geometría del plano realizado por mª jesús arruego bagüés

Geometría del plano

Realizado por Mª Jesús Arruego Bagüés

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Índice

Geometría del planoGeometría del plano

1.1. Conceptos básicos de GeometríaConceptos básicos de Geometría

2.2. LosLos polígonospolígonos

3.3. Proporcionalidad de segmentos y semejanzaProporcionalidad de segmentos y semejanza

4.4. El Teorema de PitágorasEl Teorema de Pitágoras

5.5. La circunferenciaLa circunferencia

6.6. Áreas de figuras planasÁreas de figuras planas

7.7. Movimientos en el plano. MosaicosMovimientos en el plano. Mosaicos

1.1. CONCEPTOS BÁSICOS DE CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍAGEOMETRÍA

1. Recordando los elementos básicos de

Geometría.

2. Segmentos rectilíneos

3. Ángulos: medida y clasificación

a) Clasificación de ángulos

b) Bisectriz de un ángulo

4. Paralelismo y perpendicularidad.

a) Trazado de paralelas y de perpendiculares

b) Mediatriz de un segmento

c) Proyección ortogonal

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Índice

1.1.Elementos básicos1.1.Elementos básicos

• El término Geometría viene del griego, y significa medida de tierras.

• Todos los cuerpos que nos rodean ocupan una posición en el espacio. Se llama extensión a la porción de espacio ocupado por un cuerpo, admitiendo ésta tres direcciones: la longitud, la anchura y la altura, cada una de las cuales se llama dimensión.

• Hay cuerpos que se reducen a una sola dimensión, como la línea, o otros a dos dimensiones, como la superficie. El punto es la mínima expresión de la extensión y, por tanto, no tiene ni longitud, ni anchura, ni altura; solamente nos indica una posición en el espacio.

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Índice

1.2. Segmentos rectilíneos1.2. Segmentos rectilíneos

• Un segmento rectilíneo AB es la parte de recta comprendida entre los puntos A y B.

A B• Sobre una recta, un solo punto A determina dos semirrectas.

A• Para medir un segmento es necesario adoptar una unidad patrón y

compararla con la longitud del segmento.

u• De las unidades utilizadas históricamente las más convencionales

responden a dos sistemas:

1. Sistema métrico Decimal : Mm, Km, Hm, Dm, m, dm, cm, mm,...

2. Sistema Anglosajón: Milla, yarda, pie, pulgada...

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Índice

Paralelismo y Paralelismo y perpendicularidadperpendicularidad

•Las vías de un tren nos sugieren la idea de rectas paralelas (dos rectas son paralelas cuando, por más que se prolonguen, nunca se encuentran).

•Los travesaños que las fijan al suelo, dan la idea de rectas perpendiculares ya que forma con ellas ángulos rectos.

•El cruce de vías nos muestra líneas oblícuas.

90º

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Índice

Ángulos

Ángulo recto

1 R=90º

Ángulo llano=180º

Ángulo completo=360º

• Ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que parten de un punto común llamado vértice.

ÁngulosÁngulos

NOTA: Las medidas anteriores y las siguientes están dadas en SISTEMA SEXAGESIMAL. Existen otros sistemas para medir ángulos como son el sistema centesimal y radianes

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Índice

Tipos de ángulosTipos de ángulos

Ángulo agudo

Menor que un recto

Ángulo obtuso

Mayor que un recto

Ángulo convexo

Menor que dos rectos

Ángulo cóncavo

Mayor que dos rectos

Ángulos complementarios

(Si suman 90º)

Ángulos suplementarios

(Si suman 180º)

experimentaexperimentaexperimentaexperimenta

9



Índice

Medida de ángulosMedida de ángulos

Los ángulos pueden medirse en tres sistemas:

Sistema sexagesimal

Sistema centesimal

Radianes

experimentaexperimenta

Ángulo completo

Ángulo llano

Ángulo recto

Un grado

Un minuto

SEXAGESIMAL 360º 180º 90º 60’ 60”

CENTESIMAL 400g 200g 100g 100m 100s

RADIANES 2 /2

10



Índice

Trazado de paralelas y Trazado de paralelas y perpendicularesperpendiculares

Rectas paralelas

Rectas perpendiculares

11



Índice

ÁNGULOS DE LADOS PARALELOSÁNGULOS DE LADOS PARALELOS

Dos ángulos de lados paralelos, o son iguales (si los dos agudos, o los

dos obtusos), o son suplementarios (si uno es

agudo y el otro es obtuso)

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Índice

ÁNGULOS DE LADOS PERPENDICULARESÁNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES

Dos ángulos de lados perpendiculares,

o son iguales (si los dos son agudos o los dos son obtusos),

o son suplementarios (si uno es agudo y el otro es obtuso)

13



Índice

SUMA DE LOS ÁNGULOS DE UN SUMA DE LOS ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULOTRIÁNGULO

Trazamos una recta paralela al lado AB del triángulo

1C

A B

23

2C3B1A

Los dos ángulos son iguales por tener los lados paralelos

y ser agudos (También sería cierto si los dos fuesen obtusos)

Los tres ángulos de un triángulo suman siempre 180ºº180CBA

º180321


14



Índice

Mediatriz de un segmentoMediatriz de un segmento

• La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento por su punto medio.

• Con centro en A y en B se trazan arcos de igual radio que se cortan en dos puntos que determinan la mediatriz del segmento AB. A B

Me

dia

triz

de

l se

gm

en

to A

B

Observa que los puntos de la

mediatriz de un segmento AB

equidistan de los extremos Á y B

A B

d dd’d’ d’d’’d’’

d1d1


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Índice

BisectrizBisectriz de un ángulode un ángulo

La recta que divide un ángulo en dos partes iguales se llama bisectriz.

Bisectriz

Observa que los puntos de la bisectriz

de un ángulo equidistan de los lados del ángulo


d

d

d’

d’

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Índice

Proyección ortogonalProyección ortogonal

A’

A

P’ Q’

P

Q

•La sombra A’ del punto A sobre una recta, a las 12 horas (hora solar), se llama proyección ortogonal de A sobre la recta.

• Igualmente, la proyección ortogonal del segmento PQ sobre la recta, es el segmento P’Q’.

2. LOS POLÍGONOS2. LOS POLÍGONOS1. Polígonos:

a. Definición. Elementos de un polígono

b. Clasificación de polígonos

c. Suma de los ángulos interiores de los polígonos convexos.

d. Trazado de polígonos regulares.

e. Polígonos regulares estrellados

2. Triángulos.

a. Clasificación de triángulos.

b. Igualdad de triángulos. Construcción de triángulos.

c. Rectas y puntos notables de un triángulo.

3. Cuadriláteros:

a. Clasificación de cuadriláteros.

b. Propiedades de las diagonales de un paralelogramo.

18



Índice

2.1. POLÍGONOS2.1. POLÍGONOS

• Línea poligonal abierta • Línea poligonal cerrada

Polígono es la superficie plana limitada por una línea poligonal cerrada.

La palabra polígono proviene del griego y está compuesta por poli (varios) y gono (ángulos).

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Índice

Elementos de un polígonoElementos de un polígono

Diagonal

Diagonal

Lado

Vértice

Ángulo interiorÁngulo exterior

Perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de sus lados

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ÍndiceSegún el número de lados de los polígonos, éstos pueden ser: triángulos, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, heptágonos, octógonos, eneágonos, decágonos,...

El polígono que tiene todos sus lados y todos sus ángulos iguales se dice que es un polígono regular. En estos, y sólo en estos, aparecen dos nuevos elementos: centro y apotema.

Centro

Apo

tem

a

Clasificación de los Clasificación de los polígonospolígonos

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Índice

Suma de los ángulos de un Suma de los ángulos de un polígonopolígono

PolígonoNúmero

de lados

Número de triángulos

Suma de los ángulos

interiores

Número de diagonales

Triángulo 3 1 180º

Cuadrilátero 4 2 2 . 180º

Pentágono

6

Heptágono

Octógono

9

Polígono de n lados n n-2

Copia en tu cuaderno y completa el cuadro anterior

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Índice

PolígonoNúmero

de ladosNúmero

de triángulos

Suma de los

ángulos interiores

Número de diagonales

Triángulo 3 1 180º 0

Cuadrilátero 4 2 2 . 180º 2

Pentágono 5 3 3. 180º 5

Hexágono 6 4 4. 180º 9

Heptágono 7 5 5. 180º 14

Octógono 8 6 6. 180º 20

Eneágono 9 7 7. 180º 27

Decágono 10 8 8. 180º 35

Undecágono 11 9 9. 180º 44

Dodecágono 12 10 10. 180º 54

....... ....... ....... ....... .......

Polígono de n lados n n-2 (n-2). 180º n(n-3)/2

23



Índice


Construyendo un Construyendo un pentágono regularpentágono regular

24



Índice


Construyendo un Construyendo un pentágono regularpentágono regular

25



Índice


Construyendo Construyendo polígonos regularespolígonos regulares

26



Índice


Construyendo polígonos Construyendo polígonos regularesregulares

27



Índice

Polígonos regulares estrellados

Una de las figuras más bellas en geometría y muy utilizada en el arte de la lacería árabe, la constituyen los polígonos estrellados, obtenidos al unir

vértices no consecutivos de los polígonos regulares.

Si en un pentágono regular

unimos sus vértices saltando

de dos en dos, obtenemos la

estrella pentagonal. Esta estrella sirvió de

emblema a la escuela pitagórica

fundada en Crotona, en el siglo VI a. J.C.

28



Índice

2.2. 2.2. TRIÁNGULOSTRIÁNGULOS

• Triángulo es un polígono de tres lados.

• Clasificación:

E Q U IL Á T E R O : s i sie n e lo s tres la do s ig u a le s.

IS Ó S C E L E S : s i t ie ne do s la do s ig ua le s y u n o d es igu a l.

E S C A L E N O : s i t ie ne los tres lad o s d is tin tos

S E G Ú N S U S LA D O S :

A C U T Á N G U L O : s i t ie n e lo s tre s á n gu lo s a g ud o s.

R E C T Á N G U L O : s i t ie n e u n án g u lo rec to .

O B T U S Á N G U L O : si t ie ne un á ng u lo o b tu so .

S E G Ú N S U S Á N G U L O S :

29



ÍndicePara construir triángulos es preciso conocer tres de sus elementos:

a) Conocidos los tres lados a, b y c:

b) Con dos lados a y b, y el ángulo comprendido C:

c) Con un lado a y los dos ángulos

adyacentes B y C:a

bc

b a

c

a

b

ca

c

b

a

c B

a

Bc

Construyendo triángulosConstruyendo triángulos


30



ÍndiceI. Dos triángulos son iguales si

tienen los tres lados iguales.

II. Dos triángulos son iguales si tienen iguales dos lados y el ángulo comprendido entre ellos

III. Dos triángulos son iguales si tienen iguales un lado y los dos ángulos adyacentes.

c

b a

ac

b

ac

B

Criterios de iCriterios de igualdad de gualdad de triángulostriángulos

31



Índice

Mediatrices de un triángulo:Mediatrices de un triángulo:Se llama mediatriz de un segmento a la recta perpendicular a dicho

segmento que pasa por su punto medio

Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en

un punto llamado circuncentro

D Circuncentro

32



Índice

Mediatrices de un triángulo:Mediatrices de un triángulo:Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un

punto llamado circuncentro

El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

El circuncentro de un triángulo equidista de los

vértices del triángulo.

A B

C

D Circuncentro

DC=DB por ser D un punto de la mediatriz del lado BC

DA=DB por ser D un punto de la mediatriz del lado AB

DC=DA por ser D un punto de la mediatriz del lado AC

Por lo tanto DA = DC= DB= r

Podemos dibujar una circunferencia de radio r, con centro en D.

Esta circunferencia pasará por los tres vértices del triángulo. Se llama circunferencia circunscrita al

triángulo.

33



Índice

Observa que en el triángulo acutángulo el circuncentro está

en el interior del triángulo.

Observa que en el triángulo rectángulo el circuncentro

está en el punto medio

de la hipotenusa.

Observa que en el triángulo obtusángulo el circuncentro está

en el exterior del triángulo.

Se llama mediatriz de un segmento a la recta

perpendicular a dicho segmento que pasa por

su punto medio


Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto llamado circuncentro . Es el centro de la circunferencia

circunscrita al triángulo.

Mediatrices de un triángulo:Mediatrices de un triángulo:

34



Índice

Indica que el ángulo es recto.

Observa que en el triángulo rectángulo

el ortocentro coíncide con el

vértice del ángulo recto del triángulo.

Se llama altura de un triángulo a la recta perpendicular a un lado que pasa por el vértice

opuesto a dicho lado

O

A B

C

A B

C

A B

C

O

O


Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro.

Alturas de un triángulo:Alturas de un triángulo:

35



Índice

BisecBisectrices de un triángulo:trices de un triángulo:Se llama bisectriz de un ángulo a la semirrecta que lo divide en dos

ángulos iguales

Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro

I Incentro

36



Índice

Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro

El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

El incentro de un triángulo equidista de los lados del

triángulo.

A B

C

IP = IM por ser I un punto de la bisectriz del ángulo C

IM = IN por ser I un punto de la bisectriz del ángulo B

IN = IP por ser I un punto de la bisectriz del ángulo A

Por lo tanto IM = IN= IP= r

Podemos dibujar una circunferencia de radio r, con centro en I.

Esta circunferencia es tangente a los tres lados del triángulo. Se llama circunferencia inscrita en el

triángulo.

BisecBisectrices de un triángulo:trices de un triángulo:

I M

N

P

37



Índice

Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro que es el centro de la circunferencia inscrita

en el triángulo.

Se llama bisectriz de un ángulo a la semirrecta que divide en dos partes iguales

dicho ángulo

I

A B

C

A B

C

I

A B

C

I


Bisectrices de un triángulo:Bisectrices de un triángulo:

38



Índice

Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado baricentro que es el centro de gravedad del triángulo.

G

M

N

A B

C

P

M

N

A B

C

P

G

M

N

AB

C

PG

Se llama mediana de un triángulo a la recta que pasa por un vértice y por el punto

medio del lado opuesto

P, M, N son los puntos medios de los lados experimentaexperimenta

Medianas de un triángulo:Medianas de un triángulo:

39



Índice• Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto llamado circuncentro. Es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

•Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado baricentro. Es el centro de gravedad del triángulo.

• Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro. Es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

•Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro.

RECTA DE EULERRECTA DE EULER RECTAS NOTABLESRECTAS NOTABLES

Rectas y puntos notables de un Rectas y puntos notables de un triángulotriángulo

40



Índice

PARALELOGRAMOS (tienen los lados

paralelos dos a dos)

CuadradoLados iguales y los cuatro ángulos rectos

RectánguloLados iguales dos a dos y los cuatro ángulos rectos

RomboLados iguales y ángulos iguales dos a dos

RomboideLados y ángulos iguales dos a dos

TRAPECIOS(Tienen dos lados

paralelos)

T.RectánguloSección inferior de un triángulo rectángulo por una paralela a la base

T. IsóscelesSección inferior de un triángulo isósceles por una paralela a la base

T. EscalenoSección inferior de un triángulo escaleno por una paralela a la base

TRAPEZOIDES(Ningún lado paralelo)

No tiene ningún lado paralelo a otro

l

l

b

h

Dd

bh

h

B

b

B

b

h

B

b

h

Polígonos de cuatro lados

CLAS I F I CAC IÓN

2.3. CUADRILÁTEROS2.3. CUADRILÁTEROS::

41



Índice

Cada diagonal divide un paralelogramo en dos triángulos iguales.

A

A’

B

B’

Las diagonales de cualquier paralelogramo se cortan en su punto medio.

En el rectángulo y el cuadrado, las diagonales son iguales.

En el rombo y en el cuadrado, las diagonales se cortan perpendicular-mente, siendo a la vez bisectrices de sus ángulos.

Propiedades de las diagonales Propiedades de las diagonales de un paralelogramode un paralelogramo


3. 3. PROPORCIONALIDADPROPORCIONALIDAD

1.1. Proporcionalidad de segmentos y semejanzaProporcionalidad de segmentos y semejanza

2.2. TEOREMA DE TALESTEOREMA DE TALES

a.a. Consecuencias del Teorema de Tales Consecuencias del Teorema de Tales

b.b. La tercera proporcional. Sección áurea. La tercera proporcional. Sección áurea.

3.3. SemejanzaSemejanza

a.a. Semejanza de triángulos. Semejanza de triángulos.

b. b. Polígonos semejantes.Polígonos semejantes.

4.4. EscalasEscalas

43



Índice

3.1. Proporcionalidad de 3.1. Proporcionalidad de segmentos y semejanzasegmentos y semejanza

Sombra del árbol grande (S)

S. árbol pequeño (s)

H

h

Las sombras de los dos árboles son proporcionales a las respectivas alturas

H

h

Ss

OA’

A

B’

B

)alidadproporcionderazón(k'AA

'BB

'OA

'OB

H

h

S

s

Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura

Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura

¿Con qué razón de proporcionalidad trabajo Tales en esta experiencia?

¿Podrías calcular la altura de un edificio de tu entorno midiendo su sombra y teniendo presente tu altura y la longitud de tu sombra?

44



ÍndiceSi varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r, determinan también segmentos iguales sobre cualquier otra recta r’ a la que corten

Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r, determinan también segmentos iguales sobre cualquier otra recta r’ a la que corten

TEOREMA DE TALES:

Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales.

TEOREMA DE TALES:

Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales.

O

A’A

B’

B

'OB

'B'A

OB

ABtambieno

'OB

'OA

OB

OA


3.2. TEOREMA DE TALES3.2. TEOREMA DE TALES

O

A’

A

B’

B

C’

D’E’

EDC

B’’

C’’

D’’

E’’

r

r’

45



Índice

Consecuencias del teorema de Consecuencias del teorema de TalesTales

Toda paralela a un lado de un triángulo ABC determina con los otros dos un nuevo triángulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero.

Toda paralela a un lado de un triángulo ABC determina con los otros dos un nuevo triángulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero.

El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales.

El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales.


A

B C

NM

PSi en un triángulo ABC tenemos una paralela MN al lado BC, por el teorema

de Tales se cumple :

)1(AC

AN

AB

AM

Trazando por N una paralela a AB, por el mismo teorema tenemos:

)2(BC

MN

BC

BP

AC

AN

De (1) y (2) se deduce:

BC

MN

AC

AN

AB

AM

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Índice

La tercera proporcional. La tercera proporcional. Sección áureaSección áurea

Un segmento x se llama tercera proporcional de dos segmentos dados

a y b si verifica la proporción:

a

b

b

x

x

b

b

a

También sobre un segmento AB es posible visualizar la tercera proporcional, hasta localizar un punto C del segmento

AB de forma que:A BC

b x

1

...618033989'12

51

x

b

b

xb:tambiénó

CB

AC

AC

AB

x

b

xb

1xb

012 Resolviendo la ecuación

(número áureo o número de oro)


47



Índice

3.3. LA SEMEJANZA3.3. LA SEMEJANZA

Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos homólogos iguales y sus lados proporcionales

Teorema fundamental: Si dos lados de un triángulo se cortan por una paralela al tercero, se

obtiene otro triángulo semejante al primero.

Teorema fundamental: Si dos lados de un triángulo se cortan por una paralela al tercero, se

obtiene otro triángulo semejante al primero.


48



Índice

Criterios de semejanza de Criterios de semejanza de triángulostriángulos

I. Dos triángulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales.

II. Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales .

III. Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual.

CRITERIOS DE SEMEJANZA

49



Índice

Polígonos semejantesPolígonos semejantes

experimentaexperimentaPolígonos homotéticosPolígonos homotéticos

Polígonos semejantes son los que se descomponen en

triángulos semejantes dispuestos correlativamente.

Se llama razón de semejanza de los polígonos a la razón entre sus

lados homólogos.

Polígonos semejantes son los que se descomponen en

triángulos semejantes dispuestos correlativamente.

Se llama razón de semejanza de los polígonos a la razón entre sus

lados homólogos.

P

P

La razón de los perímetros de dos polinomios semejantes es igual a la razón de semejanza

La razón de los perímetros de dos polinomios semejantes es igual a la razón de semejanza

50



Índice

3.4. ESCALAS3.4. ESCALAS

Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequeñas, hemos de recurrir a reducir o aumentar su representación gráfica. Diremos que la

pieza está dibujada a escala.

Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequeñas, hemos de recurrir a reducir o aumentar su representación gráfica. Diremos que la

pieza está dibujada a escala.

A la relación entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala gráfica.

Por ejemplo, si un mapa viene dado a escala 1:30 000, indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad.

Según si el primer número es menor o mayor que el segundo, la escala reducirá o ampliará respectivamente el tamaño real del objeto.

A la relación entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala gráfica.

Por ejemplo, si un mapa viene dado a escala 1:30 000, indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad.

Según si el primer número es menor o mayor que el segundo, la escala reducirá o ampliará respectivamente el tamaño real del objeto.

Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son: el compás de reducción (resuelta útil para medir) y el pantógrafo (para

reproducir dibujos a una escala determinada).

Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son: el compás de reducción (resuelta útil para medir) y el pantógrafo (para

reproducir dibujos a una escala determinada).

AD

AE

AB

AC

El pantógrafo consta de cuatro reglas articuladas con un punto de apoyo A, una punta metálica B para repasar el original y un portalápiz C. Las cuatro

reglas forman un paralelogramo articulado BDEF. Los puntos A, B y C están alineados de modo que:


4. EL TEOREMA DE PITÁGORAS.4. EL TEOREMA DE PITÁGORAS.

1.1. PITÁGORASPITÁGORAS

2.2. NÚMEROS PARTICULARESNÚMEROS PARTICULARES

3.3. TEOREMA DE PITÁGORASTEOREMA DE PITÁGORAS

4.4. TEOREMA DE LA ALTURATEOREMA DE LA ALTURA

5.5. TEOREMA DEL CATETOTEOREMA DEL CATETO

6.6. RELACIONES MÉTRICAS EN RELACIONES MÉTRICAS EN

TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOSTRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS

52



Índice

4.1. PITÁGORAS4.1. PITÁGORAS

Se supone que Pitágoras era nativo de Samos y pertenecía, como Tales, a la colonia jónica de griegos establecida en las costas e islas occidentales de lo que actualmente denominamos Asia Menor. Vivió desde aproximadamente 569 a.J.C.. En el año 529 a. J.C. Se instaló en Crotona, una ciudad de la colonia dórica en el sur de Italia, y allí comenzó a disertar sobre filosofía y matemáticas. A su cátedra acudía una muchedumbre de entusiastas auditores de todas clases: muchos de las clases altas e incluso las mujeres infringían una ley que les prohibía asistir a reuniones públicas.

Los más interesados de sus discípulos se constituyeron en una sociedad o hermandad. Se les conocía como la Orden de Pitágoras y ejercieron una gran influencia, tanto política como religiosa. más allá del mundo griego. Lo compartían todo, sostenían las mismas creencias filosóficas, se dedicaban a las mismas investigaciones y se comprometían con un juramento a no revelar los secretos y las enseñanzas de la escuela.

La estrella pentagonal fue un símbolo distintivo de la hermandad

53



Índice

• Los números triángulos eran 1, 3, 6, 10, ...El n-ésimo número triangular es la suma de los n primeros números. Dos triangulares sucesivos forman juntos un cuadrado.

• Un número de tres factores se llamaba sólido. Si los tres factores eran iguales, se llamaba cubo.

12=3x2x2 27=3x3x3

• Un número piramidal es la suma de una serie de números cuadrados

5=1+4

14=1+4+9

4.2. NÚMEROS PARTICULARES4.2. NÚMEROS PARTICULARES

Los pitagóricos clasificaban los números en pares e impares según formas o estructuras asociadas a ellos:

• Un número producto de dos factores desiguales, se llamaba oblongo:

• Si dos factores eran iguales, el número se llamaba cuadrado. El cuadrado n-ésimo de un número es la suma de los n primeros números impares

(8=4x2)

1=1x1

4=2x2=1+3

9=3x3=1+3+5

16=4x4=1+3+5+9

10=1+2+3+4

54



Índice

b =9 2

c =162

Cateto (c)

Cat

eto

(b) Hipotenusa (a)

Catetos:

b, c

Hipotenusa:

a

Relación aritmética:

a2=b2+c2

3 y 4 5 52=32+42

6 y 8 10 102=62+82

5 y 12 13 132=52+122

7 y 24 25 252=242+72

8 y 15 17 172=152+82

La relación aritmética entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triángulo rectángulo se conoce con el TEOREMA DE PITÁGORAS:

La relación aritmética entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triángulo rectángulo se conoce con el TEOREMA DE PITÁGORAS:

En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa

a2=b2+c2

En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa

a2=b2+c2

Los números que verifican esta relación reciben el nombre de números pitagóricos


DemostraciónDemostración

4.3. NÚMEROS PITAGÓRICOS.4.3. NÚMEROS PITAGÓRICOS.TEOREMA DE PITÁGORASTEOREMA DE PITÁGORAS

55



Índice

4.4. TEOREMA DE LA ALTURA4.4. TEOREMA DE LA ALTURA

En todo triángulo rectángulo, los triángulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre sí


B A

C

Hmn

hPor ser los triángulos BHC y CHA semejantes, sus lados son proporcionales:

HA

HC

HC

BH es decir,

m

h

h

n

o también, nmh2 nmh2 TEOREMA DE LA ALTURA:

La altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a ésta.

TEOREMA DE LA ALTURA:

La altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a ésta.

56



Índice

4.5. TEOREMA DEL CATETO4.5. TEOREMA DEL CATETO

TEOREMA DEL CATETO:

En todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.

TEOREMA DEL CATETO:

En todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.

Por ser los triángulos AHC y ABC semejantes, sus lados son proporcionales:

AB

AC

AC

AH es decir,

c

b

b

m

o también, cmb2 cmb2

B A

C

Hmn

h

ba

c



57



Índice

4.6. RELACIONES MÉTRICAS EN 4.6. RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOSTRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS

a) El cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo en un triángulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre

a) El cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo en un triángulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre

A

C

cB

Hnc-n

h

ba

En el tr. BHC:222 BHah En el tr. AHC:

222 nhb

Además: cn2ncncBH 2222

22222 ncn2cnab

cn2cba 222 cn2cba 222

Sustituyendo

b) El cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso en un triángulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados más el doble del producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre

b) El cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso en un triángulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados más el doble del producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre

cn2cba 222 cn2cba 222 c+nB A H

hba

c

C

n

222 cba 222 cba

222 cba 222 cba

2222 nBHab

58



ÍndiceUn triángulo será acutángulo, rectángulo u obtusángulo según que el cuadrado de su lado mayor sea menor, igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados.


CLASIFICACIÓN DE UN TRIÁNGULO A CLASIFICACIÓN DE UN TRIÁNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PARTIR DEL TEOREMA DE

PITÁGORASPITÁGORAS

aa

a

b

b

b

c

c

c

a2 < b2 + c2 a2 = b2 + c2

a2 > b2 + c2

5. LA CIRCUNFERENCIA 5. LA CIRCUNFERENCIA

1.1. Elementos de la circunferenciaElementos de la circunferencia

2.2. Aproximación del número Aproximación del número

3.3. Número Número

4.4. Rectas y circunferencia. Posición relativa.Rectas y circunferencia. Posición relativa.

5.5. Determinación de una circunferencia.Determinación de una circunferencia.

6.6. Ángulos en una circunferenciaÁngulos en una circunferencia

a.a. Clasificación Clasificación

b.b. Medida de los ángulos en una circunferencia Medida de los ángulos en una circunferencia

60



Índice

5.1. Elementos de la circunferencia5.1. Elementos de la circunferencia

La circunferencia es la línea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro.

La circunferencia es la línea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro.

radiocentro

diámetro

cuerda

arcoAdemás de los elementos de la circunferencia (centro, radio, diámetro, cuerda, arco) es interesante conocer su longitud.

Arquímedes (s. III a. J.C.) se imaginaba la circunferencia como la figura obtenida por exhaustión de polígonos regulares inscritos y circunscritos. La longitud de la circunferencia está comprendida entre los perímetros de estos polígonos.

6 lados 12 lados 24 lados 48 lados


61



Índice

5.2. APROXIMACIÓN DEL NÚMERO PI5.2. APROXIMACIÓN DEL NÚMERO PI

APROXIMACIÓN DE PIAPROXIMACIÓN DE PI PIPI

r2DnciacircunfereladeLongitud

62



Índice

5.3. NÚMERO 5.3. NÚMERO

=3.141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768731177020276065801985678778229331374875655293179470175082827961733344660234083192432168763513494997437745435213324819888576181171950574520502147087113914823533280535360483183662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310980973547119450389544905223984895029774220156585268269423122771729151880037159542137440979082685462014233529635831006294651053812826618947529959195753508370488308172084853101972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230120604089193862646713052152156815460123371872199674991025258075212447898540199992875014044443470087390693124114514966581075489226199121434424095606350006713929073505191648420308402276707050721678865921466212494484986832477878288797603812415562065478620931564509896879530189387607457119916254011230074017642561377643438298991814487288751017365783077062203867771222181725507175682971009528298525950020963900984618251473638922154047677117559527887469067969625636795619777864860939456802032265224861816378150408453521798346455182468149942589055473496422434936546519307341749951358268957258305404301847289627938714159265359140397848254241421927966391989323482583519907484797746312134673196076873117702027606580198567877822933137487565529317947017508282796173334466023408319243216876351349499743774543521332481988857618117195057452050214708711391482353328053536048318366295527975161202807244466489272785568066909098881103167056257244877546154836906331098097354711945038954490522398489502977422015658526826942312277172915188003715954213744097908268546201423352963583100629465105381282661894752995919575350837048830817208485310197225092008232099157881467637491676098138460400150172780909422245850380775691740223012060408919386264671305215215681546012337187219967499102525807521244789854019999287501404444347008739069312411451496658107548922619912143442409560635

0006713929073505191648420308402276707050721678865...

63



Índice

5.4. Rectas y circunferencia. 5.4. Rectas y circunferencia. Posición relativaPosición relativa

Una recta respecto de la circunferencia puede ser:

Una recta respecto de la circunferencia puede ser:

Exterior, si no la corta en ningún punto

Tangente, si la corta en un solo punto

Secante, si la corta en dos puntosExterior

TangenteSecante

Dos circunferencias pueden ser entre sí:

Dos circunferencias pueden ser entre sí:

Exteriores

Tangentes interiores

Tangentes exteriores

Secantes

Interiores

Concéntricas

Concéntricas

Exteriores

Tangentes interiores

Tangentes exteriores

Secantes

Interiores

64



Índice

5.5. 5.5. Determinación de una Determinación de una

circunferenciacircunferencia.. Por un punto A pasan infinitas circunferencias.

Por un punto A pasan infinitas circunferencias.

A

Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias.

Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias.

A

B

Por tres puntos no alineados pasa una única circunferencia

Por tres puntos no alineados pasa una única circunferenciaA

B

C

65



Índice

5.6. Ángulos en una circunferencia5.6. Ángulos en una circunferencia

Ángulos Características

El vértice del ángulo central coincide con el centro de la circunferencia.

El vértice del ángulo interior es un punto interior a la circunferencia.

El vértice del ángulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes.

El vértice del ángulo semiinscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia.

El vértice del ángulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser:

Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentes

Ángulo central

Ángulo interior

Ángulo inscrito

Ángulo semiinscrito

Ángulos exteriores

66



Índice

Medida de los ángulos en una Medida de los ángulos en una circunferenciacircunferencia

Los ángulos inscritos miden la mitad del ángulo central correspondiente Los ángulos inscritos miden la mitad del ángulo central correspondiente

67



Índice

Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia, son iguales

Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia, son iguales

180º

90º

Todos los ángulos inscritos que abarcan un diámetro, son rectos.

Todos los ángulos inscritos que abarcan un diámetro, son rectos.



6. ÁREAS DE FIGURAS PLANAS6. ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

1.1. Midiendo superficiesMidiendo superficies

2.2. Áreas de los polígonos más sencillosÁreas de los polígonos más sencillos

a.a. El área en los productos notables El área en los productos notables

b.b. Área del triángulo Área del triángulo

c.c. Área del romboide Área del romboide

d.d. Área del rombo Área del rombo

e.e. Área del trapecio Área del trapecio

3.3. Área de un polígono.Área de un polígono.

4.4. Área del círculo.Área del círculo.

5.5. Área de otras figuras circulares.Área de otras figuras circulares.

6.6. Razón entre las áreas de dos figuras semejantes.Razón entre las áreas de dos figuras semejantes.

69



Índice

Áreas de los polígonos más Áreas de los polígonos más

sencillossencillos

unidad patrón

Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patrón y compararla con la extensión de dicha superficie.

Las unidades patrón de superficie en el SMD son Mm2, Km2, Hm2, Dm2, m2, dm2, cm2, mm2. Sin embargo, para medir terrenos, se utilizan las llamadas unidades agrarias: Hectárea(Hm2), área (Dm2) y centiárea (m2).

Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patrón y compararla con la extensión de dicha superficie.

Las unidades patrón de superficie en el SMD son Mm2, Km2, Hm2, Dm2, m2, dm2, cm2, mm2. Sin embargo, para medir terrenos, se utilizan las llamadas unidades agrarias: Hectárea(Hm2), área (Dm2) y centiárea (m2).

43 u2 46,5 u2

b

h Área del rectángulo=Base x altura A=b.h

l

l Área del cuadrado=lado x lado A=l2

70



Índice

2

alturabase

2

romboidedelÁreatrapeciodelÁrea

Áreas de cuadriláterosÁreas de cuadriláteros

h

b b

h

b

h

Área del romboide=Base x altura A=b.h

dd

D 2

alturabaserombodelÁrea

2

dDA

B b

B+bB

b

h

2

hbBA


71



Índice

Área del triángulo, trapezoide, polígono Área del triángulo, trapezoide, polígono regular e irregular.regular e irregular.

h

b b

h2

alturabasetriángulodelÁrea

2

hbA

Área del trapezoide o polígono irregular=

=Suma de las áreas de los triángulos

Área del polígono regular=

=Suma de las áreas de los triángulos=

=nºde triángulos x área de uno de los triángulos

2

apotemaPerímetro

2

aP

2

alnA

a

l

72



Índice

Un problema clásico: Un problema clásico: el área del circuloel área del circulo

Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemática en el periodo helénico:

La duplicación del cubo o problema de Delos, consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado.

La trisección del ángulo consiste en dividir un ángulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compás.

La cuadratura del círculo, nacido seguramente de la necesidad práctica de calcular el área de un círculo, consiste geométricamente en determinar con regla y compás el lado de un cuadrado equivalente a un círculo de radio dado.

Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemática en el periodo helénico:

La duplicación del cubo o problema de Delos, consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado.

La trisección del ángulo consiste en dividir un ángulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compás.

La cuadratura del círculo, nacido seguramente de la necesidad práctica de calcular el área de un círculo, consiste geométricamente en determinar con regla y compás el lado de un cuadrado equivalente a un círculo de radio dado.

2r2

rr2

2

apotemaPerímetrocírculodelÁrea

r

2rA

73



Índice

Área de otras figuras circularesÁrea de otras figuras circulares

R

r

Área de corona circular=

=Área circulo mayor-Área círculo menor

2222 rRrRA

Rα

º360

RcircularsectordelÁrea

2

º360

R2nciacircunferedearcoundeLongitud

74



Índice

b

b

a

El área en los productos notablesEl área en los productos notables

a. Toma una cartulina en forma de cuadrado y córtala como se muestra en las figuras. El área del cuadrado se conserva

= = + +

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b

(a+b)2

a b

a2ab

abb2

(a-b)2

a - b

=

a

+-a2 ab ab b2

(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2

75



Índice

a-bb

a+b

El área en los productos notablesEl área en los productos notables

b. Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas.

a - b

=

a

-a2 b2

(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2

a-b

=

Recuerda:(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2

(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2

(a + b) (a - b) = a2 - b2

Recuerda:(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2

(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2

(a + b) (a - b) = a2 - b2

76



Índice

Razón entre las áreas de dos figuras Razón entre las áreas de dos figuras semejantessemejantes

C’

E

D

A

B

C

F

A’

B’

D’E’

F’

r'P

P

'A'F

FA

'F'E

EF

'E'D

DE

'D'C

CD

'C'B

BC

'B'A

AB

La razón de las áreas de dos polígonos semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza entre ellos:

La razón de las áreas de dos polígonos semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza entre ellos: experimentaexperimenta

2r'A

A

l’l

l’l

4'A

A2

'l

l

9'A

A3

'l

l

77



Índice

ÁREAS DE FIGURAS PLANASÁREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA ÁREA

TRIÁNGULOS

(Polígono de tres lados) Triángulo

CUADRI-LÁ-

TEROS

(Polígono de cuatro lados)

PARALE-LOGRA- MOS

(tienen los lados paralelos dos a dos)

Cuadrado

Rectángulo

Rombo

Romboide

TRAPE CIOS

(Tienen dos lados paralelos)

Trapecio (rectángulo, isósceles o escaleno)

TRAPE- ZOIDES

Trapezoide Se divide en 2 triángulos y se suman sus áreas

POLÍGONOS

DE n LADOS

Polígono regular

Polígono irregular Se divide en triángulos y se suman sus áreas

Circunferencia

Círculo

bh

l

bh

Dd

bh

B

b

h

hb2

1A

2lA

hbA

2

dDA

h2

bBA

hbA

al 2

aPA

r

r2L 2rA

78



Índice

Movimientos a través de los Movimientos a través de los mosaicosmosaicos

Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos, ahora bien, ¿has pensado lo que sucedería si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de polígono

regular?

Las baldosas pentagonales no

recubren perfectamente el

plano

No todos los polígonos regulares recubren exactamente el plano. Sólo

tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad

Mosaicos hexagonales Mosaicos

cuadrangulares

Mosaicos triangulares

79



Índice

MOSAICOSMOSAICOS

Puesto que todas las piezas han de ser iguales, podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos. La siguiente tabla nos muestra algunos de estos

movimientos.

T Traslación

S Simetría

G Giro de 180º de

centro el punto

medio de un lado:

G90ºGiro de 90º

respecto de

un vértice:

G180ºGiro de 180º

respecto de

un vértice:

80



Índice

81



Índice

82



Índice

Parte de lo anterior está basado en su mayoría en el libro GEOMETRÍA Y

EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didácticos Alhambra nº 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en

este trabajo

MARÍA JESÚS ARRUEGO BAGÜÉS

geometría del plano realizado por mª jesús arruego bagüés

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