7/21/2019 Geometria de Las Funciones de Varias Variables

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GEOMETRIA DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Definición: Grafica de una función : ⊆ ℝ → ℝ 

= {(, , … , , ) ∈ ℝ+/ = (, , … , )} 

Definición: (Nivel constante de una función) Dada la función : ⊆ ℝ → ℝ en el número  en

el rango de  se define el nivel constante  de la función  como el conjunto de puntos de  que  envía a ; es decir:

= {(, , … , ) ∈ /(, , … , ) = } 

Definición: la intersección del plano horizontal =  con la superficie = (,) es la curva de

contorno de altura  sobre la superficie. La proyección vertical de esta curva de contorno en el

plano  es la curva de  de la función  .

Ejercicios

a)  Describa las curvas de nivel de la función (, ) = || −  

SoluciónLas curvas de nivel están dadas por las ecuaciones (, ) = || − = ,    

Luego = || − ,     

= −2 ⇒ = || 2  = −1 ⇒ = || 1 

= 0 ⇒ = ||  = 1 ⇒ = || − 1 

= 2 ⇒ = || − 2  = 3 ⇒ = || − 3 

b)  Describa las curvas de nivel de la función (, ) = | − | 

SoluciónLas curvas de nivel están dadas por las ecuaciones (, ) = | − | = ,     ≥ 0 

= 0 ⇒ | − | = 0 ⇒ =  

= 1 ⇒ | − | = 1 ⇒ − = 1 ∨ − = −1 

= 2 ⇒ | − | = 2 ⇒ − = 2 ∨ − = −2 

-4-3

-2-1

01

23

4

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-5

0

5

10

-4   -3   -2   -1   0   1   2   3   4

-4-2

02

40

1

2

3

4

5

6

7

8

= 0 

= − 1 

= 1 

= 2 

= −2 

= 0 

= 1  = 1 

= 1 

= 2 

= 2 

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c)  Describa las curvas de nivel de la función (, ) =  

Solución

Las curvas de nivel están dadas por las ecuaciones (, ) = = ,     ≥ 0 

= 0 ⇒ = 0, determina el punto (0,0) 

= 1 ⇒ = 1, determina un círculo de radio 1

= 4 ⇒ = 4, determina un círculo de radio 2

= 9 ⇒ = 9, determina un círculo de radio 3

d)  Describa las curvas de nivel de la función (, ) = −  

Solución

Las curvas de nivel están dadas por las ecuaciones (, ) = − = ,     

= −2 ⇒ = − 2 

= −1 ⇒ = − 1  = 0 ⇒ =  

= 1 ⇒ = 1 

= 2 ⇒ = 2 

-10  -8

  -6  -4

  -2  0

  2  4

  6  8

  10

-10-8

-6-4

-20

24

68

10

0

50

100

150

200 = 1 

= 4 

= 9 

-10

-5

0

5

10

-10

-5

0

5

10

-1500

-1000

-500

0

500

1000