fundamentos de tics unidad 2 cuat 2 2013

;

Giulianelli, Juan Ignacio Giulianelli, Daniel A

Doctorado en Ciencias Economas Universidad Nacional de la Matanza

Departamento: Ingeniera e Investigaciones Tecnolgicas Ctedra:

Fundamentos de TICs (Tecnologas de la Informacin y la Comunicacin)

e-mail: [email protected]

JEFE DE CTEDRA:

Dr. Daniel A. Giulianelli

UNIDAD NRO. 2 INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE

REPRESENTACIN DE LA INFORMACIN

COLABORACIN:

DOCENTES DE LA CTEDRA

CICLO LECTIVO:

2013

Universidad Nacional de la Matanza

Unidad 2. Introduccin a los sistemas de representacin de la informacin

Fundamentos de TICs. 1 Cuat. 2013 Pgina 2 de 91

Unidad 2: Introduccin a los sistemas de representacin de la

informacin

ndice PARTE A. SISTEMAS DE NUMERACIN............................................................... 4

2.A.1. Introduccin ....................................................................................................... 4

2.A.2. Sistemas de Numeracin Posicionales y No Posicionales ................................. 5

2.A.2.1 Caractersticas de un sistema posicional...................................................... 5

2.A.2.2. Valor Absoluto y Relativo .......................................................................... 8

2.A.2.3. Pasaje de una base a base 10....................................................................... 9

2.A.2.4. Base 10 a otra base ................................................................................... 11

Parte entera ......................................................................................................... 11

Parte fraccionaria ................................................................................................ 12

CASO 1: Truncar las cifras fraccionarias ................................................... 12

CASO 2: Parte Fraccionaria llega a cero .................................................... 14

CASO 3: Parte Fraccionaria Peridica........................................................ 14

Base 10 como intermediaria ................................................................................... 15

2.A.3. Pasaje Directo .................................................................................................. 15

2.A.3.1. Caso 1: Base Origen mayor que la Base Destino ..................................... 15

2.A.3.2. Caso 2: Base Origen menor que la Base Destino ..................................... 16

2.A.3.3. Importancia de aplicar pasaje directo ....................................................... 17

2.A.4. Operaciones Aritmticas .................................................................................. 18

2.A.4.1. Suma ......................................................................................................... 18

2.A.4.2. Resta ......................................................................................................... 21

2.A.4.3. Multiplicacin ........................................................................................... 23

2.A.4.5. Divisin..................................................................................................... 24

2.A.5. Utilidad del Sistema Binario ............................................................................ 26

PARTE B. INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS NUMRICOS PARA

APLICACIONES INFORMTICAS ......................................................................... 28

2.B.1. Introduccin ..................................................................................................... 28

2.B.2. Formas de representar a los nmeros enteros .................................................. 28

2.B.2.1. Representacin en binario puro. Enteros sin signo ................................... 29

2.B.2.2. Representacin en signo y mdulo. SM ................................................... 30

2.B.3. Complemento de un nmero. ........................................................................... 32

2.B.3.1. COMPLEMENTO A LA BASE ....................................................................... 32

2.B.3.2. COMPLEMENTO A LA BASE MENOS UNO .................................................. 34

2.B.3.3 UTILIZACIN DEL COMPLEMENTO EN OPERACIONES DE RESTA ............... 35

2.B.3.4. Representacin en complemento a la base1 (CB-1) ................................. 37

2.B.3.5. Representacin en Complemento a la Base o ........................................... 39

Complemento a 2 .................................................................................................... 39

2.B.5. Operaciones aritmticas con nmeros signados .............................................. 41

2.B.5.1. Suma en complemento a dos..................................................................... 42 2.B.5.2. Resta en complemento a dos ..................................................................... 44

2.B.6. Overflow (desborde) ........................................................................................ 45

2.B.7. Representacin binaria de nmeros reales ....................................................... 46

2.B.7.1. Representacin exponencial. Punto Flotante ............................................ 46

2.B.7.2. Normalizacin de la mantisa ..................................................................... 47

2.B.7.3. Bit implcito .............................................................................................. 48

2.B.7.4. Representacin del exponente................................................................... 49



2.B.7.5. Representacin en punto flotante dentro de la computadora .................... 50

2.B.7.7. Formato de representacin punto flotante IEEE 754 ................................ 52

2.B.7.8. Rango de la representacin IEEE 754. Simple precisin. ........................ 53

PARTE C. CDIGOS .................................................................................................. 55

2.C.1. Introduccin ..................................................................................................... 55

2.C.2. Definicin de Cdigo ....................................................................................... 56

2.C.3. Mdulo de un Cdigo ...................................................................................... 60

2.C.4. Cdigos de Largo Fijo y Variable .................................................................... 61

2.C.5. Cdigos BCD ................................................................................................... 61

2.C.5.1. Cdigos pesados........................................................................................ 62

2.C.5.2. Cmo determinar si un Cdigo es Pesado? ............................................. 65

2.C.6. Distancia de un cdigo .................................................................................... 67

2.C.6.1. Cdigos Progresivos ................................................................................. 68

2.C.7. Operaciones con cdigos ................................................................................. 75

2.C.7.1. Suma en BCD 8421 ................................................................................. 75

2.C.8. Seguridad en la transmisin binaria ................................................................. 80

2.C.9. Cdigos detectores y correctores de errores: cdigos de Hamming ................ 84



PARTE A. SISTEMAS DE NUMERACIN - Autora: Dra. Ing. Roco A. Rodrguez -

2.A.1. Introduccin

Segn la Real Academia Espaola1 un sistema de numeracin puede ser definido como:

Sistema para expresar de palabra o por escrito todos los nmeros con una cantidad limitada de vocablos y de caracteres o guarismos.

Conjunto de smbolos y reglas utilizados para representar las cantidades2.

En base a la segunda definicin se puede plantear a un sistema de numeracin como se

indica en la expresin 2.A.1.

N= (S,R)

N: Sistema de Numeracin

S: Conjunto de Smbolos validos dentro de dicho sistema

R: Conjunto de Reglas que permitirn formar nmeros vlidos

Expresin 2.A.1. Elementos de un Sistema de Numeracin

La expresin 2.A.1. es vlida para todo sistema de numeracin. Cada sistema de

numeracin tendr un conjunto de smbolos vlidos y reglas de formacin propias.

Existieron diversos sistemas de numeracin mediante los cuales los egipcios, griegos,

babilnicos, chinos, etc. podan representar las cantidades (ver la figura 2.A.1).

Figura 2.A.1. Representacin de nmeros egipcios, griegos, babilnicos y chinos3

Cada sistema de numeracin utiliza sus propios smbolos. El sistema decimal es el

sistema de numeracin adoptado en Argentina sin embargo el sistema Romano est an

presente para la enumeracin de diversos objetos, por ejemplo podra haber sido

utilizado para numerar los captulos de este libro. El sistema decimal tambin conocido

1 Definicin consultada en: http://www.rae.es

2 Esta ltima definicin es la adoptada por la mayor parte de la bibliografa

3 Esta imagen fue construida en base a un conjunto de ejemplos tomados de la pgina 12 del libro

[BER74]: Bertha Morris Parker. La fuente del Saber Cuarta Edicin. Editorial Sygmar S.A., (1974).

Buenos Aires, Argentina



como sistema Arbigo (aunque originario en la India fue introducido en Europa por

los rabes [BER74]) cuenta con los siguientes smbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

El sistema romano utiliza otros smbolos: I, V, X, L, C, D, M (donde cada smbolo vale

1, 5, 10, 50, 100, 500 y 1000 respectivamente). Puede notarse que en el Sistema

Romano no cuenta con una forma de representar el cero, sin embargo en otros sistemas

de numeracin como el Maya ya se incorporaba el cero como smbolo.

No slo son importantes los smbolos sino tambin las reglas que permiten a travs de

esos smbolos construir los nmeros. En el sistema de numeracin romana: XI

representa al nmero 11 mientras que IX representa al nmero 9. Cada smbolo tiene un

valor de referencia tanto I como X son smbolos vlidos del sistema de numeracin. Por

otra parte ambos nmeros estn compuestos por los mismos smbolos sin embargo el

resultado final es distinto porque se aplica reglas de formacin. En el sistema de

numeracin romano el smbolo I colocado a la derecha de la X est sumando su valor y

en cambio colocado a la izquierda lo est restando.

2.A.2. Sistemas de Numeracin Posicionales y No Posicionales

El sistema de numeracin romano es no posicional dado que el valor de cada smbolo

no depende de la posicin en la que se encuentra. El nmero consignado en la tabla 2.1

vale 8 porque al smbolo V que equivale al 5, se le suma tres veces el valor del smbolo

I que equivale al uno 1. No vale ms una I que otra dentro de este nmero.

Tabla 2.A.1. Nmero Romano

Nmero Romano V I I I

Valor del Smbolo 5 1 1 1

En decimal el nmero 5111 vale cinco mil ciento once, puede observarse que tambin

tiene tres smbolos iguales y que cada 1 no vale lo mismo, sino que su valor se ve

condicionado por la posicin que ocupa el smbolo dentro del nmero. A continuacin

se indica cunto vale cada componente del nmero tomando en cuenta no slo el

smbolo sino tambin su posicin (ver tabla 2.A.2).

Tabla 2.A.2. Nmero Decimal

Nmero Decimal 5 1 1 1

Valor de cada Smbolo 5000 100 10 1

Todos los sistemas de numeracin que se utilizarn a lo largo del presente libro son

posicionales y comparten las reglas de formacin del sistema decimal.

2.A.2.1 Caractersticas de un sistema posicional

Un concepto importante es el de base de un sistema de numeracin. La base de un

sistema de numeracin representa a la cantidad de smbolos admitidos por dicho

sistema. El sistema decimal de base 10, posee 10 smbolos distintos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,

7,8,9; es importante notar que el 10 no es un smbolo del sistema sino que se ha

generado por medio de combinar dos smbolos ya existentes.



Adems todos los sistemas de numeracin posicionales a los que se hace referencia

tienen como smbolo inicial: 0. De forma que el sistema en base 2 slo tendr dos

smbolos: 0, 1. Si se desea armar un sistema en base 3 bastar con agregar un smbolo al

sistema anterior: 0, 1, 2. De esta manera es posible armar diversos sistemas cuya base

sea menor que 10, utilizando parte de los smbolos de base 10. Qu sucede si se

quieren confeccionar sistemas de base mayor a 10?, en ese caso ser necesario utilizar

nuevos smbolos, el sistema Hexadecimal de base 16 utiliza letras para completar los

smbolos faltantes, de este modo podr utilizarse todos los smbolos del sistema

Decimal (del 0 al 9) aqu hay 10 smbolos distintos y los 6 restantes utilizando las letras

del alfabeto (de la A a la F). La tabla 2.A.3 muestra los smbolos que conforman

distintos sistemas de numeracin.

Tabla 2.A.3. Smbolos que conforman los sistemas de numeracin

Sistemas SIMBOLOS

Base 2 (Binario) 0 1

Base 3 0 1 2

Base 4 0 1 2 3

Base 8 (Octal) 0 1 2 3 4 5 6 7

Base 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Base 10 (Decimal) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Base 16 (Hexadecimal) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

A partir de ahora ante un nmero 435 debera ser importante preguntarse cual es su

base, sin conocer su base no ser posible interpretar de que nmero se trata. Al ver este

nmero sin su base es posible saber que el mismo no puede estar escrito por ejemplo en

binario porque dicho sistema de numeracin slo tiene por smbolos vlidos el 0 y 1; si

el nmero tiene smbolos que no pertenecen a un sistema de numeracin determinado

dicho nmero no puede estar escrito en ese sistema de numeracin. Por ende se puede

afirmar que el 435 tiene que estar escrito en un sistema de numeracin de base 6

cualquiera de base mayor a 6. Motivo por el cual los nmeros estarn acompaados de

su base la cual se indica como un subndice detrs del mismo (se recomienda resolver el

ejercicio 2.A.1).

Generar nmeros en un determinado sistema de numeracin posicional, es muy simple.

En base 10, el primer nmero posible de escribir es el 0 con un solo dgito el ltimo

nmero posible de escribir ser 9, una vez que se acabaron los smbolos estos pueden

ser combinados con otros generndose el 10, 11 hasta el 99 en el cual se ha utilizado en

ambas posiciones el mayor nmero del sistema de numeracin esto implica que debe

agregarse otro dgito de aqu en ms los nmeros van a estar constituidos con tres

dgitos 100, 111 hasta el 999 en el cual en las tres posiciones existentes qued el mayor

smbolo de la base. Lo mismo puede hacerse en base 3, los primeros nmeros a escribir

sern el 0, 1 y 2; se acabaron los smbolos con lo cual deber comenzarse a escribir

Ejercicio 2.A.1 - Sugerido

Indique cuales de los siguientes nmeros son invlidos (analizando los smbolos

utilizados):

a) 7A210 b) 5239 c) 2313 d) A9516 e) 8727 f) 4625



nmeros utilizando dos dgitos desde el 10 al 22; luego se empezar a escribir de a tres

dgitos De sta forma se genera la tabla 2.A.4.

Tabla 2.A.4. Construccin de nmeros en sistemas de numeracin posicionales Decimal

Base 10

Binario

Base 2 Octal

Base 8 Hexadecimal

Base 16

0 0 0 0

1 1 1 1

2 10 2 2

3 11 3 3

4 100 4 4

5 101 5 5

6 110 6 6

7 111 7 7

8 1000 10 8

9 1001 11 9

10 1010 12 A

11 1011 13 B

12 1100 14 C

13 1101 15 D

14 1110 16 E

15 1111 17 F

16 10000 20 10

17 10001 21 11

18 10010 22 12

19 10011 23 13

20 10100 24 14

21 10101 25 15

El armar una tabla, en la cual cada columna muestra los nmeros escritos en distintos

sistemas de numeracin, permite establecer equivalencias leyendo cualquier fila de la

tabla 2.A.4, por ejemplo la ltima: 2110 = 101012 = 258=1516

Al observar la tabla 2.A.4 es importante notar que:

Diez escrito en base Diez es 10

Dos escrito en base Dos es 10

Ocho escrito en base Ocho es 10

Diecisis escrito en base Diecisis es 10

Siempre la base de un sistema de numeracin posicional expresada en dicho sistema

ser 10 (uno cero). No se deber leer como Diez ya que ese 10 valdr distinto segn la

base en la que se haya escrito.


Contine la construccin de la tabla 2.4, realice tres filas ms para mostrar que

nmeros representan a los nmeros decimales 22, 23, 24



Si bien es simple construir la tabla 2.A.4 es importante comenzar a suponer que debe

existir otro mecanismo para poder conocer la equivalencia de un nmero 914210

expresado en base 8. Para construir una tabla comenzando por el 0 decimal debern

realizarse luego 9142 renglones para determinar su equivalente en base 8. Esta tabla

sirve tan slo a modo de ejemplo siempre que los nmeros a representar no sean

grandes. Por otra parte si slo se aplicara el mecanismo de construir una tabla para

poder realizar una conversin entre bases no sera posible conocer cuntos renglones

seran necesarios construir si el nmero de origen est en otra base que no sea decimal,

por ejemplo: 21034.

2.A.2.2. Valor Absoluto y Relativo

En los sistemas de numeracin posicionales cada smbolo tiene un valor absoluto que es

el valor que tiene asignado el smbolo por ejemplo en decimal el smbolo 9 (vale nueve)

pero tambin existe un valor relativo que hace que dentro de este nmero 59 ese

smbolo valga distinto que dentro de este otro 93. En el primer caso vale nueve y en el

segundo caso vale noventa. El valor relativo es el valor que adquiere el smbolo por

estar en una determinada posicin dentro del nmero. Para profundizar esto se propone

rememorar algunas cuestiones del sistema decimal, la tabla 2.A.5 se construy para

ilustrar cunto vale un smbolo escrito segn en qu posicin se encuentre.

Tabla 2.A.5. Sistema de Numeracin Decimal - Posiciones4

Unidades de Mil Centena Decena Unidad Decima Centsima Milsima

1000 100 10 1 1/10 1/100 1/100

103 10

2 10

1 10

0 10

-1 10

-2 10

-3

Es posible afirmar que si bien 519 y 915 a pesar de estar formados por los mismos

signos y ambos escritos en base 10, no valen lo mismo. A partir de la tabla 1.3 se

procede a descomponer uno de los nmeros tal como se muestra en la expresin 2.A.2.

51910 = 5 centenas + 1 decena + 9 unidades = 5 x 100 + 1 x 10 + 9 x 1 = 5x102 + 1x10

1 + 9x10

0

Expresin 2.A.2. Descomposicin de un nmero decimal

A partir de lo realizado en la expresin 2.A.2. puede observarse que se parti de un

nmero de tres cifras y el resultado se puedo expresar por medio de tres trminos cada

uno representa una componente del nmero en la cual est cada smbolo del nmero

acompaado de la base del sistema de numeracin elevada a un exponente que expresa

la posicin del smbolo dentro del nmero. Por lo cual se puede afirmar que: Cada

trmino ha quedado compuesto por el valor absoluto del smbolo y un valor relativo

(base elevada a un exponente).

En forma general independientemente de los smbolos que conforman al nmero de la

base del sistema de numeracin:

Expresin 2.A.3. Teorema fundamental de la numeracin

4 Esta tabla muestra de forma prctica como expresar en potencias de 10 las distintas posiciones, ha sido

tomada de http://es.wikipedia.org/wiki/Bit

M

a i x Bi

i = -n



Siempre se procede a hacer una sumatoria en donde:

a representa a un smbolo dentro del nmero

B la base del sistema de numeracin

i la posicin del smbolo dentro del nmero Es importante notar que cada trmino de la sumatoria est construido por el producto de

dos componentes ai representa el smbolo (valor absoluto) y Bi es la base del sistema de

numeracin elevada a la posicin que tiene el smbolo dentro del nmero (valor

relativo). El teorema fundamental de la numeracin permitir descomponer un nmero

tal como se muestra en la figura 2.A.2

Figura 2.A.2. Descomposicin de un nmero

2.A.2.3. Pasaje de una base a base 10

El teorema fundamental de la numeracin puede ser aplicado para realizar la conversin

de una base a base 10. En la figura 2.A.3 se plantea el caso de un nmero en base 4 el

cual quiere expresarse en base 10. Para realizar esta conversin se aplica el teorema

fundamental de la numeracin. Ntese que no se est descomponiendo al nmero ya que

se estn expresando los valores en base 10, por ejemplo 4 (valor de la base) est

expresado en decimal ya que el smbolo 4 no pertenece a base 4. La suma de todas las

componentes del nmero escritas en decimal dar origen a un resultado en decimal.

Figura 2.A.3. Pasaje de base 4 a base 10

Se quiere aplicar el teorema fundamental de la numeracin para el nmero 519,610

5 1 9 , 6

a2 a1 a0 a -1

2

a i x Bi = a

2 x B

2 +a

1 x B

1 +

a

0 x B

0 + a

-1 x B

-1 = 5 x 10

2 +1 x 10

1+ 9 x 10

0+ 6 x 10

-1

i = -1

Se quiere aplicar el teorema fundamental de la numeracin para el nmero 2103,14

a3 a2 a1 a0 a -1

2 1 0 3 , 1

M 3

a i x Bi = a i x 4i (para el caso particular de este ejemplo) i = -n i = -1

3

a i x 4i = 2 x 43 + 1x 42 + 0 x 41 + 3 x 40 + 1x 4-1 = 128 + 16 + 0+ 3+ 0,25 = 147,2510 i = -1



Ejercicio 2.A.3 - Resuelto

Se quiere aplicar el teorema fundamental de la numeracin para el nmero

A5C,B116

Resolucin:

a2 a1 a0 a -1 a -2

A 5 C , B 1

2

a i x 16i = A x 16

2 + 5 x 16

1 + C x 16

0 + B x 16

-1 + 1 x 16

-2=

i = -2 10 x 162 + 5 x 16 + 12 x 1 + 11 x 1/16 + 1/16

2=

2560 + 80 + 12 + 0, 6875 + 0,00390625=

Resultado = 2652,6914062510

De este modo se puede realizar el pasaje desde un sistema posicional a decimal sin

inconveniente alguno. A continuacin en la tabla 2.A.6 se presenta la conversin del

nmero 10 escrito en diversas bases a decimal.

Tabla 2.A.6. Conversin del nmero 10 expresado en distintas bases a decimal Valor de Origen Clculo Resultado

102 1 x 21 + 0 x 2

0 2

103 1 x 31 + 0 x 3

0 3

104 1 x 41 + 0 x 4

0 4

108 1 x 81 + 0 x 8

0 8

109 1 x 91 + 0 x 9

0 9

.

1016 1 x 161 + 0 x 16

0 16

A partir de la tabla 2.A.6 es posible decir que 10 escrito en una determinada base dar

por resultado el valor de su base expresado en decimal. Del mismo modo podr decirse

que la base escrita en su base ser 10. En forma general: 10B=0 x B0 + 1 x B

1 = B.

Siempre la base de un sistema de numeracin posicional expresado en dicho sistema

ser 10 (uno cero). Esto puede ser observado tambin en la tabla 2.4. En dicha tabla

se ha sombreado la base escrita en su base a lo largo de todas las columnas.

Para expresar un nmero hexadecimal (base 16) a decimal (base 10), se procede del

mismo modo. Como puede observarse en el ejercicio 2.3 la base escrita en decimal ser

16, cada uno de los smbolos numricos del 0 al 9 en hexadecimal coinciden con

decimal y a las letras A, B, C, D, E, F se escribir su equivalencia en decimal (mostrada

en la tabla 2.4). Se propone observar lo realizado en el ejercicio 2.A.3

A continuacin se en el ejercicio 2.A.4 se proponen algunos pasajes los cuales requieren

simples clculos para ser efectuados.


Indicar el resultado en base 10 de los siguientes nmeros:

a) 1829 b) 315 c) 1002 d) 1011012



2.A.2.4. Base 10 a otra base

El mtodo que se emplear para realizar el pasaje de decimal (base 10) a otra base

consiste en5:

1. Tomar la parte entera y dividir sucesivamente por el valor de la base destino 2. Tomar la parte fraccionaria y multiplicar sucesivamente por la base destino

Parte entera

Primeramente se presenta a modo de ejemplo como pasar de decimal a binario, para ello

se toma el nmero 53510 y se muestra el procedimiento aplicado en la figura 2.4. Se

procede a realizar divisiones que den por resultado un cociente entero se toma el

nmero origen 535 se lo divide por la base destino 2 y se obtiene por cociente 266 y el

resto arrojado es 0. Al cociente obtenido se lo vuelve a dividir por la base destino y as

sucesivamente. Cabe destacar que a medida que se van a aplicando divisiones el

cociente que ser obtenido en cada una de ellas ser menor que el obtenido

anteriormente (esto suceder con todas las bases destinos). En el momento en que el

cociente obtenido es inferior a la base destino originar un prximo cociente en cero de

modo que se habr finalizado el procedimiento. Se puede notar en la figura 2.4 que al

dividir 2/2 esto da cociente 1 y resto 0. El cociente 1 se somete nuevamente a divisin

1/2 pero como se busca un cociente entero dar 0 y de resto 1 (destacado en la figura

2.5), a partir de all todas las divisiones prximas sern 0/2 dando cociente 0 y resto 0,

all no tiene sentido alguno continuar, dndose por finalizado el procedimiento (parte

sombreada de la figura 2.A.4).

535 2

13 267 2

15 06 133 2

1/ 07 13 66 2

1/ 1/ 06 33 2

0/ 13 16 2

1/ 0/ 8 2

0/ 4 2

0/ 2 2

0/ 1 2

1/ 0 2

0/ 0


5 El fundamento de aplicar el mtodo que se describe de forma prctica tiene basamento en el teorema

fundamental de la numeracin presentado previamente. La demostracin formal de la aplicacin de dicho

teorema que da por origen la aplicacin de este mtodo prctico se encuentra en diversos libros entre ellos

[MAN98]



El resultado de pasar 53510 a base 2 se consigna tomando todos los restos obtenidos en

forma inversa (comenzando por el 1 destacado en la figura 2.4 ltimo resto significativo

obtenido): 1000010111 cabe destacar que si se hubiesen considerado los ceros arrojados

como otros restos para conformar el resultado este hubiese sido 001000010111 (los

ceros delante de la cifra entera no aportan valor siendo el mismo nmero que el

obtenido sin haberlos considerado).

Parte fraccionaria

Todo nmero podr analizarse descomponindose en su parte entera y en su parte

fraccionaria, por ejemplo: 535,28 ser: 535 + 0,28. Este nmero en base 10 para ser

expresado en otra base ser necesario realizar primeramente la conversin de la parte

entera del mismo (en la figura 5.2 se muestra la conversin a base 2) y luego se aadir

a dicho resultado la conversin resultante con la parte fraccionara (lo cual se explicar

a continuacin).

CASO 1: Truncar las cifras fraccionarias

535,2810: Se calcular 0,28 en base 2, para lo cual se multiplica sucesivamente por 2

(como se muestra en la figura 2.5). Cada cuenta efectuada estar compuesta por una

parte entera y una parte fraccionaria, la parte entera ser la que conformar cada uno de

los dgitos del resultado a obtener. Puede observarse que 0,28 x 2= 0,56 la parte entera

es 0 y sirve para conformar el resultado, se continua con la parte fraccionaria el proceso

(restndose previamente la parte entera) siempre cada multiplicacin tendr por primer

factor 0,ParteFraccionaria del resultado anterior. Es importante notar que la segunda

cuenta ha dado por resultado 1,12 para la multiplicacin siguiente se tomar 0, 12

0,28 0,56 0,12 0,24 0,48 0,96

x 2 x 2 x2 x2 x 2 x2

0,56 1,12 0,24 0,48 0,96 1,92


Cada multiplicacin arroja un resultado del cual se tomar en cuenta la parte entera del

mismo (digito subrayado en la figura 2.A.5). Se han efectuado 6 multiplicaciones podra

haberse continuado, el inters de continuar depender de cuantos dgitos fraccionarios

requiera el resultado.

Por lo tanto:

0,2810 ser 0,0100012 535,2810 ser 1000010111,0100012 (se le aade la parte entera calculada anteriormente)


Verifique que sea correcto lo realizado en el procedimiento anterior.

Se propone tomar el resultado obtenido en binario 1000010111, pasarlo a decimal y

corroborar que de por resultado el nmero de partida 53510



A partir de este ejemplo se propone analizar el ejercicio 2.A.6 el cual est resuelto a

continuacin.


Verifique el resultado obtenido en la parte fraccionaria (0,28)

Cules son las conclusiones que puede alcanzar a partir de dicho resultado

Resolucin:

0,2810 = 0,0100012

0, 0 1 0 0 0 1 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/64

1/4 + 1/64 =0,25 + 0,015625 = 0,265625

El resultado obtenido no fue 0,28 esto es causado por el truncamiento efectuado, el no

haber considerado todas las cifras en la figura 2.5 (multiplicaciones siguientes no

efectuadas), a continuacin se muestra sombreadas las cifras fraccionarias calculadas

previamente, calculndose tres cifras ms. Esto permitir comprobar que el considerar

el peso de dichas cifras harn que el nmero final ser mayor ms prximo al valor

esperado.

0,28 0,56 0,12 0,24 0,48 0,96 0,92 0,84 0,68 x 2 x2 x2 x2 x2 x2 x 2 x 2 x 2 0,56 1,12 0,24 0,48 0,96 1,92 1,84 1,68 1,36

0, 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/64 1/128 1/256 1/512

Al valor obtenido previamente 0,265625 calculado previamente con las cifras

sombradas se le deber aadir el proveniente de las tres cifras contempladas

adicionalmente.

= 0,265625 + 0,0078125 + 0,00390625 + 0,001953125 =

= 0,265625 + 0,013671875= 0,279296875

Si se mostraran en el clculo final tres cifras fraccionarias considerando nicamente

las multiplicaciones sombreadas sera: 0,265 en cambio realizando 3 multiplicaciones

ms sera: 0,279 notablemente ms prximo a 0,28



CASO 2: Parte Fraccionaria llega a cero

535,2510: Se calcular 0,25 en base 2, para lo cual tal como se muestra en la figura 2.A.6

se multiplica sucesivamente por 2.

0,25 0,50 0,00 0,00

x 2 x 2 x2 x2

0,50 1,00 0,00 0,00


En la figura 2.A.6 se muestra una serie de multiplicaciones en la segunda cuenta se

obtuvo por resultado 1,00 por lo cual la cuenta siguiente ser 0,00 x 2 obviamente el

resultado ser 0 a partir de ese momento debe advertirse que no tiene sentido continuar

con el clculo (parte resaltada en la figura 2.7).

Por lo tanto:

0,310 ser 0,010002 (Los ceros detrs de la parte fraccionaria no son significativos)

535,310 ser 1000010111,012 (se le aade la parte entera calculada anteriormente)

CASO 3: Parte Fraccionaria Peridica

525,310: Se calcular 0,3 en base 2, para lo cual tal como se muestra en la figura 2.A.7 el

procedimiento realizado.

0,3 0,6 0,2 0,4 0,8 0, 6

x 2 x 2 x2 x2 x 2 x2

0,6 1,2 0,4 0,8 1,6 1,2


En la figura 2.A.7 puede observarse que la segunda cuenta efectuada se repite a lo largo

del procedimiento. Esto causar que se repitan tambin las siguientes cuentas a efectuar,

por lo cual no es necesario continuar el procedimiento. Debe advertirse que el resultado

es peridico: 01001

Por lo tanto:

0,310 ser 0,010012 535,310 = 1000010111,01001 2

Ejercicio 2.A.7 Sugerido

Expresar el nmero 163,687510 en Base 16



Base 10 como intermediaria

Aplicando lo visto anteriormente ser posible expresar un nmero que est proveniente

en una base origen a una base destino (cualquiera sean estas bases). Por ejemplo: Se

cuenta con un nmero en base 5 y quiere pasarse a base 8, para ello se aplicarn los dos

mtodos vistos:

1) Base origen: 5 -> Base destino: 10 2) Base origen: 10 -> Base destino: 8

Es decir cuando ni la base origen ni la destino es decimal deber utilizarse la base 10

como intermediaria realizndose dos pasajes (se recomienda realizar el ejercicio 2.A.8).

2.A.3. Pasaje Directo

El pasaje directo permite en forma rpida poder expresar un nmero que se encuentra en

una determinada base a otra. Es aplicable cuando la base origen y destino se relacionan

por medio de una potencia entera y positiva. En la tabla 2.A.7 se muestran algunas

bases entre las que es posible aplicar pasaje directo.

Tabla 2.A.7. Bases entre las que es posible aplicar pasaje directo

Base Origen Base Destino Relacin 2 4 2

2 = 4

3 9 32 = 9

4 16 42=16

Es importante notar que si bien entre la base 8 y 16 no hay pasaje directo (ya que no

existe potencia entera positiva la cual permita elevar al nmero 8 y obtener por

resultado 16) sera posible realizar pasaje directo de base 8 a base 2 y luego otra vez

pasaje directo de base 2 a 16.

Se recomienda realizar el ejercicio 2.A.9 en base a la definicin de pasaje directo.

2.A.3.1. Caso 1: Base Origen mayor que la Base Destino

Si se desea expresar al nmero 56,8239 en base 3, primeramente se analizar si es

posible realizar pasaje directo, para lo cual se toma la base menor 3, luego surge la

pregunta A qu valor debe elevarse dicha base para alcanzar a la otra base? 32 = 9 esto

deber leerse: por cada 2 smbolos en base 3 deber escribirse 1 en base 9. En la tabla


Expresar el nmero 342,15 en base 8


Indique en qu casos puede aplicarse pasaje directo

a) Base 8 a base 5 b) Base 2 a Base 16 c) Base 2 a Base 8



2.A.8 se han anotado todos los smbolos que componen a la base 9 y luego sus

equivalentes en base 3, es posible notar que con dos smbolos en base 3 se han podido

expresar todos los smbolos vlidos de base 9. Es importante destacar que todos los

nmeros en la segunda columna deben indicarse con dos dgitos por ello se ha

antepuesto un cero en las tres primeras filas.

Tabla 2.A.8. Tabla de smbolos en Base 9 y su equivalencia en Base 3

Base 9 Base 3

0 00

1 01

2 02

3 10

4 11

5 12

6 20

7 21

8 22

El proceso consistir en sustituir cada uno de los smbolos en base 9 provenientes del

nmero original por dos en base 3 (localizndolos en la tabla 2.8), tal como se muestra

en la figura 2.A.8.

5 6 , 8 2 3

12 20 , 22 02 10

Figura 2.A.8. Pasaje Directo entre base 9 a base 3

2.A.3.2. Caso 2: Base Origen menor que la Base Destino

Si se desea expresar el nmero 210,13 a base 9 tambin ser posible aplicar pasaje

directo siendo la relacin entre las bases: 32 = 9. Cabe aclarar que en este caso se cuenta

con cada uno de los smbolos del nmero en base 3 y por cada 2 de ellos debern

escribirse un smbolo en base 9.

En este caso se quiere agrupar de a dos un nmero con tres cifras en la parte entera, de

forma que ser necesario agregar un cero (que no altere el valor del nmero) para que

puedan conformarse dos grupos en los cuales haya dos smbolos en cada uno de ellos.

Lo mismo sucede con la parte fraccionaria como hay un slo dgito ser necesario

agregar un cero para poder conformar un grupo de dos dgitos. En la figura 2.A.9 se

muestran dos ceros agregados, si se observa el nmero resultante este ser 2100,01 el

cual difiere del nmero original 210,1 ha cambiado el valor con lo cual de aplicar el

pasaje se estara expresando otro nmero en base 9 y no el deseado.

2 1 0 0 , 0 1 2100,01

Figura 2.A.9. Agrupamiento invlido



Para no alterar el valor al agregar ceros en un nmero ser necesario que en la parte

entera se inserten delante (a la izquierda) y en la parte fraccionaria los ceros se agreguen

detrs (a la derecha), esto se observa fcilmente en decimal 5,2 es lo mismo que escribir

05,20 estos ceros agregados no aportan valor en el numero escrito.

A continuacin en la figura 2.A.10 se muestra el agrupamiento correctamente realizado,

el nmero que ha quedado luego de agregar ceros es equivalente al de partida. Si se

quiere podra comenzarse a agrupar tomando en cuenta el sentido indicado por medio de

flechas en la figura 2.10 y luego agregar los ceros necesarios para conformar el ltimo

grupo. Luego de agrupar correctamente tan slo queda escribir cada grupo a que dgito

se corresponde en base 9, lo cual puede realizarse observando la tabla 2.8.

0 2 1 0 , 1 0 0210,10

2 3 , 3

Figura 2.A.10. Pasaje Directo entre base 3 a base 9

Se propone realizar el ejercicio 2.A.10 para afianzar el mtodo de pasaje directo.

2.A.3.3. Importancia de aplicar pasaje directo

Es importante aplicar pasaje directo, siempre que sea posible, debido a que el tiempo

que insume aplicar pasaje directo es inferior al invertido utilizando la base 10 como

intermediaria. Cuando se utiliza a la base 10 como intermediaria es posible que sea

necesario realizar una gran cantidad de clculos matemticos y en caso de no considerar

todas las cifras fraccionarias en los clculos intermedios el resultado final ser

aproximado. En cambio esto ltimo no ocurre al aplicar pasaje directo.

Por un momento es importante pensar los distintos pasos a realizar sin aplicar pasaje

directo para expresar el nmero en hexadecimal A7CB8,3CD116 a base 4 y los clculos

matemticos que seran necesarios realizar. Para comparar con lo planificado utilizando

como intermediaria a la base 10, se propone resolver aplicando pasaje directo dicho

ejercicio planteado a continuacin.


Se proponen aplicar pasaje directo para:

1) 10110111,1012 A BASE 16 2) Corroborar el resultado obtenido en el tem anterior 3) 1234 A BASE 16


Expresar el nmero A7CB8,3CD116 en base 4



2.A.4. Operaciones Aritmticas

Todos los sistemas de numeracin posicionales permiten realizar operaciones

aritmticas. Las reglas aprendidas desde el colegio primario sern aplicadas en todos los

sistemas de numeracin posicionales. Es importante advertir que no es posible sumar

cantidades que no expresen una misma cosa (por ejemplo: 7 caballos + 5 libros), es

decir que no ser posible tomar un nmero en base 6 e intentar sumarle un nmero en

base 8 (para esto ser necesario previamente expresarlos en una misma base). Del

mismo modo si se suman dos nmeros en base 6 el resultado deber estar en base 6 (por

ejemplo: si se suman 7 naranjas + 3 naranjas, el resultado no podr ser 10 peras).

2.A.4.1. Suma

Para realizar una suma primeramente se debern encolumnar los nmeros a sumar, tal

como se muestra en la figura 2.11.

1 6 4 8 + 4 1 5 8 6 0 1 8

Figura 2.A.11. Suma en base 8

Se resolvern sumas en distintas bases, aplicando las mismas reglas y metodologa que

para el sistema decimal, slo ser necesario analizar el resultado obtenido al sumar cada

columna, si el resultado obtenido es un smbolo perteneciente a la base en la cual se est

sumando se proceder a escribirlo, caso contrario deber ser convertido expresndolo en

la base destino. A continuacin se realizarn a modo de ejemplo algunas sumas en

distintas bases explicndose el procedimiento:

Base 8 (Octal): Si se quiere sumar dos nmeros en base 8 deber considerarse que smbolos pueden escribirse en dicha base de forma que en cada columna no

se podr escribir un smbolo no perteneciente a base 8. El clculo se pensar en

decimal y siempre que el resultado del mismo en decimal sea a lo sumo igual

que 7 podr ser escrito quedando ya expresado en base 8. Es importante tomar

en cuenta que los nmeros 0,1,2,3,4,5,6,7 coinciden en ambas bases cuando en

decimal se consigna el 8 en base 8 se deber escribir 10 (la base escrita en su

base se escribe 10), a partir de all comenzarn a cambiar la forma de escribir los

valores.

Para resolver la suma propuesta en la figura 2.A.11 se comenzar sumando la

columna de menor peso: 4 + 5 (columna sombreada en la figura 2.A.3), en

decimal el resultado sera 9 como supera al 7 (mximo valor posible de escribir

en base 8) no podr escribirse sin ser previamente expresado en base 8.

Entonces se podr pensar que si 8 en base 8 se escribe 10, entonces 9 ser 11,

con lo cual pone un 1 en la columna que se ha sumado y se acarrea un 1 en la

columna siguiente. Luego se procede a sumar la columna siguiente en donde

ahora deben sumarse 3 valores 1+6=7 y luego 7+5=12. Se procede del mismo

modo pensando cmo se escribe el 1210 en base 8. Podra pensarse desde el 8 al

12 toda la sucesin de valores: el 8 en base 8 se escribe 10, con lo cual el 9 ser



11, el 10 ser 12, el 11 ser 13 y el 12 ser 14. Es importante notar que cuanto

mayor es el nmero resultante esto se hace ms extenso. Sumando en base 8

podra tenerse en una columna 7+ 7 siendo el 7 el valor ms grande en base 8 a

su vez podra haber un acarreo de una columna anterior con lo cual en decimal

se tendra el valor 15, comienza a ser arduo el trabajo de imaginar a partir del 8

como escribir el nmero 15. De forma que se recomienda aplicar el mtodo de

conversin entre bases el 1210 -> A base 8. Solo habr parte entera para convertir

con lo cual se toma la parte entera 1210 y se la divide sucesivamente por la base

destino 8; con lo cual ser 12 / 8 = 1 y resto 4. Tal como se indic anteriormente

el resultado ser 148 con lo cual se anotar el 4 en la columna sumada y se

proceder a acarrear un 1 a la columna siguiente. Finalmente se suma la ltima

columna (1+1+4) dando por resultado 6, smbolo que se corresponde con la base

8 no necesita ser convertido. Ver Figura 2.A.12.

1 1 1 6 4 8 + 4 5 5 8 6 4 1 8

Figura 2.A.12. Suma en octal

Base 2 (Binario): Se plantea en la figura 2.A.13 el caso de la de 4 nmeros de distinta cantidad de dgitos los cuales han sido previamente alineados.

1 1 2 1 0 1 0 2 1 0 0 1 2 + 1 1 0 2 1 1 1 0 0 2

Figura 2.13. Suma en binario

Se propone realizar la suma en decimal por columna y luego pensar como se

expresa dicho resultado en binario (en binario solo ser vlido el valor arrojado

por una columna que de por resultado 0 1, todos los resultados restantes

debern ser convertidos a binario). En la primer columna sombreada en la figura

2.14, se suma 1+0+1+0=2 en decimal luego se debe pensar como se escribe el 2

en base 2 (la base escrita en su base es 10), con lo cual se anota el 0 en esa

columna y se acarrea un 1 a la columna siguiente. En la columna siguiente se

deber sumar el acarreo a los smbolos propios de la columna: 1+(1+1+0+1)= 4,

el 4 decimal se escribe 100 en binario, se anota 0 en la columna y se acarrea 10 a

la columna siguiente (observe que en este caso el acarreo consta de dos dgitos).

Ntese que ese 10 surge de un acarreo de una operacin en base 2 no representa

al nmero diez decimal sino que representa al dos decimal, con lo cual la

siguiente columna a sumar ser: 2+(0+0+1)= 3 que se escribe 11 con lo cual se


Convierta a decimal los dos nmeros que fueron sumados en la figura 2.A.12 (1648 y

4558), convierta tambin a decimal el resultado arrojado (6418), luego realice la suma en

decimal y compruebe si el resultado decimal concuerda con el equivalente decimal a

6418.



anota el 1 en dicha columna y se acarrea el otro 1 a la columna siguiente. En la

ltima columna a sumar a quedado 1+(1+1)=3 que se escribe 11, se anota un 1

en esa columna y se acarrea un 1 a la siguiente. Ver Figura 2.A.14.

1 1 10 1 1 1 2 1 0 1 0 2 1 0 0 1 2 1 1 0 2 1 1 1 0 0 2

Figura 2.A.14. Suma en binario

Base 3: Se desea sumar los nmeros 1203 + 2113. En la figura 2.A.15 se muestra directamente la resolucin de dicha operacin. Puede verse que al sumar la

primera columna 0+1=1 y eso se anota directamente; en la columna siguiente

2+1=3 que debe expresarse en base 3, siendo el resultado 10 con lo cual se anota

el 0 y se acarrea un 1 a la columna siguiente. La ltima columna a sumar: 1+1+2

= 4, lo que se escribe como 11, se anota un 1 en esa columna y se acarrea un 1 a

la siguiente.

1 1 1 2 0 3 + 2 1 1 3 1 1 0 1 3

Figura 2.A.15. Suma en base 3

Puede observarse que las sumas se han realizado sin requerir de ningn tipo de tabla, sin

embargo a fines didcticos es posible construir una tabla en donde se presenten todos

los smbolos de la base y adems los resultados que arrojaran al sumarse entre si, por

ejemplo en base 3 los smbolos posibles seran: 0, 1, 2.

En la tabla 2.A.9 se han volcado los smbolos posibles en base 3 tanto para rotular las

filas como para rotular las columnas. De forma que la celda sealizada con un *

contendra el valor correspondiente a la suma de 2+1 escrito en base 3.

Tabla 2.A.9. Tabla vaca de suma en base 3

+ 0 1 2

0

1

2 *

La tabla 2.A.10 muestra como quedara completa la tabla de suma en base 3.

Tabla 2.A.10. Tabla resultante de la suma en base 3

+ 0 1 2

0 0 1 2

1 1 2 10

2 2 10 11



Es importante observar que:

la primer fila en la que se ha sumado 0 + un valor, queda el mismo valor a lo largo de la fila.

la suma es conmutativa de forma que 2+1 da el mismo resultado que uno 1+2

cuando se intenta sumar 2+1 dando 3 en decimal dicho valor no pude escribirse como tal ya que el 3 no es un smbolo vlido en base 3, deber anotarse 10.

2.A.4.2. Resta

Al igual que para la suma ser necesario contemplar todas las reglas que se aplican en

decimal para realizar una resta. No es necesario explicar cmo se resta en decimal: 26 -7

sin embargo es importante partir de los detalles que encierra esta cuenta para poder

luego ocuparse en restas en otras bases.

En el primario la maestra explicaba en el pizarrn, ms o menos lo siguiente: No puedo

restar 6 con el 7 entonces le pide al compaero, el compaero tiene 2 queda en 1 y le

pasa uno a la columna que le pidi prestado. Ac surgen un gran interrogante (ver

figura 2.16), porque si se le pidi uno al compaero y la columna que lo pidi tena 6 no

queda en 7 sino en 16, porque el 1 se anota delante del nmero. Ver Figura 2.A.16.

1

2 16

- 7

Figura 2.A.16. Mtodo de resta

Sucede que el nmero 26 est compuesto por 2 decenas y 6 unidades. Al quitar una

decena se est sacando 10 unidades las cuales pueden sumarse a la columna de las

unidades y el numero seguir representando el mismo valor.

2 decenas + 6 unidades 1 decena + 16 unidades

Esto explica porque siempre es posible quitarle a una columna y otorgarle lo

equivalente a lo quitado a otra columna de menor peso.

Podra entonces pensarse que si saca 1 decena se le otorga a la columna de las unidades

10, si se saca 1 centena se le otorgan 10 a la columnas de las decenas. Dada esta

explicacin es posible comprender que ste 10 que reciben las columnas, en las que no

era posible efectuar la resta, se debe a que se est trabajando en decimal.

Cada vez que no se puede efectuar la resta se quita de la columna inmediata 1 base y

esta entrega a la que lo solicito 1 base. Es decir en base 3, cada vez que se quite 1 la

columna anterior recibir 3. Se presenta a continuacin algunas restas:

Resta en base 3: Se desea realizar 2113 -1203 (siendo el 211 el minuendo y el 120 el sustraendo). En la figura 2.A.17 se muestra el clculo a realizar, al restar

la primer columna 1-0 el resultado es 1, la siguiente columna no puede ser

restada no es posible a 1 quitarle 2 con lo cual se recurre a la columna siguiente

que tiene 2 y queda en 1, la columna anterior recibe la base que es 3 que escrita

en su base se consignar como 10, la cuenta a resolver entonces ser 3+1= 4 y

ese valor menos 2, el resultado de la columna ser entonces 2, finalmente en la



ltima columna ha quedado 1-1=0 (ese cero podra no anotarse ya que los ceros

a la izquierda de la parte entera de un nmero no tienen valor siendo lo mismo

213 que 0213). Ver Figura 2.A.17.

1 310

2 1 1 3 - 1 2 0 3 0 2 1 3

Figura 2.A.17. Resta en base 3

Slo en est primer resta se aclarar el valor de la base en decimal (en la

segunda columna de la cuenta) para las futuras restas solo se pondr 10 ya que la

base escrita en su base es 10, y el lector deber recordar que eso en decimal se

leer como el valor de la base en cuestin.

Resta en base 16 (hexadecimal): Se desea restar E7C2 AF1B ambos nmeros expresados en hexadecimal, tal como se indica en la figura 2.A.18.

E 7 C 2 16 - A F 1 B 16 3 8 A 7 16

Figura 2.A.18. Resta en hexadecimal

Para efectuar la cuenta pensando en decimal ser necesario tener presente el

valor de cada una de las letras en decimal (tanto decimal como hexadecimal

coinciden del 0 al 9, luego cuando en decimal se escribe 10 en hexadecimal se

escribe la A y as sucesivamente, lo cual se ha dejado anotado junto a la cuenta a

realizar ver figura 2.A.19).

En la figura 2.A.19 se presenta la resolucin de la resta en la primera columna se

desea realizar 2- B, como el equivalente decimal de B es mayor que dos no es

posible efectuar la resta siendo necesario descontarle uno en la columna

siguiente, donde se encuentra la letra C quedando en B y la columna a restar

recibe 16 (la base, que se escribe 10). La primer columna entonces se resuelve

pensndose en decimal: (16 + 2) - 11= 7. La columna siguiente a quedado como:

B-1 lo cual da A. Luego es necesario realizar 7-F siendo F mayor a 7, no es

posible, por lo cual es necesario descontarle a la E uno, quedando en D y se le

otorga una base a la columna en cuestin. La columna a restar a quedado:

(16+7)-15=8. Finalmente la ltima columna a restar a quedado D-A siendo 13

10= 3

A 10 B 11 C 12 D 10 B 10 D 13 E 7 C 2 16 E 14 - A F 1 B 16 F 15 3 8 A 7 16

Figura 2.A.19. Resta en hexadecimal




En toda resta A-B=C, puede decirse que A=C+B; de modo que para la resta anterior

realizada E7C2 AF1B = 38A7 es posible afirmar que si dicha cuenta ha sido

calculada correctamente deber verificarse que 38A7 + AF1B ser igual a E7C2.

Realice dicha suma y compruebe que el resultado arrojado por la misma es E7C2.

Es importante destacar que as como puede ser verificada una resta en decimal tambin

podr verificarse una resta realizada en cualquier otra base. Se aconseja realizar el

ejercicio 2.A.13 que se propone a continuacin.

2.A.4.3. Multiplicacin

Para comenzar se plantea un ejemplo sencillo, se desea realizar: 122 x 2 (ambos

nmeros expresados en base 3).

Se comienza por la primera columna pensando en decimal: 2x2=4; lo que dara por

resultado 11 escrito en base 3. La siguiente columna tiene un 2, 2x2=4 pero a este 4

debe sumarse el acarreo de la columna anterior entonces queda 4+1=5 que en base 3 se

escribe 12, se escribe 2 y se acarrea el 1 a la siguiente columna. Finalmente la ltima

columna ser (2x1)=2, a este resultado debe sumarse el carry de la columna anterior

quedando 2+1=3, que en base 3 se escribe 10, se pone el 0 en esa columna y se acarrea

1 a la siguiente. La figura 2.A.20 muestra la multiplicacin explicada.

1 1

1 2 2 3 x 2 3 1 0 2 1 3

Figura 2.A.20. Multiplicacin en base 3

Distinto es el caso en el que se desee multiplicar un nmero por otro que tenga ms de

un dgito, en cuyo caso ser necesario realizar adems una suma. Dicha suma ser

realizada en la base en la cual se est operando. En la figura 2.A.21 se presenta un

producto realizado en base 5 en el cual fue necesario realizar una suma en base 5 para

poder expresar el resultado.

1 2

1 2 4 5 X 3 2 5 3 0 3

+ 4 3 2 .

1 0 1 2 3 5

Figura 2.A.21. Multiplicacin en base 5 ejemplo 1

Puede observarse que las multiplicaciones se han realizado sin requerir de ningn tipo de tabla, sin embargo a fines didcticos es posible construir una tabla en donde se

presenten todos los smbolos de la base y adems los resultados que arrojaran al

multiplicarse entre si, por ejemplo en base 3 los smbolos posibles seran: 0, 1, 2.



Tabla 2.A.11. Tabla vaca de multiplicacin en base 3

x 0 1 2

0

1

2 *

En la tabla 2.A.11 se han volcado los smbolos posibles en base 3 tanto para rotular las

filas como para rotular las columnas. De forma que la celda sealizada con un *

contendra el valor correspondiente a la producto de 2x2 escrito en base 3. La tabla

2.A.12 muestra como quedara completa la tabla de multiplicacin en base 3.

Tabla 2.A.12. Tabla resultante de multiplicacin en base 3

x 0 1 2

0 0 0 0

1 0 1 2

2 0 2 11

Es importante observar que:

La primer fila en la que se ha multiplicado 0 x cada uno de los valores de la columna, quedar 0 a lo largo de la fila. Lo mismo sucede en la primera

columna.

La segunda fila requiere realizar 1 x cada uno de los valores de la columna, dando por resultado el valor de la columna.

Finalmente se realiza el producto de la ltima fila en donde 2 x 2 es 4 en decimal dicho valor no pude escribirse como tal ya que el 4 no es un smbolo vlido en

base 3, deber anotarse 11.

2.A.4.5. Divisin

Como el resto de las operaciones aritmticas presentadas la divisin se realizar en

todos los sistemas posicionales aplicando las mismas reglas que en el sistema decimal.

Se presenta el caso de una divisin en decimal, 19/5 en donde 19 es el dividendo y 5 es

el divisor. El cociente da 3 y el resto da 4. Esto no requiere esfuerzo alguno debido a

que el lector est acostumbrado a realizar operaciones en base 10. Sin embargo resulta

necesario aplicar los mecanismos de resolucin utilizados en decimal para resolver

divisiones en otras bases.

Se propone a continuacin dos formas de resolver la divisin:

1. Por tanteo: Consiste en analizar por qu numero debe multiplicarse al divisor para obtener un resultado lo ms cercano al dividendo sin sobrepasarlo

(5 x ? 19). De todos los nmeros que cumplen con la condicin el 3 es el que arroja un resultado ms prximo, dicho valor es el cociente de la divisin y el

resto ser la diferencia entre el dividendo y el resultado al realizar la productoria

entre el divisor y el nmero escogido: 19 (5 x 3) = 19 15 = 4.

2. Restas Sucesivas: Permite ver cuntas veces el divisor cabe en el dividendo. Cuntas veces es posible restarle 5 al nmero 19? Si se realizan las restas

sucesivas se ver que la cantidad de veces es 3 (cociente de la divisin) y en la

ltima resta quedan 4 unidades (resto de la divisin)



En la figura 2.A.22 se presentan ambos mtodos en la resolucin de la divisin 19/5 en

base 10.

19 5 19 5 19

-15 3 4 3 -5

4 14

-5

Por tanteo Restas Sucesivas 9

Cociente 3 Cociente 3 -5

Resto 4 Resto 4 4

Figura 2.A.22. Divisin en base 10 - Mtodos

La explicacin anterior es algo trivial cuando se trata del sistema de numeracin

decimal, porque se explicar en este libro cuentas del tipo 10/3 si es evidente que el

resultado ser 3 y el resto 1?. Sin embargo ser tan evidente el resultado si estos

nmeros estuviesen expresados en base 7?

A continuacin se aplicar los mtodos de divisin para resolver una divisin en base 7,

tomando como ejemplo 10/3:

1. Por tanteo ser necesario calcular el cociente probando por nmero multiplicar a 3 para aproximarse a 10 sin sobrepasarlo. Pero este producto

ser en base 7. Por lo cual resulta imprescindible comenzar a probar: 3 x 1=

3; 3 x 2= 6; 3x 3= 9 en decimal pero deber ser expresado en base 7 con lo

cual 3 x 3=12 (ver figura 2.23). De este modo el cociente ser 2 y el resto

surge de realizar 10 6; pero es necesario recordar que esta operacin

tambin debe efectuarse en base 7. Ver Figura 2.A.23.

10 3 3 3 3

- 6 2 x 1 x 2 x3

1 3 6 12

Por tanteo

Cociente 2

Resto 1

Figura 2.A.23. Divisin en base 7- Por tanteo

2. Restas sucesivas: En la figura 2.A.24 se procede a realizar la misma divisin por medio de restas sucesivas. Cabe destacar que dichas restas debern

efectuarse en base 7. Pudo efectuarse 2 restas (resultado del cociente) y en la

ltima de ellas se produce un resto de 1.

10 3 10

1 2 - 3

4

Por restas sucesivas -3

Cociente 2 1

Resto 1

Figura 2.A.24 Divisin en base 7- Restas sucesivas

Ambos mtodos son vlidos pudindose elegir uno u otro en forma indistinta.



2.A.5. Utilidad del Sistema Binario

De los sistemas de numeracin presentados en este captulo es el binario aquel que

cobrar fundamental importancia para los siguientes captulos. El sistema binario es el

utilizado para almacenar informacin en una computadora.

En electrnica digital se utilizan dispositivos y circuitos en los que slo existen dos

estados posibles de informacin. Por este motivo, cualquier dato deber ser

representado como una secuencia de dos valores, que pueden considerarse como s no,

abierto cerrado, encendido apagado (on off) o cualquier otra pareja de smbolos.

Por motivos prcticos se adoptan los smbolos 0 y 1, cuya sucesin proporciona

nmeros binarios ms fciles de tratar que las otras secuencias mencionadas, mediante

los cuales es posible realizar operaciones aritmticas y lgicas. Un nmero binario, por

ejemplo el 10101, est compuesto por una determinada cantidad de dgitos binarios

denominados Bit (Binary digit), en este caso el nmero est constituido por 5 bits.

Sin embargo en informtica no siempre se habla de bits. Sucede que en algunas

ocasiones la cantidad de bits es tan grande que es conveniente expresar dicha cantidad

de otro modo. Una persona que va a comprar un pendrive (medio de almacenamiento

extraible) seguramente no se le ocurrira solicitarlo pidiendo que tenga una capacidad de

536.870.912 bits, probablemente ser ms comn escuchar que la capacidad de dicho

dispositivo es de 64 GB. Lo mismo ocurre cuando se solicita un Kilo de pan y no 1.000

gramos. Si bien en matemtica el Kilo es equivalente a 1.000 en informtica resulta

conveniente expresar todo por medio de potencias de dos siendo 210

= 1024 el valor ms

prximo a 1.000 por ello recibe el nombre de Kilo.

En la tabla 2.A.13 se presentan las equivalencias y denominaciones. La unidad ms

pequea es el bit (un bit podr ser un 0 un 1), un conjunto de 4 bits recibe el nombre

de Nigle. Un conjunto de 8 bits se denominan Byte, de forma que Byte = 1 Nigle. A

partir del Byte se conforman el resto de las unidades 1024 Bytes = 1 KByte y a partir de

all cada 1024 (210

) existe otra unidad. Para facilitar la comprensin de las unidades, se

utiliza una aproximacin entre las potencias de 2 y las de 10, ya que 210

= 1024 es

aproximadamente 1.000 = 103.

Tabla 2.A.13. Nombres de las unidades en funcin de la cantidad de bits y bytes

Unidad Abre-

viatura

Equivalencia

entre unidades

Cantidad real de Bytes en

Potencias de 2

Cantidad aproximada de

Bytes en Potencias de 10

Bit 1 bit

Nibble 4 bits

Byte B 8 bits

Kilo K 1024 Bytes 210

103

Mega M 1024 KBytes 220

106

Giga G 1024 MBytes 230

109

Tera T 1024 GBytes 240

1012

Peta P 1024 TBytes 250

1015

Exa E 1024 PByte 260

1018

Zetta Z 1024 EByte 270

1021

Yotta Y 1024 ZByte 280

1024



Se recomienda observar el ejercicio 2.A.14 propuesto a continuacin utilizando la tabla

2.A.13


Cuntos bits representan 16 ZB?

Exprese el resultado por medio de una potencia de 2

Resolucin:

16 ZB= 16 x (210

x 210

x 210

x 210

x 210

x 210

x 210

x 8) bits

Producto de potencias de igual base se suman los exponentes de forma que podra

expresarse el clculo anterior como:

16 ZB = (16 x 270

x 8) bits

El nmero 8 que se ha incluido para poder pasar la cantidad de Bytes a bits, tambin

se puede expresar como 23, incluso 16 tambin podra ser expresado como 2

4.

16 ZB = (16 x 270

x 8) bits = (24 x 2

70 x 2

3) Bits = 2

77 bits

Resulta por supuesto ms conveniente decir 16ZB en vez de 277

para expresar dicha

cantidad en bits.

EB

PB TB

GB

MB

KB B



PARTE B. INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS NUMRICOS PARA APLICACIONES INFORMTICAS

Representacin interna de la informacin

- Autora: C.C. Mabel Cilenti

2.B.1. Introduccin

Los caracteres utilizados en los lenguajes naturales humanos y los nmeros decimales

son de uso corriente y comprendidos por las personas, ellos conforman lo que se

denomina representacin de datos externa, pero la computadora por su naturaleza

electrnica, no puede entender y usar esos smbolos y nmeros directamente, los datos

para ser tratados deben estar en forma binaria. Con representacin interna de datos se

hace referencia a los distintos mtodos de representar el lenguaje natural y los nmeros

decimales en binario dentro de la computadora, como fue explicado en 2.A.5.

2.B.2. Formas de representar a los nmeros enteros

Los nmeros enteros son aquellos que no poseen parte fraccionaria, se los representa en

notacin de punto fijo (en Argentina la coma), ubicando el punto decimal (la

coma) siempre en un lugar fijo que es a la derecha de la cifra menos significativa, de

all su nombre de punto fijo. Por ejemplo: el nmero entero 532 es igual al 532. representado en punto fijo. Ntese la ubicacin del punto fijo a la derecha del dgito

menos significativo, en este caso el 2.

Independientemente del mtodo utilizado para la representacin de los nmeros se debe

conocer n, la cantidad (fija) de bits que la computadora utiliza para almacenar

informacin a esta cantidad de bits que la computadora lee o graba todos juntos en una

sola accin se la denomina: longitud de palabra. Esta puede ser de 8 bits, 16 bits, 32

bits, 64 bits, etc.

Se pueden consideran las siguientes representaciones de nmeros enteros:

Binario puro (enteros sin signo)

Signo y mdulo (tambin denominado signo y valor absoluto).

Complemento a la base

Complemento a la base menos 1

Como el sistema de numeracin a emplear es binario (base 2), en las dos ltimas

representaciones puede sustituirse la palabra Base por el valor de la base, es decir 2. De

esta forma existen dos maneras de mencionar a dichas representaciones:

Complemento a la base (CB)= Complemento a dos (C2)

Complemento a la base menos 1(CB-1)= Complemento a 1(C1)



En cada representacin se tendr en cuenta dos parmetros importantes:

- Capacidad de representacin: la cantidad de tiras de bits distintas que se pueden representar. Por ejemplo si se tiene un sistema restringido a 4 bits,

existen 24 = 16 representaciones distintas.

- Rango o intervalo de representacin: dado por el nmero ms pequeo y el ms grande representables. Por ejemplo, en binario sin signo, con 4 dgitos es

[0,15].

2.B.2.1. Representacin en binario puro. Enteros sin signo

Existen algunas magnitudes que son siempre positivas, por ejemplo la edad de una

persona: 18 aos, la direccin de una vivienda: Rivadavia 1234, el nmero de DNI:

12345678.

Los enteros sin signo (siempre positivos) poseen un rango entre 0 y el infinito positivo,

las computadoras no pueden almacenar todos los enteros en este intervalo, para ello

necesitaran un nmero infinito de bits, lo que implicara una computadora con una

capacidad de almacenamiento infinita, cosa imposible, por lo tanto el mximo entero

depender de la longitud de palabra utilizada.

En esta convencin la representacin del valor numrico coincide con su expresin en

binario, siendo siempre positivo (ver ejemplo 2.B.1).

La cantidad de nmeros que se pueden representar con n bits es 2n, por ejemplo:

para n = 8 bits existen 256 representaciones distintas. Pero como los enteros incluyen al

0 y la cantidad total de nmeros que se pueden representar es 2n, el rango se expresa:

En general para palabras de n bits el rango para ENTEROS SIN SIGNO es desde

0 a 2n-1

Para palabras de 8 bits el rango es desde 0 a 28 -1

Para palabras de 8 bits el rango es desde 0 a 256 -1

Para palabras de 8 bits el rango es desde 0 a 255

Ejemplo 2.B.1. Representacin en binario puro (sin signo)

Representar los nmeros decimales 22 y 197 considerando una palabra de n = 8 bits



La tabla 2.B.1 muestra segn la cantidad de bits que se utilicen para el almacenamiento,

el rango de representacin en binario puro y algunos ejemplos.

Tabla 2.B.1. Rango de representacin en binario puro

2.B.2.2. Representacin en signo y mdulo. SM

Para la representacin de nmeros enteros con signo se asocia los dos posibles valores

del signo (+ y -) a los dos dgitos (0 y 1) del sistema binario mediante la utilizacin de

un bit.

En esta convencin el MSB (bit ms significativo, o sea el bit ms a la izquierda en la

palabra) representa el signo, por convencin 0 para + y 1 para el signo -, en el resto de

los n-1 bits va el valor absoluto o mdulo del nmero en binario. Para n = 8 bits, el

formato es el presentado en la Figura 2.B.1.

SIGNO MDULO o VALOR ABSOLUTO DEL NMERO

Figura 2.B.1. Formato de representacin en Signo y Mdulo para 8 bits.

El ejemplo 2.B.2. muestra las representaciones del mismo mdulo con signo positivo y

negativo. Obsrvese que la nica diferencia entre ambas representaciones es el signo

(dgito ms significativo, ubicado a la izquierda).

Esta forma es muy simple de implementar, pero de baja utilidad ya que si bien admite

nmeros signados, presenta algunos inconvenientes:

Cantidad de bits Rango de representacin

n [0 2n 1]

8 [0 255]

16 [0 ... 65535]

Ejemplo 2.B.2. Representacin en mdulo y signo

Representar el valor +35 y -35, con n= 8 bits, incluido el signo

Valor + 3510 = 0 01000112

Valor - 3510 = 1 01000112

Signo Valor absoluto

Ejercicio 2.B.1. Sugerido

Representar el nmero decimal 191 en binario puro y n= 8 bits.



- Tiene dos representaciones para el cero, una positiva y otra negativa, (para n= 8 bits) 00000000 y 10000000. No tiene sentido contar con dos combinaciones

para representar el cero, tampoco tiene sentido matemtico contar con un signo

para expresar al cero como positivo o negativo. Por ello es preciso descartar una

de estas combinaciones optndose por no utilizar la de signo negativo. Por lo

tanto si bien la cantidad de combinaciones distintas son 2n, 256 para el caso de 8

bits, solo pueden representarse 28 1 = 255 combinaciones.

- No permite realizar operaciones aritmticas, es decir, si bien el MSB indica el signo del valor representado, al hacer una operacin aritmtica dicho bit debe ser

tomado como un bit ms, sin hacer diferenciacin en la operacin. Esta situacin

se muestra en la figura 2.B.1 donde al realizar la suma de los nmeros +36 y -36

en esta convencin, se obtiene un resultado no nulo (-72), cuando el correcto es

cero.

Figura 2.B.2. Representacin SM, no vlida para operaciones aritmticas.

La cantidad de valores que se pueden representar con n bits sigue siendo 2n, pero ahora

la mitad sern positivos y la mitad negativos.

En la figura 2.B.3 se procede a escribir todas las combinaciones posibles con 3 bits (8

combinaciones), al considerar que el MSB representa el signo puede observarse que las

4 primeras se corresponderan con nmeros positivos y las 4 restantes con nmeros

negativos.

MSB

+

0 1 1 = + 3

0 1 0 = + 2

0 0 1 = + 1

0 0 0 = + 0

-

1 0 0 = - 0 (combinacin que se descarta)

1 0 1 = -1

1 1 0 = -2

1 1 1 = -3

Figura 2.B.3. Representacin SM, no vlida para operaciones aritmticas

El rango de representacin es diferente con respecto al visto para enteros sin signo,

debido a que se ha utilizado un bit para indicar el signo del nmero, quedando n1 bits

para representar su valor absoluto, por lo tanto el mximo valor posible es 2n1

1, y el

menor negativo es (2n1

1).

En la Tabla 2.B.2. se indica el rango de representacin en signo y mdulo segn la

cantidad de bits.

+ 3610 001001002

+ - 3610 + 101001002

010 110010002 (es el -72)10



Tabla 2.B.2. Rango de representacin en signo y mdulo

2.B.3. Complemento de un nmero.

2.B.3.1. COMPLEMENTO A LA BASE

El concepto de complemento se refiere a lo que le falta a un conjunto para alcanzar el

todo.

Por ejemplo: el complemento de {a, e, o} con respecto a todas las vocales es {i, o}. Lo

que le falta a: {a, e, o} para completar todas las vocales es {i, u}. Ver Figura 2.B.4.

Figura 2.B.4. Complemento.

El complemento a la base CN,B de un nmero positivo N de base B, es la diferencia entre la base elevada al nmero de cifras empleada para la representacin, y el valor que

se desea representar, esto se plasma en la expresin 2.B.1.

CN,B = Bn-N

N: nmero a representar, entero o fraccionario

B: base del sistema de numeracin

n: cantidad de cifras empleadas en la representacin del nmero

Expresin 2.B.1. Definicin de complemento a la base

Cantidad de bits Rango de representacin

N [-(2n-1

-1).., +0 .. 2n-1

-1]

8 [-127,+127]

16 [-32767,+32767]

Ejercicio 2.B.2 - Sugerido

Indique cul es el mnimo nmero de bits necesarios para representar en binario el

nmero decimal 256 en signo y mdulo.



NMERO = 3 COMPLEMENTO A LA BASE = 7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Figura 2.B.4.: Complemento a la Base del nmero 3 (C3,10 = 7)

El complemento se calcula siempre por exceso, o sea tomando potencias de B que sean

superiores a N.

En el Ejemplo 2.B.3 mostrado a continuacin se presentan tres casos para los cuales se

ha calculado el complemento a la base.

Tal como se ha comprobado en la Parte A, la base de un sistema de numeracin

expresada en dicha base ser siempre 10 (uno cero), por ello B se expresa como 10

en todos los casos, por facilidad n (exponente al que se eleva la base se ha representado

en decimal independientemente de la base en la que se est trabajando). Tomando el

tercer caso presentado en el ejemplo 3.3 el exponente 4 escrito en binario sera 100.

Es importante notar por otra parte que la resta a realizar deber llevarse a cabo en la

base que se est trabajando, ver figura 2.B.5.

Figura 2.B.5. Clculo del Complemento a la Base del nmero 11012

Si bien esta cuenta no resulta difcil de resolver, se provee a continuacin una regla

prctica que permite obtener el complemento a la base de un nmero binario sin

necesidad de realizar una cuenta:

Se recorre el nmero a complementar de derecha a izquierda, hasta el primer bit en 1

inclusive no se modifican, y el resto de los bits se invierten, unos por ceros y ceros por

unos. En la figura 2.B.6 se presentan algunos ejemplos.

A = 011011 A = 010100

---- ----

CA,2 = 100101 CA,2 = 101100

Figura 2.B.6. Regla prctica para hallar el complemento a 2

1 0 0 0 0 2 - 1 1 0 1 2

0 0 1 1 2

Ejemplo 2.B.3. Complemento a la base

C287,10 = 103 28710 =100010 28710 = 71310

C72,8 = 102 728 = 1008 728 = 68

C1101,2 = 104 11012 = 100002 11012 = 00112



2.B.3.2. COMPLEMENTO A LA BASE MENOS UNO

El complemento a la base menos uno de un nmero positivo, es la diferencia entre la

base elevada al nmero de cifras destinadas a representar el nmero menos uno y el

valor que se desea representar:

CN,B-1 = (Bn-1) - N

N es el nmero a representar, entero o fraccionario y B es la base del sistema de

numeracin en que est representado el nmero, en este caso tambin el complemento

es por exceso. En el ejemplo 2.B.4 se realizan complementos a la base menos uno de

nmeros expresados en distintas bases.

Regla prctica para obtener el complemento a la base menos uno de un nmero binario

(complemento a 1): se recorre el nmero a complementar cambiando los unos por ceros

y viceversa tal como se muestra en la figura 2.B.5.

A = 011011 A = 010100

---- ----

CA,B-1 = 100100 CA,B-1 = 101011

Figura 2.B.5. Regla prctica para hallar el complemento a 1

Se puede calcular el complemento a la base de un nmero, obteniendo primero su

representacin en complemento a la base menos uno, y luego sumarle 1 en la posicin

del bit menos significativo (ver el ejemplo 2.B.5).

Ejemplo 2.B.4. Complemento a la base menos

uno

C287,10-1 = (103 1) 287 = 999 287 = 71210

C72,8-1 = (102 1) 72 = 77 72 = 058

C1101,2-1 = (104 1) 1101 = 1111 1101 = 00102

Ejemplo 2.B.5. Complemento a la base, a travs del complemento a

la base menos uno

C287,10 = C287,10-1 + 1 = 71210 + 1 = 71310

C72,8 = C72,8-1 + 1 = 058 + 1 = 068

C1101,2 = C1101,2-1 + 1 = 00102 + 1= 00112

Comparar los resultados obtenidos con los del ejemplo 2.B.3.



2.B.3.3 UTILIZACIN DEL COMPLEMENTO EN OPERACIONES DE RESTA

El trmino complemento de un nmero es aplicable a todos los sistemas de numeracin

posicionales, pero es utilizado fundamentalmente en el sistema binario para entregar una

adecuada representacin de nmeros signados que permita operar con ellos, el mismo

puede ser utilizado para realizar la operacin de la resta a partir de una operacin de

suma. Si se desea restar dos nmeros M y S podra plantearse lo mostrado en la tabla

2.B.3.

Tabla 2.B.3. Expresiones equivalentes para la resta entre dos nmeros

Expresin de Partida: R = M S

La expresin no cambia si se suma y resta Bn

(una

potencia de la base, tal que sea mayor que M y S)

R = M + Bn

Bn

S

Reacomodamos los trminos R = M + (Bn

S) Bn

El parntesis de la expresin anterior representa al

complemento a la base del nmero S

R = M + CS,B Bn

A partir de la tabla 2.B.3 se puede concluir que la resta entre M y S se puede realizar

sumando a M el complemento a la base de S y eliminando luego la potencia de la base

que se utiliz para el clculo del complemento, como se muestra en la expresin 2.B.2.

R = M + CS,B Bn

Expresin 2.B.2. Resta utilizando complemento

A modo de ejemplo, en la figura 2.B.8 se realizar la resta de los nmeros 128 y 39,

expresados en el sistema decimal de numeracin, utilizando el concepto de

complemento a la base:

Figura 2.B.8. Resta de dos nmeros a travs de la suma del complemento

Se rest del resultado obtenido, la potencia de la base utilizada para calcular el

complemento (102).

En la figura 2.B.9 se puede observar la restar de los nmeros binarios 11001 y 00101

utilizando el complemento a la base.

428 39 = 389

428 + 61 = 489 - 102 = 389

(se resta el 10

2 del complemento)

C39,10 = 102 39

Ejercicio 2.B.3. - Sugerido

a) Calcule el complemento a la base de : A1FH y 1011001002

b) calcule el complemento a la base -1 de: 4678 y 111000102



Figura 2.B.9. Resta de dos nmeros binarios en complemento a 2

Se rest del resultado obtenido, la potencia de la base utilizada para calcular el

complemento (105), sencillamente se elimina el bit ms a la izquierda que excede la

cantidad de bits usados en la representacin.

Si bien el clculo de la resta utilizando la suma del complemento es ms largo, en el

caso de las computadoras que operan en binario, el resolver la resta por medio de la

suma del nmero complementado permite un ahorro en la estructura circuital de la

unidad de clculo, dado que las operaciones de suma y resta se resuelven

con el mismo circuito lgico.

Por todo lo expuesto, SLO se complementarn los nmeros negativos.

Otra forma de resolver la resta entre M y S es sumar a M el complemento a la base

menos 1 de S, eliminar luego la potencia de la base y al resultado obtenido sumarle 1

(ver expresin 2.B.3)

R = M + (Bn

- 1) (Bn 1)

S

R = M + [(Bn

- 1) - S] - Bn + 1

R = M + CS,B-1 - Bn

+ 1

Expresin 2.B.3. Resta a travs del complemento a 1

Otro caso a considerar es aqul en el cual el sustraendo es mayor que el minuendo y por

lo tanto el resultado de la resta es negativo. La figura 2.B.10 ejemplifica esta situacin

al restar el nmero decimales 128 de 39, utilizando el concepto de complemento a la

base:

Figura 2.B.10. Resta utilizando Complemento a 2

En esta oportunidad, la potencia de la base utilizada en el clculo del complemento

(103) no aparece explcitamente en el resultado como en los casos anteriores, por lo

tanto se debe restar del mismo para verificar el resultado de la resta: 911 1000 = -89,

lo que equivale a complementar el resultado obtenido.

Por lo tanto, cuando el resultado de una resta es negativo, la suma del minuendo y el

complemento del sustraendo da como resultado el complemento del resultado real.

A modo de ejercitacin resolver el ejercicio 2.B.4.

39 128 = -89

fundamentos de tics unidad 2 cuat 2 2013

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