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Matemáticas: mente disciplinar, mente creativa, mente ética. Una propuesta de educación ciudadana

Inés M.a Gómez-Chacón Universidad Complutense de Madrid

las sociedades democráticas necesitan ciudadanos reflexivos que pue­dan plantearse los grandes temas que en ellas se suscitan (las migraciones, la multiculturalidad, el gran avance tecnológico, las fuertes desigualdades sociales, etc.); ciudadanos que sepan construir su propia opinión y que par­ticipen activamente en las decisiones sociales. Sujetos que sean miembros conscientes y activos de una sociedad democrática, que conozcan sus dere­chos individuales y sus deberes públicos. Ante esta demanda, la educación matemática contribuye a esa formación, asumiendo que las matemáticas juegan un papel esencial en la formación de un ciudadano responsable.

Explorando las investigaciones sobre educación matemática realizadas en las dos últimas décadas encontramos una gran variedad de objetivos en rela­ción con el rol de las matemáticas en la formación de los ciudadanos: los que consideran la dimensión política de la educación matemática (Mellin-Olsen, 1987); los que abordan aspecto sociológico de la educación matemática (Dow­ling, 1997); los que adoptan una perspectiva cultural (Abreu, 1998; Bishop, 1988; Boaler, 1993; Gómez-Chacón, 1998; lerman, 1994; Planas y Gorgorió, 2001); los que proponen una educación matemática critica (Powell y Fran­kenstein, 1997; Skovsmose, 1994); las basadas en la línea etnomatemática (D'Ambrosio, 1990; Oliveras, 1996) y el aprendizaje en los contextos de la vida

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y la crítica social responsable. La contrasocialización, como denominan Engle y Ochoa (1988) a este proceso, estaría básicamente integrada por aquellos campos sociales que resultan imposibles de atender desde la socia­lización e iría orientada al reajuste individual permanente de las creencias, los valores y los mitos adquiridos.

Ambos procesos deben entenderse complementarios: mientras la socia­lización aporta elementos integradores del individuo en la sociedad, la con­trasocialización plantea elementos analítico-críticos que permiten a los sujetos considerar y juzgar la sociedad en la que se integran, hasta llegar al consenso. Desde este punto de vista, la contrasocialización constituye un as­pecto básico en la educación para o en una ciudadanía democrática, en tanto que favorece el pensamiento crítico del alumnado, permitiéndole ana­lizar, reconocer y ponderar los comportamientos sociales propios y ajenos, y dotarse de argumentos y razones sobre los que construir sus propias opinio­nes y creencias, inspiradoras de sus actos y decisiones sociales; unos aspectos que, en definitiva, suponen un ejercicio más racional de su libertad.

Lo que en este capítulo se apunta está ligado a una concepción de educa­ción para la ciudadanía que va más allá de unos contenidos conceptuales (que. por supuesto, incluye), para situarse en el campo de las responsabilidades con­cretas y. como educadores, en reforzar a los sujetos individuales, favoreciendo en la persona dd educando U¡ <:apacidad de hablar por sí mismo y aportando los elementos analíticos-críticos que permitan a los sujetos considerar y juzgar la sociedad en la que se integran (<<contrasocialización»). En distintos países se ha transitado de una educación sobre la ciudadanía (lo que hay que saber: de­rechos, deberes, etc.) a una educación a través de la ciudadanía (lo que po­demos aprender haciendo de una determinada manera) hacia una educación para la ciudadanía (conjunto de conocimientos, habilidades, actitudes, valores, disposiciones que ayudarán a los adultos aasumir los roles que les depare la vida, participando activamente con una sensibilidad y responsabilidad solidarias).

Queremos hacer notar que el alcance de la educación para la ciudadanía depende de la propia definición de ciudadanía desde la que se parte y del con­texto para el cual ésta se formule; lleva en sí una tensión entre filosofia y prác­tica; se configura entre máximos y mínimos: el de la educación únicamente cívica y el de la educación ciudadana que, presuponiendo aquélla, acentúa el compromiso de procurar mejores condiciones de vida para todos (Marco, 2(02).

Este trabajo se sitúa en una propuesta de educación para la ciudadanía enfocada al ámbito escolar, el ámbito del curriculo de matemáticas, robus­teciendo el desarrollo del sujeto en todo su potencial humano.

Educación para la ciudadanía y concepciones de la matemática Los enfoques de educación para ciudadanía y matemática no pueden

obviar el pensar qué opción epistemológica del conocimiento matemático sustenta su propuesta curricular. La historia reciente de la filosofía de la ma­temática presenta un amplio panorama de las distintas concepciones sobre las matemáticas. Si pensamos en las formas como conocemos las matemá­ticas expresadas en los ámbitos curriculares, podríamos decir que la ense­ñanza de esta disciplina puede reposar sobre tres concepciones epistemológicas diferentes (Brouche, Charlot y Rouche, 1991):

• Las matemáticas del cielo, como la denominaba Desanti (Desanti, 1968). Las ideas matemáticas tienen una existencia en sí mismas. Son ideas puras, transparentes, evidentes, que se articula n para constituir un mundo estructurado. La matemática lo que hace es ex­plorar este mundo, en el que la existencia no depende de su activi­dad. Como escribió René Thom, «la estructura matemática tiene una existencia independientemente del espíritu humano que las está contemplando. y «de este mundo de ideas, los matemáticos no tie­nen más que una idea incompleta y fragmentadall (Thom, 1971). Desde esta perspectiva, la disciplina se presenta para formar el espíritu de los alumnos en la abstracción.

• Las matemáticas de la tierra. No hay entes matemáticos autóno­mos. Quienes hacen la matemática no se refieren a entidades inde­pendientes y abstractas. Se abstrae del mundo la estructura ideal de éste, la cual es de tipo matemático. Las matemáticas existen en al­guna parte como estructura y no como ideas independientes, y en la inmanencia, no en la trascendencia. Esta concepción epistemoló­gica de la matemática se encuentra en la base de una concepción didáctica que pretende que el estudiante descubra las matemáticas por la simple manipulación de lo concreto. Si las matemáticas están en las cosas, éstas terminarán por revelar los secretos matemáticos. La significación epistemológica y didáctica de estas dos perspectivas de las matemáticas son diferentes. Ahora bien, si nos paramos a analizar, la consecuencia sociopolítica es similar: hay matemáticas en el mundo (como mundo matemático específico o como estructura matemática del mundo real), donde el mundo es racional, donde hay que someter­se a la autoridad de los que saben leer esta racionalidad matemática.

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cotidiana (lave, 1991; Schliemann y Carraher, 1992); los que ponen de relieve aspectos de equidad, participación y justicia social (Burton, 2003; Atweh y Brady, 2009) y los estudios desde el punto de vista de la filosofía de la mate­mática (Ernest. 1994). Todas estas investigaciones, aunque muy variadas, con­vergen en algunas preocupaciones básicas que hacen referencia al rechazo de una perspectiva de la matemática objetiva, libre de valores y aislada de los in­tereses humanos y privilegio de unos pocos. En muchos de estos estudios se de­bate sobre las relaciones de la matemática y 105 contextos sociales y culturales y sobre el enfoque epistemológico que se le debería dar al currículo para que posibilite en el individuo que aprende la capacidad para identificar, compren­der e implicarse en la sociedad como ciudadano responsable.

Al plantearnos en este capítulo el tema de matemáticas y ciudadanía no podemos dejar de tener en cuenta las cuestiones sugeridas en estos es­tudios y los puntos de convergencia a los que llegan. Algunos de ellos serán retomados, al situar el tema desde lo que puede contribuir esta disciplina a la formación de una ciudadanía responsable y plural.

El capítulo se estructura de la forma siguiente: en primer lugar explicita­mos el concepto de educación para la ciudadanía, pasando seguidamente a tratar la pertinencia de este concepto en la enseñanza y aprendizaje de la ma­temática. Se discute sobre la significación epistemológica y didáctica de las perspectivas de las matemáticas, precisando algunas componentes intelectua­les de la matematización y capacidades más propicias que se deben desarrollar en los sujetos para enfrentarse a los retos ciudadanos del siglo XXI (mente dis­ciplinar, mente creativa, mente ética). Se utilizan algunas actividades y pro­puestas de enseñanza para ilustrar y elaborar esa discusión, y, haciéndolo, identificamos lo que consideramos que son características importantes de la contribución de la matemática a la educación para la ciudadanía.

Construir una ciudadanía plural: socialización frente a contrasocialización En el proceso de construcción de una ciudadanía plural, la escuela ha

desempeñado tradicionalmente un papel relevante al incluirla sistemática­mente en los currículos. En todos ellos, la formación en los valores demo­cráticos constituye una finalidad de la que la escuela no se puede evadir.

Las diversas reformas educativas siempre han considerado que el currículo debe contribuir a la formación cívica del alumnado. En primer lugar, mediante

una «formación social explícita», establecida por el currículo en dos aspectos: uno instructivo-cultural (geografía, ciencias naturales, matemáticas, historia, lengua) y otro formativo-ideológico (religión, ética, temas transversales), vertientes difíciles de diferenciar en la práctica del aula por la confusión que originaba la delimitación de sus conocimientos. En segundo lugar, a través de una forma de «educación social implícita» que, sin expresarse en el currículo, subyace en las relaciones y prácticas sociales que se desarrollan en la escuela y en el aula, y que vehicula las normas y los valores que garantizan el orden social en consonancia con los patrones culturales de un determinado grupo.

Está admitido el papel socializador de la escuela como proceso necesa­rio y positivo, por cuanto contribuye a la cohesión social y facilita la adap­tación de los jóvenes al orden social existente. Las objeciones surgen cuando la escuela y los currículos que desarrolla centran exclusivamente sus esfuer­zos y sus prácticas en la función socializadora, en detrimento de otras fun­ciones que también tienen encomendadas: la instrucción y la educación, funciones más centradas en el desarrollo de los sujetos individuales, aunque tienen una clara influencia social.

La instrucción constituye un proceso formal que proporciona a la persona las habilidades y destrezas básicas necesarias para desenvolverse en la sociedad. La educación aparece como un proceso formativo más comple­jo que, en esencia, consistiría en la capacidad de los sujetos como ciudada­nos para pensar sobre sí mismos, para deliberar, juzgar y escoger sobre la base de sus propias reflexiones racionales (Carr, 1995).

Coincidimos con Del Palacio (2001) cuando, apoyándose en las reflexio­nes de Rason (1994), afirma que el principal problema que se deriva del pro­ceso de socialización reside en la circunstancia de que su aprendizaje no guarda una relación directa con el desarrollo de ciertas capacidades indi­viduales como la racionalidad, la creatividad, la autonomía, capacidades que deberían ser las principales cualidades a tener en cuenta en nuestra so­ciedad actual, marcada por el cambio y la pluralidad, y en la que la contro­versia y la discrepancia social se definen como atributos relevantes.

Por todo ello, se corre el riesgo de que el proceso socializador derive hacia un proceso de indoctrinación, si se basa en las emociones antes que en las reflexiones y si ofrece pocos estímulos para que los individuos piensen y analicen, argumenten y justifiquen. Para evitar este efecto indeseable, en las sociedades posmodernas se recomienda que el proceso socializador llevado a cabo por la escuela se compense con un proceso de refuerzo de los sujetos individuales capaz de incidir sobre aspectos del pensamiento independiente

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la matemática se presenta como un descubrimiento. A esta doble con­cepción de las matemáticas hay que añadir una tercera:

• Las matemáticas como instrumento. El mundo matemático no tiene una existencia previa ni en el cielo, ni en la tierra. la actividad ma­temática no se descubre, sino que se crea. las matemáticas son una creación de la persona humana (matemáticos) en unas condiciones históricas y sociales. Esta idea de que las matemáticas son creadas por el hombre es política y didácticamente esencial para el tema que abordamos, la educación para la ciudadanía.

Un riesgo existente en las propuestas curriculares de educación para la ciudadanía es la apuesta por estudiar la disciplina en los contextos de la vida real (matemáticas de la tierra). llegando en muchos casos a propuestas extre­mas, como indica la afirmación .Ias matemáticas deben estudiarse directa­mente en los contextos en donde se espera que sean utilizadas por el alumnoll y rechazando el polo opuesto, el estudio de matemática pura: «cuanto más ge­nerales y descontextualizados sean los conocimientos enseñados, mejores oportunidades habrá de su aplicabilidad y, por tanto, de su transmisión; por lo que a los alumnos se les debe enseñar matemática pura, es decir, la matemá­tica como un sistema de conocimiento en sí mismo, sin tener en cuenta las aplicaciones posiblesal. El enfoque de ~a matemática como instrumento se re­vela como una propuesta intermedia. En él se considera que la capacidad de aplicar las matemáticas no es una consecuencia natural del conocimiento de las teorías matemáticas. Parece pertinente enseñar a los alumnos el arte de las aplicaciones, además de enseñarles las teorías matemáticas, los métodos y los sistemas de notación. Bajo este enfoque. las aplicaciones se pueden conside­rar como metas en sí mismas y como pretexto para hacer unas matemáticas más elaboradas: a partir de una situación problema (que puede ser concreta o abstracta), ayudar al estudiante no a descubrir sino a inventar. Además, polí­ticamente la idea de las matemáticas como instrumento permite plantearse una doble cuestión formativa:

• la cuestión de las condiciones de utilización de este instrumento, condiciones técnicas, económicas. sociales y políticas.

• la cuestión de la utilización del instrumento, el poder que adquiere quien utiliza el poder matemático (el método matemático).

Formar ciudadanos científica y matemáticamente cultos no significa sólo dotarlos de un lenguaje, el científico. sino enseñarles a desmitificar y

descodificar las creencias adheridas a la matemática y a los matemáticos. prescindir de su aparente neutralidad, entrar en las cuestiones epistemoló­gicas y en las terribles desigualdades ocasionadas por el mal uso de la cien­cia, de la matemática y sus condicionantes sociopoliticos.

Qué aportan las matemáticas al ciudadano

En el apartado anterior acabamos de subrayar una concepción de la matemática como instrumento de actuación y de formación. Sería perti­nente plantearse la cuestión siguiente: cuando uno aprende matemáticas ¿qué aprende además de matemáticas? Para algunos docentes esta pregun­ta puede ser sugerente. Muchos profesores consideran que la matemática tiene un fin en sí mismo y son capaces de definir las finalidades de su ense­ñanza: formación del espíritu de rigor, de abstracción. de racionalidad. etc.; otros explicitan la función social de las matemáticas. la enseñanza de esta disciplina, como todo tipo de enseñanza, tiene una significación política que. como se indicaba en el apartado anterior, ha quedado recogida en la li­teratura sobre el valor cultural y social de las matemáticas. En la actualidad estamos bombardeados por discursos que presentan la matemática como in­dispensable, no sólo sobre un plano técnico y profesional. sino para ayudar­nos a razonar en la vida cotidiana. las matemáticas son la base de la cultura del hombre del siglo XXI. ¿Es ésta una idea acertada?

¿Por qué planteamos esta pregunta? Porque podríamos afirmar que vi­vimos en una época de «presionar botonesll y .no tanto en una época de pensar matemáticamentel. Para probar la importancia de la matemática se suelen poner ejemplos relacionados con el ordenador o las aplicaciones de la tecnologia. Desde nuestro punto de vista, lo que este hecho pone de ma­nifiesto es que se necesita bastante matemática para hacer esos diseños o programas, pero no para utilizar esos programas. El saber y hacer matemá­ticos en la vida cotidiana no implica grandes dificultades, la estructura de razonamientos de la vida cotidiana es raramente matemática, por lo tanto, muchos problemas de la vida cotidiana se resuelven sin que sean necesarios conocimientos profundos de matemáticas. ¿Cómo afecta esto a su enseñan­za? Entonces, ¿por qué seguimos afirmando que las matemáticas son útiles y son un instrumento en la construcción ciudadana? ¿Qué capacidades serán las más propicias a desarrollar en los sujetos para afrontar los retos ciuda­danos del siglo XXI?

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Como indicábamos al comienzo del capítulo, en una formación para la ciudadanía enfocada desde la perspectiva de las matemáticas consideramos importante desarrollar todas las potencialidades de la persona, de tal forma que le den capacidad de respuesta, no sólo respecto al saber (tener conoci­mientos) y al saber hacer (capacidad de síntesis y de aportar funcionalidad a lo aprendido), sino en saber ético, lo cual supone una cierta capacidad para tomar conciencia de las consecuencias de sus actos. Consideramos muy acertada la respuesta que Howard Gardner, creador de la teoría de las inte­ligencias múltiples, da a la última pregunta (¿Qué capacidades serán las más propicias a desarrollar en los sujetos para afrontar los retos ciudadanos del siglo XXI?) en su libro Cinco mentes para el futuro (Gardner, 2008), cuando sugiere qué diferentes tipos de mente serían necesarios si queremos prospe­rar en el mundo futuro:

• Mente disciplinar: sigue formas de pensamiento marcadas por dis­ciplinas como la historia, las ciencias, las matemáticas, el arte, etc. Es aquélla que ayuda a trabajar continuamente en un esfuerzo de mejora permanente; aprendiendo nuevas formas de pensar y vol­viéndose un experto en alguna profesión u oficio.

• Mente sintetizante: permite discernir, tener criterio para escoger la información que es importante de la que no lo es, hacerse un juicio de vatnr y comunicarlo de manera efectiva.

• Mente creativa: permite hacer nuevas preguntas, nuevas síntesis, encontrar nuevas respuestas y asumir riesgos.

• Mente respetuosa: la diversidad es un hecho de la vida dentro y fuera del ámbito familiar. Hoy en día hay necesidad de ser respetuoso, de entender a los demás. sus puntos de vista, sus motivaciones, su inteli­gencia emocional, más allá de una mera tolerancia, colocando nuestra confianza en los demás, independientemente de nuestras diferencias, nacionalidades, etnias. religiones, estratos socioeconómicos, etc.

• Mente ética: envuelve la capacidad de pensar en uno mismo como trabajador, como ciudadano de una comunidad, de una nación, y como ciudadano planetario.

Estas reflexiones del profesor Gardner son idóneas para pensar en la propuesta de una educación para la ciudadanía desde las matemáticas. Como indicábamos al inicio, en una formación para la ciudadanía desde esta área de conocimiento, consideramos importante tanto elementos socializa­dores (elementos integradores del individuo en la sociedad) como elementos

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contrasocializadores (elementos analítico-críticos que permiten a los suje­tos considerar y juzgar la sociedad en la que se integran). El desarrollo de estas cinco capacidades cognitivas. expresadas a través de estas cinco men­tes. puede aportar estos elementos. Pasamos a continuación a describir cómo se pueden explicitar algunas de ellas desde las matemáticas.

El método matemático: mente disciplinar y mente sintetizante Tal como hemos expresado en el punto anterior, las referencias a .con­

texto». «realidad», «aplicabilidad», se han hecho cada vez más frecuentes cuando se alude al desarrollo de una competencia matemática capaz de formar ciudadanos activos. Se pone de relieve el potente instrumento que es la matemática de intervención en las estructuras de la realidad. Sin embar­go, son más escasas las referencias al modelo de pensamiento que supone la matemática, por sus cualidades de objetividad. consistencia, sobriedad, las cuales le dan un lugar preeminente entre las diversas formas que el pensa­miento humano tiene para afrontar los problemas que se encuentra en la vida diaria.

A la mente matemática le gusta la cantidad, la regularidad, la simetría. Gusta de abstracciones. Gusta de enunciados precisos, expresados mediante lenguaje preciso. Le gustan los enigmas y sus soluciones. Le gusta la deduc­ción. Le gusta el carácter lógico estructural. Piensa en términos de sí o no, de verdadero o falso. Davis y Hersh (1989, p. 91) establecieron la siguiente lista sobre componentes intelectuales de la matematización:

1. Capacidad para simbolizar, abstraer y generalizar las experiencias primarias del recuento y del movimiento espacial. Agudo sentido de la cantidad, el espacio y el tiempo.

2. Capacidad para establecer dicotomías tajantes: sí, no; verdadero o falso; O, 1.

3. Capacidad para discernir cadenas causales primitivas: Si A, entonces B. Capacidad para concatenar tales cadenas y razonar acerca de ellas.

4. Capacidad y disposición para extraer del mundo real un sucedáneo abstracto; correspondientemente, disposición para aceptar las ma­nipulaciones formales del sucedáneo como representaciones ade­cuadas del comportamiento de lo real.

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5. Capacidad y deseo para manipular y jugar con símbolos, incluso en ausencia de referentes concretos, creando así un mundo imaginario

que trasciende lo concreto.

En la actualidad, en gran parte de los centros educativos aún se conti ­núa impartiendo una enseñanza memorística más que potenciar la ense­ñanza de estos componentes intelectuales de la matematización. Como indicábamos en el segundo apartado, una adecuada formación en la ciuda­danía requiere el desarrollo de la actitud y capacidad del sujeto para pre­guntarse, cuestionarse ante los hechos, las ínformaciones, las explicaciones y valoraciones, de analizarlas, aceptarlas o rechazarlas, etc., si quiere parti ­cipar en los procesos de democratización. En definitiva, cualidades de una mente disciplinar y sintetizante.

Veamos algunos ejemplos que propician una concepción heurística de la enseñanza de la matemática, como saber de método, en el cual el pensar disciplinar y disciplinado se pone de manifiesto y en donde se visibiliza este entrenamiento en las competencias intelectuales de la matematización que

ya hemos señalado.

La capacidad para simbolizar, abstraer y generalizar las experiencias Veamos el siguiente problema:

Cuadrados a) ¿Cuáles son las coordenadas del centro del 20" cuadrado? b) ¿Cuáles son las coordenadas de la esquina inferior izquierda del 34° cuadrado? el Imagina que la secuencia de cuadrados se extiende hacia la izquierda. ¿Cuáles son

las coordenadas del 15° cuadrado? d) ¿Qué estrategia has utilizado?

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Este problema favorece en los estudiantes el componente intelectual de la mate matización que simboliza, abstrae y generaliza experiencias de recuento y de movimiento espacial. El estudiante debe darse cuenta de que se le presenta un problema en el que se combinan el uso de coordenadas y las sucesiones.

En el apartado a) se piden las coordenadas del 200 cuadrado según la disposición del dibujo. Se puede comenzar dando las coordenadas del pri ­mero. Como se observa en el dibujo, tiene coordenadas (2,2) -también las podemos hallar observando cuáles son las coordenadas de sus vértices y cal­cula ndo las coordenadas del centro-o Las coordenadas del segundo son (5,3), para el tercero (8,4), para el cuarto (11,5), etc.

A continuación se tratan las coordenadas por separado: para la x te­nemos: 2, 5, 8, 11... Como se puede apreciar, sigue una sucesión aritméti ­ca y va aumentando de tres en tres. Por lo tanto, sabiendo que el valor del primer término de la serie es 2, sabemos el valor de la serie con la fórmu­la: xi = 2 + 3 (i + 1) para (1,2,3 ...).

Haciendo el mismo tratamiento respecto a la coordenada y, tenemos: 2,3,4,5...

Por lo tanto la respuesta es muy fácil: Yi = 1 + ¡para i E N Entonces, las coordenadas del 200 término serán el resultado de

poner i = 20 en las fórmulas: xi = 2 + 3 (i - 1) = 2 + 3 (20 - 1) = 59 por lo que x = 59

Yi = 1 + i = 1 + 20 = 21, por lo que y = 21. En conclusión, las coorde­nadas del centro del cuadrado son (59,21).

En el apartado b) se pide especificar las coordenadas de la esquina in­ferior izquierda del 340 cuadrado. Siguiendo el proceso del apartado a) se tiene que la coordenada x es: 1, 4, 7, 10... Y para la coordenada y: O, 1, 2, 3...

Como se piden las coordenadas del 340 cuadrado, sólo tenemos que ver cuáles son los números del 340 término de la sucesión: para x = 34· 3 + 1 = 103 Y = 34 . 1 + O = 34

Por lo tanto, el resultado buscado es (103,34). En la situación del apartado d se sigue el mismo proceso, salvo que esta

vez se tiene que «mover. hacia la izquierda. Podemos preguntarnos ¿qué di­ferencia hay? Y constatamos que casi ninguna: en vez de ir añadiendo a las coordenadas, tenemos que ir restando. Se trabaja con los primeros tér­minos como varían las dos sucesiones, primero para la x:

Para el tercer cuadrado se tiene 8, para el segundo 5, para el primero 2, es decir: 8, 5, 2... Como se observa, sucede lo mismo que en el apartado

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Imagen 1

Podría ser de interés trabajar en clase esta proyección con poliedros, ya que un rasgo característico del Dymaxion es que no tiene una dirección que vaya arriba. Fuller indicó que en el universo frecuentemente no hay «arriba» y «abajo» ni «norte» y «sur»: sólo «dentro. y «fuera». las fuerzas gravitacio­nales de las estrellas y los planetas crean un «dentro., que significa «hacia el centro gravitacional», y un «fuerall, que significa «lejos del centro gravita­ciona/». Fuller asoció al sesgo cultural la representación de los mapas habi­tuales, que suelen señalar el norte arriba V el sur abajo. Esta actividad propiciaría un buen debate entre los alumnos sobre estos conceptos y sus consecuencias sociales y culturales. No hay una orientación «correcta» del mapa Dymaxion. Desplegar las caras triangulares del icosaedro da como re­sultado una red que muestra masas de tierra casi contiguas, que compren­den los continentes de la tierra, V no grupos de continentes divididos por océanos. Si se despliega de otra forma se muestra el mundo dominado por una masa de agua conexa rodeada de tierra.

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Cuando resolvemos esta actividad con los alumnos activamos mecanis­mos para poner en cuestión la interpretación y las formas de representación. Esto,implica un reanálisis de la situación y centra la atención en las propie­dades que no se han tomado en cuenta en la representación del problema (en el mapa clásico).

La capacidad de manipulación simbólica e identificación de modelos y la existencia de inmatematizables A continuación planteamos una actividad que también puede combi­

nar el aprendizaje matemático con la reflexión sobre cuestiones sociales. Hemos indicado que una componente intelectual de la matematización es la capacidad y deseo para manipular los símbolos, creando un mundo imagi­nario que puede trascender lo concreto. Ahora bien, un aspecto formativo para un estudiante de secundaría es poder ver los límites de esta matemati­zación y la visión que a veces impone. Podemos considerar ingenuamente que todo puede ser matematizado, sin embargo parece conveniente que desde un principio aceptemos la existencia de lo inmatematizable.

los conceptos de estadística: media, moda y de la mediana como pro­medio, rango, la desviación media y desviación estándar, como las medidas de difusión y la idea de distribución normal, pueden conducir a un debate sobre lo que significa ser «normal» (imagen 2).

En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece en fenómenos reales.

la gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un determinado parámetro. Esta curva se conoce como campana de Gauss.

la importancia de esta distribución radica en que permite modelar nume­rosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos. Mientras los mecanismos

Imagen 2

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que subyacen en gran parte de este tipo de fenómenos son desconocidos, dada la enorme cantidad de variables incontrolables que en ellos intervie­nen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes.

Algunos ejemplos de variables asociadas a fenómenos naturales que si­guen el modelo de la variable normal son: caracteres morfológicos de indivi­duos, como la estatura; caracteres fisiológicos. como el efecto de un fármaco; caracteres sociológicos, como el consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos; caracteres psicológicos, como el cociente intelectual; nivel de ruido en telecomunicaciones; errores cometidos al medir ciertas magnitudes; etcétera.

La distribución normal también aparece en muchas áreas de la propia estadística. Por ejemplo, la distribución muestral de las medias muestra les es aproximadamente normal, incluso si la distribución de la población de la cual se extrae la muestra no es normal. Además, la distribución normal maximiza la entropía entre todas las distribuciones con media y varianza co­nocidas, lo cual la convierte en la elección natural de la distribución subya­cente a una lista de datos resumidos en términos de media muestral y varianza. la distribución normal es la más extendida en estadística y muchos test estadísticos están basados en una supuesta -normalidadll.

Uno de los efectos de trabajar con la distribución normal es que uno se acostumbra a considerar los elementos del medio. De hecho, los elementos que están muy lejos de la media se consideran muy poco habituales y ex­traños. Por ejemplo, en el caso de lanzar 200 monedas, el 99010 de las veces el resultado será de entre 81 y 119 caras.

¿Qué sucede si realmente se obtienen 76 caras? Esto es muy poco pro­bable, pero no del todo casi «imposiblell. Por lo tanto, ¿deberíamos no te­nerlas en cuenta, suponiendo que tal vez la moneda está trucada?

En general los estadísticos reconocen que, en cualquier caso, con una probabilidad de menos del 1% es tan poco probable como imposible. Ahora bien, en un debate y contexto más amplio se puede plantear a los estudian­tes si debemos pasar por alto los acontecimientos que son poco probables, ¡nusuales o raros. Por ejemplo, en las escuelas sólo debemos atender al 99010 de los alumnos que están en el rango medío de inteligencia, e ignorar los de los extremos de la distribución normal, los genios o personas con graves di­ficultades de aprendizaje.

Nos podemos preguntar ¿qué ocurre en los casos en que estamos lejos de la media?, y debatir con los alumnos sobre aspectos como los

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siguientes: identificación con lo similar, respecto y porcentaje de cate­gorías, etcétera. Muchas personas se sienten más cómodas siendo pareci­das a todos los demás -a nadie le gusta ser considerado diferente-o Sin embargo, en muchas áreas, es la gente excepcional (diferente) quien contri­buye a grandes logros científicos, deportivos, artísticos y culturales. Estas personas con capacidad fuera de lo normal en sus respectivos campos han estado dispuestas a utilizar sus talentos.

También en la sociedad se tiende a respetar distintos colectivos por el número de personas que hay en ellos. Un grupo que consta de 1% o menos de la población, como las personas en sillas de ruedas, podría tener dificul­tades para hacer oír su voz, mientras que un grupo de 50010 de 1a población lo lograría más fácilmente. ¿Tenemos derecho a discriminar un grupo de­pendiendo de su tamaño? Del mismo modo, personas que pertenecen a po­blaciones minoritarias deben sentirse incómodas. A veces se necesita valor para identificarse como miembro de un grupo minoritario que en algunos casos sufre discriminaciones. las estadísticas sin un sentido crítico pueden correr el riesgo de alentar la conformidad.

En síntesis, plantear una actividad sobre la distribución normal puede tener como objetivo animar a los alumnos a pensar por sí mismos y formar­se sus propios criterios y actitudes, en lugar de pensar que tienen que ajus­tarse a las normas de sus compañeros y de las sociedades dominantes.

la capacidad para percibir y captar la realidad Entendemos la percepción como la ejercitación de un primer nivel de

consciencia ante el contacto con la realidad. Consideramos una percepción no empirista en el sentido de que necesaríamente supone unas capacidades de percibir o, lo que es lo mismo, la respuesta exclusiva a lo que estamos ca­pacitados para percibir. El desarrollo de la percepción implica ampliar la ca­pacidad de darse cuenta, de notar, de poner de relieve elementos y aspectos que configuran lo que nos rodea hasta configurar un sujeto que construye de forma cada vez más activa.

Desde este planteamiento, nos parece pertinente que algunas activida­des matemáticas trabajen la percepción para ampliar las vías de acceso a la realidad, para posibilitar y extender la relación que mencionamos refirién­donos al caso de los estudiantes. Se trataría de aumentar la sensibilidad como capacidad de captación de la realidad. En un proceso de desarrollo, el sujeto participa activamente al interesarse por enriquecer los datos que le ayuden a desenvolverse, tomar decisiones, etc.

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Veamos el siguiente ejemplo. En noviembre de 2007 se publicó en Live Science' un estudio llevado a cabo por investigadores del Departamento de Neurociencia de la Universidad de Parma y el Neuroimaging laboratory de Roma. En la prueba se les preguntaba cuál de las tres figuras considera­ban más bella (imagen 3).

El porcentaje de los entrevistados que consideró la imagen central, la que corresponde al original de Policleto, cuyas proporciones respeta las proporcio­nes del número de oro, fue de 100%, y el 64% consideró la imagen de la iz­quierda la más fea. Parece así que hay una «predisposiciónll neurológica para considerar más proporcionada una imagen que verifica las proporciones áureas.

Sea innato o considerado adquirido, nuestro concepto de alto, bajo, delgado, gordo, bien o mal proporcionado, está estrechamente modelado por esta proporción. Si en una clase se les pide a los alumnos que espontá­neamente diseñen un rectángulo, es de esperar que éste no difiera mucho de las proporciones del número de oro (1), y que sean menos preferidos el muy delgado (2) o el muy ancho (3), rectángulos que se alejan de las pro­porciones deseadas (imagen 4).

1. WWW.pl050ne.orglhome.action

Imagen 4

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,L-_ L (1) (2) (3)

En matemáticas, muchos de los conceptos geométricos y algebraicos de­rivan o están estrechamente relacionados con la divina proporción. Esta activi­dad nos permite reflexionar sobre los referentes que nos aporta la matemática para comprender y percibir la realidad. Este ejemplo nos pone de manifiesto un debate sobre si debemos o no educar la percepción y si es conveniente presen­tar determinadas referencias. En el método científico la observación es clave puesto que observar es estructurar modelos. Entramos, pues, en el debate de si la objetividad es absoluta o si está socialmente instituida.

En síntesis, con los ejemplos de esta sección hemos tratado de poner de manifiesto que una finalidad prioritaria de la enseñanza matemática en la educación inicial no debe ser sólo la de enseñar a los alumnos una serie de contenidos, definiciones, teoremas, técnicas que, en el estado actual de la matemática, puedan parecernos importantes, sino poner el énfasis en las componentes intelectuales que desarrollan la matematización y, también, en aquello que es más propio de las matemáticas, el método. El método mate­mático nos introduce en el espíritu de la racionalidad, tan importante en una educación para la ciudadanía. Como bien señaló Kline (1972, pp. 26-27), el espíritu de la racionalidad ha sido uno de los principios rectores del desa­rrollo matemático y del método matemático:

En su aspecto más amplio, las matemáticas son un espíritu, el espíritu de la ra­cionalidad. Este espíritu desafía, estimula, vigoriza y dirige las mentes humanas poro que éstas den el máximo de sí. Pretende. además, influir decisivamente en la vida física, moral y social del hombre, pretende responder a los problemas

76 77

planteados por nuestra existencia misma, se esfuerza por comprender y controlar la naturaleza y hace un gran esfuerzo para explorar y establecer las implicacio­nes más profundas y extremas del conocimiento ya obtenido.

Es probable que esto pueda tener lugar si sobre todo centramos el apren­dizaje matemático a partir del método, aunque no se produzca una reacción automáticamente visible cuando formamos a nuestros alumnos (estímulo-res­puesta), si consideramos que éstos vayan configurándose como sujetos (men­tes) capaces de acercarse a la realidad mediante formas de razonamiento elevado -con ese mismo espíritu de racionalidad-, y con elementos analítico­críticos capaces de juzgar la sociedad en la que se integran.

La intuición y creación matemática: mente creativa Las personas creativas son a quienes se les ocurren cosas nuevas y con

sus trabajos habitualmente cambian la forma de pensar y de actuar de su en­torno. Generan nuevas oportunidades, asumen riesgos, no tienen miedo a equivocarse y se preguntan: ¿qué puedo aprender de cada nueva situación?

La fase creativa en matematicas no está gobernada por los análisis ló­gicos, sino por una indagación que ha de apostar por nuevas visiones, rela­cionar conceptos o propiedades y crear otros nuevos. Las consecuencias de este planteamiento para la enseñanza de las matemáticas son importantes yen las últimas décadas registran sus efectos en propuestas de enseñanza que enfatizan la transmisión de procesos de pensamiento matemático.

Plegado de un trozo de papel Proponemos la siguiente actividad. Toma una hoja de papel tamaño OlNA4, es un

rectángulo R. Pliega el rectángulo de papel rcomo se muestra a continuación.

, ~n

----------------------------------- ----- ----------~---------------

Si recortas el rectángulo adicional obtenemos un cuadrado S y un pequeño

rectángulo r¡"

II Ir

s

Ahora si tomas el rectángulo r1• empieza de nuevo a plegar el papel para formar

cuadrados.

c:::::J r2Dv

Observamos y deducimos cuántos cuadrados podemos obtener de este pequeño rectángulo. Parece que hemos obtenido 2 y nos queda un nuevo rectángulo r2, Ahora podemos plantearnos la siguiente cuestión: ¿Cuándo obtendremos exactamente kcua­drados pequeños sin que sobre ningún rectángulo?, o de otra forma ¿cuándo nos dará el rectángulo Run cuadrado junto con un rectángulo r1 que nos proporcione exacta­

mente k cuadrados? Nos hacemos de nuevo una representación de lo que tenemos,

...-. m --. ­

'{mi It

s :! Si hay un número exacto de cuadrados en el rectángulo r¡

m =k (l-m), es decir 11m =(k+ l)/k Sustituyendo algunos valores de k Consideramos un caso particular,

--------------------------.---------------------------------­

79 I

18

25

en este caso

21 7 m 18

Obtenemos un resultado de razón y proporción que podría ser expresado así: dado un rectángulo cualquiera que se divide en un cuadrado y un rectángulo, que a su vez se divide en exactamente k cuadrados, la razón de la longitud a la anchura del rec­tángulo original es k .

Ahora, podemos seguir planteándonos nuevas preguntas que nos lleven a obtener nuevos resultados. Por ejemplo, ¿qué ocurriría si el rectángulo r1 se descompone en k cuadrados y queda como resto el rectángulo r /

Si no caben exactamente k cuadrados implica que si hay k+ 1cuadrados sobrepasan m y si hay t'ttt3tfrados no Hegan. Entonces

(k + 1) (l-m) > m > k (/- m)

¿Cuándo se pueden formar en r2 el mismo número de cuadrados que en r1? Si queremos que en r2 haya k cuadrados exactamente se tiene que verificar que:

~ m ---jIIIo­

I!m Flt• '~-r:'~ m-k U-mI

SIl ,. I-m =k.(m-k (l-m)) ;: m(k + k') - k'1 así 1+ k'1 =m(k (k+ 1) + 1)

IRO

lo que implica que

+k+l m +1

para k = 1, 2, 3, 4 ... tenemos

3 -=-1

7 13 -,

21

m 2 5 10 17

A partir de aquí podríamos continuar haciéndonos nuevas preguntas. Por ejemplo,

¿cuál será la razón .!..- si r1, r2, r3 contienen cada uno tres cuadrados y r3 contiene m

exactamente tres cuadrados?

11 ~

s

Planteando esta actividad tratamos de mostrar que, esencialmente, la matemática puede ser considerada desde dos puntos de vista:

• La matemática como un cuerpo de conocimiento formal, deductivo y riguroso, como continuamente se expone en los libros de texto.

• La matemática como una actividad humana.

El hecho de que la principal idea de un matemático sea obtener un cuerpo de conocimiento coherente, consistente y lógicamente estructurado, no excluye la necesidad de considerar la matemática como un proceso crea­tivo. De hecho los profesores buscamos que nuestros estudiantes compren­dan la matemática principalmente como una actividad humana, una matemática inventada por seres humanos. Por lo tanto, los procesos de crea­ción humana implican momentos de iluminación, de duda, de aceptación, de refutación; en el conocimiento matemático estos procesos creativos han conllevado siglos de esfuerzos. de correcciones sucesivas y de refinamientos.

81

Con este ejemplo queremos mostrar que aprender matemática exige aprender no sólo lo formal, la secuencia deductiva de un teorema, sino tam­bién ser capaz de producir por nosotros mismos declaraciones, construir de­mostraciones, evaluarlas intuitiva y formalmente. Poner de manifiesto la interacción entre las componentes básicas de la matemática considerada como una actividad humana: lo formal, lo algorítmico y lo intuitivo; po­niendo esencialmente el acento en este último aspecto.

Si retomamos la actividad planteada anteriormente, podemos destacar dos procesos que ésta propicia: observar y reflexionar. Esto está relacionado con prestar atención a los atributos matemáticos precisos. En muchos casos, dependiendo de lo que «vemos» y de lo que nos llfijamosll, hacemos un tipo de preguntas y dejamos de plantearnos otras. Todo ello está ligado a cognicio­nes intuitivas, a los procesos de conjeturas, al método de «¿qué ocurre si no?_ para plantear problemas. Además, el proceso experiencial pesa fuerte­mente en la memoria de quien lo experimenta, en especial de la memoria matemática, permitiéndonos apropiarnos mejor de la componente formal.

Mente ética y formación matemática La matemática como ciencia es uno de los ejes fundamentales de la

cultura y contrae con ella una responsabilidad singular para su adecuado desarrollo; un desarrollo, podría decirse. a escala humana. La matemática. como ciencia formal, no puede arrogarse la pretensión de neutralidad por­que, junto a otras disciplinas, está indefectiblemente vinculada a la mejora de las condiciones de vida de los ciudadanos. En este mismo sentido, nume­ros.os aspectos del quehacer matemático y de su enseñanza involucran fuer­temente nuestro sentido de la responsabilidad como miembros de una sociedad global. Esta orientación se recoge en declaraciones de instituciones yen aportaciones de matemáticos2 (Moslehian, 2005; Guzmán, 2000). Entre los principios éticos podemos señalar el sometimiento a la realidad, la acep­tación gozosa de la verdad y belleza, la integridad profesional, el sentido de profunda humildad en la búsqueda del conocimiento, el sentido de li­bertad, de comunidad y de cooperación con otros, el respeto a la capacidad

2. American Mathematical Society Ethical Guidelines (www.ams.org/5ecretary/ethic5.htm~; en­trevista con Reuben Hersh, What Kind Of Thing /5 A Number? A Ta/k with Reuben Hersh [2.10.971 (www.edge.org/3rd_cu/ture/hersh/hersh_p1.htm~.

~?

matemática dondequiera que se encuentre, sin consideración alguna hacia la raza, el género, la pertenencia étnica, la edad, la orientación, religiosa o política, etcétera.

Con relación al ámbito educativo, en algunos países se han realizado pro­puestas de diálogo entre ciencia y ética, editándose materiales para aprender matemáticas en niveles de secundaria y, por último, teniendo como marco de referencia y de producción las responsabilidades sociales que esta ciencia asume en cada contexto (estructura axiológica de la ciencia).3

Asimismo, continuando en esta línea axiológica. en las dos últimas dé­cadas se han realizado numerosos esfuerzos para identificar el conjunto de valores asociados al conocimiento matemático y su enseñanza. Como suge­rencia, ante la provisionalidad de todo conocimiento contextualizado. pro­ponemos la categorización de Bishop (1988) que. basada en los cuatro componentes de la cultura de White (1959), sentimental, ideológico. socio­lógico y tecnológico. organiza seis conjuntos de valores agrupados en tres binomios: racionalismo - empirismo. control - progreso y apertura - miste­rio. Veamos qué cualidades tienen estos valores y cómo, desde la clase de matemáticas, un profesor puede favorecer la estructura axiológica del estu­diante (Gómez-Chacón, 2005), estructura que configura la base para el de­sarrollo de la dimensión ética del estudiante.

El racionalismo está relacionado con las discusiones, el razonamiento, el análisis lógico y las explicaciones. Este valor lo revela el profesor cuando evalúa el desarrollo de las capacidades de los estudiantes para la argumen­tación, el razonamiento lógico y las demostraciones matemáticas. El empi­rismo se relaciona con los procesos de objetivismo, de concreción y de aplicación de las ideas en matemáticas. El profesor los pondrá de manifies­to en sus clases, cuando estime el desarrollo de las capacidades prácticas de los estudiantes para el uso de las ideas matemáticas y del simbolismo, en los casos de la modelización mediante diagramas y en la recogida de datos ex­perimentales.

El control tiene relación con la potencialidad inherente al conocimien­to matemático para el uso de reglas, procedimientos y criterios establecidos, de hechos y de predicciones. Este valor lo inculca el profesor cuando apre­cia capacidades de los estudiantes al plantear rutinas y algoritmos, al traba­jar con precisión matemática y al explorar ideas matemáticas que predicen

3. Por ejemplo, véase Nuffield Foundation: www.citizenship.org.uk/resources/citizenship-through-maths, 1222,NAhtm/

83 I

acontecimientos. El progreso se relaciona con el desarrollo de ideas mate­máticas, de la libertad individual y de la creatividad; el profesor puede fa­vorecerlo en la enseñanza mediante el estímulo de explicaciones creativas.

la apertura está referida a la democratización del conocimiento por medio de pruebas y de demostraciones y mediante la explicación individual. El profesor puede favorecer este valor cuando estimula el desarrollo de las capacidades de los estudiantes para la articulación de sus propias ideas me­diante demostraciones, verificaciones, discusiones, y a través de la libertad para expresar diferentes puntos de vista.

Finalmente, el misterio y búsqueda de la verdad. Este valor se relacio­na con la fascinación para las ideas matemáticas científicas y con el some­timiento a la verdad y a la realidad, tan enraizado en el científico. Este valor constituye, sin duda, uno de los rasgos importantes que deberíamos apreciar y alentar en la enseñanza de la matemática. El profesor puede estimular la imaginación de los estudiantes en discusiones sobre la naturaleza del obje­to-conocimiento y el significado de las ideas científicas.

Así, con esta descripción de valores, queremos poner de manifiesto que las matemáticas, además de ser una determinada clase de tecnología sim­bólica (reglas, conceptos, algoritmos, etc.), también son portadoras, y al mismo tiempo producto, de unos valores determinados. Si sólo pretendemos comprender 4as maremáticas como una tecnología simbólica concreta, únicamente comprenderemos una pequeña parte de ellas, quizá la menos relevante para la educación y para nuestro futuro como género humano.

Conclusión

En este capítulo hemos tratado de poner de manifiesto el aspecto for­mativo de la matemática en los hechos, procesos y actitudes que configura un talante de sujeto. No obstante, no todo son ventajas o perfecciones. Somos conscientes de que «el conocimiento humano contiene muchas más riquezas que las que el pensamiento matemático puede abarcar. Existen realidades profundas que el hombre, más o menos conscientemente, ansia aprehender cognoscitivamente, que escapan a la matemática» (Guzmán, 1993). Ahora bien, también creemos que la apertura de nuestra mente a tra­vés del conocimiento matemático no es solamente apertura y dinámica de la inteligencia, sino que la persona interviene de forma holística (la persona toda, con su voluntad, con su capacidad de deseo, de amor, de libertad,

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estructura de valores, etc.). Una enseñanza y aprendizaje de la matemática que' esté radicada en enfoques como el que proponemos aquí, más huma­nistas, contribuye, sin duda, a que la persona que aprende vaya descubriendo gradualmente valores humanos en todos sus matices.

Este descubrimiento adquiere calidades más significativas en la medida en que se apoya en la interacción persona-persona y persona-realidad (incluida la realidad matemática). la acción educadora desde la matemática puede ayudar a identificar y descubrir dimensiones de valor en el marco de estas interaccio­nes. los estudiantes no sólo descubren los valores sino que los viven, los tradu­cen en comportamientos, en pensamientos, en acciones, en experiencias de todo tipo y ésta es una de las mejores formaciones para la ciudadanía que po­demos ofrecer.

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R<; I

a), sólo que esta vez hacia atrás. Se trata de moverse 15 cuadrados, como varía de tres en tres, 15 veces 3 es 45. Por lo tanto, para la x, su coordena­da será x = 2 - 45 = -43. Seguidamente se procede de igual manera con la y, la primera coordenada es 2, como varía de uno en uno, se resta 15 (los cuadrados que queremos movernos). por lo tanto 2 - 15 = -13.

En consecuencia, las coordenadas buscadas son (-43, -13). En resumen, la estrategia que se utiliza para resolver el problema com­

bina la necesidad de armonizar la comprensión del movimiento en el espa­cio y los procesos de generalización. Una ampliación de este problema serían los siguientes (Triángulos y Más cuadrados):

En la actualidad existe una tendencia sociocultural fuerte hacia la ma­tematización. Se exploran y predicen los fenómenos naturales tratando de inducir en la naturaleza los modos de proceder que más nos convienen para ciertos fines; lo que implica necesariamente el conocimiento y dominio de los patrones y modelos que subyacen a su estructura. la matemática es la técni­ca más poderosa para el dominio conceptual y práctico de tales patrones. Con estos tres problemas se contribuye al desarrollo en el alumno de una mente disciplinar y sintetizante, la que ofrece la técnica matemática. Se favorece la disciplina mental al analizar casos particulares, al estudiar después la forma de variación de los valores, identificando una regla general mediante la ex­presión matemática en forma de sucesión que modela el comportamiento de los valores para las distintas coordenadas y. así, poder predecir con ello cuá­les son los valores pedidos y los patrones y modelos que subyacen.

la capacidad y disposición para extraer del mundo real una representación abstracta y adecuada al comportamiento de lo real En matemáticas estamos acostumbrados a la identificación de una

mediación para, de este modo, percibir algo, apropiándonos de códigos de muy distinta naturaleza (sensaciones, signos...l, planteando representaciones. las representaciones distintas de un problema nos aportan puntos de vista de una situación que puede definir nuevos espacios-problema.

Veamos el siguiente ejemplo para trabajar en clase mediante poliedros, el mapa de Dymaxion o proyección de Fuller de la Tierra. Se trata de una proyección geográfica de un mapamundi en la superficie de un poliedro que puede desplegarse en una (red poliedro) de muchas formas diferentes y aplanarse para formar un mapa bidimensional que retiene la mayor parte de la integridad proporcional relativa del mapa del globo. Su creador fue Buck­minster Fuller, en 1946. la versión inicial fue la proyección mostrada sobre un cuboctaedro y la versión de 1954, publicada por el autor con el titulo The Air Ocean World Map, empleaba un icosaedro ligeramente modificado pero casi completamente regular como base para la proyección, versión más co­nocida en la actualidad (imagen 1. en la página siguiente).

Fuller aseguró que su mapa tenía muchas ventajas sobre otras proyec­ciones geográficas. dado que tiene menos distorsión del tamaño relativo de las regiones, especialmente si se lo compara con la proyección de Mercator y menos distorsión de la formas, particularmente cuando se lo compara con la proyección de Peters/proyección Gall-Peters.

71 ¡

Triángulos al ¿Cuáles son las coordenadas del vértice superior del triángulo en la posición 23? bl ¿Cuáles son las coordenadas del vértice superior izquierdo del 58° triángulo? el ¿Cuál es la estrategia que has utilizado para resolverlo?

10

6 ...... ! ! , t . \l : 1 ! '+ 4 !t-i:P.x .. A-1--+-I··i\ :.l+

o 1; 'i T ' 1: y I o 2 4 6 8 10 12 14 16

Más cuadrados al ¿Cuáles son las coordenadas del centro del cuadrado 22B? b} ¿Cuáles son las coordenadas del vértice izquierdo del cuadrado 26G? el ¿Qué estrategia usaste para resolver el problema?

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