Fundamentos del Láser

Laboratorio De Espectroscopía Atómica y Molecular (LEAM)

Enrique Mejía Ospino

Temario:

1. Introducción• Absorción y emisión estimuladas y

espontáneas• La idea del láser• Esquemas de Bombeo• Propiedades de los haces láser

2. Interacción radiación materia• Teoría del cuerpo negro• Absorción y emisión estimuladas• Emisión espontánea• Mecanismos de ensanchamiento de línea• Saturación

3. El proceso de bombeo• Bombeo óptico• Bombeo por láseres de diodos• Bombeo eléctrico

4. Resonadores ópticos pasivos• Tipos de resonadores• Valores y modos propios• Tiempo de vida y factor Q de la cavidad• Condición de estabilidad• Resonadores estables• Resonadores inestables

5. Láseres continuos• Ecuaciones de velocidad• Umbral y potencia de salida: láser de 4 niveles• Umbral y potencia de salida: láser de pseudo 3

niveles• Potencia de salida óptima• Razones para oscilación en multimodo• Límite de monocromaticidad• Fluctuaciones en la frecuencia del láser y

estabilización de la frecuencia• Intensidad del ruido y su mejora

6. Láseres pulsados• Oscilaciones de relajación.• Inestabilidades dinámicas y pulsos en láseres• Teoría de Q-switching• Interruptor de ganancia (gain-switching)• mode locking

Bibliografía:

1. J.Michael Hollas: Modern Spectroscopy. Ed. John Wiley & Sons, NJ (2004)

2. M. Mueller: Fundamentals of Quantum Chemistry. Ed. Kluwer AcademicPublishers, New York (2001).

3. P. Misra and M. A. Dubinskii: Ultraviolet Spectroscopy and UV Lasers. Ed. Marcel Dekker Inc, New York (2002).

4. A. Yarin: Quantum electro-optics. 2ª edición. Ed. Wiley & Sons Inc. NY (1975).

5. O. Svelto: Principles of lasers. 4ª edición. Plenum Press, NY (1998).

1. INTRODUCCIÓN

1.1 Absorción y emisión espontánea y estimulada• electrodinámica cuántica: rama de la M.C. que se encarga de los fenómenos no explicables desde el punto de vista clásico

• Los láseres están basados en los procesos que ocurren cuando una onda interacciona con la materia fenómeno no explicable clásicamente.

Emisión espontánea Emisión estimuladaAbsorción

1

2E2

E1

hν

1

2E2

E1

hν

hν

hν

1

2E2

E1

hν

ν = (E2 –E1)/h

Emisión espontánea:

1

2E2

E1

hν2

sp

2 ANdt

dN−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ N2 = población del estado 2

A = coeficiente de Einstein o de emisión espontánea

Emisión estimulada:

1

2E2

E1

hν

hν

hν221 2

sp

dN W Ndt

⎛ ⎞ =−⎜ ⎟⎝ ⎠

W21= probabilidad de transición estimulada

21 21W Fσ=Para una onda incidente plana:

F= flujo de fotones

σ21 = sección eficaz de emisión estimulada

Absorción:

1

2E2

E1

hν1

12 1sp

dN W Ndt

⎛ ⎞ =−⎜ ⎟⎝ ⎠

N1 = población del estado 1

12 12W Fσ= W21= probabilidad de absorción

F= flujo de fotones

σ12 = sección eficaz de absorción

Debe tenerse en cuenta que:

21 12σ σ σ= =Y que por lo tanto σ se denomina sección eficaz de transición

1.2 La idea del láser

dz

F F + dFMaterial con dos niveles de energía, con poblaciones N1 y N2

Sea una onda plana viajando en la dirección z en el material

El cambio en el flujo de fotones será:

( )2 1dF F N N dzσ= −

Luego si N2 > N1, dF/dz > 0 y el material actúa como un amplificador

Para materiales en equilibrio térmico (Boltzmann):

( )2 12

1

expe

e

E ENN kT

⎡ ⎤−= −⎢ ⎥

⎣ ⎦N2 < N1

Es decir, para que exista amplificación es necesario una inversión de población

Además de un material activo, para construir un láser se necesita un resonador (oscilador) se coloca el material activo entre dos superficies altamente reflectantes.

Espejo semiespejo

Material activohaz laser

Para que el fenómeno se perpetúe, las pérdidas en la cavidad deben ser compensadas por la ganancia en el material

Ganancia por paso: l long. del material activo( )2 1exp N N lσ⎡ ⎤− −⎣ ⎦

Si las únicas pérdidas de la cavidad son debidas a transmisión, el umbral se alcanzará cuando la inversión alcance el denominado valor crítico, dado por:

( ) 1 22 1

ln( )2c

R RN Nlσ

− =−

1.3 Esquemas de bombeo

¿Cómo se puede alcanzar la inversión de poblaciones dentro del oscilador?

Sistemas de tres niveles:

Bom

beo

3

2

1

Rápida desexcitación

Láser Bom

beo

3

0

2

1

Rápida desexcitación

Rápida desexcitación

Láser

Sistemas de cuatro niveles:

Bombeo: proceso por el cual la población del nivel fundamental es excitada al estado 3. Existen varias formas de llevar a cabo dicho proceso. E. j. con el empleo de lámparas de flash, descargas eléctricas o reacciones químicas.

2P g

P

dN W Ndt

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

WP = velocidad de bombeo

1.4 Propiedades del haz láser

- Monocromaticidad. Ya que sólo las radiaciones de frecuencia resonante con los niveles de energía del medio son amplificadas, y de éstas sólo las que son resonantes con la longitud de la cavidad se amplifican.

- Coherencia espacial y temporal. Una gran parte del frente de la onda estáen fase, y dicha fase se conserva durante muchas oscilaciones.

- Direccionalidad. Para un láser con coherencia infinita el haz presenta únicamente la divergencia debida a difracción.

λ long. de onda de la radiación

D diámetro del haz.

β coeficiente del orden de la unidad que depende de la distribución de amplitud de la onda.

/d Dθ βλ=

- Brillo. Se define como la potencia por unidad de superficie y por ángulo sólido. Incluso láseres de moderada potencia tienen brillos varios órdenes de magnitud mayores que las fuentes de luz convencionales, debido a la alta direccionalidad del haz (entre otras cosas).

2. INTERACCIÓN RADIACIÓN MATERIA2.1 Resumen de la teoría de cuerpo negro.

Sea una cavidad rellena con un medio isotrópico y dieléctrico, cuyos muros son mantenidos a una temperatura cte T. El cuerpo intercambia energía con el medio en forma de radiación e.m.

En el equilibrio las velocidades de absorción y emisión se igualan.

Si ρ es la densidad de energía por unidad de volumen:

2 21 1( ) ( )2 2

E t H tρ µ= +ЄE(t) campo eléctricoH(t) campo magnético

cte dieléctrica; µ permeabilidad magnéticaЄ

La distribución espectral de la energía, ρν es función de la frecuencia ν. Se demuestra que ρν es una función universal, independiente de la naturaleza de los muros y de laforma de la cavidad, cuya forma depende únicamente de ν y T.

Se demuestra que para una cavidad como la de la figura, se llega a soluciones del tipo:

2 2 22 2, , 2 2

l m ncl m n a a Lω

π π π⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

y x

z

2a

2a

L

0 sin( )A A tω φ= + A0, φ, ctes arbritrarias

Frecuenciadel modo

m, l, n son enteros positivos arbitrarios.

Es decir, que las frecuencias de los modos resonantes dentro de la cavidad dependen de las dimensiones de la cavidad.

El número de modos resonando en la cavidad con frecuencias entre 0 y ν es:

3

3

83

N Vcνπν

= V: volumen de la cavidad

Y el número total de modos por unidad de volumen y por rango de frecuencias es:

2

31

( )8

pV

dNd c

νπν

ν= =

La densidad de energía ρν se obtiene entonces multiplicando el número de modos por unidad de volumen y rango de frecuencias p(ν) por la energía promedio de cada modo. Se demuestra que la solución es:

Rayleigh-Jeans2

3

8 kTcνπνρ

⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠

De esta fórmula se deriva que la energía total es infinita. Para corregirla, es necesario introducir la teoría de los cuantos (Plank), que asume que la energía de un modo es:

E nhν=

Es decir, que el intercambio de energía entre el interior de la cavidad y las paredes se realiza en cuantos de luz o fotones. Introduciendo esta hipótesis en la ec. de R.-J.

2

3

8exp( / ) 1

hkTc h kTνπν νρ

ν⎛ ⎞

=⎜ ⎟ −⎝ ⎠h ≅ 6.62 x 10-34 J s

2.2 Absorción y emisión estimulada

Haciendo uso de un tratamiento semiclásico es posible llegar a determinar los coeficientes de absorción y emisión estimulada. Para un sistema cuantizado de dos niveles:

( )212 212 23

Wnπ µ ρδ ω= ∆0Є

0 /I c nρ=O, sabiendo que la intensidad de la radiación incidente es:

( )212 212

03W I

n cπ µ δ ω= ∆0Є

µ21 momento dipolar de la transición

δ(∆ω) hace referencia a que sólo cuando la radiación incidente es resonante con la diferencia de energía entre niveles electrónicos puede existir absorción. Esta δdesaparece si se considera que la onda em no está en fase infinitamente. Por ejemplo, para un gas, la onda sólo está en fase entre colisiones.

*21 2 1e u ru dVµ = ∫

τEste efecto se puede introducir en las ecuaciones suponiendo que entre dos colisiones se produce un salto en la fase del campo eléctrico de la onda em.

Bajo estas circunstancias, el átomo no ve una onda monocromática. Si:

' 'wd dρ ρ ω=Es la densidad de energía de la onda en el intervalo ω’, ω’ + dω’

212 21 ' 02

0

( ' ) '3

W dn c ωπ µ ρ δ ω ω ω

+∞

−∞= −∫

0Є

Donde ρω’ es proporcional al espectro de Fourier de la onda incidente de la figura.

' ( ' )gωρ ρ ω ω= − 22 2

2

1( ' )1 ( ' )

TgT

ω ωπ ω ω

− =⎡ ⎤+ −⎣ ⎦

T2 tiempo promedio entre dos colisiones.

( )212 212

03W Ig

n cπ µ ω= ∆0Є

Una vez definido W, se puede obtener la sección eficaz de transición:

/F I ω=/W Fσ =

Sustituyendo el valor de F y W

( )2

03 tgn cπσ µ ω ω= ∆0Є

σ es un parámetro muy importante para la transición. Su sentido físico es que si un fotón entra en dicho área alrededor de un átomo, es inmediatamente absorbido. Supongamos una onda interaccionando con un material con todos los átomos en el nivel electrónico fundamental (N2 = 0, N1 = Nt), y que la sección eficaz de los átomos esσa

tdF N Fdzσ= −

Si la sección de la onda entrante en el material es S, el número de átomos en dz del material interaccionando con la onda es: por lo que la sección eficaz de absorción total será: y el cambio fraccional en el flujo de fotones:

tN Sdza tN Sdzσ

a tN FdzdFF S

σ−=

S

σaS

Es decir, que la sección eficaz da una idea de la sección de la onda que es absorbida por los átomos del material.

Habitualmente se define α como el coeficiente de absorción del material

( )21 2 1 2

0

( ) ( )3 tN N N N gn cπα σ µ ω ω= − = − ∆0Є

Es decir, que depende de la población de los dos niveles, por lo que no es el parámetro más adecuado para describir un sistema que evoluciona con el tiempo, como por ejemplo un láser. Sin embargo, es útil en cuanto se puede medir experimentalmente, ya que:

dF Fdzα= −

Si N2 > N1, el coeficiente de absorción α se convierte en el coeficiente de ganancia y se suele representar por g = -α.

En resumen:

• Se han introducido tres coeficientes para describir las transiciones: W, σ y α, que representan tres modos de describir los procesos de absorción y emisión estimulados.

• W es la constante de velocidad de la transición y se obtiene directamente de cálculos mecanocuánticos.

• σ es la sección eficaz de la transición y depende únicamente de las propiedades de un material dado.

• α es el coeficiente de absorción y puede determinarse experimentalmente de manera sencilla.

2.3 Emisión espontánea

La teoría semiclásica no es capaz de explicar el fenómeno de la emisión espontánea. Es necesario introducir un tratamiento basado en la electrodinámica cuántica, o realizar el tratamiento termodinámico de Einstein.

Aplicando dichos tratamientos se obtiene la siguiente expresión para los coeficientes A y B de Einstein:

2

2 23B

nπ µ

=0Є

230

303

nA

cω µπ

=0Є

Siendo:0W B ωρ=

1/sp Aτ =Nótese además que el tiempo de emisión espontánea de un nivel es:

Hasta aquí el caso de átomos aislados, pero en la práctica los átomos se verán rodeados por muchos otros átomos. En este caso, pueden tener lugar los fenómenos de confinamiento de la radiación, superradianza, superfluorescencia y emisión espontánea amplificada

-Confinamiento de la radiación:• se produce cuando la población del estado excitado es pequeña y existe una alta densidad de átomos. • Un fotón emitido por un átomo en vez de escapar del medio, se ve absorbido y reemitido varias veces por distintos átomos. •El resultado es una disminución de la velocidad de emisión espontánea. C

-Superradianza y superfluorescencia:• si la población del estado excitado es mayor que la del fundamental se produce un efecto cooperativo en el cual la emisión de un átomo influencia la de los demás. • Existe un umbral para la existencia del proceso• la longitud del material activo debe ser menor que cierta longitud característica cuyo valor depende de la inversión inicial de población • la evolución temporal de la emisión no es ya una exponencial, sino que adopta forma de campana, cuya duración puede ser mucho menor que τsp. • Para un material con forma de cilindro, la emisión tiene lugar con un ángulo correspondiente al ángulo de difracción. • El pico de la emisión varía con N2 (N es la inversión inicial) en vez de con N.• La diferencia entre ambos procesos está relacionada con la preparación de la inversión de poblaciones. En la superradianza inicialmente los momentos dipolares de todos los átomos están orientados, mientras que en la superfluorescencia están desordenados.

No debe confundirse estos dos fenómenos con el comportamiento de ciertos láseres de alta ganancia, como el de N2 o de excímeros.

• La longitud del material activo es mucho mayor que la longitud crítica.• La emisión se produce con un ángulo Ω que no corresponde con el ángulo de difracción, sino que atiende a consideraciones geométricas.

•La intensidad máxima de la emisión no es proporcional a N2.

2 2

24D n

lπ

Ω =

2.4 Mecanismos de ensanchamiento de línea

Existen varios mecanismos que afectan el comportamiento de g(∆ω), que se dividen en ensanchamientos homogéneos e inomogéneos.

Se denomina homogéneo al mecanismo que ensancha la línea de cada átomo individual, y por extensión la línea de todo el sistema, de la misma forma.

Se denomina inhomogéneo al mecanismo que desplaza la línea de emisión de los átomos dentro de un intervalo, dando lugar a una emisión del sistema ancha, sin ensanchar la línea de cada átomo.

Mecanismos de ensanchamiento homogéneo

Ensanchamiento por colisiones

En un gas es debido a las colisiones de los átomos entre si, con iones, electrones libres o incluso las paredes del resonador. En un sólido es debido a la interacción de los átomos con la red.

El efecto es similar a una pérdida de coherencia de la radiación.

Resultan en una línea Lorentziana cuya anchura depende del tiempo entre colisiones.

0 2 / cω τ∆ =

Debido a la colisión, el átomo se ve sometido a un potencial, que puede ser atractivo o repulsivo, que perturba la energía de los niveles 1 y 2 entre los que se produce la emisión. El cambio en frecuencia será:

2 10

( ) ( )( ) E R E Rtω ∆ −∆∆ =

∆τc

El efecto es equivalente a un cambio en la frecuencia de la radiación em durante el tiempo de la colisión.

c cτ τ∆ <<

El tiempo entre colisiones es inversamente proporcional a la presión del gas

No debe confundirse el ensanchamiento debido a colisiones (colisiones elásticas o inelásticas) con los procesos no radiantes debidos a colisiones (colisiones inelásticas únicamente).

Normalmente, en un gas se produce un ensanchamiento debido a colisiones de aprox. 1 MHz/Torr

Anchura natural de línea

Es debido al propio mecanismo de emisión espontánea

Como los átomos emiten de acuerdo con exp(-t/τsp), su espectro de Fourier cubre un rango de frecuencias de 1/τsp.

La anchura natural de línea está siempre presente, pero es normalmente menos importante que otros mecanismos. Por ejemplo, para una línea permitida con un tiempo de vida de 10 ns, el ensanchamiento es aprox. 20 MHz.

Mecanismos de ensanchamiento inhomogéneo

Afectan a la emisión del sistema pero no a la de los átomos individualmente. Generalmente resulta en líneas con forma gausiana. Por ejemplo, el ensanchamiento Doppler.

El ensanchamiento del efecto Doppler es:1/ 2

*0 0 2

22 ln 2kTMc

ω ω ⎛ ⎞∆ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

Por ejemplo, para el Ne a 300 K, el ensanchamiento Doppler es aprox. 1.7 GHz.

3. El proceso de bombeo

• El bombeo es el proceso por el cual los átomos son elevados desde el nivel 1 (0) al nivel 3.

• Los modos de bombeo más habituales son el óptico y el eléctrico, aunque hay otros, como el químico o la expansión gaseosa.

• El bombeo óptico es empleado comúnmente para láseres de estado sólido y líquido, donde la interacción con el medio da lugar a líneas con un gran ensanchamiento, por lo que se habla más de bandas que de líneas, que pueden absorber una gran proporción de la luz emitida por la fuente de bombeo (una lámpara de flash o un láser de diodos habitualmente).

• El bombeo eléctrico se realiza con una descarga eléctrica de alta intensidad y es comúnmente empleado en láseres de gas o de semiconductor.

A continuación derivaremos las expresiones de Wp para ambos tipos de bombeo

3.1 Bombeo óptico por lámparas de flash

Existen dos casos generales:

• láseres pulsados. Se emplean lámparas de Xe o Kr de media/alta presión /450-1500 Torr). La energía se almacena en unos condensadores que se descargan en las lámparas, tras recibir una señal de disparo (trigger) de alto voltaje. Las lámparas producen un destello que dura desde unos µs hasta unos cientos de µs.

• láseres contínuos. Se emplean lámparas de alta presión de Kr (4000-8000 Torr) o de ioduro de tungsteno.

En ambos casos el material activo suele tener forma de barra

Ejemplos de configuraciones:

La barra está rodeada por una única lámpara de forma helicoidal y todo el conjunto está encerrado en una superficie reflectante (cladding)

Sistema empleado para el primer láser de rubí

La lámpara es cilíndrica y aprox. de la misma long. que la barra de material activo. El cladding es elíptico y barra y lámpara están situadas en los focos.

Barra y lámpara se encuentran situadas muy próximas y están rodeadas de una superficie reflectante cilíndrica. Esta configuración no es mucho menos eficiente que la elíptica, pero si más uniforme.

También es posible emplear dos lámparas de flash en configuración de sandwich, que dan menor eficiencia pero una energía total de salida mayor. Se emplean por tanto para bombeo de sistemas de alta energía.

En sistemas de alta energía se emplean configuraciones con múltiples lámparas, cada una de las cuales está centrada en la línea focal de un cilindro reflectante parabólico para asegurar una iluminación uniforme. En la figura el láser oscila entre las caras en zigzag, promediando la birrefringencia y la focalización térmica inducida en el medio por la luz de bombeo. Estas configuraciones dan lugar a láseres con una alta calidad de haz.

La configuración (b) tiene la ventaja de conseguir una dimensión transversal del medio muy alta (láseres con gran sección) y que las placas de material activo pueden ser individualmente refrigeradas.

A veces se emplea para hacer el cladding MgO comprimido, BaSO4 o recubrimientos cerámicos, que aunque reducen la cantidad de energía que llega a la barra, hacen un bombeo más uniforme.

La eficiencia total del sistema se puede dividir en tres contribuciones:

→ Eficiencia de transferencia, ηt. Se define como la relación entre la energía de bombeo que alcanza la barra y la emitida por la lámpara.

→Eficiencia de emisión de la lámpara, ηr. Da la eficacia con la que la lámpara convierte la energía eléctrica de entrada en luz en el rango de longitudes de onda donde absorbe el material activo (ej. 300 – 900 nm en el Nd/YAG.)

R, radio de la lámpara, l longitud y Iλ su intensidad espectral y P es la potencia eléctrica con que se alimenta la lámpara.

→Eficiencia de bombeo cuántico, ηq. Da cuenta de que no todos los átomos bombeados al estado excitado decaen al estado láser superior. Se define como el cociente entre el número de átomos que alcanzan el nivel láser superior y el número de átomos bombeados. En una cantidad que depende de la long. de ondautilizada.

2

1

(2 )r

Rl I d

P

λ

λλπ λ

η =∫

3.2 Bombeo por láseres de diodosCuatro tipos de láseres de diodos para bombeo (de más a menos potencia): banda única, array de diodos, barra de diodo y apilamiento de barras.Láser semiconductor de banda única:

• potencias de < 100 mW

• son láseres guiados por índice

• la emisión se confina en una tira de 3-5 µm

• El haz emitido es elíptico, de 1µm alto y 3-6 µm ancho

• El haz es espacialmente coherente (limitado por difracción) y muy divergente (20º en el plano perpendicular y 5º en el paralelo))

Array de diodos:

• aprox. 2 W.

• son conjuntos de emisores fabricados sobre el mismo sustrato

• normalmente contienen 20 emisores de 5µm separados 10 µm

•El haz emitido es elíptico, de 1 µm alto y 200 µm ancho

•El haz no es coherente (limitado por difracción) y con la misma divergencia que para un único emisor.

Barra de diodos:

• Son arrays de diodos repetidos en serie sobre el mismo sustrato.

• En la figura se muestra una configuración de 20 arrays espaciados 400 µm y de 100 µm de longitud, conteniendo 10 emisores cada array.

• La longitud de la barra está limitada únicamente por la tecnología de fabricación.

• No existe correlación de fase entre los emisores.

• Se obtienen potencias de 10 - 20 W.

Apilamiento de barras:

• Son conjuntos de barras, montadas juntas formando una estructura en 2D.

• En la figura se muestra una configuración de 20 arrays espaciados 400 µm y de 100 µm de longitud, conteniendo 10 emisores cada array.

• La longitud de la barra está limitada únicamente por la tecnología de fabricación.

• No existe correlación de fase entre los emisores.

• Se obtienen potencias de hasta 120 W.

Una ventaja del bombeo con diodos es que emiten en líneas de aprox. 2 nm de ancho, mientras que el Nd/YAG absorbe en una línea de 2 nm de ancho en 808 nm.

Para mantener la anchura de línea estable y la long. de onda de emisión, los diodos son estabilizados térmicamente mediante un refrigerador termoeléctrico (baja potencia) o mediante refrigerante líquido (alta potencia).

Dos tipos de bombeo: longitudinal y transversal

Bombeo Longitudinal

El haz de bombeo es concentrado en un spot muy pequeño (0,1 – 1 mm).

Se intenta circularizar el haz para producir un bombeo lo más uniforme posible.

Se pueden lograr eficiencias óptica-óptica del 50% en el bombeo

Bombeo Transversal

El medio activo puede tener forma de barra o de placa.

Se emplean arrays de diodos acoplados a fibra óptica

Es facil alcanzar rendimientos del 22%, y es posible llegar al 80% en configuraciones más complejas

La iluminación de la barra es muy uniforme.

3.3 Bombeo eléctrico

Se emplea fundamentalmente para láseres de gas y de semiconductor.

El bombeo se consigue haciendo pasar una corriente por el gas se producen iones y electrones libres que son acelerados por el campo eléctrico y excitan el material activo mediante colisiones.

Dos tipos de proceso para la excitación:

• Para un gas compuesto de una única especie (colisión de primera clase):

• Para un gas compuesto la excitación puede producirse además como consecuencia de las colisiones entre los diversos componentes, si la diferencia entre sus niveles resonantes es menor que kT (colisión de segunda clase):

e + X X* + e

A* + B A + B* + ∆E

Si el estado excitado de A es metaestable, de este modo cada colisión da lugar a una inversión de poblaciones.

4. RESONADORES ÓPTICOS PASIVOS

Definimos resonador óptico pasivo como una cavidad consistente en superficies reflectantes y que contiene un medio dieléctrico homogéneo, isotrópico y pasivo.

Se definen los modos de un resonador como las configuraciones estacionarias de un campo e.m. que cumplen las ecuaciones de Maxwell y las condiciones de contorno

0E(r, ) u(r) exp( )t E i tω=

donde ω/2π es la frecuencia del modo

En un láser, el resonador es abierto y sus dimensiones son generalmente mucho mayores que la longitud de onda del láser.

Formalmente, la ecuación que describe los modos no se puede aplicar a un resonador abierto y tampoco existen modos estacionarios estrictos, aunque sí es posible encontrar modos con pérdidas por difracción muy pequeñas.

Nueva definición de modo:

( )0E(r, ) u(r) exp / 2 ct E t i tτ ω⎡ ⎤= − +⎣ ⎦

4.1 Tipos de resonadores

Resonador plano-paralelo o Fabry-Perot

Consiste en dos espejos planos paralelos.

En primera aproximación, los modos son la superposición de dos ondas planas propagándose en sentidos opuestos a lo largo del eje de la cavidad

Las frecuencias resonantes deben cumplir:

2cnL

ν ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

( / 2)L n λ=

Por lo tanto, la diferencia de frecuencia entre dos modos longitudinales consecutivos es:

2cnL

ν∆ =

Resonador concéntrico o esférico

Consiste en dos espejos esféricos con el mismo radio R separados por una distancia L, tal que los radios de curvatura de ambos espejos C1 y C2 coincidan (L =2R)

En primera aproximación, los modos son la superposición de dos ondas esféricas originadas en el punto C, propagándose en sentidos opuestos a lo largo del eje de la cavidad

Al igual que para el caso del resonador plano-paralelo, la frecuencia de los modos es:

2cnL

ν ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Por lo tanto, la diferencia de frecuencia entre dos modos longitudinales consecutivos es:

2cnL

ν∆ =

Resonador confocal o esférico

Consiste en dos espejos esféricos con el mismo radio R separados por una distancia L, tal que los focos de los dos espejos, F1 y F2 son coincidentes.

El radio de curvatura de los espejos cae sobre la superficie del otro espejo (L=R)

Las frecuencias de los modos no son fácilmente obtenibles en base a simples consideraciones geométricas.

Resonador concéntrico generalizado

Es un resonador formado por dos espejos esféricos de radio R separados por una distancia L, tal que R < L < 2R.

Las frecuencias de los modos no son fácilmente obtenibles en base a simples consideraciones geométricas.

Se dividen en estables e inestables

Un resonador es inestable si los rayos divergen

Resonador en anillo

Es un ejemplo particular de resonador en que el camino de los rayos es circular o adopta geometrías más complicadas.

Las frecuencias de los modos de vibración se obtienen imponiendo la condición de que el desplazamiento total de fase a lo largo del camino óptico debe ser 2π.

P

cnL

ν =

Los resonadores en anillo pueden ser estables o inestables.

Se puede introducir un dispositivo para hacer que el camino sea unidireccional.

4.2 Valores y modos propios.

Consideremos el resonador de la figura. Un rayo originado en el espejo 1 describirá la misma trayectoria que en la figura b.

Sea la amplitud del campo complejo del haz en un punto de coordinadas x1 e y1 en el diafragma 1

1 1( , ,0)E x y

Es posible conocer conocidos y el resto de los elementos del camino óptico

1 1( , ,0)E x y1 1( , , 2 )E x y L

Empleando la ecuación de propagación de Huygens-Fresnel se obtiene la siguiente solución:

1 1 1 1 1 1( , ,0) K( , ; , ) ( , ,0)E x y x y x y E x y dx dyσ = ∫∫(ecuación integral homogénea de Fredholm) (funciones propias)

( , ,0)lmE x y

lmσ amplitud del campo

El cuadrado de los valores propios dan la pérdida por difracción en la intensidad del haz para cada vuelta completa al resonador. Por definición su valor es menor que 1.

Se define la pérdida fraccional debida a difracción como:

21lm lmγ σ= −

y el desfase por vuelta completa como:

2lm lmkLφ φ∆ = +

2 2lmkL nφ π+ = −Si el campo es autoreproducible:

2 nφ π∆ = −

Sabiendo que las frecuencias de resonancia de la cavidad serán:2 /k cπν=

2 2lm

lmnc nL

φνπ

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

4.3 Tiempo de vida del fotón y factor Q de la cavidad

Considérese un modo de una cavidad que, además de pérdidas por difracción presenta otro tipo de pérdidas.

Cuál es la velocidad de pérdida de energía en un modo dado?

Sea I0 la intensidad inicial correspondiente a una amplitud , R1 y R2 las reflectividades de los dos espejos y Ti la pérdida interna fraccional por paso debida a difracción y otro tipo de fuentes internas. La intensidad I(t1) en el punto x1, y1 a tiempo t1=2L/c tras una vuelta a la cavidad es:

1 1( , ,0)E x y

21 1 2 0( ) (1 )iI t R R T I= −

tras m pasos, la intensidad será:2

1 2 0( ) (1 )m

m iI t R R T I⎡ ⎤= −⎣ ⎦2

mmLtc

=

O lo que es lo mismo, transformado en número de fotones:

21 2 0( ) (1 )

m

m it R R Tφ φ⎡ ⎤= −⎣ ⎦

Como además:

0( ) [exp( / )]m m ct tφ τ φ= −

igualando queda:2

1 2exp( 2 / ) (1 )m

c imL c R R Tτ ⎡ ⎤− = −⎣ ⎦

21 2

2ln[ (1 ) ]c

i

Lc R R T

τ = −− tiempo de vida de la cavidad

Luego para cualquier momento:

0( ) [exp( / )]ct tφ τ φ≅ −

Se demuestra además que:/c T

Lc

τ τ γγ

= =

es decir, que el tiempo de vida de la cavidad es el tiempo de tránsito del láser entre la pérdida interna logarítmica de la cavidad.

El resultado anterior implica que el espectro de potencias de la luz emitida tiene un perfil Lorentziano, con FWHM:

12c

c

νπτ

∆ =

Del tiempo de vida de la cavidad, se deriva el factor de calidad de la cavidad (Q-factor). Se define como:

2 (energía almacenada)/(energía perdida por ciclo)Q π= ×

Q alto pérdidas pequeñas en el resonador

Además, se demuestra que:

c

Q νν

=∆

Por tanto, el factor Q está además relacionado con la anchura de línea.

4.4 Condición de estabilidad

Un viaje del rayo da:

1 0''

01

r rA BrC Dr

=

Un nuevo viaje daría por tanto: Luego para n caminos:

0''

0

nn

n

r rA BrC Dr

=2

2 1 0'' '

02 1

r r rA B A BrC D C Dr r

= =

Por consiguiente, para que un resonador sea estable, es necesario que para cualquier punto inicial, el punto donde llega el rayo después de n rebotes no diverja con el número de rebotes que la matriz ABCD no diverja con n.Por teoría de matrices, si definimos un ángulo tal que:

cos ( ) / 2A Dθ = +Se cumple:

sin n sin(n 1) sin n1sin n sin n sin(n 1)sin

nA B A BC D C A

θ θ θθ θ θθ

− −=

− −

Por lo tanto, la matriz no diverge si θ es una cantidad real, lo cual se cumple si:

1 12

A D+⎛ ⎞− < <⎜ ⎟⎝ ⎠

que es la condición de estabilidad para un resonador generalizado. Para el caso de un resonador formado por dos espejos se puede calcular el valor de la matriz. Se demuestra que:

1 2

2 1 1 12

A D L LR R

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+= − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Normalmente se definen dos cantidades adimensionales para la cavidad, denominados parámetros g1 y g2:

11

22

1

1

LgR

LgR

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

= − ⎜ ⎟⎝ ⎠

Con lo que la condición de estabilidad pasa a ser:

1 20 1g g< <

Zona sombreada regiones estables

Los puntos A, B y C de la figura corresponden a resonadores concéntricos, confocales y planos respectivamente.

Para g1g2=0 y g1g2=1 sólo ciertos rayos (ej. perpendiculares a los espejos) son estables se denominan resonadores marginalmente estables.

4.5 Resonadores estables

Para simplificar el análisis, primero se considera un resonador con una apertura infinita, para luego incluir los efectos de una apertura finita.

Resonador con apertura infinita

Asumimos a1, a2 = ∞

Además, el campo debe ser igual a sí mismo tras una vuelta completa al resonador.

2 2 2 21 1 1 1

1 1

1 1 1 1

( ) ( ) (2 2 )( , , 2 ) exp( 2 ) exp2

( , ,0)

A x y D x y x x y yjE x y L jkL jkB B

E x y dx dy

λ+∞ +∞

−∞ −∞

⎡ ⎤+ + + − +⎛ ⎞= − −⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

×

∫ ∫

Lo que resulta en un propagador de la forma:

2 2 2 21 1 1 1( ) ( ) (2 2 )exp

2A x y D x y x x y yjK jk

B Bλ⎡ ⎤+ + + − +⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎣ ⎦

La solución de orden más bajo con forma de gaussiana del propagador es:

2 2 2 20

2( , , ) exp exp exp2

w x y x yu x y z jk jw w R

φ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +

= − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( , , ) ( , , ) exp[ ]E x y z u x y z jkz= −

y las de órdenes superiores:1

2 2

1

1 2 2( , , ) exp[ ( ) / 2 ]( / )

l m

l mx yu x y z H H jk x y q

A B q w w

+ + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤= − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

si tras una vuelta q = q1

Aq BqCq D

+=

+2 ( ) 0Cq D A q B+ − − =

2( ) 4 0D A BCcomo q es un número complejo: − + <

Sin embargo, como AD-BC =1, se obtiene que es decir, que sólo para resonadores estables la solución es gausiana. Dicho de otro modo, la solución de un resonador estable con apertura infinita es gausiana.

2( ) 4D A+ <

Para calcular los modos propios, se sustituyen los espejos curvos por una combinación de espejo plano más una lente. Aplicando álgebra matricial y las condiciones de estabilidad se llega a la conclusión de que la superficie de equifase en el espejo de una cavidad coincide con la superficie del espejo.

Se demuestra además que el tamaño del spot del láser viene dado por la expresión:

1/ 41/ 2

01

4(1 )L gw

gλπ

⎛ ⎞+⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Se demuestra que las frecuencias de resonancia vienen dados por la siguiente expresión:

11 1

(1 ) cos ( )2lmnc l mn A DL

νπ

−+ +⎡ ⎤= + ±⎢ ⎥⎣ ⎦

Por ejemplo, para un resonador confocal simétrico (g1 = g2 = 0) y para uno plano:

[ ]2 (1 )4lmnc n l mL

ν = + + +Modos con mismo valor de 2n+l+m tienen la misma frecuencia de resonancia, aunque corresponden a distribuciones espaciales distintas.

c/4L corresponde a la distancia entre dos modos transversales consecutivos

la distancia entre dos modos longitudinales es c/2L

1/ 2(1 ) 24lmnc l m LnL R

νπ

⎡ ⎤+ + ⎛ ⎞= +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

El espaciado entre dos modos longitudinales consecutivos es c/2L mientras que para dos modos transversales consecutivos es (c/2L)(2L/π2R)1/2

El campo dentro del resonador se puede escribir como:

[ ]

2 20

2

2 2

2 2( , , ) exp

exp (1 )

exp[ ( ) / 2 ]

lmn l mw x y x yE x y z H Hw w w w

jkz j l m

jk x y R

φ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦× − + + + ×

× − +

donde se indica explícitamente que el campo del modo propio depende de los índices l, m y n. l y m dan lugar a nodos en el spot, mientras que n da la proporcionalidad entre el periodo del modo y la longitud del resonador.

Dependiendo del comportamiento temporal del modo, corresponderá con una onda estacionaria o con una onda viajando a lo largo del resonador. De acuerdo con la aproximación escalar:

exp( )E E j tω=Para el modo TEM00:

exp [ ]E j kz tφ ω∝ − + +

Lo que corresponde a una onda propagándose en la dirección positiva del eje z del resonador. La onda viajando en la dirección negativa, se obtiene introduciendo un signo – en la exponencial. Por tanto, para una onda estacionaria:

cosE E tω=

Efectos de una apertura finita

Al introducir una apertura finita, aparecen pérdidas por difracción.

La forma del spot deja de ser gausiana.

La ecuación del resonador pasa a ser:

1 1 1 1 1 1( , ,0) K( , ; , ) ( , ,0)a a

a a

E x y x y x y E x y dx dyσ+ +

− −

= ∫ ∫Como las integrales no se extienden ahora entre -∞ y +∞ la solución deja de ser el producto de un polinomio hermítico por una gausiana se emplean procedimientos iterativos para su cálculo.

Las pérdidas por difracción no son iguales para todos los modos se puede seleccionar el TEM00 insertando en el resonador una apertura de tamaño adecuado.

Para tamaños de spot grande, el resonador debe operar cerca de g=±1.

Los resonadores planos construidos muy cerca de las condiciones límite son muy sensibles a inestabilidades

Resonadores dinámica y mecánicamente estables

Problema: cómo incrementar el tamaño del spot en un resonador estable para que cubra todo el medio activo?

1/ 41/ 2

01

4(1 )L gw

gλπ

⎛ ⎞+⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Para incrementar el tamaño del spot es necesario construir el resonador con valores de g próximos a ±1

La cavidad se vuelve muy sensible a perturbaciones (bombeo, térmicas, vibraciones, … etc)

Para diseñar un sistema estable y con un spot grande se emplea el esquema de la figura:

El poder dióptrico de la lente es proporcional a la pot. de bombeo

Condiciones de diseño:

• El tamaño del spot en el medio activo debe ser insensible a la potencia dióptrica de la lente (resonador dinámicamente estable):

• El spot debe ser comparable en tamaño al medio activo:

0(1/ )

adwd f

=

2 aa wπ≅

Hay dos zonas que satisfacen la primera condición, correspondientes a valores mínimos de wa.

Entre las dos zonas, el haz diverge

La anchura de las dos zonas es igual. Se cumple:

2

(1/ ) 2amw fπλ

∆ =

La condición de estabilidad puede escribirse simplemente como:

teniendo en cuenta que A1 y D1 son funciones lineales de 1/f.

La potencia dióptrica de un medio activo puede escribirse como:

1 10 1A D≤ ≤

2

1a

k Pf aπ=

Lo que permite determinar el rango de potencia absorbida por el material aceptable para cada zona de estabilidad.

Pot. Absorbida por el medio activo

θ=λ/πwm

4.6 Resonadores inestables

Dos tipos de resonadores inestables: rama positiva y rama negativa.

Ofrecen la ventaja de dar spots de mayor tamaño, si se consigue aprovechar las pérdidas por divergencias como la salida del resonador.Recordatorio. Conclusiones derivadas de que un resonador sea estable:

1. La amplitud viene dada por el producto de un polinomio de Hermite por una gausiana.

• La gausiana limita la anchura transversal del haz.

• Nace de las propiedades de enfoque del resonador esférico estable.

2. La distribución de fase da un frente de onda esférico.

• Es debido a las condiciones de contorno fijadas por los espejos esféricos

Para resonadores inestables no existen soluciones Hermite-gausianas ya que el haz no es focalizado sobre el eje del resonador el haz se expande ocupando todo el volumen. En primera aproximación, la solución tiene amplitud constate en todo el resonador y el frente de onda es esférico.

Descripción geométrica:

Se considera el sistema de la figura

Se aplica el argumento de autoconsistencia: tras una reflexión en 2, la onda esférica originada en P1 debe producir una onda esférica originada en P2 y viceversa.

1 1 1/ 21 1 1 2 1

1 1 1/ 22 2 1 2 2

[1 ( ) ] 1

[1 ( ) ] 1

r g g g g

r g g g g

− −

− −

= − + −

= − + −

Se define el factor de magnificación M12 como el aumento en el spot al ir del espejo 1 al 2

112

1

221

2

(1 )

(1 )

rMr

rMr

−=

−=

En láseres se emplean resonadores single ended el diámetro de 1 debe ser mayor que la extensión transversal en el espejo de la onda originada en 2.

Sólo las ondas esféricas emitidas por P1 pueden escapar de la cavidad, y lo hacen alrededor del espejo 2.

1 112 21 1 2

1 1/ 21 2 1 2 1 2

(1 )(1 )

(2 1) 2 [1 ( ) ]

M M M r r

g g g g g g

− −

−

= = + +

= − + −

Sabiendo el factor de magnificación es sencillo calcular las pérdidas de la cavidad:

2

2

1MM

γ −=

Resonadores confocales inestables: son un tipo especialmente importante.

Ramanegativa

Ramapositiva

Los modos son la superposición de una onda plana y una esférica, originadas en el foco común.

M = |R1|/|R2|

Para una apertura de 1 suficientemente grande, la onda que escapa de la cavidad es plana, lo que es muy conveniente.

Descripción ondulatoria:

Se debe emplear la ecuación:

1 1 1 1 1 1( , ,0) K( , ; , ) ( , ,0)E x y x y x y E x y dx dyσ = ∫∫El propagador se obtiene mediante un proceso iterativo, teniendo en cuenta que el tamaño del espejo de salida es un factor crítico.

Las resolución de las ecuaciones muestra que también existen modos que son autorreproducibles después de una vuelta completa al resonador.

En la figura, las líneas verticales representan el borde del espejo de salida.

La parte del haz más allá de los bordes del espejo se pierde.

Se observan figuras de difracción en la distribución de intensidades

De la solución de la ecuación anterior se obtiene la conclusión de que existen diferentes modos transversales, al igual que para los resonadores estables. Dichos modos difieren en la posición e intensidad de las figuras de difracción.

En los resonadores inestables no es posible distinguir el orden de los modos por la distribución de intensidades.

El orden más bajo tiene las pérdidas menores.

La tercera conclusión de la resolución de las ecuaciones es que para cada valor entero del número de Fresnel equivalente, un nuevo modo se convierte en el nuevo modo de orden más bajo

221

2eq

aMNLλ

+ −=

221

2eq

aMNLλ

− +=

21γ σ= −

El cambio en el orden de los modos es debido a que a medida que N aumenta, l=1 se contrae, mientras que l=0 se expande.

Para valores de N entre dos enteros se obtiene la diferencia mayor entre modos eligiendo convenientemente N se puede seleccionar un modo determinado.

Ventajas y desventajas de los resonadores inestables de contorno duro:

Ventajas:

• Volumen de los modos grande y controlable.

• Buena discriminación entre modos transversales.

• Sólo óptica reflectiva.

Desventajas:

• Spot feo (en forma de anillo).

• Figuras de difracción en el spot.

• Mayor sensibilidad a perturbaciones en la cavidad.

En resumen:

Los resonadores inestables son útiles para láseres de alta potencia y para regiones donde sea difícil encontrar óptica de transmisión (IR lejano)

Resonadores inestables con espejos de reflectividad variable

Parte de las desventajas de los resonadores inestables pueden solventarse empleando espejos de reflectividad variable.

Ej. Para un recubrimiento gausiano del espejo de salida

La fórmula corresponde a una función plana para :

2 2 2 2 20( ) (0)[exp( 2 / ] exp( 2 / )]out inI r I r w R M r w= − − −

20 1R M = 4

11M

γ ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠

0 exp( / )n nmr wρ ρ= −

5. LÁSERES CONTINUOS

En este capítulo se presentan las ecuaciones de velocidad que permiten describir el comportamiento de los láseres continuos.

Existen tratamientos más precisos (más complejos) como el semiclásico (la materia está cuantizada pero se emplean las ec. de Maxwell para la radiación) o el electrodinámico-cuántico (tanto la materia como la radiación están cuantizadas).

5.1 Ecuaciones de velocidad

Consideraremos dos casos: láseres de 4 niveles y de casi-3 niveles.

Láser de 4 niveles

1 3 0N N≅ ≅

Bom

beo

3

0

2

1

Rápida desexcitación

Rápida desexcitación

LáserNecesitamos sólo las poblaciones de dos estados

Suponemos el láser oscilando en un único modo y denominamos φ al número total de fotones dentro de la cavidad

En primera aproximación se considera que la energía del modo y del bombeo son uniformes en todo el medio activo

2 22

2

p

a

dN NR B Ndt

d V B Ndt

φτ

φ φφτ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

B representa también la velocidad de emisión estimulada por fotón y por modo.

Velocidad de crecimiento del nº de fotones debido a emisión estimulada

No se incluye un término que tenga en cuenta la emisión estimulada, pues esta da lugar al proceso de láser y está por tanto incluido en el umbral de todo el proceso.

Long. óptica del resonadorSe demuestra que:

cBVσ

= ea

LV Vl

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Sección eficaz deabsorción e

cLc

τγ

=

Volumen del modo

Long. del material activo

Recordemos que:

• El resultado anterior sólo es válido para una distribución uniforme de la energía, aunque tratamientos más complejos, dan soluciones similares, al menos para cw.

• Las ecuaciones de velocidad sólo son aplicables al caso de oscilación de un único modo. Para n modos, es necesario plantear 2n ecuaciones diferenciales, para la amplitud y fase de los modos.

• Para el caso de muchos modos oscilando aleatoriamente, en primera aproximación la intensidad total del haz puede tomarse como la suma de las intensidades de cada uno de los modos se considera una única ecuación diferencial para todos los fotones.

• Se ha considerado que la inversión de poblaciones es independiente de la coordenada z el comportamiento del láser debería ser analizado paso-a-paso.

• Las ecuaciones anteriores no son válidas para ensanchamientos inhomogéneos de línea.

Para calcular la energía de salida del láser empleando las ecuaciones anteriores simplemente hay que tener en cuenta que:

1 1( ln(1 ))Tγ = − −( [ln(1 ) ln(1 ))i ia Lγ = − − + −

1 212 2

i

c e e e

c c cL L Lγ γ γ

τ= + +

Sustituyendo:

2 ( )2out

e

cP hLγ ν φ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Láser de pseudo 3 niveles

Bom

beo

3

0

2

1

Rápida desexcitación

Láser

N1

El estado inferior del láser es un subnivel del estado fundamental y se considera en equilibrio térmico.

Del mismo modo, el estado 2 puede ser un subnivel del estado excitado, estando en equilibrio térmico con él.

Consideraremos que la separación energética entre los niveles 0 y 1 es del orden de kTel estado 1 está poblado y puede absorber fotones.

1 2 tN N N+ =

2 22 1

2 1

( )

( )

p e a

a e ac

dN NR B N B Ndt

d V B N B Ndt

φτ

φ φφτ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞ = − − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ee

cBVσ

=

aa

cBVσ

=

o sustituyendo y haciendo:2 1N N f N= − a

e

f σσ

=

( )(1 ) e a tp

c fN NdN R f Ndt V

σ σ φτ

+ += + − −

1a e

c

V cd Ndt V

σφ φτ

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

Se observa que:

• Las ec. de velocidad de fotones para 4 niveles y pseudo 3 niveles son las mismas

• las ecuaciones de inversión son distintas, siendo el término estimulado (σe+σa)/σemayor para el pseudo 3 niveles.

• La potencia de salida es de nuevo

2 ( )2out

e

cP hLγ ν φ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

5.2 Umbral y potencia de salida: láser de 4 niveles

Modelo independiente del espacio

Hasta ahora se ha considerado que el estado 1 se desexcita inmediatamente. Si τ1 tiene un valor finito, debe cumplirse que: . Como la población del estado 2 debe ser mayor que la del estado 1:

1 1 3 21( / ) ( / )N Nτ τ=

1 21τ τ<

Si esta desigualdad no se cumple, el láser sólo puede operar en pulsos más cortos que el tiempo de vida del estado superior.

Si la desigualdad se cumple y el bombeo es suficientemente potente, eventualmente se alcanza una condición de equilibrio.

Para el análisis subsiguiente consideraremos: 1 21τ τ

Para calcular el umbral de inicio del proceso de laseo recuperamos las ecuaciones:

2 22

2

p

a

dN NR B Ndt

d V B Ndt

φτ

φ φφτ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Los primeros fotones de la cavidad son debidos a emisión espontánea. Para que la emisión se perpetúe:

0ddtφ> 1/a cV BN τ>

El proceso se inicia si la población alcanza cierto valor crítico dado por:

1c

a c

NBV l

γτ σ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

y por tanto el bombeo crítico será:

p

cp

Rx

R=c

cpNR

lγ

τ σ τ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

Para el estado estacionario:

La inversión de poblaciones siempre es la del umbral0

1

a c

NBV l

γτ σ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

00 a c p

NV Rφ ττ

⎡ ⎤⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

Ecuaciones que describen el comportamiento de un láser de 4 niveles operando en cw.

Se demuestra que se obtiene la siguiente expresión para la potencia de salida (EE):

2( ) 12

pout b s

th

PP A I

Pγ ⎛ ⎞⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

SecciónDelmodo

shI νστ Int. de saturación

Se define la curva de eficiencia del láser como:

outs

p

dPdP

η = = cte para una configuración dada

Sustituyendo:

2 12

bs

th

A hP

ν γηστ

=

mpth

p

h APνγ

η τ σ⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

2

2b

s pmp

Ahh A

γ νη ηγ ν

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

Y por tanto:

s p c q tη η η η η=

Nd:YAG

CO2

Modelo DEPENDIENTE del espacio

Tanto la distribución de los modos como la velocidad de bombeo son dependientes del espacio El tratamiento se vuelve más complejo, pero aún se pueden emplear algunas fórmulas empleando valores promedio:

cp c

NR

lγ

τ στ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠c

Nlγσ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Por encima del umbral las ganancias deben compensar las pérdidas

0 cl N l Nσ γ σ= =

Para calcular la potencia umbral de bombeo, es necesario definir una distribución espacial del bombeo. Por ejemplo, para una simetría cilíndrica y el TEM00:

22

20

2exp ruw

⎡ ⎤⎛ ⎞= −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

• Spot independiente de z

• anchura de spot igual a su punto más estrecho.

Para un bombeo uniforme (lámpara, eléctrico):

2p

p pmp

PR

a lhη

π ν=

definiendo de nuevo la potencia de bombeo normalizada como:p

mth

Px

P=

2mp

mthp e

h aPνγ π

η τ σ⎛ ⎞⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

definiendo de una potencia de salida normalizada como:out

s

PyP

=

202

2 2s swP Iπγ

=

2

20

2; expln[(1 ) /(1 )]

y axy y w

ββ

⎡ ⎤= = ⎢ ⎥+ + ⎣ ⎦

Es decir, la relación entre la potencia de entrada y la de salida es mucho más compleja

En este caso la pendiente de eficiencia y la eficiencia transversal se definen como:

out ss

mth mth

dP P dydP P dx

η⎛ ⎞⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

Para bombeo por láseres de diodos:

2022t

pw dya dx

η⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

bombeo gausiano

láser de pseudo 3 niveles

5.3 Umbral y potencia de salida: láser de pseudo 3 niveles

Modelo independiente del espacio

El análisis es similar al de un láser de 4 niveles, por lo que sólo presentaremos las conclusiones más destacadas.

• La expresión de la inversión crítica es la misma que para 4 niveles:

• La velocidad de bombeo pasa a ser:

Es decir, que aparece un nuevo término que en condiciones normales es ~ 5 vecesmayor que Nc.

• La potencia umbral de bombeo es ahora:

01

a c

NBV l

γτ σ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

ccp

NRlγ

τ σ τ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠ (1 )

t ccp

fN NRf τ+

=+

mpth

p

h APνγ

η τ σ⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

(1 ) ;p a tth

p e a

h N lB AP Bν σγ

η τ σ σ γ⎛ ⎞⎛ ⎞+

= =⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎝ ⎠⎝ ⎠

• La inversión por encima del umbral es, como para el caso de 4 niveles, igual a la inversión en el umbral.

• el número de fotones por encima del umbral es:

• La potencia de salida en el espejo 2 viene dada por:

• y la curva de eficiencia:

0(1 ) ( 1)b c

e a

A B xγ τφσ σ τ

⎡ ⎤+ ⎛ ⎞= −⎢ ⎥ ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠⎣ ⎦

2(1 ) 12

pbout

e a th

PA B hPP

γνσ σ τ

⎡ ⎤ ⎛ ⎞+ ⎛ ⎞⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎝ ⎠2( ) 1

2p

out b sth

PP A I

Pγ ⎛ ⎞⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

2(1 ) 12

bs

e a th

A B hP

γ νησ σ τ

⎡ ⎤ ⎛ ⎞+ ⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎝ ⎠2

2b

s pp

Ahh A

γ νη ηγ ν

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

Modelo DEPENDIENTE del espacio

Este caso es muy complejo y por tanto, sólo mostraremos los resultados más relevantes para el caso de una distribución gausiana transversal. El truco, de nuevo, consiste en tomar valores medios de las cantidades que varíen con la coordenada transversal.

2

2 2

2 2( , ) exp exp( )pp r t

p p p

P rR r z zh w w

αη η αν π

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ce

Nl

γσ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

( )a t

p ce a

N lRl

σ γσ σ τ

+=

+

2 20( )(1 ) ;

2( )p p a t

thp e a

h w w N lBP Bν π σγ

η τ σ σ γ⎛ ⎞+⎛ ⎞+

= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠

2

2( )mp p

mthp e a

h wP

ν πγη τ σ σ

⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠

202

2 2( )se a

w hP πγ νσ σ τ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠0 c

e

N Nl

γσ

= =

1

0

ln(1 )1

1

yByx

t dtyt

δ

++

=

+∫

20222s p

p p

wh dyh w dx

γ νη ηγ ν

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

202tp

w dyw dx

η =

5.4 Potencia de salida óptima

Para cada velocidad de bombeo, existe un valor de transmitancia del espejo de salida que maximiza la potencia de salida.

La reflectividad de dicho espejo es un compromiso entre la pérdida de fotones (salida láser) y la ganancia del láser.

EJEMPLO: supongamos un láser de 4 niveles y el modelo independiente del espacio.

2( ) 12

pout b s

th

PP A I

Pγ ⎛ ⎞⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠2

0outdPdγ

=fijo

1( / 2)th mthi

p P γγ γ

=+

Se demuestra que se obtiene:

( )21/ 21( ) 1 ;2

pop b s i m m

mth

PP A I x x

Pγγ⎛ ⎞= + − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

5.5 Oscilación en multimodo

Los láseres tienden a oscilar en multimodo, porque habitualmente la separación entre los modos es menor o incluso mucho menor que el perfil de ganancia.

Ej.: L=1m, ∆ν = c/2L=150 MHz, mientras que la anchura láser va desde ~ 1 GHz(anchura doppler) hasta 300 GHz o más (estado sólido) puede haber cientos o miles de modos en una línea láser, con pequeña diferencia de ganancia entre ellos.

5.6 “Frequency pulling” y límite de monocromaticidad

Es posible obtener una frecuencia distinta de la frecuencia central de la cavidad, aprovechando el ensanchamiento de línea

0 0

0

( / ) ( / )(1/ ) (1/ )

c cL

c

ν ν ν ννν ν

∆ + ∆=

∆ + ∆

La anchura de la línea es debida a fluctuaciones en el campo del modo láser, y especialmente en su fase fluctuaciones en la población del medio activo.

La línea de salida es una Lorentziana dada por:

22

2 1

(2 )( )L cL

hNN N P

π ν νν⎛ ⎞ ∆

∆ = ⎜ ⎟−⎝ ⎠

Excepto para láseres de semiconductor, la anchura de línea dada por esta fórmula es despreciable frente a otros factores. Los más importantes son vibraciones (=cambios en la long. de la cavidad) y fluctuaciones térmicas. Es el denominado ruido técnico.

5.7 Fluctuaciones en la frecuencia del láser y estabilización de la frecuencia

Dos tipos de cambios en la frecuencia de los modos:

a) Cambios mantenidos en el tiempo, debidos sobre todo a cambios en la temperatura o en la presión del aire

b) Fluctuaciones instantáneas, debidas a vibraciones, ondas acústicas, cambios en el bombeo o burbujas en el jet de un láser de colorante y cambios en el índice de refracción del material activo en el caso de láseres de estado sólido.

Para reducir las fluctuaciones del punto (a) por debajo de ~ 1MHz es necesario:

• materiales con un coeficiente de expansión bajo para la construcción del resonador (< 1· 10-7 K-1)

• Estabilización de la T ambiente por debajo de 0.01 ºC y encerrar el láser en un ambiente de presión controlada (ej, una campana de flujo laminar)

La reducción de las fluctuaciones instantáneas es todavía más complejo:

• Buenas mesas antivibratorias

• Protección efectiva para todo el camino del láser

• Puede conectarse uno de los espejos a un piezoeléctrico y enviar parte del láser a un discriminador de frecuencias para realizar una corrección activa de la longitud de la cavidad.

5.8 Intensidad del ruido y su mejora

Existen perturbaciones que afectan también a la potencia de salida del láser:

• Láseres de gas: fluctuaciones en la corriente de la fuente de alimentación, inestabilidades en el proceso de descarga, desalineamiento de los espejos debido a vibraciones

• Láseres de colorante: fluctuaciones en la concentración, burbujas… etc.

• Láseres de estado sólido: fluctuaciones en el bombeo y alineamiento pobre de la cavidad.

• Láseres de semiconductor: fluctuaciones en la intensidad de la corriente, en la amplitud debido a emisión espontánea y ruido de recombinación de hueco eléctrico.

Con el tiempo, los daños en la óptica o le desalineamiento de la cavidad también pueden influir en la energía de salida.

Para estimar el ruido de una fuente láser oscilando en un solo modo se emplea la siguiente fórmula:

RIN( ) exp( )ppC j dω ωτ τ+∞

−∞= ∫

Función de autocorrelación de la intensidad

Para reducción activa del ruido se emplea una retroalimentación negativa de la fuente de alimentación (sólo es posible para cierto tipo de láseres).

Para láseres multimodo es mucho más complejo reducir el ruido, ya que cada modo oscila por separado y tiene sus propios ruidos.

6. LÁSERES PULSADOS

La velocidad de bombeo y/o las pérdidas dentro de la cavidad son dependientes del tiempo.

Dos casos:

1. Oscilación en un solo modo: se puede emplear el método de las ecuaciones de velocidad.

2. Casos en que intervienen varios modos. Se necesitan tratamientos en el dominio de las frecuencias o en el dominio de los tiempos.

6.1 Oscilaciones de relajación

Considérese una función de bombeo tipo escalón y que el láser está operando en un solo modo las ecuaciones de velocidad no son lineales y carecen de solución analítica.

La resolución numérica de las ecuaciones se ha realizado para ciertos casos, como el láser de rubí (tres niveles)

Para las pequeñas oscilaciones de t > 14 µs si que es posible obtener soluciones analíticas a las ecuaciones

0

exp ( ' )tC sen tt

δφ ω ϕ⎛ ⎞

= − +⎜ ⎟⎝ ⎠

Fijados por condiciones iniciales

1/ 222

0

1't

ω ω⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

0 0

' exp cos( ' )a

C tN tBV tωδ ω ϕ

φ⎛ ⎞

≅ − +⎜ ⎟⎝ ⎠

02txτ

=1/ 2

( 1)

c

xωτ τ

⎡ ⎤−= ⎢ ⎥⎣ ⎦

6.2 Inestabilidades dinámicas y pulsaciones en láseres

Además de los pulsos obtenidos de las ecuaciones anteriores, existen otras fuentes de inestabilidades que dan lugar a un comportamiento pulsado, incluso en láseres cw.

• En láseres oscilando en monomodo, principalmente son debidas a modulaciones exteriores (vel. de bombeo o pérdidas en la cavidad).

• Si dichas modulaciones son periódicas, dan lugar al máximo ruido cuando su periodo coincide con el periodo de relajación natural del láser.

• Si el láser se hace trabajar muy por encima del umbral y con una anchura de línea (ensanchamiento homogéneo) muy grande, se produce un pulsado caótico.

• Para láseres en multimodo, el cambio de oscilación entre los diversos modos da lugar a una nueva fuente de ruido (dinámica de antifase).

6.3 Teoría de Q-switching

Los láseres cw no pueden exceder la inversión de poblaciones umbral

Incluso para láseres continuos, sólo es posible sobrepasar dicho umbral en una pequeña cantidad

La introducción de un interruptor en la cavidad permite sobrepasar la inversión de poblaciones en una gran cantidad, obteniendo pulsos cortos (tiempo de vida del fotón) de una gran energía (megawatios).

La operación involucra la conmutación del factor Q de la cavidad de bajo a alto

Formas de operación:

Pulsada. El bombeo es un pulso de duración parecida al tiempo de vida del estado láser superior.

Bombeo continuo con Q-switchrepetitivo.

6.4 Interruptor de ganancia (gain switching)

Permite obtener pulsos cortos de mucha intensidad.

Consiste en cambiar la ganancia del láser a un valor muy alto, muy rápidamente

Se consigue empleando un bombeo pulsado extremadamente rápido e intenso se alcanza una gran inversión de poblaciones antes de que comiencen a aparecer fotones en la cavidad.

Pueden alcanzarse inversiones 4-10 veces mayores que el valor umbral.

Para una duración de pulso de bombeo dada, existe una intensidad de pico óptima.

Se pueden obtener láseres de < 1ns, empleando el pulso de bombeo adecuado.

6.5 mode locking

Consideremos un láser cw oscilando en multimodo el haz de salida tiene fluctuaciones en su intensidad debido a las interferencias entre los distintos modos.

El pulso de la figura, tiene las siguientes características de una serie de Fourier:

• La onda es periódica, con τp=1/∆ν

• Cada pulso tiene una duración de ∆τp ≅ 1/∆νL, ∆νL = N∆ν = anchura de banda de la oscilación.

Es posible producir pulsos de ruido cortos (picosegundos) e intensos.

Se denomina láseres mode locked a aquellos en que se consigue mantener una relación constante entre las fases de los modos.