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GYMNÁZIUM BUDĚJOVICKÁ . MATEMÁTICAS .

ECUACIONES.

TEORÍA .

ÍNDICE:

1. Terminología. Métodos generales de resolución. Restricciones de una ecuación.

2. Ecuaciones polinómicas.

2.1. Ecuaciones polinómicas de primer grado.

2.2. Ecuaciones polinómicas de segundo grado.

2.2.1. Cuadratura. Fórmula cuadrática.

2.2.2. Ecuaciones reducidas.

2.2.3. Fórmulas de Cardano - Vieta.

2.3. Ecuaciones polinómicas de grado tres o superior.

3. Ecuaciones racionales.

4. Ecuaciones irracionales.

5. Ecuaciones con valores absolutos.

6. Ejemplos.

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1.- TERMINOLOGÍA . MÉTODOS GENERALES DE RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN . RESTRICCIONES.

1.1.- Terminología. Definiciones:

Llamamos expresión algebraica a una expresión en la que intervienen números y letras relacionados entre sí por

operaciones matemáticas. Las letras representan números no conocidos.

1453 53 +−−+ xxxxy log 7324113 24 −+− xxx

Llamamos ecuación, a dos expresiones algebraicas relacionadas mediante el signo igual, =, es decir, un conjunto

de números y letras relacionados por las operaciones matemáticas donde al menos hay una letra y un único signo igual.

xy

xy

xyx 383 =−+ 013 =−+ xx 0232 =−+ xx cossin

A la expresión algebraica que está a la izquierda del signo igual se le conoce como primer miembro y a la

expresión algebraica que está a la derecha del signo igual se le llama segundo miembro de la ecuación.

32143421

miembrosegundo

miembroprimer

xx 013 =−+

Cada una de las expresiones algebraicas de la ecuación, delimitada (separada) por los signos de suma, resta y/o el

signo igual y que en su interior sólo contiene productos y divisiones (puede contener sumas y restas pero dentro de un

paréntesis) se llama término de la ecuación.

{( )

{ {otérotérotérotér

xxxxminminminmin

4213 3 +=⋅−+43421

A las letras que intervienen en una expresión algebraica se les denomina incógnitas. A los números se les

denomina coeficientes.

Llamaremos valor numérico de una expresión algebraica, para unos valores determinados de las incógnitas, al

valor que se obtiene al sustituir las variables por esos valores numéricos dados.

Ejemplo 1: Hallar el valor numérico de la expresión algebraica 153 +−+ xxxy para los valores 1 e 3 −== yx :

Solución: ( ) 426415913351331531531

3 =−=−+−=+−⋅+−⋅⋅=+−+→+−+−=

=yxxxxyxxxy

Una identidad es una ecuación que es cierta siempre, independientemente del valor que se le dé a las incógnitas,

es decir, da igual qué número escojamos para la incógnita, los valores numéricos del primer y del segundo miembro

siempre coinciden.

Diremos que un número es una solución particular de la ecuación si el valor numérico, para ese número, del

primer miembro y del segundo miembro coinciden, es decir, al sustituir la solución particular en la incógnita, se obtiene el

mismo resultado en ambos lados de la ecuación (que se llama entonces una igualdad). Llamaremos solución de la

ecuación al conjunto de todas las soluciones particulares que tiene una ecuación. Entendemos por resolver una ecuación a

hallar su solución, es decir, a hallar todos los números que son soluciones particulares de la ecuación.

Ejemplo 2: Comprobar que 2=x es solución de la ecuación xxx 332 =++ pero 0=x no lo es.

Solución: El valor 2=x es una solución de la ecuación xxx 332 =++ pues cuando sustituimos 2 en lugar de x llegamos

a la identidad 999324332233 222 =→=++→=++→=++ xxx . Sin embargo el valor 0=x no es

3

una solución de dicha ecuación. En efecto, al sustituir vemos que no obtenemos una identidad verdadera

13330033 0222 =→=++→=++ xx .

1.2.- Ecuaciones equivalentes. Transformaciones de una ecuación:

Decimos que dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen el mismo conjunto de soluciones. Las ecuaciones

gozan de una única e importantísima propiedad fundamental, que es la que se utiliza para resolverlas:

“Si transformamos los dos miembros de una ecuación de la misma forma y la convertimos en otra ecuación equivalente,

entonces toda solución de la ecuación original es también solución de la ecuación transformada y viceversa.”

Podemos transformar las ecuaciones de muchas formas distintas. Veamos cómo son esas transformaciones y cómo

podemos controlar los cambios en las soluciones de las originales y las transformadas:

− Algunas transformaciones cambian la ecuación a otra equivalente, por ejemplo:

� Suma y resta de números y de términos que contienen la incógnita.

3542 −=+ xx xM

M

5

4

−−

o simplemente 3542 −=+ xx x5

4

−−

73 −=− x 73 −=− x

� Producto y división de números.

π23 =xsin 3:M o simplemente π23 =xsin 3:

32π=xsin 3

2π=xsin

− Otras transformaciones hacen que el número de soluciones disminuya:

� Dividir por expresiones con la incógnita (al simplificar, por ejemplo)

( ) ( ) ( )12851 2 −⋅=+−⋅− xxxx ( )1−xM : o simplemente ( ) ( ) ( )12851 2 −⋅=+−⋅− xxxx ( )1−x:

2852 =+− xx 2852 =+− xx

que, como se puede observar, ya no tiene la solución 1=x . Así que hay que tener cuidado con las divisiones por

expresiones que contengan la incógnita.

− Otras transformaciones hacen que aumente el número de soluciones:

� Multiplicar por expresiones que contienen la incógnita puede aumentar el número de soluciones (al quitar

denominadores, por ejemplo). Pero no se aumentan las soluciones necesariamente cuando se multiplica.

− Por último, hay transformaciones que son más complejas, pero aún así se puede saber, a través de las funciones, si la

ecuación que resulta es equivalente o no.

� Cuando transformamos los dos miembros de una ecuación mediante una función inyectiva, la ecuación es

equivalente y, mediante la función inversa, se puede volver a la ecuación original. Por tanto, la ecuación original y

la transformada son equivalentes.

83 =x 3 M

2=x

� Cuando la transformación elegida no es una función inyectiva, no se puede volver “hacia atrás” y recuperar la

ecuación original. No obstante, la propiedad básica de las ecuaciones indica que si un número es solución de una

4

ecuación, tiene que serlo de cualquier transformación. Así que en este último caso, basta resolver la ecuación

transformada y comprobar las soluciones en la ecuación original.

xx =+ 43 2M

243 xx =+ 4

3

−−

M

xM

430 2 −−= xx a

acbbx

2

42 −±−=

4=x y 1−=x

Al comprobar las soluciones y sustituir en la ecuación original, vemos que:

4=x : 1−=x

4443 =+⋅ ( ) 1413 −=+−⋅

416 = 11 −=

44 = 11 −=

y sólo 4=x es solución real de la ecuación. Es muy importante que, al comprobar las soluciones, lo hagamos ANTES de

la transformación que no era inyectiva. En este caso antes de hacer 2M .

Ejemplo 3: Transformar las siguientes ecuaciones mediante la transformación indicada:

a) 253 −=+ xx 5−−x b) ( )( ) ( )15132 +=+− xxxx ( )1+x:

c) 13

6

3

3 =+

+− xx

( )( )33 +−⋅ xx d) 1

4

2

3

−=

+ xx

M1

e) xxx =+− 12 2M

Solución:

a) 253 −=+ xx 5−−x 7252553 −=→−−−=−−+→ xxxxx

b) ( )( ) ( )15132 +=+− xxxx ( )1+x: xx 532 =−→

c) 13

6

3

3 =+

+− xx

( )( )33 +−⋅ xx ( )( ) ( )( ) →⋅+−=

++

−+−→ 133

3

6

3

333 xx

xxxx

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )333633333

633

3

333 +−=−++⋅→+−=

++−+

−+− xxxxxx

xxx

xxx

d) 1

4

2

3

−=

+ xx

M1

4

1

3

2 −=+→ xx

e) xxx =+− 12 2M ( ) 2222

2 11 xxxxxx =+−→=

+−→

Observación: Hemos dicho que al transformar una ecuación, toda solución de la ecuación original lo es también de la

ecuación transformada. Pero en el ejemplo b) se ve cómo 1−=x es solución de la original, pero no de la transformada.

Como indicábamos anteriormente, al dividir, podemos disminuir el número de soluciones. Esto ocurre porque al dividir por

expresiones que contienen la incógnita, hay valores de ésta que hacen que dividamos por 0, como el 1− . Así, cuando

5

dividamos por expresiones conteniendo la incógnita, habrá que ver en qué valores se anula dicha expresión e ir a los casos

particulares, es decir, sustituir esos valores en la ecuación original por si fueran soluciones de la ecuación.

1.3.- Técnicas generales de resolución de ecuaciones. Cambio de incógnita:

El método para resolver una ecuación depende muchísimo de la naturaleza de las expresiones que haya en la

misma. Es decir, si las expresiones son polinómicas se intentará resolver de una manera distinta de otra ecuación que

contenga expresiones trigonométricas.

No obstante, como los polinomios han sido profundamente estudiados a lo largo de la historia, hay una técnica que

consiste en intentar convertir una ecuación en polinómica, resolverla y finalmente, deshacer la conversión. Esta técnica se

denomina cambio de variable. En general se intenta llegar a una ecuación polinómica, aunque a veces se puede querer

llegar a una ecuación de otro tipo (trigonométrica, exponencial, o lo que se necesite).

Para ello:

− necesitamos que la ecuación contenga, fundamentalmente, una expresión que se repite una y otra vez.

− Entonces, a esa expresión que se repite, se le llama por una nueva letra (que no se haya utilizado hasta el

momento).

− Es fundamental que la nueva ecuación no contenga la incógnita antigua, sino sólo la incógnita nueva.

− Se resuelve la nueva ecuación con las técnicas adecuadas.

− Las soluciones halladas se sustituyen en "el cambio de incógnita" para obtener el valor correspondiente de la

incógnita antigua.

Ejemplo 4: Resolver, para R∈x , la ecuación 04234 =−⋅+ xx . (Nota: Hacen falta cosas que no sabemos, pero hay que

fijarse únicamente en el método de cambio de variable)

Solución:

Necesitamos que haya una expresión (que contiene a x) que se repita una y otra vez en la ecuación. Aquí x aparece en x4 y

en x2 . Por propiedades de las potencias, podemos escribir ( ) ( )222 2224 xxxx === y, voilá!, ya tenemos nuestro x2 en

todos lados, es decir, la ecuación queda

04234 =−⋅+ xx ( ) 042322

=−⋅+→ xx

Ahora está a punto de caramelo para un cambio de incógnita. El cambio será Ax =2 y la ecuación nueva es

0432 =−+ AA que es polinómica de segundo grado. Estas, como ya veremos, se resuelven con la fórmula cuadrática,

que nos da soluciones 4−=A y 1=A . Finalmente, tenemos que sustituir estas soluciones de A en la fórmula del cambio

de incógnita para saber las soluciones correspondientes de la incógnita original, x.

424 −=→−= xA que no tiene solución, pues multiplicar 2 por sí mismo nunca puede llegar a dar un resultado negativo.

0121 =→=→= xA x pues el exponente que hace que el resultado sea 1 es el 0.

Veamos cómo se resuelve, pero sin los comentarios explicativos:

04234 =−⋅+ xx

( ) 042322

=−⋅+ xx Ax =2

0432 =−+ AA

6

4−=A y 1=A .

∃/→−=→−= 424 xA

0121 =→=→= xA x

Solución: 0=x .

Ejemplo 5: Resolver, para R∈x , la ecuación 111

11 −=++−+

x

x

Solución:

Aquí podemos ver que la expresión 1+x se repite varias veces. Así que se puede intentar cambiar la incógnita con

zx =+1 . Esto nos deja una nueva ecuación de la forma 11

1 −=+−

zz

. Esta ecuación es "racional" y veremos más adelante

cómo se resuelven. Básicamente hay que quitar los denominadores y luego comprobar que con las soluciones halladas

todas las fracciones tienen sentido. Así, multiplicando 11

1 −=+−

zz

por 1+z tenemos

11

1 −=+−

zz

( )1+⋅ zM

( )11 +−=− zz

11 −−=− zz 1+

+M

zM

02 =z 2:M

0=z

Ahora hay que deshacer el cambio, sustituyendo el valor de z en la fórmula, para hallar x.

011 =+→=+ xzx 2M

01 =+x 1−M

1−=x

Como hemos elevado al cuadrado, habrá que sustituir en la ecuación original la solución hallada.

11110

101

111

1111

11

11 −=−→−=+−→−=

++−−+−→−=

++−+

x

x

Solución: 1−=x .

Ejemplo 6: Resolver, en R∈x , la ecuación 043 24 =−− xx .

043 24 =−− xx Hacemos el cambio tx =2 . Entonces ( ) 2224 txx == .

0432 =−− tt Las raíces de esta ecuación son 1−=t y 4=t . Ahora hay que deshacer el cambio, es decir, pasar de

soluciones de t a soluciones en x.

11 2 −=→−= xt que no tiene solución 44 2 =→= xt M

2±=x

Solución: 2−=x y 2=x .

7

Ejemplo 7: Resolver, en R∈x , la ecuación ( ) ( ) 051232 22 =−++⋅−+ xxxx

Solución:

( ) ( ) 051232 22 =−++⋅−+ xxxx Hacemos el cambio xxA 22 += . Aunque es menos clara, pero

122 ++= xxA es más conveniente a la hora de deshacer el cambio.

( ) ( ) 0513 =−+⋅− AA

05322 =−−− AA

0822 =−− AA Cuyas raíces son 4=A y 2−=A . Ahora hay que deshacer el cambio, con cada una de las

soluciones halladas.

4=A 2−=A

422 =+ xx 4−M 222 −=+ xx 2+M

0422 =−+ xx 0222 =++ xx

512

202

2

41442 ±−=±−=⋅⋅+±−=x 2

42

2

21442 −±−=⋅⋅−±−=x No tiene solución

Solución: 51±−=x

1.4.- Técnicas generales de resolución de ecuaciones. Factorización:

La segunda técnica de tipo general es utilizar el hecho que el producto de varios números es 0 sólo si uno de los

factores es 0 (esto tiene un nombre técnico en matemáticas. A un conjunto de números con esta propiedad se le llama

dominio de integridad). Esta propiedad es una de las principales razones por las que las técnicas de factorización son muy

importantes.

000 ==→=⋅ BóABA

Esta técnica hace que pasemos de una ecuación complicada a varias ecuaciones sencillas.

Ejemplo 8: Resolver, para R∈x , la ecuación ( ) ( ) 0225222 232 =−−++⋅−− xxxxxx

Solución:

Podemos ver que el factor del primer término se parece a la segunda parte de la ecuación, xxx 22 23 −− . Así, si sacamos

x factor común tenemos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 02252220225222 22232 =⋅−−++⋅−−→=−−++⋅−− xxxxxxxxxxxx . Y

sacando 222 −− xx factor común, la ecuación queda ( ) ( ) ( ) ( ) 0532205222 22 =+⋅−−→=++⋅−− xxxxxxx .

Aplicamos que uno de los factores tiene que ser 0 para pasar a dos ecuaciones más simples:

0222 =−− xx fórmula cuadrática 053 =+x 5−M

31±=x 53 −=x 3:M

35−=x

Si no nos damos cuenta de que se puede factorizar y multiplicamos, la ecuación queda

( ) ( ) 010163022101420225222 232323232 =+−−→=−−++−+→=−−++⋅−− xxxxxxxxxxxxxxx

8

Hay una fórmula para hallar las soluciones de una ecuación cúbica, pero nosotros no lo

veremos. Estudiaremos sólo la técnica de Ruffini y las ecuaciones con simetría en los

coeficientes. Como vimos en el tema de polinomios, las únicas posibilidades son con los

divisores del término independiente, 10. Y ninguno de los 8 divisores, 10552211 ,,,,,, −−− y

10− , da resto 0.

1.5.- Restricciones:

En una ecuación, a veces, no todas las expresiones que aparecen tienen sentido para todo valor real de la variable,

es decir, para todo R∈x . Entre otros posibles problemas, si hay fracciones, el denominador no puede ser 0 y, si hay raíces

con índice par, el radicando no puede ser negativo. Esa serán las dos restricciones que tendremos, aunque puede haber más,

como por ejemplo las que tiene el logaritmo.

Cuando vayamos a resolver una ecuación, se debe empezar por considerar las restricciones que tiene. Al final, hay

que comprobar que, las soluciones halladas cumplen todas las restricciones de la ecuación. Será entonces cuando podremos

decir que son soluciones.

9

2.- ECUACIONES POLINÓMICAS .

2.1. Ecuaciones polinómicas de primer grado:

Llamamos ecuación polinómica de primer grado a aquella ecuación que presente la forma:

0=+ bax

donde a y b son números conocidos, R∈ba, , es decir, coeficientes, y x es un número desconocido, o sea, la incógnita.

Clasificación, según sus soluciones. Hay 3 tipos de ecuaciones de primer grado:

� Las que no tienen solución: son las ecuaciones del tipo 00 =+ bx , con 0≠b .

� Las que tienen solución todos los números reales, es decir, { }R∈x : son las ecuaciones que tienen la forma

000 =+x , es decir, 0== ba

� Las que tienen como solución un único número real: son ecuaciones de la forma 0=+ bax , con 0≠a .

a b Solución

0 0 R

0 0≠ φ

0≠ R∈b ab−

Método de resolución:

i. Se quitan denominadores, si los hay, multiplicando ambos miembros de la ecuación por el m.c.m. (mínimo común

múltiplo) de los denominadores. Hay que recordar que:

“En una fracción, al desaparecer el denominador,

el signo que precede a la fracción, afecta a todo el numerador.”

ii. Se quitan los paréntesis, si los hay.

iii. Se agrupan las incógnitas, las x, en un miembro.

iv. Se agrupan las incógnitas entre ellas y los términos independientes entre ellos para que la ecuación tenga la forma

0=+ bax o bien de la forma bax = .

v. Se decide qué tipo de ecuación es, según su solución.

vi. Si 0≠a , se despeja x (restando b y) dividiendo por a y hallamos la solución única. Si 0=a , concluimos que no

tiene solución o que todos los números son solución, según sea el caso 0≠b ó 0=b .

Ejemplo 9: Resolver, para R∈x , la ecuación 23

1

2

1

5

42 −+=−+−+ xxxx .

• denominadores: el m.c.m.(5,2,3)=30 luego hay que multiplicar ambos miembros por 30 y simplificar las fracciones

para que los denominadores desaparezcan. Como el producto es distributivo, al multiplicar todo el miembro por 30,

cada uno de los términos se multiplica por 30.

→

−+⋅=

−+−+⋅→−+=−+−+ 23

130

2

1

5

42302

3

1

2

1

5

42 xxxx

xxxx

603

1310

2

1215

5

425630230

3

130

2

130

5

423030 −

/+/⋅=

/−/⋅+

/−/⋅+→⋅−+=−+−+ xxx

xxxx

x

( ) ( ) ( ) 6011011542630 −+=−+−+→ xxxx

10

• paréntesis: se quitan los paréntesis efectuando los productos correspondientes:

( ) ( ) ( ) 60101015152412306011011542630 −+=−+−+→−+=−+−+ xxxxxxxx

• agrupaciones: se pasan las x a un lado y los términos independientes al otro:

15246010101512306010101515241230 ++−=−++→−+=−+−+ xxxxxxxx

• suma: se suman las x entre ellas y los términos independientes entre ellos:

11471524601010151230 −=→++−=−++ xxxxx

• tipo de ecuación: como 047 ≠=a hay una única solución.

• despejar: se deja la x completamente sola:

47

111147 −=→−= xx

• expresar la solución:

Solución: 47

11−=x

Ejemplo 10: Resolver, para R∈x , la ecuación ( )2

133

2

123 +=−−+ x

xx

Solución:

( )2

133

2

123

xx

xx

−+=−−+ 2⋅M

( )

−+⋅=

−−+⋅2

1332

2

1232

xx

xx

( ) ( ) xxxx −+=−−+ 136126

1361126 +=+−+ xxx xxM +−−− 6112

1121366 −−=+−− xxxx

00 =x

Solución: { }R∈x

Ejemplo 11: Resolver, para R∈x , la ecuación ( ) ( ) 3524123 +−=−+ xxx

Solución:

( ) ( ) 3524123 +−=−+ xxx

3102436 +−=−+ xxx 32 −− xM

3103246 +−−=−− xxx

100 −=x .

Solución: No tiene solución.

2.2.- Ecuaciones polinómicas de segundo grado.

Una ecuación (polinómica) de segundo grado es una ecuación de la forma

02 =++ cbxax

11

donde x es la incógnita y a, b y c son los coeficientes y representan números reales, es decir, R∈cba ,, . Para que la

ecuación sea realmente de segundo grado, requerimos que el término en 2x esté presente, es decir, que su coeficiente no

sea 0. Por tanto 0≠a .

2.2.1.- Cuadratura. Fórmula cuadrática

La gran diferencia entre las ecuaciones de primer grado y las de grado dos o mayor es que, en éstas últimas, no se

puede despejar generalmente la incógnita x. Para las ecuaciones de grado 2, 3 y 4, existen procedimientos para reescribir la

incógnita y poder despejarla. Nosotros sólo veremos el método de las ecuaciones de grado 2. Concretamente, cómo pasar

de tener un término en 2x y otro en x a tener una sola incógnita dentro de una expresión elevada al cuadrado. Esto nos

permite despejarla y resolver la ecuación. Cuando hacemos este procedimiento con coeficientes generales, obtenemos una

fórmula que resuelve la ecuación directamente. Este procedimiento se denomina resolución por cuadratura.

La idea del método es completar el cuadrado utilizando las identidades notables

( ) 222 2 BABABA ++=+ y ( ) 222 2 BABABA +−=−

Veamos cómo se hace con ejemplos cada vez más complejos.

Ejemplo 12: Resolver, para R∈x , la ecuación 042 =−x .

Solución:

Es una ecuación reducida donde 0=b , es decir, el término en x no aparece.

042 =−x 4+

42 =x M

2±=x

donde el signo ± indica que los dos números 2=x y 2−=x son soluciones de la ecuación inicial, puesto que al elevar

al cuadrado cualquiera de ellos, el resultado es positivo y 4. Así pues, cuando tengamos un cuadrado y hagamos una raíz

cuadrada para eliminarlo, habrá que tener en cuenta ambas posibilidades, la positiva y la negativa.

Solución: 2=x y 2−=x

Ejemplo 13: Resolver, para R∈x , la ecuación 0259 2 =−x .

Solución:

Es una ecuación de segundo grado reducida donde el término en x no aparece.

0259 2 =−x 25+

259 2 =x 9÷

9252 =x M

35

925 ±=±=x

Solución: 35=x y

35−=x

Ejemplo 14: Resolver, para R∈x , la ecuación 0342 =−+ xx completando el cuadrado.

Solución:

Cuando aparecen los tres tipos de términos no se puede hacer otra cosa, salvo completar el cuadrado.

12

El término en 2x nos da A. Así xA = .

El término en x es el del doble producto, 2AB, y esto nos permite hallar B. Para eso, obligamos a que haya un 2

multiplicando. Si no podemos escribir b como 2 por algo, entonces ponemos un 2 multiplicando y otro dividiendo.

03222 =−⋅⋅+ xx

Después de hacer eso, lo que no sea 2 y no sea x, ha de ser B. En este caso, si x⋅⋅ 22 coincide con AB2 es porque

2=B .

Ahora sólo hace falta tener sumando 2B . Para ello, simplemente sumamos a cada lado de la ecuación 2B .

03222 =−⋅⋅+ xx 4+

43442 =−++ 43421 xx

Por último, agrupamos los tres primeros términos en un cuadrado perfecto, y despejamos x en la ecuación, pues ya sólo

aparece en un sitio, dentro del cuadrado. Para esto sólo hay que saber quién es A, quién es B y si el signo es + ó -. Esto

último depende del signo del 2AB, es decir, del signo que tenga el término en x.

( ) 432 2 =−+x 3+

( ) 72 2 =+x M

72 ±=+x 2−

72 ±−=x

Solución: 72 −−=x y 72 +−=x

Ejemplo 15: Resolver, para R∈x , la ecuación 0272 =+− xx completando el cuadrado.

Solución:

0272 =+− xx

022272 =+⋅⋅− xx

449+

449

449

272 22 =++−

44 344 21xx

4

492

2

72

=+

−x 2−

4

41

2

72

=

−x M

2

41

2

7 ±=−x 2

7+

2

41

2

7 ±=x

Solución: 2

417 +=x y 2

417 −=x

13

Ejemplo 16: Resolver, para R∈x , la ecuación 0272 =+− xx completando el cuadrado.

Solución:

04123 2 =−+ xx 3÷M

04342 =−+ xx

022342 =−⋅+ xx

344 ++M

342 4422 +=+⋅+ xx

( )3

1622 =+x M

3

42 ±=+x

3342 ±=+x 2−M

3342 ±−=x

Solución: 3

346 +−=x y 3

346 −−x

Deducción de la fórmula cuadrática:

Al realizar el método de cuadratura en una ecuación de segundo grado general 02 =++ cbxax obtenemos la

fórmula cuadrática.

02 =++ cbxax aM ÷ . No siempre se puede dividir por una letra (pues ésta puede ser 0). Hay que discutir este paso.

02 =++ac

xab

x Escribimos el término en x como ( ) x⋅⋅ algo2 pues “algo” será B en la fórmula ( ) L=+ 2BA

02

22 =++ac

xab

x 2

2

4a

bM +

2

2

2

22

4422

a

bac

a

bx

ab

x =+++ ac

M −

ac

a

b

a

bx

ab

x −=++2

2

2

22

4422 En 1M completamos el cuadrado. En 2M juntamos las fracciones en una sola.

22

22

4

4

42 a

ac

a

bab

x −=

+

2

22

4

4

2 a

acbab

x−=

+ M . La raíz no siempre se puede realizar. Aquí necesitamos hacer una segunda discusión.

2

2

4

4

2 a

acbab

x−±=+ Simplificamos la raíz 24a , que sale a2 . Como hay un ± , podemos poner a2 .

aacb

ab

x2

4

2

2 −±=+ ab

M2

−

aacb

ab

x2

4

2

2 −±−=

14

Y quedan las dos soluciones: a

acbbx

2

42

1

−−−= y a

acbbx

2

42

2

−+−=

En general, se escriben juntos en lo que se conoce como fórmula cuadrática:

aacbb

x2

42 −±−=

Discusión 1: El método requiere, en su primer paso, dividir por a. Esto será posible sólo cuando 0≠a , es decir, siempre y

cuando la ecuación sea realmente de segundo grado. Este hecho será importante a la hora de estudiar ecuaciones con

parámetros.

Discusión 2: En un momento de la cuadratura, hay que tomar raíces en ambos miembros. 1M es un cuadrado perfecto y no

presenta problemas al ser siempre positivo, pero 2

2

24

4

a

acbM

−= , cuyo denominador es siempre positivo pero cuyo

denominador puede ser positivo, cero o negativo. Así, introducimos el discriminante de una ecuación de segundo grado

como la cantidad acbD 42 −==∆ . Nosotros lo llamaremos D, pero en muchos libros aparece como ∆ :

Clasificación de las ecuaciones de segundo grado según sus soluciones:

� 042 >−= acbD . Entonces la raíz sí se puede realizar y obtenemos dos soluciones distintas de la ecuación:

aacbb

x2

42

1

−−−= y a

acbbx

2

42

2

−+−=

� 042 =−= acbD . Entonces la raíz es igual a 0 y hay solución, pero las dos soluciones son la misma. Se dice que

la ecuación tiene una solución doble: ab

x2

−= .

� 042 <−= acbD . En este caso 2M resulta ser negativo y la raíz no se puede realizar en R, con lo que la

ecuación no tiene solución en R.

D Número de

Soluciones Soluciones

0> 2 a

acbbx

2

42

21

−±−=,

0= 1 doble ab

xx221

−==

0< 0 φ

Hay algunos trucos que harán que nos equivoquemos menos:

− 2b sale siempre positivo, sea b positivo o negativo. Así que más fácil es ponerlo positivo siempre.

− La parte de ca ⋅⋅−4 es un producto de tres números. Lo más fácil suele ser contar el número de signos negativos

que hay, contando el que aparece en la fórmula. Si sale par, el resultado será positivo y si es impar, pues el

resultado será negativo.

− A la hora de hacer los cálculos, se hace primero la parte ca ⋅⋅−4 ,

− luego se calcula el radicando de la raíz,

15

− se separan en dos resultados, dependiendo del signo del ± , tomando un signo cada vez.

Ejemplo 17: Resolver, con R∈x , la ecuación 0222 =−− xx utilizando la fórmula cuadrática.

Solución:

Lo primero que debemos hacer es identificar los coeficientes y las letras de la fórmula: 221 −=−== cba ,, . Sustituimos

en la fórmula cuadrática:

( ) ( )31

2

322

2

322

2

122

2

21442

12

21422 22

±=±=⋅±=±→⋅⋅+±→⋅

−⋅⋅−−±=x

Observamos que el discriminante es 12=D y, por tanto, se obtienen dos soluciones distintas, 311 +=x y 312 −=x -

Ejemplo 18: Resolver, con R∈x , la ecuación 0962 =++ xx utilizando la fórmula cuadrática.

Solución:

12

02

2

02

2

36366

12

91466 2

=±=±→−±−→⋅

⋅⋅−±−=x doble.

Aquí podemos observar que el discriminante es 0=D y las dos soluciones son iguales, es decir, es una solución doble.

Ejemplo 19: Resolver, con R∈x , la ecuación 012 =++ xx utilizando la fórmula cuadrática.

Solución:

2

31

2

11411

12

11411 2 −±−→⋅⋅−±−→⋅

⋅⋅−±−=x . Como el discriminante es 3−=D , la raíz no se puede

calcular y no hay solución alguna a la ecuación.

2.2.2.- Ecuaciones reducidas:

Cuando alguno de los términos de la ecuación no aparece, ésta se puede resolver de forma muy rápida. Cuando

falta alguno de los términos decimos que la ecuación está en forma reducida. La forma en que se resuelven depende de

cuál es el término que falta.

� 0=b . Cuando el término de la x no aparece, sólo hay x en el término de 2x así que ésta se puede despejar

fácilmente.

083 2 =−x 8+M

83 2 =x 3÷M

3

82 =x M

3

62

3

8 ±=±=x

En general, la solución de la ecuación 02 =+ cax es ac

x−±= , que tiene solución cuando 0≥−

ac

.

16

� 0=c . Cuando el término independiente no aparece, todos los términos que hay contienen alguna x, lo que

permite sacar factor común x y expresar un producto igual a 0, lo que permite pasar de una ecuación a dos, más

sencillas.

073 2 =+ xx

( ) 073 =+xx

Nos deja dos ecuaciones: 0=x que ya está resuelta o bien 073 =+x cuya solución es 37−=x .

En general, la solución de la ecuación 02 =+ bxax son 0=x y ab

x −= (siempre hay).

2.2.3.- Fórmulas de Cardano – Vieta.

Si una ecuación de segundo grado 02 =++ cbxax tiene dos soluciones 1x y 2x tenemos que esos dos

números también son solución de ( )( ) 021 =−− xxxx . Por tanto las ecuaciones son básicamente las mismas. Dividamos

la ecuación 02 =++ cbxax por a. Entonces tenemos 02 =++ac

xab

x que se puede escribir de la forma

02 =++ qpxx . Entonces, al ser ambas ecuaciones mónicas, es decir, con coeficiente principal 1, tienen que ser iguales.

Esto nos da las ecuaciones de Cardano – Vieta:

( )( ) ( ) 000 22121

221 =++≡=++−→=−− qpxxxxxxxxxxxx

( )qxx

pxx

==+−

21

21

Además se puede expresar la ecuación original factorizada, es decir, la ecuación 02 =++ cbxax es la misma

que la ecuación ( )( ) 021 =−− xxxxa .

Ejemplo 20: Hallar las raíces de de la ecuación 0652 =+− xx , con R∈x , utilizando las fórmulas de Cardano - Vieta.

Solución:

Descomponemos el término independiente como producto de dos números. Como 6 es positivo, los dos números han de ser

del mismo signo. Las posibilidades son: De estas 4 posibilidades hay que encontrar una, si es que hay

alguna, que tenga suma el opuesto de b, es decir, cuya suma salga 5. Por tanto estamos hablando de 2 y

3.

Ejemplo 21: Resolver, con R∈x , la ecuación 01092 =−− xx , utilizando la técnica de Cardano - Vieta.

Solución:

El término independiente es 10− , negativo. Para que el producto de las raíces salga negativo, éstas tienen que tener distinto

signo. Así, las posibilidades son 1 y 10− , 2 y 5− , 5 y 2− ó 10 y 1− . Si ponemos en una tabla cada pareja con las

sumas correspondientes, vemos si hay o no solución entera.

p q qp ⋅ ( )qp +−

1 10− 10− 9

2 5− 10− 3

17

5 2− 10− 3−

10 1− 10− 9−

De donde vemos que el 9− se obtiene con la pareja 10 y 1− .

Ejemplo 22: Resolver, con R∈x , la ecuación 01282 =−− xx , utilizando la técnica de Cardano - Vieta.

Solución:

De nuevo, tenemos que el coeficiente independiente es negativo, 12− , de donde las raíces enteras, si las hay, deben tener

signo distinto y su producto debe ser 12− . Así, tenemos la tabla siguiente.

p q qp ⋅ ( )qp +−

1 12− 12− 11

2 6− 12− 4

3 4− 12− 1

4 3− 12− 1−

6 2− 12− 4−

12 1− 12− 11−

Como podemos observar, ninguna de las sumas se corresponde con el opuesto del coeficiente de x, 8− , de donde la

ecuación no tienes raíces enteras. Si aplicamos la fórmula cuadrática, veremos que es así:

( )724

2

748

2

1128

2

48648

12

1214648±=±=±=+±=

⋅−⋅⋅−±

=x .

Observación : Las ecuaciones de Cardano – Vieta existen en ecuaciones de grados mayores al dos, y son muy similares.

Veamos el caso de grado 3 para ilustrar cómo se haría en general. Si un polinomio mónico de grado 3

023 =+++ rqxpxx tiene tres raíces 1x , 2x y 3x , entonces se tiene que

( )

rxxx

qxxxxxx

pxxx

=−=++

=++−

321

133221

321

donde el signo – se debe al número de productos de raíces juntas que hay, pues cada una de ellas va acompañada de un –1.

2.3.- Ecuaciones polinómicas de grado 3 o más.

De la misma manera que hay una fórmula para hallar las raíces de una ecuación polinómica de grado 2, hay

fórmulas para las ecuaciones polinómicas de grado 3 y de grado 4. Estas fórmulas se descubrieron en la Italia del siglo XV

por varios matemáticos como Cardano, Tartaglia o del Ferro, sin estar claro quien es el autor verdadero de tal hazaña.

Mucho más tarde, el matemático noruego Abel demostró, en 1824, que es imposible obtener una fórmula algebraica que

nos dé las raíces de una ecuación polinómica general de grado 5 o mayor, en término de sus coeficientes.

Ante la imposibilidad de tener fórmulas, hay que recurrir a métodos que, aunque no sean generales, nos den

alguna solución. Uno de tales métodos es buscar raíces que sean divisores del término independiente, es decir, dividir por

factores de la forma ax ± y ver si el resto es 0. La división de polinomios con este tipo de divisores se puede hacer

18

bastante rápido con el método de Ruffini. Otro método que puede ayudar es cuando el polinomio presenta una simetría en

sus coeficientes. Y, finalmente, podemos intentar utilizar alguna de los métodos de factorización que nos permita pasar a

más ecuaciones pero de menor grado.

Existen algunos resultados matemáticos que nos pueden ayudar a saber mas sobre as ecuaciones. Por ejemplo,

Teorema: Si un polinomio es mónico y tiene todos sus coeficientes enteros, es decir, en Z, y Q∈q es una raíz racional de

ese polinomio, entonces Z∈q .

Este teorema nos indica que un polinomio mónico con coeficientes en Z no puede tener raíces que sean fracciones

(estrictamente hablando). Si no son enteros, entonces han de ser números irracionales o números complejos. Esta idea nos

dice que el método de Ruffini no es tan malo después de todo.

Teorema: (Gauss) Un polinomio de grado n con coeficientes en C tiene exactamente n raíces en C, contadas según su

multiplicidad.

Este teorema nos indica que una ecuación polinómica de grado n tiene exactamente n soluciones, aunque las soluciones

pueden ser números complejos.

Teorema: Si un polinomio tiene todos sus coeficientes reales y C∈z es una raíz compleja de ese polinomio, entonces su

conjugada, z , también es raíz del polinomio.

Este teorema nos indica que si una ecuación es polinómica de grado n y tiene coeficientes reales, entonces el número de

soluciones es n, o 2−n , o 4−n ... Así hasta llegar a 1, si n es impar, o a 0, si n es par.

Ejemplo 23: Resolver, para R∈x , la ecuación 02755 234 =−−+− xxxx .

Solución:

Lo primero que se debe hacer siempre es factorizar o sacar factor común, si es posible. Como no se puede, pasaremos a

intentar el método de Ruffini con los divisores del término independiente, que son los únicos que pueden hacer que el resto

sea 0. Tenemos que probar con 211 ,,− y 2− . Llevamos un orden

para no saltarnos ninguno. Y si obtenemos 0 con alguno de ellos,

seguiremos intentándolo más veces con ese divisor, hasta que salga

resto distinto de 0.

Así, al dividir por 1−x , ponemos un 1 en el Ruffini y sale resto 8,

luego no sirve. Pasamos al 1− , es decir, a dividir por 1+x . Aquí sí

se obtiene resto 0. Se intenta nuevamente, pero sale resto 12− y se descarta el 1− , pasando al 2. Ahora vuelve a salir resto

0. Llegamos a un cociente de grado 2. Como para este ya tenemos fórmula cuadrática, que es 100% fiable y el Ruffini no, ,

pues sólo hallar raíces enteras, pasamos pues a la fórmula cuadrática.

Resumiendo, tenemos que 02755 234 =−−+− xxxx se convierte, tras las dos divisiones en la ecuación

( ) ( ) ( ) 01421 2 =−−⋅−⋅+ xxxx y, de aquí pasamos a 3 ecuaciones más sencillas.

01 =+x , cuya solución es 1−=x

02 =−x , cuya solución es 2=x y

19

0142 =−− xx , cuya soluciones son 522

524

2

204

2

4164 ±=±=±=+±=x

Solución: { }522521 +−−= ;;;K .

Para ver las fórmulas algebraicas para ecuaciones polinómicas de grado 3 y de grado 4, ver el apéndice al final del

tema.

Ejemplo 24: Resolver, con R∈x , la ecuación 0462 24 =+− xx .

Solución:

El cambio de incógnita se suele utilizar mucho en ecuaciones polinómicas cuando el grado de la incógnita aumenta /

disminuye con la misma amplitud. En este ejemplo, podemos ver que el grado disminuye de dos en dos. Esto nos indica

también el posible cambio. Así, haciendo 2xz = la ecuación queda

04620462 224 =+−→=+− zzxx 2:M

0232 =+− zz . Aplicamos la fórmula cuadrática y queda

2

13

2

893

12

21493 ±=−±=⋅

⋅⋅−±=z

cuyas soluciones son 21 =z y 12 =z . Deshaciendo el cambio, tenemos

2=z 2xz = 1=z 2xz =

22 x= M 21 x= M

x=± 2 x=±1

Por tanto, hay 4 soluciones

Solución: { }2112 ;;;−−=K .

2.4.- Ecuaciones recíprocas / simétricas.

Una ecuación polinómica 0011

1 =++++ −− axaxaxa n

nn

n L se llama recíproca o simétrica si sus coeficientes

cumplen la propiedad de simetría:

LL kknnn aaaaaa === −− ,, 110

y así hasta el término central, donde 2na queda solo cuando n es par y

21

21 −+ = nn aa cuando n es impar.

o bien

LL kknnn aaaaaa −=−=−= −− ,, 110

y 2na queda solo cuando n es par y

21

21 −+ −= nn aa cuando n es impar.

Teorema: Si 0≠z es solución de una ecuación recíproca, entonces z1

también lo es.

Demostración:

20

En efecto, sustituimos x por z1

para obtener:

01

1

1

111a

za

za

za

n

n

n

n +++

+

−

− L

0111

111a

za

za

za

nnnn ++++ −− L

n

nnnn

z

zazazaa 01

11 ++++ −− L

Utilizamos que la ecuación es recíproca y los coeficientes están relacionados

queda una de las dos posibilidades siguientes:

n

nn

nn

z

zazazaa ++++ −−

1110 L

ó n

nn

nn

z

zazazaa −−−−− −−

1110 L

Que son claramente opuestas la una de la otra. Ahora bien, como z es solución de la ecuación, ambas expresiones (sea cual

sea la que se obtenga) serán 0 y, por tanto, z1

es también solución de la ecuación.

☺

Corolario: En una ecuación recíproca, toda solución z tiene una "solución recíproca" asociada, z1

, distinta del propio z,

salvo en el caso de 1−=z .

Corolario: En una ecuación recíproca de grado impar 1−=z es solución de la ecuación.

Observación: Como veremos en el último ejemplo de este apartado, hay un caso particular. Y es cuando la reciprocidad

entre los coeficientes de

Entonces, cuando intentamos resolver una ecuación recíproca, lo primero que podemos hacer es buscar soluciones

1 ó 1− , tras esto, aquellas que sean enteras, mediante el método de Ruffini, recordando que toda solución 1±≠z tiene una

segunda solución asociada, su recíproca. Si aún así el grado sigue siendo mayor que 2, entonces habrá que jugar con el

coeficiente del término líder (que coincide con el término independiente) y su factorización en números primos para buscar

una solución en forma de fracción (aquí estamos partiendo de que el polinomio tiene coeficientes enteros).

Ejemplo 25: Resolver, con incógnita R∈x , la ecuación 0619196 23 =−+− xxx

Solución:

Es una ecuación recíproca de grado 3. Es fácil comprobar que 1=x es solución (la suma de los

coeficientes es 0). Así pues, dividimos por 1−x y obtenemos las raíces del cociente, de grado

dos, con la fórmula cuadrática.

12513

12144169132 06136 ±−± ==→=+− xxx y las raíces son

Solución: 11=x , 2

32 =x y

3

23 =x .

Ejemplo 26: Resolver, con incógnita R∈x , la ecuación 02410771024 234 =+−−− xxxx

Solución:

21

Esta ecuación es recíproca y de grado 4. Al sumar los coeficientes, claramente, no sale 0, luego 1=x no es

solución. Si cambiamos de signo los coeficientes de los términos de grado impar y volvemos a sumar, tampoco sale 0,

luego 1−=x tampoco es solución. Busquemos una solución entera mediante el método de Ruffini.

3224 3 ⋅= , y sus divisores son 2412864321 ±±±±±±±± ,,,,,,, .

Probamos con 2=x y obtenemos resto 0. Así pues, una segunda solución es 2

1=x . Esto nos deja sólo dos raíces más.

Para hallarlas, podemos dividir el polinomio por 2−x (obtendremos el cociente que salió del Ruffini) y por 12 −x . El

polinomio de segundo grado que se obtiene es el que estamos buscando. Sus raíces son fácilmente calculables con la

fórmula cuadrática.

Ruffini es más delicado para dividir por expresiones distintas a ax ± , por ejemplo

12 −x , pero lo que sí se puede hacer es dividir por 21−x . En general no es buena idea

porque saldrían muchas fracciones, pero nosotros sabemos que va a salir resto 0 y

además no vamos a tener que dividir más, así que no va a haber problema en este caso.

Las soluciones de 0245024 2 =++ xx , es decir, 0122512 2 =++ xx .

24725

244925

2457662525 ±−±−−±− ===x , es decir, 4

32418 −== −x y 3

42432 −− ==x .

Solución: 34

443

321

21 2 −=−=== xxxx ,,, .

Ejemplo 27: Resolver, con incógnita R∈x , la ecuación 060442574460 234 =++−+ xxxx .

Solución:

Esta ecuación es recíproca, de grado 4, donde ni 1 ni 1− son solución. Así pues, todas son parejas de soluciones

recíprocas. El término independiente es 53260 2 ⋅⋅= , que tiene 12 divisores (positivos), a saber,

603020151210654321 ,,,,,,,,,,, . Podríamos estar intentando hacer Ruffini un buen rato buscando una raíz entera.

Desgraciadamente, con la información de la que disponemos, sólo podemos desechar el 60 como raíz , pues eso obligaría a

que 1 y/o 1− también lo fueran, cosa que no sucede.

Si quisiéramos buscar directamente soluciones de tipo fraccionario, tendrían que ser de la forma 1

11 q

px = , 1

12 p

qx = ,

2

23 q

px = y 2

24 p

qx = . De la factorización, sabemos que 5322602121 ⋅⋅⋅==⋅⋅⋅ qqpp . Al haber 4 factores en 60, es

realmente posible que no haya ninguna solución entera.

Como alguno de los coeficientes de la ecuación es negativo, al menos una de las parejas de raíces son negativas. También,

2 y 2 no pueden ir juntos en una fracción, pues se simplificarían entre sí. Así pues, deben ser 32± y 5

2± . Si ninguna de

ellas es raíz, significará que alguno de los p o q son 1 y hay raíces enteras. Entonces habrá que hacer los Ruffini hasta dar

con una. Obviamente, es más rápido empezar con las fracciones (las negativas mejor, que seguro hay alguna).

La última observación es que, siempre será más fácil dividir por 2 que por 3, así pues haremos el Ruffini con 23− y

después, si esto falla, con 25− . ESTO NO ES ASí ESTOY SUPONIENDO TODAS LAS RAÍCES FRACCIONES!!!

22

23

3.- ECUACIONES RACIONALES .

Las ecuaciones racionales son aquellas que tienen fracciones donde la incógnita aparece en el denominador (hay

letra abajo en la fracción).

13

4

3

1 =+

+− xx

Estos denominadores no pueden anularse así que nos imponen unas restricciones sobre las posibles soluciones, es

decir, unas condiciones sobre las soluciones que se deben a las operaciones que hay en la ecuación. En este caso, una

fracción no puede tener denominador 0, así que si un número x hace 0 algún denominador, ese valor de x no podrá ser

solución de la ecuación.

Para resolverlas:

i. Se multiplica por el mínimo común múltiplo de los denominadores. Es muy conveniente, escribir los denominadores

como factores y tener mucho cuidado con los signos.

ii. Se resuelve la ecuación que resulta, que será en nuestros casos de primer grado, pero que podría ser de grado mayor.

iii. Hay que comprobar las soluciones. Las soluciones que se obtengan no podrán anular a ninguno de los denominadores,

pues no se puede dividir por 0.

Ejemplo 25: Resolver, con R∈x , la ecuación 016

54

43

52 =−−−

−−

xx

xx

.

Solución:

Las restricciones son 043 ≠−x y 016 ≠−x . Las resolvemos:

4343043 =→=→=− xxx y 6

116016 =→=→=− xxx

con lo que 43≠x y 6

1≠x .

Resolvamos pues la ecuación. Observamos los denominadores. No tienen relación entre ellos, así que el m.c.m. es el

producto de los dos.

016

54

43

52 =−−−

−−

xx

xx

( ) ( )1643 −⋅−⋅ xxM

( )( ) ( )( ) 0164316

54

43

521643 ⋅−−=

−−−

−−⋅−− xx

xx

xx

xx

Resolvemos la ecuación que queda. Al simplificar resulta ser de primer grado.

( ) ( ) ( ) ( ) 054435216 =−⋅−−−⋅− xxxx

[ ] 020161512523012 22 =+−−−+−− xxxxxx

015 =−−x 15+M

15=−x ( )1−⋅M

15−=x

Hay que comprobar que la solución cumple las restricciones, es decir, que no anula ninguno de los denominadores. Las

restricciones eran 43≠x y 6

1≠x que no es, en ningún caso 15− .

Solución: { }15−=K

24

Ejemplo 26: Resolver, para R∈x , la ecuación 1

31

432 +

−=−+

+x

xxxx

x.

Solución:

Lo primero es siempre tener en cuenta las restricciones: 0≠x y 01 ≠+x , pues xx +2 no es sino el producto de las otras

dos. Así, necesitamos 0≠x y 1−≠x .

Resolvamos la ecuación. En el primer denominador, xx +2 , se puede sacar factor común una x y tenemos

( )12 +→+ xxxx , que es el producto de los otros dos denominadores.

1

31

432 +

−=−+

+x

xxxx

x ( )1+⋅ xxM

( )( )

( )

+−⋅+=

−+

+⋅+

+

1

311

431

1

2 xx

xxx

xx

xxx

xx321

( ) ( ) xxxxxx ⋅−+⋅=+−+ 13143

22 3343 xxxxx −+=−−+ 233 xxM +−−

00 =x

Esta ecuación de primer grado tiene solución todos los números reales. Tenemos en cuenta las restricciones y hay que

quitar 0 y -1 de la solución.

Solución: { }01,−−R

Ejemplo 27: Resolver, siendo R∈x , la ecuación 24

8

22

3

xxx

xx

−=

+−

−+

.

Solución:

En este caso, las restricciones son 02 ≠−x y 02 ≠+x , pues el tercer denominador factoriza como el producto de los dos

primeros. Por tanto necesitamos 2≠x y 2−≠x .

Resolvamos la ecuación. El último denominador, 24 x− , se puede escribir utilizando que ( ) ( )BABABA +⋅−=− 22 , de

la forma ( )( )xxx +−=− 224 2 . Estos dos factores se parecen mucho a los otros denominadores. El factor ( )x−2 es

como el denominador 2−x , pero con los términos cambiados. Para que sean iguales basta poner un – delante y cambiar el

orden, es decir, ( ) 22 −=−− xx . El factor ( )x+2 es igual que 2+x .

( )( )( )( )

43421

321

22

22

24

8

22

3

+−−

+−

−=

+−

−+

xx

xx

xxx

xx

( )( )[ ]22 +−−⋅ xxM

( )( ) ( )( )( )( )

32122

24

822

22

322

+−−

−+−−=

+−

−++−−

xx

xxx

xx

xx

xx

( )( ) ( ) 8232 =−+++− xxxx

[ ] 82632 22 =−++++− xxxxx

8265 22 =−+−−− xxxx 6+M

25

147 =− x ( )7−:M

2−=x

Como necesitamos 2≠x y 2−≠x , la solución hallada causa problemas y no podemos incluirla. Como no hay ninguna

otra, no hay solución de la ecuación.

Solución: φ

Ejemplo 28: Resolver, en R∈x , la ecuación 1

11

1

1

1 −+=

−−+

+−− x

xx

xx

xx

xx

x: .

Solución:

Estudiemos las restricciones. Hay 6 fracciones con 4 denominadores distintos. Luego hay 4 restricciones:

01 ≠−x 0≠x 01 ≠+x y 01

1≠−−

+ xx

xx

La última, hay que resolverla con cuidado, pues es más complicada.

01

1=−−

+ xx

xx

( ) xxM ⋅+⋅ 1

( ) ( ) 0112 =+⋅−− xxx

0122 =+− xx

01 =

Que no tiene solución, es decir, esa restricción nunca es 0. Dicho de otra forma, esa restricción siempre es 0≠ y no hay

que preocuparse de ella. Por tanto necesitamos 1−≠x , 0≠x y 1≠x .

Resolvamos ahora la ecuación:

1

11

1

1

1 −+=

−−+

+−− x

xx

xx

xx

xx

x:

1

11

1

1

1−+=

−−+

+−−

xx

xx

xx

xx

xx

Unimos el numerador en una sola fracción, así como el denominador.

( ) ( )( )( ) ( )

( )1

1

1

111

11

−+=

⋅++⋅−−⋅

⋅−−⋅+−⋅

xx

xxxxxx

xxxxxx

Se agrupan términos.

( )

( )1

1

1

1

1

1

22

22

−+=

⋅++−

⋅−+−

xx

xxxx

xxxx

Simplificamos un poco

( )

( )1

1

1

11

1

−+=

+

−xx

xx

xx La fracción de 1M como una única fracción y simplificamos más.

1

1

1

1

−+=

−+

xx

xx

Y no hace falta seguir, pues se observa que es la misma expresión en 1M y en 2M .

26

Por tanto, queda la identidad 11 = que tiene solución todo R. Tenemos en cuenta las restricciones y la solución final es:

Solución: { }101 ,,−−R

Ejemplo 29: Resolver, en R∈x , la ecuación 22

15

2

2

2

3

2

131

xxxxx

−=

−−

−−⋅+ .

Solución:

Estudiemos las restricciones. Tenemos 02 ≠−x y 02 2 ≠− xx . Las resolvemos y queda 0≠x y 2≠x .

Resolvamos ahora la ecuación.

( ) ( ) xxxxx

⋅−=

−−

−−+

2

15

2

2

22

331 ( )22 −⋅⋅⋅ xxM

( ) ( )[ ] 215223322 ⋅−=⋅−−⋅⋅+− xxxxx

30129342 22 −=−−+− xxxxx 30+M

030255 2 =+− xx 5÷M

0652 =+− xx Aplicamos la fórmula cuadrática o las fórmulas de Cardano - Vieta.

2

15

2

15

2

64255 ±=±=⋅−±=x que da soluciones 2 y 3. Tenemos en cuenta las restricciones y 2=x no sirve.

Solución: 3=x .

27

4.- ECUACIONES IRRACIONALES .

Las ecuaciones irracionales son aquellas en las que aparece alguna raíz con la incógnita en el radicando, es decir,

la incógnita tiene que estar dentro de la raíz.

112 =−−− xx

Cuando el índice de la raíz sea par, tendremos restricciones, pues el radicando no podrá ser negativo. Así,

tendremos 0≥Radicando .

Para resolver una ecuación irracional, el método general es

i. Dejar la raíz sola en un miembro de la ecuación.

ii. Elevar al cuadrado para que se vaya la raíz.

iii. Si quedan más raíces, repetir el mecanismo.

iv. Resolver la ecuación que queda.

v. Comprobar las soluciones en la ecuación original, o alguna en la que aún no hayamos elevado al cuadrado.

vi. Expresar la solución de forma correcta.

Observación: (Sobre la comprobación de las soluciones)

Cuando queremos comprobar las soluciones es necesario que, al sustituir en la ecuación, obtengamos el mismo valor

numérico en el miembro de la izquierda y en el miembro de la derecha. A veces, las soluciones son difíciles de manejar por

su expresión (por ejemplo del tipo 5525± ). En tal caso hay que tener en cuenta que:

− Si los valores numéricos de los miembros de la ecuación tienen signos distintos, entonces es imposible que

coincidan y la solución aparente no es solución real de la ecuación.

− Si los valores numéricos de los miembros de la ecuación tienen el mismo signo, entonces podemos elevar al

cuadrado. La justificación real de esto se debe a que la función ( ) 2xxf = admite función inversa (ramas de la

inversa) tanto en ( )0;∞− como en ( )∞+;0 , pero no en todo R, por no ser inyectiva. Estas inversas son,

respectivamente ( ) xxg −=1 para la parte de ( )0;∞− y ( ) xxg =2 para la parte de ( )∞+;0 .

Ejemplo 30: Resolver, siendo R∈x , la ecuación 231 2 +=+++ xxx .

Solución:

Restricciones:

La única operación que tiene problemas es la raíz cuadrada, por lo que 032 ≥++ xx . Elaboramos una tabla de signos

para saber dónde es positiva esa expresión y, por tanto, la raíz tiene sentido. La parábola tiene curvatura positiva y no se

anula nunca, por lo que siempre es positiva. La restricción es R o ( )∞+∞− ; .

231 2 +=+++ xxx 1−M

132 +=++ xxx 2M

( ) →+=

++ 2

22 13 xxx 123 22 ++=++ xxxx 12 −−− xxM

x=2

28

Y comprobamos la solución en la ecuación original, en alguna de las ecuaciones que tengamos antes de haber elveado al

cuadrado:

( ) =→= 22 Lx 4913221 2 =+=+++ y ( ) 4222 =+=P , luego sí es solución de la ecuación.

Resultado: { }2=K

Observación: La razón por la que hay que comprobar la solución es que, elevar al cuadrado no es inyectiva, es decir, la

función 2xy = lleva el 2 al 4, pero el -2 también lo lleva al 4 (más de un número va al 4). Esto hace que al elevar una

ecuación al cuadrado, podamos estar añadiendo soluciones que no eran de la ecuación original. Si nos imaginamos cómo

haríamos los pasos al revés para llegar desde la solución 2=x hasta la ecuación original 231 2 +=+++ xxx , habría

que multiplicar por -1 y tendríamos 2−=−x , luego sumaríamos 2x , sumaríamos x2 y sumaríamos 3, con lo que

quedaría 123 22 ++=++ xxxx . Ahora habría que deshacer le cuadrado. Lo contrario es la raíz cuadrada, pero ésta nos

da un signo positivo y otro negativo (por lo que hemos dicho antes de que 2xy = no es inyectiva). Así que no sabemos

con cuál de los dos signos hemos de quedarnos y no podemos estar seguros de cuál es el camino correcto. A veces el

número hallado no es la solución que lleva al camino adecuado, sino al otro, a la otra elección de signo.

Ejemplo 31: Resolver, para R∈x , la ecuación 112 =−−− xx .

Solución:

( ) ( ) 1211211211211222

−+−+=−→−+=−→−+=−→=−−− xxxxxxxxx

Simplificamos un poco ( ) ( ) ( ) →−=→−=→−=−→−=−→ 44414412212222 xxxx

xx =→= 248 . Comprobamos la solución en la ecuación original: 11222112 =−−−→=−−− xx

11110110 =−→=−→=−→ que no es cierto. Por tanto, 2=x no es solución.

Solución: La ecuación no tiene solución

Observación: Si se observa en cómo se ha resuelto la ecuación, hay un momento en el que se tiene 122 −=− x Aquí se

ve claramente que en el primer miembro hay un número negativo y en el segundo es positivo, luego no son iguales. Pero al

elevar al cuadrado, los signos desaparecen y sí se hacen iguales. Esa es otra forma de ver el problema y de por qué hay que

comprobar las soluciones (hay que comprobarlas porque a veces pasa esto mismo pero no se ve de forma tan clara).

Ejemplo 32: Resolver, con R∈x , la ecuación xxxxxxx

31422

=+−

−++

.

Solución:

Las restricciones que tiene la ecuación son

02 ≥+ xx ( ] [ )∞+∪−∞−∈→ ;; 01x

02 ≠++ xxx 0≠→ x

02 ≠+− xxx 0≠→ x

0≠x

29

Aunque la expresión del radical se repite, hay muchos otros lugares donde aparecen incógnitas. Así que no parece buena

idea un cambio de variable xxz += 2 . Entonces, la forma más razonable parece ser quitar denominadores e intentar

resolver la ecuación que quede. Si observamos un poco más profundamente, nos damos cuenta de que

( ) xxxxxxxxxxxxx −=−−=+−=

+−⋅

++ 2222222 , de donde el mínimo común de los denominadores

es, básicamente x.

xxxxxxx

31422

=+−

−++

xxxxxxx

31422

=−+

+++

−+⋅

++⋅

xxx

xxx

2

2

teniendo en cuenta que xxxxxxx =

−+⋅

++ 22 .

34 22 =

+++

−+⋅ xxxxxx

335 2 =−+ xxx xM 3+

xxx 335 2 +=+ 2M

( ) 22 918925 xxxx ++=+ 9189 2 −−− xxM

09716 2 =−+ xx

32

257

32

6257

32

576497

162

9164497 ±−=±−=+±−=⋅

⋅⋅+±−=x

cuyas soluciones son 1− y 169 . Como hemos elevado al cuadrado, hay que comprobar las soluciones, pues las restricciones

las cumplen ambas.

3141

3

111

1

111

4314

122

−=+−→−

=−−−

−−+−

==+−

−++ −=x

xxxxxxx,

→=−

−+

→=+−

−++

==+−

−++ =

9

4814314314

216225

169

216225

169

169

169

21681

169

169

21681

16922

169x

xxxxxxx

3

16

3

8

3

8

9

4814

9

4814

166

1624

1615

169

1615

169

=+→=−

−→=−

−+

lo que efectivamente es cierto en ambos casos.

Solución: { }1691;−=k .

Ejemplo 33: Resolver, con R∈x , la ecuación 6

5

2

3

3

2 −=+−−

−+

xx

xx

Solución:

Hallemos primero las restricciones. Inicialmente tenemos dos restricciones debidas a las raíces y dos debidas a las

fracciones:

30

03

2 ≥−+

xx

, 02

3 ≥+−

xx

, 03 ≠−x , 02 ≠+x .

La primera observación que hacemos es que las dos fracciones son inversas una de la otra. Hacer la inversa de una fracción

no cambia su signo, es decir, si ba

es positiva, entonces ab

también. Por tanto, una de las dos restricciones sobra. Las dos

que se deben a las fracciones hay que dejarlas, aunque una de ellas, realmente se puede quitar también.

Los puntos (el blanco y el negro) de la tabla de signos, indica el lugar donde la expresión es 0. Indicamos con un punto

negro cuando el valor está permitido y con un punto blanco cuando no está permitido. En este caso 3−x está en el

denominador, así que no puede tomar el valor 0. Por otro lado, la inecuación permite el igual, así que el numerador sí que

puede ser 0. Por lo tanto, la fracción es positiva donde numerador y denominador tienen el mismo signo, es decir, desde

−∞ hasta 2− y desde el 3 hasta +∞ . El valor 2− sí está permitido, pues la fracción será 0. Esto se indica con el símbolo

o con [ ] . El 3 no, porque se hará 0 el denominador. Esto se indica con un paréntesis, ( ) . Finalmente la restricción

032 ≥−

+xx nos deja el conjunto ( ( )∞+∪−∞− ;; 32 .

303 ≠→≠− xx , cosa que ya sabíamos de la restricción anterior.

202 −≠→≠+ xx , luego hay que quitar el 2− de la restricción.

por tanto, la restricción final es ( ) ( )∞+∪−∞− ;; 32 .

Veamos ahora cómo resolver la ecuación. Hay 3 formas distintas de atacar la ecuación, una de las cuales es un poco

delicada.

1ª forma: Cambio de variable (sustitución).

Como la variable x aparece siempre en un mismo bloque, 32

−+

xx , podemos llamar a ese bloque z y resolver la ecuación que

resulta. Después habrá que deshacer el cambio y hallar la solución en x.

6

5

2

3

3

2 −=+−−

−+

xx

xx

zx

xxx

zxx

xx

111

2

3

3

2

32

32

===+−→

−+=

−+

−+

, donde utilizamos que

02

30

3

2 ≥+−

⇒≥−+

xx

xx

6

51 −=−z

z zM 6⋅

zz 566 2 −=− zM 5+

0656 2 =−+ zz 32

128

23

1218

12135

121695

12144255 y ====→=== −−±−±−+±− zzz

3

2

2

3

3

223

−+=−→

−+=→= −

xx

xx

zz que no da ninguna solución en x, por ser cada miembro de signo distinto.

3

2

3

2

3

232

−+=→

−+=→=

xx

xx

zz 2M

31

3

2

9

4

−+=

xx

( )39 −⋅ xM

189124 +=− xx 184 −− xM

x530 =− 5:M

x=−6

Comprobación:

6

5

6

94

6

5

2

3

3

2

6

5

4

9

9

4

6

5

26

36

36

26

6

5

2

3

3

2 −=−→−=−→−=−→−=+−−−−

−−+−→−=

+−−

−+

xx

xx

2ª forma: Elevando al cuadrado directamente.

Elevamos al cuadrado teniendo las dos raíces juntas y tras eso, si es necesario, elevaremos al cuadrado una vez más, para

eliminar el radical que queda del doble producto.

6

5

2

3

3

2 −=+−−

−+

xx

xx

2M

36

25

2

3

2

3

3

22

3

2

6

5

2

3

3

222

=+−+

+−

−+−

−+→

−=

+−−

−+

xx

xx

xx

xx

xx

xx

como vemos, el doble producto es ( )( )( )( ) 2

23

322

2

3

3

22 =

+−−+=

+−

−+

xxxx

xx

xx

y por tanto la ecuación queda

36

25

2

32

3

2 =+−+−

−+

xx

xx

( )( )2336 +−⋅ xxM

( ) ( )( ) ( ) ( )( )32253363272236 22 −+=−+−+−+ xxxxxx ( )( )3225 −+− xxM

( ) ( ) ( ) 096366974436 222 =+−+−−−++ xxxxxx

032421636582979714414436 222 =+−+++−++ xxxxxx

010502525 2 =++− xx ( )25−:M

0422 =−− xx Cardano Vieta nos da solución 6−=x y 7=x .

Comprobación:

6−=x , es igual que en la forma 1ª de resolver la ecuación. Sirve.

7=x , 6

5

6

49

6

5

3

2

2

3

6

5

9

4

4

9

6

5

27

37

37

27 −=−→−=−→−=−→−=+−−

−+

que tienen signos distintos,

luego 7=x no es solución real de la ecuación original.

3ª forma: Quitando fracciones primero.

Es posible quitar fracciones primero multiplicando por el "común denominador". Pero hay un pequeño detalle que, si se

pasa por alto, puede cambiar las cosas de forma importante. Uno puede estar tentado a expresar cada raíz como cociente de

raíces y multiplicar por el común denominador. Algo así como

6

5

2

3

3

2

6

5

2

3

3

2 −=+−−

−+→−=

+−−

−+

x

x

x

xxx

xx

y multiplicar por 326 −+ xx . Si observamos la tabla de

signos que hemos elaborado en el primero de los métodos, vemos que, la restricción es ( ) ( )∞+∪−∞− ;; 32 pues en

32

( )2−∞− ; , las dos expresiones son negativas y la fracción resulta ser positiva, luego tiene sentido su raíz cuadrada. En la

parte ( )∞+;3 las dos expresiones son positivas y, por tanto, también lo es la fracción. Ahora bien, si queremos dividir la

raíz en cociente de raíces o multiplicar por 326 −+ xx necesitamos que las dos expresiones por separado tengan signo

positivo y por tanto, nos estaríamos restringiendo a la zona ( )∞+;3 , sin ser realmente necesario. De hecho, la solución del

problema no debe salir, pues ésta es, como ya hemos visto, 6−=x que no está en este trozo ( )∞+;3 . ¿Cómo es posible

resolver el problema quitando denominadores? Pues haciéndolo dos veces, una vez para la zona ( )∞+;3 y otra para la

zona ( )2−∞− ; . En la primera, multiplicaremos por 326 −+ xx y para la segunda, supondremos que ambas

expresiones son negativas y la ecuación se resolverá así:

Zona ( )∞+;3 con 02 ≥+x y 03 ≥−x :

6

5

2

3

3

2

6

5

2

3

3

2 −=+−−

−+→−=

+−−

−+

x

x

x

xxx

xx

326 −+⋅ xxM

Zona ( )2−∞− ; donde 02 ≤+x y 03 ≤−x

6

5

2

3

3

2

6

5

2

3

3

2

6

5

2

3

3

2 −=−−+−−

+−−−→−=

−−+−−

+−−−→−=

+−−

−+

x

x

x

xxx

xx

xx

xx

326 +−−−⋅ xxM

Lo primero que vemos es que el trabajo se va a multiplicar por 2 lo que hace poco atractivo este método.

Zona ( )∞+;3 :

6

5

2

3

3

2

6

5

2

3

3

2 −=+−−

−+→−=

+−−

−+

x

x

x

xxx

xx

326 −+⋅ xxM

325186126 −+−=+−+ xxxx

32530 −+−= xx

y esta ecuación no puede tener solución, porque el miembro de la izquierda es siempre positivo y el de la derecha es 0 ó

negativo.

Zona ( )2−∞− ; :

6

5

2

3

3

2

6

5

2

3

3

2

6

5

2

3

3

2 −=−−+−−

+−−−→−=

−−+−−

+−−−→−=

+−−

−+

x

x

x

xxx

xx

xx

xx

326 +−−−⋅ xxM

( ) ( ) 3253626 +−−−−=+−−−− xxxx

32530 +−−−−=− xx ( )5−:M

326 +−−−= xx 2M

( )( ) 6363236 2 −−=→+−−−= xxxx 36−M

0422 =−− xx y Cardano Vieta nos da soluciones 7=x y 6−=x , que como ya sabemos, sólo 6− es válida.

Solución: { }6−=K .

33

5.- ECUACIONES CON VALORES ABSOLUTOS.

Un valor absoluto es una operación matemática que se realiza a un número y consiste en no hacer nada si el

número es positivo y multiplicarlo por 1− si el número es negativo, es decir, cambiarle el signo para ponerlo positivo. En

general se representa por

<−≥

=0 si ,

0 si ,

xx

xxx y su gráfica es

En este apartado aprenderemos a resolver ecuaciones en las que aparecen valores absolutos:

231 −+−=−+ xxxx

Método para resolver ecuaciones con valores absolutos:

i. Se toman las expresiones de dentro de los valores absolutos, se igualan a 0 y se resuelven las ecuaciones que se

obtienen. Esto nos da unos puntos donde las expresiones de los valores absolutos cambian de signo. Estos puntos

dividen nuestro conjunto de posibles soluciones (en general será R aunque podrá ser un conjunto más pequeño) en

zonas o intervalos. En cada una de esas zonas la ecuación tiene una expresión distinta.

ii. Se establece una tabla con los puntos hallados en la horizontal y las expresiones de los valores absolutos en vertical.

En esta tabla representaremos el signo de cada una de las expresiones en la zona correspondiente.

iii. Para hallar el signo de una expresión concreta podemos hacer dos cosas distintas. Hay que saber utilizar las dos. Una

primera es simplemente tomar un punto de la zona en la que estamos, sustituirlo en la expresión y observar el signo del

resultado. Otra forma de hallar ese signo es tomar la expresión como una función y, gráficamente, obsevar su signo y

donde cambia. En este aspecto, hay que observar que los puntos hallados anteriormente son los puntos de corte de

estas funciones con el eje X.

iv. En cada zona, se establece la expresión de la ecuación. Se quitan los valores absolutos teniendo en cuenta el signo de

cada expresión en la zona en la que estemos y teniendo en cuenta la tabla de signos y qué significa el valor absoluto.

v. Se resuelve la ecuación y se toman como solución sólo los resultados hallados que estén en la zona en la que estemos.

vi. Se expresa la solución de forma correcta, tomando la unión de cada solución de cada zona.

Ejemplo 34: Resolver en R la ecuación 231 −+−=−+ xxxx .

Solución: Veamos dónde se hacen cero las expresiones de dentro de los valores absolutos:

2

0

1

02

0

01

==

−=

→→→

=−=

=+

x

x

x

x

x

x

Hay que

ver el signo de cada expresión. Nosotros vamos a tomar las gráficas de las funciones 1+= xy xy = e 2−= xy . En

este caso son fáciles pues las tres son rectas, con pendiente positiva, luego ascendentes y que cortan al eje X sólo en el

punto que hemos hallado antes. Así, a la izquierda es negativa y a la derecha es positiva.

34

Por tanto, tenemos la tabla:

Esta tabla también se puede hallar sustituyendo valores. Cuando las expresiones correspondan a funciones más

complejas, será más conveniente sustituir que dibujar la función. Por ejemplo, en el primer intervalo, ( ]1−−∞, , tomamos

un número lo más sencillo posible, por ejemplo -2, y lo sustituimos en cada una de las expresiones. Nos interesa el signo

del resultado, que es lo que ponemos en la tabla. Así tenemos 1121 2 −=+−=+ −=xx | que es negativo. 22 −=−=xx | que es

negativo y 4222 2 −=−−=− −=xx | que es negativo. Por tanto en el intervalo ( ]1−−∞, , que representa la primera columna

de la tabla, todos los signos son -

La tabla nos divide R en 4 zonas o intervalos. Hay que resolver la ecuación en cada caso:

− Zona I: ( ]1−−∞, En este caso, las tres expresiones cambian de signo, es decir, las tres expresiones tienen un signo –

extra. Lo más fácil es quitar el valor absoluto y multiplicar la expresión de dentro por menos, o bien cambiar su signo

de delante.

( ) ( ) ( ) →+−−=+−−→−−−=++−→−+−=−+ 231231231 xxxxxxxxxxxx

110 −=−x y sumando -1 queda 00 =x , luego todos los números son solución. La solución en esta zona es todo el

intervalo, es decir, ( ]2−−∞, .

− Zona II: [ ]01,− En este caso, la expresión 1+x queda como está y las otras dos cambian de signo al ser multiplicadas

por -1. Por tanto la ecuación queda

( ) ( ) ( ) →+−−=++→−−−=++→−+−=−+ 231231231 xxxxxxxxxxxx

1221012 −=→−=→−=+ xxxx que no es un valor de este intervalo, así que no nos sirve.

− Zona III: [ ]20, En esta zona, la única expresión negativa es 2−x , que cambia su signo. Las otras dos pierden el valor

absoluto quedándose como están.

( ) ( ) ( ) →+−−=−+→−−−=−+→−+−=−+ 231231231 xxxxxxxxxxxx

201010 −=→−=+ xxx que no tiene solución. Así que ningún número de este intervalo es solución.

− Zona IV: [ )+∞,2 En esta zona, todas las expresiones son positivas, luego simplemente quitamos los valores absolutos.

( ) ( ) ( ) →−+−=−+→−+−=−+→−+−=−+ 231231231 xxxxxxxxxxxx

xxxx =→=→−=+ 3265210 que sí es del intervalo y por lo tanto sí es solución de la ecuación original.

Solución: ( ] { }31 ∪−−∞,

35

Ejemplo 35: Resolver, con R∈x , la ecuación 34412 22 =+−−++ xxxx

Solución:

Primero hallamos las restricciones que tiene la ecuación. Los radicandos son polinomios de segundo grado. El primero

tiene una raíz doble en 1−=x y coeficiente de 2x positivo. Así que su gráfica es una parábola con curvatura positiva. El

segundo polinomio tiene también una raíz doble, en 2=x , y curvatura positiva.

Tenemos dos restricciones simultáneas: 0122 ≥++ xx y 0442 ≥+− xx , que nos da la siguiente tabla de signos:

Luego ambas expresiones son simultáneamente positivas o cero en el trozo )∞+;2 .

Podemos elevar al cuadrado, pero nos podemos dar cuenta también, tras elaborar la tabla de signos, de que la ecuación es,

realmente, de la forma ( ) ( ) 321321 22 =−−+→=−−+ xxxx .

La tabla de signos que hace falta para resolver esta ecuación es,

Zona I: ( )1−∞− ; :

La ecuación queda ( ) ( ) 60321321 =→=−+−−→=−++− xxxxx que no tiene solución

Zona II: ( )21;− :

La ecuación queda 242321 =→=→=−++ xxxx

Zona III: ( )∞+;2 :

La ecuación queda 00321 =→=+−+ xxx que tiene todo R como solución. En nuestro caso, todo el intervalo

( )∞+;2 .

Solución: )∞+;2 .

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6.- EJEMPLOS.

ÍNDICE:

Ejemplo 1. Valor numérico de una expresión algebraica.

Ejemplo 2. Noción de solución de una ecuación.

Ejemplo 3. Formas distintas de transformar una ecuación.

Ejemplo 4. Método de cambio de variable (ecuación exponencial).

Ejemplo 5. Método de cambio de variable (ecuación irracional).

Ejemplo 6. Método de cambio de variable (ecuación bicuadrática).

Ejemplo 7. Método de cambio de variable (ecuación polinómica).

Ejemplo 8. Método de cambio de variable (ecuación polinómica).

Ejemplo 9. Ecuación polinómica de primer grado con solución única (ejemplo comentado)

Ejemplo 10. Ecuación polinómica de primer grado con infinitas soluciones.

Ejemplo 11. Ecuación polinómica de primer grado sin solución.

Ejemplo 12. Ecuación polinómica de segundo grado. Deducción de la fórmula cuadrática. Paso I.

Ejemplo 13. Ecuación polinómica de segundo grado. Deducción de la fórmula cuadrática. Paso II.

Ejemplo 14. Ecuación polinómica de segundo grado. Deducción de la fórmula cuadrática. Paso III.

Ejemplo 15. Ecuación polinómica de segundo grado. Deducción de la fórmula cuadrática. Paso IV.

Ejemplo 16. Ecuación polinómica de segundo grado. Deducción de la fórmula cuadrática. Paso V.

Ejemplo 17. Ecuación polinómica de segundo grado. Fórmula cuadrática. Dos soluciones simples.

Ejemplo 18. Ecuación polinómica de segundo grado. Fórmula cuadrática. Una solución doble.

Ejemplo 19. Ecuación polinómica de segundo grado. Fórmula cuadrática. No tiene solución.

Ejemplo 20. Ecuación polinómica de segundo grado. Método de Cardano - Vieta (coeficiente positivo).

Ejemplo 21. Ecuación polinómica de segundo grado. Método de Cardano - Vieta (coeficiente negativo).

Ejemplo 22. Ecuación polinómica de segundo grado. Método de Cardano - Vieta (no funciona el método).

Ejemplo 23. Ecuación polinómica de grado superior. Método de Ruffini.

Ejemplo 24. Ecuación polinómica de grado superior. Ecuación bicuadrática.

Ejemplo 25. Ecuación racional con solución única.

Ejemplo 26. Ecuación racional con infinitas soluciones.

Ejemplo 27. Ecuación racional sin solución.

Ejemplo 28. Ecuación racional con infinitas soluciones.

Ejemplo 29. Ecuación racional con algunas soluciones que no sirven.

Ejemplo 30. Ecuación irracional.

Ejemplo 31. Ecuación irracional con soluciones que no sirven.

Ejemplo 32. Ecuación irracional con dos soluciones.

Ejemplo 33. Ecuación irracional interesante, resuelta de 3 formas distintas.

Ejemplo 34. Ecuación polinómica de primer gado con valores absolutos.

Ejemplo 35. Ecuación con radicales que se convierte en una ecuación con valores absolutos.