geometria analÍtica
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Pequeño resumen de geometría analítica con temas del plano cartesiano, coordenadas, distancia entre puntos (x, y), pendiente de una recta, entre otros.TRANSCRIPT
GEOMETRIA ANALÍTICA
[DEF] Sistema coordenado o plano:
Es un sistema de ubicación en el cual un punto puede desplazarse libremente sin que se salga del sistema o plano, dependiendo de la geometría que se este
trabajando existen diversos tipos de planos, por ejemplo el plano esférico y el plano hiperbólico en las geometrías no euclidianas.
[DEF] Plano cartesiano:
Descubierto por el matemático y fi lósofo René Descartes hacia 1629 es un sistema de coordenadas rectangulares bidimensional conformado por dos
rectas perpendiculares llamadas ejes.
La recta horizontal recibe el nombre de eje de las abscisas y por lo general se denota con la letra x, la recta vertical se denomina eje de las ordenadas y generalmente se denomina con la letra y, los dos ejes dividen el plano en 4
regiones denominadas cuadrantes que se enumeran en sentido anti-horario. El valor de las coordenadas sobre los ejes x y y, esta siempre acompañado de
un signo que determina en que cuadrante se encuentra el punto, el signo correspondiente a cada coordenada hace que los ejes estén divididos en 2
secciones cada una llamadas semiejes.
[DEF] Coordenadas:
Las coordenadas de un punto en el plano es el conjunto de números reales que
determinan la posición de un punto en el plano, por tanto un punto tiene un único par de coordenadas asociado y un par de coordenadas representa a un único punto la positividad o negatividad de las coordenadas indican en que
cuadrante esta ubicado el punto. Ejemplo: P(3,2); Q(2,3)
[DEF] Par ordenado:
Es el conjunto de coordenadas en el cual se describen siempre en primer ligar
la abscisa y en segundo lugar la ordenada, un punto se considera por ordenado cuando se encuentra escrito en la forma (x,y).
[TEOREMA] Distancia entre 2 puntos:
Dadas las coordenadas de 2 puntos sobre un plano se puede determinar la longitud del segmento que los une o el valor de la distancia que los separa
utilizando la llamada ecuación de la distancia. Sean P1(x1,y1) y P2(x2,y2) puntos sobre un mismo plano la distancia entre estos
denotada por d (P1,P2) o P1 P2 esta dada por la ecuación d(P1,P2)=
Ejemplo: Determinar la distancia entre los puntos P1(-3,4) y P2(5,4) y
ubicar los puntosdentro de un plano cartesiano.
d[(-3,4),(5,4)]= =
= 8
[DEF] Punto medio entre 2 puntos:
Es el punto que se encuentra a igual distancia de cualquiera de los 2 puntos, se denota como P(P1,P2) d(P1,P)= d(P,P2) las coordenadas del punto medio:
=
Ejemplo: Si P1(-3,4) y P2(5,4) =
= (1,4)
[DEF] Pendiente de una recta:
La pendiente de una recta determina la relación de cambio horizontal y el desplazamiento vertical de los puntos sobre una recta, denotada con la letra m su forma algebraica esta dada por:
Trigonometricamente esta dada por el grado de inclinación de la recta con respecto al eje de las abscisas y la ecuación que lo define es
PROPIEDADES DE m:
1. Si m=0 es una recta con respecto al eje x.
y-interseco= (0,b) Ecuación= y=0 x-interseco= No tiene
2. Si m>0 es una recta creciente:
y-interseco= (0,b) Ecuación= y=mx+b
x-interseco=
3. Si m<0 es una recta decreciente:
y-interseco= (0,b) Ecuación= y=mx+b x-interseco=
4. Si m es indeterminado, es una recta vertical:
y-interseco= no existe Ecuación= x=b x-interseco= (b,0)
[DEF] Representación gráfica de una recta:
1. Por medio de una tabla de valores:
Ejemplo: Graficar y=3x+2
2. Utilizar los puntos y-interseco y x-interseco.
Ejemplo: Graficar y=-2x+3
y=(0,b) y=(0,3)
x=
x=
3. Utilizar y-interseco y la pendiente:
Ejemplo: Graficar y= x-2
y-interseco (0,-2)
FORMAS DE CONOCER UNA RECTA:
Significa poder determinar su ecuación a partir de la grafica que la representa: Ejemplo:
Por ser decreciente m<0
Intersecos yi (0,1); xi (3,0)
[F1] Conocer 2 puntos de la recta:
Así, la ecuación canónica de la recta:
[F2] Conocer 1 punto y la pendiente:
Ejemplo: Trazar la recta que pasa por el P(1,4) y tiene y
determinar su ecuación conica.
Ecuación general de una recta:
Ejemplo:
Ecuación canonica
Ecuación general
Recordemos!!!
Dos rectas son paralelas y1 ║ y2 sii
m1=m2
Dos rectas son perpendiculares
y1 ┴ y2 sii
m1m2= -1
Ejemplos:
Obtenga las ecuaciones de las rectas que satisfagan las condiciones dadas: A(7,-3) ┴ 2x-5y=8
La pendiente de la recta dada:
Luego “recta creciente”
Ahora la pendiente de la recta perpendicular:
La ecuación de la recta perpendicular:
Ecuación canónica
Ecuación
5x+2y-29=0 general
A través del punto A(-7,2) ║ a la recta que pasa por los puntos B(0,4) y C(-6,-6)
La pendiente de la recta que pasa por B y C.
La respondiente ecuación:
La recta paralela a través de A tiene pendiente y ecuación
1. ¿En qué consistió la propuesta de Jesús Vio para su tesis?
2. ¿Cuál es la opinión del profesor Lardi sobre el tema? 3. ¿Cuál sería la grafica de la ecuación cuando n=1 y n=2?
[DEF] Circunferencia:
Una circunferencia es un conjunto de puntos que se encuentran todos a la
misma distancia de un punto fijo interno llamado centro, la distancia entre el centro y cada punto de la circunferencia se llama radio. ECUACIÓN CANÓNICA DE LA CIRCUNFERENCIA:
(x-h)²+(y-k)²=r² Con centro en C(h,k) y radio r
Ejemplo: Determine si cada punto pertenece o no a la circunferencia
dada:
P(4,-1) є (x+2)²+(y-1)²=25
(4+2)²+(-1-1)²=25
32+4=40
C(-2,1) r=5
Sustituyendo valores
CASOS ESPECIALES:
(x-h)²+(y-k)²=r² C(h,k) radio r
x²+y²=r² C(0,0) radio r
(x-h)²+y²=r² C(h,0) radio r
x²+(y-k)²=r² C(0,k) radio r
ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA:
(x-h)+(y-k)=r
x²-2xh+h²+y²-2yk+k²=r² x²-2xh+h²+y²-2yk+k²-r²=0
x²+y²-2hx-2ky+h²+k²-r²=0
donde A y B son los coeficientes x² y y² respectivamente:
C=2h ; D=2k y E=h²+k²-r²
Ax+By+Cx+Dy+E=0
con todos los coeficientes enteros.
Ejemplo: Escriba la forma general de la ecuación:
(x+2)²+(y-1)²=2
Para la gráfica C(-2,1) y r=
Ecuación general: x²+y²-4x-2y+3=0
Recordemos!!!
Completar el cuadrado
Sumar la mitad del coeficiente de la variable con exponente 1, elevada al cuadrado.
x+y+Cx+Dy+E=0
x+Cx+y+Dy+E=0
x+Cx+y+Dy=-E
x²+Cx+ +y²+Dy+ =-E+ +
(x+ )²+(y+ )²=-E+ +
C(- , ) y r= -E+ +
Resto el término independiente
Y se completa el cuadrado en x y y
Factoriza el trinomio en x y y
Ejemplo: x²+4x+y²-2y=-3
(x+2)²+(y-1)²=2
CUANDO A Y B SON DIFERENTES DE 1:
Ejemplo:
4x²+4y²+8x-8y=-7
4(x²+y²+2x-2y)=-7
x²+y²+2x+2y=
(x+ )²+(y+ )²= -E+ +
(x+1)+(y-1)=
C (-1,1) y r=
Aplicar la formula del caso ideal
Despejar el término independiente
Factorizar el coeficiente común (A=B)
Dividir en el coeficiente común
A PARTIR DE 3 PUNTOS HALLAR LA ECUACIÓN CANÓNICA:
Ejemplo: Hallar la circunferencia que pasa por los puntos:
A(-1,7) B(3,9)
C(0,0)
Que A,B y C pertenecen a la circunferencia, significa que los 3 puntos
satisfacen la ecuación de la circunferencia.
x²+y²+Cx+Dy+E=0
Así se tiene que para el punto A.
1+49-C+7D+E=0
50-C+7D+E=0 1
Para el punto B.
9+89+3C+9D+E=0
90+3C+9D+E=0 2
Para el punto C.
E=0 3
Así el sistema de ecuaciones se reduce a
50-C+7D=0 1
90+3C+9D=0 2
Despejando C en 1 y 2.
En 1 50+7D=C
En 2 C= -30-3D Igualando los resultados de C.
50+7D= -30-3D
Despejando D.
80=-10D
D=-8
Sustituyendo D en 1.
50-C-56=0
C=-6
Así la ecuación general de la circunferencia:
x+y-6x-8y=0
(x-3)²+(y-4)²=25
C(3,4) r=5
RESUMEN:
Canónciageneral:
x²-2hx+h²+y²-2ky+k²=r²
x²+y²-2hx-2ky+h²+k²-r²=0 ---- ---- ----------
x²+y²+Cx+Dy+E=0
Generalcanónica:
x+y+Cx+Dy+E=0
(x+ )²+(y+ )²= E+ +
--- --- -------------
(x-h)² + (y- k)² = r²
Gráficaecuación
Cuando conocemos el Centro y el Radio.
C(h,k) radio r ↓↓
(x-h)²+(y-k)²=r²
Cuando conocemos 3 puntos de la circinfencia (x1,y1); (x2,y2); (x3,y3)
- Evaluar la ecuación general en cada uno de los puntos dados. - Resolver el sistema de ecuaciones 3x3 que resulta para encontrar
los coeficientes de la ecuación general.
[DEF] Elipse:
Una elipse es un conjunto de puntos de los cuales la suma de sus distancias a 2 puntos fijos llamados focos es siempre constante.
Caracteristicas:
1. Vértices:
Puntos de intersección de la elipse con el eje focal.
2. Eje focal:
Recta que contiene a los focos.
3. Diametro mayor:
Segmento de recta con extremos los vertices.
4. Eje normal:
Recta perpendicular al eje focal que pasa por el centro de la elipse.
5. Centro:
Punto medio del diametro mayor y menor.
6. Diametro menor:
Segmento de recta que une los puntos en los que la elipse interseca al eje normal.
7. Menores:
Puntos de intersección de la elipse con el eje normal.
8. Radios vectores:
Cada una de las distancias de los puntos fijos o focos o cualquier punto sobre la elipse.
[CASOS]
1. Centro el origen y eje focal horizontal:
Para poder determinar la ecuación de esta elipse decimos que el centro
esta en el origen, ubico un punto P sin importar sus coordenadas, sus
focos y sus dos radios vectores.
= 1 con a>b
Propiedades
Vertices V( a,0)
Focos F( c,0)
Menores m(0, b)
Diametro mayor 2a
Diametro menor 2b
2. Centro el origen y eje focal vertical:
=1 con b>a
Propiedades
Vertices V(0, b)
Focos F(0, c)
Menores m ( a,0)
Diametro mayor 2b
Diametro menor 2a
Ejemplos: Trazar la gráfica de la ecuación y determinar las
coordendas de los puntos de referencia de la elipse, así ocmo las
longitudes de los diametros.
1. Elipse son centro el origen y eje focal horizontal.
Vertices V( 3,0)
Focos F( ,0)
Menores m(0, 2)
Diametro mayor V1V2 = 6 Diametro menor m1m2 =4
2. Elipse con centro el origen y eje focal vertical.
Vertices V(0, 4)
Focos F(0, )
Menores m ( 3,0)
Diametro mayor V1V2 = 8
Diametro menor m1m2=6
ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE:
Ax+By+Cx+Dy+E=0
b²x²+a²y²=a²b²
b²x²+a²y²-a²b²=0
--- -- -------
Ax²+By²-E=0
Ejemplo:
4x²+25y²-100=0
4x²+25y²=100
Vertices V( 5,0)
Focos F( ,0)
Menores m (0, 2)
ELIPSE CON CENTRO (h,k):
Ecuación canónica General
Ecuación general Canónica
Ejemplo: 1- Ecuación canónica General:
2- Ecuación general Canónica:
RESUMEN:
[C1] Eje focal horizontal centro el origen:
[C2] eje focal vertical con centro el origen:
[C3] Eje focal horizontal centro C(h,0):
[C4] Eje focal vertical con centro C(0,k):
[C5] Eje focal horizontal centro C(h,k):
[C6] Eje focal vertical con centro C(h,k):
[DEF] Parábola:
Conjunto de puntos que son equidistantes de un punto fijo llamado foco y una
recta fi ja llamada directriz, situados en el mismo plano.
Parábola con eje focal vertical:
Vértice V(h,k) Distancia Vértice – Foco P
Foco F(h,k+p) Longitud cada recta 4P
Parábola con eje focal horizontal:
Vértice V(h,k) Distancia Vértice – Foco P
Foco F(h+p,k) Longitud cada recta 4P