geogebra2

Actividades dinámicas para realizar

con el programa GeoGebra

Marco Vinicio Gutiérrez Montenegro

[email protected]

28 de marzo de 2011

Índice general

1. Temas Preliminares 3

1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Instalación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3. Interfaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.1. Vista Gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.2. Vista Algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.3. Hoja de Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.4. Campo de Entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4. Propiedades de los objetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.1. Objetos libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.2. Objetos dependientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.3. Objetos auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.4. Objetos fijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.5. Ocultar rótulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.6. Renombrar objetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.7. Borrar objetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.8. Redefinir un objeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5. Guardar una construcción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6. Otras características de GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

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ÍNDICE GENERAL 2

2. Construcciones paso a paso 14

2.1. Aspectos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2. Actividades propuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.1. Construcción de un triángulo cualquiera inscrito en una circun-ferencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.2. Construcción de una mediatriz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.3. Construcción de un paralelogramo. . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.4. Construcción de un cuadrilátero. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.5. Construcción con una semicircunferencia. . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.6. Trazado de lugares geométricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.7. Deslizadores y animaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Capítulo 1

Temas Preliminares

1.1. Introducción

En los últimos diez años se ha incrementado el uso de la tecnología computacionalcomo apoyo para la enseñanza y aprendizaje de la matemática, lo que ha provocado laaparición de diversos y potenciales programas de geometría dinámica, siendo GeoGebrauno de ellos, creado por Markus Hohenwarter a inicios del año 2001.

GeoGebra, es un procesador geométrico y un procesador algebraico, es decir, una apli-cación de matemática con software interactivo que reúne geometría, álgebra, cálculo yestadística, programado en el lenguaje Java, lo que facilita su uso en muchas platafor-mas.

El programa es de fácil acceso, pues es gratuito, sencillo y fácil de aprender, convir-tiéndolo en un programa versátil, que ofrece variadas y útiles aplicaciones a través desus numerosas herramientas, permitiendo abordar problemas geométricos y de dibujolineal en el plano, mediante la experimentación y la manipulación de distintos objetos,dando paso a la resolución de problemas de una forma interactiva.

Su funcionalidad es similar al resto de programas de geometría dinámica existentes, yaque, permite mediante la construcción de objetos elementales llevar a cabo la generaciónde nuevos elementos, estableciendo relaciones entre ellos, de forma tal, que es posiblela manipulación dinámica de éstos.

Desde su aparación, este programa ha superado las expectativas de los usuarios, man-teniendo una ventaja con respecto a otros programas similares, pues su creador haincorporado una opción para generar hojas dinámicas exportables, sin más que elegiruna opción en el menú, permitiéndole trasladar las aplicaciones mediante la Web, loque facilita el intercambio de actividades con una gran comunidad a nivel mundial pormedio de wikis y foros.

Podemos construir de modo muy simple puntos, segmentos, polígonos, rectas, vectores,

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cónicas, gráficas de funciones, curvas paramétricas y diagramas estadísticos. Todo es-to dinámicamente, de forma que cualquier objeto puede sufrir modificaciones con unsimple movimiento del ratón.

El éxito en el uso de este programa dependerá en gran parte del empeño y dedicaciónque tengamos para aprender el manejo de sus herramientas y comandos, pero sin duda,con dedicación y entusiamo, podemos lograr interesantes y útiles aplicaciones, ya que elprograma cuenta con el potencial suficiente para ello, sobre todo porque en la versión(3.2) tiene incorporada una hoja de cálculo, permitiendo el manejo de informacióntabular, ligado a los objetos creados.

En este material, el autor1 plantea los aspectos generales sobre las características delprograma, que le permitan al usuario conocer los principales elementos de este progra-ma, así como la creación de una serie de actividades que puede realizar paso a paso,permitiéndole desarrollar habilidades y destrezas en la búsqueda y aplicación de susherramientas, y al mismo tiempo disponer de una gama de archivos dinámicos, que lepueden ser útiles en su labor académica y profesional.

1.2. Instalación

Como se dijo, GeoGebra es un programa desarrollado en lenguaje Java, compuesto porvarios archivos de extensión “jar”, cuyo archivo principal es “geogebra.jar”. Para poderser ejecutado (en local o en red) necesita que la computadora tenga la plataforma deJava (versión 1.4 o superior) instalada. Si no se tiene, se puede descargar en:

http://www.geogebra.org.

Una vez finalizado el proceso de instalación de Java, para poder instalar la versión (3.2),elegimos entre los siguientes enlaces a los instaladores de acuerdo al sistema operativoque manejemos:

� Instalador para Windows.� Instalador para Mac OS X.� Instalador para Linux.

y pulsando sobre la opción seleccionada, automáticamente se abre la ventana de insta-lación

1Lic. Marco Gutiérrez M., Profesor de la Escuela de Matemática ITCR.


Figura 1.1: Ventana para instalación

listo para guardar y ser ejecutado.

Una vez hecha la instalación, para poder ejecutar el programa sehace doble clic en el icono correspondiente en el Escritorio, o biensobre el archivo “geogebra.jar”, si conocemos su localización en eldisco duro u otro soporte.

1.3. Interfaz

La ventana principal de GeoGebra contiene en la parte superior una barra de título,que muestra el nombre del archivo que permanece abierto, o en su defecto sin nombre,por tratarse de un nuevo archivo. Además contiene una barra de menús, dondeestán los distintos menús que pueden ser desplegados con facilidad y que determinanla configuración del programa.

En esta ventana principal se muestra también la barra de herramientas, donde seubica una variada cantidad de botones desplegables, donde se encuentran las opcionespara realizar las construcciones geométricas, información de la herramienta selecciona-da, y los botones para deshacer y realizar las acciones ejecutadas.

Las herramientas ocupan la parte superior de la ventana de GeoGebra, justo debajo delos menús. Corresponden a los objetos y operaciones gráficas más usuales. Se accede aellas mediante los botones. Cada botón visible se activa haciendo clic sobre él, e incluyeuna “flecha” en su esquina inferior derecha que al ser activada con un clic despliega todoslos botones disponibles relacionados con el visible.(Ver figura 1.2)


Figura 1.2: Herramientas de GeoGebra

1.3.1. Vista Gráfica

La Vista Gráfica ocupa la parte central. En esta zona se realizan las construccionesde los objetos gráficos. Por defecto, ocupa la mayor parte de la pantalla. No se puedeocultar, aunque sí se puede reducir.

Sobre la Vista Gráfica se pueden representar directamente objetos geométricos eligien-do la herramienta que se desea utilizar. Es aconsejable, mientras no se domine cadaherramienta, atender al texto de ayuda que aparece en la barra de herramientas, estonos brindará la información sobre la acción que ejecuta cada una de ellas.(Ver figura1.3)

Figura 1.3: Texto de ayuda

Cualquier objeto puede ser manipulado por la Vista Gráfica, para ello basta con arras-trarlo con el ratón, siempre que el objeto tenga la propiedad para poder ser desplazado,pues algunos objetos no se pueden mover porque están fijos por construcción o porqueasí se ha decidido.

1.3.2. Vista Algebraica

La Vista Algebraica se encuentra a la izquierda de la pantalla (ver figura 1.4 en lapágina 7), en ella se ofrece la información algebraica de los objetos dispuestos en laVista Gráfica, es decir, indica los objetos que son libres, los dependientes (que sumovimiento depende de otro objeto) y los auxiliares, logrando una conexión entre lossímbolos algebraicos y su ecuación, la gráfica de una función y su expresión simbólicaetc.

Cualquier objeto geométrico (no se incluyen, por tanto, textos e imágenes) creado en laVista Gráfica tendrá su representación algebraica en la Vista Algebraica, y al tiempoque se mueve un objeto, es posible observar la actualización inmediata de su valor enla Vista Algebraica.

Algo muy importante es que todos los objetos que se disponen en la Vista Gráfica semuestran con el mismo color en la Ventana Algebraica, facilitando su identificación


para realizar cambios en las construcciones. Por defecto, los puntos libres aparecen concolor azul intenso, los puntos semilibres en azul pálido, los ángulos y listas en verdeoscuro, y el resto de objetos en negro o gris oscuro.

1.3.3. Hoja de Cálculo

La Hoja de Cálculo es similar a la hoja en Excel, se encuentra en la derecha de lapantalla y proporciona información tabular, lo que conlleva a generar una relaciónentre los objetos contruidos en la Vista Gráfica y su información algebraica.

Se puede ocultar o mostrar desde el menú Vista. Por defecto, se encuentra oculta.Es una potente herramienta auxiliar que permite crear e interactuar con los objetosgráficos de forma tabular, o pegar y copiar tablas.

Cada celda de la hoja de cálculo posee un nombre único (A1, C4,...) que sirve de vínculoautomático con el objeto que posea el mismo nombre. Ese nombre puede usarse enexpresiones y comandos como referencia al valor que contenga cada celda. (Ver figura1.4).

Figura 1.4: Pantalla principal de GeoGebra

1.3.4. Campo de Entrada

Se encuentra en la parte inferior de la pantalla (como se muestra en la figura 1.4) ypermite introducir directamente desde el teclado números, definir operaciones, coorde-


nadas, ecuaciones y comandos. En la parte inferior derecha se encuentran tres listasdesplegables con operadores y funciones, así como letras griegas y comandos.

Se puede ocultar o mostrar desde el menú Vista. Por defecto, se encuentra visible.Con hacer un clic sobre el campo de entrada se posiciona el cursor en él y se ingresa lainstrucción con el teclado. Para aplicar el texto introducido se pulsa la tecla ENTER.

1.4. Propiedades de los objetos

El cuadro de propiedades permite modificar características de los objetos, como ocul-tarlos, renombrarlos, redefinirlos,cambiar tamaños, estilos o colores, etc.

Es posible acceder al cuadro de diálogo de Propiedades de un objeto de variasmaneras:

1. Haciendo clic derecho sobre el objeto.

2. Haciendo doble clic sobre el objeto en la Vista Gráfica.

3. Haciendo doble clic sobre el objeto en la VistaAlgebraica, siempre que no sea un objeto libre (en cuyocaso esta acción abriría la edición inmediata).

4. Seleccionando el objeto y pulsando posteriormente laopción Propiedades del menú Edita.

1.4.1. Objetos libres

Estos objetos están ubicados en una carpeta con el mismo nombre, ubicada en laVista Algebraica, se sitúan todos los objetos que no dependen de ningún otro valor, esdecir, puntos libres y cualquier otro objeto definido directamente (sin usar objetosya construidos).

Los objetos libres se crean a partir de puntos básicos, se pueden arrastrar para moverlos,aunque solo cambiarán de posición; para cambiar el tamaño será necesario arrastrarlos puntos básicos o elementos iniciales sobre los que se han creado.


1.4.2. Objetos dependientes

En la carpeta Objetos Dependientes se sitúan el resto de los objetos, incluso aunquesean objetos que se puedan desplazar (pero no independientes, no libres) o sean puntossemilibres, que son aquellos que se pueden mover libremente en otro objeto geométrico(segmento, recta, circunferencia, etc.).

Cuando se desea contruir un objeto que esté relacionado con otro ya existente, elproceso consiste en activar en primer lugar la herramienta del nuevo objeto que se deseaconstruir. Luego acercando el puntero al objeto principal éste resaltará, y procedemosa constuir el nuevo objeto.

1.4.3. Objetos auxiliares

En la carpeta Objetos Auxiliares se puede acomodar cualquier objeto, libre o de-pendiente, que queramos apartar, ya sea porque no pertenece a la línea principal de laconstrucción o por cualquier otra razón.

1.4.4. Objetos fijos

Cualquier objeto sea libre o dependiente se le puede otrogar la propiedad de obje-to fijo, es decir, un objeto que no se puede mover. Cuando un objeto presente estapropiedad tampoco es posible modificarlo, redefinirlo o eliminarlo, al menos hasta queesta propiedad no sea modificada. Esta es una propiedad muy útil, sobre todo cuandodeseamos que un objeto no se pueda modificar o borrar, particularmente cuando seejecutan animaciones.

Para definir un objeto se pulsa sobre el objeto con un clic derecho y al desplegarse laventana de opciones se elije Propiedades; una vez realizada esta acción se abre unanueva ventana y se selecciona la opción de Objeto Fijo. (Ver figura 1.5).

1.4.5. Ocultar rótulos

El programa por defecto realiza automáticamente la rotulación de cada objeto que seconstruya en la Vista Gráfica, lo cual muchas veces la pantalla se llena de etiquetas, yesto nos lleva a pensar que no es necesaria la acción de rotular todos los objetos.

Para ello hay dos formas elementales de resolver el problema de que no aparezca elrótulo de cada objeto que se dibuje.


Figura 1.5: Propiedad de fijado

Podemos utilizar algunas de estas acciones:

1. La forma más sencilla consiste en cerrar la Vista Algebraicay con ello cada construcción no será rotulada, aunque sí cadauna tiene una etiqueta para identificarse en la Vista Alge-braica, solo que no será visible en la pantalla.

2. Otra forma es poder escoger solo aquellos objetos que se de-sean rotular en la pantalla. Para ello en el menú Opcioneselija Rotulado, luego elija la opción deseada. Pueden ser:

a) Automático: rotula por defecto a todos los objetos enpantalla.

b) Todos los Nuevos Objetos: cumple con la misma funciónque el modo Automático.

c) Ningún Nuevo Objeto: no rotula a ningún objeto creadoen la pantalla.

d) Solo los Nuevos Puntos: rotula solo puntos que formenparte de las construcciones de objetos.


1.4.6. Renombrar objetos

En todas las construcciones de objetos, por defecto cada uno de ellos (punto, segmento,recta, circunferencia, etc.) será etiquetado con una letra(minúscula o mayúscula), paraidentificarlo como objeto en la Ventana Algebraica. Sin embargo se cuenta con la opciónRenombra que permite cambiar el nombre de los objetos con la etiqueta que se desee.

Para ello se abre el cuadro de diálogo que permite renombrar al objeto con solo hacer clicderecho sobre el objeto. Si el nuevo nombre ya existía para otro objeto, éste cambiarátambién de nombre (normalmente, el programa le añade el subíndice 1).

1.4.7. Borrar objetos

La propiedad de borrar realiza la acción de eliminar objetos seleccionados y todosaquellos que dependan de ellos. Esto equivale a usar la tecla DEL.

Para realizar la eliminación de objetos creados en la pantalla, bastará con hacerlo yasea seleccionándolo en la Vista Gráfica o bien desde la Vista Algebraica, con ambasopciones funcionará. Se debe recordar que para ejecutar la cción de borar objetos, éstosdeben ser libres, en caso contrario debe liberarse. Cuando se desee borrar más de unobjeto se seleccionan con una marquesina sobre la pantalla y se utiliza el atajo con latecla DEL.

1.4.8. Redefinir un objeto

Al hacer un doble clic sobre un objeto, éste se puede redefinir. También se tiene laposibilidad de editar sus propiedades. Otra alternativa, es seleccionarlo y pulsar latecla F3.

Al pulsar F3, después de elegir un objeto, se traslada su definición al campo de entrada.Este procedimiento es particularmente útil cuando:

1. La definición del objeto es una expresión larga.

2. Se desea hacer uso de la lista desplegable de comandos.

3. Se quiere copiar la definición de un objeto en otro, seade nueva creación o ya creado.

Si el objeto es libre y se hace doble clic sobre la Vista Algebraica se pasará a editarlo(asignarle un nuevo valor) en vez de redefinirlo. Si se quiere realmente redefinirlo, se


hace uso de un doble clic en la Vista Gráfica (o, alternativamente, clic derecho parausar el menú contextual, Propiedades). Los objetos fijos deben liberarse primero parapoder ser redefinidos.

Este procedimiento es particularmente útil, pues permite liberar o relacionar los objetosya definidos sin necesidad de reiniciar toda la construcción. El resto de los objetos seacomodarán automáticamente a la nueva definición. Todo ello es sumamente versátilpara una modificación retrospectiva de lo construido. Conviene tener en cuenta quetambién es posible cambiar el orden de las etapas de construcción dentro del Protocolode la Construcción.

Un ejemplo de redefinición es la conversión de una recta que pasa por los puntos A yB en un segmento que los tiene como extremos: se hace doble clic sobre la recta y seingresa Segmento[A, B] en el campo correspondiente de la caja de diálogo emergente.

Figura 1.6: Propiedad Redefine

1.5. Guardar una construcción

Para guardar en el disco una construcción se utilizarán las opciones Guarda o GuardaComo que se encuentran en el menú Archivo.

La opción Abre, de este mismo menú, permitirá leer una construcción para llevarla ala ventana de trabajo, para su estudio o para su modificación.

Para salir de GeoGebra se utiliza la opción Cierra, que también se encuentra en elmenú Archivo. Antes de salir, si no se ha guardado la construcción o las últimasmodificaciones, solicitará la pertinente confirmación. (Ver la figura 1.7 de la página13).

1.6. Otras características de GeoGebra

Es importante resaltar que este programa está escrito en muchos idiomas y utiliza unafuente de texto en código LATEX, lo que permite introducir etiquetas en este formato.


Figura 1.7: Ventana de confirmación de archivos

Además por tener una paleta para colores, estilos y tamaños, garantiza que todas lasconstrucciones puedan personalizarse fácilmente, y que estéticamente sean de muchacalidad, inclusive a la hora de realizar algún tipo de impresión.

GeoGebra cuenta con un Protocolo de Construcción y una Barra de Navegaciónque se ubican en el menú Vista, facilitando la navegación en los archivos existentes enpantalla, es decir, podemos estudiar paso a paso el tipo de objeto utilizado en unadeterminada construcción, así como el comando utilizado para la creación de dichoobjeto.

Entre otros aspectos por resaltar del programa, están el cambio del idioma, el tipo ytamaño de letra que deseamos, la unidad angular sea en grados o en radianes, disponer ono de ejes coordenados, activar una cuadrícula, definir las cifras para redondeo, insertartextos, creación de herramientas personales, además admite el ingreso de expresionescomo:

(x− 2)2 + (y − 1)2 = 25 o 3x− 4y = 0

facilitando la creación de gráficas de funciones.

Capítulo 2

Construcciones paso a paso

2.1. Aspectos Generales

En este capítulo se muestran una serie de actividades dinámicas que involucran ciertasconstrucciones geométricas y con funciones, omitiendo el significado de cada herramien-ta, pero en cada actividad se le sugiere al usuario mediante una imagen, la elección dela herramienta, que en ese caso, será la adecuada.

Si se desea conocer el significado y funcionalidad de cada herramienta, puede hacerlectura del manual de ayuda de GeoGebra, disponible en http://www.geogebra.org.

Ahora bien, cuando deseamos realizar una construcción en GeoGebra la mayoría deveces lo haremos de la forma usual, es decir, con el uso de harramientas tradicionalescomo son la regla y el compás, o con papel y lápiz. Por ejemplo, para crear una rectase realizará a partir de un punto y una dirección o bien, a partir de dos puntos; uncuadrado a partir de sus vértices y una función a partir de su ecuación.

Se debe recordar que los objetos se caracterizan por ser dependientes o independientes,como ya se indicó en el capítulo anterior, por lo que la modificación o en su defectoeliminación de alguno que tenga la cualidad de ser dependiente, producirá variacionesimportantes en la construcción.

Las primeras construcciones que vamos a desarrollar tienen que ver con elementosgeométricos, por lo que no es necesario mantener visible los ejes, salvo se indique locontrario. Para ocultarlos diríjase al menú Vista y pulse sobre la opción Ejes.

Es importante señalar que GeoGebra ordena los objetos de forma alfabética de acuerdoa la aparición en pantalla, es decir, cada vez que se ejecuta uno nuevo, sea éste, unpunto, un segmento, una recta, un polígono, etc. lo etiqueta automáticamente con unaletra minúscula o mayúscula de acuerdo al tipo de objeto. Para evitar que la zona senos “llene” de rótulos, podemos desactivar esta acción; para ello en el menú Opciones,marcamos Rotulado y luego podemos elegir Solo los Nuevos Puntos.

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2.2. Actividades propuestas

2.2.1. Construcción de un triángulo cualquiera inscrito en una

circunferencia.

Objetivo: El objetivo de este primer ejemplo es construir un triángulo cualquiera

que se pueda modificar con el uso del ratón, y a partir de él la circunferencia que lo

circunscribe. También deseamos ubicar el centro de la circunferencia.

Construcción paso a paso

1. Abra un nuevo archivo en el programa.

2. Oculte los ejes coordenados y active la opción de cuadrícula.

3. Seleccione la herramienta Polígono y haga clic en tres posiciones distintas de lapantalla (A,B y C) de la Vista Gráfica. Para cerrar el triángulo vuelva a hacerclic en el punto A.

Figura 2.1: Polígono

4. Ahora usando la herramienta Circunferencia dados Tres de sus Puntos,que se hace visible al desplegar la lista de botones pulsando sobre la flecha dela esquina inferior derecha del botón visible Circunferencia, haga clic sobre lostres vértices (A,B y C) del triángulo.

Figura 2.2: Circunferencia


5. Para localizar el centro de la circunferencia le pedimos a GeoGebra que realiceesta acción, y para ello basta con seleccionar la herramienta Punto Medio oCentro y hacer clic sobre la circunferencia sin pulsar nada más.

Figura 2.3: Punto Medio o Centro

6. Renombrar el circuncentro (punto D), por la etiqueta O, haciendo clic derechosobre el punto, y al abrirse la ventana emergente ingresamos la letra O.

7. Personalice esta actividad, cambiando grosor y color de los objetos. Ingreseademás una etiqueta con el nombre de “Actividad No 1”.

8. Finalmente, guarde su construcción con un nombre adecuado.

2.2.2. Construcción de una mediatriz.

Objetivo: El objetivo de esta actividad es dibujar la mediatriz de la cuerda común a

dos circunferencias.




3. Seleccione la herramienta Circunferencia dado su centro y uno de suspuntos y dibuje dos circunferencias que sean secantes.

Figura 2.4: Construcción de una circunferencia

4. Utilizando la herramienta Intersección entre Dos Objetos haga clic sobrecada una de las circunferencias. Esta acción permite la construcción de los puntosde intersección entre las circunferencias.


Figura 2.5: Intersección de Dos objetos

Figura 2.6: Segmento entre Dos Puntos

5. Con el uso de la herramienta Segmento entre Dos Puntos trace el segmentoque une los puntos construidos en el paso anterior.

6. Por último, para trazar la mediatriz, no lo haremos dibujando previamente elpunto medio de la cuerda; basta con elegir la herramienta Mediatriz y haciendoclic sobre el segmento, se tiene la recta buscada.

Figura 2.7: Mediatriz

7. Personalice la actividad, cambiando estilos y colores.

8. Guarde su construcción.

2.2.3. Construcción de un paralelogramo.

Objetivo: En esta actividad se pretende la identificación y uso de algunas herramientas

básicas, para la construcción de un paralelogramo.




3. Construya un segmento de extremos A y B; luego un punto C fuera de dichosegmento.


4. Trace una recta paralela al AB que pase por el punto C. Para realizar tal ac-ción, una vez que haya seleccionado la herramienta, haga clic sobre el punto yseguidamente en el segmento.

5. Dibuje AC utilizando la herramienta adecuada.

6. Construya una recta paralela a AC que pase por el punto B, seleccionado laherramienta Recta Paralela.

Figura 2.8: Segmento entre Dos Puntos

7. Utilice la herramienta Intersección de Dos Objetos y construya el punto deintersección entre ambas rectas.

8. Oculte ambas rectas. Luego construya el paralelogramo utilizando la herramientaSegmento entre Dos puntos.

9. Utilice la herramienta Ángulo y construya los ángulos internos del paralelo-gramo. Para esto, marque tres puntos con la herramienta seleccionada para con-struir el ángulo.

Figura 2.9: Ángulo

10. Trace las diagonales del paralelogramo, para ello utilice la herramienta Segmentoentre Dos Puntos.

11. Construya el punto de intersección de ambas diagonales y verifique propiedadesdel paralelogramo manipulando libremente sus vértices.

12. Personalice la construcción cambiando estilos y colores.

13. Guarde su construcción con un nombre adecuado.


2.2.4. Construcción de un cuadrilátero.

Objetivo: Realizar la construcción de un cuadrilátero, utilizando las herramientas

adecuadas.


1. Abra un nuevo archivo.

2. Oculte los ejes coordenados y active la opción de cuadírcula.

3. Construya un segmento de extremos A y B, con la herramienta Segmento entreDos Puntos.

4. Determine el punto medio de AB, renombrándolo como M . Para realizar estaacción de renombrar objetos, vaya a la Vista Algebraica, seleccione el objetohaciendo clic derecho; en sus propiedades elija Renombra.

5. Trace un círculo con centro M y radio MA. Para ello active la herramientaCircunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos.

6. Construya la recta perpendicular al AB que contenga al punto M . Active laherramienta Recta perpendicular, seleccione el punto M y seguidamente alAB.

Figura 2.10: Recta Perpendicular

7. Determine los puntos de intersección de esa recta con la circunferencia, activandola herramienta Intersección de Dos Objetos, haciendo clic sobre cada objeto.

8. Renombre estos puntos de intersección como C y D.

9. Construya el cuadrilátero ADBC activando la herramienta Polígono, haciendoclic sobre los cuatro puntos A,D,B, C, en ese mismo orden.

10. Oculte la recta, el punto M y AB. Para ocultar los objetos haga clic derechosobre cada objeto, y elija Muestra Objeto.


Figura 2.11: Distancia o Longitud

11. Determine la medida de cada uno de los lados del cuadrilátero, activando laherramienta Distancia o Longitud. Marque cada segmento y de esta forma seobtiene la medida de cada uno de ellos.

12. Active la herramienta Ángulo y determine la medida de cada uno de los ángulosdel cuadrilátero ABCD.


14. Guarde el archivo con un nombre adecuado.

2.2.5. Construcción con una semicircunferencia.

Objetivo: Utilizar herramientas de GeoGebra para realizar una construcción.


1. Abra un nuevo archivo en GeoGebra.


3. Activando la herramienta Segmento entre Dos Puntos trace un segmento deextremos A y B. Renombre el punto A con O.

4. Trace una circunferencia con centro O y radio OB activando la herramientaCircunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos.

5. Con la herramienta Nuevo Punto pulse sobre cualquier lugar de la circunfer-encia para colocar un punto sobre ésta. Este punto debe nombrarse con la letraA.

6. Active la herramienta Recta que pasa por Dos Puntos y trace una recta quecontenga a los puntos A y O.

7. Con la herramienta Intersección de Dos Objetos construya el segundo puntode intersección entre la recta y la circunferencia. Renombre este punto con laletra B.


8. Oculte la recta y conecte los puntos A y B con la herramienta Segmento entreDos Puntos para dibujar el al AB.

9. Con la herramienta Semicircunferencia trace la que contiene los puntos ex-tremos A y B. Luego oculte la circunferencia.

10. Active la herramienta Recta Perpendicular y trace las perpendiculares a ABpor los puntos A y B respectivamente.

11. Con el uso de la herramienta Nuevo Punto pulse sobre la semicircunferenciacon el objetivo de dibujar un punto sobre ésta. Nombre este punto con la letraE.

12. Utilice la herramienta Tangentes y construya la recta tangente a la semicircun-ferencia que pasa por el punto E. Para realizar esta construcción haga clic sobreE y luego sobre la semicircunferencia.

13. Construya los puntos de intersección entre esta recta tangente y las dos perpen-diculares. Nómbrelos con las letras C y D.

14. Oculte las dos perpendiculares y la recta tangente.

15. Trace los segmentos BC, CD y DA.

16. Oculte todos los objetos y puntos. Mantenga visible solamente el cuadrilátero, lasemicircunferencia y el punto E.

17. Explore y manipule libremente el punto E.

18. Personalice su construcción.


Actividades propuestas

� A partir de una circunferencia y de un punto exterior A, trazar la circunferenciaque tiene centro en el punto A y es tangente a la circunferencia.

� Realizar la construcción geométrica de un triángulo equilátero. ¿Es equilátero eltriángulo formado por los puntos medios de cada lado?

� Construya geométricamente un triángulo cuyos lados miden 3,4 y 5 cm.

� En un triángulo ABC cualquiera, obtener los puntos correspondientes al baricentroy al ortocentro.


2.2.6. Trazado de lugares geométricos.

Para construir un lugar geométrico necesitamos dos objetos: un punto que será el quedescribirá el lugar geométrico, y otro que será el punto que se mueve y hace que lascondiciones cambien, y por tanto, exista un lugar geométrico.

Para trazar un lugar geométrico, tendremos que marcar el punto que describirá el lugary el punto que se mueve para describir el lugar. O sea, respondemos a la pregunta: ¿Quélugar geométrico describe el punto P cuando se mueve el punto A sobre el objeto C(circunferencia, recta, segmento, etc.)? (Necesariamente en ese orden).

2.2.5.1 Trazo de una cardioide.

Objetivo: Determinar el lugar geométrico de un punto P , cuando un punto A recorre

una circunferencia.




3. Active la herramienta Circunferencia dados su Centro y uno de sus Pun-tos. Dibuje una circunferencia en algún lugar de la zona de trabajo.

4. Renombre el punto A centro de la circunferencia por O. Luego oculte el punto Bhaciendo clic derecho sobre el punto y elija Muestra Objeto.

5. Activando la herramienta de Nuevo Punto, dibuje un punto sobre la circunfer-encia y renómbrelo con la etiqueta A.

Figura 2.12: Herramienta de Nuevo Punto

6. Seleccione la herramienta Segmento entre Dos Puntos y trace el radio de lacircunferencia que pasa por los puntos O y A.

7. Trace la recta tangente a la circunferencia que pasa por el punto A. Para elloactive la herramienta Tangentes (ver figura 2.13), haga clic sobre el punto yluego sobre la circunferencia.


Figura 2.13: Herramienta de Tangentes

8. Con el uso de la herramienta Nuevo Punto dibuje un punto C fuera de lacircunferencia.

9. Trace la recta perpendicular a la recta tangente que pase por el punto C.

10. Una vez realizada las acciones descritas, utilice la herramienta Intersecciónentre Dos Objetos y construya un punto de intersección P entre ambas rectas.

11. Para obtener el lugar geométrico descrito por el punto P cuando el punto Arecorre la circunferencia, basta con seleccionar la herramienta Lugar geométri-co; pulsando sobre el punto P , que describe el lugar, y sobre el punto A que semueve sobre la circunferencia tendremos el lugar que buscamos.

Figura 2.14: Lugar Geométrico

12. Manipule libremente el punto A y observa los cambios que se producen.

13. Personalice su construcción, cambiando estilos y colores.


2.2.5.2 Trazo de una hipérbola.

Objetivo: Buscar a partir de un punto A que es exterior a una circunferencia, el lugar

geométrico de los centros de las circunferencias que son tangentes a esa circunferencia

y que pasan por el punto A.





3. Con la herramienta Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntosdibuje una circunferencia cuyo centro sea el punto O.

4. Active la herramienta Nuevo Punto y construya un punto A exterior a la cir-cunferencia.

5. Dibuje un punto B en algún lugar de la circunferencia, utilizando para ello laherramienta Nuevo Punto.

6. Utilizando la herramienta Segmento entre Dos Puntos trace el segmento deextremos A y B.

7. Con la herramienta Punto Medio o Centro realice la construcción del puntomedio del AB.

8. Construir la recta perpendicular al AB por el punto C.

9. Ahora, con el uso de la herramienta Recta que pasa por Dos Puntos conectelos puntos A y B. En este caso corresponderá a la prolongación del radio OB delcírculo.

Figura 2.15: Recta entre Dos Puntos

10. Construya el punto de intersección entre ambas rectas. Nombre a este punto conla letra C.

11. Activando la herramienta Circunferencia dados su Centro y uno de susPuntos dibuje la circunferencia con centro C que pasa por B.

12. Seleccionando la herramienta de Lugar Geométrico, hacer clic sobre el puntoC y luego por el punto B. En este caso se encuentra el lugar descrito por loscentros C de las circunferencias tangentes que pasan por A cuando recorre lacircunferencia el punto B.

13. Observe que el lugar geométrico es la hipérbola de focos O y A.

14. Manipule libremente los distintos puntos dados en la construcción.




Actividades propuestas

� Dada una circunferencia y un triángulo ABC, siendo A y B dos puntos de lacircunferencia y C el centro, hallar el lugar geométrico del ortocentro cuando el puntoB recorre la circunferencia.

� Sea A un punto interior a una circunferencia y B un punto de esa circunferencia. SiP un punto de la prolongación de AB con la condición de que AB = BP . Determinarel lugar geométrico del punto P al variar el punto B.

2.2.7. Deslizadores y animaciones

GeoGebra permite la animación manual (mediante el teclado) o automática (mediantela animación automática de un deslizador).

Un deslizador es una herramienta que hace que uno o varios objetos dependan de él,para poder crear movimientos de forma automática.

Figura 2.16: Herramienta de Deslizador

Para crear un deslizador, se activa la herramienta que se muestra en la figura 2.18,y al hacer clic en la Vista Gráfica, se abre una ventana emergente, donde ingresamosla información para el funcionamiento del deslizador, tales como, el tipo de valor quedesamos, ya sea el numérico o el modo de ángulo, el rango de definición y el incremento.(Ver figura 2.17).

Figura 2.17: Ventana de ingreso de datos

Cuando la animación automática se encuentra activada, aparece un botón en la esquinainferior izquierda de la Vista Gráfica. Este botón permite parar y reiniciar el avance.


Figura 2.18: Botón de Pausa-Reproduce

Para activar varios deslizadores con animación automática a la vez, de formasincronizada, los activamos uno a uno, detenemos la animación con el botón Pausa-Reproduce, hacemos clic derecho sobre un deslizador para abrir el cuadro de diálogoPropiedades y desde este cuadro, en la pestaña Básico, establecemos el valor decada deslizador en el deseado. Sólo tendremos, posteriormente, que volver a animarlosvolviendo a pulsar el botón Pausa-Reproduce.

Con la animación automática de los deslizadores, podemos animar los puntos semilibres(es decir, los puntos que pertenecen a otro objeto geométrico y conservan movilidad enél).

Además de estas formas elementales de animación existen otros “trucos"que per-miten realizar animaciones secuenciales, utilizando uno o varios deslizadores,inclusive utilizando una casilla de control. Para ello se necesita definir una variable quecontrole la velocidad del deslizador y activar; estos detalles se explorarán más adelante.

2.2.6.1 Rotación de un punto sobre una circunferencia.

Objetivo: Crear un procedimiento básico para hacer rotar un punto sobre una circun-

ferencia, mediante un deslizador.



2. Oculte los ejes coordenados y active la opción cuadrícula.

3. Active la herramienta Semirrecta que pasa por Dos Puntos y trace unasemirrecta que contenga los puntos A y B.

4. Elija la herramienta Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntospara trazar una circunferencia de centro A y radio AB.

5. Construya el punto medio entre A y B activando la herramienta Punto Medioo Centro y haciendo clic sobre esos puntos.


Figura 2.19: Semirrecta

6. Activando la herramienta Deslizador en el modo Ángulo construya undeslizador. Defina el rango de 0◦ a 359.9◦.

7. En la línea de entrada de datos escriba: Punto[c].

8. Nuevamente en la línea de entrada escriba: E = Rota[B,α,D] y haga ENTERpara generar un punto que se mueve sobre la circunferencia, cuyo movimientodepende del deslizador con el nombre α.

9. Arrastre libremente el deslizador y observe el efecto que produce.

10. Activando la herramienta Vector entre Dos Puntos , dibuje un vector queconecte a los puntos A y E respectivamente. (Ver figura 2.20).

Figura 2.20: Vector entre Dos Puntos

11. Construya el ∠BAE marcando los puntos en ese mismo orden.

12. Arrastre el deslizador y observe la animación.

13. En las propiedades del deslizador active Animación Automática.

14. Personalice su actividad.


Actividad Propuesta

� Aplique el principio anterior para realizar una animación que genere una corona cir-cular. Sugerencia. Realice la rotación de un punto, luego utilice la herramienta ReflejaObjeto por Punto y finalmente aplique Activar Rastro.


2.2.6.2 Construcción de un triángulo usando deslizadores.

Objetivo: Construir un triángulo cualquiera de lados a, b, c, utilizando tres

deslizadores.



2. Oculte los ejes de coordenadas y active la cuadrícula.

3. Construya tres deslizadores a, b, c en el modo Número. Defina a cada uno ellosen un rango de [0, 10].

4. Active la herramienta Nuevo Punto y construya un punto A.

5. Escriba en la línea de entrada: d = Circunferencia[A, a] y presione la teclaENTER para construir una circunferencia de centro A y radio a.

6. Arrastre el deslizador y observe el efecto que produce.

7. Nuevamente en la línea de entrada escriba: B = Punto[d] y presione ENTERpara construir un punto B sobre la circunferencia.

8. Vuelva a la línea de entrada y digite: e = Circunferencia[B, b] presione ENTERluego escriba f = Circunferencia[A, c] y presione ENTER.

9. Arrastre los deslizadores b y c de modo que las circunferencias e y f se intersequen.

10. Active la herramienta Intersección de Dos Objetos y construya los puntos deintersección entre las circunferencias e y f .

11. Con la herramienta Polígono, dibuje un triángulo cuyos vértices sean los puntosA,B y uno de los puntos construidos en el paso anterior.

12. Arrastre los distintos deslizadores y observe la animación.

13. Oculte todos los objetos visibles en la pantalla eligiendo Muestra Objeto, man-teniendo visible solamente el triángulo.


15. Cierre la Vista Algebraica.


16. Modifique el tamaño, el color y los estilos de su construcción.

17. Guarde el archivo.

2.2.6.3 Construcción de un polígono regular de n lados.

Objetivo: Utilizar un deslizador para construir un polígono regular de n lados inscrito

en una circunferencia.



2. Oculte los ejes coordenados y active la cuadrícula.

3. Elija la herramienta Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntosy dibuje una circunferencia de centro A y radio AB.

4. Creamos un deslizador en el modo de número, cuyo nombre será “n” y definidoen un rango de 3 a 50, con un incremento de 1.

5. Escriba en la línea de entrada: central = 360◦/n y presione ENTER.

6. Con la herramienta Nuevo Punto coloque un punto sobre la circunferencia. Estepunto debe llamarse C.

7. Activando la herramienta Rota Objeto en torno a un Punto, el Ánguloindicado hacer clic sobre el punto C, luego sobre el punto A y cuando se abrela ventana emergente escribir: central. (Ver figura 2.21).

Figura 2.21: Herramienta Rota

8. Ahora oculte los rótulos de los puntos C y C ′.

9. En la línea de entrada de comandos ingrese: Polgono[C,C ′, n] y presione ENTER.Observe que se formó un polígo regular.

10. Manipule el deslizador para modificar el número de lados del polígono regular.


11. Personalice su construcción.


2.2.6.4 Animación de las medianas de un triángulo.

Objetivo: Diseñar una animación donde se muestren las medianas de un triángulo.



2. Oculte los ejes de coordenadas y active la opción de cuadrícula.

3. Active la herramienta Polígono y dibuje un triángulo ABC.

4. Con la herramienta Punto Medio o Centro construya los puntos medios decada uno de los lados del triángulo.

5. Active la herramienta Deslizador y aplique un deslizador con nombre “d′′ cuyorango sea [0, 1] y un incremento de 0.001.

6. Verifique de que el deslizador esté en el valor máximo de 1.

7. Introduzca en la línea de entrada:

a) A+ d ∗ (E −A)

b) B + d ∗ (F − B)

c) C + d ∗ (D − C)

8. Arrastre el deslizador y observe el efecto que se produce con la manipulación.

9. Active la herramienta Intersección de Dos objetos y con las medianas trazadasconstruya ese punto de intersección. Verifique que dicho punto tenga la etiquetaJ , si no es así renómbrelo.

10. Agregue un texto con baricentro y colóquelo cerca de dicho punto.

11. En las propiedades del texto elija la opción Posición y luego elija J .

12. Active Vista de Hoja de Cálculo en el menú Vista y en la celda “A” escriba:Distancia[A,J], luego en la celda “B” introduzca la instrucción Distancia[G,J].


13. Ahora en la celda “C” digite: Distancia[A,J]/Distancia[G,J].

14. Mueva libremente los vértices del triángulo, ¿qué pasa con el valor deAJ

GJcon-

forme se cambia la forma del triángulo?.

15. Realice cálculos similares para las otras dos medianas del triángulo.


17. Cierre la Vista Algebraica.

18. Modifique el tamaño, el color y los estilos de su construcción.


2.2.6.5 Animación para la suma de los ángulos externos de un triángulo.

Objetivo: Realizar una animación de los ángulos externos de un triángulo utilizando

un deslizador.



2. Oculte los ejes de coordenadas y active la cuadrícula.

3. Dibuje tres puntos: A,B y C.

4. Active un deslizador cuyo nombre sea “a”. Defina el intervalo de acción de esteobjeto en [0.001, 0.999] con un incremento de 0.001.

5. Construya un nuevo punto D en cualquier lugar de la Vista Gráfica.

6. Activando la herramienta Homotecia desde un Punto por un Factor deEscala (ver figura 2.22) hacer clic en los puntos D, luego sobre A y al salir laventana emergente Número digite a. Luego hacer OK.

Figura 2.22: Herramienta para Homotecia


7. Renombre este punto con la letra E.

8. Repita el paso anterior en este orden:

a) D,B e ingresar a en la ventana emergente y renombrar con la letra F .

b) D,C e ingresar a en la ventana emergente y renombrar con la letra G.

9. Manipule el deslizador y observe el movimiento de los puntos.

10. Utilizando la herramienta Refleja Objeto por Punto hacer clic sobre el puntoF y luego en E. Una vez creado este nuevo punto renombrar con la letra H .

Figura 2.23: Herramienta para reflejar objetos

11. Repita el paso anterior haciendo clic sobre:

a) E y G. Llame este punto con la letra I.

b) G y F . Llame ste último punto con la letra J .

12. Active la herramienta Polígono y construya el triángulo, cuyos vértices corre-sponden a los puntos: A,B y C.

13. Elija la herramienta Ángulo y construya los ángulos: ∠JFE, ∠IGF y ∠HEG.

14. Utilizando las herramientas de los objetos elija Muestra Objeto y oculte todoslos puntos construidos con excepción de los puntos A,B y C.

15. Con la herramienta Muestra Rótulo oculte la medida de cada uno de los ángulosexteriores haciendo clic derecho sobre cada uno y eligiendo Muestra Rótulo.

16. Inserte un texto con la etiqueta Suma de ángulos externos de un triánguloactivando la herramienta Inserta Texto. Coloque dicho texto.

Figura 2.24: Herramienta para insertar texto

17. Arrastre el deslizador para visualizar el efecto.



19. Personalice su animación.


Actividades Propuestas

� Realice una animación similar a la anterior para los ángulos exteriores de un pen-tágono regular.

� Con un deslizador utilice el comando SumaInferior para representar la sumas deDarboux para la función f(x) = x2 en el intervalo [0.5].

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