S.E.P. S. E.1 .T. D. G.1 .T.

CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACIÓN Y DESARROLLO TECNOLÓGICO

cenidef

“DESARROLLO DE UN MODELO NUMERIC0 QUE PERMITA SIMULAR EL COMPORTAMIENTO DE SISTEMAS

TERMOSIFONICOS, PARA CALENTAMIENTO DE AGUA ASISTIDOS CON ENERGIA SOLAR”

T E S I S QUE PARA OBTENER EL GRADO D E

M A E S T R O E N C I E N C I A S

E N I N G E N I E R i A M E C Á N I C A

P R E s E N T A : I N G . MOISÉS E L i A S B E R R Q C A L L Ó P E Z

,-

DIRECTOR DE TESIS: M.E.S. JOSÉ JASSÓN FLORES PRIETO

CENTRO DE iNFOmClON S t k CENIDET

AGOSTO, 2004. 0 4 - 0 8 5 7 I

CUERNAVACA. MOR.

cenidet centm Nacbnal de hvesbgatión

y Lksamlb Tecnoldgim

M10 ACEPTACIÓN DEL DOCUMENTO DE TESIS

Cuernavaca, Mor., a 25 de agosto del 2004

C M.C. CLAUDIA CORTES GARCIA Jefa del departamento de hg. Mecánica Presente.

At’n C. Dr. José Ma. Rodríguez Lelis Presidente de la Acadeqia de Jng. Mecánica

Nos es gato comunicarle, que confonne a los heamientos para la obtención del grado de Maestro en Ciencias de este centro, y despuks de haber sometido a revisión académica la tesis titulada. “DESARROLLO DE UN MODELO NüMERICO QUE PERMi’IA SIMULAR EL COMPORTAMIENTO DE SiSTEMAS TERMOSiFONICOS, PARA CALENTAMIENTO DE AGUA ASISTIDOS CON ENERGIA SOLAR”, realizada por el C.Mok% E l k B e d Mpez; y dirigida por M.E.S. José Jassón Flores .fieto y habiendo realizado las correcciones que le fueron indicadas, acordamos ACEPTAR el documento de tesis, así mismo le solicitamos tenga a bien extender el correspondiente oficio de autorhci6n de impresión.

’. \

Atentamente ~a Comisión de Revisión de Tes

M.C. J. Manuel Modes Rosas Nombre Y firma Nombre Y firma Nombre Y firma Dra Gabriela Alvarez

’ Nombre Y firma

Atentamente La Comisión de Revisión de 1

(3 Nombre Y firma M.C. J. Manuel Modes R o w Nombre Y firma

Revisor Revisor Revisor

C.C.P. Subdirección Académica Departamento e”&& de Seyicios Escolares

‘I is’ 7

PROLONGACdN AV. PALMIRA ESQ. APATZINGAN, COL, PALMiRA , A.P. 5\64. CP. 62490. CUERNAVACA, MOR. - MÉXICO IEWFAX: (7771 314 0637 y 312 7613

Centra Nacional de Invesügaci6n y Llesamllo Tecnolágicu

M11 AUTORIZACI~N DE IMPRESI~N DE TESIS

Cuernawca, Mor., a 26 de. agosto de 2004

C. MOISES ELIAS BERROCAL LOPEZ Candidato ai grado de Maestro en Ciencias en ingeniería Mecánica Presente.

Después de haber atendido las indicaciones sugeridas por la Comisión Revisora de la Academia de Ingeniería Mecánica, en relación a su babajo de tesis cuyo titulo es: “DESARROLLO DE UN MODELO NUMERIC0 QUE PERMITA SIMULAR EL COMPORTAMIENTO DE SISTEMAS TERMOSIFONICOS, PARA CALENTAMIENTO DE AGUA ASISTIDOS CON ENERGIA SOLAR”, me es grao comunicarle que conforme a los heamientos establecidos para la obtención del grado de Maestro en Ciencias en este centro se le concede la autorización para que proceda con la impresión de su tesis.

Atentamente

C. M.C. Claudiabrtés Garcia Jefe del Departamento de ing. Mecánica

c.c p. Subdirección Acad4mica Presidente de la Academia de hg Mecánica De&nalnmta de SeMciOs Esco!ar€s Expediente

PROLONGACIÓN AV. PALMIRA ESQ. APATZINGÁN, COL PALMIRA, A.P. 5-164. CP. 62490, CUERNAVACA. MOR - MÚ<ICO TELSIFAX: (777J3140637y3127613

Dedicatorias

Dedicatorias

Dedico este trabajo:

A Dios: Por darme el don de la Vida y la capacidad de desarrollarme profesionalmente.

A mis padres: Aurelio Berrocal Vargas y Jovelia López Carrillo

Por su Amor, Sabiduría y apoyo incondicional, por mostrarme el camino de

la humildad y servicio por los demás.

A mis hermanos: Martha Angélica, Aurelio Israel, Alma Rosa, Jesús Andrés,

Jovelia Antonia y a la memoria de: Ángel y David.

Por estar unidos y compartir momentos de alegría. Por darnos amor y

servicio a cada uno de nosotros.

A mis Sobrinas y Sobrinos: HéctoG Noris, Karen, Aeslin, Ilse, Meízld Angélica,

Anita, Naomiy Jesús.

Por toda la lata que me dieron, cariño, respeto y Sabiduría.

A mis abuelitos: Elías López Rosas, Jovita Carrillo Espinosa y en memoria de los

Jinados: Andrés Berrocal Mendoza y Antonia Vargas Martnez.

Por ser parte del árbol de mí vida.

Con todo mi Amor y cariño: Maribel Clara Castro

comprensión en todo momento. Por que eres parte de mi realización personal y profesional. Por tu ternura y

Agradecimienio

Agradecimiento - Quiero agradecer:

AI Consejo del Sistema Nacional de Educación Tecnológica (CoSNEn por el apoyo de la beca-crédito que me fue otorgada para poder realizar mi posgrado de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica.

Al Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico (CENIDEg por la formación académica que se me otorgo a través de sus profesores, el reconocimiento y apoyo profesional brindado.

A los profesores.

M C. Claudia Cortés García M C. Ivonne Chávez Chena M C. Manuel Morales ME.S José Jassón Flores Prieto Dra. Gabriela Alvarez García Dra. Sara Lilia Moya Acosta Dr. Alejandro Salcido Dr. Claudio A. Estrada Gasca Dr. Leone1 Lira Cortés Dr. Gustavo Urquiza Dr. Jesús P. Xamán Villaseñor Por su sabiduría y ética profesional

AI ME.S. José Jassón Flores Prieto director de este trabajo de tesis y un especial agradecimiento. Así también, por darme la oportunidad y paciencia de trabajar con él, por el tiempo dedicado, su sabiduría y consejos para mi propia realización profesional.

A los integrantes del jurado revisor: Dra. Gabriela Alvarez Garcia, ME.S. Jassón Flores Prieto, M C. Manual Morales y M C. Jesús Arce Landa, por su dedicación, observaciones y sugerencias para el mejoramiento de esta tesis.

Agradecimiento

A mis compañeros de generación 2001: Piero Espino Román, Aarón Santillan Ruiz, Miriam Flores Domínguez, Alfred0 Dim Andrade, Eduardo Ramírez Flores, Carlos Manuel Moo Chale, Gabriel Pedroza Silvar y Armando Huicochea Rodriguez.

A todos mis demás compañeros del Cenidet que de una u otra manera me apoyaron en el desarrollo de este trabajo: Felipe, Efrían, Mike, Chalo, Chucho, Gustavo, Sad, Rafael, Jorge y a todos aquellos que tuve el gusto de conocerlos.

A doña Lupita por su amabilidad, su fina atención y facilidad otorgada en el préstamo de libros. Así también, como a Raquel.

Re ffexión

, . . lo mejor fue recordar que las matemáticas no sólo es hacer problema tras problema . . . y que no sólo derivamos por derivar sino que hay un por qué, un fin I’

I t

. . . fue hasta aquí donde aprendí y conocí de dónde I‘

> > vienen esas ecuaciones y dónde las podemos aplicar , . .

. . . ahora en la Maestría me han enfocado a la comprensión del por qué de esas ecuaciones que derivaba e integraba, el significado real de esa ecuación, cómo se obtuvo, me han enseñado que las ecuaciones no salen del aire y que sirven para descubrir difeentes comportamientos de fenómenosfisicos . . .

‘<

,,

. . . en esta podemos ver a las matemáticas aplicadas a I ‘

nuestra vida y eso hace que tengamos más interés”.

“Las matemáticas pasaron de ser una materia más a una de gran interés , . . donde se me enseño el porque de las ecuaciones y no sólo aprenderme un montón de reglas”.

“En este momento siento el interés y la importancia del conocimiento que obtuve, la formación y el ritmo de trabajo que alcance a tener. . . > >

‘(Fue como recopilar el conocimiento que ya sabía y unirlo en una misma masa y guardarlo en mi mente sin necesidad de aprenderme fórmulas, sólo razonando las cosas y los acontecimientos”.

hdice

Púgina Índice

Lista de Figuras 1

... Lista de Tablas 111

Nomenclatura iv

Resumen vi

Capítulo 1 Introducción 1

1.1 Introducción. 2 1.2 4 1.3 Revisión bibliográfica. 6

1.3.1 Estudios teóricos y experimentales 6

Sistema de calentamiento de agua asistido con energía solar

1.4 Objetivos. 12 1.4.1 Objetivo general. 12 1.4.2 Objetivos específicos. 13

Capítulo 2 Modelo de transferencia de calor en un termosifón. 14

2.1 Descripción del modelo físico de un termosifón. 15 2.2 Modelo matemático de transferencia de calor por convección

natural en una cavidad con un espacio vacío. 17 2.2.1 Ecuaciones de conservación de masa, cantidad de

movimiento y energía. 17 2.2.2 Obtención del flujo másico y la diferencia de temperaturas

entre la salida y entrada de la parte del sistema termosifónico que representa al colector. 21

hdice

Capítulo 3 Modelo numérico. 24

3.1 Sistema de ecuaciones algebraicas a partir de las ecuaciones gobernantes. 25

3.2 Solución del sistema de ecuaciones. 31 3.3 Descripción del código desarrollado. 34

Capítulo 4 Verificación y validación del modelo matemático. 31

4.1 4.2

Datos de entrada en la simulación. Verificación del código de simulación.

38 49

4.2.2 Análisis de convergencia de malla. 40

4.3 Validación parcial del código. 42

43 4.3.1 Validación parcial con un modelo de convección natural en

una cavidad cuadrada calentada diferencialmente.

Capítulo 5 Resultados. 46

5.1 Campo de velocidades. 5.2 Campo de temperaturas.

41 53

5.3 Estudio paramétrico del flujo másico y la diferencia de 5 1 temperaturas como función del flujo de calor que se suministra al colector como parte del sistema.

Capítulo 6 Conclusiones y recomendaciones. 60

6.1 Conclusiones. 6.2 Recomendaciones a futuro.

Bibliografía

Apéndice A Integración de la ecuación generalizada.

61 62

63

66

Lista de figuras

Lista de figuras -

Figura Descripción Página - 1-1

2-1

2-2

2-3

2-4

3-1

3-2

3-3

4- 1

5-1

5 -2

5-3

5-4

5-5

5-6

5-1

Sistema para calentamiento de agua con circulación forzada.

Sistema termosifónico para calentamiento de agua utilizando

energía solar.

Sistema termosifónico simplificado.

Geometría de la cavidad.

Flujo másico a través del SCAEST.

Malla no uniforme del termosifón.

Diagrama de flujo del método SIMPLE.

Diagrama de flujo del código numérico desarrollado.

Análisis de convergencia de malla para temperatura constante

T,, = 20 "C.

Campo de velocidad vectorial t = O - 10 segundos.

Campo de velocidad vectorial t =1 O - 60 segundos.

Campo de velocidad vectorial t =60 - 120 segundos.

Campo de velocidad vectorial t =120 - 600 segundos.

Campo de velocidad vectorial t =600 - 1200 segundos.

Campo de velocidad vectorial t =1200 segundos.

Campo de temperatura t = 1 O segundos.

4

15

16

18

22

28

33

34

42

48

49

50

51

51

52

53

1

Lista defiguras

5-8 Campo de temperatura t = 60 segundos. 54

5-9 Campo de temperatura t = 120 segundos. 55

5-1 O Campo de temperatura t = 600 segundos. 56

5-1 1 Campo de temperatura t = 1200 segundos. 56

5-12 51

5-13 Comportamiento del flujo másico y la diferencia de

temperaturas en función del flujo de calor suministrado a

Flujo másico en función del tiempo en el SCAEST idealizado.

i000W/m2 para 1200 s. 59

.. 11

Lista de tablas

Lista de tablas

Tablas Descripción Página

3- 1 Equivalencias de la formulación generalizada. 26

3-2 Sistema de ecuaciones discretizadas. 21

4- 1 Parámetros suministrados al código de simulación. 38

4-2 Comparación de resultados obtenidos en el presente trabajo con

resultados reportados del problema convectivo en una cavidad

cuadrada calentada diferencialmente. 43

Flujo másico y diferencia -numérica en función del número de

nodos. 44

5-1 Estudio paramétrico del sistema. 58

-

4-3

iii

Nomenclatura

Símbolos

4 up, a, ,a,, ON, a,

De, Dw, 0, I D,

F, F,, F, , F,

I-_--. CP -. _I

g

Unidad rn Descripción -____-

Area efectiva del colector Coeficientes de la ecuación discretizada CIz l Calor específico __ a presión- m-j Flujos difusivos m Flujos convectivos W] Aceleración gravitacional __ T I

,

Y Hyd 11 1-1 Diámetro de la tubería

P

4, 9

__

J e , JM, , Jn, J,v Flujos totales (convectivos + difusivos)

Conductividad térmica del agua -- - k"&wa --

I NIm2 I EEl

Presión Presión atmosférica Fluio de calor I Wlm2 1

1,L-t _]I Flujo másico I , k g / s l

I 1 Término-fuente independiente de la variable Término fuente dependiente de la variable

- I-------- s, -

SP t Tiempo T Temperatura

I I EIzl E c J EEl

I! ~ 11.1 Ra I[ Número de Rayleigh -

iv

Temperatura de salida promedio __--- TI,.

T, I > Temperatura de entrada promedio

*& Temperatura media de placa

TI --- Temperatura promedio del fluido

r, Temperatura de referencia U Velocidad en dirección horizontal ~~ I _Jc ~-----. ' , - 1

I v 11 Velocidad en dirccción vertical ...

l2El EEl m EEIl m

X ,I Coordenada en dirección horizontal 11__--11 I! 8-

..

a -ación

At Incremento de tiempo B - Coeficiente de expansión térmica

I I Y - - _I\ Coordenada en dirección vertical II JI El rimbolo (*), significa, "Adimenaonal"

I] D a

SX,, 9 SX", I

P

V

P

@ -

'L - - A I AV Excsor . - de un volumen de control en dirección .Y I L n l I I! Ay 11 Espesor de un volumen de control en dirección y I E C I .u (ml

Viscosidad dinámica IT1 1-

-n

Distancia entre nodos computacionales en dirección x

Distancia entre nodos computacionales en dirección y

Viscosidad cinemática Densidad Variable general (u, v, P, T )

V

Resumen

Resumen

Este trabajo presenta un modelo teórico de convección natural en estado

transitorio en una cavidad cuadrada con un espacio constreñido para simular un

sistema de calentamiento de agua termosifónico con suministro de energía solar. En

la cavidad se considera que una de las paredes verticales simula el colector solar,

para esto se le suministra un flujo de calor constante o temperatura constante. El

estudio se realizó en un intervalo de número de Rayleigh de 3.1XlO’ a 6.3X107 que

corresponde a flujos de calor suministrado en el intervalo de 500 a 1000 W/m2. El modelo teórico considera las ecuaciones de conservación de masa, cantidad de

movimiento y energía. El modelo matemático se resolvió numéricamente utilizando

el método de volumen finito. El modelo matemático se validó parcialmente

comparando los resultados con un modelo de transferencia de calor en una cavidad

calentada diferencialmente y se verificó calculando el índice de convergencia de

malla. Con los resultados se concluye que en el intervalo de suministro de energía

solar estudiado, el comportamiento del flujo de calor suministrado al sistema por el

colector solar aumenta linealmente la diferencia de temperaturas, mientras que para

el flujo másico la variación tiene un comportamiento cuadrático. Finalmente los

resultados mostraron un avance en el conocimiento del funcionamiento térmico de

un sistema de calentamiento de agua termosifónico.

vi

Capítulo

fntroducción En la primera parte de este capítulo se menciona la importancia de los sistemas termosifónicos para calentamiento de agua usando energía solar. Posteriormente, se presenta la revisión bibliográfica, considerando los estudios teóricos y estudios experimentales. AI final del capítulo se presenta el objetivo general, los objetivos específicos y una descripción de los capítulos.

Capítulo 1 Introducción

1.1 Introducción.

El avance de la civilización humana se encuentra relacionado con el consumo

de la energía. Es de tomar en consideración que la tecnología actual está basada en

combustibles existentes tradicionales en cantidades finitas, io cual podría llegar a

significar una restricción de dicha tecnología en el futuro. Por lo tanto, se ha puesto

especial atención a nivel mundial en la investigación de fuentes alternativas de

energía para mantener un equilibrio y mejorar nuestro nivel de vida.

La energía solar total que llega a la Tierra es suficiente para cubrir las

necesidades energéticas a nivel mundial. La abundante energía solar existente en

México puede solucionar problemas actuales, impactando de manera importante en

la economía, al poderse transformar los rayos solares en diversos tipos de energía

(como por ejemplo energía calorífica) para ser aplicada en distintas áreas, de manera

coordinada con la utilización razonable de los recursos naturales que se emplean con

tal fin, para poder preservar el equilibrio ecológico. Es decir, se pretende la

utilización de energiticos que contemplen un mínimo de contaminación.

Un importante hecho es que México cuenta con un gran número de

comunidades rurales que no tienen acceso a algún tipo de energía. Su integración a

fuentes de energía convencionales en ocasiones no es sencilla. La energía solar y

sistemas alternos de energía parecen ser una solución, encontrándose México en una zona de alta insolación.

Algunos métodos de aprovechamiento de la energía solar han llegado a una

fase de desarrollo en la que pueden competir en el terreno económico con métodos

de aprovechamiento de fuentes tradicionales de energía. Paises que se encuentran en

regiones con alta incidencia de radiación solar, deben de estar interesados en

L

Introducción Capítulo 1

desarrollar técnicas de aprovechamiento de la energía solar, la cual es gratuita,

inagotable, no plantea problemas de transporte, en regiones soleadas no presenta

problemas de distribución y tiene poco impacto negativo al medio ambiente.

La energía solar se puede convertir en energía mecánica, térmica, eléctrica O

química para utilizarla en diversas esferas, como la producción de electricidad, la

desalación del agua, el riego, la electrificación de cercas, la cocina, la conservación

de alimentos por refrigeración, el secado de productos de pesca, de frutas y verduras,

el calentamiento de agua, la generación de vapor, calefacción y aire acondicionado

en locales, usos industriales, como podrían ser lavanderías, tintorerías, hospitales, en

algunos procesos agrícolas, la industria del refresco, por mencionar algunas

aplicaciones.

El calentamiento de agua para uso doméstico mediante el empleo de la

energía solar constituye una de las aplicaciones más atractivas de los colectores

solares planos. En la actualidad, el calentamiento de agua se realiza principalmente

con combustibles tradicionales como gas natural, gas LP, petróleo, leña, etc. Sin

embargo, dados los niveles de temperatura que se requiere en el calentamiento de

agua para uso doméstico (del orden de 40-60 "C), la utilización de la energía solar

para sustituir o disminuir el uso de los combustibles antes mencionados, constituyen

una alternativa sumamente atractiva con tines de ahorro energético.

3

Capítulo I Introducción

1.2 Sistema de calentamiento de agua asistido con energía solar.

Los calentadores de agua que utilizan la energía solar consisten básicamente

en un colector que recibe la energía solar incidente durante el día, un tanque de

almacenamiento del agua calentada y en ocasiones una bomba para recircular el

agua en el sistema. En la Figura 1-1 se muestra un sistema de calentamiento de agua

con circulación forzada que utiliza la energía solar. En esta figura se observa el

proceso de calentamiento de agua contenida en el tanque de almacenamiento, por la

parte baja del tanque, se induce mediante una bomba un flujo, que se dirige hacia la

parte inferior del colector, para posteriormente ser calentado en el colector y luego

dirigirse hacia la parte superior del tanque de almacenamiento o termotanque.

También, el flujo puede ser inducido a consecuencia de un gradiente térmico, al que

se le conoce como efecto termosifónico. Este tipo de sistema es el más común para

uso doméstico, consta también de un colector solar y de un tanque de

almacenamiento, el cual se instala en una posición más elevada que el colector, para

lograr el efecto de termosifón o de circulación natural.

Sol Tanque de

almscenamicnto

v

Figura 1-1 Sistema para calentamiento de agua con circulación forzada

4

Capítulo 1 Introducción

El movimiento del agua por circulación natural generado por efecto

termosifónico continua mientras existe una diferencia de temperaturas entre el

colector y el depósito. Una vez que son iguales la temperatura del agua del depósito

y la temperatura a la que se calienta el agua en el colector, el movimiento cesa. La

utilización del efecto termosifónico tiene como ventajas la ausencia de dispositivos

electromecánicos, dispositivos de control de flujo y el ahorro de energía que se

produce al no tener que utilizar dispositivos electromecánicos; sin embargo, los

flujos que se generan en el efecto termosifónico, en la mayoría de la ocasiones,

suelen ser menores a los inducidos por bombas para agua, lo cual reduce la

eficiencia del sistema de calentamiento de agua termosifónico.

Los sistemas de calentamiento de agua de efecto termosifónico tienen la

ventaja de no tener partes móviles y por su independencia de suministro de energía

para su funcionamiento; ya que se reduce de forma considerable el mantenimiento y

no existen problemas de suministro eléctrico en lugares aislados.

El estudio de los sistemas solares para calentamiento de agua termosifónico

implica conocer el movimiento del fluido y conocer el campo de temperaturas. El

calentamiento del agua es función del campo de temperaturas y del flujo másico.

También, el calentamiento del Buido es función del tiempo y consiguientemente es

de sumo interés estudiar la respuesta del sistema cuando cambia el flujo de calor y

condiciones geométricas del sistema, estas últimas se pueden englobar en la

definición del número de Rayleigh.

En la siguiente sección se presenta la revisión bibliográfica del estudio de la

transferencia de calor en sistemas solares de calentamiento termosifónico. En esta

revisión, se toma en cuenta el estudio de los sistemas termosifónicos en una y dos

dimensiones así como el estudio experimental de cada uno de ellos.

5

Capítulo 1 Introducción

1.3 Revisión bibliográfica.

En la realización del estudio bibliográfico, se encontraron estudios teóricos y

experimentales, referentes a la evaluación térmica de sistemas para calentamiento de

agua termosifónico que utilizan energía solar (SCAEST).

1.3.1 Estudios teóricos y experimentales.

El primer investigador que estudio el principio de termosifón para la

captación de la energía solar fue Close en 1962. Este investigador desarrolló un

modelo matemático de un sistema de convección natural para obtener la temperatura

promedio en un tanque de almacenamiento, considerando un día despejado y sin

extracciones de agua. El modelo matemático lo formuló haciendo un balance de

energía en el sistema y lo resolvió analíticamente para obtener el flujo másico. La

temperatura promedio en el tanque de almacenamiento la obtuvo sustituyendo el

flujo másico en la ecuación de balance. La radiación solar y la temperatura ambiente

las aproximó con funciones sinusoidales.

Gupta et al. (1968), realizaron un estudio teórico y experimental de la

transferencia de calor en un sistema termosifónico para calentamiento de agua. El

estudio teórico se realizó utilizando simulación numérica, y considerando una

dimensión. El método de solución del modelo fue mediante el método de diferencias

finitas. El modelo matemático incorporó el factor de eficiencia en términos de la

geometría del sistema, especificaciones de los materiales, intensidad de la radiación

solar incidente y la temperatura del aire ambiental utilizando funciones armónicas

aproximadas. Dentro de las geometrías consideradas se involucraron: dos diámetros

de tuberías de circulación, cuatro alturas entre la parte superior del colector y el

fondo del depósito; tres relaciones (longitud-anchura) del absorbedor con arreglo a

un área de colector fija y tres relaciones de dimensiones (altura-día) del depósito con 6

Introducción Capítulo 1

arreglo a una capacidad especificada. Los resultados teóricos fueron concordantes

con los experimentales.

Morrison et al. (1980), realizaron un estudio de la respuesta transitoria de un

sistema de calentamiento de agua solar termosifónico para cambios de insolación.

Obtuvo medidas de flujo másico usando un anemómetro doppler láser. Desarrolló un

modelo matemático para simular la respuesta transitoria del sistema en una

dimensión. En los resultados muestra que hay retrasos de tiempo largos asociados

con el desarrollo del flujo en el termosifón y finalmente menciona que la capacidad

de energía colectada en el termosifón es afectada por el retrazo de tiempo.

Morrison et al. (1984), desarrolló un modelo experimental de calentadores de

agua solares termosifónicos para comparar los resultados de una simulación

numérica en elemento finito. El modelo experimental involucra seis sistemas que

proveen cargas domésticas de agua caliente típicas. La simulación numérica predice

el funcionamiento del sistema a largo plazo (mensual y anual). Para obtener

resultados constantes de la simulación la estratificación del tanque de

almacenamiento tubo que ser simulada utilizando 20 nodos con 5 pasos de tiempo

para tanques de almacenamiento verticales y 30 nodos con 2 pasos de tiempo para

tanques de almacenamiento horizontales. Los autores mencionan que el

funcionamiento de un sistema termosifónico presenta mejores eficiencias a medida

que el flujo se acerca a un volumen del tanque por día y demuestran que el sistema

termosifónico es ligeramente más eficiente que los sistemas con circulación forzada.

Morrison et al. (1985), realizaron una simulación para sistemas de

calentamiento de agua termosifónicos y comparan sus resultados con datos de

prueba de dos localidades. El modelo fue utilizado para estudiar las características

de los sistemas de calentamiento de agua termosifónicos para tanques verticales y

horizontales. Los resultados indican que los sistemas termosifónicos tienen 7

Capitulo 1

funcionamiento óptimo cuando el flujo de volumen diario del colector es

aproximadamente igual al volumen diario de la carga. Menciona que la conducción

de calor en un sistema termosifónico con el tanque horizontal reduce

perceptiblemente la contribución solar. En el modelado considera que el sistema se

divide en un número de (N) segmentos, normal a la dirección del flujo, considera la

aproximación de Bernoulli a cada segmento para condiciones en estado estable. El funcionamiento térmico del colector io modela con base en las ecuaciones de Hotel-

Whiller. La caída de temperatura a lo largo de las tuberías entre el tanque de

almacenamiento y el colector solar la considera despreciable; por tal r a z h , las

tuberías las modela como nodos sencillos. El termotanque o tanque de

almacenamiento lo dividió en tres segmentos de fluido, cada uno de ellos los

resuelve tomando los cambios de temperatura en cada segmento. Encontró

concordancia entre los resultados de la simulación y los datos de prueba

experimentales tomada de dos localidades. Concluye en sus estudios que los

sistemas de tanque horizontal no funcionan también, como los sistemas de tanque

vertical. Finalmente menciona que la fracción solar de un sistema de tanque

horizontal es aproximadamente un 7 % menos que el equivalente de un sistema de

tanque vertical.

Introducción

Flores et al. (1998), evaluaron el comportamiento térmico de sistemas

termosifónicos para calentamiento de agua asistidos con energía solar a escala. El

sistema mostró factibilidad para llevar a cabo estudios paramétricos de la eficiencia térmica evaluando las variables más relevantes como son el tiro sifónico, la potencia

suministrada y el ángulo de inclinación; se obtuvieron curvas de eficiencias para

diseños y estrategias para las instalaciones con el fin de optimizar el sistema. Se

menciona que en los experimentos que se realizaron se mostró congruencia y

repetitividad. Concluyen que la medición de flujo másico presenta alta

incertidumbre en la medición.

8

Capítulo 1 Introducción

Rosengarten eí al. (1999), presentó un método para caracterizar y evaluar el

funcionamiento de sistemas para almacenar agua caliente en términos de la

distribución de su temperatura, El cambio de la energía de su estado estratificado a

su estado de descarga depende de la energía almacenada y la estratificación. Por

ello, lo anterior se puede usar para definir la eficiencia en el tanque de

almacenamiento. Se define un nuevo parhe t ro que aísla el componente de

estratificación de la exergía llamado eficiencia de estratificación. Se investigó el

efecto de la distribución de temperaturas, así como la temperatura de entrada y la

eficiencia de estratificación. Se examina la ventaja que ofrece esa estratificación

sobre un tanque mixto en términos de la eficiencia de almacenamiento y el

funcionamiento total del sistema de calentamiento de agua solar. Se usa el parámetro

de exergía para evaluar la operación de los intercambiadores de calor de manto en

los sistemas de calentamiento de agua y se demuestra que debe usarse la eficiencia

de estratificación además de la exergía para determinar el funcionamiento de estos

intercambiadores de calor.

Castillo (2002), presentó un estudio experimental del comportamiento

térmico de sistemas termosifónicoc para calentamiento de agua. El estudio considera

tiro sifónico, ángulo de inclinación y potencia suministrada. Menciona que en los

sistemas reales el comportamiento térmico de la eficiencia se hace complejo y limitado por lo que se dió a la tarea de complementar e instrumentar un modelo

físico a escala que trabaja en condiciones controladas de laboratorio. Su estudió

presenta la instrumentación, la evaluación del sistema y los resultados obtenidos.

Presenta 16 experimentos, 4 para la potencia suministrada, 5 para ángulo de

inclinación y 7 para altura de tiro sifónico. Concluye que conforme se varía el

ángulo de inclinación y la potencia suministrada, el comportamiento de la eficiencia

en estado permanente es lineal en el intervalo de estudio. Menciona que no se

muestra variación más que la que se encuentra dentro de la incertidumbre de los

9

Capítulo 1 Introducción

experimentos correspondientes. Finalmente observó que al disminuir la altura de tiro

sifónico, la eficiencia aumenta en un grado considerable.

Barrera et al. (2000), presenta un estudio del efecto de la altura del tanque de almacenamiento, respecto de un colector solar. Analiza los perfileles de

temperatura del tanque de almacenamiento como función de diferentes alturas

estudiadas. En cada experimento se utilizó el mismo nivel de insolación, lo cual

permite realizar comparaciones sensibles entre las variables de interés. Presenta los

resultados de la velocidad de flujo de agua caliente a la entrada del termotanque

como función de la altura. También, menciona que dependiendo de la altura a la que

se coloque el tanque de almacenamiento, respecto del colector solar plano, es el

perfil térmico del colector solar y las temperaturas del agua en el tanque del

colector. Observo que se crea un mayor gradiente de temperaturas en el

termotanque, para el caso de menores alturas, aunque el flujo másico de esos casos

resulta ligeramente mejor. Por el contrarió, a mayores alturas, el gradiente de

temperaturas en el tanque de almacenamiento disminuye, pero se incrementa

ligeramente el flujo másico. Encuentra que la mayor eficiencia obtenida ocurre

cuando el experimento tiene Ah= -10cm. Concluye que entre más cerca esté el

tanque de almacenamiento del colector solar, mayor será la' eficiencia del mismo.

El estudio de la estratificación de temperaturas en el tanque de

almacenamiento es importante, debido a su relación con la eficiencia térmica del

sistema de calentamiento de agua (Jaluria, 1982 y Gupta, 1968). Entre mayor es la

diferencia de temperaturas entre la capas superior e inferior del tanque de

almacenamiento, mayor será la eficiencia térmica del sistema (Barrera et al., 1999).

10

Capitulo 1 Introducción

El conocimiento del comportamiento térmico de sistemas termosifónicos para

calentamiento de agua implica el conocimiento detallado de los campos de flujo y

campos de temperaturas en cada sistema. Las diferentes consideraciones en el

diseño, condiciones de operación y las irregularidades que tiene cada sistema hacen

complicado caracterizarlos. Duffie et al., en 1991 muestra que el calor ganado en un

termosifón puede ser evaluado, a partir de un balance global de energía, en función

de la diferencia de temperaturas y del flujo másico. Por lo cual, es necesario una

segunda ecuación para tener un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Duffie et al. (1991) propone, basándose en resultados experimentales, que la

diferencia de temperaturas en un sistema de circulación natural se aproxime a i0"C.

Se han realizado diferentes estudios del desempeño térmico basados en

monitoreo a corto y largo tiempo (Dah1 et al., 1997), también se han hecho estudios

detallados en 2-D y 3-D de todo el ciclo termosifónico. Otros estudios, han utilizado

el parámetro de flotación (GrlRe") donde Gr es el número de Grashof y Re" es el

número de Raynolds evaluado a la n potencia y coeficientes de fricción para

caracterizar a los sistemas. Elliot et al., (1993) propusieron, a partir de datos

experimentales, que el flujo másico fuera proporcional a la diferencia de temperatura

elevada a una potencia en M = a AT", en donde el valor de la potencia depende de la

geometría del sistema.

Del estudio bibliográfico, se concluye que se han realizado estudios teóricos y experimentales. Los estudios teóricos, la mayor parte, se han realizado en 1,

dimensión y pocos para 2 y 3 dimensiones. Los estudios unidimensionales

presentan poca eficiencia cuando se consideran tanques de almacenamiento

horizontales y mayor eficiencia cuando se consideran tanques de almacenamiento

verticales. Los programas de simulación comerciales como F-chart, que es un programa diseñado para aplicaciones industriales y comerciales de sistemas de

11

k O 4 - O 8 5 7

Introducción Capítulo 1

calentamiento de agua con energía solar y el programa de simulación TRNSYS

versión 15, que es un programa que resuelve sistemas termoenergéticos

representados por ecuaciones diferenciales, y esta para realizar simulación en

sistemas termosolares de una manera mas compleja y precisa utilizan modelos

unidimensionales para resolver la transferencia de calor de los SCAEST.

Con el fin de estudiar en forma paramétrica el comportamiento del termosifón

con tanque de almacenamiento horizontal, que es lo más utilizado en los SCAEST,

en este trabajo, se realiza un programa de simulación que considera la modelación

en dos dimensiones de un tanque de almacenamiento con tuberías, y al colector solar

se le supone como una tubería vertical del sistema con Calentamiento, pudiendo ser

flujo de calor constante o temperatura media de placa constante.

1.4 Objetivos

En esta sección se presentan los objetivos que motivaron a la realización de

este trabajo.

1.4.1 Objetivo general.

El objetivo de esta tesis es obtener un modelo numérico bidimensional que

permita simular el flujo másico y la diferencia de temperaturas de un sistema termosifónico de calentamiento de agua a escala que utiliza la energía solar.

12

Introducción Capítulo 1

1.4.2 Objetivos específicos.

1. Obtener un modelo matemático bidimensional en régimen laminar de un

sistema termosifónico utilizando las ecuaciones de conservación de masa,

cantidad de movimiento y energía, que es resuelto por medio de un esquema

numérico codificado en lenguaje Foríran 90.

Para presentar el trabajo realizado, en el Capítulo dos se muestran el modelo de

transferencia de calor en un termosifón y sus consideraciones. En el Capítulo tres se

presentan la solución del modelo numérico y el acoplamiento de las ecuaciones

gobernantes así como su algoritmo de solución. En el Capítulo cuatro se presenta la

verificación del código de simulación y la validación del modelo teórico. En el

Capítulo cinco se presentan los resultados del modelo teórico y el estudio de la

transferencia de calor en un sistema solar de calentamiento de agua termosifónico

para diferentes flujos de calor y número de Rayleigh. Por último, en el Capítulo seis

se presentan las conclusiones y las recomendaciones que se sugieren para trabajos

futuros.

13

Capítulo 2

Modelo de transferencia de calor en un termosifón

En este capítulo se presenta el modelo físico y la formulación matemática para resolver la transferencia de calor por convección natural en una cavidad con un espacio constreñido que simula un sistema termosifónico.

Modelo de transferencia de calor en un termosifon Capitula 2

2.1 Descripción del modelo físico de un termosifón.

El efecto termosifónico consiste en propiciar el movimiento cíclico de un

fluido en un circuito a consecuencia de un gradiente de temperatura. Este efecto,

como se mencionó en el capítulo anterior, se ha venido utilizando en el

aprovechamiento de la energía solar para calentamiento de agua. En este caso, se

utiliza un colector en la parte inferior del sistema, un tanque de almacenamiento en

la parte superior, dos conductos, uno que comunica la parte superior del colector con

la parte superior del tanque y el otro que comunica la parte inferior del tanque con la

parte inferior del colector, con lo cual se evita la utilización de sistemas

electromecánicos para el movimiento del fluido para remover la energía captada en

el colector. En la Figura 2-1 se muestra un Sistema para Calentamiento de Agua

Termosifónico que utiliza Energía Solar (SCAEST); se puede notar que el agua, una

vez que se calienta en el colector a causa de la energía solar captada, circula por la

línea roja hacia el tanque de almacenamiento que se encuentra en la parte superior

del sistema y el agua fría de la parte inferior del tanque circula por la línea azul

hacia la parte baja del colector para ser calentada. Este efecto termosifónico, existe

mientras exista un gradiente de temperaturas entre el tanque y el colector.

Tanque de

Tanque - Colector Figura 2-1 Sistema termos fónico para calentamiento

de agua utilizando energía solar. 15

Modelo de transferencia de calor en un iermosfón Capítulo 2

El SCAEST se puede reducir a una forma más simplificada tal y como se

muestra en la Figura 2-2. Esta figura, muestra en la parte izquierda el SCAEST y en

la parte derecha su idealización a una cavidad con un espacio constreñido en su interior, con el flujo en sentido de las manecillas del reloj. En la cavidad, en la

pared izquierda se suministra un flujo de energía equivalente a un SCAEST O se

puede considerar que en la misma zona existe la temperatura media de placa Tmp que

se presenta en un colector. En la figura se presenta con flecha discontinua el flujo

convectivo termosifónico que se genera a consecuencia de suministrar energía a la

parte baja de la pared izquierda; también, en la figura se muestra con líneas

inclinadas la zona donde se considera adiabática la frontera de la cavidad y la zona

del cuerpo en el interior de la cavidad que no presenta transferencia de calor y masa.

La evaluación en forma general del comportamiento térmico de un SCAEST requiere

el conocimiento del flujo másico y la diferencia de temperaturas que se presentan en

la entrada y en la salida de lo que representa el colector a consecuencia del flujo de

calor que se suministra. El estudio que se presenta en este trabajo, calcula el flujo

masico r i y la diferencia de temperaturas At a consecuencia del suministro

constante de energía por la parte baja de la pared izquierda.

SCAEST

Figura 2-2 Sistema termos ij¿Ónico simplificado. 16

Modelo de transferencia de calor en un termosifón Capííulo 2

2.2 Modelo matemático de transferencia de calor por convección natural en

una cavidad con un espacio vacío.

El efecto termosifónico en un SCAEST es consecuencia principalmente de la

transferencia de calor por convección natural. Sí se considera al sistema en escala

reducida se presenta transferencia de calor por convección natural en régimen de

flujo laminar para rango del número de Rayleigh IO’ I Ra 5 IO’.

La transferencia de calor por convección natural en régimen de flujo laminar

en la cavidad se representa mediante las ecuaciones en estado transitorio de

conservación de masa, cantidad de movimiento y energía para fluido incompresible

en dos dimensiones. La solución de estas ecuaciones gobernantes, proporciona el

campo de velocidades y temperaturas del fluido. A partir del campo de velocidades

y temperaturas se obtiene el flujo másico y la diferencia de temperaturas entre la

entrada y salida de lo que representa el sistema termosifónico del colector solar.

2.2.1 Ecuaciones de conservación de masa, cantidad de movimiento y energía.

Los detalles de la geometría de la cavidad se presentan en la Figura 2-3, en

esta figura se representa una cavidad de altura Hy y longitud Hx, que contienen en

su interior un espacio constreñido de Hx2 de largo por Hy2 de ancho, en el cual no

existe la transferencia de calor, momento y masa. El modelo matemático considera

propiedades termofísicas constantes excepto para la densidad p en el término de

flotación y no se considera disipación viscosa. También, se considera al fluido

incompresible, de viscosidad cinemática v , difusividad térmica a y coeficiente de

expansión volumétrica /3.

17

Modelo de hansferencia de calor en un termosifón Capítulo 2

Pared 3

-4 ‘8, $

c

Pared 3

-4 ‘8, $

’t, X Hx

Figura 2-3 Geometría de la cavidad

El espacio constreñido se considera como tal, suministrando en ese espacio

propiedades termofísicas con valor de cero o cercanas a cero; tal es el caso de la

densidad p, la viscosidad dinámica ,u y la conductividad térmica k. Por tal razón, no

se considera transferencia de calor, momento y masa en el espacio constreñido

durante la simulación numérica.

Las ecuaciones gobernantes consideradas pueden expresarse como (Versteeg

y Malalasekera, 1995):

18

Modelo de lransferencia de calor en un termosifón

Ecuación de Continuidad

Capítulo 2

a m a v a x ay - + - = o

donde u es la velocidad del fluido en dirección x, v es la velocidad del fluido en la

dirección y y t es el tiempo.

Cantidad de movimiento en la dirección x

donde p es la presión del fluido: u es la viscosidad cinemática del fluido y p la

densidad.

Cantidad de niovimiento en la dirección y:

av av av at a x a y - f l l - + l . ' - =

La temperatura TJ de la ecuación 2.3 corresponde a la temperatura promedio del

fluido y es la temperatura a la que se calculan las propiedades termofísicas.

Ecuación de conservación de energía:

-+u-+v- ar a~ aT = a (d2; - +- ;T ) a t as ay X Y2,

(2.4)

19

Capítulo 2 Modelo de transferencia de calor en un termosifón

donde a es la difusividad térmica, igual a k / p C , , donde k y C, son la

conductividad térmica y el calor específico del fluido. Para obtener la condición

inicial se supone que el fluido en el interior de la cavidad se encuentra en reposo, SU

temperatura del fluido es T, y esta a la presión atmosférica. En forma matemática

las condiciones iniciales son: T(O,x, y ) = To, u(0, x, y ) = O , v(0, x, y ) = O ,

P(0, x, Y ) =

En las condiciones de frontera hidrodinámicas se supone no deslizamiento en

las superficies sólidas, entonces:

u(O,y,t)=O v (o, Y J ) = 0

u ( H x , y , t ) = O v( Hx, y , t ) = o v ( x , O , t ) = O u(x,O,t)=O

~ ( x , Hy,t) = O v ( x , H y , t ) = O

Y

Las condiciones de frontera térmicas están dadas por:

En la Figura 2-3, se muestra que las paredes 1, 2, 3, 4, y 4b estas, tienen

impuesta una condición de frontera adiabática; es decir; las paredes no permiten la transferencia de calor a través de ellas hacia el exterior de la cavidad.

Las siguientes ecuaciones 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, 2.9 representan una condición de Neuman de 2da. Clase. Matemáticamente se escriben de la siguiente forma:

U < x C H x (2.5) a T Pared l , - ( x , O , t ) = O a y a T

Pared 2,-(Hx,y,r)= a x o O<y<Hy (2.6)

20

I Modelo de transferencia de calor en un termosifón Capítulo 2

0 5 x l H x (2.7)

H Y i + H Y ~ ~ Y ~ H Y j (2.8)

O 5 y 5 Hy, (2.9)

a T a y a T Pared 4,,-(O,y,t) = O a x a T Pared 4b,-(O,y,t)=O a x

Pared 3, -(x,Hy,t)=O

En la pared 4,, se suponen dos condiciones de frontera, una con suministro

constante de energía en Joules por segundo por cada metro cuadrado y la otra se

considera a temperatura constante TmP . Las ecuaciones 2.10, y 2.10b representan

respectivamente la condición de flujo de calor constante q y la temperatura

constante Tmp .

a T Pared 4,,-(O, y , t ) = 4 a x

a x

HY~ 5 Y 5 HY, +HY> (2.1 O,)

a T Pared 4,, -( O, y , t ) = Tmp HY, c Y 5 HY, +HY, (2.1 ob)

donde q es el flujo de calor y Tmp es la temperatura media de placa que se le

suministra al sistema simulando al colector solar.

2.2.2 Obtención del flujo másico y la diferencia de temperaturas entre la salida

y entrada de la parte del sistema termosifónico que representa al

colector.

Cálculo del fluio másico

Para el cálculo del flujo másico se toma como referencia la Figura 2-4, en la

que se muestra la idealización del SCAEST, esto es, las tuberías, el colector y el

termotanque. En la tubería 1 Colector-Tanque, se tomó una parte de la sección

21

DG'Tl CENIDET IZNNTRO DE I~'FnRMACI0N

Modelo de transferencia de calor en un termosifón Capitulo 2

transversal del tubo entre el intervalo O 2 x I Hx, para y = Hy, + g ( H y , ) . Para

calcular el flujo másico, en la parte izquierda de la tubería, aquí se considera un

rectángulo cuadriculado en el que a través de él pasa el flujo de agua, el cual es

calentado por la pared suministrando un flujo de calor, o la Tmp, a través del

volumen de control Ay que simula el flujo de masa saliendo y entrando del

volumen de control en dirección x con velocidad v en dirección y hacia el

termotanque. La ecuación 2.1 1 indica el flujo de masa ó flujo másico:

Tcrmotanquc

- 1 X Tempcratura de

entrada promedio

(2.1 1)

Figura 2-4Flujo másico a través del SCAEST.

22

Capítulo 2 Modelo de transferencia de calor en un termosifón

Temperatura de entrada promedio

Para calcular la temperatura que simula la entrada promedio al colector, se

utiliza la parte de la sección transversal del tubo entre el intervalo x= Hx, para

O I y 5 Hy, . En la tubería 2 de la Figura 2-4 se representa el rectángulo cuadriculado

por donde pasa el flujo de agua fría en dirección contraria al eje x. La ecuación 2.12

permite calcular el promedio de la temperatura de entrada T,.

T - =I ~ y ' i ( x , y ) d y

Ep HY, (2.12)

Temperatura de salida promedio

Para calcular de la temperatura de salida promedio del colector E.,, , se utiliza

la siguiente ecuación.

(2.13)

23

CapítuIo 3

Solución Numérica En este capitulo se presenta la metodología

de solución de las ecuaciones gobernantes de un sistema termosifónico. También, se muestra el procedimiento de acoplamiento de las ecuaciones y el algoritmo de solución.

Solución del Modelo Numérico Capítulo 3

Debido a que en las ecuaciones de conservación de masa, conservación de cantidad de movimiento y energía, ecuaciones 2.1, 2.2, 2.3 y 2.4, no existe un

método analítico conocido para su solución, entonces se utilizará un método

numérico. La solución numérica del sistema de ecuaciones diferenciales se obtiene

con la aplicación de la metodología de volumen finito con el algoritmo SIMPLE

(Semi-implicit Method for Pressure-Linked Equations), descrito por Patankar

(1980) utilizando mallas desplazadas. Con esta metodología es posible aproximar las

ecuaciones diferenciales a ecuaciones algebraicas para poder calcular los valores

desconocidos de las variables dependientes en el dominio de cálculo. La

metodología de volumen finito utiliza los siguientes pasos:

a. Obtener un sistema de ecuaciones algebraicas a partir de las

ecuaciones gobernantes.

b. Solucionar el sistema de ecuaciones algebraicas.

3.1 Sistema de ecuaciones algebraicas a partir de las ecuaciones gobernantes.

Como se indicó en la sección anterior las ecuaciones gobernantes pueden ser

discretizadas mediante el método de volumen finito para obtener un conjunto de

sistema de ecuaciones algebraicas. Este sistema de ecuaciones algebraicas se

resuelve para conocer un conjunto de valores discretos de las variables dependientes,

los cuales se aproximan a la solución diferencial parcial sobre el dominio físico. La

discretización espacial consiste en dividir en volúmenes de control el dominio físico

de cálculo (mallado).

Las ecuaciones gobernantes se pueden escribir en forma general conforme a

la ecuación 3.1 (Patankar, 1980), donde q5 es la variable dependiente, r e s el

25

Solución del Modelo Numérico Capítulo 3

Ecuaciones de conservación

Masa

Cantidad de movimiento en - x

Cantidad de movimiento. en - y

Energía

coeficiente de transporte difusivo y Sd es el término fuente. La Tabla 3.1 indica las

equivalencias de las variables.

4 r s,

U P - ap/ax

V P -ap/?!J + pgB(T - 6 )

T k"*.JC, O

1 O O

En la ecuación 3.1 el primer término representa la acumulación de la variable

4 en el volumen de control a través del tiempo, el segundo término representa el

transporte de 4 por los movimientos convectivos, el tercer término representa el

flujo neto de 4 en el volumen de control debido a las corrientes difusivas y el

último término representa la generación de calor en el interior del volumen de

control. En el término fuente S, se engloban aquellos términos que no pueden ser

agrupados en el término transitorio, en los términos convectivos y difusivos.

Integrando la ecuación (3.1) en el volumen de control P, se obtiene la ecuación algebraica.

26

Solución del Modelo Numérico Capitulo 3

Varia bIe

U

Y

a, =a, 4E+a,J, $u, +a, 4, +as 4 s +b (3.2)

En forma general la ecuación 3.2 se puede escribir de la siguiente manera.

0, 4 p =a, 4 E +a, 4, +an 4, +a,y 4 s +s++ ap u, = a, u, +a, u, +a, u, +a, u, +sv ap vp = a, v, +a,, v , +a, v, +a, v, + s,

ap4p = avecinos4"vecinos +b (3.3) vecinos

donde las a ' s son coeficientes que representan la interacción del volumen de

control con los volúmenes vecinos; los subíndices W(oesfe) , E ( e s t e ) , N(norte) y

S(sur) indican la posición del volumen vecino con el que interactúa el volumen P;

los coeficientes a ' s están dadas por la ecuación del Apéndice A. Por ultimo b

indica el término fuente donde se pueden considerar las fuerzas de flotación, los términos de los gradientes de presión y el término dependiente del tiempo.

De esta manera, al sustituir cada una de las variables en la expresión

algebraica 3.3, se tienen cuatro sistemas de ecuaciones algebraicas para cada

variable. La Tabla 3-2 muestra las ecuaciones algebraicas para cada una de las

variables dependientes.

El algoritmo SIMPLE se aplicó para el acoplamiento de las ecuaciones de la

Tabla 2-3. Las ecuaciones matriciales que se utilizaron fueron pentadiagonales. Cada ecuación matricial se resolvió de forma directa por el método de eliminación

21

Solución del Modelo Numérico Capítulo 3

de Gauss, Roache (1982). Se utilizó una malla para calcular la variable de

temperatura T y la variable de presión corregida E", la malla se desplazó medio

volumen de control para calcular la variable de velocidad u en dirección x y

también se desplazó otro medio volumen de control en dirección y para calcular la

variable de velocidad v .

Sección I Sección 2 Sección 3

Sección 6

Sección 5

Sección 4

Figura 3-1 Malla no uniforme del termosifón

En la Figura 3-1 se muestra la malla utilizada. Se puede observar que los

volúmenes de control son más pequeños en los extremos y más grandes en la zona

central. La zona A del mallado simula el tanque de almacenamiento, la zona B del 28

Solución del Modelo Numérico

mallado representa a las tuberías, la tubería de la parte izquierda, zona C representa

el colector solar y la parte D del mallado representa el espacio constreñido en el que

no existe transferencia de calor, momento y masa.

Capítulo 3

Para generar este tipo de malla, para cada volumen de control se considera la

posición como función de la longitud del número de nodos. El término se calcula

con las siguientes ecuaciones para cada una de las secciones.

Ecuaciones para el refinamiento de la malla en dirección x

Sección 1

dx( i), = Hx/ --Sen( 27ri ] sen[ 2 7r(i - 1) ] o i x < H x , (Nx,-1) 2 Nx, -1 Nx, -1

Sección 2

Sección 3

(3.4)

Hx, I x C Hx, (3.5)

&( i ) , = Hx3 - v , S e n [ ]Sen[ 2 7r( i - 1) ] H x , I x C H x , (3.6) (Nx, -1) 2 Nx, -1 Nx, - I

29

Solución del Modelo Numérico Capítulo 3

Ecuaciones para el refinamiento de la malla en dirección y

Sección 4

Sección 5

HY, 5 Y 5 HY,

Sección 6

donde i y j indican la posición, Nx,, NXZ, Nx3, Ny4, Nys y Ny6 es el número de nodos

para cada sección, Hx,, H X ~ y Hyd representan el diámetro de la tubería, Hxz, y HyJ

el espacio constreñido, finalmente Hx,, Hx2, Hx3 y Hy6 el tanque de

almacenamiento, y, , y2, y,, y,, ys y y6 representan el factor de estrechamiento para

el refinado de la malla, teniendo un valor de cero para una malla uniforme y un

valor de uno para una malla no-uniforme.

30

Capítulo 3 Solución del Modelo Numérico

3.2 Solución del sistema de ecuaciones.

I

Como ya se mencionó anteriormente, el acoplamiento de las ecuaciones de

conservación de masa, cantidad de movimiento y energía se realizó utilizando el

algoritmo SIMPLE descrito por Patankar (1980).

Este algoritmo que resuelve las ecuaciones de conservación y la ecuación de

corrección de presión en forma secuencial, bajo el siguiente orden de ejecución y

considerando que: u = u* +u’, v = v* +v’ , P = P’ + P’ , donde el ( * ) indica la pseudo

variable y el apostrofe ( ’ ) indica la corrección de la variable, es el siguiente:

1. Se considera una distribución de presiones. Esta distribución es arbitraria,

pero se aproxima a una distribución similar a la verdadera para ayudar a

acelerar la convergencia. Esto es, proponer el campo de presión P‘ , para la

primera iteración.

2. Se resuelven las ecuaciones de balance de cantidad de cantidad de

movimiento para encontrar las componentes de la velocidad correspondientes

al campo de presión. Es decir, calcular los coeficientes de las ecuaciones

algebraicas de movimiento y resolver las ecuaciones para las componentes de

la velocidad u* y V * .

3. Se resuelve la ecuación de balance de masa en términos de la presión. Para

efectuar este paso, se requiere discretizar la ecuación de balance de masa (que

solo involucra a la densidad y a las componentes de la velocidad) y proponer

una relación entre la presión y la velocidad. Patankar (1980) propone una

relación lineal entre las dos variables. A esta expresión se llamará “relación

de corrección”. El campo de presión resultante se denominará corrección de 31

Solución del Modelo Numérico Capítulo 3

presión. Es decir, calcular los coeficientes de la ecuación de presión y

resolver esta última para obtener un campo de presión P,.

4. Utilizando el campo de presión P’ calcular el campo de presión con la

siguiente expresión P = P’ + P,.

5. Calcular las componentes de la velocidad u y v , a partir de las pseudo

velocidades y las correcciones de las velocidades.

6 . Resolver la ecuación de balance de energía utilizando los valores de

velocidad encontrados en el paso 1 hasta el paso 5.

7. Se considera el campo de presión corregido como la distribución inicial de

presiones y repítanse 10s pasos 2 al 6 hasta que el error en las ecuaciones de

balance sea menor a algún criterio de convergencia pre-establecido. Cada vez

que el programa efectúa los pasos descritos se dice que se ha hecho una

iteración.

En la Figura 3-2 se presenta el diagrama de flujo del método SIMPLE. Se considera que la convergencia es alcanzada cuando la suma de los residuos de cada

una de las ecuaciones en todos los volúmenes de control, es inferior a una tolerancia

razonable Tol= lo”, con el fin de que la solución numérica se aproxime a la

solución exacta de las ecuaciones diferenciales en cualquier punto del espacio.

32

Capítulo 3 Solución del Modelo Numérico

inicio i> f

el campo de presión, velocidad y otras variables P*, u', v., qJ*

Paso 8: Reasignación P' = P

T Paso 2: Resuelve las ecuaciones de cantidad de movimiento discretizadas

Paso 3: Resuelve la ecuación de presión 1 Paso 4,5: Corregir la presión y Velocidades

p = p' i P' u = U' i u' v = v* + v'

P, u, v, u; Paso 6 : Resuelve otras ecuaciones de transporte

discretizadas

Figura 3-2 Diagrama de flujo del método SIMPLE 33

Solución del Modelo Numérico Capítulo 3

3.3 Descripción del código desarrollado.

4 4 .-* FIV J

-

Las ecuaciones se resuelven iterativamente utilizando parámetros de bajo-

relajación para evitar divergencias en la solución numérica. Para resolver el sistema

de ecuaciones algebraicas acopladas con el método SIMPLE, se adecuó un código

computacionai en lenguaje Fortran 90 ya desarrollado por (Flores, 2001), para

determinar el campo de velocidades, campo de temperaturas y las líneas de

corriente. De acuerdo al diagrama de flujo del código computacionai de la Figura 3- 3, el procedimiento de cálculo consiste en io siguiente:

SISTEMA-TERMOSIF~NICO

lectura de datos

\ 4 b

- TERMOSIFON

b

COEFICIENTU t- -

- COEFICIENTV *- -

COEFICIENTP +- -

COEFICIENTT t-

4 FI U J I I

Figura 3-3 Diagrama de j lu jo del código numérico desarrollado 34

Solución del Modelo Numérico Capitulo 3

Como se observa en el diagrama de flujo, el programa esta estructurado en

subprogramas con el propósito de reducir la complejidad de la estructura del código.

Una vez iniciada la ejecución del programa este leerá los parámetros de

entrada, el número de nodos que se determina para el caso analizado y el valor de

todas las constantes a utilizar. La rutina principal del programa se llama

SISTEM&TEFWOSIFÓNICO y en ella se encuentra todo el procedimiento de

cálculo.

Del programa SISTEMA-TERMOSIFÓNICO (S-T) se llama a la subrutina

TERMOSIFON, la cual tiene función de construir una malla en el dominio

computacional de cálculo, tomando en cuenta las dimensiones geométricas del

dominio físico. Los nodos se presentan en el código de cálculo como Nodosl,

Nodos2 y Nodos3, para los ejes x, y respectivamente. En esta subrutina se definen

las tres mallas utilizadas en el cálculo malla general (P, T), malla para u y Y. Con el

número de nodos y la estructura de la subrutina TERMOSIFON, es posible calcular

todos los parámetros geométricos necesarios para la determinación espacial de los

volúmenes de control antes mencionados.

Las subrutinas COEFICIENTU, COEFICIENTV, son llamadas por (S-T) en

este orden, con el propósito de determinar el campo de velocidades en las dos

direcciones (x, y). La subrutina COEFICIENTU determina el campo de velocidades

en dirección x y la subrutina COEFICIENTV determina el campo de velocidades en

dirección y . Estas subrutinas a su vez llaman a la subrutina SOLVER, cuya función

es la de resolver el sistema pentadiagonal de ecuaciones por medio del método de

eliminación de Gauss de forma directa Roache (1982).

35

Solución del Modelo Numérico Capítulo 3

Una vez calculado el campo de velocidades en las dos direcciones espaciales,

se llama a la subrutina COEFICIENTP. Aquí se determina un nuevo campo de

presiones, basado en el campo de velocidades calculado. Con el nuevo campo de

velocidades y el campo de presiones. Se evalúa la conservación de masa, pues en

ella se realiza el balance másico para la determinación del campo de presión

corregida.

Finalmente, la subrutina COEFICIENTT, es llamada por (S-T) con el propósito de

determinar el campo de temperaturas en todo el sistema. Estas subrutinas a su vez

llaman a la subrutina SOLVER, para resolver el sistema pentadiagonal de

ecuaciones.

En cada una de las subrutinas donde se determinan los valores de las variables, se

genera un parámetro de convergencia que es el residuo total. Este residuo cuando

tiende a cero nos indica que la solución converge, mientras que si aumenta el valor

del residuo total la solución diverge. Los residuos son impresos en pantalla para

cada iteración, con el objetivo de observar la forma en que se están resolviendo las

ecuaciones. La prueba de convergencia consiste en comparar el residuo de mayor

valor con un valor muy pequeño IXiO.*, que se asigna como dato. Si el residuo total

es menor que el parámetro de tolerancia, el código de cálculo se detiene. Mientras la

prueba de convergencia no detenga al programa este seguirá realizando iteraciones.

Otra forma de parar el código de cálculo cuando este no ha alcanzado la

convergencia, es por medio de la asignación de un número máximo de iteraciones

establecido al inicio del código de cálculo (Nota: este número de iteraciones

dependerá de cada caso analizado). Al finalizar el proceso de cálculo se imprimen y

guardan en un archivo de datos, los valores de las variables obtenidas en cada

volumen de control, para posteriormente graficarlos, procesarlos y analizar los

resultados.

36

Capítulo 4

Verificación y validación del modelo matemático

En este capítulo se presenta la verificación del código numérico, se presenta el caso de referencia para verificar el código de la convección natural en una cavidad calentada diferencialmente y la comparación entre los resultados obtenidos con los resultados de la literatura en forma tabular. Se verificó el cumplimiento del balance y se realiza la independencia de malla.

Verificación del código numérico y validación del modelo matemático Capitulo 4

PARAMETROS DE ENTRADA AL CODIGO

CONDICIONES AMBIENTALES

Temperatura inicial dentro de la cavidad, TO Temperatura de referencia del jluido, TI

Temperatura media de placa TnP GEOMETRÍA DE LA CA VIDAD

Hx = Hy

4.1 Datos de entrada en la simulación.

VALOR DE LA VARIABLE

1 5 T

15°C

20°C

0.02 m

En la Tabla 4-1 se muestran los parámetros que se le suministraron al código

numérico para simular el SCAEST. En la primera columna, se muestran los parámetros y características de la simulación. En la segunda columna, se muestran

los datos de entrada del programa y sus unidades.

Hx2

HY2

HY3

PROPIEDADES TERMOFISICAS DE

Calor especijko del agua

Conductividad térmica del agua

Densidad del agua

Presión

Viscosidad

0.018 m

O. 009 m

0.Olm

4.186 Kj& nc

0.059 Fxj 999. I y3

1.01325XlO’ ym2 0.001137 Kds

38

Verificación del código numérico y validación del modelo matemálico Capitulo 4

Factor de estrechamiento de la malla, y

Número de nodos, N

PROPIEDADES DE LA MALLA l.OyO.0

21,27, 33 y 39

Factor de bajo - relajación, a

I

PARAMETROS DE OPTIMIZA C I ~ N

0.85 y 0.90

Número de Rayleigh io7

La simulación se realizó considerando la temperatura de referencia del fluido

T, , igual a la temperatura media del fluido confinado.

Para la realización de las pruebas numéricas se tomó un factor de bajo-

relajación a para optimizar el tiempo de cómputo y evitar que la solución diverja.

Las pruebas numéricas se realizaron fijando el valor de a dentro de un intervalo de

0.00 a 1.00. Se observó que los experimentos numéricos tuvieron un tiempo de

cómputo menor para un valor de a de 0.85. También, se observó que para valores

menores del factor de bajo relajación el proceso no converge y el tiempo de máquina

se incrementa; sin embargo, para valores mayores de a de 0.91, el tiempo de

cómputo se eleva y en algunas ocasiones diverge el proceso de convergencia.

4.2 Verificación del código de simulación.

La verificación del código de simulación implica evaluar el orden de

exactitud o la razón de convergencia del código. Una metodología para verificar

códigos es calcular la exactitud o la razón de convergencia. La exactitud se puede

estimar comparando la solución del código de simulación con la solución exacta,

Roache (1989). En este estudio se realiza un análisis de independencia de malla,

39

Verificación del código numérico y validación del modelo matemático Capítulo 4

utilizando los parámetros y las condiciones de la Tabla 4-1. Para identificar el

número de nodos adecuado para realizar los experimentos numéricos.

4.2.2 Análisis de convergencia de malla.

Como se mencionó en la sección anterior, el estudio de refinamiento de

malla, para el problema del SCAEST, se realiza considerando las condiciones de la

Tabla 4-1 y la temperatura constante T,, en la pared 4, (20°C). En el estudio se

obtienen los flujos másicos y la diferencia de temperaturas entre la entrada y la

salida de lo que representa al colector solar. Lo anterior se realiza para diferentes

mallas, cada vez más refinadas, hasta que los valores del flujo másico y la diferencia

de temperaturas no cambien de forma considerable al incrementar el número de

nodos de la malla.

En la Figura 4-1 se muestra la variación del flujo másico calculado en

función del número de nodos de la malla (21x21, 27x27, 33x33 y 39x39). El

programa por ser en estado transitorio, es función del tiempo, por lo que las pruebas

se realizaron para tiempos de 1200 segundos. En la figura se puede observar que al

incrementar el número de nodos de la malla, el flujo másico aumenta a un valor de

1.85X10-4 kg/s con 21 nodos, después se reduce a 1.64X10-4 kg/s con 27 nodos,

después se reduce a 1.60X10-4 kg/s con para 33 nodos y posteriormente solo se

reduce a 1.59X/0-4 kg/s con 39 nodos. Esto nos indica que a medida que se

incrementa el número de nodos el flujo másico converge a un valor, ya que para

mallas más refinadas de 27 nodos el cambio del valor fue menor a 5X10-6 kg/s con

un intervalo de número de nodos de 6 ; para mallas más refinadas de 33 nodos, el

cambio del flujo másico fue menor a lX/O-6 kg/s. Por lo anterior, se puede remarcar

que el modelo converge a un valor aproximadamente constante a partir de 33 nodos

40

Verijicación del código numérico y validación del modelo matemático Capítulo 4

con errores del orden de lX10-6 kg/s. por lo tanto el número de nodos que se utilizó

para correr el programa fueron 39 nodos.

A partir de los resultados que se presentan en la Figura 4-1 y cumpliendo

con la ecuación de conservación de masa, la solución exacta se aproxima mediante

la extrapolación de Richarson. Con la solución exacta aproximada, el error de

Richarson extrapolado se calcula con la ecuación 4.1, (Roache, 1998).

donde fi es la solución a un numero de nodos de la malla, f2 es la solución a un

segundo numero de nodos en la malla y r es la relación entre numero de nodos de las

soluciones f2 y fi. Utilizando las soluciones para dos pares de mallas, 33 con 39

nodos se calcula el error de extrapolación de Richarson de 2.22%.

La incertidumbre se puede calcular considerando el trabajo de Roache (1994),

donde considera que la incertidumbre es igual al índice de convergencia de malla,

GCI, que se obtiene multiplicando el error de extrapolación de Richarson por un

factor, F,, dependiente de la malla; en el caso de mallas poco refinadas F, es igual a

3, por lo que el GCI o la incertidumbre para 39 nodos es de 6.68%.

Todas las corridas del programa se realizaron en una computadora con

procesador AMD Athlon (tm) a 1.6 GHz y 5 12 MB de memoria RAM. El tiempo de

computo requerido por el programa para una malla de 39x39 nodos es de 2 días.

41

Verificación del código numérico y validación del modelo matemático Capítulo 4

20 25

t 2 1 4 - 1 1 I / I -4-33 f 3 9

30

N d O S

35 40

Figura 4-1 Análisis de convergencia de malla para temperatura constante

TnlP = 20°C.

4.3 Validación parcial del código.

La validación del método numérico, se llevó a cabo realizando una

comparación con un modelo físico de referencia reportados en la literatura por

Barakos et al. (1994).

Se presenta el caso de referencia que se emplea en la verificación del código

numérico.

1) Convección natural en una cavidad cuadrada rectangular calentada

diferencialmente en las paredes verticales considerando que el flujo es

laminar.

42

Verificación del código numérico y validación del modelo matemático Capítulo 4

4.3.1 Validación parcial con un modelo de convección natural en una cavidad

cuadrada calentada diferencialmente.

Se considera la validación con un problema de referencia de convección

natural en una cavidad cuadrada calentada diferencialmente, con número de

Rayleigh IO3 5 Ra 5 i o 6 , con flujo laminar e incompresible y propiedades

termofisicas constantes; aquí se considera la aproximación de Boussinesq. En la

Tabla 4-2 se presenta la comparación de los resultados del programa con los

resultados reportados por Barakos et al., (1994). Se comparan las componentes de

velocidad adimensional máximas u y v , en función de la posición a lo largo del eje

vertical adimensional (x', y').

* *

Taba 4-2 Comparación de resultados obtenidos en el presente trabajo con resultados reportados del problema convectivo en una cavidad

'indica que la variable es adrmensronal

En la primer columna de la Tabla 4-2 se muestra la variable que se compara,

los números entre paréntesis indican la coordenada donde se encuentra reportada esa

variable. En la segunda columna se muestran los resultados reportados por Barakos

(1994), en la tercera los resultados reportados por Markatos (1984), en la cuarta se

43

Capítulo 4 Verificación del código numérico y validación del modelo maiemático

Nodos

21

27

33

39

presentan los resultados reportados por De Vahl Davis (1983), en la quinta columna

se presentan los resultados reportados por Fusegi (1991) y en la sexta columna se

presentan los resultados que se calcularon en el presente trabajo. Para Ra=103 las

velocidades máximas del presente trabajo difieren de menor manera con los

resultados reportados por los autores. Las diferencias mínimas entre los resultados

reportados y el presente trabajo es para valores de Ra de lo4, 1 6 y lo6 con los

trabajos reportado por los autores. De lo anterior, se puede ver que a medida que se

incrementa el valor del número de Rayleigh se incrementan las diferencias con los

reportados. También, se puede notar que las diferencias no son considerables, por lo

que con el modelo desarrollado y simplificado, se pueden reproducir los resultados

reportados.

Flujo másico máximo, Flujo másico minimo Diferencias,

l O-' kg/s kg/s, l O-4 %

2.5 1.85 7.20

2.51 1.64 6.53

2.51 1.59 6.33

2.51 1.58 6.29

En la Tabla 4-3 se presenta el flujo másico máximo y mínimo cuando cambia

el número de nodos.

En la primer columna se muestra el número de nodos evaluados para las

pruebas empleadas, en la segunda columna se muestra el flujo másico máximo al

empezar las corridas, se observa que a medida que se incrementa el número de

nodos el valor del flujo másico no cambia para una temperatura constante dada; en

este caso la T,, fue de 20°C, esto significa que si se incrementa la temperatura, T,,

44

Verificación del código numérico y validación del modelo matemático Capítulo 4

los valores del flujo másico máximo serán constantes ai principio. En la tercera

columna se muestra el flujo másico mínimo y conforme se incrementa el número de

nodos el valor de la variable va tendiendo a cero. En la cuarta columna, se muestran

las diferencias proporcionadas por la variable, en este caso se tiene la mínima de

6.29 Ya de diferencia.

45

Capítulo 5

Resultados

En este capítulo se presentan los resultados del modelo de simulación considerando las condiciones que se presentan en la Tabla 4-1 para flujo de calor constante en el colector. Los resultados se muestran mediante gráficas de los campos de flujo, gráficas de campos de temperaturas y mediante flujos másicos y temperaturas de entrada y salida de lo que representa el colector solar.

Resultados Capítulo 5

5.1 Campo de velocidades.

Se describe el movimiento del agua en el termosifón considerando los

parámetros descritos en la Tabla 4-1, para un flujo de calor constante de 1000 W/m2.

También, se presentan las gráficas de campos de velocidades para distintos tiempos

que van desde el inicio del fenómeno hasta un estado cercano al permanente. La

evolución del flujo muestra la generación de vorticidad en la región cercana a la

pared que se le suministra el flujo de calor. La solución se presenta para tiempos que

van desde 10 segundos hasta 1200 segundos. Para los tiempos iniciales de 10 a 60

segundos se muestran los vectores de velocidad. A partir de 60 segundos, se escogen

intervalos cada vez más grandes ya que la evolución del fenómeno se vuelve más

lenta.

En la Figura 5-6 se presenta el campo de velocidades, en esta se observa la

forma de cómo se desarrolla el flujo a través de las tuberías debido al suministro de

energía considerando que la condición de frontera de la tubería tiene flujo de calor

constante q . En la figura, los valores de las componentes de la velocidad se

presentan en metros por segundo y las distancias en metros. La flecha del lado

izquierdo indica el lugar en donde se suministra el flujo de calor q simulando al

colector. En la figura se observa como el flujo de agua al calentarse tiende a subir

debido a la fuerza de flotación hacia la parte superior del tanque de almacenamiento

hacia la pared 3 , la cual conduce al fluido hacia la pared 2, en esta pared el fluido cede parte de su energía durante sn recorrido y produce que el fluido se dirija hacia

la pared inferior ocasionando una recirculación en la parte izquierda del tanque de

almacenamiento, debido a las fuerzas viscosas que hacen que el fluido adopte una

forma de remolino. De tal manera que parte del fluido entra a la tubería 3, luego se

dirige a la tubería 2 para después dirigirse a la tubería 1, que representa al colector

Capitulo 5 Resuliados

para ser calentado nuevamente. De esta forma, se cierra el circuito del colector-

tuberías-tanque proporcionado un efecto termosifónico al igual a un SCAEST.

En la Figura 5-1 se presenta el campo vectorial entre O y 10 segundos, el

fluido se encuentra prácticamente inmóvil aunque se aprecian zonas con pequeños

desplazamientos apenas distinguibles en la parte alta del tanque de almacenamiento

causados probablemente por los gradientes térmicos presentes. También, se muestra

como parte del fluido proveniente de la capa límite comienza a doblarse en la

esquina superior izquierda del tanque de almacenamiento e iniciar su camino hacia

la pared 2. Se puede apreciar como el fluido comienza a establecer un circuito de

regreso, pasando por las tuberías del sistema hacia el colector.

......_, .... ../. , ..., ~~, ._., ~, ..., .> .... .,

Figura 5-1 Campo de velocidad vectorial t = O - 1 O segundos.

48

Resultados Capítulo 5

Para el tiempo de 60 segundos. Figura 5-2 el campo de velocidades se vuelve

más evidente en la salida del fluido proveniente del colector hacia el tanque de

almacenamiento. El circuito de regreso del fluido esta tomando la forma clara de un

vórtice con el centro a media altura del tanque de almacenamiento del lado

izquierdo. Este vórtice se forma circular después de los 20 segundos cubriendo una

parte de extensión en el tanque.

Figura 5-2 Campo de velocidad vectorial t = IO - 60 segundos.

Para el tiempo de 120 segundos. Figura 5-3 el vórtice se ha desplazado hacia

la pared 4, y comienza a tomar la forma de remolino. El vórtice ocasiona que el

fluido regresé y seda parte de su energía durante su recorrido. Este vórtice se

ocasiona debido a las fuerzas viscosas que se producen por un alto gradiente térmico

dentro del tanque de almacenamiento, vemos que el resto de la estructura del flujo es

empujado nuevamente hacia las tuberías del sistema pasando con más fuerza y retomando más energía al pasar en el colector.

49

OS

Resultados Capítulo 5

_,, ,..., .., -~ . . ~ ., ..., -> i -. -? . . ~ ..% '*>

,A / .., _; .~ ~i .i ~I -> -* .a .+ -% \

? i" ,A .. > . . . * - - . . , - + - . . L L 1.

., i ,, ~ ~ . . ' <- I' J I I r, '_ - .- ,.- .- c '- c. .... I. d L i

......... '....

,.. <- i

Figura 5-4Campo de velocidad vectorial t = 120 - 600 segundos.

, , , $ ) , . . . . . . . . . . . . . . . , 2 I > . . . . . * x: E 9: ,: !I >I :: :: ,. i :, ' I -I ,,, . . . . . . . . . . . . . . , . . - > , E .. hmnl I U ! d

Figura 5-5Campo de velocidad vectorial t = 600 - 1200 segundos.

51

Capítulo 5 Resultados

Figura 5-6Campo de velocidad vectorial t = 1200 segundos.

En la Figura 5-6 se muestra el campo vectorial de la velocidad en el SCAEST idealizado a 1000 w/m2 con un refinamiento de malla de 75 nodos. Tiene una

velocidad aproximada u,,, = 1.34X10-3m/s, u,, = -1.13X10-3 m/s y v,, = 3.24X10-3

m/s, v,, = -1.11~10" mis

52

Resultados Capitulo 5

5.2 Campos de temperaturas.

En esta sección se presentan los campos de temperatura para tiempos

correspondientes a los campos de velocidad discutidos en la sección anterior. Esta

secuencia muestra el comportamiento térmico transitorio del flujo en el sistema que

incluye la formación de la capa límite térmica y la estratificación en el tanque de

almacenamiento.

En la Figura 5-7 se presentan las isotermas para t = 10 segundos. Algunas de las

características notorias que se aprecian en las figura correspondiente al tiempo

inicial del fenómeno son, primeramente, la formación de la capa limite y de

intrusión. Para este tiempo, el principal mecanismo de transferencia de calor es por

conducción por lo que el fluido al principio se comporta prácticamente como si

fuera un sólido.

t c

- ,

Figura 5-7Campo de temperatura t = 10 segundos. 53

Resultados Capítulo 5

A los 60 segundos, Figura 5-8 la capa límite se encuentra en proceso de

formación adaptándose al flujo de calor suministrado al sistema. A este tiempo se

manifiesta un frente de fluido caliente en la parte de la capa límite térmica. Este

frente térmico avanza horizontalmente por la parte superior del tanque de

almacenamiento formando los primeros estratos de agua tibia de aproximadamente

15.63 OC.

,I c Figura 5-8 Campo de temperatura t = 60 segundos.

A los 120 segundos, Figura 5-9 el fluido estratificado llega a la parte inferior del

tanque de almacenamiento y empieza a bajar por las tuberías, dirigiéndose hacia la

entrada del colector. La temperatura en la parte superior del tanque a llegado

aproximadamente a 16.11 OC, en la parte inferior del tanque es de aproximadamente

15.73 "C y en las tubería a alcanzado 15.43 OC.

54

Resultados Capítulo 5

.- I I Figura 5-9 Campo de temperatura t = 120 segundos.

Para t = 600 segundos, Figura 5-10 la capa límite térmica que se ha venido

formando en la parte superior del tanque de almacenamiento ocasionando estratos de

agua caliente. La temperatura en la parte superior del tanque a alcanzado

aproximadamente 19.35 "C, mientras que en la parte inferior del tanque es de 19.03

"C y en las tuberías ha llegado a 18.77 "C. En este momento la temperatura se ha

incrementado aproximadamente 5 "C.

Para t = 1200 segundos, Figura 5-11 indica que prácticamente todo el tanque

de almacenamiento se encuentra térmicamente estratificado y consiguientemente las

tuberías del sistema. La estratificación térmica cubre todo el sistema y la

distribución de temperaturas seguirá calentando el agua permanentemente. La

temperatura en la parte superior del tanque a alcanzado 23.37 O C , mientras que en la

parte inferior del tanque es de 23.17 "C y en las tubería a llegado a 22.65 "C.

Finalmente la temperatura se incrementa cerca de 8 "C. 5 5

Capítulo 5 Resultados

Figura 5-10 Campo de temperatura t = 600 segundos

Figura 5-11 Campo de temperatura t = 1200 segundos. 56

Resultados Capítulo 5

G 0.003 ~

0.002 -

El valor del flujo másico a lo largo de los 3200 segundos de simulación

presentó variaciones. Inicialmente tuvo un valor de cero y se increment6

drásticamente hasta un valor máximo de 7.3OXlO.' kg/s a los 7.1 segundos y luego

se redujo exponencialmente a los 700 segundos a 3.2XIO" kg/s y posteriormente

continua reduciendo su valor a una razón de 2.0X/O-7 (kg/s)ls. En la Figura 5-12 se

presenta el comportamiento del flujo másico descrito. En el eje vertical se muestra el

flujo másico y en el eje horizontal se presenta el tiempo transcurrido simulado.

0.008

v "."".

0 0 500 I000 1500 2000 2500 3000 3500

Tiempo Segundos

Figura 5-12Flujo másico en función del tiempo en el SCAEST idealizado.

5.3 Estudio paramétrico del flujo másico y la diferencia de temperaturas

como función del flujo de calor que se suministra al colector como parte

del sistema.

En esta sección se presenta un estudio paramétrico considerando que en la

pared 4 de la cavidad se le suministra como condición de frontera diferentes flujos 57

Resultados Capitulo 5

Flujo de calor 4 , en W/m2

500

600 700

800

900 1 O00

de calor. Los flujo de calor considerados son de 500 a IO00 W/m2 con

espaciamientos de 100 W/m2. Las condiciones en las que se realizaron las

simulaciones corresponden a lo reportado en la Tabla 4-1 del capítulo anterior.

Flujo másico h, en kg/s Diferencia de temperaturas (TSP-TEP), en O C

2.51~10” O. 59 2.51x10-3 0.59 2 .60~10-~ O. 65 2.69~10-’ O. 71

2.76~10.~ o. 77 2 .84~1 O--< O. 82

En la Tabla 5-1, se muestran los resultados del estudio paramétrico que se

realizó en el SCAEST idealizado. En la primer columna se indica el flujo de calor

constante suministrado en la pared 4, al sistema, en la segunda columna se presenta

el flujo másico el cual, se puede observar que a medida que se le suministra más

flujo de calor al sistema, el flujo másico tiende a aumentar; en la tercer columna se

muestra la diferencia de temperaturas entre TSP y TEP en el sistema a medida en

que se le suministra un flujo de calor. Se observa que su comportamiento es lineal y

también tiende a aumentar como el flujo másico.

En la Figura 5-13 se observa el comportamiento del flujo másico y la

diferencia de temperaturas en el sistema a medida que se le suministra un flujo de

calor constante. Tanto el flujo másico como la diferencia de temperaturas aumenta a

medida que aumenta el flujo de calor suministrado al sistema.

58

Capitulo 5 Resultados

2.90E-03 7 , 0.85

v1 temperaturas Y, 'M 2.75E-O3 - - Y E /y

o" 2 - 7 n m n, -

2.80E-03 - - Diferencia de D jv / P

E

Fluio másico 3

- - 0.7 ;

5 .- e -- 0.65 f;

.m E

E 2.65E-03 .-

2.60E-03

. l.ll 600 700 800 900 1000

Flujo dc calor suministrado al sistema

Figura 5-13 Comportamiento del f lujo másico y la diferencia de temperaturas

en función delflujo de calor suministrado a 1000W/m2para 1200s.

Aproximando el comportamiento del flujo másico en función del flujo de

calor suministrado a una aproximación no lineal se obtiene que la ecuación esta dada

por:

m = - 4E -10 x2 t I E -06 x+O.0018 (5.1) Aproximando también el comportamiento de la diferencia de temperaturas en

función del flujo de calor suministrado se aproxima a un comportamiento, por lo que

se aproximan por medio de mínimos cuadrados a la siguiente ecuación:

AT = 0.0006 x + 0.2528 (5 4

59

Capítulo 6

Conclusiones Y

Recomendaciones

En este capítulo se presentan las conclusiones y algunas recomendaciones para trabajos futuros, basadas en los resultados obtenidos.

Conclusiones y recomendaciones Capítulo 6

6.1 Conclusiones

Se obtuvo un modelo matemático que permite conocer la transferencia de

calor por convección natural en una cavidad idealizada que semeja un SCAEST. El

SCAEST idealizado considera un modelo numérico bidimensional, que permite

simular la transferencia de calor en régimen de flujo laminar, el cual fue resuelto

usando el método de volumen finito y el algoritmo SIMPLE.

1. Se realizó el planteamiento del modelo fisico idealizado para conocer la

transferencia de calor por convección natural en una cavidad con un

espacio vació en su interior a la que se le suministra un flujo constante de

calor.

2. Se utilizó un modelo matemático que permite conocer el campo de

temperaturas y el campo de velocidades del agua en el termosifón.

3 . Se adecuó un código en lenguaje Fortran 90 para resolver el modelo

matemático, el código permite resolver el modelo matemático mediante el

método de volumen finito utilizando el algoritmo SIMPLE.

4. El modelo numérico se verificó parcialmente reduciendo el código

realizado en este trabajo a problemas semejantes reportados en la

literatura. Dentro de la revisión bibliografica, se obtuvieron discrepancias

de 5 Yo que son poco considerables al comparar las velocidades máximas.

5. Se encontró que la diferencia de temperaturas entre la entrada y la salida

de lo que representa el colector solar aumenta linealmente, mientras que el

flujo másico la variación tiene un comportamiento cuadrático en el

intervalo de 500 a 1 O00 W/m2.

61

Conclusiones y recomendaciones Capítulo 6

6.2 Recomendaciones a futuro.

1. Se recomienda suministrar un flujo de calor constante al sistema, con un

tiempo de simulación mayor a 1200 segundos.

2. Ampliar el intervalo de estudio paramétrico para flujo de calor que se

suministra

3. Variar la razón de aspecto del sistema.

4. Suministrar una condición de frontera de flujo de calor variable en la

pared que simule ai colector solar semejante a lo que sucede a un

SCAEST.

62

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transferencia de calor en una cavidad bidimensional utilizando el método

de volumen finito, XXV Semana Nacional de Energía Solar, San Luis Potosí.

24.Xamán J. P. V., 2004, Estudio de la transferencia de calor con flujo

turbulento en una cavidad cuadrada con pared semitransparente, Tesis

Doctoral, Cenidet, Cuernavaca, Mor.

65

Apéndice A

lntegración de la ecuación generalizada

Apéndice - A

....................... ................................... 9 1

................................... nz&,, h 3

- A I

..............................................

Figura A-1 Volumen de control en dirección x-y.

67

Apéndice - A

Integración de la Ecuación Generalizada

En la Figura A-1 se muestra un volumen de control sobre la malla cartesiana

bidimencional, esta malla es utilizada para la discretización de la ecuación

generalizada. En la figura se puede observar el volumen de control; el cual,

representa un volumen de control genérico de la malla espacial y esta relacionado

con sus nodos vecinos; ( N ) , , , , , (S)su,, (W),,,,, por los flujos J, , J , , J , Y

J,, respectivamente.

Rescribiendo la ecuación generalizada para 2 0 en coordenadas cartesianas como:

Integrando espacialmente la ecuación A. 1 sobre los límites geométricos del volumen

de control, se obtiene:

1 - los términos ( ~ 4 ) ~ (PU d)<, (PU 4)w, (PU 4)" Y ( P u 4) ,~ son términos promedios

representativos de todo el volumen de control, así como también de la salida y

entrada o entrada del volumen de control.

68

Apéndice - A

La ecuación A.2 todavía no ha sido integrada en el tiempo, para tomar en

cuenta la variación de las 4‘s con el tiempo de t ( n ) a i+At ( n + l ) , por lo que se

hace uso de la siguiente expresión: r+Ar

$3 dl = [ f4”” + ( I - f)4”]At (A.3) S 1

donde:

si f = 0.0 se tiene el esquema explícito

si f = 0.5 se tiene el esquema Crack-Nicolson

si f = 1.0 se tiene el esquema implícito

Finalmente, siguiendo la consideración f = I , el resultado de la integración

temporal de la ecuación A.2 en el volumen de control es:

Para simplificar la ecuación anterior, se definen los siguientes términos que ayudan

a reducir la ecuación.

Flujos convectivos a través de las caras del volumen de control:

Términos difusivos en las caras del volumen de control:

0, =- 'o Ax

("Y)"

Número de Peclet:

Finalmente, los flujos totales a través de las caras de los volúmenes de control que

son los flujos convectivos mas flujos difusivos:

70

Apéndice - A

sustituyendo en la ecuación A.8 en la ecuación A.4 y tomando n = O , se tiene la

siguiente expresión como:

El término fuente S puede depender de la variable 4 , entonces para tomar en cuenta

esta situación, el término se separa en dos partes. Una parte que dependa de la

variable y la otra que no dependa de la variable directamente. Entonces el término

fuente se puede escribir como:

s=sc+sp4p (A.lO)

En la ecuación A.10 el término S , no depende de la variable directamente. Bajo esta

modificación, la ecuación A.9 se expresa como:

Para el caso particular de la ecuación de conservación de masa (ecuación de

continuidad), la ecuación A. 1 1 se reduce a:

(A.12)

Para que se tenga una mejor convergencia en la discretización de la ecuación de

convección-difusión se introduce la continuidad. De esta manera se asegura que la

71

Apéndice - A

solución final obtenida mediante el proceso iterativo cumplirá con el principio de

continuidad.

Multiplicando la ecuación A.12 por dP y restando la ecuación resultante a la

ecuación A. 1 1, se llega a la ecuación que finalmente se usara como discreta:

(A. 13)

En esta parte se consideró como convertir las ecuaciones diferenciales a

ecuaciones discretas. Ahora se mostrará como pasar la ecuación discreta a una

notación de coeficientes agrupados. En la Figura A-1 se puede observar la variable

de un nodo P en función de la variable de los nodos vecinos E, W, N, S y en función

de otros parámetros que engloban el término fuente, para ello se usara la

formulación de esquema generalizado para evaluar los siguientes términos (Xaman,

2004):

(A.14)

Finalmente, la ecuación generalizada de convección-difusión en notación de

coeficientes agrupados, como resultado de sustituir la ecuación A.14 en la ecuación

A.13 se puede expresar como:

72

o de la forma:

donde:

(A.15b)

(A. 16)

6 = Pp * 4 ; +s,ayay At (A.18)

la función A((Pe1) es una función que depende del esquema de aproximación

utilizando.

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