geometría computacional ingeniería informática envolvente convexa parte 1: algoritmos tema 1

Geometría ComputacionalIngeniería Informática

Envolvente convexaEnvolvente convexa

Parte 1: AlgoritmosParte 1: Algoritmos

Tema 1

Algoritmos:

• Quickhull• Ptos. extremos

Definiciones

Tema 1 Envolvente convexa

• Scan de Graham• Marcha de Jarvis

Aplicaciones:

• Diámetro• Anchura

• Otros• Cota inferior


Definiciones

Un conjunto es convexo si el segmento uniendo cualquiera dos de sus puntos está contenido en él.

Algoritmos:


Definiciones



Aplicaciones:




Definiciones

Envolvente convexa de un conjunto: menor convexo que lo contiene.

O, equivalentemente, la intersección de todos los convexos que contienen al conjunto.

Algoritmos:


Definiciones



Aplicaciones:




Considere todos los conjuntos convexos que lo contienen y elija el menor de todos ellos.

Algoritmos:


Definiciones



Aplicaciones:




O bien, calculando la intersección de todos ellos.

Algoritmos:


Definiciones



Aplicaciones:




Pero, ningún ordenador puede manejar infinitos conjuntos....

Algoritmos:


Definiciones



Aplicaciones:




Eso se resuelve con puntillas y una goma elástica

Algoritmos:


Definiciones



Aplicaciones:




Observación 1: La envolvente convexa es un polígono convexo con vértices en puntos del conjunto.

Observación 2: Describir la secuencia en orden de los vértices es describir la envolvente.

Observación 3: Selección ordenada de subconjuntos.

Algoritmos:


Definiciones



Aplicaciones:




Definiciones

Aplicaciones:• Lo interesante suele ocurrir dentro de la

envolvente.• Es más fácil (rápido) mover un convexo.

Algoritmos:



Definiciones


Aplicaciones:




Algoritmos: Puntos extremos

Punto extremo de S: no está contenido en ningún triángulo con vértices en puntos de S.

Sea S un conjunto de n puntos.

Algoritmos:



Definiciones


Aplicaciones:





Los puntos extremos son los vértices de la envolvente convexa.¿Cuánto nos cuesta encontrar todos los puntos extremos?

Algoritmos:



Definiciones


Aplicaciones:





Para cada punto de S, comprobar si está dentro de algún triángulo con vértices puntos de S:

• SÍ: No es vértice de la envolvente.

• NO: Es vértice de la envolvente convexa.

Para cada punto de S

comprobar si está dentro de algún triángulo.

n puntos,

O(n3) triángulos,O(n4) operaciones.

Algoritmos:



Definiciones


Aplicaciones:





También podemos buscar las aristas extremas (unen dos puntos de S y dejan a todo el conjunto a un mismo lado de la recta que definen).

Para cada par de puntos de S

ver si la arista es extrema.

O(n2) pares,

O(n) por comprobación

O(n3) operaciones.

Algoritmos:



Definiciones


Aplicaciones:





Inciso: ¿Cómo sabemos si• un punto está dentro de un triángulo, o si• un punto está a un lado u otro de una recta?

Mediante un determinante

Algoritmos:



Definiciones


Aplicaciones:





¿A qué lado de la recta PQ está R?

P R

QA partir de sus coordenadas construimos el determinante

p1 p2 1

|A|= q1 q2 1

r1 r2 1

Interpretación geométrica: Vamos de P a Q, y luego de Q a R. Si:

• |A|>0: Giro a la izquierda. • |A|<0: Giro a la derecha.

Algoritmos:



Definiciones


Aplicaciones:




R


¿M está dentro o fuera del triángulo?

P

Q

¡Ojo! esto sólo vale para convexos .

M Si al recorrer el triángulo (en el sentido de las agujas del reloj) hacemos 3 giros a la derecha, entonces M está en el interior.

Algoritmos:



Definiciones


Aplicaciones:




Algoritmos: Quickhull

Punto Norte (mayor coordenada y)

Sur

Este Oeste

Algoritmos:



Definiciones


Aplicaciones:





Los puntos en el rectángulo definido por estos cuatro puntos no son vértices de la envolvente.

Algoritmos:



Definiciones


Aplicaciones:





Buscamos el punto más alejado a cada uno de los segmentos y lo incorporamos.

Algoritmos:



Definiciones


Aplicaciones:





Repetimos el proceso en cada nuevo segmento hasta completar la envolvente.

Algoritmos:



Definiciones


Aplicaciones:





En el peor de los casos necesitaremos O(n2) operaciones.

Algoritmos:

• Quickhull


• Ptos. extremos


Definiciones

Aplicaciones:




Algoritmos: Marcha de Jarvis

Buscamos el punto Sur y a partir de él giramos una semirrecta

Algoritmos:

• Quickhull


• Ptos. extremos


Definiciones

Aplicaciones:





Buscamos el punto Sur y a partir de él giramos una semirrecta hasta encontrar el siguiente punto de la envolvente.

Algoritmos:

• Quickhull


• Ptos. extremos


Definiciones

Aplicaciones:





Repetimos el proceso hasta volver al punto de partida.

Algoritmos:

• Quickhull


• Ptos. extremos


Definiciones

Aplicaciones:





Coste:Buscar el siguiente punto: O(n)Hay que repetirlo n veces en el peor de los casos.Número de operaciones: O(n2)

Algoritmos:

• Quickhull


• Ptos. extremos


Definiciones

Aplicaciones:





En realidad el tiempo de ejecución es: O(nh), siendo h el número de puntos de la envolvente.Es un algoritmo output sensitive.

Algoritmos:

• Quickhull


• Ptos. extremos


Definiciones

Aplicaciones:




1.- Escogemos un punto cualquiera.

Algoritmos: Scan de Graham

Algoritmos:

• Quickhull


• Ptos. extremos


Definiciones

Aplicaciones:




1.- Escogemos un punto cualquiera.2.- Ordenamos los demás puntos angularmente con respecto a dicho punto.


Algoritmos:

• Quickhull


• Ptos. extremos


Definiciones

Aplicaciones:




1.- Escogemos un punto cualquiera.2.- Ordenamos los demás puntos angularmente con respecto a dicho punto:L1

2

34

56

7

8

9 10

11

12

13


Algoritmos:

• Quickhull


• Ptos. extremos


Definiciones

Aplicaciones:




1.- Escogemos un punto cualquiera.2.- Ordenamos los demás puntos angularmente con respecto a dicho punto:L3.- A los tres primeros puntos les ponemos las etiquetas I M F

1

2

34

56

7

8

9 10

11

12

13


Algoritmos:

• Quickhull


• Ptos. extremos


Definiciones

Aplicaciones:




1.- Escogemos un punto cualquiera.2.- Ordenamos los demás puntos angularmente con respecto a dicho punto:L3.- A los tres primeros puntos les ponemos las etiquetas I M F

I

M

F 1

2

34

56

7

8

9 10

11

12

13


Algoritmos:

• Quickhull


• Ptos. extremos


Definiciones

Aplicaciones:




1.- Escogemos un punto cualquiera.2.- Ordenamos los demás puntos angularmente con respecto a dicho punto:L3.- A los tres primeros puntos les ponemos las etiquetas I M F4.- Si el ángulo IMF es positivo I=siguiente(I)M=siguiente(M)F=siguiente(F)

I

M

F 1

2

34

56

7

8

9 10

11

12

13


Algoritmos:

• Quickhull


• Ptos. extremos


Definiciones

Aplicaciones:




1.- Escogemos un punto cualquiera.2.- Ordenamos los demás puntos angularmente con respecto a dicho punto:L3.- A los tres primeros puntos les ponemos las etiquetas I M F4.- Si el ángulo IMF es positivo I=siguiente(I)M=siguiente(M)F=siguiente(F)

I

MF

1

2

34

56

7

8

9 10

11

12

13


Algoritmos:

• Quickhull


• Ptos. extremos


Definiciones

Aplicaciones:




1.- Escogemos un punto cualquiera.2.- Ordenamos los demás puntos angularmente con respecto a dicho punto:L3.- A los tres primeros puntos les ponemos las etiquetas I M F4.- Si el ángulo IMF es positivo I=siguiente(I)M=siguiente(M)F=siguiente(F)Si IMF es negativo: borramos M de LI=anterior(I)M=IF=F

I

MF

1

2

34

56

7

8

9 10

11

12

13


Algoritmos:

• Quickhull


• Ptos. extremos


Definiciones

Aplicaciones:





I

M

F1

2

34

56

7

8

9 10

11

12

13


Algoritmos:

• Quickhull


• Ptos. extremos


Definiciones

Aplicaciones:





I

M

F

1

2

34

56

7

8

9 10

11

12

13


Algoritmos:

• Quickhull


• Ptos. extremos


Definiciones

Aplicaciones:





I

MF

1

2

34

56

7

8

9 10

11

12

13


Algoritmos:

• Quickhull


• Ptos. extremos


Definiciones

Aplicaciones:





IM

F

1

2

34

56

7

8

9 10

11

12

13


Algoritmos:

• Quickhull


• Ptos. extremos


Definiciones

Aplicaciones:





I

M

F

1

2

34

56

7

8

9 10

11

12

13


Algoritmos:

• Quickhull


• Ptos. extremos


Definiciones

Aplicaciones:





I

M F

1

2

34

56

7

8

9 10

11

12

13


Algoritmos:

• Quickhull


• Ptos. extremos


Definiciones

Aplicaciones:





I

M

F

1

2

34

56

7

8

9 10

11

12

13


Algoritmos:

• Quickhull


• Ptos. extremos


Definiciones

Aplicaciones:





I

M F

1

2

34

56

7

8

9 10

11

12

13


Algoritmos:

• Quickhull


• Ptos. extremos


Definiciones

Aplicaciones:





I

M

F

1

2

34

56

7

8

9 10

11

12

13


Algoritmos:

• Quickhull


• Ptos. extremos


Definiciones

Aplicaciones:





I

M

F1

2

34

56

7

8

9 10

11

12

13


Algoritmos:

• Quickhull


• Ptos. extremos


Definiciones

Aplicaciones:





I

MF

1

2

34

56

7

8

9 10

11

12

13

O(n)

Teorema: El Scan de Graham computa la envolvente convexa de n puntos en un tiempo óptimo O(n log n).

O(n log n)


Algoritmos:

• Quickhull• Marcha de Jarvis

• Ptos. extremos


Definiciones

Aplicaciones:



• Scan de Graham


Algoritmos: Otros

Divide y vencerás:

Dividimos el conjunto en dos subconjuntos de aproximadamente el mismo tamaño.

Algoritmos:


• Ptos. extremos


Definiciones

Aplicaciones:



• Scan de Graham


Algoritmos: Otros

Divide y vencerás:


En cada uno de ellos repetimos la división hasta llegar a un tener uno o dos puntos.

Algoritmos:


• Ptos. extremos


Definiciones

Aplicaciones:



• Scan de Graham


Algoritmos: Otros

Divide y vencerás:



Construimos las envolventes en cada subconjunto y vamos uniéndolas hasta hallar la del conjunto original.

Algoritmos:


• Ptos. extremos


Definiciones

Aplicaciones:



• Scan de Graham


Algoritmos: Otros

Divide y vencerás:




No es necesario que las envolventes sean disjuntas (conjuntos separados linealmente).

Algoritmos:


• Ptos. extremos


Definiciones

Aplicaciones:



• Scan de Graham





Algoritmos: Otros

Divide y vencerás:

La unión de dos convexos requiere O(n), luego el algoritmo corre en tiempo O(n log n).

Algoritmos:


• Ptos. extremos


Definiciones

Aplicaciones:



• Scan de Graham


Algoritmos: Divide y vencerás

B

Tangente inferior

Tangente superior

A

Unión de dos convexos disjuntos

Algoritmos:


• Ptos. extremos


Definiciones

Aplicaciones:



• Scan de Graham



BA

Tangente inferior

Tangente superior

0

1 2

3

4

5

67

8

0

12

3

4

5

6

7

8

9

10


Algoritmos:


• Ptos. extremos


Definiciones

Aplicaciones:



• Scan de Graham



B

0

12

3

4

5

6

7

8

9

10

TANGENTE INFERIOR

a=punto de A más a la dcha

b=punto de B más a la izda

While T=ab no sea tangente a A y a B do{

While T=ab no sea tangente a A do a=a-1; (mód |A|)

While T=ab no sea tangente a B do b=b+1; (mód |B|)

}

A

0

1 2

3

4

5

67

8

a b


Algoritmos:


• Ptos. extremos


Definiciones

Aplicaciones:



• Scan de Graham



B

0

12

3

4

5

6

7

8

9

10

TANGENTE INFERIOR




While T=ab no sea tangente a A do a=a-1; (mód |A|)

While T=ab no sea tangente a B do b=b+1; (mód |B|)

}

A

0

1 2

3

4

5

67

8


Algoritmos:


• Ptos. extremos


Definiciones

Aplicaciones:



• Scan de Graham



B

0

12

3

4

5

6

7

8

9

10

TANGENTE SUPERIOR




While T=ab no sea tangente a A do a=a+1; (mód |A|)

While T=ab no sea tangente a B do b=b-1; (mód |B|)

}

A

0

1 2

3

4

5

67

8


Si los convexos no son disjuntos el algoritmo es ligeramente más complicado (ver libro de Preparata y Shamos)

Algoritmos:


• Ptos. extremos


Definiciones

Aplicaciones:



• Scan de Graham


Algoritmos: Otros

Incremental:

Añadimos los puntos uno a uno.

En cada paso comprobamos si el nuevo punto está en el interior de la envolvente:

• SÍ: Lo ignoramos.

• NO: Lo incorporamos a la envolvente.

Algoritmos:


• Ptos. extremos


Definiciones

Aplicaciones:



• Scan de Graham


Algoritmos: Otros

Incremental:





Al añadir un nuevo punto puede que tengamos que eliminar alguno de la envolvente.

Algoritmos:


• Ptos. extremos


Definiciones

Aplicaciones:



• Scan de Graham


Algoritmos: Otros

Incremental:





Al añadir un nuevo punto puede que tengamos que eliminar alguno de la envolvente.

Cada inserción a lo bruto requiere O(n), por lo que serían necesarias O(n2) operaciones, pero puede mejorarse a O(log n), obteniendo O(n log n).

Algoritmos:


• Ptos. extremos


Definiciones

Aplicaciones:


• Cota inferior

• Scan de Graham• Otros


Algoritmos: Cota inferior

Construir la envolvente convexa de n puntos requiere, al menos, (n log n) operaciones, ya que es equivalente a ordenar n números.

x-34-153

(x,x2)(-3,9)(4,16)(-1,1)(5,25)(3,9)

(-3,9) (-1,1) (3,9) (4,16) (5,25)

geometría computacional ingeniería informática envolvente convexa parte 1: algoritmos tema 1

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