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GEOMETRÍA ANALÍTICA

2. La parábola y la circunferencia

(Lección en forma de problemas, para el trabajo cooperativo)

Instrucciones:

� En un cuaderno (preferiblemente de papel cuadriculado), hacer todos lo problemas que se proponen. Hay que escribir los títulos de cada apartado, numerar y hacer ordenadamente los problemas, copiando los enunciados en el cuaderno. Hay que cuidar el orden y la presentación.

� El profesor debe fijar al comienzo de la tarea un plazo de entrega. � Esta tarea se recomienda hacerla durante el tiempo de clase en equipos heterogéneos

de 3-4 personas, aplicando las técnicas de trabajo cooperativo. Se puede complementar con trabajo individual o en grupo fuera del horario escolar, preferiblemente con el cuidado de un monitor.

� Al comenzar la tarea el alumno tiene que elaborar un plan de trabajo que le permita cumplir el plazo señalado para la entrega. Por ejemplo, señalando el número de problemas que se propone hacer por semana.

� Cada dos o tres problemas, los alumnos deben pedir la supervisión del profesor para que compruebe la correcta resolución de los mismos. El profesor debe hacer las indicaciones pertinentes para que el alumno, por sí mismo resuelva sus dudas.

� Los alumnos pueden usar como apoyo libros de texto, colecciones de problemas resueltos, la web y, preferiblemente, preguntar a otros compañeros o al profesor.

� Al finalizar el cuaderno, cada alumno debe hacer la Autoveluación para comprobar si ha asimilado correctamente los conceptos desarrollados. Para ello en la hoja de autoevaluación se facilitan las soluciones.

� El trabajo termina con una prueba escrita individual (examen), semejante a la Autoevaluación.

Tiempo estimado para la realización del trabajo: 10-12 horas Criterios de valoración: 1) Trabajo en equipo, actitud positiva hacia el aprendizaje en las sesiones de clase: (10%). 2) Cuaderno con los problemas: (40%). (Completo, ordenado, limpio y bien presentado, problemas correctamente resueltos, …) 3) Examen: (50%).

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Una función cuadrática, o función de segundo grado, es de la forma donde a, b y c son números reales y a es distinto de 0. Por ejemplo, 542 +−= xxy , es una función cuadrática. La gráfica de esta función se denomina parábola y para representarla hay que seguir los siguientes pasos:

PASO 1: Orientación. Observar el signo del coeficiente, a, de segundo grado.

• Si a es positivo, entonces la parábola será abierta hacia arriba.(∪) • Si a es negativo, entonces la parábola será abierta hacia abajo.(∩)

Por ejemplo, A) 562 +−= xxy está orientada hacia arriba,

B) 162 2 −+−= xxy está orientada hacia abajo

y = ax2 + bx + c

Función cuadrática. La parábola

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PASO 2: Vértice.. El vértice tiene coordenadas V = (v1, v2) y las obtenemos de la siguiente manera:

• a

bv

21

−=

• La coordenada v2, la obtenemos sustituyendo el valor de v1 en la ecuación de la parábola v2 = av1

2 + b v1 + c Por ejemplo, las parábolas del ejemplo anterior tiene sus vértice respectivos en A) V = (3, –4) B) V = (3/2, 7/2). PASO 3: Puntos de cortes con los ejes:

• Los puntos de corte con el eje horizontal X son la raíces. Se obtienen resolviendo la ecuación de segundo grado y = 0. Es decir

02 =++ cbxax

que tiene de soluciones a

acbbx

2

42 −±−= .

El valor dentro del símbolo de la raíz cuadrada (b2 –4ac) se llama discriminante. Indica el número de soluciones de la ecuación y, por lo tanto el número de puntos que corta al eje X. Si (b2 – 4ac) es mayor que 0, tiene dos puntos de corte (x1,0) y (x2,0). Si (b2 – 4ac), es igual a cero tiene sólo un punto de corte (x1,0). Si (b2 – 4ac) es menor que 0, la función no corta al eje X. • El punto de corte con el eje vertical Y. Para obtener dicho punto sustituimos en

la ecuación de la gráfica x = 0, luego, y =a•0 + b•0 + c = c . En definitiva, el punto con el eje Y es el (0, c).

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Por ejemplo, el ejemplo anterior A) La parábola 562 +−= xxy , corta al eje X en los puntos

==

⇒±=−±=

1

5

2

46

2

20366x

xx

B) La parábola 162 2 −+−= xxy , corta al eje X en los puntos

=−=

⇒−±−=

−−±−=

82,2

17,0

4

286

4

8366x

xx

PASO 4: Tabla de valores. Procura coger valores simétricos al valor que tenga la coordenada x del vértice. Observación: Las parábolas son simétricas respecto al eje vertical que pasa por el vértice. Por eso, cuando hallas un punto de la parábola, de paso hallas su simétrico respecto al eje de simetría.

Ejercicios 1. Representar las siguientes parábolas, siguiendo los cuatro pasos indicados en los

apuntes. a) 2xy = b) 22 += xy c) 22 −= xy d) 2xy −= e) 42 +−= xy f) 42 −−= xy 2. Representar las siguientes parábolas:

a) 322 −+−= xxy b) 652 +−= xxy c) 9102 ++= xxy Observa que el vértice de una parábola tiene por abscisa la mitad de las suma de las raíces.

3. Investigar cuánto vale la suma y el producto de las raíces de una ecuación de segundo grado.

4. Dibujar las parábolas y señalar sus raíces y las coordenadas del vértice.

a) )3)(2( −−= xxy b) )3)(2( −+= xxy c) 2)5( −= xy

d) 3)2( 2 +−= xy e) 5)1( 2 −+= xy f) 42 += xy

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Definición de circunferencia

La ecuación de una circunferencia se obtiene por aplicación del teorema de Pitágoras.

Ejemplo La circunferencia que tiene su centro en el punto C = (1, 3) y que su radio es R = 2 tiene por ecuación: 222 2)3()1( =−+− yx

O lo que es lo mismo 49612 22 =+−++− yyxx . Es decir, 0662 22 =+−+− yyxx Ejercicios 5. Dibujar en unos ejes coordenados la circunferencia del ejemplo. Señalar alguno de

sus puntos y comprobar que verifican la ecuación obtenida.

6. Escribir la circunferencia que tiene su centro en el origen de coordenadas O = (0, 0) y de radio R =1.

Una circunferencia es una curva formada por los puntos X = (x, y) del plano que están a una distancia fija, R, (llamada radio) a un punto dado C = (a, b), (llamado centro).

RCXd =),(

X = (x, y)

C = (a, b)

x – a

y – b R

a x

y

b

222 )()( Rbyax =−+−

( ) 022 22222 =−++−+− Rbabyyaxx

La circunferencia

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7. Escribir la ecuación de la circunferencia con centro en el punto C = (–2, 2) y de radio R =2. ¿Pertenece a esa circunferencia el punto P = (0, 2)? Comprobarlo sustituyendo en la ecuación.

8. Señalar el centro y el radio de las siguientes circunferencias. Dibujarlas en unos

ejes cartesianos. a) 25)5()2( 22 =++− yx b) 16)3( 22 =−+ yx

c) 0126 22 =+−+− xyxx d) 01422 22 =−−++ xyxx [PISTA las coordenadas del centro son los opuestos de la mitad de los coeficientes de primer grado] 9. Los puntos A = (–2, 6) y B = (4, –2) son los extremos del diámetro de una

circunferencia. a) ¿Cuál es su centro? ¿Cuál es su radio? b) Escribir la ecuación de dicha circunferencia. c) ¿Pertenece el punto P = (6, 2) a dicha circunferencia? ¿Y el punto Q =(2, 6)? 10. Escribir las ecuaciones de las circunferencias cuyos datos son: a) El centro es el punto C = (–1, 3) y el radio es R = 9. b) El centro es el punto C = (1, 6) y el diámetro mide 6. c) El centro es C = (1, –2) y pasa por el punto P = (1, 1). d) Los puntos P = (4, 3) y Q = (–2, 5) son los extremos de uno de sus diámetros. 11. hallar la intersección de la recta 0257 =+− yx con la circunferencia de ecuación

2522 =+yx . Hacer un dibujo. 12. Dibujar estas dos circunferencias y hallar los puntos en los que se cortan.

a) ( ) 52 22 =+− yx b) ( ) 101 22 =−+ yx

[PISTA: Para hallar los puntos de corte de dos curvas hay que resolver un sistema de ecuaciones.] 13. Hallar las soluciones de los siguientes sistemas de ecuaciones e interpretar

geométricamente los resultados.

a)

=+=−43

352

yx

yx b)

=−=−

524

12

yx

yx c)

=−=+

034

2522

yx

yx

d)

=+=−++

10

5)1()2(22

22

yx

yx e)

−+==−

2

122 xxy

yx f)

+==+

1

422

22

xy

yx

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AUTOEVALUACIÓN 1. Dada la parábola de ecuación 822 −−= xxy .

a) ¿Cuál es su orientación? b) ¿Cuáles son sus raíces? [PISTA: Las raíces son las soluciones de la ecuación y = 0. Las raíces son los puntos de corte con el eje X.] c) Determinar las coordenadas del vértice de la parábola. d) Completar la siguiente tabla de valores:

x –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

822 −−= xxy

e) Dibujar la parábola en unos ejes coordenados. [Solución: Está orientada hacia arriba. Sus raíces son x = –2 y x = 4. El vértice es V = (1, –9)]

2. Dada la parábola del ejercicio anterior, 822 −−= xxy , expresar la ecuación de las siguientes formas:

a) )()( bxaxy −⋅−= [PISTA: x = a ý x = b son las dos raíces de la ecuación.]

b) qpxy +−= 2)( . [PISTA: los valores de p y q tienen algo que ver con las coordenadas del vértice.] [Solución: a) y = (x + 2)·(x – 4). b) y = (x – 1)2 – 9 ]

3. Determina los puntos de corte de la parábola 822 −−= xxy con la recta 2+= xy . Representarlo gráficamente en unos ejes coordenados.

[Solución: Los puntos de corte son (–2, 0) y (5, 7)]

4. a) Decir cuál es el centro y el radio de la circunferencia que tiene por ecuación

16)1()2( 22 =−+− yx . b) Dibujarla. c) Escribir la ecuación en forma de polinomio 022 =++++ CByyAxx [PISTA: desarrollando los cuadrados.] [Solución: El centro es C = (2, 1) y el radio R =4. La ecuación es x2 – 4x + y2 – 2y 11= 0]

5. a) Escribir la ecuación de la circunferencia que tiene el centro en C = (2, 1) y de

radio 10=R . b) Dibujarla en unos ejes cartesianos. c) ¿Pertenece el punto P = (8, –7) a la circunferencia? ¿Por qué? c) ¿En qué puntos corta la circunferencia a los ejes coordenados? d) ¿Cuál es la longitud de la circunferencia? ¿Y, el área del círculo? [Solución: a) (x – 2)2 + (y –1)2 =100. b) Sí. c) l = 62,8; S = 314]

6. Hallar los puntos de corte, si los hay, de la circunferencia 522 =+ yx con la recta 52 +−= xy . Hacer un dibujo de la situación, en un sistema de ejes cartesianos.

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Interpretar la relación que tiene la recta con la circunferencia. [PISTA: Hay que decir si la recta es exterior, secante o tangente a la circunferencia.]

[Solución: El punto de corte es el punto (2, 1). La recta es tangente a la circunferencia en ese punto.]

7. Dado el triángulo rectángulo de vértices: P = (2, 0), Q = (4, 1) y R = (2, 5).

Encontrar la ecuación del círculo que pasa por los tres puntos P, Q y R. [PISTA: Hay que recordar que los ángulos inscritos en una semi-circunferencia son rectos]

[Solución: es la circunferencia que tiene su centro en C =(2; 2,5) y de radio R =2,5.]