GEOMETRIA ANALITICA

PROYECTO FINAL (HIPERBOLOGRAFO)

PAULA GERALDINE ARIAS PEREZ ALEJANDRO ZAMBRANO

JESSICA NIÑO

JORGE ENRIQUE GORDILLO ARDILA

ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERIA JULIO GARAVITO Bogotá, 14 de mayo de 2014

OBJETIVO GENERAL

Construir un aparato que trace una cónica y demostrarlo analíticamente.

MARCO TEORICO

Las secciones cónicas son curvas que pueden obtenerse como la intersección

de un cono circular con un plano que no contenga al vértice del cono. Las

distintas cónicas aparecen dependiendo de la inclinación del plano respecto del

eje del cono. Si el plano es perpendicular a dicho eje produce una

circunferencia; si se lo inclina ligeramente, se obtiene una elipse; cuando es

paralelo a una generatriz del cono se tiene una parábola y si corta a ambas

ramas del cono la curva es una hipérbola.

HIPERBOLA

La hipérbola es un lugar geométrico de los puntos P en el

plano, con la propiedad de que la diferencia positiva entre

las distancias de P a dos puntos fijos del plano (llamado

foco de la hipérbola) es constante.

Supongamos que los focos en este caso los nombraremos

como f1= (-c, 0) y f2=(c, 0) y llamemos 2a a la diferencia de

las distancias, entonces los puntos (x, y) de la hipérbola se

cumple que c > a.

ELEMENTOS DE LA HIPERBOLA

La recta que une los dos focos se llama eje real de la hipérbola y la

mediatriz se llama eje imaginario de la hipérbola.

El punto donde se cortan ambos ejes (que es, evidentemente, el punto

medio de los focos) se llama centro de la hipérbola.

Los puntos donde la hipérbola corta a los ejes (se verá que únicamente

corta al eje real) se llaman vértices de la hipérbola.

Se llama distancia focal a la distancia entre los dos focos y a las

distancias desde un punto cualquiera de la hipérbola a ambos focos se

le llama radios vectores del punto.

El cociente e = c / a, que es un número mayor que 1, se llama

excentricidad de la hipérbola.

ECUACIONES DE LA HIPERBOLA

Ecuación de una hipérbola con centro en el origen de

coordenadas y ecuación de la hipérbola en su forma canónica.

Ecuación de una hipérbola con centro en el punto

APLICACIONES DE LA HIPÉRBOLA

La hipérbola tiene una propiedad interesante: Si unimos cualquier punto, P, de

la hipérbola con sus focos, el ángulo que forman los radios focales con la

tangente en ese punto, son iguales.

Esta propiedad se utiliza en la construcción de espejos (de luz y sonido), pues

la emisión, de luz o sonido, desde el foco se refleja en la dirección de la recta

que une el otro foco con el punto.

Aplicada en astronomía: Trayectorias de cometas.

Un cuerpo celeste que provenga del exterior del sistema solar y sea atraído por

el sol, describirá una órbita hiperbólica, teniendo como un foco al sol y saldrá

nuevamente del sistema solar. Esto sucede con algunos cometas.

En el siguiente esquema se puede ver cómo se pueden combinar las

propiedades ópticas de la parábola y la hipérbola para construir un telescopio.

En mecánica se usan en el diseño de estructuras hay algunas veces que los

resultados de las fuerzas sobre una viga dan en forma de hipérbola.

Si usas una linterna (cuyo haz de luz es cónico) y la colocas paralela a una

pared, el borde de luz que se ve contra la pared es una perfecta hipérbola.

PLANTEAMIENTO MATEMÁTICO

Un punto C vértice opuesto a la base (eje x) de un triángulo isósceles de lados

congruentes de longitud se mueve sobre la recta , encuentre el lugar

geométrico del punto L vértice de un triángulo isósceles con la misma base y

lados congruentes de longitud √ .

H se mueve en la recta

Los puntos L y H son colineales, es decir están sobre la misma recta

;

Por lo tanto:

√

Igualando las dos ecuaciones:

Reemplazando:

Por lo tanto el lugar geométrico del punto L vértice de un triángulo isósceles, es

una hipérbola equilátera, con centro en el origen y , de ecuación:

CONSTRUCCION GEOGEBRA

1. Trazamos un segmento de longitud cualquiera

2. Hallamos el punto medio del segmento y hacemos una

circunferencia con centro en el punto medio M.

3. Graficamos las rectas y

4. C, D, E y F son los puntos de intersección de las rectas y

con la circunferencia. Trazamos los segmentos para

hacer un cuadrado de lados congruentes.

5. Colocamos un punto cualquiera H sobre el segmento , hallamos el

punto medio del segmento , y con la opción de compas hacemos una

circunferencia con radio y centro en H.

6. I y J son los puntos de intersección de la circunferencia con el segmento

, Trazamos los segmentos y una recta que pase por el punto

H y perpendicular al segmento .

7. K es el punto de intersección del segmento AB y el segmento FC, con la

opción de compas trazamos una circunferencia de radio KC y centro en

J. L y N son los puntos de intersección de la circunferencia con la

perpendicular que pasa por el punto H.

8. Construimos el rombo de lados congruentes ILJN

9. Por ultimo activamos el rastro de los puntos L y N y movemos el punto

H.

MAQUINA

CONCLUSIONES

Aprendimos a construir un hiperbolografo y a entender como era su

funcionamiento analíticamente basándonos en el planteamiento

matemático de la hipérbola.

BIBLIOGRAFIA

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Las_conic

as_como_lugares_geometricos/Las_conicas_como_lugares_geometricos.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%A9rbola

http://www.geoan.com/conicas/ecuacion_hiperbola.html

http://www.buenastareas.com/ensayos/Aplicaciones-De-La-

Hiperbola/3268664.html

http://www.monografias.com/trabajos82/definicion-grandes-conicas/definicion-

grandes-conicas2.shtml#ixzz31ijc5CDw

http://www.sectormatematica.cl/contenidos/hipasint.htm