Universidad Catlica de la Santsima Concepcin.Facultad de Educacin.Pedagoga en Educacin Bsica.

GEOMETRAUNIDAD N VIICUERPOS SLIDOS Y SUS VOLMENES

En forma aproximada se puede decir que cuerpo es todo aquello que ocupa un lugar en el espacio.CUERPOS GEOMTRICOSSon regiones del espacio limitadas por superficies planas, planas y curvas o solamente curvas.

DEFINICIN Un cuerpo geomtrico es una superficie cerrada simple que divide al espacio en una regin interior y una exterior.Generalmente se llama slido geomtrico a la reunin de la superficie cerrada simple con su interior.Los elementos que constituyen los cuerpos geomtricos son: Caras Aristas Vrtices.

Se llama CARA de un cuerpo geomtrico a cada una de las superficies que lo limitan. ARISTA al segmento que es frontera de dos caras. VERTICE al punto donde convergen tres o ms aristas.

CLASIFICACIN DE LOS CUERPOS GEOMTRICOSUna primera clasificacin de acuerdo al criterio: "nmero de caras planas" sera:a) CUERPOS POLIEDROS o no redondos: aquellos que tienen todas sus caras planas.

b) CUERPOS REDONDOS aquellos que tienen 0, 1 2 caras planas.

POLIEDROS Definicin: Un poliedro es la unin de un nmero finito de regiones poligonales, cada una de las cuales contiene un polgono y su interior, tales que (1) el interior de dos regiones cualesquiera no se intersectan y (2) cada lado de cualquiera de los polgonos tambin es un lado de exactamente uno de los otros polgonos.Cada una de las regiones poligonales se llama CARA del poliedro.La interseccin de dos caras cualesquiera del poliedro es una ARISTA del poliedro.La interseccin de dos o ms aristas cualesquiera es un VRTICE del poliedro.

La figura que va a continuacin representa un poliedro de 8 caras, 16 aristas y 9 vrtices.

Los poliedros se designan segn el nmero de caras:1.Tetraedro: 4 caras2.Pentaedro: 5 caras3.Hexaedro: 6 caras4.Octaedro: 8 caras5.Decaedro: 10 caras6.lcosaedro: 20 caras

Dentro de los Poliedros es posible subdividirlos en:Poliedros REGULARES y Poliedros NO REGULARES.

Los poliedros regulares son aquellos en que todas sus caras son polgonos regulares y congruentes entre s y sus ngulos POLIEDROS son congruentes (igual forma o igual medida). Los poliedros regulares son 5.

TETRAEDRO REGULAR

Sus caras son 4 regiones triangulares equilteras y congruentes. Tiene 6 aristas y 4 vrtices.

HEXAEDRO REGULAR (Cubo)

Sus caras son 6 regiones cuadradas congruentes entre s. Tiene 12 aristas y 8 vrtices OCTAEDRO REGULAR

Sus caras son 8 regiones triangulares equilteras. Tiene 12 aristas y 6 vrtices.DODECAEDRO REGULAR

Sus caras son 12 regiones pentagonales regulares y congruentes. Tiene 30 aristas y 20 vrtices.

ICOSAEDRO REGULAR

Sus caras son 20 regiones triangulares y congruentes. Tiene 30 aristas y 12 vrtices.PRISMASUn prisma es un poliedro que tiene dos caras paralelas, llamadas bases que son regiones poligonales paralelas y congruentes, las caras restantes son paralelogramos. Las caras que son paralelgramos se llaman caras laterales. Las aristas laterales son iguales y paralelas. El rea lateral es la suma de las reas de las caras laterales. El rea total es la suma de las reas laterales y las reas de las dos bases. La altura h de un prisma es la distancia perpendicular entre los planos que contienen a las bases.

Si consideramos un prisma como un cuerpo slido podremos definirlo de la siguiente manera:Definicin:Sean E1 y E2 dos planos paralelos, R una regin poligonal en E1 y L una recta que intersecte a E1 y E2, pero no a R. Por cada punto P de R, sea PP un segmento paralelo a L y que una al punto P con un punto P,de E2. La reunin de todos los segmentos PP, se llama Prisma.

La regin poligonal R se llama la base inferior o, simplemente la base del prisma. La parte M prisma que est en E2 se llama la base superior. La distancia entre E1y E2, se llama la altura del prisma. Si L es perpendicular a E1 y E2, entonces el prisma se llama prisma recto.

Para los prismas rectos la altura es la distancia PP , pero para los prismas no rectos, la altura es siempre menor que PPUn prisma regular es un prisma recto cuyas bases son polgonos regulares

Prismas rectos

Los prismas se clasifican segn sus bases: un prisma triangular es uno cuya base es una regin triangular, y as sucesivamente.Las bases de un prisma tienen la misma rea. Esto es as, porque la base superior es una seccin transversal."Las caras laterales de un prisma recto son regiones paralelogrmicas".Las caras laterales de un prisma recto son regiones rectangulares.Definicin: La reunin de las caras laterales de un prisma se llama superficie lateral, y la reunin de las caras laterales y las dos bases se llama superficie total.Definicin: Un paraleleppedo de base rectangular es un prisma rectangular recto. Prisma Rectangular

As, pues todas las caras (laterales, superior e inferior) de un paraleleppedo son regiones paralelogrmicas y todas las caras de un paraleleppedo rectangular son regiones rectangulares.Definicin : Un cubo es un paraleleppedo rectangular cuyas aristas son todas congruentes.Hexaedro regular: Es ms conocido por cubo

REA DE UN PRISMA RECTOEl rea lateral de un prisma recto es igual al producto de su altura y el permetro de su base. Por lo tanto, si se denota el rea lateral por S, el permetro de la base por P y la altura por h, se obtiene la frmula: S = hPSi se denota el rea total por T y el rea de una base por A, se obtiene la frmula: T =S 2AEl rea total para un paraleleppedo rectangular:Cuyo largo, ancho y altura se denotan por 1, w y h, respectivamente es igual a la suma de las reas de las seis caras, 21 w + 2wh + 21 h, o bien: T= 2(1w + wh + 1h) 1hPara un cubo con una arista lateral a es T=6a 2

VOLUMEN DE UN PRISMAEl volumen de un slido se define como el nmero de unidades de la medida de espacio en el slido. Esta unidad de espacio llamada unidad cbica, es la de un cubo cuyas aristas son iguales a alguna unidad para medir longitud.Considrese el siguiente paraleleppedo rectangular que tiene 4 unidades de largo, 3 unidades de ancho y"2 de altura.El volumen de un paraleleppedo rectangular es el producto de la altura y el rea de la base.

En la figura, si se denota el volumen por V y el rea de la base por A, entonces V = AhPuede demostrarse que el volumen de cualquier prisma es el producto del rea de su base y su altura.

PIRMIDEUna pirmide es un poliedro con una cara llamada BASE que es una regin poligonal de cualquier nmero de lados y las otras caras son regiones triangulares que se encuentran en un punto comn llamado VRTICE. Las caras triangulares se llaman Caras Laterales y la interseccin de estas caras son las Aristas Laterales. La Altura de la pirmide es la longitud de la perpendicular bajada desde el vrtice al plano de la base. El rea lateral de una pirmide es igual a la suma de las reas de las caras laterales de la pirmide. El rea total de una pirmide es igual a la suma del rea lateral y el rea de la base.Pirmide regular Una pirmide regular es una que tiene como base un polgono regular y la altura desde el vrtice en perpendicular a la base en su centro

El cuerpo slido representado a continuacin es una pirmide con base R y vrtice V:VOLMENES DE PRISMAS Y PIRMIDESEL PRINCIPIO DE CAVALIERIEnunciaremos los dos postulados principales que se utilizarn para obtener respuestas numricas.Ahora, aprenderemos como hallar los volmenes de varios cuerpos slidos. Este proceso emplea varias de las ideas que utilizamos al determinar reas de regiones poligonales. Sin embargo, nuestro estudio ser ms informal.POSTULADO de la unidad.El volumen de un paraleleppedo rectangular es el producto de la altura y el rea de la base.

Desde luego, cualquier cara de un paraleleppedo rectangular puede considerarse como base. Siempre obtenemos la misma respuesta para el volumen, porque en cada caso Ah es el producto de las longitudes de tres aristas con un extremo comn.Para comprender lo que sucede en el siguiente postulado, pensemos primero en un modelo real. Podemos hacer un modelo aproximado de una pirmide de base cuadrada, formando un montn de tarjetas cuadradas, recortadas del tamao adecuado: La figura de la izquierda representa la pirmide exacta y la de la derecha es el modelo aproximado construido con tarjetas.

Ahora, supongamos que taladramos un agujero en el modelo, desde el vrtice hasta la base, o insertamos una varilla delgada de modo que atraviese todas las tarjetas. Podemos entonces inclinar la varilla en cualquier direccin que deseamos manteniendo fijo su extremo de apoyo en la base. Entonces, la forma del modelo cambia, pero su volumen no. La razn de esto es que su volumen es sencillamente el volumen total de las tarjetas, y este volumen total no vara cuando las tarjetas se deslizan una sobre otras.El mismo principio se aplica de una manera ms general, a dos slidos cualesquiera. El principio implicado aqu se llama Principio de Cavalieri. No lo hemos demostrado; simplemente hemos explicado por qu es plausible. Por consiguiente, lo enunciamos en forma de postulado:POSTULADO 24. Principio de Cavalieri

Se dan dos cuerpos slidos y un plano. Supongamos que todo plano paralelo al plano dado que intersecta a uno de los dos cuerpos, intersecta tambin al otro y da secciones transversales con reas iguales. Entonces los cuerpos tienen el mismo volumen. El principio de Cavalieri es la clave de dos clculos de volmenes como veremos pronto.

TEOREMAS: "El volumen de un prisma cualesquiera es el producto de la altura y el rea de la base". Si dos pirmides tienen la misma altura y sus bases la misma rea, siendo stas coplanarias, entonces tienen el mismo volumen". "El volumen de una pirmide triangular es un tercio del producto de su altura y el rea de la base".El mismo resultado es vlido para las pirmides en general.TEOREMA DEL VOLUMEN"El volumen de una pirmide es un tercio del producto de su altura y el rea de la base".V1 = 1 ah 3PIRAMIDE RECTAREGULAR

CUERPOS REDONDOSSon cuerpos limitados por superficies planas y curvas o por superficies curvas solamente. Se distinguen tres tipos de estas superficies que son frontera de los slidos que se indica: superficies cilndricasCILINDROS superficies cnicasCONOS superficies esfricasESFERAS CILINDROS Y CONOSRecordemos como se forma un prisma con una regin poligonal como base. El mismo procedimiento se aplica igualmente con bases que no son regiones poligonales. Supongamos, por ejemplo, que empezamos con dos planos paralelos E1 y E2, como antes, pero que utilizamos una regin circular en E1 como base.CILINDRO RECTO CONO RECTO

De igual modo que anteriormente, utilizamos una recta L, que intersecta a E1 y a E2, pero no a la base, y formamos la reunin de todos los segmentos QQ', donde Q est en la base, Q' est en E2 Y QQ' // L. El cuerpo slido resultante se llama cilindro circular. No hay necesidad de repetir las definiciones de la altura, secciones transversales, etc., porque son exactamente las mismas que las correspondientes para los prismas. Si L a E1, entonces el cilindro se llama cilindro recto.Desde luego, pueden obtenerse otras clases de cilindros, utilizando otras figuras como bases.Analgicamente, el esquema que utilizamos para formar una pirmide puede utilizarse tambin, cuando la base no es una regin poligonal. Si tomamos una regin circular como base, el cuerpo slido resultante se llama cono circular.Los teoremas siguientes acerca de cilindros y conos son anlogos a los teoremas correspondientes acerca de prismas y pirmides. Sus demostraciones son tambin parecidas, pues la forma de la base no tiene gran importancia.

TEOREMAS "Toda seccin transversal de un cilindro circular es una regin circular congruente con la base". "Toda seccin transversal de un cilindro circular tiene la misma rea que la base".Ahora podemos calcular los volmenes de cilindros y conos, utilizando el principio de Cavalieri del mismo. modo que lo hicimos para los prismas y las pirmides.

TEOREMA "El volumen de un cilindro circular es el producto de su altura y el rea de la base".

TEOREMA"El volumen de un cono circular es un tercio del producto de su altura y el rea de la base".

Los cuerpos geomtricos redondos se pueden estudiar tambin como cuerpos de revolucin, porque se pueden originar por giros de figuras geomtricas sobre alguno de sus ejes Si tomamos un rectngulo, un tringulo y un semicrculo y los hacemos girar sobre sus respectivos ejes,.obtenemos los cuerpos geomtricos siguientes:CILINDRO CONO ESFERA

CILINDRO RECTOEl cilindro est limitado por 3 caras: dos planos que son crculos que llamamos bases del cilindro, y una curva que es la cara lateral o manto del cilindro.Altura del cilindro recto es el segmento que une al centro de sus dos bases. El lado del rectngulo que al girar forma la cara lateral del cilindro recibe el nombre de generatriz del cilindro.

El rea lateral S de un cilindro circular recto es igual al producto del permetro de la circunferencia de su base y la longitud de la altura. S= 2 x Rh

El rea total T de un cilindro es igual a la suma de rea lateral y el rea de sus dos bases. T= 2 phi Rh + 2 phi Rh El volumen V de un cilindro circular recto es igual al producto de rea de la base y la longitud de la altura.V = phi R2 h CONO RECTOEs el cuerpo de revolucin que obtenemos al hacer girar un tringulo rectngulo sobre un eje que pasa por uno de sus catetos.

El cono est limitado por dos caras:a) Una cara plana que es un crculo (base del cono).b) Una cara curva que es la cara lateral del cono o manto del cono. LA ESFERALa esfera es un cuerpo de revolucin que se obtiene al hacer girar un semicrculo sobre un eje que pasa por el dimetro de dicho semicrculo. La esfera tiene una sola cara que es curva.El segmento que une un punto cualquiera de la superficie esfrica con el centro es el radio de la esfera.El centro de la esfera es un punto que pertenece al espacio interior de la esfera y que equidista de todos los puntos de ella.

EL VOLUMEN Y EL REA DE LA SUPERFICIE DE UNA ESFERAPor volumen de una esfera, entendemos el volumen del cuerpo slido que es la reunin de la superficie esfrica y su interior.

TEOREMAEl volumen de una esfera de radio r en 1T . n Volumen = 1 phi (radio)3. 3La cara lateral termina en un punto que es el vrtice M cono. La Altura del cono recto es la recta que une al vrtice del cono con el centro de la base. El lado del tringulo rectngulo (hipotenusa) que al girar sobre el eje forma la cara lateral del cono, recibe el nombre de generatriz del cono

El rea lateral de un cono es el rea de la superficie lateral. Un cono circular es uno cuya base es un crculo. Un cono circular recto es aquel en el cual la recta que pasa por el vrtice y el centro de la base es perpendicular a la base. El rea total de un cono recto es igual a la suma del rea lateral y el rea de la base. El volumen de un cono es igual a un tercio del producto del rea de su base y su altura. Para el cono circular, con el radio R de la base y h la altura se obtiene:Volumen = 1 phi R 2 h 3

Obsrvese la propiedad interesante de que el rea de la superficie de una esfera es exactamente 4 veces el rea de la seccin transversal que pasa por el centro.