GEOMETRÍA EUCLIDIANA

ANTECEDENTES HISTÓRICOS.

Las matemáticas se han desarrollado a través de milenios y tienen su origen en la necesidad de los seres humanos de especificar cantidades y medir figuras. El énfasis exagerado que caracteriza a las

matemáticas como un medio para describir los problemas del mundo real descansa en la interacción entre lo concreto y lo abstracto. En la enseñanza de la geometría esta discriminación involucra sutilezas como el distinguir entre una figura concreta y formas abstractas que con frecuencia permanecen ocultas. Brevemente debo referirme a algunos de los principales desarrollos en la historia de la geometría e indicar los hitos importantes desde el punto de vista didáctico para la enseñanza de la geometría. Debo hacer algunas aclaraciones en geometría, las que en mi opinión siempre tendrán importancia y consecuentemente son relevantes para el currículo en geometría. Desde hace algún tiempo se ha establecido una fuerte presión en el sistema educativo, ésta consiste en la dificultad para introducir nuevos tópicos en el currículo sin quitar otros. Debo argumentar que hay muchos tópicos clásicos que tienen un lugar justificado e importante en el currículo. Espero, sin embargo, mostrar también cómo enriquecer el estudio de los tópicos tradicionales, señalando algunos aspectos novedosos. No hay duda de que las gráficas computarizadas pueden mejorar la enseñanza y el entendimiento de la mayoría de los tópicos geométricos; no se requiere introducir nuevos tópicos para hacer uso de estas nuevas herramientas.

1. Geometría EuclidianaGeometría se deriva de la palabra griega geometría (eletqia), que significa medida de la tierra. La palabra fue usada por el historiador griego Herodoto en el siglo V a.C. en su gran épica sobre las guerras persas en donde escribe que en el antiguo Egipto fue usada "geometría" para encontrar la distribución adecuada de la tierra después de los desbordamientos anuales del Nilo.La geometría como un marco de trabajo para la descripción y medida de las figuras fue desarrollada empíricamente en muchas culturas hace varios miles de años. La geometría como una ciencia que compila una colección de proposiciones abstractas acerca de formas ideales y pruebas de estas proposiciones, fue fundada alrededor de los 600 años a.C. en la cultura Griega por Thales, quién de acuerdo a la leyenda propuso varios teoremas en geometría. En el siglo VI a.C., la famosa escuela de los pitagóricos también debe ser mencionada con relación a esto. Desde aquel período temprano debemos, sin embargo, señalar en particular a Eudoxio (alrededor del 391- 338 a.C.), quien es conocido por una teoría de las proporciones y el llamado método de exhaustión, aportaciones que hicieron posible determinar áreas y volúmenes rigurosamente. En primer lugar la geometría clásica Griega ha sobrevivido a través de los famosos trece libros escritos por Euclides alrededor de 300 a.C. conocidos como los Elementos de Euclides. En estos libros el conocimiento matemático, en particular el geométrico, es resumido por los griegos en el tiempo de Euclides y fue sistematizado de tal manera que su exposición, desde entonces, puso un sello a los escritos matemáticos. La enseñanza de la geometría Euclidiana es importante desde los primeros grados del sistema educativo.

Más aún, por supuesto, incluso en los grados posteriores, el estilo de enseñanza no debiera estar restringido al estilo sugerido por Euclides en los Elementos. En muchos países han desaparecido del programa las construcciones con regla y compás, no obstante ser una manera muy buena de aprender a analizar una situación como el primer pasó en un proceso matemático. Hacer una construcción elaborada es tanto creativo como inventivo. Si se quieren producir pequeños programas en la computadora para dibujar figuras geométricas se requiere saber cómo construirlas. De hecho, lo más importante de estas

construcciones pudiera nuevamente resultar central el uso de la computadora como una herramienta para la enseñanza de la geometría elemental. Nociones tales como semejanza, congruencia y simetría son fundamentales para una gran cantidad de argumentos y aplicaciones matemáticas y debieran ser estudiados con cierto detalle. En niveles avanzados de estudio, tales nociones pertenecen a la geometría transformacional. Los lados concreto y abstracto de la geometría no debieran ser formalizados y teorizados pero debieran ser experimentados durante la enseñanza y debieran ser desarrollados gradualmente en los alumnos y estudiantes. Al final, debiera emerger la diferencia entre una figura concreta y una forma abstracta. Las pruebas son útiles cuando actúan como explicaciones o revelan hechos sorprendentes que no pueden ser establecidos sólo por la "experimentación". En mi opinión uno siempre debiera buscar pruebas que actuaran como explicaciones, pero me he percatado de que algunas veces esto puede ser difícil. También me he tomado cabal conciencia de que lo que es un hecho sorprendente para un niño puedo no serlo para otro. Pero aún así, pienso que hay algunos hechos que son sorprendentes casi para cualquiera.

MÉTODOS DE ESTUDIO.La geometría euclidiana (o geometría parabólica)1 es aquella que estudia las propiedades del plano y el espacio tridimensional. En ocasiones los matemáticos usan el término para englobar geometrías de dimensiones superiores con propiedades similares. Sin embargo, con frecuencia, geometría euclidiana es sinónimo de geometría plana y de geometría clásica. 

Desde un punto de vista historiográfico, la geometría euclidiana es aquella geometría que postuló Euclides, en su libro Los elementos, dejando al margen las aportaciones que se hicieron posteriormente Euclides planteó cinco postulados en su sistema:

Dados dos puntos se puede trazar una y solo una recta que los une. Cualquier segmento puede prolongarse de manera continua en cualquier sentido. Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio. Todos los ángulos rectos son congruentes.

Si una recta, al cortar a otras dos, forma ángulos internos menores a dos ángulos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos. 

Este último postulado, que es conocido como el postulado de las paralelas, fue reformulado como: 

5. Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela a la recta dada. 

CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA EUCLIDIANA

Cuerpo Físico: Son las cosas que nos rodean y tienen forma, color, peso, pureza, y ocupan un lugar en el espacio, como por ejemplo: las sillas, autos, edificios, etc.

Cuerpo Geométrico: Son aquellos de los cuales la geometría considera solamente su forma y dimensiones, por ejemplo: los conos, esferas, prismas, etc.; Los sólidos tienen tres dimensiones que son: largo, ancho y altura.

Superficie: Son los límites que separan a los cuerpos del espacio que los rodea y solamente tiene largo y ancho, por ejemplo: la sombra de un árbol, de un poste, la cara de un cuerpo geométrico, etc.

APLICACIÓN DE LA GEOMETRÍA EUCLIDIANA.

RECTAS PERPENDICULARES Y PARALELAS

TEOREMA:

Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y solamente una recta perpendicular a la recta dada.

TEOREMA

Por un punto dado de una recta puede pasar una y solamente una recta perpendicular a la recta dada.

TEOREMA

Un triángulo no puede tener dos ángulos rectos.

PARALELISMO

El paralelismo es una relación de equivalencia, o sea que cumple las propiedades:

1. Propiedad reflexiva: AB || AB

2. Propiedad simétrica: Si AB || CD entonces CD || AB

3. Propiedad transitiva: Si AB || CD y CD || EF, entonces: AB || EF

POSTULADO DE LAS PARALELAS

Se conoce como el quinto postulado de Euclides:

Por un punto exterior a una recta pasa una y solo una recta paralela a la recta dada.

TEOREMA

Si dos recta cortadas por una transversal forman ángulos alternos internos congruentes, entonces son paralelas.

TEOREMA

Si dos rectas son cortadas por una transversal y forman ángulos correspondientes congruentes, entonces son paralelas.

TEOREMA

Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos consecutivos interiores son suplementarios.

CRÉDITOS.

INTEGRANTES DEL EQUIPO:

LÓPEZ PRIETO CRISTIAN YAEL

OSORIO SÁNCHEZ SERGIO

PEREGRINA CRUZ RENÉ

TREJO LUGO JOSÉ PABLO

GRUPO:

2IM13

PROFESORA:

PAVANO RODRIGUEZ CLAUDIA GUADALUPE