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MHD’15 - FTD: 0 J. Bautista, G. López
Joaquín Bautista, Guillermo López
Fundamentos de Teoría de la Decisión
UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE CATALUNYA – BARCELONATECH
Modelos y Herramientas de Decisión – Máster Universitario de Ingeniería de Organización - ETSEIB
OPE – ORGANIZACIÓN DE LA PRODUCCIÓN Y DE EMPRESA (ASPECTOS TÉCNICOS, JURÍDICOS Y ECONÓMICOS EN PRODUCCIÓN )
OPE-PROTHIUS – OPE-MSc.2015/03 (20150201) - http://futur.upc.edu/OPE - www.prothius.com - Departamento de Organización de Empresas – UPC
MHD’15 - FTD: 1 J. Bautista, G. López
Contenido
Introducción
Universo. Tipología
Elementos de decisión
Métodos de decisión en universo incierto
Método de Bayes
Árboles de decisión
MHD’15 - FTD: 2 J. Bautista, G. López
Introducción
Concepto de decisión: Decidir es sinónimo de elegir.
• Utilidad: Es la información que comunica el universo al decisor.
• Acciones: Decisiones tomadas por el decisor.
Utilidad
Preferencias Acción
PROCESO DE DECISIÓN
DECISOR (RACIONAL)
UNIVERSO (REALIDAD)
ACCIONES POSIBLES
MHD’15 - FTD: 3 J. Bautista, G. López
Universo. Tipología Tipos de universo: • Universo determinista: Se conoce con certeza el estado de la naturaleza sj que se presentará.
Sólo intervienen factores perfectamente definidos y conocidos. Se produce un estado de la naturaleza (a cada acción corresponde una y solo una consecuencia).
• Universo aleatorio: No se conoce con certeza el estado de la naturaleza sj que se presentará.
Puede existir una ley de probabilidad objetiva.
• Universo incierto: Diversos estados de la naturaleza posibles. Ninguna ley de probabilidad objetiva referida a ellos (pueden distinguirse diversos niveles de incertidumbre).
• Universo hostil: Diversos estados de la naturaleza posibles. Ninguna ley de probabilidad objetiva referida a ellos, pero el estado de la naturaleza está influido por la decisión de otros entes inteligentes con objetivos no coincidentes con el decisor.
ACCIÓN An ESTADO Un RESULTADO Rn (An,Un)
MHD’15 - FTD: 4 J. Bautista, G. López
Elementos de decisión
Elementos:
• Estados de la naturaleza: Situaciones en las que nos encontramos.
• Acciones del decisor: Alternativas ante la elección.
• Utilidad (resultados): Evaluación de las consecuencias al elegir (ganancias o perdidas).
sj !Sai !Auij !R
s1 s2 … sn
a1 u11 u12 u1n
a2 u21 u22 u2n
…
am um1 um2 umn
MHD’15 - FTD: 5 J. Bautista, G. López
Ejemplo 1. Descripción
Ejemplo 1. Enunciado:
Una empresa quiere hacer una inversión. Los posibles estados de la naturaleza en los que se puede encontrar son:
- Crecimiento. - Leve crecimiento. - Leve recesión. - Recesión.
Y las acciones que se plantea la empresa son: - Mantenerse. - Fuerte crecimiento. - Leve crecimiento. - Diversificarse.
Determinar la decisión que hará obtener un mayor beneficio a la empresa.
MHD’15 - FTD: 6 J. Bautista, G. López
Ejemplo 1. Datos Ejemplo 1. Tabla de utilidades Acciones vs. Estados:
Crecimiento Leve crecimiento Leve recesión Recesión
Mantenerse 3 2 2 0
Fuerte crecimiento 4 2 0 0
Leve crecimiento 6 2 0 -2
Diversificarse 1 1 2 2
Resultados (Utilidades)
Acci
ones
Estados
uij=Utilidad de la acción i frente al estado j.
MHD’15 - FTD: 7 J. Bautista, G. López
Métodos de decisión. Descripción
Métodos para la toma de decisiones (Universo incierto):
Existen diversos métodos para la toma de decisiones:
• Método Plunger (optimista): para cada alternativa se supone que pasará lo mejor, y se elige la que ofrezca mejor valor. No considera riesgo.
• Método Wald (pesimista): Para cada alternativa se supone que va a pasar lo peor, y elige aquella alternativa que ofrezca mejor valor. De esta forma se asegura que en el peor de los casos se obtenga lo mejor posible.
• Método Hurwitz: combina las actitudes pesimista y optimista, valorando cada alternativa con una ponderación entre lo mejor y lo peor posible.
• Método Laplace: pondera de igual forma todas las opciones estableciendo una media del valor de las utilidades en función de los diferentes estados de la naturaleza.
• Método Savage (costes de oportunidad): Este criterio toma en consideración el coste de oportunidad o penalización por no prever correctamente el estado de la naturaleza más favorable.
MHD’15 - FTD: 8 J. Bautista, G. López
Métodos de decisión. Formulación (1)
Método optimista: PLUNGER
Realizar aquella acción que en el mejor caso proporcione la satisfacción máxima (se cree que siempre pasa lo mejor).
Ganancias: Pérdidas:
Método pesimista: WALD
Realizar aquella acción tal que en el peor de los casos proporcione la satisfacción máxima (se cree que siempre pasa lo peor).
Ganancias: Pérdidas:
maxi max j uij( )!" #$ mini min j lij( )!" #$
maxi min j uij( )!" #$ mini max j lij( )!" #$
MHD’15 - FTD: 9 J. Bautista, G. López
Métodos de decisión. Formulación (2)
Método HURWITZ
El decisor es ‘α optimista’ y ‘(1-α) pesimista’.
‘α’ define el grado de predilección de una persona u otra ante una acción (0 ≤ α ≤ 1). Índice de optimismo. Si α = 1, el criterio es demasiado optimista ; y si α = 0 es demasiado pesimista.
Ganancias:
Pérdidas:
maxi ! !max j uij( )+ (1"! ) !min j uij( )#$ %&
mini ! !min j lij( )+ (1"! ) !max j lij( )#$ %&
MHD’15 - FTD: 10 J. Bautista, G. López
Métodos de decisión. Formulación (3)
Método HURWITZ:
Comportamiento al variar el parámetro α.
Frente Pareto: Para α > 0.5 → a3 Para α = 0.5 → a3 , a2 Para α < 0.5 → a2 , a4
‐3
‐2
‐1
0
1
2
3
4
5
6
7
a=0 a=0,5 a=1
a1
a2
a3
a4
! = 0.5 ! = 0! =1
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Métodos de decisión. Formulación (4)
Método LAPLACE
Ante la falta de información sobre la frecuencia de cada estado, se adopta la visión en que los estados son igualmente probables: Principio de la Razón Insuficiente.
Ganancias: Pérdidas:
Método SAVAGE
Concepto de frustración: Si se alcanza el mejor resultado, no hay frustración; pero si no se alcanza, la frustración (acción/estado) es la diferencia entre el máximo alcanzable por las acciones ante un estado y la utilidad obtenida (acción/estado).
Criterio: Minimizar la máxima frustración dadas
Ganancias: Pérdidas:
fij
maxi1n
uijj=1
n
!"
#$
%
&' mini
1n
lijj=1
n
!"
#$
%
&'
fij =maxi uij( )! uij "mini max j fij( )#$ %& fij = lij -mini lij( )!mini max j fij( )"# $%
MHD’15 - FTD: 12 J. Bautista, G. López
Ejemplo 1. Soluciones Ejemplo 1. Aplicación de métodos:
Una empresa quiere hacer una inversión.
C LC LR R
M 3 2 2 0
FC 4 2 0 0
LC 6 2 0 -2
D 1 1 2 2
Plunger Wald Hurwitz Laplace
3 0 3/2 7/4
4 0 2 6/4
6 -2 2 6/4
2 1 3/2 6/4
C LC LR R Savage
M 3 0 0 2 3
FC 2 0 2 2 2
LC 0 0 2 4 4
D 5 1 0 0 5
α=0.5
Estados: - Crecimiento. - Leve crecimiento. - Leve recesión. - Recesión.
Acciones: - Mantenerse. - Fuerte crecimiento. - Leve crecimiento. - Diversificarse.
fij =maxi uij( )! uij "mini max j fij( )#$ %&
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Método de Bayes. Concepto
Decisión en universo aleatorio:
Ahora tenemos una idea de lo que puede suceder. Disponemos de unas probabilidades de que ocurran una serie de sucesos.
• Utilidad de Bayes (UB):
Se promedian las utilidades de cada acción (esperanza matemática) y se escoge aquella que proporcione una mayor utilidad o un menor riesgo.
Ganancias: Pérdidas: maxi pj !uij( )j"#$ %&
mini pj ! l ij( )j"#$ %&
MHD’15 - FTD: 14 J. Bautista, G. López
Método de Bayes. Aplicación
Bayes en Ejemplo 1:
Una empresa quiere hacer una inversión.
Utilidad de Bayes
P 0.1 0.2 0.4 0.3 EM
C LC LR R
M 3 2 2 0 1.5
FC 4 2 0 0 0.8
LC 6 2 0 -2 0.4
D 1 1 2 2 1.7
Esperanza Matemática
Estados naturaleza: - Crecimiento. - Leve crecimiento. - Leve recesión. - Recesión. Posibles acciones: - Mantenerse. - Fuerte crecimiento. - Leve crecimiento. - Diversificarse.
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Método de Bayes. Valor de la información
Valor de la información adicional:
• Utilidad Media Límite / Pérdida Media Inevitable (UML/PMI): Es el mejor valor que se puede obtener eliminando la incertidumbre del sistema.
Ganancias: Pérdidas:
• Perdida por Falta de Información (PFI): Es lo máximo que se está dispuesto a pagar por tener la información (por eliminar la incertidumbre).
Ganancias: Pérdidas:
UML = pjj! "maxi (uij ) PMI = pj
j! "mini (lij )
UBUMLPFI −= PMIUBPFI −=
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Probabilidades:
Dado un fenómeno, intentar truncar las probabilidades a través de la experimentación.
• Probabilidad a priori: Probabilidad de cada uno de los estados de la naturaleza antes del experimento.
• Probabilidad condicional: Probabilidad de que el resultado de un experimento sea cuando se está en el estado .
P(xk sj )
xk sj
P(sj )
Método de Bayes. Experimentación (1)
MHD’15 - FTD: 17 J. Bautista, G. López
• Probabilidad marginal: Probabilidad de que suceda en cualquier caso un resultado concreto de un experimento.
• Probabilidad a posteriori: Probabilidad de estar en un estado concreto cuando el resultado de un experimento ha sido
P(xk ) = P(s jj! ) "P(xk sj )
P(sj xk ) =P(xk sj ) !P(sj )
P(xk )
xk
Método de Bayes. Experimentación (2)
MHD’15 - FTD: 18 J. Bautista, G. López
Enunciado. Ejemplo 2:
De un proceso llega un lote de 10 piezas que puede ser de 2 tipos (aceptable e inaceptable). Si se acierta el tipo de lote, hay una ganancia de 100 um; si se falla, la ganancia es nula.
Lote bueno
Lote malo
Procesar
Descartar
Se permite realizar un experimento (sacar una pieza) con un coste de 25 um
¿Conviene o no conviene realizar el experimento?
Lote 1 (caja 1) Lote 2 (caja 2)
0.5 0.5
Ejemplo 2. Descripción
MHD’15 - FTD: 19 J. Bautista, G. López
Ejemplo 2. Contexto
1.- 747 piezas y 330 referencias en 6 versiones del motor diesel 2.- Nº de operaciones de Montaje: 378 (incluida la prueba rápida). 3.- Nº de operarios, para un turno de 301 motores: 79
1.- Montaje: 9 tipos de motores de 3 familias: 4x4 (p1 a p3); furgonetas (p4, p5); camiones MT (p6 a p9). 2.- Nº de operaciones: 140. Atributos: temporales, espaciales y de riesgo 3.- Demanda diaria: 30 motores de cada tipo (instancia #1 Nissan-BCN), 2 turnos de 6h 45’ (8h): c=180 s.
Características de la fabricación
Características de un motor
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Ejemplo 2:
Sin experimento.
Conclusiones:
- Si podemos abrir lote para decidir → U = 100
- Si podemos sacar 1 pieza → U↑
Por lo tanto, si UB (con experimento) > 50 + 25 =75 → Realizar experimento.
UB = 50 UML = 100 · 0.5 + 100 · 0.5 = 100
PFI = UML – UB = 100 – 50 = 50
Obviamente: “Cuanto más conocimiento se tiene de un problema, mejores decisiones se toman.”
P 0.5 0.5 EM
s1 s2
a1 100 0 50
a2 0 100 50
UML = utilidad media límite
UB = utilidad de Bayes
PFI = pérdida por falta de información
Ejemplo 2. Solución (1)
MHD’15 - FTD: 21 J. Bautista, G. López
Ejemplo 2:
• Probabilidad a priori:
• Probabilidad condicional:
• Probabilidad marginal:
• Probabilidad a posteriori:
P(s1) = 0.5 P(s2 ) = 0.5
P(x1 s1) = 9 10 = 0.9 P(x2 s1) =1! 0.9 = 0.1P(x1 s2 ) = 3 10 = 0.3 P(x2 s2 ) =1! 0.3 = 0.7
P(x1) = 0.5 !0.9 + 0.5 !0.3 = 0.6P(x2 ) = 0.5 !0.1+ 0.5 !0.7 = 0.4
P(s1 x1) =0.9 !0.50.6
= 0.75 P(s2 x1) =0.3!0.50.6
= 0.25
P(s1 x2 ) =0.1!0'50.4
= 0.125 P(s2 x2 ) =0.7 !0.50.4
= 0.875
Probabilidad de escoger lote S2 (7 buenas, 3 malas)
Probabilidad de sacar una pieza buena en lote S1 (9 buenas, 1 mala).
Probabilidad de sacar una pieza mala en lote S2
P(sj xk ) =P(xk sj ) !P(sj )
P(xk )
P(xk sj )
P(sj )
P(xk ) = P(s jj! ) "P(xk sj )
Ejemplo 2. Solución (2)
MHD’15 - FTD: 22 J. Bautista, G. López
Ejemplo 2:
Realizamos experimento → Sacamos 1 pieza
a) La pieza es buena:
b) La pieza es mala:
UB = 75
UB = 87.5
Si la pieza extraída es una pieza buena, la decisión es que pertenece al Lote 1, obteniendo una utilidad de 75 um.
P 0.75 0.25 EM
s1 s2
a1 100 0 75
a2 0 100 25
P 0.125 0.875 EM
s1 s2
a1 100 0 12.5
a2 0 100 87.5
Hacen referencia a x1 (pieza buena)
Ejemplo 2. Solución (3)
Si la pieza extraída es una pieza mala, la decisión es que pertenece al Lote 2, obteniendo una utilidad de 87.5 um.
MHD’15 - FTD: 23 J. Bautista, G. López
Ejemplo 2:
Por lo tanto, la Utilidad de Bayes del sistema realizando el experimento será:
En conclusión, como la “UB (con experimento)” es mayor que “UB (sin experimento) + Coste de la información”: 75. Ergo:
Conviene realizar el experimento!
UB = 0.6 · 75 + 0.4 · 87.5 = 80 > 75
Ejemplo 2. Solución (4)
MHD’15 - FTD: 24 J. Bautista, G. López
Árboles de decisión. Concepto
Estudio de problemas polietápicos:
Tipos de vértices:
• De decisión: Utilidad esperada a obtener si se toma la mejor opción posible.
• De azar: Utilidad esperada a obtener según las probabilidades de cada situación.
• Terminales: Utilidad obtenida (Resultados).
uA = pj !uij( )j"lA = pj !uij( )j"
uD =max(R1,...Rn )lD =min(R1,...Rn )
R1
Rn
UD
UA
R1
R n
R i
MHD’15 - FTD: 25 J. Bautista, G. López
Ejemplo 2:
Un árbol de decisión del ejemplo de los lotes con piezas:
I
I
I I
I I
I I I
I I I
IV
IV
Caja1(0'5)
Caja2(0'5)
S í‐25
Sí‐25
No
No
Caja1
Caja2
100
0
B lanca(0'9)
A zul(0'1)
100
100
100
100
100
0
0
0
0
0
Caja1
Caja2
Caja1
Caja2
Caja1
Caja2
Caja1
Caja2
Caja1
Caja2
B lanca(0'3)
A zul(0'7)
Árboles de decisión. Representación
MHD’15 - FTD: 26 J. Bautista, G. López
Árboles de decisión. Estrategias puras (1)
Una estrategia es una secuencia de acciones frente a una secuencia de conjuntos de información.
E1 E2 E3 E4 E5 E6 I No No Si Si Si Si II Lote 1 Lote 2 - - - -
III (blanca) - - Lote 1 Lote 2 Lote 1 Lote 2 IV (azul) - - Lote 1 Lote 2 Lote 2 Lote 1
En el Ejemplo 2: Seis estrategias posibles frente a los conjuntos de información
MHD’15 - FTD: 27 J. Bautista, G. López
I
I
I I
I I
I I I
I I I
IV
IV
Caja1(0'5)
Caja2(0'5)
S í‐25
Sí‐25
No
No
Caja1
Caja2
100
0
B lanca(0'9)
A zul(0'1)
100
100
100
100
100
0
0
0
0
0
Caja1
Caja2
Caja1
Caja2
Caja1
Caja2
Caja1
Caja2
Caja1
Caja2
B lanca(0'3)
A zul(0'7)
E1 E2 E3 E4 E5 E6 I No No Si Si Si Si II Lote 1 Lote 2 - - - -
III (blanca) - - Lote 1 Lote 2 Lote 1 Lote 2 IV (azul) - - Lote 1 Lote 2 Lote 2 Lote 1
I II III (blanca) IV (azul) Utilidad media
E1 0 (No) 100 (0.5) + 0 (0.5) - 50
E2 0 (No) 0 (0.5) + 100 (0.5) 50
E3 -25 (Si) - 75 (0.6) 12.5 (0.4) 50 – 25 = 25
E4 -25 (Si) - 25 (0.6) 87.5 (0.4) 50 – 25 = 25
E5 -25 (Si) - 75 (0.6) 87.5 (0.4) 80 – 25 = 55
E6 -25 (Si) - 25 (0.6) 12.5 (0.4) 20 – 25 = -5
Árboles de decisión. Estrategias puras (2)
MHD’15 - FTD: 28 J. Bautista, G. López
Ejemplo 3:
Una empresa tiene tres opciones sobre su futuro:
Opción a: Continuar con su producto → Obtendrá un beneficio de 10 um.
Opción b: Modificar su producto → Supone un coste de 5 um.
- Hay una probabilidad del 60% de que salga bien → Beneficio de 35 um.
- Si sale mal: - Puede hacer la “opción b2” → Beneficio de 17.5 um.
- Puede cerrar → Beneficio de 15 um.
Opción c: Fabricar un nuevo producto → Supone una inversión de 1 um.
- Hay una probabilidad del 75% de que salga bien → Beneficio de 20 um.
- Si sale mal → Beneficio de 10 um.
Ejemplo 3. Descripción
MHD’15 - FTD: 29 J. Bautista, G. López
Ejemplo 3:
Árbol de decisión:
Ejemplo 3. Solución (1)
I I
OK(0'6)
K O(0'4)
35
17'5
10
2015
c
C ierraOK(0'75)
K O(0'25)
I
10
a
c‐1
b‐5
b2
MHD’15 - FTD: 30 J. Bautista, G. López
Ejemplo 3:
Árbol de decisión:
Ejemplo 3. Solución (2)
I I
OK(0'6)
K O(0'4)
35
17'5
10
2015
c
C ierraOK(0'75)
K O(0'25)
I
10
a
c‐1
b‐5
17'5
b2
MHD’15 - FTD: 31 J. Bautista, G. López
Ejemplo 3:
Árbol de decisión:
Ejemplo 3. Solución (3)
I I
OK(0'6)
K O(0'4)
35
17'5
10
2015
c
C ierraOK(0'75)
K O(0'25)
I
10
a
c‐1
b‐5 28
17'5
17'5
b2
MHD’15 - FTD: 32 J. Bautista, G. López
Ejemplo 3:
Árbol de decisión:
Ejemplo 3. Solución (4)
I I
OK(0'6)
K O(0'4)
35
17'5
10
2015
c
C ierraOK(0'75)
K O(0'25)
I
10
a
c‐1
b‐5
2328
17'5
17'5
b2