geometría analítica

Formulario de Ciencias Geometría Analítica

185

Sistema de Coordenadas Rectangulares o Cartesianas

Está formado por dos rectas que se cortan en forma perpendicular (una horizontal y otra vertical) en un origen y determinan un plano bidimensional que contiene infinitos puntos. Al plano formado por dichos ejes se llama Plano Cartesiano.

Los ejes dividen al plano cartesiano en cuatro partes llamados cuadrantes.

X: Eje de abscisas Y: Eje de ordenadas

Coordenadas Cartesianas de un Punto

Se ha visto que al poner en movimiento a un punto nos engendra una línea, la cual al ponerse en movimiento engendra una superficie, y ésta a su vez, al ponerse también en movimiento engendra un volumen, se puede concluir que todas las figuras geométricas tienen como base de formación el punto.

Para su estudio, cuando menos por ahora, utilizaremos el Sistema Cartesiano de Ejes Rectangulares. Dentro de éste convendremos en que siempre que se hable de un punto conocido o de posición fija, designaremos sus coordenadas por las letras x e y con índices, mientras que siempre que se trate de un punto móvil o de posición desconocida sus coordenadas serán simplemente “x” y “y” sin índices.

Por ejemplo en la figura anterior, si tenemos una circunferencia de radio conocido, referida a un sistema de ejes, su centro es un punto conocido, de manera que al referirnos a él podemos

decir, el punto C x ,y1 1 , en tanto que

si suponemos que esta circunferencia es descrita por el extremo libre del compás, dicho extremo es un punto cuyas coordenadas cambian para cada posición, de tal manera que al mencionarlo podemos decir, el punto M(x, y). 1. Coordenadas de un Punto El conjunto de todos los pares

ordenados x,y se llama plano

numérico y se denota con 2

R , así:

XX '

Y

Y '

1 1C x , y

M x , y

X

Y

I CII C

IV CIII C


186

2R x,y / x R,y R

1x : es la abscisa del punto P.

1y : es la ordenada del punto p.

2. Distancia entre dos puntos

2 2

1 2 1 2 d x x y y

3. Coordenadas del punto medio

Sean m mP x ,y las coordenadas del

punto medio.

mx : Semisuma de las abscisas

my : Semisuma de las ordenadas

1 2 1 2m m

x x y y x ; y =

2 2

4. Coordenadas de dos puntos de trisección

1 2 1 2m m

2x x 2y y x ; y =

3 3

2 1 2 1n n

2x x 2y y x ; y =

3 3

5. Coordenadas del Baricentro de un Triángulo

Si: G(x, y) , es la posición del baricentro

de un triángulo ABC, tal que:

1 1A (x ; y ) ; 2 2B (x ; y ) ; 3 3C (x ; y )

Entonces:

XX '

Y

Y '

1x

1y

1 1P x .y

Y

Y '

XX '

2 2 2P x ,y

1 1 1P x ,y

O

m mM x ,y

Y

Y '

XX '

2 2 2P x ,y

1 1 1P x ,y

O

m mM x ,y

n nN x ,y

1 1A x ;y

3 3C x ;y

2 2B x ;y

G

X

Y

O

Y

Y '

XX '

2 2 2P x ,y

1 1 1P x ,y

O

d


187

Se cumple que:

1 2 3x x x x

3

1 2 3y y y y

3

La Recta Es la representación geométrica de los números reales

6. Sistema Coordenado Lineal:

A la correspondencia que existe entre puntos de una recta y los números reales se denomina sistema coordenado lineal.

De la figura los puntos O, A, B, P tienen por coordenada unidimensional a los números 0, 1, 2 y “x” respectivamente. 7. Distancia entre dos puntos de la recta:

2 1 1 2x x x x PQ

: Valor absoluto

8. Punto medio

9. Pendiente de una recta:

Es la inclinación que tiene dicha recta con respecto al eje positivo de las abscisas.

1 2

1 2

y y m tanθ

x x

Si “m” es positiva, el ángulo es

agudo y, cuando es negativa, dicho ángulo es obtuso (mide más de 90º), pero sin llegar a 180º ni sobrepasar este valor. 10. Ángulo entre dos rectas

1m : pendiente de 1L

2m : pendiente de 2L

Observe que el lado final del ángulo “ ” es

2L y el lado inicial es 1L .

2 1

1 2

m m tan

1 m m

O A B P

0 1 2 x

PQ

P Q

1x 2x

P Q

1x 2xx

M

Y

Y '

XX '

2 2 2P x ,y

1 1 1P x ,y

Oθ

Y

Y '

XX 'O

1L

2L

Números positivos +

Números negativos

0


188

11. División de un segmento en una razón dada.

Si: 1 1 1P (x ; y ) y 2 2 2P (x ; y ) son los

extremos de 1 2P P , las coordenadas del

punto P(x; y) que divide a este

segmento en una razón “r”.

1

2

P P r

PP ; son:

1 2x r x x

r 1

1 2y r y

y r 1

Posiciones Relativas de las Rectas: a) Rectas Paralelas Dos rectas son paralelas cuando sus pendientes son iguales.

1 2 1 2 L //L m m

b) Rectas Perpendiculares Dos rectas son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes resulta ser –1.

1 2 1 2 L L m m 1

Ecuación de la Recta

1er. CASO:

La ecuación de una recta se determina cuando se conoce la pendiente “m” y un

punto 0 0 0P (x , y ) que pertenece a la

recta.

0 0y y m x x

2do CASO:

La ecuación de una recta se determina cuando se conoce dos puntos de la

recta 1 1 1P (x , y ) , 2 2 2P (x , y ) .

2y

Y

1y

y

1P

2P

P

X' X1x x

2x

Y '

Y '

1LY

XX'

2L

O

Y '

1LY

XX'

2L

O

O

0 0 0P x , y

Y

Y '

X ' X

L


189

2 11 1

2 1

y y y y x x

x x

3er. CASO:

La ecuación de una recta se determina cuando se conoce los puntos de intersección con los ejes del plano

cartesiano (a, 0) , (0, b) .

yx 1 a b

A esta ecuación se le denomina ecuación simétrica de la recta.

Donde a 0 y b 0

4to CASO:

La ecuación de una recta se determina cuando se conoce el punto de

intersección con el eje “Y” (0, b) y la

pendiente “m”.

y mx b

Ecuación General de la Recta

Ax By C 0

Despejando “y”: A C

y xB B

La pendiente es: A

m= B

Observaciones:

a) Si m 0

b) Si m 0

c) Si L // x m 0

2 2 2P x ,y

1 1 1P x ,y

Y

Y '

L

XX'

XX'

Y '

Y

(0, b)

(a, 0)

L

XX'

Y '

Y

(0, b)

L

y mx b

θ

Y

Y '

XX'O

y mx b

θ

Y

Y '

XX'O


190

d) Si L // y m no está definida

Forma Normal de la ecuación de una Recta

x Cos y Sen p 0 . .

Donde:

P: longitud de la normal desde el origen (p siempre es positivo)

1OP L donde 1OP es la normal

0º 360º

Distancia de un punto a una recta

Ecuación de L: Ax By C 0

Punto 0 0P(x , y )

Distancia del punto P a L

0 0

2 2

Ax By C d

A B

Distancia entre dos rectas paralelas dadas las rectas

1 1L : Ax By C 0

2 2L : Ax By C 0

1 2

2 2

C C d

A B

Área de un Triángulo

Si se conoce tres puntos no colineales:

1 1A (x , y ) ; 2 2B (x , y ) ; 3 3C (x , y )

Entonces el área de la región se calcula por el valor absoluto de:

XX '

Y

Y '

b y b

O

XX '

Y

Y '

x a

Oa

Y

Y '

XX'O

L

p

Y

Y '

XX'O

L

d

0 0P(x , y )

XX '

1L

d2L

Y

Y '

O


191

1 1

2 2

3 3

x y 11

S x y 1 2

x y 1

Método Práctico para determinar el área de una región triangular

Si se conoce tres puntos no colineales

1 1A (x , y ) ; 2 2B (x , y ) ; 3 3C (x , y )

Entonces el área de la región se calcula por el valor absoluto de:

Área: 1

S N M 2

En esta fórmula los valores de N y M son productos combinados de las coordenadas de los puntos que forman la región triangular, tal como sigue: Sabiendo que:

Área de un Polígono

Sea 1 2 3 nA .A ,A ,......A , un polígono

cuyos vértices, nombrados en sentido antihorario tienen coordenadas:

1 1 1A x ;y , 2 2 2A x ;y , 3 3 3A x ;y ,

… , n n nA x ;y

El área del polígono estará dado por el siguiente determinante:

1 S N M

2

1 1A x ;y

3 3C x ;y

2 2B x ;y

X

Y

O

S

1 1A x ;y

3 3C x ;y

2 2B x ;y

X

Y

O

S

1 1

1 2 2 2 1 2

2 3 3 3 2 3.

x y

y x x y x y

y x x y x y

.

.

.

.

.

.

.

. 3 1 1 1 3 1 y x x y x y

M N

1 1

1 2 2 2 1 2

2 3 3 3 2 3

3 1 1 1 3 1

x y

y x x y x y

y x x y x y

y x x y x y

M N

3A

XO

2A

1A

nA

n 1A4A

5A

X '

Y '

S

Y


192

Secciones Cónicas

Definición:

A continuación estudiaremos 4 curvas que por su importancia y aplicaciones en algunas ramas de la ciencia, es necesario considerarlas. Cada una de estas curvas se describirá como un lugar geométrico y se demostrará que cada una de ellas es la gráfica de una ecuación cuadrática en “x” o “y”, que se puede representar como caso especial de la ecuación general siguiente:

2 2 Ax Bxy Cy Dx Ey F 0

En donde los coeficientes A, C, D, E, y F, son números reales que determinan el tipo de curva correspondiente que, en caso de existir, tendremos la línea recta, la circunferencia, la parábola, la elipse o una hipérbola.

En otros casos la curva, puede presentarse como una recta o un par de rectas, también puede ser un punto o el conjunto vacío.

Se llama CÓNICA al conjunto de puntos que forman la intersección de un plano con un cono de revolución de dos mantos, estas cuatro curvas son: la circunferencia, la parábola, la elipse y la hipérbola.

DISCRIMINANTE DE LA ECUACIÓN

A partir de la ecuación general:

2 2 Ax Bxy Cy Dx Ey F 0

podemos saber de qué cónica se trata

recurriendo al binomio 2

B 4AC ,

llamado discriminante de la ecuación, el cual se representa con la letra D de

donde: 2

D B 4AC

Por lo cual tenemos los casos siguientes:

Si: 2

D B 4AC 0 , se trata de una

Elipse

Si: 2


Parábola

Si: 2


Hipérbola Es decir: Si el valor del discriminante de una ecuación es negativo, cero o positivo nos indica que la ecuación corresponde a una elipse, a una parábola o a una hipérbola respectivamente.

Circunferencia Es el lugar geométrico de un punto

P(x, y) del plano, que se mueve a una

distancia constante (Radio) de un punto fijo del plano (Centro). Si tenemos:

Donde: C : Centro de la circunferencia r : radio

AB : Diámetro = 2r

EF : Cuerda

NL : Recta Normal

TL : Recta Tangente

A B

X

Y

O

E

F

TLC

r

NL


193

Formas de la

Circunferencia

1. Forma Ordinaria Cuando el centro de la circunferencia es un punto cualquiera (h, k).

2 2 2 (x h) (y k) r

2. Forma Canónica

La forma canónica de una ecuación seda cuando el centro de la circunferencia es el origen de

coordenadas h 0 y k 0 .

2 2 2

x y r

3. Circunferencia tangente al eje “x”

Se da cuando: r k

2 2 2

x h y k k

4. Circunferencia tangente al eje “Y”

Se da cuando: r h

2 2 2 (x h) (y k) h

5. Ecuación General de la Circunferencia

2 2 x y Ax By C 0

Completando Cuadrados

2 2A B A B 4C

x x 2 2 4

De aquí se tiene tres casos:

1er Caso: Si: 2 2

A B 4C 0

Entonces: A B

C ;2 2

además:

2 21r A B 4C

2

2do. Caso: Si: 2 2

A B 4C 0

Entonces: A B

C ;2 2

(Representa

un solo punto)

3er Caso: Si: 2 2

A B 4C 0

Entonces: (La ecuación representa a una circunferencia imaginaria)

X

Y

O

r

P x,y

h

k C h,k

X

Y

O

k

h

k C h,k

X

Y

O

h

h

k C h,k

X

Y

O

r


194

Ecuación de una Circunferencia que pasa por tres puntos La ecuación de una circunferencia que pasa por tres puntos conocidos

1 1 1P x ,y , 2 2 2P x ,y y 3 3 3P x ,y ,

estará dada por la siguiente determinante:

2 2

2 21 1 1 1

2 22 2 2 2

2 23 3 3 3

x y x y 1

x y x y 10

x y x y 1

x y x y 1

El cual permite determinar las incógnitas A, B, C de la ecuación.

2 2x y Ax By C 0

Intersección de dos circunferencias secantes Dadas las ecuaciones de dos circunferencias secantes, es posible calcular sus puntos de intersección hallando previamente la recta “eje radical” cuya ecuación está representada por la expresión que resulta de anular mediante cancelación los términos cuadráticos de las ecuaciones de las circunferencias.

La Parábola

Se describe geométricamente como la curva que resulta al interceptar un cono recto circular y un plano paralelo a la generatriz del cono. Es el lugar geométrico de un punto

P(x, y) del plano, que se mueve a una

distancia que equidista de una recta fija (Directriz) y de un punto fijo F (Foco) que no pertenece a la recta fija.

Elementos que se relacionan entre si en una parábola cualesquiera. Donde: F : Foco (Punto fijo) V : Vértice (Punto fijo)

1L : Eje focal ( a L )

CD : Cuerda focal

AB : Lado recto ( 1 a L )

VF P : Distancia focal

VF VG

FORMAS DE LA PARÁBOLA

PARÁBOLA DE VÉRTICE EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL EL EJE “X”

Cuya ecuación es: 2

y 4px

a) Primer caso: Si p 0 , la parábola

se abre hacia la derecha

Y

L

D

BF

V C A

P x,y

X

1L Directriz

Eje focal

G

Y

X

L

F p,0

V

dd


195

b) Segundo caso: Si p 0 , la parábola

se abre hacia la izquierda y la recta directriz es perpendicular al eje “X” Donde:

AB 4p Lado recto

x p Ecuación de la directriz

PARÁBOLA DE VÉRTICE EN EL

ORIGEN Y EJE FOCAL EL EJE “Y” La recta directriz es siempre paralela al eje “X” y el eje focal es el eje “Y” Cuya ecuación es:

2 x 4py


se abre hacia arriba.


se abre hacia abajo.

Donde:

AB 4p lado recto

x p Ecuación de la directriz

Parábola de vértice V(h, k) y eje focal paralelo al eje “X” La recta directriz es siempre paralela al eje “Y” y el eje focal es paralelo al eje “X”. La ecuación es:

2 y k 4p x h


se abre hacia la derecha

F p,0

A

B

L

XV

Y

dd

Y

X P x,y

L

V 0,0

F 0,p

A BF(0, p)

P(x, y)

V(0, 0)

L

X

Y

Y

X

F h p, k

L : x h p

V(h, k)

P(x, y)


196


se abre hacia la izquierda. Donde:

AB 4p Lado recto

x h p Ecuación de la directriz

Parábola de vértice V(h, k) y eje focal paralelo al eje “Y” Cuya ecuación es:

2

x h 4p y k

En forma análoga a los casos anteriores:

a) Si p 0 , la parábola se abre hacia

arriba

b) Si p 0 , la parábola se abre hacia

abajo

Donde:

AB 4p Lado recto

x k p Ecuación de la directriz

Ec. General de la

Parábola

2 2 Ax By Cx Dy E 0

a) Si el eje es paralelo o coincide con el

eje “x” A 0, B 0, C 0 luego la

ecuación será: 2

y ay bx c 0

b) Si el eje es paralelos o coincide con

el eje “y” A 0, B=0, D 0 luego la

ecuación será: 2

x ax by c 0

Ecuación de la Tangente y la Normal a la parábola

a) Para la parábola: 2

y 4px

LS 2 1

LT 1

1LN

4p m

y y

2p m

y

y m

2p

T 1 11

1N 1 1

2p L : y y x x

y

yL : y y x x

2p

Y

X

F h p, k

L : x h p

V(h, k)

P(x, y)

Y

X

P x,y

L

V h, k

F h, k p

TL

X

YNL

SL

2y 4px

P(x, y)

1 1 1P (x , y )


197

b) Para la parábola

2

y k 4p x h

T 1 11

1N 1 1

2p L : y y x x

y k

y kL : y y x x

2p

c) Para la parábola: 2

x 4py

2 1LS

1LT

LN 1

x x m

4p

x m

2p

2p m

x

1T 1 1

N 1 11

x L : y y x x

2p

2pL : y y x x

x

d) Para la parábola

2

x h 4p y k

1T 1 1

N 1 11

x h L : y y x x

2p

2pL : y y x x

x h

Teoremas 1. La recta tangente a la parábola

2y 4px en cualquier punto 1 1 1P x ,y

de la curva tiene por ecuación:

T 11L : y y 2p x x.

2. La recta tangente de pendiente “m” a

la parábola 2

y 4px tiene por

ecuación:

Tp

L : y mxm

; donde m 0

Elipse

Es el lugar geométrico de un punto

P x, y que se mueve en un plano de

tal manera que la suma de sus

distancias a dos puntos fijos 1F y 2F de

ese plano, es una constante. Una elipse es en realidad un círculo deformado que además de poseer centro tiene dos focos. Donde:

1 2

1 2 1 2

1 2

1 1 2

C : Centro

V y V : Vértices

F y F : Focos F F 2C

L : Eje focal Eje mayor : V V 2a

L : Eje normal Eje menor : B B 2b

DD y D'D': Directrices

1 2

1 2

TU : Lado recto

MI : Cuerda focal

RE : Diámetro

PF y PF : Lado recto

F F : Segmento focal

Y

X

D '

D '

O D

D

V1

V2

T

U

R

E

M

I

B1

P

F1

F2C

TL

X

Y

NL

2x 4py P(x, y)

1 1 1P (x , y )

SL


198

Relaciones Fundamentales

2 2 2

a b c

Elipse de Centro el Origen y Eje focal el Eje “X” Cuya ecuación es:

22

2 2

yx 1 a b

Donde:

* 1V a,0 y 2V a,0 , son los

vértices de la elipse.

* 1B 0,b y 2B 0, b son los

extremos del eje menor.

* 1 2F c,0 y F c,0 : Son los focos

* 2

ax

c ; Ecuación de la directriz

* e: excentricidad: c

ea

* Lado recto: 2

2b

a

Elipse de Centro el Origen y Eje Focal el Eje “Y” Cuya ecuación es:

2 2

2 2

yx 1 b a

Donde:

* 1V 0, a y 2V 0,a : Son los


* 1B 0,b y 2B b,0 : Son los

extremos del eje menor.

* 1 2F 0, c y F 0,c : Son los focos

* 2

ay

c : Ecuación de la directriz

* e: excentricidad: c

ea

* Lado recto: 2

2b

a

2a

2c

2V1V

2B

1B

1F 2FO2b

2V1V

P

1F 2FO

a ab

c c

2V1V

1B

1F 2F

2B

P x,y

Y

X

1V

1B2B

P x,y

X

2VY

1F

2F


199

Elipse de centro el punto C h,k y

Eje Focal paralelo al Eje “x”. Cuya ecuación es:

22

2 2

y kx h 1

a b

Donde:

* 1V h a,k y 2V h a,k : Son los


* 1 2B h,k b y B h,k b son los

extremos del eje menor

* 1 2F h c,k y F h c,k : Son los

focos

* 2

ax h


Elipse de Centro el Punto C h,k y

Eje Focal paralelo al Eje “Y”

La ecuación de la elipse cuyo eje focal es paralela al eje “Y” esta dado por la ecuación.

22

2 2

y kx h 1

b a

Cuyos elementos se encuentra relacionados entre si, entre sus elementos se tiene:

* 1V h,k a y 2V h,k a : Son los


* 1 2B h b,k y B h b,k son los

extremos del eje menor

* 1 2F h,k c y F h,k c : Son los

focos

* 2

ax k


Propiedades de la Elipse

Donde:

1 2

1 2

d P,F d P,F e d P,L d P,L

e: excentricidad de la elipse

2V1V

1B

1F 2F

2B

P x,y

C

1V

1B2B

P x,y

X

2V

1F

2F

Y

C

Y

X

D '

O

L2

V1

V2B1

F1

F2

dire

ctriz

B 2

P x, y b

a

dire

ctriz

L1

c a e


200

Propiedades:

* 1 1 1 2d B ,F d B ,F a

2 1 2 2d B ,F d B ,F a

* 1 2a

d C,L d C,Le

* c ae

* 2 2 2

a b c

* c

0 e 1 ó e= <1 a

* Lado recto2

2b

a

Ecuación General de la Elipse 2 2

Ax By Cx Dy E 0

Reduciendo a la forma ordinaria:

2 2C D

x y2A 2B

1 BT AT

Donde: 2 2

2 2

BC AD 4ABE T

4A B

Recta tangente a una elipse 1er Caso: Ecuación de la recta tangente a la elipse:

22

2 2

yx 1a b

En cualquier punto 1 1P x ,y

2 2 2 2T 1 1L : a yy b xx a b

2do. Caso: Ecuación de la recta tangente de pendiente “m” a la elipse.

22

2 2

yx 1 a b

2 2 2T L : y mx a m b

Ecuación del Diámetro de una Elipse 1er Caso: Si la elipse es:

22

2 2

yx 1 a b

P x,y un punto del lugar geométrico y

1 1 1P x ,y , 2 2 2P x ,y los extremos de

la cuerda dado que “p” biseca 1 2P P .

2

2

b x L : y

a m

2do Caso: Si la elipse es:

22

2 2

yx 1 b a

La ecuación del diámetro es:

2

2

a x L : y

b m

3er Caso: Si la elipse es:

22

2 2

y kx h 1

a b


2

2

b x h L : y k=

a m

2V1V

Y

X

1 1 1P x ,y

O

m

TL


201

4to Caso: Si la elipse es:

22

2 2

y kx h 1

b a


2

2

a x h L : y k=

b m

Diámetros Conjugados Si tenemos la elipse

22

2 2

yx 1 a b

La ecuación del diámetro que biseca a las cuerdas de pendiente “m” es:

2

2

b x L : y

a m

Ecuación de su diámetro conjugado

1L : y mx

Propiedades: 1ro. Si la elipse es de la forma

22

2 2

yx 1 a b

Entonces: 2

1 2

b m m

a

“m” y 1"m " pendientes de los diámetros

conjugados. 2do. Si la elipse es de la forma:

22

2 2

y kx h 1

b a

Entonces: 2

1 2

a m m

b

“m” y 1"m " pendientes de los diámetros

conjugados.

Cuerda de contacto Observemos un ejemplo al tener la elipse de ecuación:

22

2 2

yx 1 a b

La cuerda de contacto en una elipse se genera si cuando desde un puno fijo

exterior 1 1 1P x ,y de la elipse se trazan

dos tangentes a dicha elipse, la ecuación de la recta que pasa por los puntos de tangencia esta dado por:

2 2 2 21 1 L : a b a b yy xx

Hipérbola

Es el lugar geométrico de un punto

P x,y que se mueve en un plano de

tal manera que la diferencia de sus

distancias a dos puntos fijos 1 2F y F

llamados focos, es siempre igual a una constante positiva “2a”.

Y

X

1 1 1P x ,y

O

m

L

X

Y

1F

2F

C

A

B

1V

2V

2B

1B

M

TP


202

Elementos:

1 2

1 2

1 2 1 2

1 2

1 2

1 2

C : Centro y punto medio de F F

V y V : Vértices

F y F : Focos F F 2c

Eje transversol V V 2a

Eje conjugado B B 2b

AB : Lado recto

MT : Cuerda focal

PF y PF : Radio vector

Excentricidad “e” de la Elipse:

1 2

1 2

d P,F d P,F e d P,L d P,L

Propiedades:

* Lado recto2

2b

a

* 2 2 2

a b c

* c ae

* 1 2a

d C,L d C,Le

* c

e 1a

* si a b , entonces la hipérbola es

equilátera: e 2

* Distancia entre las rectas directrices 2

12a

L L2 c

Relaciones Fundamentales

Hipérbola de Centro el Origen y Eje Focal el eje “X”

Cuya ecuación es:

22

2 2

yx 1 a b

Donde:

* 1 2V a,0 y V a,0

* 1 2F c,0 y V c,0

Ecuación de sus Directrices 2

ax

c

Hipérbola de Centro el Origen y Eje Focal el Eje “Y”. Cuya ecuación es:

2 2

2 2

y x 1 a b

Donde:

1 2V 0, a y V 0,a

1 2F 0, c y F 0,c

1F 2F

1V 2V

P x,y

1F 2F

2B

1B

1V 2V

2C

2a

2b

1F

2F

1V

2V

P(x,y)

X

Y

C


203

Ecuación de sus Directrices 2

a y

c

Hipérbola de centro el punto C h,k

y Eje Focal Paralelo el Eje “X” Cuya ecuación es:

22

2 2

y kx h 1

a b

Dónde:

* C h,k : centro

* x ' x h y' y h

* 1 2V h a,k y V h a,k

* 1 2F h c,k y F h c,k

* Lado recto: 2

2b

a

* Excentricidad: c

e 1a

* Asíntotas: by k x h

a

* Eje Focal: y k

* Eje conjugado: x h Ecuación de sus Directrices

2a

x h c

Las coordenadas del punto P, pueden tomarse con referencia a los ejes X’Y’ para facilidad de cálculo.

Hipérbola de Centro el Punto C(h, k) y Eje Focal paralelo al Eje “Y”. Cuya ecuación es:

2 2

2 2

y k x h 1

a b

Donde:

* C h,k : centro

* x ' x h y ' y h

* 1 2V h,k a y V h,k a

* 1 2F h,k c y F h,k c

* Lado recto: 2

2b

a

* Excentricidad: c

e 1a

* Asíntotas: ay k x h

b

* Eje Focal: x h

* Eje conjugado: y k

Ecuación de sus Directrices

2a

y k c

1F 2F1V 2V

P(x,y)

X

Y

X´

Y´

C

1F

2F

1V

2V

P(x,y)

X´C

Y

X

Y´


204

Asíntotas de una Hipérbola Se denominan asíntotas a las rectas que limitan a la curva y no la intersecan, son las que le dan el carácter de simétrica a la hipérbola.

22

2 2

P= a,byx1

R a,ba b

1bx

L : ya

2bx

L : ya

2do. Hipérbola Vertical:

22

2 2

P= a,by x1

R a,ba b

1ax

L : yb

2ax

L : yb

Observaciones:

a) Las asíntotas de cualquier hipérbola horizontal o vertical pueden obtenerse igualando a cero el segundo miembro de la ecuación correspondiente y

despejando y F x .

* Hipérbola Horizontal 22

2 2

yx 0 a b

Despejando:

2 22

2

b x bxy y

aa

* Hipérbola Vertical

22

2 2

y x 0 a b

Despejando:

2 22

2

a x axy y

bb

b) Las asíntotas de las hipérbolas en su forma canónica son conjugadas. Es decir, si la ecuación de la hipérbola es:

2 2 2 2 2 2b x a y a b

bx ay bx ay 0

Luego:

bx ay 0 ó bx ay 0

c) Las asíntotas de una hipérbola sirven como líneas de guía en el gráfico Hipérbola Rectangular o Equilátera Si el rectángulo fundamental de la hipérbola es un cuadrado. Las asíntotas

son perpendiculares a b

Las cuatro formas son:

1. 2 2 2

x y a

2. 2 2 2

y x a

3. 2 2 2

x h y k a

4. 22 2y k x h a

1V 2V

1L

X

Y2L

1B

2B

R R

1L2L

1B2B

1V

2VR

X

Y


205

Observaciones: a) La excentricidad de una hipérbola

equilátera es constante e igual a 2 .

2 2c a a

e 2a a

b) La longitud de cada lado recto de una hipérbola equilátera es igual a la longitud del eje transverso o conjugado.

Lado recto2

2a2a

a

También:

Lado recto2

2b2b

b

c) Si 1 1 1P x ,y es un punto cualquiera

de la hipérbola: 2 2 2

x y a y 1d , 2d

son las distancias del punto 1P a las

asíntotas:

1L : x y=0 y 2L : x+y=0

Entonces:

1 11

x yd

2

y 1 1

2

x yd

2

Dónde: 2 2 2

1 11 2

x y ad d

2 2

El producto de multiplicar las distancias de un punto cualquiera de la hipérbola a sus asíntotas, es constante.

Ecuación General de la Hipérbola

2 2Ax By Cx Dy E 0

Reduciendo a la forma ordinaria 2 2

C Dx y

2A 2B1

t t

A B

Donde: 2 2

C Dt A x B y

2A 2B

Observación:

* Si t 0 , la ecuación representa una

hipérbola con eje real o transverso coincidente o paralelo al eje “X”.

* Si: t 0 , la ecuación representa

dos rectas concurrentes

* Si: t 0 , la ecuación representa

una hipérbola con eje real coincidente o paralelo al eje “y”.

Tangentes a una Hipérbola 1er. Caso:

Ecuación de la recta tangente a la Hipérbola:

2 2 2 2 2 2b x a y a b , en un punto

cualquiera 1 1 1P x ,y de la curva es:

2 2 2 2T 1 1L : b xx a yy a b

2do Caso:

Ecuación de la recta tangente a la Hipérbola:

2 2 2 2 2 2b y a x a b ; en un punto

cualquier 1 1 1P x ,y de la curva es:

2 2 2 2T 1 1L : b yy a xx a b

3er Caso:

Las ecuaciones de las rectas tangentes a la Hipérbola:

2 2 2 2 2 2b x a y a b , de pendiente “m”

son:


206

2 2 2TL : y mx a b m

am

b

Cuerda de Contacto Si la hipérbola es de ecuación:

2 2 2 2 2 2H: b x a y a b

La ecuación de la cuerda de contacto

MN es: 2 2 2 2

1 1 L : b xx a yy a b

Ecuación del Diámetro de una

Hipérbola 1er. Caso

Consideremos la Hipérbola: 2 2 2 2 2 2

H: b x a y a b

“P” biseca a 1 2P P

Luego: 2

2

b x L : y

a m

Donde “m” pendiente de las cuerdas paralelas 2do caso:

Consideremos la Hipérbola: 2 2 2 2 2 2

H: b y a x a b

La ecuación de un diámetro será:

Luego: 2

2

a xL : y

b m

Diámetros Conjugados en la

Hipérbola Si se tiene la hipérbola de ecuación:

2 2 2 2 2 2 H: b x a y a b

La ecuación del diámetro que biseca a las cuerdas de pendiente “m” es:

2

T 2

b x L : y

a m

La ecuación de su conjugada es:

y mx

Pendiente de TL :

2

1 2

bm

a m

2

1 2

bm m

a

Para que los diámetros sean conjugados se debe cumplir:

2

1 2

a m m

b

2L

X

Y

1L

1P2F

M

N

O

2P

X

Y

L

O

1P


207

Coordenadas Polares La ubicación de un punto A en el plano, con respecto a un punto fijo “O” se puede hallar también midiendo una distancia orientada bajo un ángulo. A esta forma de ubicar puntos se denomina “coordenada polar de un punto”. Coordenadas Polares de un Punto Consideremos sobre un plano, un rayo (OX) con origen en el punto O. denominado eje polar; el punto O se denomina polo.

Relación entre Coordenadas Polares

y Rectangulares de un Punto Para transformar las coordenadas de un punto de un sistema de coordenadas rectangulares a un sistema de coordenadas polares o viceversa, hacemos coincidir los orígenes de los dos sistemas y el eje polar con el eje positivo de las abscisas o de las x, como se ve en la figura adjunta en la cual consideramos un punto P, cualquiera. Las coordenadas en ambos sistemas del punto P son:

P (x, y) y P (r, )

Cambio de Sistema de Coordenadas

cartesianas a Polares y Viceversa Aplicando relaciones trigonométricas obtenemos:

ysen y rsen

r … (I)

xcos x r cos

r … (II)

Que son las ecuaciones de transformación de un sistema a otro. Elevando al cuadrado las expresiones (I) y (II), luego sumando:

2 2 2 2 2 2x y r cos r sen

2 2 2 2 2x y r (cos sen )

Pero: 2 2

cos sen 1

Por lo cual:

2 2 2 2 2r x y r x y … (III)

Las expresiones anteriores (1), (2) y (3) son válidas para todos los puntos del plano, es decir, podemos convertir con facilidad las ecuaciones rectangulares de las curvas en el plano a su forma polar o viceversa.

O

eje polar

A(distancia,ángulo)

X

r

O

X

r

P(x,y)P(r,θ)


208

Ejemplo 1: Dada la ecuación de la circunferencia:

2 2x y 16

Hallar su ecuación en coordenadas polares. Solución: Reemplazando por sus equivalentes

2 2 2 2r cos r sen 16

2 2 2r (cos sen ) 16

2r 16 r 4

Ejemplo 2: Hallar la ecuación en coordenadas polares de la relación:

2 2 4 2x y x 4x y

Solución: Reemplazando por sus equivalentes

2 2 2 2 4 4 2 2r cos r sen r cos 4r cos rsen

4 2r cos

2 2 2 2(sen cos ) 4r cos rsen

r( cos2 ) 4sen

r cos2 4sen 0

geometría analítica

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