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Primera Prctica

Matemtica avanzada

matemtica avanzada Grupo N 3 . HILMER IRVING MARCHAN HUANCA ............................1213210075ANGEL MARTIN PEREZ FRETEL......................................1213270018WALTER EDUARDO MERMA QUISPE............................1213220108JUAN ABDUL SALCEDO ROMAN..................................1113210201JAIME LIZARDO RAMIREZ GOMEZ..............................1113210166FRANKLIN ROBINSON MARTINEZ ZAVALA................1113220583GUILLERMO MELCHOR YARANGA JORGE.................1113220511

Resolucin de la Primera Prctica de Matemtica Avanzada

1. Probar

a)

Solucin:

Recordando:

)

De lo cual vemos que (1) es igual (2) de lo cual se puede demostrar la igualdad.

b) Se tiene que , adems

Elevamos al cuadrado a ambos lados

Como:

Sumamos a cada miembro.

Aplicamos la raz cuadrada ambos lados:

Ejemplo:Si z=2+2i; z=3+3i; z=5+5i |Re(z)| + |Im(z)|=4

||z|| = (2)

|Re(z) |+|Im(z) |=(2)

4= (2))

4=4

c)

(Inecuacin Cauchy- Schwarz) y generalizar para n trminos, es decir

Solucin:

2 + 20

Sea:

2 + 22+ 2+22 ++ + 2 + 22+ 2+22 (+ ) +(+) 2 + 22+ 2+22 (+ ) + 2 + 22+ 2+22 2Re

Como = ; entonces:

2 + 22+ 2+22 2Re[ ( ]

Operando: 2 + 22+ 2+22 2 Adems: 2 =

2 +2 + 2(2 +2) 22 +2 + 2 2 +2 Entonces: Demostrado

d)

Solucin:

Se puede observar que la igualdad se demuestra.

2. Representa los siguientes numeros en su forma trigonometrica y exponencial

a)

Solucin:

Factorizando al denominador:

Transformado a su forma polar el nmero complejo y operando:

Tambin se puede expresar en su forma trigonomtrica:

Al operarlo se reduce a:

b)

Solucin:

Por leyes de exponentes:

Transformando el complejo :

Operando:

Reemplazando en:

Forma polar:

Forma trigonomtrica:

Solucin:

Factorizando y reduciendo:

Transformando a su forma polar:


d)

Solucin:

Operando con las propiedades de los logaritmos:

Transformando a su forma polar:

Usando propiedades de logaritmos:


3. resuelva

a) Demostrar que:

Satisface Cauchy Riemann en 0 pero no es diferenciable ah.

SOLUCIN:Se tiene para z=0, f(z) = 0 esto quiere decir que f(z) = 0 + 0iSe sabe que:

Por lo tanto al aplicar Cauchy-Riemann, obtendremos:

y

y

Observamos que cumple las ecuaciones de Cauchy-RiemannPero observamos en el resultado que no es continua en 0 por lo tanto no es diferenciable en 0.

b) Probar que la funcin satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en todo el punto del plano, pero no es analtica en todo el plano.

SOLUCIN:Al analizar la funcin, deducimos que no es continua en todo el plano (discontinua en z = 0), entonces no es derivable, por consiguiente no es analtica en z = 0.Analizamos si para la ecuacin de Cauchy Riemann, cumple:Para z = 0

Ya que en el ejercicio anterior analizamos y obtuvimos que para , si cumpla.

De esta manera, obtenemos:

Desarrollando con Cauchy-Riemann para polares tenemos:

y

Luego de haber operado, logramos confirmar que cumple la ecuacin de Cauchy-Riemann para todo el plano, pero no es analtica en todo el plano.

4. Utilice el teorema de cauchy para mostrar que las siguientes integrales son cero:

1. , donde C es la unidad de crculo.

SOLUCION:

Graficando:

es un conjunto simplemente conexo, y C es un entorno cerrado simple contenido en . Solo nos quedara demostrar que es analtica.

Si una funcin es derivable entonces es analtica.

Demostrando que es derivable:

Partiendo de:

(1)

(2)

Hacemos:

.. (a)

(b)

(c)

Entonces:

En (2):

.. (3)

Remplazando (b) en (3) :

De (1) tenemos que:

. (4)

Remplazando (a) y (c) en (4):

Finalmente demostramos que es derivable, entonces queda demostrado que es analtica por lo tanto se cumple el teorema de cauchy.

1.

,donde c es el cuadrado con vrtices en ,,,

SOLUCION:

Graficando:

Si una funcin es derivable entonces es analtica


Sabemos que:

Entonces si :

Dicha funcin es derivable, por lo tanto es analtica.Se cumple el teorema de cauchy

1.

,donde C es la unidad de crculo,

SOLUCION:

Tenemos , en el cual el dominio R de Z es

Como R no es un conjunto simplemente conexo, tomamos un conjunto D que sea conexo y que pertenezca al dominio de f y que contenga a C; como C es un conjunto cerrado solo nos queda demostrar que es analtica. Si una funcin es derivable entonces es analtica Demostrando que es derivable

Graficando:

Sabemos que:

Entonces si:

,

1.

,donde C es la unidad de crculo,

SOLUCION:

Tenemos , en el cual el dominio R de Z es

Graficando:

Como R no es un conjunto simplemente conexo, tomamos un conjunto D que sea conexo y que pertenezca al dominio de f y que contenga a C; como C es un conjunto cerrado solo nos queda demostrar que es analtica.

Si una funcin es derivable entonces es analtica.


Sabemos que:

Entonces si:

,

5. Evale las siguientes integrales donde se toma la ruta C en sentido ANTIHORARIO.

a)

Donde C es una circunferencia tal que:

Solucin:

La funcin tiene dos polos en z=3 y z=1. Dado que la curva C es una circunferencia de radio 2 que inicia en el origen, uno de estos dos polos se encuentra dentro del espacio que encierra la curva C.

Podemos aplicar la formula integral de Cauchy.

Tomaremos:

Y porque se encuentra dentro de la curva.

b) , Donde C es un cuadrado con vrtices

Solucin:

Podemos reescribir la funcin en la integral como:

De aqu podemos notar que hay tres polos

en que se encuentran fuera de la curva C, y un ltimo polo en z=i, que se encuentra en la curva C.

la formula integral de Cauchy.

Tomaremos:

Y

c)

Donde C es una circunferencia tal que: Solucin:

La funcin tiene dos polos en y . Dado que la curva C es una circunferencia de radio 1.5 que inicia en , uno de estos dos polos se encuentra dentro del espacio que encierra la curva C.

Podemos aplicar la formula integral de Cauchy.

Tomaremos:

Y porque se encuentra dentro de la curva C.

d)

Donde C es una circunferencia tal que:

Solucin:

Podemos reescribir la funcin en la integral como: De aqu podemos notar que hay dos polos en y , que se encuentran fuera de la curva C.

Es decir la funcin es continua en la curva C y todos los puntos que esta curva encierra.Usando el teorema de Cauchy-Goursat, tendremos que:

6. Comentario acerca de un problema en la aplicacin de la ingeniera ELECTRNICA, donde el uso de las funciones complejas son necesarias JUSTIFQUELAS.

Los nmeros complejos son usados en los modelamientos matemticos de procesosfsicos; entre esos procesos est el anlisis de corriente elctrica y de seales electrnicas.Es por eso que se emplea en formatos de compresin, transmisin en banda ancha,amplificadores de seales, procesamiento digital de seales, transmisin elctrica,centrales hidroelctricas.Por sus componentes reales e imaginarias se usan para facilitar el estudio de cargassobre vigas (para los arquitectos e ingenieros civiles), estudio de ondas (para los fsicos),adems se emplea en los estudios concernientes a la propagacin del calor.En sistemas de control, como control de robots industriales, sistema de navegacinde buques, control de aviones, lanzamiento de cohetes al espacio. Una herramientafundamental es la llamada transformada de Fourier (esta herramienta se emplea para lasaplicaciones anteriores) que usa intensivamente a los nmeros complejos.Los nmeros complejos se usan en ingeniera electrnica y en otros campos para una descripcin adecuada de las seales peridicas variables. En una expresin del tipo z = r ei podemos pensar en r como la amplitud y en como la fase de una onda sinusoidal de una frecuencia sinusoidal) como la parte real de una funcin de variable compleja de la forma: f (t) = z eit donde representa la frecuencia angular y el nmero complejo z nos da la fase y la amplitud, el tratamiento de todas las frmulas que rigen las resistencias, capacidades e inductores pueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias para las dos ltimas.

7. Enunciar la teorema fundamental de lgebra y su corolario . Dale 4 ejemplos de sus aplicaciones .

Teorema(Gauss, 1799). Todo polinomio no constante con coeficientes complejos posee al menos una raz compleja.Demostracin.Sea

un polinomio de grado: con coeficientes complejos. La demostracin se basa en la observacin de que un puntotal quetiene la propiedad de quealcanza su mdulo mnimo en.Veremos primero que efectivamentealcanza su mdulo mnimo en el plano complejo. Empezamos poniendo, para

de modo que

Pongamos

Entonces, para todocontenemosy

de modo que

lo cual implica que Esto significa que para En particular, siy tambinentonces

Ahora consideramos el conjunto cerrado y acotado

Supongamos que el mdulo mnimo desobrese alcanza en un ciertode modo que para todoSe sigue, en particular, queAs pues,sientoncesCombinando las anteriores desigualdades concluimos quepara todode modo quefalcanza su mdulo mnimo sobre el plano complejo enPara completar la demostracin del teorema, ahora demostramos queResulta conveniente introducir la funcindefinida mediante

Entoncesges una funcin polifnica de gradonque alcanza su mdulo mnimo en0.Queremos probar queg(0)=0Supongamos que, por el contrario,Seala menor potencia dezque aparece en la expresin deg(z)de modo que

dondeAhora bien, todo nmero complejo no nulo tienemracesm-simas, y por lo tanto existetal que

Poniendo entoncestenemos

Esta expresin nos permitir llegar rpidamente a una contradiccin. Observamos primero que, eligiendosuficientemente pequeo, tenemos

Si elegimos, entre todos lospara los que se verifica esta desigualdad, algnreal y positivo, entonces

En consecuencia, sientonces

+

La contradiccin ha llegado. Para tal nmerotenemos

lo cual contradice el hecho de serel mdulo mnimo de gsobre el plano complejo. Por lo tanto, la suposicin original debe ser incorrecta yg(0)=0Esto implica queAPLICACIONESAplicacin 1.-

Como el polinomio es de 4to grado debe tener 4 races.

Entonces las races estarn dadas por :

Donde las races son 2 , -2 ,2i , 2i.Aplicacin 2 .-

Entonces las races estarn dadas por :

Donde las races son

Aplicacin 3.

Entonces las races estarn dadas por:

Donde las races son i, -i.Aplicacin 4.-

Como el polinomio es de 4to grado debe tener 4 races.

Entonces las races estarn dadas por:

Donde las races son

Prctica 1

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