gauss y gauss-jordan
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Departamento De Matemáticas
Resolver un sistema de ecuaciones lineales usando los métodos de Gauss y de Gauss-Jordan
Profesora: Rosa Cristina De Peña
Prof. Rosa De PeñaSolución Sistema de Ecuaciones
Universidad Autónoma De Santo Domingo UASD
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Prof. Rosa De PeñaSolución Sistema de Ecuaciones
Resolver el sistema dado mediante los métodos: A. Gauss B. Gauss-Jordan
2x – y + 2z = 8 3x + 2y – 2z = -1 5x + 3y – 3z = -1
A. Método de GaussEscribiendo en forma matricial el sistema:
−−=
−−
−
1
1
8
335
223
212
z
y
x
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La matriz ampliada A’ la escribimos a continuación y nombramos sus filas
Realizamos operaciones elementales en A’
−−−−
−
1335
1223
8212
3
2
1
F
F
F
( )
−−−−
−
1335
1223
4121121
3
2
1
F
F
F
−−−
−−
2182110
135270
41211
5
3
31
21
1
FF
FF
F
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( )( )
−−−
−−
1142111610
72671010
41211
112
72
3
2
1
F
F
F
−−
−
+ 77877200
72671010
41211
32
2
1
FF
F
F
( )
−−
−
4100
72671010
41211
277 3
2
1
F
F
F
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El nuevo sistema es:
−=
−
−
4
726
4
100
71010
1211
z
y
x
x = 4 – 4 + 1 = 1
El conjunto solución es ( x, y, z ) = ( 1, 2, 4 )
42
=+− zy
x
De otro modo el sistema se puede escribir:
7
26
7
10 −=− zy
z = 4
27
40
7
26 =+−=y
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B) Método de Gauss-Jordan
Usaremos la matriz ampliada escalonada, para continuar con la reducción
( )( )
++
4100
2010
7157201
710
21
3
32
21
F
FF
FF
−−
−
4100
72671010
41211
3
2
1
F
F
F
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( )
−
4100
2010
100172
3
2
31
F
F
FF
Realizando el producto matricial e igualando las dos matrices resultantes, encontramos:
1) x = 12) y = 2 3) z = 4El conjunto solución es: ( x , y, z ) = ( 1 , 2 , 4 )
=
4
2
1
100
010
001
z
y
x
El sistema en forma matricial se puede escribir: