Geometra hiperblica, elptica y esfrica Presentation Transcript 1. Geometra hiperblica, elptica y esfrica 2. La geometra plana es una parte de la geometra que trata de aquellos elementos cuyos puntos estn contenidos en un plano. 3. La geometra euclidiana es aquella que estudia las propiedades del plano y el espacio tridimensional. En ocasiones, se considera que la geometra euclidiana es sinnimo de geometra plana. 4. Por dos puntos pasa una nica recta. Los cinco postulados de Euclides: Un segmento rectilneo puede ser prolongado infinitamente. 5. Con un centro y un radio dado slo se puede trazar una nica circunferencia. Todos los ngulos rectos son iguales. 6. Si una recta, al cortar a otras dos, forma los ngulos internos de un mismo lado menores que dos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que estn los ngulos menores que dos rectos. 7. Geometras no euclidianas Se denomina geometra no euclidiana o no eucldea, a cualquier forma de geometra cuyos postulados y propiedades difieren en algn punto de los establecidos por Euclides en su obra Los Elementos. 8. El desarrollo de las geometras no eucldeas se gestaron en sus comienzos con el objetivo de construir modelos explcitos en los que no se cumpliera el quinto postulado de Euclides. 9. En esta geometra, dada una recta r y un punto P externo a r, hay por lo menos dos rectas distintas que pasan por P las cuales no intersectan a r, por lo que el quinto postulado de Euclides, de las paralelas, resulta falso. Geometra Hiperblica 10. 11. En la geometra hiperblica la suma de los ngulos interiores de un tringulo es siempre menor de 180, siendo la diferencia proporcional al rea del tringulo. 12. Frmula de Lambert -( + + ) = C. A 13. Geometra Elptica En esta geometra, dada una recta r y un punto P externo a r, todas las rectas que pasan por P intersectan a r, por lo que el quinto postulado de Euclides, de las paralelas, resulta falso. 14. Al igual que la geometra euclidiana y la geometra hiperblica es un modelo de geometra de curvatura constante, siendo la diferencia entre estos tres modelos el valor de la curvatura: 15. La geometra euclidiana satisface los cinco postulados de Euclides y tiene curvatura cero. La geometra hiperblica satisface slo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura negativa. La geometra elptica satisface slo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura positiva. 16. En esta geometra, dada una recta r y un punto P externo a r, hay infinitas rectas distintas que pasan por P las cules no intersectan a r, por lo que el quinto postulado de Euclides, de las paralelas, resulta falso. Geometra Esfrica 17. Dos usos prcticos de los principios de esta geometra son la navegacin y la astronoma . 18. En esta geometra se define a la lnea como la trayectoria ms corta entre dos puntos y se llaman geodsicas . 19. La frmula ms importante es la del rea del tringulo esfrico. Llamamos ABC al un tringulo esfrico, sobre una esfera de radio uno, deduciremos que el rea es A (ABC)=A+B+C- . 20. 21. 22. A modo de conclusin Debemos decir que estas geometras sin cumplir con todos los postulados de Euclides planteados en los Elementos son tan consistentes como la geometra eucldea misma. 23. Carnevale, Paola Silvero, Macarena 4to. Prof. Matemtica 2010La geometra hiperblica (o lobachevskiana) es un modelo de geometra que satisface slo los cuatro primeros postulados de la geometra euclidiana. Aunque es similar en muchos aspectos y muchos de los teoremas de la geometra euclidiana siguen siendo vlidos en geometra hiperblica, no se satisface el quinto postulado de Euclides sobre las paralelas. Al igual que la geometra euclidiana y la geometra elptica, la geometra hiperblica es un modelo de curvatura constante: * La geometra euclidiana satisface los cinco postulados de Euclides y tiene curvatura cero. * La geometra hiperblica satisface slo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura negativa. * La geometra elptica satisface slo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura positivaEl axioma de Bolyai, equivalente al quinto postulado de Euclides sobre las rectas paralelas dice que dada una recta r y un punto P externo a ella, hay una y slo una recta que pasa por P que no intersecta a 'r''. Comnmente, la recta que posee esta cualidad recibe el nombre de "paralela" a travs de P.En geometra hiperblica, este postulado resulta falso porque siempre hay al menos dos rectas distintas que pasan por P y las cuales no intersectan a r. De hecho para la geometra hiperblica es posible demostrar una interesante propiedad: hay dos clases de rectas que no intersectan a la recta r. Sea B un punto que pertenece r tal que la recta PB es perpendicular a r. Considere la recta l que pasa por P, tal que l no intersecta a r y el ngulo theta entre PB y l (en sentido contrario a las manecillas del reloj, desde PB) es lo ms pequeo posible (i.e. cualquier ngulo ms pequeo que theta, forzar a la recta a intersectar a r). Esta (l) , es llamada recta hiperparalela (o simplemente, recta paralela) en la geometra hiperblica.En forma similar, la recta m que forma el mismo ngulo theta entre PB y s misma, pero ahora en sentido de las manecillas del reloj desde PB, tambin ser hiperparalela, pero no pueden haber otras. Todas las otras rectas que pasan por P y que no intersectan a r, forman ngulos ms grandes que theta con PB y son llamadas rectas ultraparalelas (o rectas disjuntamente paralelas). Note que, al haber un nmero infinito de ngulos posibles entre y 90, cada uno de stos determinar dos rectas que pasan por P y que son disjuntamente paralelas a r, tendremos entonces, un nmero infinito de rectas ultraparalelas. Por consiguiente, tenemos esta forma modificada del Postulado de las Rectas Paralelas: En geometra hiperblica, dada una recta r y un punto P exterior a r hay exactamente dos rectas que pasan por P, las cuales son hiperparalelas a r, e infinitas rectas que pasan por P y son ultraparalelas a r.Las diferencias entre rectas hiperparalelas y ultraparaleas, tambin pueden ser vistas de la siguiente forma: la distancia entre rectas hiperparalelas tiende a cero mientras uno se aleja infinitamente de PB por la recta R. Sin embargo, la distancia entre rectas ultraparalelas no tiende a cero si uno se aleja infinitamente de PB por la recta r. El ngulo de paralelismo en la geometra Euclidiana es una constante, es decir, cualquier longitud BP, determinar un ngulo de paralelismo igual a 90 grados. En la geometra hiperblica, el ngulo de paralelismo vara con la que es llamada la funcin (p). Esta funcin, descrita por Nikolai Ivanovich Lobachevsky, produce un ngulo nico de paralelismo para cada longitud dada BP. Mientras la longitud BP se haga ms pequea, el ngulo de paralelismo se acercar a 90. Si la longitud BP incrementa sin lmites, el ngulo de paralelismo se acercar a cero. Note que, debido a este hecho, mientras las distancias se hagan ms pequeas, el plano hiperblico se comportar cada vez ms como la Geometra Euclidiana. Por lo tanto, a pequeas escalas, un observador en el plano hiperblico tendr dificultades para darse cuenta de que las distancias no se encuentran en un plano Euclidiano. En la geometra eucldea la suma de los ngulos de cualquier tringulo es siempre 180. En la geometra hiperblica esta suma es siempre menor de 180, siendo la diferencia proporcional al rea del tringulo.