Distancia entre dos puntos

La distancia d entre dos puntos y se determina

mediante el teorema de Pitágoras así:

1 1 1( , )P x y 2 2 2( , )P x y

1P

2P

1x 2x

1y

2y

0

2 1x x

2 1y y

x

y

d

2 22

2 1 2 1d x x y y

2 2

2 1 2 1d x x y y

Ejercicio 1

En un sistema de coordenadas cartesianas, situar los

siguientes puntos y calcular sus distancias

respectivas

a) A(3,7) y B(17,–5)

b) C(0,–9) y D(9,0)

c) E(–2,2) y F(–11,7)

d) G(–4,–6) y H(–2,–1)

e) I(3, 2) y J(-3, -1)

Ejercicio 2.

Demostrar que los puntos A = (0,1) y B = (3,5) ; C = (7,2)

y D = (4,−2) son los vértices de un cuadrado

División interna y externa de un segmento

Considérense dos puntos fijos y y un tercer punto

alineado con ellos y llam ado punto de división.

1 1 1( , )P x y 2 2 2( , )P x y ,P x y

1P

2P

1x 2x

1y

2y

0

2x x

2y y

x

y

P

Q

R

x

y

1x x

1 1 1

2 2 2

0PP x x y y

rPP x x y y

Por ser semejantes los triángulos

y , se tiene que:1PPQ 2PP R

De donde las coordenadas de P,

se obtienen así:

1 2

1

x rxx

r

1 2

1

y ryy

r

La razón se llama razón de semejanza o razón de división del segmento PQ.1

2

PPr

PP

Ejercicio 1: Encuentre la pareja de coordenadas de

un punto B, que divide al segmento determinado por

C(-1, 6) y D(3, -3) en la razón r = 2/5.

Ejercicio 2: Con lo que sabes hasta ahora, puedes

ayudar al herrero Abundio a fabricar una escalera.

Abundio quiere que la escalera mida tres metros de

largo, y desea colocarle nueve peldaños. ¿Cómo

determinarías a qué distancia debe poner cada peldaño

si el tramo de material está en posición horizontal como

se muestra en la figura?

Un caso particular que encontramos, es cuando

r=1, en las ecuaciónes:

Que se conoce como punto medio

Dichas ecuaciones se reducen a lo siguiente:

2

21 xxx

2

21yy

y

1 2

1

x rxx

r

1 2

1

y ryy

r

Si aplicamos la función tangente veremos que el planteamiento quedaría así:

donde m es la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación de la recta

12

12

xx

yym

Calcula las coordenadas del punto medio y

la pendientes de cada uno de los

siguientes segmentos