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PROBABILIDAD Y ESTADSTICATrabajo final2015-1GRUPO 26

PREZ HERNNDEZ EVELYNRIVERA HERNNDEZ MARIO ANGELVILLAR REYES RENE

1TemasAnlisis estadstico de datos mustralesFundamentos de la teora de la probabilidad Variables aleatoriasModelos probabilsticos comunes Variables aleatorias conjuntas1. Anlisis estadstico de datos mustrales

1. Anlisis estadstico de datos mustrales.Definicin de probabilidad: Es el cociente entre la frecuencia observada del suceso y el total de observaciones cuando el experimento se realiza un nmero grande de veces. siempre podemos predecir exactamente lo que va a ocurrir. la probabilidad es la disciplina matemtica que estudia estos experimentos.Definicin de estadstica: En el lenguaje comun es conocida como un conjunto de datos. Se refiere a un conjunto de metodos para manejar la obtencion, presentacin y el anlisis de observaciones numricas. Sus fines son: Describir al conjunto de datos obtenidos y tomar decisiones, o bien, realizar generalizaciones acerca de las caractersticas de todas las posibles observaciones bajo consideracin.

Estadstica DescriptivaEn el lenguaje comn es conocida como un conjunto de datos. Se refiere a un conjunto de mtodos para manejar la obtencin, presentacin y el anlisis de observaciones numricas. Sus fines son: Describir al conjunto de datos obtenidos y tomar decisiones, o bien, realizar generalizaciones acerca de las caractersticas de todas las posibles observaciones bajo consideracin.De hay el number de estadstica descriptive, ya que el objetivo ser, a partir de una muestra de datos, la descripcin de las caractersticas ms importantes, entendiendo como caractersticas, aquellas cantidades que nos proporcionen informacin sobre el tema de inters del cual hacemos el estudio.

Estadstica InferencialEs una tecnica de la cual se obtienen generalizaciones o se toman decisiones con base a informacion parcial o incompleta obtenida mediante tecnicas descriptivas.

Probabilidad y EstadsticaEn esencia, la probabilidad es el vehculo que le permite a la estadstica usar la informacin contenida en una muestra para hacer inferencias o para describir la poblacin de la cual se ha obtenido la muestra.Los mtodos estadsticos matemticos emergieron desde la teora de probabilidad, la cual data desde la correpondencia entre pierre de fermat y blaise pascal.

Conceptos bsicosPoblacin: Conjunto de todas las posibles observaciones. Sinnimo de Conjunto Universal se le define como la totalidad de todas las posibles mediciones observables.

ModeloEs una disciplina que mide lo que no sabemos que va a pasar, es decir es el estudio de la incertidumbre. Podemos estudiar stos experimentos aleatorios cuando stos se comparan con los fenmenos determinsticos.Fenmeno observableFenmenoDefinicin de probabilidadEs una manifestacin de carcter material o humanoLo que sucede en la realidad (todo el mundo lo ve). Para conocer el funcionamiento de un fenmeno observable se realizan experimentos con modelos matemticos Probabilsticos.Describen el funcionamiento de un fenmenoExperimentos determinsticos y aleatoriosExperimentoEs toda accin que se realiza con el fin de observar el resultado. *Los experimentos deterministas o determinsticos son fenmenos en los cuales se obtiene un resultado preciso. Podramos decir que es una prueba de laboratorio planeada o controlada. Por ejemplo pesar una barra de pan, averiguar el tiempo para ir de la casa al trabajo en una maana en particular, obtener los tipos de sangre de un grupo de individuos o medir las resistencias compresivas de diferentes vigas de acero, etc.

*Los experimentos aleatorios son fenmenos sujetos a incertidumbre, es decir no se pueden predecir con exactitud. Por ejemplo lanzar al aire una moneda una vez o varias veces, seleccionar una o diversas cartas de una baraja, tirar un par de dados, etc.Conceptos bsicosMuestra. Conjunto de observaciones o medidas tomadas a partir de una poblacin dada, es decir, es un subconjunto de la poblacin. Desde luego, la cardinalidad de la muestra depende de la cardinalidad de la poblacin. Las muestras deben ser representativas para evitar un sesgo u error. Estadsticos Mustrales. En lo general, son las caractersticas medibles de una muestra

MuestreoEl muestreo es la tcnica seguida para obtener o extraer una muestra. Su ventaja radica en que nos permite conocer, con un grado de aproximacin aceptable, a partir de sus caractersticas, las caractersticas propias de la poblacin de la cual proviene. Esto resulta invaluable, tomando en cuenta que en la mayora de los casos, las caractersticas de las muestras son desconocidas.

Ejemplo: En un pas se van a considerar los habitantes que ganan entre 100 mil y 200 mil pesos mensuales.el universo son los habitantes de ese pas, el tamao de la poblacin es la cantidad de gente que gana entre 10 mil y 20 mil pesos, la muestra son los individuos que ganan entre 10 mil y 20 mil pesos y que adems viven en la ciudad del pas en cuestin.frecuencia: es una muestra hay n elementos. sean x1, x2,,xk k valores numricos asociados a determinados del experimento.

Frecuencia RelativaDonde: FI es la frecuencia de ocurrencia del resultadoN el tamao de la muestraHistogramaEl Histograma en una grafica de barras o columnas que se construye en un sistema coordenado en cuyo eje horizontal o de abscisas se detallan los intervalos de clase y en el eje vertical o de ordenadas se ubican las frecuencias o las frecuencias relativas.

Polgono de frecuenciasEl polgono de frecuencias es una lnea quebrada que une los puntos de interseccin de la abscisa que corresponde a la marca de clase con la ordenada que puede ser la frecuencia o la frecuencia relativa. El polgono se cierra con el eje horizontal al iniciarlo en el lmite inferior del primer intervalo de clase y concluirloen el lmite superior del ltima intervalo de clase.

Espacio muestralEventoEs un subconjunto del espacio muestral (S). Un evento al ser un subconjunto de un espacio muestral cuenta con las mismas caractersticas en sus resultados.

Parmetros de las Distribuciones EmpricasMEDIaresulta al efectuar un aserie determinada de operaciones con un conjunto de nmeros y que, en determinadas condiciones puede representar por si slo el conjuntoLa media se confunde a veces con la mediana o moda. La medida aritmtica es el promedio de un conjunto de valores, su distribucin; sin embargo, para las distribuciones con sesgo, la media no es necesariamente el mismo valor que la mediana o que la moda. . La media, moda y mediana son parmetros caractersticos de una distribucin de probabilidad. Es a veces una forma el sesgo de una distribucin tal y como se puede hacer en las distribuciones exponenciales y de Poisson.La media aritmtica es un promedio estndar que a menudo se denomina promedio

MEDIANAEs un valor tal que la mitad de las observaciones son menores que ese valor y la otra mitad mayores que el mismo. para determinar la mediana conviene ordenar los valores observados del menor al mayor.

Ejemplo de Mediana:Para calcular la mediana, ordena los nmeros que te han dado segn su valor y encuentra el que queda en el medio.Mira estos nmeros:3, 13, 7, 5, 21, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29

Si los ordenamos queda:

3, 5, 7, 12, 13, 14, 21, 23, 23, 23, 23, 29, 39, 40, 56

Hay quince nmeros. El del medio es el octavo nmero:

3, 5, 7, 12, 13, 14, 21, 23, 23, 23, 23, 29, 39, 40, 56

La mediana de este conjunto de valores es 23.MODA:

La moda estadstica es el valor que ms se repite en un grupo de nmeros.

Para averiguar la moda en un grupo de nmeros:

Ordena los nmeros segn su tamao.Determina la cantidad de veces de cada valor numrico.El valor numrico que ms se repite es la moda.Puede haber ms de una moda cuando dos o ms nmeros se repiten la misma cantidad de veces y adems este es el mximo nmero de veces del conjunto.No hay moda si ningn nmero se repite ms de una vez.Ejemplo: La moda de 2, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 8, 9, 12 es 5.VARIANZA

La varianza (que es el cuadrado de la desviacin estndar: 2) se define as:

Es la media de las diferencias con la media elevadas al cuadrado.

En otras palabras, hay que seguir estos pasos:

1. Calcula la media (el promedio de los nmeros)2. Ahora, por cada nmero resta la media y eleva el resultado al cuadrado (la diferencia elevada al cuadrado).3. Ahora calcula la media de esas diferencias al cuadrado.

Formulas de Estadstica DescriptivaPara datos no agrupados

Para datos agrupados

TEMA 2. FUNDAMENTOS DE LA TEORA DE LA PROBABILIDADTipos de eventos*Evento simple: Se dice que un evento simple consiste en exactamente un resultado, y compuesto consta de ms de uno.Teora de conjuntos*Eventos mutuamente excluyentes : Se dice que A y B son mutuamente excluyentes cuando A y B no tienen resultados en comn. Puede ocurrir A sin que ocurra B

*Eventos No excluyentes: Se dice que A y B son No mutuamente excluyentes si dependen uno del otro, es decir si sucede A tambin B.SABABSMtodos de conteoTeorema fundamental del conteoPermutacionesCombinacionesSon arreglos de r elementos, de n disponibles de tal forma que 2 combinaciones son diferentes si tienen al menos un elemento diferente. El orden no importa

Escuelas de la probabilidadDados un experimento y un espacio muestral S, el objetivo de la probabilidad es asignar a cada evento A, un nmero P(A), denominado probabilidad del evento A, que dar una medida ms precisa de la probabilidad de que ocurra el evento A.La asignacin correcta o adecuada depende de la manera cmo se realiza un experimento, y tambin de la interpretacin que se haga de la probabilidad, y sta se da a travs de diferentes escuelas:Escuela ClsicaLa probabilidad de un evento A que pertenece a un espacio muestral S es igual aEscuela SubjetivaSon estimaciones, conclusiones sobre asuntos determinados, con base en la experiencia, el conocimiento y la intuicin. Consulta a expertos.Escuela FrecuentistaConsiste en hacer un experimento con base en pruebas directas. El nmero de veces que se cumple un resultado dentro del mbito de evento en estudio o intersEscuela AxiomticaManeja de 3 Axiomas de la Probabilidad:AXIOMA 1AXIOMA 2AXIOMA 3La probabilidad se apoya tambin de 3 Teoremas:TEOREMA 2TEOREMA 1TEOREMA 3Escuela BayesianaEntonces decimos que la probabilidad de A dado que ya sucedi BProbabilidad condicionalBASProbabilidad Total

Teorema de BayesDiagramas de rbolEn muchos problemas de conteo y probabilidad, se puede usar una configuracin denominada diagrama de rbol para representar en formagrfica todas las posibilidades. Comenzando en un punto en el lado izquierdo del diagrama, para cada posible primer elemento de un par sale a la derecha del segmento de recta. Cada una de stas lneas se conoce como rama de primeraGeneracin. Ahora bien, para cualquier rama de primera generacin, se construye otro segmento de recta que sale de la punta de la rama para cada eleccin posible de un segundo elemento del par.

Eventos IndependientesQuiere decir que la probabilidad de cada evento es independiente entre s o sea que la probabilidad es la misma para cada evento. Al considerar la probabilidad condicional de algn evento A, dada la ocurrencia de otro evento B, siempre se implica que las probabilidades A y B son de alguna manera independientes entre s. En otras palabras, la informacin con respecto a laocurrencia de B no tiene ningn efecto sobre la probabilidad de A.

ste concepto se usa mucho en resolucin de Sistemas.

SistemaConjunto de partes que interactan y persiguen un propsito.Sistema en serieSistema en paralelo3. Variables aleatorias

Variable aleatoriaUna variable aleatoria es una funcin cuyos valores son nmeros reales, definido en un espacio muestral. de manera simple puede denotarse por:x: s rUsualmente se denotan a las variables aleatorias utilizando las ltimas letras maysculas del alfabetoLos valores de la imagen de dicha funcin, se conocen como valores de la variable aleatoria

El propsito de la variable aleatoria es mapear cada punto del espacio muestral en un punto de un eje real, puesto que es una regla de asignacin entonces es una funcin.

Ejemplo 1:El tirar monedas, sean 3 monedas lanzadas aleatoriamente:n(s)={8}si x: nmero de guilasrx={x|x=0,1,2,3}

Variables aleatorias discretasSe denomina variable aleatoria discreta aquella que slo puede tomar un nmero finito de valores dentro de un intervalo. Por ejemplo, el nmero de componentes de una manada de lobos, pude ser 4 5 6 individuos pero nunca 5,75 5,87. DensidadSe denomina densidad discreta a la probabilidad de que una variable aleatoria discreta X tome un valor numrico determinado (x). Se representa:f(x) = P[X=x] La suma de todas las densidades ser igual a 1

Funcin de probabilidadEn teora de probabilidad, una funcin de probabilidad (tambin denominada funcin de masa de probabilidad) es una funcin que asocia a cada punto de su espacio muestral X la probabilidad de que sta lo asuma.La grfica de una funcin de probabilidad de masa, note que todos los valores no son negativos, y la suma de ellos es igual a 1.La funcin de masa de probabilidad de un dado. Todos los nmeros tienen la misma probabilidad de aparecer cuando este es tirado.

En concreto, si el espacio muestral, E de la variable aleatoria X consta de los puntos x1, x2, ..., xk, la funcin de probabilidad P asociada a X es donde pi es la probabilidad del suceso X = xi.

Por definicin de probabilidad,

Hay que advertir que el concepto de funcin de probabilidad slo tiene sentido para variables aleatorias que toman un conjunto discreto de valores. Para variables aleatorias continuas el concepto anlogo es el de funcin de densidad.

Debe observarse con mucho cuidado el hecho de que una vez definida la v.a. debe poderse obtener el rango de dicha variable, es decir el conjunto de valores que la variable aleatoria puede tomar, sin embargo, el dominio de la funcin de probabilidad puede extenderse a todos los reales, para facilitar la notacin en anlisis posteriores Una funcin de probabilidad generalmente se representa de manera grfica utilizando lneas verticales que representan la probabilidad.Variables aleatorias continuasUna variable aleatoria X es continua si su funcin de distribucin es una funcin continua.En la prctica, se corresponden con variables asociadas con experimentos en los cuales la variable medida puede tomar cualquier valor en un intervalo: mediciones biomtricas, intervalos de tiempo, reas, etc.

Ejemplos

Resultado de un generador de nmeros aleatorios entre 0 y 1. Es el ejemplo ms sencillo que podemos considerar, es un caso particular de una familia de variables aleatorias que tienen una distribucin uniforme en un intervalo [a, b]. Estatura de una persona elegida al azar en una poblacin. El valor que se obtenga ser una medicin en cualquier unidad de longitud (m, cm, etc.) dentro de unos lmites condicionados por la naturaleza de la variable. El resultado es impredecible con antelacin, pero existen intervalos de valores ms probablesFuncin de densidadUna funcin de densidad, se presenta grficamente de igual forma que una funcin continua en el clculo.

Recordando la interpretacin geomtrica de la integral, se puede decir que la probabilidad coincide con el rea bajo la curva fx(x).

Funcin de distribucinTambin llamada funcin de distribucin acumulativa, muestra el comportamiento acumulado de una variable aleatoria.Tenemos si x es una variable aleatoria, entonces su funcin de distribucin fx(x), se define como una funcin que asocia a cada valor real, la probabilidad de que la variable aleatoria asuma valores menores o iguales que l.

Propiedades de la funcin de distribucin

La representacin grfica de la funcin de distribucin para una v.a discreta es una funcin escalonada con discontinuidades de salto, mientras que para una variable aleatoria continua es una funcin continua. variable discreta

Variable discreta Variable continua

Valor esperadoEl valor esperado o esperanza de una variable aleatoria tiene su origen en los juegos de azar, debido a que los jugadores deseaban saber cual era su esperanza de ganar o perder con un juego determinado. Como a cada resultado particular del juego le corresponde una probabilidad determinada, esto equivale a una funcin de probabilidad de una variable aleatoria y el conjunto de todos los resultados posibles del juego estar representado por la distribucin de probabilidad de la variable aleatoria. El valor esperado o esperanza es muy importante, ya que es uno de los parmetros que describen una variable aleatoria.

Propiedades del valor esperado

Caractersticas numricas de la variable aleatoriaLas caractersticas numricas se clasifican en tres:Medidas de tendencia centralMedidas de dispersinParmetros de forma

Medidas de tendencia central

Media o valor esperado, tambin llamado esperanza matemtica, fue mencionado anteriormente. y es el valor ms representativo de una variable aleatoria.La mediana es aquel valor para el cual la probabilidad de que la variable aleatoria tome valores menores o iguales a dicho valor es 0.5.La moda es el valor para el cual la funcin de probabilidad o funcin de densidad, segn sea el caso, toma su valor mximo.

Medidas de dispersinEstas indican la lejana de los valores que puede tomar la variable aleatoria. Las principales medidas de dispersin son:RangoDesviacin mediaVarianciaDesviacin estndarCoeficiente de variacin

RangoEl rango es la medida de dispersin mas simple. Se define como la diferencia entre el mayor valor que puede tomar la variable y el menor valor que puede tomar.

rango = valor mximo valor mnimo

Desviacin mediaEl valor esperado de la diferencia en valor absoluto entre los valores de x y su media. En otras palabras, la desviacin media es el promedio de los valores absolutos de las dispersiones alrededor de la media.

VarianciaEs el promedio del cuadrado de la diferencia de la variable aleatoria y su media.Mas conocido la variancia es el segundo momento con respecto a la media.

Desviacin estndarLa desviacin estndar o desviacin tpica es la raz cuadrada de la varianza.Es decir, la raz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviacin.La desviacin estndar se representa por .

Coeficiente de variacinEl coeficiente de variacin es lo que nos permite evitar estos problemas, pues elimina la dimensionalidad de las variables y tiene en cuenta la proporcin existente entre medias y desviacin tpica. Se define del siguiente modo:

Basta dar una rpida mirada a la definicin del coeficiente de variacin, para ver que las siguientes consideraciones deben ser tenidas en cuenta:

Slo se debe calcular para variables con todos los valores positivos. Todo ndice de variabilidad es esencialmente no negativo. Las observaciones pueden ser positivas o nulas, pero su variabilidad debe ser siempre positiva. No es invariante ante cambios de origen. Es decir, si a los resultados de una medida le sumamos una cantidad positiva, b>0, para tener Y=X+b, entonces , ya que la desviacin tpica no es sensible ante cambios de origen, pero si la media. Lo contario ocurre si restamos (b