geometría analítica

Matematica II

UNIVERSIDAD ALAS PERUANASFACULTAD DE CIENCIAS EMPRESAIALES

ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIÓN Y NEGOCIOS INTERNACIONALES

UNIDAD I: GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA, ECUACIONES DEL PUNTO Y RECTAS.

NÚMEROS REALES

La Recta Real

El siguiente dibujo muestra una recta real. Como se sabe, en ella se representan todos los números reales. Es importante notar que cualquier número real tiene un único punto asociado en la recta y, viceversa, cualquier punto tiene un único número real asociado. Por lo tanto, podemos hablar de puntos y números de la recta como si fueran la misma cosa.

En consecuencia, cuando denotemos puntos de la recta con letras como A, B, C, etc., también nos estamos refiriendo a los números que representan. Esto nos permitirá hacer operaciones con las letras como si fueran números (es decir, tienen sentido las operaciones A − B, A + B).

Bueno, una vez aclarado esto, podemos definir la notación de segmento dirigido como AB = B - A . En la figura, por ejemplo, se tiene que AB = B – A = (3) -(-2) = 5, de la misma manera se tiene que BA = -5.

Se puede ver que, en general cuando un punto P está a la izquierda de otro Q, la distancia PQ es la distancia que hay de P a Q (es positivo). Pero si este punto P estuviera a la derecha de Q, se tendría que PQ es la distancia con signo negativo. La observación más importante de todas es que PQ = -QP, sin importar si P está a la izquierda o a la derecha de Q.

Una vez elegido esto, podemos definir la distancia dirigida entre dos puntos A y B sobre esta recta de la misma manera que antes: AB = B−A. Con esta definición, la distancia dirigida satisface las propiedades:

1. AB = - BA

1

Universidad Alas Peruanas 2013 – I Matemática II

2. AP + PB = AB, para cualesquiera tres A, B y P puntos sobre la recta.

Segmento Dirigido

Es un segmento de recta que tiene dirección; es decir, tiene un extremo que es el inicial y otro que es el final.

Los segmentos dirigidos, se denotan de manera usual a los segmentos, pero respetando la dirección. Por ejemplo, en la notación AB, A es el punto inicial y B el punto final. De esta manera, BA es otro segmento dirigido con la dirección opuesta a AB.

Normalmente una recta dirigida se dibuja como una recta con una flecha, en este caso, la flecha apunta para dónde van los números positivos. La flecha es dato suficiente para tener completamente definida la distancia dirigida, ya que el origen no tiene relevancia en la definición de distancia dirigida.

La regla básica para operar segmentos dirigidos es la siguiente: AB + BC = AC donde A, B y C son puntos alineados.

La Razón con Segmento Dirigido

Consideremos dos puntos A y B en una recta dirigida. Entonces, para cualquier otro punto P sobre la recta dirigida se define la razón en que P

divide al segmento AB como: APPB

En la siguiente figura, se presenta un segmento (QR) dividido en nueve partes iguales. Se han marcado los puntos A y B, así como otros tres puntos: P, Q y R. Calcula la razón en cada uno de los puntos P, Q y R divide al segmento AB.

Los puntos P y Q dividirían en razón 1/2 al segmento AB con la noción usual de razón, mientras que con segmentos dirigidos una es 1/2 y la otra -1/2 (P y Q respectivamente). Por lo anterior, cuando se está hablando en términos de segmentos dirigidos, hablar de la razón en que un punto divide a un segmento es especificar de forma única el punto. Esto es muy útil, pues si en segmentos dirigidos se encuentran

2

Geometría Analítica Plana

con dos puntos dividiendo en la misma razón entonces se trata del mismo punto.

Coordenadas Cartesianas

En geometría, un sistema de coordenadas es un sistema que utiliza uno o más números (coordenadas) para determinar unívocamente la posición de un punto o de otro objeto geométrico. El orden en que se escriben las coordenadas es significativo y a veces se las identifica por su posición en una tupla ordenada; también se las puede representar con letras, como por ejemplo “la coordenada – X”. El estudio de los sistemas de coordenadas es objeto de la geometría analítica, permite formular los problemas geométricos de forma "numérica".

Un ejemplo corriente es el sistema que asigna longitud y latitud para localizar coordenadas geográficas. En física, un sistema de coordenadas para describir puntos en el espacio recibe el nombre de sistema de referencia.

Sistema de Coordenadas Cartesianas

Un sistema de coordenadas cartesianas se define por dos o tres ejes ortogonales igualmente escalados, dependiendo de si es un sistema bidimensional o tridimensional

Geometría Analítica

La geometría analítica estudia las figuras geométricas mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Actualmente la geometría analítica tiene múltiples aplicaciones más allá de las matemáticas y la ingeniería, pues forma parte ahora del trabajo de administradores para la planeación de estrategias y logística en la toma de decisiones.

3


Las dos cuestiones fundamentales de la geometría analítica son:

1. Dado el lugar geométrico en un sistema de coordenadas, obtener su ecuación.

2. Dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica o lugar geométrico de los puntos que verifican dicha ecuación.

Lo novedoso de la geometría analítica es que representa las figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f ( x , y )=0, donde f es una función u otro tipo de expresión matemática: las rectas se expresan como ecuaciones polinómicas de grado 1 (por ejemplo, 2 x+6 y=0), las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones polinómicas de grado 2 (la circunferencia x2+ y2=4, la hipérbola xy=1), etc.

En un sistema de coordenadas cartesianas, un punto del plano queda determinado por dos números, llamados abscisa y ordenada del punto. Mediante ese procedimiento a todo punto del plano corresponden siempre dos números reales ordenados (abscisa y ordenada), y recíprocamente, a un par ordenado de números corresponde un único punto del plano. Consecuentemente el sistema cartesiano establece una correspondencia biunívoca entre un concepto geométrico como es el de los puntos del plano y un concepto algebraico como son los pares ordenados de números. Esta correspondencia constituye el fundamento de la geometría analítica.

Con la geometría analítica se puede determinar figuras geométricas planas por medio de ecuaciones e inecuaciones con dos incógnitas. Éste es un método alternativo de resolución de problemas, o cuando menos nos proporciona un nuevo punto de vista con el cual poder atacar el problema.

4


Localización de un Punto en el Plano CartesianoComo distancia a los ejes: En un plano traza dos rectas orientadas perpendiculares entre sí (ejes) —que por convenio se trazan de manera que una de ellas sea horizontal y la otra vertical—, y cada punto del plano queda unívocamente determinado por las distancias de dicho punto a cada uno de los ejes, siempre y cuando se dé también un criterio para determinar sobre qué semiplano determinado por cada una de las rectas hay que tomar esa distancia, criterio que viene dado por un signo. Ese par de números, las coordenadas, quedará representado por un par ordenado ( x , y ), siendo x la distancia a uno de los ejes (por convenio será la distancia al eje horizontal) e y la distancia al otro eje (al vertical). A la coordenada x se la suele denominar abscisa del punto, mientras que a la y se la denomina ordenada del punto. El punto donde ambos ejes se cruzan tendrá por lo tanto distancia “0” a cada uno de los ejes, luego su abscisa será 0 y su ordenada también será 0. A este punto —el (0,0 )— se le denomina origen de coordenadas.

Como proyección sobre los ejes: Se consideran dos rectas orientadas, (ejes) , perpendiculares entre sí, x e y, con un origen común, el punto O de intersección de ambas rectas. Teniendo un punto P, al cual se desea determinar las coordenadas, se procede de la siguiente forma: Por el punto P se trazan rectas perpendiculares a los ejes, éstas determinan en la intersección con los mismos dos puntos, P' (el punto ubicado sobre el eje x) y el punto P'' (el punto ubicado sobre el eje y). Dichos puntos son las proyecciones ortogonales sobre los ejes x e y del punto P. A los Puntos P' y P'' le corresponden por número la distancia desde ellos al origen, teniendo en cuenta que si el punto P' se encuentra a la izquierda de O, dicho número será negativo, y si el punto P'' se encuentra hacia abajo del punto O, dicho número será negativo. Los números relacionados con P' y P'', en ese orden son los valores de las coordenadas del punto P.

Ejemplo 1: P' se encuentra a la derecha de O una distancia igual a 2 unidades. P'' se encuentra hacia arriba de O, una distancia igual a 3 unidades. Por lo que las coordenadas de P son (2, 3).

5


Ejemplo 2: P' se encuentra a la derecha de O una distancia igual a 4 unidades. P'' se encuentra hacia debajo de O, una distancia igual a 5 unidades. Por lo que las coordenadas de P son (4, -5).

Ejemplo 3: P' se encuentra a la izquierda de O una distancia igual a 3 unidades. P'' se encuentra hacia debajo de O, una distancia igual a 2 unidades. Por lo que las coordenadas de P son (-3, -2).

Ejemplo 4: P' se encuentra a la izquierda de O una distancia igual a 6 unidades. P'' se encuentra hacia arriba de O, una distancia igual a 4 unidades. Por lo que las coordenadas de P son (-6, 4).

Los Conceptos más Básicos de la Geometría Analítica

Distancia entre dos puntos Pendiente de una recta Coordenadas del punto medio

Creo que aprendiendo estos conceptos y sus modos de uso ya se puede entrar a solucionar problemas en geometría de coordenadas, y seguir aprendiendo sobre la marcha otros más, con los cuales se podrán resolver problemas cada vez más difíciles.

La fórmula de distancia entre dos puntos se deriva directamente del Teorema de Pitágoras. La pendiente de una recta es una definición de una de sus características (está asociada con la tangente del ángulo que forma la recta con el eje x). La fórmula del punto medio se puede ver ya como un teorema cuya demostración (una de ellas) se basa en los conceptos de pendiente y distancia entre dos puntos. (La ecuación de una recta -no abordada en este post- se puede ver como la descripción algebraica de la recta en un sistema cartesiano de coordenadas.

Los conocimientos previos requeridos para aprender estos tres conceptos son: Teorema de Pitágoras (para distancia), Teorema de Tales (para pendiente), Congruencia de triángulos (para punto medio), y pues también la representación de puntos vía coordenadas en un sistema cartesiano de ejes rectangulares (el sistema usual).

Distancia entre dos puntos

La siguiente figura debería ser suficiente para que el lector se apropie de la idea de la demostración de la fórmula de distancia entre dos puntos:

6


d2 (A ,B )=( x−X )2+( y−Y )2

Pendiente de una recta

Aparte de su interpretación usual como razón de cambio de la altura respecto al desplazamiento horizontal, la pendiente se puede ver también como la tangente (en el sentido trigonométrico) del ángulo que forma la recta con el eje x.

m= y−Yx−X

Notemos también que si la recta es vertical la fórmula da una indeterminación pues se tendría una división entre cero. En ese caso se dice que la pendiente es infinita. Si, por otro lado, la recta es horizontal, su pendiente es cero.

Coordenadas del punto medio de un segmento

Teorema: Las coordenadas del punto medio de un segmento son las coordenadas promedio de los extremos del segmento.

7


M=( x+X2,y−Y

2 )Ejercicio 1: Encuentre la distancia entre los puntos:a. P(-1,3) y Q(4,15)b. P(2,0) y Q(4,-1) c. P(-3,1) y Q(-2,-3)

d. P(3 ,−√2 ) y Q(7,3√2)e. P(a,2) y Q(b,2)

f. P(-1,-3) y Q(-5,-6)g. P(4,1) y Q(7,10)h. P(-6,3) y Q(4,-2)

Ejercicio 2: La ordenada de un punto es 8 y su distancia al punto B(5,-2) es 2√41. Hallar la abscisa del punto.

Ejercicio 3: Determinar el valor de b si la distancia entre los puntos A(7,1) y B(3,b) es 5.

8


Ejercicio 4: La abscisa de un punto es 7 y su distancia al punto B(1,-2) es 10. Determine la ordenada del punto.

Ejercicio 5: Determinar el valor de a si la distancia entre los puntos A(1,7) y B(a,3) es 5.

Ejercicio 6: Determinar el valor de a si la distancia entre los puntos A(a,1) y B(7,6) es 13.

Ejercicio 7: La distancia de P(x,2) al punto A(9,-6) es dos veces la distancia al punto B(-1,5). Encontrar el valor de x.

9


Ejercicio 8: Encontrar el ángulo de inclinación de las rectas que pasan por los puntos:a. A(3,3) y B(6,7) b. A(0,3) y B(5,8) c. A(5,-3) y B(4,-4)

Ejercicio 9: Encontrar las coordenadas del punto medio del segmento AB , donde A(-1,-3) y B(3,7).

Ejercicio 10: Encontrar las coordenadas del punto medio del segmento AB , donde A(5,-3) y B(7,-5).

Ejercicio 11: Halla el punto medio del segmento de extremos P(2, 1) y Q(-4, 3).

Ejercicio 12: Demostrar que los puntos A(0,1) y B(3,5), C(7,2) y D(4,-2) son los vértices de un cuadrado.

10


Ejercicio 13: Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los puntos A(-1,1) y B(3,1). Hallar las coordenadas del tercer vértice. (Dos casos).

Ejercicio 14: El lado de un rombo es igual a 5√10 y dos de sus vértices opuestos son los puntos P(4,9) y Q(-2,1). Calcular el área de este rombo.

Ejercicio 15: La longitud del segmento MN es igual a 13; su origen está en el punto M(3,-2); la proyección sobre el eje de abscisas es igual a -12. Hallar las coordenadas del otro extremo del segmento, si forma con el eje de ordenadas un ángulo dado.

Ejercicio 16: Tres de los vértices de un paralelogramo son A(-1,4), B(1,-1) y C(6,1). Si la ordenada del cuarto vértice es 6. ¿Cuál es su abscisa?

11

211 2


Ejercicio 17: El punto medio de cierto segmento es el punto M(-1,2) y uno de sus extremos es el punto N(2,5). Hallar las coordenadas del otro extremo.

Ángulo entre dos rectas

Cuando dos rectas se cortan se forman varios ángulos.

Definición: Si dos rectas L2 recta de mayor inclinaciónα 2 (recta final)

y L1 recta de menor inclinación α 1 (recta inicial) se cortan, entonces el ángulo entre dos rectas se define por:

θ=α 2−α1

Definición: Si L1 y L2 son dos rectas que se cortan con pendientes m1 y m2 , respectivamente, y si θ es el ángulo entreL1 y L2 , entonces:

tgθ=m2−m1

1+m1m2

, si L2 es la recta con mayor inclinación y θ≠90 º

12


Ejemplos:

Ejercicio 18: Hallar el ángulo obtuso que forman las rectas L1

con

pendiente m y L2

con pendiente (m-1) / (m+1)

Ejercicio 19: El ángulo que forman la recta L1

que pasa por A(2,-1) y

B(x,3), con la recta L2

que pasa por C(-1,3) y D(8,2) es 135º. Hallar la abscisa de B.

Ejercicio 20: Hallar el valor del ángulo determinado por la recta que pasa por A(-3,1) y B(4,3) con la recta que pasa por C(-2,4) y D(9,1).

LA LÍNEA RECTA

Una recta es una ecuación de primer grado en dos variables.

Formas de la ecuación de una recta:

13

1P1y

X

Y

O 2x1x

2y 2PL


Forma Cartesiana: La ecuación de la recta L que pasa por dos puntos P1( x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ) tiene por ecuación:

Forma Punto – Pendiente: La ecuación de la recta L que pasa

por el punto y cuya pendiente es “m” está dada por:

Forma General de la Ecuación de una Recta: La forma general de la ecuación de la recta L está dada por:

Forma Ordinaria: La ecuación de la recta L de pendiente m que corta

al eje Y en el punto (siendo b la ordenada en el origen), está dada por:

Ver (Fig. A)

Forma Simétrica: La ecuación de la recta L que corta a los ejes

coordenados X e Y en los puntos y está dada por:

Ver (Fig. B)

14

L :¿ y− y1=y2− y1

x2−x1

·( x−x1) x1≠x2− ¿


Ejemplos:

Ejercicio 21: Encontrar la ecuación en forma general de la recta L que tiene como pendiente 2 y contiene al punto (3,-2).

Ejercicio 22: Hallar la ecuación forma general de la recta L que pasa por el punto (-1,2) y cuya pendiente es -4.

Ejercicio 23: Encontrar la ecuación forma general de la recta L que pasa por los puntos A(3,4) y B(-5,2).

15

b

b

a

Fig. A Fig. B


Ejercicio 24: Encontrar la ecuación en forma general de la recta L cuya intercepción con el eje Y es A(0,5) y cuya pendiente vale 3.

Ejercicio 25: Hallar la ecuación en forma general de la recta L que cuyas intercepciones con los ejes son A(0,-6) y B(4,0).

Ejercicio 26: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1,1) e intercepta en el ángulo coordenado un triángulo de área igual a 2 unidades cuadradas.

Rectas Paralelas y Perpendiculares:

16


Sean las rectas L1 y L2 con pendientes mL1 y

mL2 respectivamente, entonces:

- La recta L1 es paralela a la recta L2 (L1 //L2 ) si y sólo si sus pendientes correspondientes son iguales, es decir:

- La recta L1 es perpendicular

a la recta L2 (L1¿ L2 ) si y sólo si el producto de sus pendientes es igual a -1, es decir:

Ejemplos:

17


Ejercicio 27: Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto C(4,3) y es paralela a la recta que pasa por los puntos A(0,-3) y B(6,-1)

Ejercicio 28: Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto C(3,-2) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos A(-1,-3) y B(3,7).

Ejercicio 29: Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto C(-1,1) y es paralela a la recta que pasa por los puntos A(1,-2) y B(6,4)

Ejercicio 30: Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto C(3,-2) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos A(-1,-3) y B(3,7).

Distancia de un Punto a una Recta:

La distancia “d” desde la recta dada L: Ax+By+C=0 a un punto

, está dada por la fórmula:

18


Ejercicio 31: Hallar la distancia dirigida que separa al punto P (-3,-4) de la recta L:3x+4y-10=0. Rpta. -7

Ejercicio 32: Hallar la distancia dirigida que separa al punto P (1,-5) de la recta L:5x+12y+3=0. Rpta. 4

APLICACIONES DE LA LINEA RECTA:

Gráficas lineales de Oferta y Demanda:

Las ecuaciones lineales pueden proporcionar representación razonable exacta de la oferta y la demanda para un cierto intervalo limitado. Por lo tanto empleamos las ecuaciones lineales de oferta y demanda para ilustrar ciertos tipos de análisis:

19

Pre

cio

Cantidad

Demanda

Oferta

Pre

cio

Cantidad

Demanda

Oferta


Una representación general de las curvas de oferta y demanda es:

Una representación de la oferta y la demanda como funciones lineales es:

Nota:- Sólo los segmentos de las gráficas que están en el primer cuadrante

son los que sirven para el análisis económico y esto es debido a que la oferta y la cantidad son en general no negativos.

- Una Oferta Negativa implicaría que los bienes no se hallan disponibles en el mercado, ya sea porque no se producen o porque son retenidos hasta lograr un precio más conveniente. Un precio negativo querría decir que se paga algo a un cierto precio a los compradores para que adquieran los productos ofrecidos en el mercado.

- Una Demanda Negativa indica que el precio es tan alto que se ahuyenta e impide toda actividad en el mercado, hasta que se ofrezcan cantidades a un precio satisfactorio. Estos casos se pueden

20

Pre

cio

Cantidad

Demanda

Pre

cio

Cantidad

Demanda

Pre

cio

Cantidad

Demanda

Pre

cio

Oferta

Pre

cio

Oferta


presentar con poca frecuencia y sólo se consideran en análisis económico más avanzado.

Gráfica Lineal de la Demanda:

Consideramos el caso cuando la pendiente de una línea de demanda es negativa, la cual quiere decir que a medida que aumenta el precio, disminuye la cantidad demandada y a medida que se reduce el precio, aumenta la cantidad demandada.

En ciertos casos, la pendiente de una gráfica de demanda puede ser nula, es decir el precio es constante, cualquiera sea la cantidad demandada.

En otros casos, la pendiente de la gráfica puede no estar definida, es decir la cantidad demandada es constante e independiente del precio.

Estos tres casos se representan gráficamente:

Equilibrio de mercado:

El equilibrio de mercado en un punto (precio) ocurre cuando la cantidad de demanda de un bien es igual a la cantidad ofrecida del mismo. Es decir, si se emplean las mismas unidades para medir “X” y para medir “Y” en ambas ecuaciones la “cantidad de equilibrio” y el “precio de equilibrio” corresponden a las coordenadas del punto de intersección de la curva de oferta y demanda.

Algebraicamente: Se resuelven simultáneamente las ecuaciones de oferta y de demanda. Así se tiene un equilibrio significativo si el punto de intersección está en el primer cuadrante. En caso contrario, se tiene un equilibrio no significativo, lo cual se ilustra:

21

Demanda con Pendiente

Equilibrio Significan

Equilibrio No


Ejemplo:

Ejercicio 33: La curva de oferta para un artículo es x=20+y/2. (Suponga que “y” representa el precio y “x” la cantidad demandada). Hallar:

a. La cantidad demandada, si el precio es: 8 y 13b. El precio, si la cantidad demandad es: 27 y 21c. ¿Qué cantidad se demandaría si el artículo fuera gratis?

Ejercicio 34: Muebles “El Rey” compra un torno en $ 8000. Se espera que este torno dure 12 años, después de ese tiempo ya no valdrá nada. Si se emplea un método de depreciación en línea recta, deducir una ecuación del valor estimado del torno en función del tiempo. ¿Para qué

valores de t es válida esa ecuación? Para valores t≤12

.

Ejercicio 35: El costo directo de fabricación de un galón de pintura es de $ 2.35. El costo fijo es de $ 420 diario. Exprese el costo diario total en función de la cantidad de galones de pintura producidos. Graficar el resultado.

22


Ejercicio 36: Se sabe que el agua se congela a 0ºC o 32ºF, y que hierve a 100ºC o 212ºF; también que la relación entre la temperatura, expresada en grados C y grados F, es lineal. Encontrar esa relación.

23

geometría analítica

Documents