvexo.Todopolgonoesnoconvexo. Siatodareginpoligonalseleextraeunadiagonal,elconjuntoresultanteserno

convexo.

a) FVFFF b) FFVVV c) FFFFV d) FFVVF e) FFFFF

7. Si de cuatro vrtices consecutivos de un polgono convexo se trazan 25 diagonales,cuntas diagonales tiene en total el polgono?

a) 27 b) 35 c) 44 d) 54 e) 45

8. EnundecgonoregularABCDEFG... Calcular "x".

x=m ADEm ADCBB +

m CEFm DECBB

a) 71 b)

212 c)

179

d) 2110 e)

235

9. Indicar verdadero o falso, segn corresponda: Lasemirrectaesunconjuntoconvexo. Unaregintriangularcuyosvrticessehanomitido,esanunareginconvexa. Dosrectasparalelasalserintersectadaspor una recta secante determinan cuatro regiones convexas y dos no convexas en el plano.

a) VFV b) VVF c) VVV d) VFF e) FFV

10. Exteriormente y sobre los lados AB y BC, de un tringulo ABC equiltero, se construyenel hexgono regular ABMNLT y el cuadradoBCQP. Calcule la medida del menor ngulo que forman las prolongaciones de MT y PA.

a) 10 b) 15 c) 25 d) 30 e) 20

11. Al disminuir 5, la medida de cada ngulointerno de un polgono equingulo resulta otro polgono cuyo nmero de lados es 3/4 del nmero de lados del polgono original. Calcule la medida del ngulo externo del polgono original.

a) 10 b) 15 c) 18 d) 30 e) 24

12. SegraficaeloctgonoequinguloABCDEFGHyse prolonga el lado GF hasta "M" (M={GFDE}), demodoque:EM=DE= CD

2 2=BC

2. Calcule

mBEBM.

a) 16 b) 8 c) 4 d) 32 e) 15

13. Calcule el nmero de diagonales del polgono regularABCDEFGH....

A

B

C

D E

F

G

H

2

a) 27 b) 35 c) 44 d) 54 e) 65

14. Darelvalordeverdadde: Unaregintriangularenlacualsehanomi- tidodosdesusvrtices,esunaregincon- vexa. Ladiferenciadedosconjuntosnoconvexospuedeserunconjuntoconvexo. Todopolgonoesunconjuntonoconvexo.

a) VVV b) VVF c) FVV d) FFV e) VFF

15. EnunpentgonoregularABCDE,seconsideraelpuntointerior"P",talque:PD=DEy mBPAB=42.CalculemBPDE.

a) 60 b) 50 c) 30 d) 45 e) 75

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Geometra

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Tarea domiciliaria

1. Desde tres vrtices consecutivos de unpolgono se trazan 14 diagonales. Calcularcuntasdiagonalesentotalsepuedentrazarenel polgono.

a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) 40

2. En un pentgono regular ABCDE, lasdiagonales AC y BE se intersecan en "F", de modo que: EF= 5. Calcular la medida del lado del pentgono.

a) 5 b) 5 2 c) 2 3 d) 5 3 e) 2 5

3. Si a un polgono se le aumentara 3 lados, su nmero de diagonales aumentar en 15. Hallar el nmero de vrtices del polgono.

a) 4 b) 5 c) 8 d) 12 e) 18

4. La diferencia del nmero de diagonales de cierto polgono y el nmero de ngulos rectos a que equivale la suma de las medidas de sus ngulos interiores es 8. Entonces, el polgono tiene:

a) 4 vrtices b) 5 c) 8 d) 12 e) 18

5. La medida de los ngulos interiores de 2 polgonos convexos regulares difieren en 20 y las medidas de los ngulos exteriores suman 100. Cuntas diagonales tiene el polgono de mayor nmero de lados?

a) 27 b) 18 c) 32 d) 40 e) 52

6. En un polgono convexo de "n" lados, calcular la suma de las medidas de los ngulos formados al prolongar los lados del polgono.

a) 180 n b) 360 n c) 90 (n-2) d) 180 (n-4) e) 360 (n-2)

7. UnoctgonoequinguloABCDEFGHtieneporladosGH=4,AH=4 2 ,AB=3.HallarGB.

a) 12 b) 113 c) 120 d) 13 e) 15

8. Desde5vrticesconsecutivosdeunpolgonose trazan 59 diagonales.Hallar el nmero dediagonales de dicho polgono.

a) 16 b) 100 c) 104 d) 150 e) 130

9. SetieneunpolgonoregularABCDEF...,de"n"lados donde mACD% =135. Hallar el nmero total de diagonales

a) 30 b) 45 c) 54 d) 84 e) 104

10. El lado de un polgono equiltero mide 6 cm y el nmero que expresa su cantidad total de diagonales equivale al permetro del polgono. Cuntos lados tiene el polgono?

a) 10 b) 12 c) 15 d) 18 e) 20

11. Al disminuir en 2 el nmero de lados de unpolgono convexo, se obtendr otro polgono con 15 diagonales menos. Hallar el nmero de lados original.

a) 10 b) 12 c) 15 d) 18 e) 20

12. EnunpolgonoregularABCDEF...de"n"lados,las diagonales AD y BF se intersecan en el punto "P".Hallar"n"sielnguloAPBmide27.

a) 18 b) 20 c) 12 d) 15 e) 16

13. La diferencia de los ngulos exteriores de dos polgonos regulares es 9. Si uno de ellos tiene dos lados ms que el otro, hallar el nmero de lados del polgono que tiene menor ngulo exterior.

a) 8 b) 6 c) 10 d) 12 e) 15

14. Si la diferencia entre los ngulos exteriores de dos polgonos regulares es 18. Cul es la diferencia entre las medidas de sus ngulos centrales?

a) 12 b) 15 c) 18 d) 20 e) 36

Geometra

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Geometra

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15. En un polgono convexo, el nmero de diagonales es igual a cuatro veces el nmero de vrtices. Hallar el nmero de lados.

a) 13 b) 12 c) 10 d) 11 e) 9

16. En cierto polgono de "n" lados, desde (n-7) vrticesconsecutivossetrazan(7n+4)diagonales.Hallar "n".

a) 24 b) 23 c) 21 d) 19 e) 17

17. Deunodelosvrticesdeunpolgonoconvexosepuedentrazar(a+3)diagonales.Acuntosngulos rectos equivale la suma de los ngulos internos de dicho polgono?

a) 2(a+3) b) 3(a-3) c) a+3 d) 2(a+4) e)

23 (a+5)

18. Si se disminuye en dos el nmero de lados de un polgono, el nmero de diagonales disminuye en 19. Hallar el nmero de diagonales media, trazadasdesdeunpuntomediodeunladodedicho polgono.

a) 11 b) 13 c) 15 d) 16 e) 18

19. En cierto polgono de "n" lados, desde (n-7) vrticesconsecutivossetrazan"2n"diagonales.Hallar el mximo nmero de diagonales media de dicho polgono.

a) 55 b) 50 c) 48 d) 45 e) 42

20. La diferencia de las medidas de los ngulos internos de dos polgonos regulares es 6. Si la diferencia de sus lados es 16, hallar el nmero de lados de uno de ellos.

a) 15 b) 24 c) 30 d) 18 e) 36

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Problemas resueltos

1. Segnelgrfico,ABCDesunparalelogramo.SiCM=MD,calcule"".

40

A

B C

D

M

Resolucin:

40

40

A

B C

D

M

2

a

a

a

a F

S

Se prolonga BM BMCMDF mBMFD=. SDF:issceles \ =50

2. En un trapecio rectngulo ABCD, recto en"C" y "D", se ubica el punto medio "M" deAC y el punto "T" en la prolongacin deCB. Tal que mBTBA=80y3(BC)=2(AD).CalculemBABM.

Resolucin:

a

a80 80

x80

2m

3mA

B C

D

m mE

M

H T

Piden "x": AH = EC Tal que: EH=HB=m EAC:BM es la base media EA // BM, mBMBC=80 \ x=20.

3. En el grfico,ABCDes un rectngulo.CalculeDC si la distancia de "F" a BCes4yAE=20.

A

B C

D

F

E

Resolucin:

A

B C

D

2E

FS

44

x 20

20

20

N

Piden: "x" PorelT.bisectriz:SF=FE AS=AE=20 FN=SB=4 x+4=20 \ x=16.

4. En un trapecio ABCD (BC // AD), se ubicael punto medio "M" de CD, tal que BM es perpendicular a AB, mBCBA=120,AB=8yBC=4.CalculeAD.

Resolucin:

A

B C

D

8

30

30

4

T

4

4

M

a

a

8

x

SetrazalabasemediaMT

BTM:(NOT30y60) TM=8

T. base media: 8= x2

4+

\ x=12.

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TRILCEColegios

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5. Enelgrfico,ABCDesuncuadrado,BCNMesunromboide,DM=2MB.Calcule"x".

xA

B C

D

NM

1. En un romboide ABCD, se traza BP y DQ perpendiculares a AC,talque:AB=PQymBABP=53.Calcule:mBACB.

a) 22 b) 16 c) 8 d)

237 e)

253

2. Enelgrfico,ABCDesunrectngulo.AR=10, CD=8. Calcule : PQ.

A

B C

D

P

QR

2

a) 1 b) 2 c) 2,5 d) 3 e) 4

3. Enelgrfico,ABCDesunrombo."O":centro,BM=MOyCH=12u.Calcule:AM.

A

B C

DE

M

H

45

O

a) 9 2 b) 8 2 c) 9 d) 5 2 e) 4

4. Enelgrfico,ABCDesunrectngulo.Adems:PD=6cm,AL=3cm.Calcule:LC.

A

B C

D

LP

a) 7 cm b) 8 c) 10 d) 9 e) 11

5. SetieneunromboABCD.Setrazalamediatrizde BC que intersecta a ACen"G",seprolongaDG que intersecta a BC en "F", tal que: mBCFG=2(mBACD).Calcule:mBFAG.

a) 16 b) 18 c) 36 d) 72 e) 24

6. SeaABCDuntrapezoide,talque:ACesbisectrizdelnguloBAD.SeaDF una perpendicular de AC, tal que: mBFBC=4mBDCFy mBABC=90.CalculelamBFCD.

a) 15 b) 18 c) 20 d) 24 e) 32

7. Enelgrfico,ABCDesunromboide.Calcule:"x".

A

B C

D

O

90+x

x

53/2

a) 10 b) 12 c) 15 d) 1815' e) 20


Resolucin:

n

2n

3n

xA

B C

D

NM

37/2

n

SetrazaBD=AC=3n

BD // CN: mBACN=90

ACN(NOT237 y

2143 )

\ x= 2

53 .

Geometra

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8. En el grfico, BCEF rombo("O" centro delrombo).AO=CH.Calcule"x".Si:CD=BC.

A

B C

DF E H

O

10

x

a) 30 b) 40 c) 50 d) 60 e) 70

9. EnelcuadrilteroABCD;FB, CD y ED miden 18; 24 y 16 unidades, respectivamente. Si: FM=MEyBN=NC.CalculeMN.

A

B

C

DE

F

M

N

37 53

a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 20

10. En el grfico, calcular "",si:BC=AD.

A C

B

D

2

2

3

a) 10 b) 12 c) 15 d) 18 e) 20

11. En un trapecio ABCD (BC // AD), mBA=28,mBD=76yAB=32u.Calcule la longituddelsegmento que une los puntos medios de AC y BD.

a) 32 b) 24 c) 18 d) 16 e) 12

12. En un paralelogramo ABCD, las mediatricesde AB y BC se cortan en "P", un punto que pertenece a AD, si: mBD=112. AB

Geometra

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Tarea domiciliaria

1. EneltrapezoideABCD,secumpleque: mBA-mBB=11; mBA-mBC=13, mBA-mBD=16.Cuntomideelngulo"A"?

a) 80 b) 90 c) 120 d) 100 e) 115

2. Calcule PQ, si: BC // CD, AB=7u, BC=8u,CD=11yAD=20.

A

B C

DM N

P Q

a) 6 b) 4 c) 5 d) 3 e) 7

3. EnuntrapezoideABCD:mBB=120, mBC=100. Calcule la medida del ngulo que formanlasbisectricesinterioresde"A"y"D".

a) 100 b) 120 c) 115 d) 110 e) 105

4. Dado el cuadriltero ABCD, tal que lasdiagonalesAC=myBD=n.Luegosetomanlospuntos medios "P", "Q", "R" y "S" de los lados AB, BC, CDyAD,respectivamente.Luego,elpermetro de PQRS, es:

a) 2(m+n) b) 23 (m+n) c) m+n

d) m n2+ e)

32 (m+n)

5. Se tiene un cuadrado ABCD cuyo lado mide24. "F" es punto medio de BC, los segmentos DF y ACsecortanen"G".CalculeOG("O"escentro del cuadrado).

a) 2 b) 2 2 c) 4 2 d) 6 2 e) 8 2

6. Eneltrapecioisscelesdondeunodelosngulosmide 45 y uno de los lados no paralelos mide 6, calcule el segmento que une los puntos medios de las diagonales.

a) 6 b) 3 c) 3 2 d) 6 2 e) 4

7. El permetro de un rombo es 24 y uno de los ngulos interiores mide 120. Calcular la distancia que hay entre dos lados opuestos.

a) 2 3 b) 3 3 c) 2 6 d) 6 e) 3 2

8. En un romboide ABCD, la base AD mide el doble de la altura BH. mBBDA=30.Calculela mBBCD.

a) 45 b) 95 c) 60 d) 85 e) 75

9. EneltrapezoideABCD:AC = BD;AC=16 y BD=12. Calcule "x".

A

B

C

D

x

a) 7 b) 10 c) 14 d) 13 e) 20

10. EnuntrapecioisscelesABCDdebasesAD y BC, calcule: mBABC.Si:2(AB)=2(BC)=AD.

a) 100 b) 90 c) 110 d) 120 e) 135

11. HallarelpermetrodelromboideABCD,dondelas bisectrices interiores de "B" y "C" se cortan enunpuntodeADyadems:AB=3,5.

a) 31,5 b) 24,5 c) 17,5 d) 28 e) 21

12. ABCDesunparalelogramo.Calcule:(ABEF )-1

A

B C

DH

F

E2

a) 31 b)

91 c)

21

d) 32 e) 1

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13. Sea ABCD un trapecio (BC // AD) en el cual secumpleque:AD=36+BCy mBB+mBC=270. Calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de las bases.

a) 14 b) 17 c) 15 d) 18 e) 20

14. ABCDesuncuadradoyARDesun tringuloequiltero interior al cuadrado. Calcule la mBRCB.

a) 15 b) 20 c) 30 d) 18 e) 10

15. Se tiene un trapecio issceles ABCD, dondeBCyADsonlasbases.SiACeseldobledelamediana, calcule el menor ngulo formado por ACyBD.

a) 15 b) 30 c) 37 d) 45 e) 60

16. Enelgrficomostrado,ABCDesuncuadrado.CH=3 y PH=4. CalculeAH.

A

B

C

D

H

P

a) 7 b) 9 c) 11 d) 13 e) 14

17. Si los ngulos adyacentes de la base mayor de un trapecio son complementarios. Dichasbases miden 4 y 10. Calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de la base.

a) 2 b) 3 c) 2,5 d) 4,5 e) 4

18. Se tiene un rombo ABCD y se construyeexteriormente el cuadrado CDEF. Calcule la mBAEC,simBBAD=42.

a) 67 b) 58 c) 62 d) 47 e) 69

19. Calcule"x",si:AD=DCyeltringuloAEDesequiltero.

A

B

C

D

E

3723

x

a) 35 b) 45 c) 30 d) 60 e) 75

20. DadoelcuadradoABCD,seubicaenelpunto"F", en diagonal AC, de manera que mBAFB=10mBCDF,calculemBCDF.

a) 22,5 b) 15 c) 10 d) 9 e) 5

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Problemas para clase1. En el grfico: AB BC AC y a+b=140.

Calcule la mBFCB.

A

B

CF

b

a

a) 10 b) 15 c) 20 d) 30 e) 40

2. En el grfico mostrado, calcule x +y.

2

20 2

y

x

a) 240 b) 260 c) 270 d) 320 e) 340

3. EnuntringuloABC,mBA=253 y mBB=45.

Calcule"AB",siBC+AC=8( 2 + 5 )

a) 16( 2 + 5 ) b) 24 c) 4(2+ 5 ) d) 4( 2 +5) e) 16

4. En la figura, AB=BC. CalculeQC, si AQ=8,PC=2.

Q

A

BC

P

a) 6 b) 5 c) 3 d) 4 e) 7

5. Enlafigura,calcule"x",si:MC=2AB.

A

B

C

M

x

2x

a) 22,5 b) 30 c) 15 d) 12 e) 9

6. EnuntringuloABC,sobreAC y BC se ubican los puntos"D"y"E",respectivamente.SiAB=DC,mBBAC=mBBDE=32,mBDBE=74,calculela mBABD.

a) 32 b) 36 c) 40 d) 42 e) 48

7. Enun tringuloABCse traza lamedianaBM.AB=50, BC=28 y BM=25. Calcular la mBABM.

a) 16 b) 37/2 c) 53/2 d) 30 e) 32

8. EnuntringuloABC,sobreAB y BC se ubican los puntos "M" y "N", respectivamente, talqueBM=NC, lasmediatricesdeMN y BC se intersecan en "P". Si mBABC=56,calcularlamBPCB.

a) 56 b) 42 c) 40 d) 30 e) 28

9. Calcule el nmero de lados de un polgono cuyo nmero de diagonales excede al nmero de vrtices en 18.

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

Geometra

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10. Si a un polgono se le aumenta cuatro lados, entonces la suma de las medidas de sus ngulos se duplica. Calcule el nmero de vrtices del polgono.

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

11. Enun trapezoideABCD, lasbisectricesde losngulos ABC y BCD se intersectan en "P". Si mBBAD=mBCDA,CD-AB=3,BC=15ymBBPC=45, calcule la mBABC.

a) 120 b) 127 c) 135 d) 143 e) 150

12. Del grfico, ABCD y CPQR son cuadrados,calcular "x".

A

BC

D

R

Q

P

15

x

a) 1830' b) 2230' c) 2630' d) 30 e) 31

13. Delgrfico,calcularDP,siABCDyAPQRsoncuadrados.AB=4yBR=6.

A

B

C

D

P Q

R

a) 9 b) 8 c) 10 d) 15 e) 7,5

14. EnuntrapecioABCD(BC // AD) se cumple que 2CD=5ABymBD=23.CalcularmBABC.

a) 104 b) 143 c) 135 d) 127 e) 120

15. Enelgrfico,ABCDesuncuadrado,BQ=9 y DR=6. Calcular la medida de PS.

A

B C

D

P Q

R S

a) 12 b) 15 c) 13 d) 18 e) 16

Geometra

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Tarea domiciliaria

1. Calcule la medida del ngulo interno de un polgono equingulo de 35 diagonales.

a) 120 b) 135 c) 144 d) 160 e) 150

2. Calcule la suma de las medidas de los ngulos internos de un polgono de 44 diagonales .

a) 1260 b) 1080 c) 900 d) 1440 e) 1620

3. Enlasiguientegrfico,calculeAC,siMD=4yCM=ME.

A

B

C

M

DE

45

a) 8 b) 4 c) 6 d) 12 e) 18

4. En un tringulo equiltero ABC, se traza laceviana exterior BR, luego se ubica un punto "P" exterior y relativo al lado BC de tal manera que BP=8, AB // PC.CalculeBR,siAR=PC.

a) 16 b) 12 c) 6 d) 4 e) 8

5. Los lados de un tringulo miden (+2), (+3) y 8. Calcular el menor valor primo que puede tomar "" para que el tringulo exista.

a) 13 b) 7 c) 5 d) 11 e) 2

6. Enelsiguientegrfico,calcule"x",siAC=5yPQ=1.

A

B

C

Q

P

xx

a) 37/2 b) 45/2 c) 30 d) 15 e) 53/2

7. En el grfico mostrado, (BC // AD), BC=5 y AD=9. Calcular BH.

A

B C

D

H

2

3

a) 1 b) 2 c) 4 d) 3 e) 6

8. ExteriormenteauntringuloABC,seconstruyenloscuadradosABDE,ACFGyelparalelogramoAEHG. Adems, ED=6 y AH=10. Calcule BC.

a) 8 b) 9 c) 10 d) 12 e) 16

9. Enlafiguramostrada,siAM=MD, mBBCD=mBCAD y AC+3AB=64, calcularMN.

A

B

CD

M

N

a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 18

10. En el trapezoide donde las diagonales alcortarse forman un ngulo de 120 y una de las diagonales mide 8, calcule la suma de las diagonales del rombo que se forma al unir los puntos medios de los lados consecutivos del trapezoide.

a) 4( 3 +1) b) 8( 3 +1) c) 2( 3 +1) d) 6( 2 +1) e) 8( 6 +1)

11. SetieneuntrapecioABCD(BC//AD)dondemBA=40 y mBD=70. Hallar el segmentoque une los puntos medios de sus diagonales, siendoadems:AB=8.

a) 2 b) 4 c) 3 d) 6 e) 5

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12. En un hexgono equingulo ABCDEF, AF=a,CD=b,DE=c.CalculeAB.

a) a+b - c b) b+c - a c) a+c - c

d) a b c2

+ + e) 2a+b - c

13. EnunparalelogramoABCD,AB

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Problemas resueltos

1. En el grfico, mAB!=40 y mCD!=70. Calcule mPQ!.

b b

A

B

C

D

P Q

aa

Resolucin:

A

B

C

D

P Q

b b

aa

+35 +20S

x

70

40

2

Piden "x" Sea mBC!=2. jABCD: 2a+2b+2+55=360

a+b+= 2

305

BSC: a+b+=180

- = 2

55

= 2

55 +

B interior: = x2

2+

2

55 += x2

2+

\ x=55.

2. En el grfico mostrado, "T" es punto de tangencia.Calcule"x"enfuncinde"".

T

x

Resolucin:

T

x

2

B C2xA

360- (2+2x)

Piden "x"

B exterior : 90= ( )x2

360 2 2 2+ - -

180=360 - 2 - 2x - 2 2x=180 - 4 \ x=90 - 2.

3. ABCDesuncuadrado,calculeTFBF .

T

B C

A D

F

Resolucin:

T

B C

A D

F2

532

53

53

53

a a

2a

O

Geometra

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Piden: TFBF

VBAO VOCD:AO=OD

VBOA:NOT( 2

53 y 2

127 )

B central : mBC!=53 B exterior : mBBTC= 53

2

\ TFBF=

21 .

4. Si "T", "Q" y "R" son puntos de tangencia, calcule"x"enfuncinde"" y "".

Q x

TR

Resolucin:

Q x

TR

x -

180 - x

Prop: B exterior : mQR=180 - x

Prop: B exterior : m TR =180 -

mTQ =x -

B exterior : = ( )x x2180- - -

2=2x - - 180

\ x= 2

2 180+ + .

5. En la figura mFG=, Calcule:

.

B

C

M

L

G

F

E

Resolucin:

/2B

C

M

L

G

F

E

SetrazaME :BCME: inscrito

B inscrito: mBLGE=

BC // GL

mBCBL=mBFLG

2 =

\ =

21 .

Geometra

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1. Delgrficomostrado,calcule(b+a).

a

b

40

a) 100 b) 150 c) 160 d) 180 e) 200

2. En el grfico mostrado: mAB!+mBC!=280. Calcule: mPN!.

A

B

C

P

N

a) 40 b) 50 c) 60 d) 70 e) 80

3. En el grfico, "B", "C" y "D" son puntos detangencia y la mDEC!=70. Calcule la mBPAC.

A

B

C

DP

E

a) 28 b) 30 c) 32 d) 35 e) 78

4. En el grfico, "C" es un punto de tangencia. Calcule "x".

x

A B

C

a) 120 b) 60 c) 90 d) 80 e) 100

5. En el grfico mostrado, calcule: mAB!.

A

B

a) 22,5 b) 30 c) 60 d) 120 e) 90

6. Delgrficomostrado,calcule:"x". ("T" y "Q": puntos de tangencia). mBTAC=mBTBD.

A

B

C

D Q

T

x

a) 70 b) 36 c) 45 d) 60 e) 75

7. En una circunferencia de dimetro AB, se ubican los puntos "P" y "Q", tal que: mAP!=90 y AQ intersecta a PB en "M", luego en AB se ubica el punto "L", tal que: mBAQL=45yAM=2(LB).Calcule : mBPAM.

a) 19 b) 18 c) 14 d) 16 e) 15

8. Delgrfico,calcule:"x".

x

140 - a

120+a

a) 70 b) 80 c) 40 d) 50 e) 45


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9. Delgrfico,calcule:"x".

x20

a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 70

10. Enelgrficomostrado,"A","B"y"C"sonpuntosde tangencia. Calcule : x+y.

A B

C

x y40

a) 160 b) 150 c) 180 d) 140 e) 170

11. Enelgrficomostrado:AB=AP=r.Calcule:mAC!.("A":puntodetangencia).

A

BC

P

r

a) 10 b) 20 c) 30 d) 25 e) 35


x

a) 35 b) 45 c) 60 d) 53 e) 90

13. Si"A","B","C"y"D"sonpuntosdetangencia.mAB!=120 y mAE!=110. Calcule "x".

A

BCDE

x

a) 50 b) 40 c) 30 d) 25 e) 20

14. En el grfico, si: mBQ!+mQD!=100, calcular "x". ("A", "B", "Q" y "D" son puntos detangencia).

A

B

CD

QO

EP

x

a) 95 b) 100 c) 105 d) 110 e) 115

15. En el grfico, "T" es punto de tangencia. Calcule "x".

O

100

xT

10

a) 20 b) 10 c) 15 d) 40 e) 35

Geometra

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Tarea domiciliaria

1. Segn el grfico: mBC=60. Calcule el valor de "x"

A B

C

D

E 100

x

a) 60 b) 70 c) 80 d) 90 e) 100

2. Segn el grfico, calcule la mBN,si:ABCTesunparalelogramoyCT=CD.("T"espuntodetangencia).

A

B C

D

N

T

70

a) 70 b) 50 c) 60 d) 80 e) 65

3. Si: mAB=80, mCD=40 y mMN=50. Calcule el valor de "x".

x

A

B

C

D

M

N

a) 30 b) 35 c) 50 d) 55 e) 45

4. Calcule "x".

100

x

a) 110 b) 55 c) 70 d) 65 e) 80

5. En el grfico mostrado, calcule "",si:PA=ABy adems: 2(mBQ)=3m(QC).

A

B

C

P

Q

a) 15 b) 50 c) 40 d) 30 e) 25


A

B

C

2x

x

a) 15 b) 20 c) 2230' d) 30 e) 36

7. Se tiene una circunferencia en la cual se ubican los puntos consecutivos "A", "B", "C", "D","E" y "F", de manera que mBFAB=150 y mBBCD=90.CalculelamBFED.

a) 100 b) 125 c) 120 d) 130 e) 110

8. Calcule "".

2

3

a) 37 b) 58 c) 45 d) 30 e) 27

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9. Calcule el valor de "x", en funcin de "" y "".

x

a) 2

- b) - c) -

d) 2

- e) 2

+

10. En una semicircunferencia de dimetro AB y centro"O"seubicaelpunto"M",demodoque:mAM=m MB . Se traza el cuadrado MNLP. (NenAM ) y "L" en AO. Calcule la mBOMN.

a) 60 b) 75 c) 7130' d) 6330' e) 6730'

11. Calcular: mBABO.

20

A BC

D

O

a) 60 b) 50 c) 80 d) 70 e) 75

12. SiABCDesuntrapecioissceles (BC // AD). BC=CE, BE=CD,("E" y "D" sonpuntos de tangencia). Calcule la mBEBC.

A

B C

D

E

a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30

13. Delgrfico,calcule"x",siendo:"A","B"y"C"puntos de tangencia.

A

B

C

20

x40

a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 60

14. En el grfico mostrado, +=160. Calcule: mBBAC.

A

BC

a) 10 b) 20 c) 15 d) 25 e) 30

15. En el grfico mostrado, "T" y "B" son puntos de tangencia. Si: MTN=50, calcule: m TL .

L

T

B

N70

a) 100 b) 80 c) 120 d) 130 e) 150

16. En el grfico mostrado: + - (+)=30. Calcule "x".

x

a) 160 b) 165 c) 175 d) 145 e) 150

Geometra

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17. En el grfico mostrado, si: mBAEB+ mAB2

=90. Calcule "".

A BC

E

a) 60 b) 80 c) 75 d) 30 e) 82

18. Enelgrficomostrado,"H"y"G"sonpuntosdetangencia. Calcule m EF , si mAB=20.

A

B G

H

F

E

80

a) 60 b) 90 c) 100 d) 80 e) 30

19. SiOFEMesuncuadrado,calculemAE .A

EF

MO

a) 53 b) 37 c) 37/2 d) 53/2 e) 30

20. Segn el grfico, calcule la mPB, si "T" es punto de tangencia.

A B

M N

T P 70

a) 40 b) 80 c) 70 d) 60 e) 45

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Problemas resueltos

1. Delgrfico,calculelamMN,siendo"N","T"y"P" puntos de tangencia. TB=4 y R=5.

T

B

N

AM

S

P

R

Resolucin:

T

B

N

AM

S

P

R=5

5

5 5337

4

4O

I

xx

53O1

Piden "x" OT TA VOIP: NOT53y37 mBBPA=37 ON1 BA : x+53=90 \ x=37.

2. Segn la figura, calcule "x", si m PL =2x. ("T", "P"y"D"sonpuntosdetangencia).

x

D

T

P B

L

Resolucin:

2x

2x

x

xx

D

T

P B

L

r

r

O

Piden: "x" SetrazaDT, PO. VOTD VDPO mBTDO=mBODP=x x+2x=90 \ x =30.

3. En el grfico, calcule "x", si: a - b=65 (AT // NL).

a

b

A

T

L

N

x

Resolucin:

a

b

A2b

2b

b

T

L

N

x

a

a

R

T

SM

Piden: "x" jMRTS: inscrito AT // NL :mAN=m TL =2b B exterior: b+90=a+x 90=

65a - b +x

\ x=25.

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TRILCEColegios

Geometra

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4. Se tiene un rectnguloABCD. EnBC se ubica el punto "E" tal que el cuadriltero ABED seacircunscriptible a una circunferencia de radio "2" yalacircunferenciainscritaeneltringulo.ECDtiene la longitud de su radio igual a 1. Calcule mBEAD.

Resolucin:

A

B C

c

D

E ba

a+b

1

2

x

2

2

37

4 4

Piden: "x" T.PITHOT: 4+c=2a+b...(1)

T.PONCELET: c+2=b+4...(2)

restando (1) y (2) 2=2a - 4 a=3 V BAE(NOT53y37) \ x=53.

1. Se tiene un tringulo rectngulo en el cual la diferencia entre el semipermetro y la hipotenusa es igual a 12. Calcule la longitud del radio de la circunferencia inscrita en dicho tringulo.

a) 9 b) 10 c) 12 d) 15 e) 18

2. Enelgrfico,calculeBD,si:R=6 y r=4.

A

B

C

D

E

Rr

a) 8 b) 12 c) 10 d) 14 e) 9

3. Enelgrfico,AB=10,AD=18, y CP=20. Calcule: r1+r2+r3+r4.

A

B C

D

P

Q

r1

r2

r3r4

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

4. Unacircunferenciaestangenteatresladosdeun romboide cuyas alturas miden 8 y 10. Calcule la longitud de la cuerda determinada en la circunferencia por el cuarto lado.

a) 6 b) 12 c) 9 d) 10 e) 8


5. En el grfico "Q", "M", "L", "S" y "T" son puntos detangencia.AQLSesuntrapecio.Calcule:m LS .

A

Q

M

T S

L

Resolucin:

A

Q

M

T S

L

2

22

O

O1

x

Piden "x" OT AS, ON1 AS 2+=90 =30 B central: x=2 \ x=60.

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Geometra

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5. En el grfico, BE=DP y los permetros de lostringulos ABC y ADE miden 40 y 24, respectivamente. Calcule TC.

A

B

C

P

DE

T

F

a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 9

6. En el grfico, BO=4 2 , AH=4, HD=5, CD=7. Calcule BC.

A

B

C

DO

H

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

7. Los puntos indicados son de tangencia, siendo BP=6 y TM=2. Calcule "R".

A

B

C

D

E

K F T M

Q

P

R

N G

a) 4 b) 5 c) 2 3 d) 8 e) 3 3

8. El radio de una circunferencia y el permetro de un tringulo rectngulo circunscrito a dicha circunferencia miden 3 y 50 cm, respectivamente. Entonces, el radio de la circunferencia circunscrita al tringulo rectngulo mide:

a) 44 cm b) 22 c) 11

d) 12 e) 13

9. En el grfico, AC=2 y BC=6 2 . Calcule x+y.

A

B

C

O

x

y

a) ( 2 +1) b) (2 2 -1) c) (3 2 -1) d) 2 e) 3

10. En el grfico, calcule el radio de la circunferencia menor.

12

4

a) 0,5 b) 0,6 c) 0,8 d) 1 e) 1,2

11. Del grfico, calcule la altura del tringuloequilteroABC.

r

r

A

B

C

a) 4r b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

12. Enelgrfico,"O"escentrodelcuadradoABCD,BE // AFyR+r=8,calculeOG.

A

B

C

D

E

F G

R

rO

a) 4 b) 8 c) 16

Geometra

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Geometra

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Tarea domiciliaria

1. UnacuerdaEF de 16 de longitud, dista 6 del centro de la circunferencia. Calcule el dimetro de dicha circunferencia.

a) 5 b) 9 c) 10 d) 15 e) 20

2. GrafiquealtringuloABCyalacircunferenciaex-inscrita relativa a BC, que determina el puntodetangencia"Q"enlaprolongacindeAC.SielpermetrodelaregindeltringuloABC es de 42, calcule la longitud de la diagonal del cuadrado cuyo lado es AQ.

a) 24 2 b) 21 2 c) 21 d) 32 e) 40

3. Los lados mayores de un tringulo rectngulo miden 24 y 26. Calcule el dimetro de la circunferencia inscrita.

a) 4 b) 6 c) 7 d) 8 e) 10

4. En un tringulo rectngulo, calcule la longitud de su inradio, donde sus catetos miden 15 y 20.

a) 2 b) 4 c) 5 d) 8 e) 10

5. En un tringulo rectngulo ABC, los catetosAB y BC suman 34, la hipotenusa mide 26 y"O"eselcentrodelacircunferenciainscrita.CalculeBO.

a) 2 2 b) 3 5 c) 3 6 d) 4 2 e) 4 3

6. EnelgrficosemuestraalcuadrilteroABCD,donde BC=10 y AB=CD+AD. Calcule lasuma de los inradios de los tringulos ABC yADC.

A

B

C

D

a) 10 b) 20 c) 15u d) 5 e) 7,5

7. Por un punto "P" exterior a una semicircun-ferencia de dimetro ABsetrazanlastangentesPQ y PR, tal que PQ // AR. Si mBBAR=20,calcule la mBQPR.

a) 70 b) 80 c) 90 d) 100 e) 110

d) 4 2 e) 8 2

13. En un trapecio rectngulo ABCD, recto en "A"y"B",setrazaunasemicircunferenciadecentro"O"ydimetroAE en AD,estangenteen"N"y"M" a BC y CD, respectivamente. LO interseca a la semicircunferencia en "P"("L" en BN).SiLN=MD,LP=BL=1yAD=9,calculelamBLOD.

a) 127 b) 130 c) 135 d) 140 e) 14

14. En el grfico, AB+BC=10,AR+RS=16. ("L","P" y "Q" son puntos de tangencia). Calcule el inradiodeltringuloARS.

2 A

B

R

P

L

C Q S

a) 2 b) 3 c) 3,5 d) 1,5 e) 6

15. En el grfico, "I" es el incentro del tringulo ABC, BN=2AB, 3(HA)=4(RQ)=6(CT)=6(TR),"T","L","J","D","Q","M"y"N"sonpuntosde

tangencia. Calcule HCAH .

A

BJ

S

IL

M

N

D

O

H C T R Q

a) 1/4 b) 3/5 c) 4/7 d) 2/7 e) 3/4

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8. En una semicircunferencia de dimetro AB y centro "O" se ubican los puntos "D" y "C" (D AC).SetrazaCH OB (H OB). Calcule la mBDCH,siDB=2(CH)ymAD=40.

a) 70 b) 40 c) 75 d) 80 e) 60

9. InteriormenteauncuadradoABCDsetrazaunasemicircunferenciacondimetroADypor"B"setrazaunatangenteaella.Calculelamedidadel ngulo formado por dicha tangente con BM, siendo "M" punto medio de CD.

a) 8 b) 10 c) 1030' d) 730' e) 9

10. Delgrfico,"A","B","P"y"Q"sonpuntosdetangencia. Calcule "x".

A B

PQ3x

x

a) 30 b) 2230' c) 36 d) 45 e) N.A.

11. Delgrfico,mBPRQ=140. Calcule "x".

A B

CQ

P R

x

a) 40 b) 50 c) 70 d) 60 e) 35

12. Las circunferencias ex-inscritas a los catetos de un tringulo tienen radios que miden 6 y 8u. Calcule la longitud de la hipotenusa del tringulo.

a) 10 b) 12 c) 14 d) 18 e) 25

13. SetieneuncuadrilteroABCDcircunscritoaunacircunferencia, tal que: CD=5, mBA=37 ymBB=90. Si AD+BC=21. Calcule la medida del radio de la circunferencia.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

14. En el grfico, BL+BQ=10. Calcule: R+r.

A

B

C

L

Q

R

r

a) 6 b) 8 c) 10 d) 14 e) 12

15. Enun trapecio rectnguloABCD, rectoen"A"y"B", tomando como dimetro AB se construye una circunferencia que es tangente a CD en "M". CalculeCD,sielradiodelacircunferenciamide6yelpermetrodelaregindeltrapecioes38.

a) 8 b) 11 c) 13 d) 15 e) 19

16. Las circunferencias inscrita y ex-inscrita a un tringuloABCdeterminansobreelladoAClospuntos "P" y "Q", respectivamente. BC-AB=(5 3 - 6). Calcule PQ.

a) (10 3 - 2) b) 3 c) (5 3 - 6) d) 5 3 e) (5 3 - 3)

17. Si : p - a=5. Calcule "x" ("p" es semipermetro delaregindeltringuloABC).

A

B C

D

Ox

a

a) 2,5 b) 5 c) 7 d) 10 e) 8

18. Enelgrfico,"M","N","P"y"Q"sonpuntosdetangencia y ABCD es un cuadrado. Calcule lamBCPO.

A

CB

D

M

N O

P

Q

a) 37 b) 53 c) 30 d) 60 e) 45

Geometra

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19. En el grfico mostrado: AD=BC, AB=PC yAC=a.CalculeAP.

A

B

C

D

P

r

a) a+r b) 2(a+r) c) a - 2r d) a - 3r e) 2/3 (a+3r)

20. Si r1=3 y r2=5, calcule BC.

A

B C

D

Or1

r2

a) 6 b) 10 c) 4 d) 7 e) 8

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Problemas resueltos

1. Enelgrfico,"I"eselincentrodelABC,"I"espunto de tangencia. Calcule "x".

A O E

B

C

I

x

Resolucin:

/2

A

B

C

I

x

x

/2

/2

O E

Piden "x" PorpropiedadD:mBAIC=90+/2 Bsemi-inscrito m IE = AI:bisectriz: mBBAI=/2 \ x=90 - .

2. Enun tringulo rectnguloABC, rectoen"B",de incentro "I" y excentro "E" relativo a BC. Si:AI=IE,calculemBACB.

Resolucin:

x

K

K E

A

B

C

L

K

137/

2K

137/2

I45

135

45

Por propiedad del excentro: mBAEC=45Por propiedad del incentro: mBAIC=135

VALC:NOT y237

2143` j

mBLAC=237

\x=53.

3. EnuntringuloABC,dosdesusmedianassonperpendiculares y miden "a" y "b". Calcule la longitud de la tercera mediana.

Resolucin:

A

B

C

P

N

M

3x

32a

32x

32b

3x

3x

Ga/3

b/3

Piden:CD=x SeaAM=ayNM=b

Porprop.AG= a32

T. de Pitgoras: VAGB

x32 2` j = b3

2 2c m + a32 2` j

x34 2= b

34 2+ c

34 2

\ x= b c2 2+ .

Geometra

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4. En el grfico mostrado, "H" es el ortocentro y "O" el circuncentro del ABC, calcular: "", si: +=38.

A

B

C

HO

Resolucin:

A

B

C

HO

+

Por prop. del ortocentro y circuncentro mBHCA=mBOCB= mBBAH=mBHCB= + + = + += \ x=38.

1. Dar el valor de verdad de las siguientesproposiciones : Elcircuncentrodeuntringuloequidistade sus vrtices. Elortocentrodeuntringuloequidistade los lados de dicho tringulo. Eneltringuloequilteroelbaricentro,el ortocentro, el circuncentro y el incentro son el mismo punto.

a) VFF b) VFV c) FVF d) VVV e) FFV

2. EnuntringuloacutnguloABC, mBB - mBC=40.Siendo"I"elincentroy"O"el circuncentro de dicho tringulo, calcule la mBIAO.

a) 10 b) 15 c) 25 d) 30 e) 20

3. Dadoel tringuloABCescaleno,mBB=120, si su incentro es "I" y su excentro relativo a BC es "E". Calcule IE, si: IC=3.

a) 3 b) 6 c) 4,5 d) 2 3 e) 3 3

4. La suma de las medidas de dos ngulos exteriores de un tringulo es 270. Si el lado mayor mide 36, calcule la distancia del ortocentro al baricentro de dicho tringulo.

a) 15 b) 12 c) 9 d) 18 e) 6

5. Calcule : "x"

x

120

a) 22,5 b) 26,5 c) 30 d) 37 e) 40


5. Delgrfico,calcule:"x".BC=MC.

3x3x

2xx

M

A

B

C

Resolucin:

3x3x

M

B

xx

2xxA C

D

SetrazalabisectrizCD BisectrizdelBBCM. BDC MDC:mBBDC=mBCDM M:incentrodelADC B=60 6x+2+2x=180 8x=60

\x= 2

15 .

Geometra

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6. DadountringulorectnguloABC,setrazalaaltura BH, siendo "I1" e "I2" los incentros de lostringulosABHyHBC.SetrazaBM I , I 1 2 . Calcule:

BHBM .(M I1I2)

a) 3 b) 32

c) 2

d) 22 e)

42

7. En un tringulo ABC, con dimetro AC, setraza una semicircunferencia que contiene albaricentro"G"delareginABC. Si:AG=2 5 y mAG=53, Calcule BC.

a) 5 17 b) 2 85 c) 4 34 d) 2 34 e) 34

8. EnuntringulorectnguloABC(rectoen"B"),deincentro "I" y circuncentro "M", la mBAIM=90.Calcule la mBAIB.

a) 90 b) 115 c) 120 d) 112,5 e) 108,5

9. Grafique al tringulo ABC de incentro "I". EnAC se marca "E" y con dimetro ECsetrazalasemicircunferencia tangente en "I" a AI. Calcule la mBBAI,sabiendoqueelBABCmide70.

a) 40 b) 20 c) 30 d) 70 e) 25

10. Grafique al cuadriltero convexo ABCD, demodo que: mBABD=70,mBDBC=55, mBADB=mBBDC=60. Calcule la medidadel menor ngulo que forman las diagonales del cuadrilteroABC.

a) 85 b) 95 c) 25 d) 75 e) 90

11. Calcule "", si: "I" es incentro y "H" es ortocentro deltringuloABC.

A

B

C

H

I

a) 10 b) 15 c) 18 d) 24 e) 32

12. En un tringulo acutngulo ABC; mBB=20, "O" es el circuncentro, las mediatrices deOA y OC intersecan a AB y BC en "F" y "L",

respectivamente. Calcule : mBFOL.

a) 20 b) 30 c) 40 d) 60 e) 80

13. EnuncuadrilteroABCD; mBBAC=mBCAD=8,mBBCA=13, mBACD=69. Calcule la medida del mayorngulo formado por las diagonales.

a) 150 b) 145 c) 146 d) 148 e) 158

14. Del grfico, "O" es circuncentro del tringuloAPCyOB=CB.Calcule"x".

A

B

C

O

10

20

x x

P

a) 10 b) 12 c) 15 d) 9 e) 8

15. Enelgrfico,"I"y"O"sonincentroyortocentrodel tringulo ABC, respectivamente. Calcule"x".

A

B

C

I

Ox

a) 30 b) 36 c) 37 d) 45 e) 53

16. Del grfco, "I1" e "I2" son los incentros de los tringulosABHyHBC.Calcule:"x", si: mBA=50.

A

B

CH

x

I1I2

a) 75 b) 80 c) 85 d) 90 e) 60

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Tarea domiciliaria

1. Dado un tringulo, cuntos puntos existenen el plano que equidisten de las rectas que contienen a sus lados?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) Infinitos

2. En un tringulo ABC de baricentro "G",siendo:BG=AC.CalculelamBAGC.

a) 90 b) 45 c) 60 d) 75 e) 120

3. Calcule la distancia del baricentro al ortocentro de un tringulo rectngulo cuya hipotenusa mide 12.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8

4. En un tringulo acutngulo ABC, se traza laceviana interior BP, siendo "K" circuncentro del tringuloABPy"O"circuncentrodeltringuloPBC. Calcule la mBKPO,siendoadems:mBABC=70.

a) 40 b) 50 c) 60 d) 70 e) 110

5. En un tringulo ABC de circuncentro "K" yexcentro relativo a BC "E". Calcule la mBA,siendo: mBBKC=2(mBBEC).

a) 30 b) 60 c) 45 d) 90 e) 75

6. En el grfico, "G" es baricentro del tringuloABC,si:DC=4.Calcule:AM.

A

B

C

D

G

R

M

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

7. EnunparalelogramoABCD,lamedianaAM del tringuloABC,intersectaen"F"aBD. Si: BD=12. Calcule BF.

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

8. Se tiene un cuadrado ABCD, en BD y en la prolongacindeDA se ubican los puntos "E" y "F",respectivamente,demodoqueBEFGseaunrectngulo y AB EF={P}. Si: mBBGE=20,calcule la mBPDA.

a) 100 b) 25 c) 20 d) 30 e) 10


A

B

C

1010 x20

20

a) 10 b) 15 c) 20 d) 30 e) 25


A

B

C

D

66

x

6856

48

a) 44 b) 84 c) 72 d) 80 e) 78

11. Segn el grfico, calcule el valor de "". "E" es excentrodeltringuloABC.

A

B

C

E

O

a) 18 b) 15 c) 30 d) 45 e) 60

Quinto UNI56

TRILCEColegios

12. EnunromboideABCD,seubicaelpunto"E"enAD,"C"eselexcentrodeltringuloABDymBBEA=80.CalculelamBABE.

a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60

13. EnuncuadrilteroABCD,calculelamBADB,si:mBBAC=40, mBBCA=24, mBDBC=52,mBBDC=80.

a) 40 b) 50 c) 60 d) 25 e) 30

14. En un tringulo ABC de circuncentro "O" setraza la ceviana interior BL, de modo que: BC=LC, mBABL=20 y"O" BL. Calcule la mBLBC.

a) 20 b) 45 c) 55 d) 60 e) 65

15. En el grfico, "C", "D" y "E" son puntos detangencia. Qu punto notable es "P" para el tringuloABO?

A

B

C

DF

EP

O

a) Baricentro b) Incentro c) Ortocentro d) Circuncentro e) Unpuntocualquiera

16. EnuntringuloABC,lamBABC=53,setrazanlas alturas AD y CF. Si el circunradio de dicho tringuloes25cm,calculeDF.

a) 16 cm b) 18 c) 24 d) 20 e) 15

17. SetieneuntringuloABC,endonde"H"eselortocentro,"O"elcircuncentro;si: mBAHC=2(mAOC).CalculelamBABC.

a) 36 b) 40 c) 50 d) 45 e) 39

18. Sobre los lados AB, BC y AC de un tringulo acutngulo ABC, se construyen exteriormentelos cuadrados con centros "M", "N" y "P",respectivamente; BP y CMseintersectanen"O".Qu punto notable es "O" para el tringuloMNP?

a) Circuncentro b) Incentro c) Baricentro d) Ortocentroe) N.A.

19. EnuntringulorectnguloABCrectoen"B",lamBBAC=53yAC=10. Calcule el exradio relativoalahipotenusadeltringuloABC.

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

20. Calcule "x", si: "H"y "O" sonelortocentroycircuncentrodelABC.

20

A

B

Cx

H O

a) 70 b) 60 c) 50 d) 80 e) 40

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Central: 619-8100

Problemas resueltos

1. EnuntringuloABC,acutngulo,deortocentro"O", la rectadeEulercortaenelpunto"F"alAC. Calcule: mBFDC, siAF=2FC=2OB ("D"es circuncentro).

Resolucin:

A

B

C45 37/2x

2k

3k KE F4k 2k

K

O

D

Poreldato: AF=4k FC=2k OB=2k Por propiedad del ortocentro ycircuncentroDE=k AE=EC=3k

x+ 2

37 =45

\ x= 2

53 .

2. EnuntringuloABC,larectadeEuleresparalelaa AC mBBAC=, mBACB=. Calcule: tg . tg

Resolucin:

a a

A

B

C

O

2a

H

m+n m n

Q

VABQ:tg=m na

23+

VBQC: tg=na3

tg tg=3 m n na

23 2+^ h; E (1)

VBQC: VAQH

an =

m na

23+

(2m+n)=3a2

N m n

a23 2+^ h =1 (2)

De(1)y(2)

\tg tg=3.

3. EnuntringuloABC,lamBABC=x.Silarectade Euler corta a los lados AB y BC en "F" y "G", respectivamente, y el cuadriltero AHOCes inscriptible, calcule x (H: ortocentro y O:circuncentro).

Resolucin:

HO

F

G

A

B

C

x

Piden: x SeaH:ortocentroyO:circuncentro : AHOC:inscriptible mBAHC=mBAOC por propiedad mBAMC=180-x mBAOC=2x 180 - x=2x \ x=60.

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1. EnuntringuloABC,decircuncentro"O",qupuntonotablees"O"desutringulomediano?

a) Baricentro b) Excentro c) Incentro d) Ortocentroe) Circuncentro

2. D el valor de verdad de las siguientesproposiciones:

Entodotringulosedeterminasutringulo pedal.

Eneltringuloacutngulo,elincentroesel ortocentro de su tringulo pedal.

SilarectadeEulerpasaporunvrticedel tringulo, dicho tringulo debe tener por lo menos dos lados de igual longitud.

a) VVF b) FFF c) FVF d) FVV e) VFF

3. EnuntringuloABC,mBABC=120(AB

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7. En el grfico: "H" es el ortocentro del tringulo

ABC,"O"eselcircuncentroyOBHB=

56 . Calcule

lasumadelosngulosHCOyOBC.

A

B

C

H

O

a) 30 b) 37 c) 45 d) 53 e) 60

8. SeaABCun tringulo acutngulo de ortocentro"H" y circuncentro "O". SiOB=HB, calcule lamBABC.

a) 30 b) 45 c) 53 d) 60 e) 75

9. Dado el tringulo acutngulo ABC, el BAmide 80 y sea E1E2E3 su respectivo tringulo excentral (E1 relativo a AB y E2 relativo a BC). Calcule la suma de los ngulos E2E1E3 y E1E3E2.

a) 50 b) 60 c) 100 d) 120 e) 130

10. EnuntringuloABC,setrazanlasalturasAM, BH y CN;desde"M"setrazanlasperpendicularesMP y MQ a los lados AB y AC, respectivamente. Si PQ = 12, calcule el permetro del tringulo rticoMHN.

a) 8 b) 12 c) 16 d) 20 e) 24

11. Qu punto notable es el vrtice de un ngulo obtuso de un tringulo obtusngulo para su respectivo tringulo pedal?

a) Baricentro b) Circuncentro c) Incentro d) Ortocentroe) PuntodeGergonne

12. SetieneeltringuloABC,deortocentro"H"ycircuncentro"O".Seubica"M"y"N"enAC tal queMHONesuncuadrado.Calcule

ACBH .

a) 1/3 b) 1/4 c) 2/3 d) 1/2 e) 4/5

13. Se tiene un tringulo ABC, inscrito en unacircunferencia de centro "O". Se traza eldimetro AD, si "H" es el ortocentro del tringulo. Calcule la distancia de "O" al ladoAB, sabiendo que el permetro del cuadriltero HBDCes30y ladistanciade"O"al ladoACes 4.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 3,5 e) 7,5

14. EnuntringuloacutnguloABCdeortocentro"H", la recta de Euler interseca a los lados AB y BC en los puntos "P" y "Q", respectivamente, tal que: PB=BQ. Calcule la distancia de "P" a BC. Si:AH+HC=18.

a) 9 b) 10 c) 6 d) 4,5 e) 3

15. Dadoel tringuloacutnguloABC,se traza laaltura BH, y las perpendiculares HP y HQ a los lados AB y BC, respectivamente. Demuestrequeelsemipermetrodeltringulorticopedales igual a la longitud del segmento PQ.

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Tarea domiciliaria

1. En un tringulo ABC de circuncentro "O" yortocentro"H",AC=24yOB=13. Calcule BH.

a) 5 b) 7 c) 8 d) 10 e) 12

2. En un cuadriltero ABCD inscrito a unacircunferencia; los puntos "F" y "G" sonortocentros de los tringulos ABD y ACD.CalculeFG,siBC=4.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

3. En un tringulo acutngulo ABC: AC=4(BH).Calcule la mBABC, si "H" es ortocentro deltringuloABC.

a) 45 b) 60 c) 6330' d) 76 e) 75

4. EnuntringuloacutnguloABCdeortocentro"H", se cumple que: BH=10 y AC=24. Calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de BH y AC.

a) 12,5 b) 13 c) 12 d) 15 e) 14

5. EnuntringuloacutnguloABCdeortocentro"H" y circuncentro "K", calcule la mBABC,siendo: BH=BK.

a) 30 b) 37 c) 83 d) 60 e) 72

6. Analicelassiguientesproposiciones: Elortocentro,baricentroycircuncentro,en ese orden, pertenecen a la recta de Euler.

Enuntringuloobtusngulo,elortocentrose encuentra en el vrtice del ngulo obtuso.

Enuntringulo,elortocentropuedecoincidir con uno de los excentros de su tringulo pedal.

a) FVF b) FFF c) VFV d) FFV e) VFF

7. En un tringulo ABC, mBABC=60. Calculela medida del menor ngulo determinado por BC y la recta que contiene al ortocentro y al circuncentro de dicho tringulo.

a) 25 b) 45 c) 55 d) 60 e) 30

8. EnuntringuloacutnguloABCdeortocentro"H" y circuncentro "O", la recta de Eulerintersecta a AC en "F", de modo que: AF=2(FC)=2(HB).CalculelamBHOC.

a) 118 b) 130 c) 11830' d) 12630' e) 15330'

9. Analicelassiguientesproposiciones: Elcircuncentrodeuntringulocoincidecon el ortocentro de su tringulo mediano. Elortocentrodeuntringulocoincide siempreconelincentrodesutringulortico.Elvrticedeuntringulopuedecoincidir con el incentro de su tringulo pedal.

a) VFV b) VVV c) FFV d) FVV e) VFF

10. EnuntringuloacutnguloABC,ladistanciadelortocentro H a B es 4, la distancia del punto medio de HO a AC es 5("O"eselcircuncentrodeltringuloABC);endichotringulosetrazala altura AM, si mBBHM=37,calculeAC.

a) 18 b) 20 c) 19 d) 21 e) 22

11. Delgrfico,ca

geometría uni 5º

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