geometria analÍtica

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GEOMETRIA ANALÍTICA [DEF] Sistema coordenado o plano: Es un sistema de ubicación en el cual un punto puede desplazarse libremente sin que se salga del sistema o plano, dependiendo de la geometría que se este trabajando existen diversos tipos de planos, por ejemplo el plano esférico y el plano hiperbólico en las geometrías no euclidianas. [DEF] Plano cartesiano: Descubierto por el matemático y filósofo René Descartes hacia 1629 es un sistema de coordenadas rectangulares bidimensional conformado por dos rectas perpendiculares llamadas ejes. La recta horizontal recibe el nombre de eje de las abscisas y por lo general se denota con la letra x , la recta vertical se denomina eje de las ordenadas y generalmente se denomina con la letra y , los dos ejes dividen el plano en 4 regiones denominadas cuadrantes que se enumeran en sentido anti-horario. El valor de las coordenadas sobre los ejes x y y, esta siempre acompañado de un signo que determina en que cuadrante se encuentra el punto, el signo correspondiente a cada coordenada hace que los ejes estén divididos en 2 secciones cada una llamadas semiejes .

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Pequeño resumen de geometría analítica con temas del plano cartesiano, coordenadas, distancia entre puntos (x, y), pendiente de una recta, entre otros.

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Page 1: GEOMETRIA ANALÍTICA

GEOMETRIA ANALÍTICA

[DEF] Sistema coordenado o plano:

Es un sistema de ubicación en el cual un punto puede desplazarse libremente sin que se salga del sistema o plano, dependiendo de la geometría que se este

trabajando existen diversos tipos de planos, por ejemplo el plano esférico y el plano hiperbólico en las geometrías no euclidianas.

[DEF] Plano cartesiano:

Descubierto por el matemático y fi lósofo René Descartes hacia 1629 es un sistema de coordenadas rectangulares bidimensional conformado por dos

rectas perpendiculares llamadas ejes.

La recta horizontal recibe el nombre de eje de las abscisas y por lo general se denota con la letra x, la recta vertical se denomina eje de las ordenadas y generalmente se denomina con la letra y, los dos ejes dividen el plano en 4

regiones denominadas cuadrantes que se enumeran en sentido anti-horario. El valor de las coordenadas sobre los ejes x y y, esta siempre acompañado de

un signo que determina en que cuadrante se encuentra el punto, el signo correspondiente a cada coordenada hace que los ejes estén divididos en 2

secciones cada una llamadas semiejes.

Page 2: GEOMETRIA ANALÍTICA

[DEF] Coordenadas:

Las coordenadas de un punto en el plano es el conjunto de números reales que

determinan la posición de un punto en el plano, por tanto un punto tiene un único par de coordenadas asociado y un par de coordenadas representa a un único punto la positividad o negatividad de las coordenadas indican en que

cuadrante esta ubicado el punto. Ejemplo: P(3,2); Q(2,3)

[DEF] Par ordenado:

Es el conjunto de coordenadas en el cual se describen siempre en primer ligar

la abscisa y en segundo lugar la ordenada, un punto se considera por ordenado cuando se encuentra escrito en la forma (x,y).

[TEOREMA] Distancia entre 2 puntos:

Dadas las coordenadas de 2 puntos sobre un plano se puede determinar la longitud del segmento que los une o el valor de la distancia que los separa

utilizando la llamada ecuación de la distancia. Sean P1(x1,y1) y P2(x2,y2) puntos sobre un mismo plano la distancia entre estos

denotada por d (P1,P2) o P1 P2 esta dada por la ecuación d(P1,P2)=

Page 3: GEOMETRIA ANALÍTICA

Ejemplo: Determinar la distancia entre los puntos P1(-3,4) y P2(5,4) y

ubicar los puntosdentro de un plano cartesiano.

d[(-3,4),(5,4)]= =

= 8

[DEF] Punto medio entre 2 puntos:

Es el punto que se encuentra a igual distancia de cualquiera de los 2 puntos, se denota como P(P1,P2) d(P1,P)= d(P,P2) las coordenadas del punto medio:

=

Ejemplo: Si P1(-3,4) y P2(5,4) =

= (1,4)

Page 4: GEOMETRIA ANALÍTICA

[DEF] Pendiente de una recta:

La pendiente de una recta determina la relación de cambio horizontal y el desplazamiento vertical de los puntos sobre una recta, denotada con la letra m su forma algebraica esta dada por:

Trigonometricamente esta dada por el grado de inclinación de la recta con respecto al eje de las abscisas y la ecuación que lo define es

PROPIEDADES DE m:

1. Si m=0 es una recta con respecto al eje x.

y-interseco= (0,b) Ecuación= y=0 x-interseco= No tiene

Page 5: GEOMETRIA ANALÍTICA

2. Si m>0 es una recta creciente:

y-interseco= (0,b) Ecuación= y=mx+b

x-interseco=

3. Si m<0 es una recta decreciente:

y-interseco= (0,b) Ecuación= y=mx+b x-interseco=

4. Si m es indeterminado, es una recta vertical:

y-interseco= no existe Ecuación= x=b x-interseco= (b,0)

[DEF] Representación gráfica de una recta:

1. Por medio de una tabla de valores:

Ejemplo: Graficar y=3x+2

Page 6: GEOMETRIA ANALÍTICA

2. Utilizar los puntos y-interseco y x-interseco.

Ejemplo: Graficar y=-2x+3

y=(0,b) y=(0,3)

x=

x=

3. Utilizar y-interseco y la pendiente:

Ejemplo: Graficar y= x-2

y-interseco (0,-2)

Page 7: GEOMETRIA ANALÍTICA

FORMAS DE CONOCER UNA RECTA:

Significa poder determinar su ecuación a partir de la grafica que la representa: Ejemplo:

Page 8: GEOMETRIA ANALÍTICA

Por ser decreciente m<0

Intersecos yi (0,1); xi (3,0)

[F1] Conocer 2 puntos de la recta:

Así, la ecuación canónica de la recta:

[F2] Conocer 1 punto y la pendiente:

Ejemplo: Trazar la recta que pasa por el P(1,4) y tiene y

determinar su ecuación conica.

Page 9: GEOMETRIA ANALÍTICA

Ecuación general de una recta:

Ejemplo:

Ecuación canonica

Ecuación general

Recordemos!!!

Dos rectas son paralelas y1 ║ y2 sii

m1=m2

Dos rectas son perpendiculares

y1 ┴ y2 sii

m1m2= -1

Ejemplos:

Obtenga las ecuaciones de las rectas que satisfagan las condiciones dadas: A(7,-3) ┴ 2x-5y=8

La pendiente de la recta dada:

Luego “recta creciente”

Page 10: GEOMETRIA ANALÍTICA

Ahora la pendiente de la recta perpendicular:

La ecuación de la recta perpendicular:

Ecuación canónica

Ecuación

5x+2y-29=0 general

Page 11: GEOMETRIA ANALÍTICA

A través del punto A(-7,2) ║ a la recta que pasa por los puntos B(0,4) y C(-6,-6)

La pendiente de la recta que pasa por B y C.

La respondiente ecuación:

La recta paralela a través de A tiene pendiente y ecuación

1. ¿En qué consistió la propuesta de Jesús Vio para su tesis?

2. ¿Cuál es la opinión del profesor Lardi sobre el tema? 3. ¿Cuál sería la grafica de la ecuación cuando n=1 y n=2?

Page 12: GEOMETRIA ANALÍTICA

[DEF] Circunferencia:

Una circunferencia es un conjunto de puntos que se encuentran todos a la

misma distancia de un punto fijo interno llamado centro, la distancia entre el centro y cada punto de la circunferencia se llama radio. ECUACIÓN CANÓNICA DE LA CIRCUNFERENCIA:

(x-h)²+(y-k)²=r² Con centro en C(h,k) y radio r

Ejemplo: Determine si cada punto pertenece o no a la circunferencia

dada:

P(4,-1) є (x+2)²+(y-1)²=25

(4+2)²+(-1-1)²=25

32+4=40

C(-2,1) r=5

Sustituyendo valores

Page 13: GEOMETRIA ANALÍTICA

CASOS ESPECIALES:

(x-h)²+(y-k)²=r² C(h,k) radio r

x²+y²=r² C(0,0) radio r

(x-h)²+y²=r² C(h,0) radio r

x²+(y-k)²=r² C(0,k) radio r

ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA:

(x-h)+(y-k)=r

x²-2xh+h²+y²-2yk+k²=r² x²-2xh+h²+y²-2yk+k²-r²=0

x²+y²-2hx-2ky+h²+k²-r²=0

donde A y B son los coeficientes x² y y² respectivamente:

C=2h ; D=2k y E=h²+k²-r²

Ax+By+Cx+Dy+E=0

con todos los coeficientes enteros.

Ejemplo: Escriba la forma general de la ecuación:

(x+2)²+(y-1)²=2

Para la gráfica C(-2,1) y r=

Ecuación general: x²+y²-4x-2y+3=0

Page 14: GEOMETRIA ANALÍTICA

Recordemos!!!

Completar el cuadrado

Sumar la mitad del coeficiente de la variable con exponente 1, elevada al cuadrado.

x+y+Cx+Dy+E=0

x+Cx+y+Dy+E=0

x+Cx+y+Dy=-E

x²+Cx+ +y²+Dy+ =-E+ +

(x+ )²+(y+ )²=-E+ +

C(- , ) y r= -E+ +

Resto el término independiente

Y se completa el cuadrado en x y y

Factoriza el trinomio en x y y

Page 15: GEOMETRIA ANALÍTICA

Ejemplo: x²+4x+y²-2y=-3

(x+2)²+(y-1)²=2

CUANDO A Y B SON DIFERENTES DE 1:

Ejemplo:

4x²+4y²+8x-8y=-7

4(x²+y²+2x-2y)=-7

x²+y²+2x+2y=

(x+ )²+(y+ )²= -E+ +

(x+1)+(y-1)=

C (-1,1) y r=

Aplicar la formula del caso ideal

Despejar el término independiente

Factorizar el coeficiente común (A=B)

Dividir en el coeficiente común

Page 16: GEOMETRIA ANALÍTICA

A PARTIR DE 3 PUNTOS HALLAR LA ECUACIÓN CANÓNICA:

Ejemplo: Hallar la circunferencia que pasa por los puntos:

A(-1,7) B(3,9)

C(0,0)

Que A,B y C pertenecen a la circunferencia, significa que los 3 puntos

satisfacen la ecuación de la circunferencia.

x²+y²+Cx+Dy+E=0

Así se tiene que para el punto A.

1+49-C+7D+E=0

50-C+7D+E=0 1

Para el punto B.

9+89+3C+9D+E=0

90+3C+9D+E=0 2

Para el punto C.

E=0 3

Así el sistema de ecuaciones se reduce a

50-C+7D=0 1

90+3C+9D=0 2

Despejando C en 1 y 2.

En 1 50+7D=C

En 2 C= -30-3D Igualando los resultados de C.

50+7D= -30-3D

Page 17: GEOMETRIA ANALÍTICA

Despejando D.

80=-10D

D=-8

Sustituyendo D en 1.

50-C-56=0

C=-6

Así la ecuación general de la circunferencia:

x+y-6x-8y=0

(x-3)²+(y-4)²=25

C(3,4) r=5

Page 18: GEOMETRIA ANALÍTICA

RESUMEN:

Canónciageneral:

x²-2hx+h²+y²-2ky+k²=r²

x²+y²-2hx-2ky+h²+k²-r²=0 ---- ---- ----------

x²+y²+Cx+Dy+E=0

Generalcanónica:

x+y+Cx+Dy+E=0

(x+ )²+(y+ )²= E+ +

--- --- -------------

(x-h)² + (y- k)² = r²

Gráficaecuación

Cuando conocemos el Centro y el Radio.

C(h,k) radio r ↓↓

(x-h)²+(y-k)²=r²

Cuando conocemos 3 puntos de la circinfencia (x1,y1); (x2,y2); (x3,y3)

- Evaluar la ecuación general en cada uno de los puntos dados. - Resolver el sistema de ecuaciones 3x3 que resulta para encontrar

los coeficientes de la ecuación general.

Page 19: GEOMETRIA ANALÍTICA

[DEF] Elipse:

Una elipse es un conjunto de puntos de los cuales la suma de sus distancias a 2 puntos fijos llamados focos es siempre constante.

Caracteristicas:

1. Vértices:

Puntos de intersección de la elipse con el eje focal.

2. Eje focal:

Recta que contiene a los focos.

3. Diametro mayor:

Segmento de recta con extremos los vertices.

4. Eje normal:

Recta perpendicular al eje focal que pasa por el centro de la elipse.

5. Centro:

Page 20: GEOMETRIA ANALÍTICA

Punto medio del diametro mayor y menor.

6. Diametro menor:

Segmento de recta que une los puntos en los que la elipse interseca al eje normal.

7. Menores:

Puntos de intersección de la elipse con el eje normal.

8. Radios vectores:

Cada una de las distancias de los puntos fijos o focos o cualquier punto sobre la elipse.

[CASOS]

1. Centro el origen y eje focal horizontal:

Para poder determinar la ecuación de esta elipse decimos que el centro

esta en el origen, ubico un punto P sin importar sus coordenadas, sus

focos y sus dos radios vectores.

Page 21: GEOMETRIA ANALÍTICA

= 1 con a>b

Propiedades

Vertices V( a,0)

Focos F( c,0)

Menores m(0, b)

Diametro mayor 2a

Diametro menor 2b

2. Centro el origen y eje focal vertical:

=1 con b>a

Propiedades

Vertices V(0, b)

Focos F(0, c)

Menores m ( a,0)

Diametro mayor 2b

Diametro menor 2a

Ejemplos: Trazar la gráfica de la ecuación y determinar las

coordendas de los puntos de referencia de la elipse, así ocmo las

longitudes de los diametros.

1. Elipse son centro el origen y eje focal horizontal.

Vertices V( 3,0)

Focos F( ,0)

Menores m(0, 2)

Diametro mayor V1V2 = 6 Diametro menor m1m2 =4

Page 22: GEOMETRIA ANALÍTICA

2. Elipse con centro el origen y eje focal vertical.

Vertices V(0, 4)

Focos F(0, )

Menores m ( 3,0)

Diametro mayor V1V2 = 8

Diametro menor m1m2=6

Page 23: GEOMETRIA ANALÍTICA

ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE:

Ax+By+Cx+Dy+E=0

b²x²+a²y²=a²b²

b²x²+a²y²-a²b²=0

--- -- -------

Ax²+By²-E=0

Ejemplo:

4x²+25y²-100=0

4x²+25y²=100

Page 24: GEOMETRIA ANALÍTICA

Vertices V( 5,0)

Focos F( ,0)

Menores m (0, 2)

Page 25: GEOMETRIA ANALÍTICA

ELIPSE CON CENTRO (h,k):

Ecuación canónica General

Ecuación general Canónica

Page 26: GEOMETRIA ANALÍTICA

Ejemplo: 1- Ecuación canónica General:

2- Ecuación general Canónica:

Page 27: GEOMETRIA ANALÍTICA

RESUMEN:

[C1] Eje focal horizontal centro el origen:

[C2] eje focal vertical con centro el origen:

[C3] Eje focal horizontal centro C(h,0):

[C4] Eje focal vertical con centro C(0,k):

[C5] Eje focal horizontal centro C(h,k):

[C6] Eje focal vertical con centro C(h,k):

Page 28: GEOMETRIA ANALÍTICA

[DEF] Parábola:

Conjunto de puntos que son equidistantes de un punto fijo llamado foco y una

recta fi ja llamada directriz, situados en el mismo plano.

Parábola con eje focal vertical:

Vértice V(h,k) Distancia Vértice – Foco P

Foco F(h,k+p) Longitud cada recta 4P

Page 29: GEOMETRIA ANALÍTICA

Parábola con eje focal horizontal:

Vértice V(h,k) Distancia Vértice – Foco P

Foco F(h+p,k) Longitud cada recta 4P