COLEGIO AUGUSTO WALTE *** GEOMETRA ANALTICA II AO

COLEGIO AUGUSTO WALTE *** GEOMETRA ANALTICA II AO

TEMA: APLICACIONES DE LA RECTA EN ECONOMA Y ADMINISTRACIN.

MODELOS MATEMTICOS.De acuerdo a conveniencias matemticas o gustos particulares, pero la necesidad de cuantificar situaciones prcticas motivan la construccin de funciones que las expliquen, a estas funciones las denominamos modelos matemticos.

EJEMPLOS:1. Expresar el rea de un tringulo equiltero en funcin de su lado x.2. Un cilindro de 40 centmetros de altura, est inscrito en una esfera de radio x. Determine el volumen del cilindro, en funcin del radio de la esfera. 3. El valor futuro de un capital de $5,000.000 colocados a un inters compuesto del 3% mensual depende, de nmero de meses que est colocado. Si x representa el nmero de meses MODELOS LINEALES.

Ingresos, costos y utilidades.

Para ingresos: R(x)= mx, donde R es la funcin ingreso y x representa el nmero de unidades vendidas y m representa el ingreso por unidad o precio de venta. Para costos: Costo total= costos variables + costos fijos: C(x) = mx + b , donde C es la funcin de costo total y x representa el nmero de unidades producidas, m representa el costo por unidad, mx, representa los costos variables, y b, los costos fijos.(COSTOS FIJOS: son lo que generalmente permanecen constantes a todos los niveles de produccin y comnmente incluyen renglones, tales como: costos de instalacin, alquiler del local, costo de equipamiento, etc.

COSTOS VARIABLES: Son los que varan de acuerdo con las cantidades que se produzcan e incluyen renglones, tales como: mano de obra, materiales, publicidad, etc.)

Para utilidad: Utilidad = ingresos - costos totales: U(x)= mx + b, donde U es la funcin utilidad y x representa el nmero de unidades producidas y vendidas, m representa la utilidad por unidad vendida, y b, la prdida cuando no se venden unidades, este valor corresponde a los costos fijos.Si el costo total C(x) de produccin es mayor a los ingresos R(x), hay prdidas (al producir unidades); si los ingresos son mayores a los costos, hay ganancia.

Cuando los ingresos son iguales a los costos, es decir, R(x) = C(x), o equivalentemente U(x) = 0, el valor de x que cumple esta igualdad genera el punto (x,R(x)) que se denomina punto de equilibrio.

EJEMPLOS:1. El costo de procesar un kilo de caf es de $0.50 y los costos fijos diarios son de $300.

a. Hallar la ecuacin de costo.b. Hallar el costo de procesar 1000 kilos de caf en un da

c. Con un presupuesto de $2000 cuntos kilos se pueden procesar diariamente?

2. Si definimos la funcin de ingreso R, de costo C y de utilidad U, como R(x)= 250x, C(X)=150x + 200.000 y U(x)= R(x) C(x). Determinar:

a. Cuntas unidades se deben vender para obtener un ingreso de $2,000.000?

b. Cuntas unidades se producen con un capital de $1,850.000?

c. Cuntas unidades se deben producir y vender para obtener una utilidad de $500.000?

d. Halle el punto de equilibrio.

3. El costo de fabricar 10 artculos al da es de $350, mientras que fabricar 20 artculos del mismo tipo cuesta $600; suponiendo un modelo de costo lineal, determine la ecuacin para calcular el costo total diario.

4. Para un fabricante de relojes, el costo de mano de obra y materiales por reloj es de $15 y los costos fijos son de $2000 al da. Si vende cada reloj a $20. cuntos relojes debe producir y vender cada da para obtener ganancias?.

5. A una compaa le cuesta $75 producir 10 unidades diarias de cierto artculo y $120 producir 25 unidades diarias del mismo artculo.

a. Determine la ecuacin de costo, suponiendo que es lineal.b. Cul es el costo de producir 20 artculos al da?

DEPRECIACIN LINEAL.Cuando una empresa compra equipo o maquinaria registra el valor de tal equipo como un activo en su balance general. Al pasar los aos este valor decrece porque el equipo lentamente se desgasta o se hace obsoleto. Esta reduccin en el valor de un activo se conoce como DEPRECIACIN.

Uno de los mtodos ordinarios para calcular la depreciacin es reducir el valor del equipo (depreciarlo) una cantidad constante cada ao, de tal manera que el valor se reduzca a un valor cero o de salvamento al trmino de la vida til estimada para el equipo. Este mtodo de depreciacin se denomina DEPRECIACIN EN LNEA RECTA.

Para su clculo tenemos que si: Vo= V(o) es el valor inicial de equipo, n es la vida til en aos del equipo, V(x) es el valor del equipo en x aos, 0 x n, y

Es la depreciacin constante por ao, se tiene que:

V(x) = mx + Vo

El valor V(n) corresponde al valor del equipo cuando ha terminado su vida til, este se denomina valor de salvamento, si V(n) = 0, decimos que el equipo se deprecia totalmente.

EJEMPLOS.1. Una empresa compra maquinaria por $150.000, se espera que la vida til de la maquinaria sea de 12 aos con un valor de salvamento cero.

a. Determine la depreciacin por ao.

b. Halle V(x), valor de la maquinaria despus de x aos.

c. Defina una funcin para calcular el valor depreciado despus de x aos.

2. Una empresa compr maquinaria nueva por $15,000. Si se deprecia linealmente en $750 al ao, y si tiene un valor de salvamento de $2,250.

a. Cul es la vida til de la maquinaria?

b. Halle V(x) y el valor de la maquinaria despus de 6 aos de uso.

ECUACIONES LINEALES DE OFERTA Y DEMANDA.

Se acostumbra decir que el mercado se rige por las leyes de la oferta y la demanda. Se sabe que tanto la oferta como la demanda de un bien son funciones del precio de ste.Las curvas de la oferta y la demanda no son necesariamente rectas; sin embargo, para intervalos pequeos su tendencia es por lo general rectilnea.

En la prctica, las rectas de la oferta y la demanda slo se grafican en el primer cuadrante. Esto es as porque las cantidades ofertadas y demandadas, as como el precio de un producto, son positivos o cero.

Las rectas de demanda son las que tienen que ver con los consumidores.

ECUACIN DE DEMANDA.

De manera general, al aumentar el precio de un producto en el mercado disminuye su demanda; mientras que al disminuir el precio la demanda aumenta. Existe, por lo tanto, una relacin inversa entre el precio del producto y la cantidad demandada. En otras palabras, la recta de la demanda posee pendiente negativa (es decreciente).

Si se representa el precio por p y la cantidad demandada por q, entonces una recta de demanda tiene la forma siguiente:

ECUACIN DE OFERTA.Como respuesta a diversos precios, existe una cantidad de producto que los fabricantes ofrecen al mercado. Generalmente, al aumentar el precio de un artculo es mayor la cantidad de dichos artculos que los fabricantes ofrecen al mercado; mientras que al reducirse el precio tambin se reduce la cantidad en oferta.

De acuerdo con esto, la recta de oferta posee pendiente positiva (es creciente).

Si se representa el precio por p y la cantidad ofertada por q, entonces una recta de oferta tiene la forma siguiente:

PUNTO DE EQUILIBRIO DEL MERCADO.Si el precio de un artculo es demasiado alto, los consumidores no lo adquirirn, mientras que, si es demasiado bajo los proveedores no lo vendern. En un mercado competitivo, cuando el precio por unidad depende solo de la cantidad demandada y ofrecida, siempre existe una tendencia del recio a ajustarse por si mismo, de modo que la cantidad demandada por los consumidores iguale la cantidad ofertada por los proveedores. Se dice el punto de equilibrio del mercado ocurre en un precio cuando la cantidad demandada es igual a la cantidad ofrecida. Esto corresponde al punto de interseccin de las curvas de oferta y la demanda.

EJEMPLOS:1. Se demanda 20 afeitadoras al da, a un precio de $25 cada una y 30 afeitadoras a un precio de $20. Determine la ecuacin de demanda suponiendo que es lineal.2. Se demanda 200 unidades de cierto artculo a 430 por unidad y 250 unidades a $27 por unidad. La ecuacin de oferta para tal artculo es 6p = q + 48.a. Determine la ecuacin de demanda, suponindola lineal.b. Encuentre el precio y la cantidad de equilibrio.c. Determine el precio y la cantidad de equilibrio, si se ha fijado un impuesto de $3.4 sobre el artculo cul es el incremento en el precio y la disminucin en la cantidad demandada?3. Determine el precio de equilibrio y la cantidad de equilibrio de las leyes de la oferta y demanda.Demanda: p = 25 2q

Oferta: p = 3q + 5

4. Si las ecuaciones de demanda y oferta, son respectivamente: 3p + 5q = 22 y 2p 3q = 2. Determine los valores del punto de equilibrio del mercado.5. En los das en que el precio es de 100 dlares, una pizzera vende 40 pizzas familiares; mientras que los das jueves en que hay promocin y cada pizza familiar cuesta 60 dlares, entonces se venden 120. Si se da una relacin rectilnea entre el precio de venta y la cantidad demandada, encuentre la ecuacin de demanda.EJERCICIOS PROPUESTOS COMPLEMENTARIOS

12. Los costos totales diarios en miles de dlares de producir x sillas son Yc= 25x + 600.

a. Si cada silla se vende a $40, cul es el nuevo punto de equilibrio?

b. Si el precio de venta se incrementa a $55 por silla, cul es el nuevo punto de equilibrio?

c. Si se sabe que al menos 150 sillas pueden venderse al da, qu precio deber fijarse con el objeto de que no hayan prdidas ni ganancias?

13. Supongamos que la demanda por semana de un producto es de 100 unidades cuando el precio es de $58 por unidad y de 200 unidades si son a $51 cada una. Determine la ecuacin de demanda suponiendo que es lineal.14. Suponga que os clientes demandan 40 unidades de un producto cuando el precio es de $12 por unidad, y $25 unidades cuando el precio es $18. Encontrar la ecuacin de demanda, suponiendo que es lineal, y el precio por unidad cuando son requeridos 30 unidades.15. Suponga que un fabricante de zapatos colocar en el mercado 50 (miles de pares) cuando el precio es de $35 (por par) y 35 (miles de pares) cuando cuestas $30 (por par). Determine La ecuacin de oferta, suponiendo que el precio p y la cantidad q estn relacionados linealmente.16. La ecuaciones de oferta y demanda para el producto de un fabricante son respectivamente y . Encuentre el punto de equilibrio del mercado.17. Para instalar una fbrica de camas plegables de metal se necesitan $80,080 de inversin inicial. Adems para elaborar 90 armazones se necesitan $10,000 de hierro y $3,950 de resortes. La fbrica vende cada armazn en $480. paga $60 al obrero que lo elabora, gasta $30 en materiales y paga $15 de impuestos y transporte por cada una. Determine:

a. Las ecuaciones de ingresos y costos.

b. Encuentre el punto muerto.

c. Si se venden slo 100 camas, cunto se pierde?

d. Si se lograran vender 450 camas, cunto se gana?18. Si en una semana especfica el precio de un osito de peluche es de 30 dlares, entonces en una pequea industria artesanal se elaboran 10 para la venta; pero si el precio es de 60 dlares, entonces se elaboran 40. Si se da una relacin rectilnea entre el precio y la cantidad en oferta, construya la ecuacin de oferta.

19. Un ganadero manda diariamente, a una tienda 135 botellas de leche para la venta, cuando el precio de cada botella es de 10 dlares; pero en este caso solamente se logran vender 40 botellas. Sin embargo, si el precio fuera de 6 dlares la botella, entonces los requerimientos del vecindario seran de 136 botellas. En este caso, el ganadero solamente pone a disposicin, para la venta, 70 botellas y el resto lo dedica a la elaboracin de quesos. Encuentre la ecuacin de oferta, la ecuacin de demanda y tambin el punto de equilibrio.20. Los costos totales diarios en miles de dlares de producir x sillas son Yc= 25x + 600.

a. Si cada silla se vende a $40, cul es el nuevo punto de equilibrio?

b. Si el precio de venta se incrementa a $55 por silla, cul es el nuevo punto de equilibrio?

c. Si se sabe que al menos 150 sillas pueden venderse al da, qu precio deber fijarse con el objeto de que no hayan prdidas ni ganancias?

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